第一篇：第林壽數學史教案-十二講：20世紀數學概觀II

第十二講：20世紀數學概觀 II

1、數學研究成果五例 1.1 四色問題

圖論：以圖為研究對象的數學分支。圖是若干給定點及連接兩點的線所構成的圖形。

早期，柯尼斯堡七橋問題，36軍官問題，旅行路線圖。

1852年，英國古德里提出“四色問題”。19世紀，英國一些著名數學家進行研究并引起人們的關注。1976年美國哈肯和阿佩爾最終解決了四色問題。

1.2 動力系統

描述決定性系統的數學模型都可稱為動力系統，通常所說的動力系統多指由映射迭代生成的系統或常微分系統，其核心問題是結構的穩定性。

龐加萊關于常微分方程定理理論的一系列課題，成為動力系統理論的出發點。1927年，伯克霍夫（美，1884－1944年）出版《動力系統》。1937年，龐特里亞金（蘇，1908－1988年）提出結構穩定性的概念。以斯梅爾（美，1930－）等的工作為代表。

龐特里亞金簡介。

斯梅爾馬蹄、蝴蝶效應與羅倫茲（美，1917－2008年）。

渾沌：1975年李天巖（1945－）－約克定理，1964年沙克夫斯基（烏，1936－）定理。

1967年芒德布羅（法，1924－）在《科學》雜志上發表文章“英國的海岸線有多長”引起了幾何中空間維數概念從整數維數到分數維數的飛躍。

柯克（瑞典，1870－1924年）曲線與分數維數。1.3 魯金猜想

傅里葉級數的和問題。1876年杜?布瓦?瑞芒（德，1831－1889年）證明存在連續函數的傅里葉級數，它在許多點上發散。1913年魯金（俄－蘇，1883－1950年）猜想：L^2可積函數的傅里葉級數幾乎處處收斂于f。

1923年柯爾莫哥洛夫（俄－蘇，1903－1987年）定理：L^1可積函數的傅里葉級數可以處處發散。1966年卡爾松（瑞典，1928－）肯定回答了魯金猜想。

魯金簡介。

1.4 龐加萊猜想

1904年的龐加萊（法，1854－1912年）猜想：單連通的三維閉流形同胚于S^3。廣義龐加萊猜想。

1961年斯梅爾（美，1930－）證明了n>4的龐加萊猜想。1982年弗里德曼（美，1951－）證明了n=4的龐加萊猜想。2002年佩雷爾曼（俄，1966－）對猜想的證明做了奠基性工作。

龐加萊猜想獲破解，榮譽歸屬已無懸念。背景：新千年數學獎。1.5 數論

各個時期一些代表人物。留給20世紀的數論問題：素數判定、哥德巴赫猜想（1742）、費馬大定理（1670）、黎曼假設（1859）。

哥德巴赫猜想。

1742年哥德巴赫（德，1690－1764年）猜想：（1）每個大于4的偶數是兩個奇素數之和；（2）每個大于7的奇數是三個奇素數之和。

1920年哈代（英，1877－1947年）和李特爾伍德（英，1885－1977年）首先將他們創造的圓法應用于數論的研究。1937年維諾格拉多夫（蘇，1891－1983年）利用圓法和他自己的指數和估計法，對于大奇數證明了三素數定理。

偶數哥德巴赫猜想的進展主要是依靠改進篩法取得的。1919年布龍（挪，1885－1978年）利用他的新篩法證明了9+9，1957年王元（中，1930－）證明了2＋3，1962年王元和潘承洞（中，1934－1997年）證明了1＋4，1966年陳景潤（中，1933－1996年）宣布了1＋2，并于1973年發表了全部證明。

費馬大定理。

費馬（法，1601－1665年）的最后定理：當n≥3時，方程x^n+y^n=z^n沒有非零整數解。

1980年前對個別情形進行證明。

1983年法爾廷斯（德，1954－）證明了莫代爾（英，1888－1972年）猜想（1922），1986年費雷（德）證明了“谷山猜想導出費馬大定理”，1995年維爾斯（英，1953－）證明了谷山猜想。

2、數學獎

已介紹了阿貝爾獎（第八講介紹）、菲爾茲獎（第十一講介紹）。2.1沃爾夫獎（1978－）

1976年卡多·沃爾夫（1887－1981年）在以色列設立沃爾夫獎，1978年首次頒獎。授獎學科為物理學、數學、化學、醫學和農學五個獎，1981年增設藝術獎。

1978 年吳健雄（中－美，1912－1997年）獲物理學獎。1984年陳省身（中－美，1911－2004年）獲數學獎。2004年袁隆平（中，1930－）獲農業獎。

2.2邵逸夫獎（2004－）

2002年邵逸夫（1907－）在香港設立，設天文學、生命科學與醫學、數學科學三個獎項（“諾貝爾獎”所沒有的），每項獎金100萬美元。

2004年陳省身（中－美，1911－2004年）獲數學獎。2006年吳文俊（中，1919－）獲數學獎。

陳省身簡介。吳文俊簡介。背景：諾貝爾獎。

第二篇：林壽數學史教案-第十一講：20世紀數學概觀I

第十一講：20世紀數學概觀 I

1、國際數學家大會

1893年芝加哥“世界哥倫布博覽會”。1897年蘇黎世第一屆國際數學家大會。1900年巴黎第二屆ICM，希爾伯特（德，1862－1943年）作了“數學問題”的演講。2000年“國際數學年”。

1924年多倫多第七屆ICM，大會主席菲爾茲（加，1863－1932年）。菲爾茲獎：數學界的“諾貝爾獎”，1936年開始頒獎。

1983年，丘成桐（中－美，1949－）獲獎；2006年，陶哲軒（澳，1975－）獲獎。

2、純粹數學的發展

20世紀數學的特點：結構數學與統一的數學。阿蒂亞（英，1929－）指出：20世紀前半葉“專門化的時代”，20世紀后半葉“統一的時代”。

阿蒂亞簡介。2.1 實變函數論

集合論的觀點在20世紀初首先引起積分學的變革，從而導致了實變函數論的建立。

1898年波雷爾（法，1871－1956年）的測度論，1902年勒貝格（法，1875－1941年）的博士論文《積分，長度與面積》，形成實變函數論，分析的“分水嶺”。

2.2 泛函分析

創始時期（19世紀80年代至20世紀20年代）：1906年弗雷歇（法，1878－1973年）的博士論文《關于泛函演算若干問題》，1922年列維（法，1886－1971年）出版《泛函分析》。

發展時期（20世紀20至40年代）：1932年巴拿赫（波，1892－1945年）出版《線性算子論》。1940年蓋爾范德（蘇，1913－）的巴拿赫代數理論。

成熟時期（20世紀40年代起）：施瓦茲（法，1915－2002年）的廣義函數理論或分布論，格羅登迪克（法，1928－）的核空間理論。

巴拿赫簡介。2.3 抽象代數

抽象代數是希爾伯特的抽象思維及公理化方法的產物。創立者：諾特（德，1882－1935年）與阿廷（奧地利，1898－1962年），范?德?瓦爾登（荷，1903－1996年）《近世代數學》（1930－1931年）一書問世，標志著抽象代數學正式誕生。

諾特簡介。2.4 拓撲學

拓撲學本質上是屬于20世紀的抽象學科。1895－1905年龐加萊（法，1854－1912年）發表一組論文《位置分析》，開創了現代拓撲學的研究。

1914年豪斯道夫（德，1868－1942年）《集合論綱要》。1926年霍普夫（1894－1971年）定義了同調群，1935年胡勒維茨（波，1904－1957年）引進了同倫群，同調論與同倫論一起推動組合拓撲學逐步演變成代數拓撲學。

2.5 概率論

研究隨機現象數量規律的數學分支。作為一門獨立的數學分支，真正的奠基人是雅格布?伯努利（瑞，1654－1705年），1713年出版《猜度術》。

1812年，拉普拉斯（法，1749－1827年）出版《分析概率論》。1933年，柯爾莫哥洛夫（蘇，1903－1987年）出版《概率論基本概念》，使概率論成為一門嚴格的演繹學科。

柯爾莫哥洛夫簡介。

3、數學基礎大論戰

1903年羅素（英，1872－1970年）提出一個簡明的集合論悖論，形成第三次數學危機。

邏輯代數的發展是數理邏輯。弗雷格（德，1848－1925年）是數理邏輯和邏輯主義的奠基人和創始人。皮亞諾（意，1858－1932年）為數理邏輯和數學基礎的研究開創了新局面。

3.1 邏輯主義

羅素，1903年出版《數學的原理》，1910－1913年《數學原理》（與懷特黑德（英，1861－1947年）合著）是邏輯主義的權威性論述，“數學就是邏輯”，全部數學可以由邏輯推導出來。

羅素簡介。

3.2 直覺主義

布勞威爾（荷，1881－1966年），1907年博士論文《論數學基礎》搭建了直覺主義的框架，數學獨立于邏輯，數學的基礎是一種能使人認識“知覺單位”1以及自然數列的原始知覺，堅持數學對象的“構造性”定義。

3.3 形式主義綱領

希爾伯特，1922年提出形式主義綱領，1928年《數理邏輯基礎》，1934、1939年《數學基礎》中對形式主義綱領作出了系統的總結和全面的論述。

1930年代，哥德爾的定理引起的震動之后，關于數學基礎的爭論漸趨淡化。3.4 公理集合論

為了消除集合論悖論，策梅羅（德，1871－1953年）公理系統誕生。1929－1930年確定為“策梅羅－費蘭克爾公理系統”。

選擇公理、連續統假設是集合論中的基本問題。1938年哥德爾（奧地利－美，1906－1978年）證明了相容性，1963年柯恩（美，1934－2007年）證明了獨立性。

哥德爾簡介。背景：奧匈帝國。

第三篇：林壽數學史教案-第十三講：20世紀數學概觀III

第十三講：20世紀數學概觀 III

1、牛頓以來250年間的英德法數學家 1642－1891年間出生于英德法的主要數學家。

2、世界數學中心的轉移

世界科學活動中心曾相繼停留在幾個不同的國家，轉移的格局大體是：意大利→英國→法國→德國→美國。從中心區停留的時間跨度看：意大利1540－1610年，英國1660－1730年，法國1770－1830年，德國1830－1930年，美國1920年起。

科學活動中心的轉移，實際上就是科學人才中心的轉移。3、20世紀的一些數學團體 3.1 哥廷根學派

高斯（1777－1855年）1807－1855年任哥廷根大學數學教授，后狄里克雷（1805－1859年）1855－1859年、黎曼（1826－1866年）1846－1866年在哥廷根工作，1886年克萊因（1849－1925年）到哥廷根，開創了40年哥廷根學派的偉大基業。

20世紀初世界數學中心：哥廷根數學研究所。

在哥廷根工作的一些數學家、在哥廷根學習或訪問過的數學家。3.2 波蘭數學學派

1917年波蘭數學會在克拉科夫成立，1918年亞尼謝夫斯基（1888－1920年）發表《波蘭數學的需求》，形成了華沙學派、利沃夫學派。

華沙學派：研究點集拓撲、集論、數學基礎和數理邏輯。1920年《數學基礎》創刊標志華沙學派的形成。帶頭人：謝爾賓斯基（1882－1969年），馬祖凱維奇（1888－1945年）。

利沃夫學派：研究泛函分析。1929年創刊《數學研究》。帶頭人：巴拿赫（1892－1945年），施坦豪斯（1887－1972年）。

第二次世界大戰使波蘭失去了一代人。3.3 蘇聯數學學派

19世紀下半葉，出現了切比雪夫（1821－1894年）為首的彼比堡學派。葉戈羅夫（1868－1931年）造就了20世紀繁榮的莫斯科數學學派。

優勢學科：函數論、拓撲學、解析數論、概率與隨機過程、泛函分析、微分方程、線性規劃。最杰出的代表人物：柯爾莫哥洛夫（1903－1987年），蓋爾范德（1913－）。

1966年國際數學家大會在莫斯科召開。20世紀世界數學中心：莫斯科大學。事業后繼有人。

3.4 布爾巴基學派

1939年法國出版《數學原理》，作者是尼古拉·布爾巴基。

布爾巴基學派是一個對現代數學有著極大影響的數學家的集體，主要的代表人物是韋伊（法，1906－1998年）、狄多涅（法，1906－1992年）、H．嘉當（法，1904－）、謝瓦萊（法，1909－1984年）、德爾薩特（法，1903－1968年），主要致力于編寫多卷集的《數學原理》。

全部數學基于三種母結構：代數結構、序結構、拓撲結構。數學就表現為數學結構的倉庫。布爾巴基的結構主義觀點，在20世紀50－60年代盛極一時，20世紀70年代以來，結構主義觀點開始走下坡路了。

法國數學家獲獎情況。3.5 美國數學

1878年創辦《美國數學雜志》，1888年美國數學會成立。范因（美，1858－1928年）立志將普林斯頓大學建成世界數學中心。

20世紀世界數學中心：普林斯頓高等研究院。最早6位教授：1930年維布倫（美，1880－1960年），1933年愛因斯坦（德－美，1879－1955年），1934年外爾（德，1885－1955年），1934年亞歷山大（美，1888－1971年），1934年馮?諾伊曼（1903－1957年），1935年莫爾斯（1892－1977年）。設有數學學部、自然科學學部、歷史研究學部、社會科學學部。

二次世紀大戰后數學的重要特點：到美國去。美國數學家獲菲爾茲獎簡況。3.6 中國數學

1912年北京大學創辦了國內第一個大學數學系，20世紀20年代國內相繼創辦了大學數學系。

1935年“中國數學會”在上海交通大學成立，宗旨：“謀數學之進步及其普 2 及”。中國數學會的數學獎：陳省身數學獎、華羅庚數學獎、鐘家慶數學獎。

中科院數理學部中的數學家。1955－2007年，數理學部中的數學家有48位。國家自然科學獎一等獎：典型域上的多復變函數論（華羅庚，1956），示性類與示嵌類的研究（吳文俊，1956），哥德巴赫猜想的研究（陳景潤、王元和潘承洞，1982），微分動力系統穩定性研究（廖山濤，1987），關于不相交Steiner三元系大集的研究（陸家羲，1987），哈密頓系統的辛幾何算法（馮康等，1997）。

陸家羲（1935－1983年）簡介。陳景潤簡介。中國數學的復興，2002北京國際數學家大會。

第四篇：林壽數學史教案-第五講：文藝復興時期的數學

第五講：文藝復興時期的數學

1、文明背景 1.1 文藝復興

文藝復興是指14世紀意大利各城市興起，15世紀后期起擴展到西歐各國，16世紀在歐洲盛行的一場思想文化運動。在這歷時約200年的歷史中，揭開了現代歐洲歷史的序幕，被認為是中古時代和近代的分界，數學活動也以空前的規模和深度蓬勃興起。

1.2 技術進步

歐洲文藝復興時期的主要成就之一，是在15世紀后半葉開始產生近代自然科學。四大發明相繼傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡發明了金屬活字印刷術，歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個印刷版。

1.3 航海探險

1488年，迪亞士（葡，1450－1500年）進入印度洋，發現好望角。1498年，達?伽馬（葡，1469－1524年）到達印度海岸，找到了通向東方的新航路。1492年，哥倫布（西，1451－1506年）到達美洲。1519－1522年，麥哲倫（葡，1480－1521年）船隊完成了首次環球航行。

1.4 天文學的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心說”，1543年出版《天體運行論》。布魯諾（意，1548－1600年）1584年在《論無限、宇宙及世界》提出了宇宙無限的思想。

2、文藝復興時期的歐洲數學

近代始于對古典時代的復興，但人們很快看到，它遠不是一場復興，而是一個嶄新的時代。

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。

帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術集成》是一部數學百科全書，其中采用了優越的記號及大量的數學符號，推進了代數學的發展。

塔塔利亞（意，1499－1557年）發表了《論數字與度量》（1556－1560），1 16世紀最好的數學著作之一，發現了三次方程的代數解法。

卡爾丹（意，1501－1576年）最重要的數學著作是1545年出版的《大術》，內有三次、四次方程的解法。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復興時期最后一位代數學家，1572年出版《代數》，引進了虛數，正式給出了負數的明確定義。

施蒂費爾（德，1487－1567年），16世紀德國最大的數學家，1544年《綜合數學》中指出：符號使用是代數學的一大進步。

韋達（法，1540－1603年），16世紀法國最大、最有影響的數學家，被西方稱為“代數學之父”，1591年出版《分析引論》是最早的符號代數專著。

2.2 三角學

在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《論各種三角形》（1533年出版），是歐洲人對平面和球面三角學所作的第一個完整、獨立的闡述。

韋達（法，1540－1603年），1579年《應用于三角形的數學定律》系統講述了各鐘三角函數，1615年《截角術》系統化了球面三角和平面三角學。

2.3 射影幾何

文藝復興時期給人印象最深的幾何創造其動力卻來自藝術。正是由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激導致了富有文藝復興特色的學科，誕生了射影幾何學。

阿爾貝蒂（意，1404－1472年），1435年發表《論繪畫》，闡述了最早的數學透視法思想，是射影幾何發展的起點。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，射影幾何早期發展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發現），內有帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線。

射影幾何產生后很快讓位于代數、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發現。

2.4 對數

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十進算術》，系統地探討了十進制記數及其運算理論，并提倡用十進制小數來書寫分數。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）至少花了20年的時間，于1590年左右開始寫關于對數的著作，1614年發表《奇妙對數規則的說明》。

到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數學的融合，為近代數學的興起及以后的驚人發展鋪平了道路。3、15－17世紀的中國數學

3.1 珠算

珠算盤是算籌的發展。珠算盤的記載最早見于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年編著了《直指算法統宗》。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數學史上任何著作也不能與之相比。

3.2 西方數學的傳入

西方數學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。

最早來中國從事傳教活動的是明萬歷年間（1582年）來華的意大利傳教士利瑪竇（1552－1610年），被中國人尊稱為“西學東漸第一師”。

徐光啟（明，1562—1633年），中國近代科學的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版。《幾何原本》是中國近代翻譯西方數學書籍的開始，相繼出現了許多歐洲數學著作。

3.3 明末的中國科技

李時珍（1518－1593年）《本草綱目》，徐光啟（1562－1633年）《農政全書》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游記》，宋應星（1587－

？）《天工開物》。

第五篇：林壽數學史教案-第九講：19世紀的幾何

第九講：19世紀的幾何

1、幾何學的變革

幾何學的基礎：現實空間與思維空間。1.1 微分幾何

平面曲線理論17世紀基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《無窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。

1760年歐拉（瑞，1707－1783年）《關于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論，1795年蒙日（法，1746－1818年）《關于分析的幾何應用的活頁論文》借助微分方程對曲面族深入研究。

蒙日簡介。1.2 非歐氏幾何

從公元前3世紀到18世紀末，數學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但“平行公設”始終讓他們耿耿于懷。

薩凱里（意，1667－1733年）1733年《歐幾里得無懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾（德，1739－1812年）對平行線公設是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特（法，1728－1777年）《平行線理論》指出通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反歐幾里得幾何，非歐幾里得幾何，擔心世俗的攻擊而未發表。1826年羅巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》，歷史上第一篇公開發表的非歐幾何文獻。1832年J?鮑約（匈，1802－1860年）《絕對空間的科學》，所謂“絕對幾何”就是非歐幾何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《關于幾何基礎的假設》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中，過已知直線外一點不能作任何平行于該給定直線的直線。

黎曼簡介。

1868年貝爾特拉米（意，1835－1899年）《論非歐幾何學的解釋》，在“偽球面”模型上實現（片段上）羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因（德，1849－1925年）“圓”模型實現羅巴切夫斯基幾何，1882年龐加萊（法，1854－1912年）也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，克萊因－龐加萊圓。

1.3 射影幾何

將射影幾何變革為具有獨立目標與方法的學科的數學家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列（法，1788－1867年）的《論圖形的射影性質》，探討圖形在投射和截影下保持不變的性質，闡述了連續性原理、對偶原理。

代數方法。1827年默比烏斯（德，1790－1868年）的《重心計算》中的齊次坐標，1829年普呂克（德，1801－1868年）的三線坐標。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置幾何學》不借助長度概念就得以建立射影幾何。凱萊（英，1821－1895年）和克萊因（德，1849－1925年）在射影幾何基礎上建立歐氏幾何和非歐幾何。

1.4 統一的幾何學

1872年克萊因（德，1849－1925年）在埃爾朗根大學的教授就職演講《關于近代幾何研究的比較考察》，闡述了幾何學統一的思想。

克萊因簡介。1.5 幾何學的公理化

19世紀的數學家重新審視《原本》時發現它有許多弱點。1899年希爾伯特《幾何基礎》，提出了對現代數學影響深遠的統一幾何學的途徑：公理化方法。

希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統的三原則：相容性、獨立性、完備性。

希爾伯特簡介。2、19世紀的中國數學

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。李善蘭、華蘅芳等為中國近代科學事業的先行者。

2.1 李善蘭（清，1811－1882年）

李善蘭：1850年完成著作《垛積比類》，翻譯了《幾何原本》（1857）、《代微積拾級》（1859）和《代數學》（1859）。

2.2 華蘅芳（清，1833－1902年）

華蘅芳：1868年到江南制造總局翻譯館，翻譯了《代數術》（1872）、《微積溯源》（1874）和《決疑數學》（1880）。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成功效并不顯著。自19世 2 紀末開始，一批中國留學生到日本、歐美學習數學，回國后創辦數學系，1919年“五四”運動前后，中國現代數學稍具雛形。