第一篇：林壽《數(shù)學(xué)史概論》教案(156頁(yè))1

《數(shù)學(xué)史概論》教案（156頁(yè)）

主講人：林壽

導(dǎo)言

主講人簡(jiǎn)介：林壽，寧德師專教授，漳州師院特聘教授，四川大學(xué)博士生導(dǎo)師，德國(guó)《數(shù)學(xué)文摘》和美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員。1978.4~1980.2寧德師專數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí)；1984.9~1987.7蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生；1998.9~2000.5 浙江大學(xué)理學(xué)院攻讀博士學(xué)位。拓?fù)鋵W(xué)方向的科研項(xiàng)目先后20次獲得國(guó)家自然科學(xué)基金、國(guó)家優(yōu)秀專著出版基金等的資助，研究課題涉及拓?fù)淇臻g論、集合論拓?fù)?、函?shù)空間拓?fù)涞?，在?guó)內(nèi)外重要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)論文90多篇，科學(xué)出版社出版著作3部。1992年獲國(guó)務(wù)院政府特殊津貼，1995年被授予福建省優(yōu)秀專家，1997年獲第五屆中國(guó)青年科技獎(jiǎng)、曾憲梓高等師范院校教師獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。

個(gè)人主頁(yè)：http://www.ndsz.net/ls.asp

一、數(shù)學(xué)史要學(xué)習(xí)什么？為什么要開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史的選修課？

數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展，及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。對(duì)于深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身，及全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要的意義。

龐加萊（法，1854－1912年）語(yǔ)錄：如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。

薩頓（美，(1884-1956年)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家，但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學(xué)家，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質(zhì)量。

數(shù)學(xué)史的分期：

1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展（公元前6世紀(jì)）；

2、初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前6世紀(jì)－16世紀(jì)）；

3、近代數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)－18世紀(jì)）；

4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（1820年至今）。

二、教學(xué)工作安排

授課形式：講解與自學(xué)相結(jié)合，分13講。

第一講：數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展； 第二講：古代希臘數(shù)學(xué)； 第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I； 第四講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II； 第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)；

第六講：牛頓時(shí)代：解析幾何與微積分的創(chuàng)立； 第七講：18世紀(jì)的數(shù)學(xué)：分析時(shí)代； 第八講：19世紀(jì)的代數(shù)； 第九講：19世紀(jì)的幾何與分析I； 第十講：19世紀(jì)的幾何與分析II； 第十一講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 I； 第十二講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 II； 第十三講：20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 III； 選

講：數(shù)學(xué)論文寫作初步。

作業(yè)：每一講寫600字左右的讀書筆記，30%記入學(xué)期總成績(jī)。

考查：每位同學(xué)選取一名數(shù)學(xué)家，以這數(shù)學(xué)家為主題寫一篇數(shù)學(xué)史講稿（約 2000字），并把講稿內(nèi)容制作成PowerPoint文檔（約15分鐘，5－8張文檔），70%記入學(xué)期總成績(jī)。

要求：講稿用A4紙單面打印，連同PowerPoint文檔于2008年6月18日（第17周星期三）上交。

三、主要參考書

1、[美]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想.牛津大學(xué)出版社，1972（中譯本：北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1979~1981，4卷本）；

2、張奠宙.20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2002；

3、吳文俊主編.世界著名數(shù)學(xué)家傳記（上、下冊(cè)）.北京：科學(xué)出版社，1995；

4、程民德主編.中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳（5卷本）.南京：江蘇教育出版社，1994－2002；

5、中國(guó)大百科全書編輯委員會(huì).中國(guó)大百科全書（數(shù)學(xué)卷）.北京：中國(guó)大百科全書出版社，1988；

6、王元，嚴(yán)士健，石鐘慈，談德顏編譯.數(shù)學(xué)百科全書（5卷本）.北京：科學(xué)出版社，1994－2000；

7、郭金彬，孔國(guó)平.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史.北京：科學(xué)出版社，2004；

8、徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史.北京：科學(xué)出版社，2006。

第一講

數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展

主要內(nèi)容：數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)。

1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生

從原始的“數(shù)”到抽象的“數(shù)”概念的形成，是一個(gè)緩慢、漸進(jìn)的過(guò)程。人從生產(chǎn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)到了具體的數(shù)，導(dǎo)致了記數(shù)法。“屈指可數(shù)”表明人類記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。

如，手指計(jì)數(shù)（伊朗，1966），結(jié)繩計(jì)數(shù)（秘魯，1972）（美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數(shù)字），西安半坡遺址出土的陶器殘片。

早期幾種記數(shù)系統(tǒng)，如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。

世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門的進(jìn)位制和眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)體系，足以證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。

2、河谷文明與早期數(shù)學(xué) 2.1 古代埃及的數(shù)學(xué) 背景：古代埃及簡(jiǎn)況

埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家，公元前3000年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。

古代埃及可以分為5個(gè)大的歷史時(shí)期：早期王國(guó)時(shí)期（公元前3100－前2688年）、古王國(guó)時(shí)期（前2686－前2181年）、中王國(guó)時(shí)期（前2040－前1768年）、新王國(guó)時(shí)期（前1567－前1086年）、后期王國(guó)時(shí)期（前1085－前332年）。

（1）古王國(guó)時(shí)期：前2686－前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時(shí)代，開(kāi)始建造金字塔，是第一個(gè)繁榮而偉大的時(shí)代。（2）新王國(guó)時(shí)期：前1567－前1086年。埃及進(jìn)入極盛時(shí)期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國(guó)。

直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。

埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史，建立了國(guó)家，有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)業(yè)和手工業(yè)，發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識(shí)，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。

吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其精確的測(cè)量能力，其中它的邊長(zhǎng)和高度的比例約為圓周率的一半。

古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：紙草書，來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。萊茵德紙草書（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購(gòu)得，現(xiàn)藏倫敦大英博物館，主體部分由84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成，其中還有歷史上第一個(gè)嘗試“化圓為化”的公式）。

莫斯科紙草書（1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得，現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館，包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題）。

埃及紙草書（民主德國(guó)，1981）。

數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)：記數(shù)制，基本的算術(shù)運(yùn)算，分?jǐn)?shù)運(yùn)算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。

公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及以后，這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。

2.2 古代巴比倫的數(shù)學(xué) 背景：古代巴比倫簡(jiǎn)況

兩河流域（美索不達(dá)米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字“楔形文字”。

（1）古巴比倫王國(guó)：公元前1894－前729年。漢穆拉比（在位前 1792－前 1750）統(tǒng)一了兩河流域，建成了一個(gè)強(qiáng)盛的中央集權(quán)帝國(guó)，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。

（2）亞述帝國(guó)：前8世紀(jì)－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩蘇爾市）。（3）新巴比倫王國(guó)：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統(tǒng)治時(shí)期達(dá)到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò)：“心眼所見(jiàn)，永難磨滅”。

公元前6世紀(jì)中葉，波斯國(guó)家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國(guó)。

了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版，迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)泥版（文達(dá)，1982）。

現(xiàn)在泥版文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)：以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng)，長(zhǎng)于計(jì)算，發(fā)展程序化算法的熟練技巧（開(kāi)方根），能處理三項(xiàng)二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。

泥版楔形文，普林頓322（現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館，年代在公元前1600年以前，數(shù)論意義：整勾股數(shù)）。

巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。2.3 西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué) 黃河壺口瀑布（中國(guó)，2002）

《史記·夏本紀(jì)》大禹治水（公元前21世紀(jì)）中提到“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”，表明使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，而且知道“勾三股四弦五”。

考古學(xué)的成就，充分說(shuō)明了中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展。

1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫的符號(hào)中，有一些符號(hào)就是表示數(shù)字的符號(hào)。

在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數(shù)字的文字，表明中國(guó)已經(jīng)使用了完整的十進(jìn)制記數(shù)，包括從一至十，以及百、千、萬(wàn)，最大的數(shù)字為三萬(wàn)。殷墟甲骨上數(shù)學(xué)（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年間河南安陽(yáng)出土）。

算籌（1971年陜西千陽(yáng)縣西漢墓出土）是中國(guó)古代的計(jì)算工具，它的起源大約可上溯到公元前5世紀(jì)，后來(lái)寫在紙上便成為算籌記數(shù)法。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)（約公元前300年）。怎樣用算籌記數(shù)呢？公元3－4世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》記載說(shuō)：“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)?！?/p>

為了避免涂改，在唐代以后，我國(guó)又創(chuàng)用了一種商業(yè)大寫數(shù)字，又叫會(huì)計(jì)體：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)。

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的特殊貢獻(xiàn)，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。

我國(guó)是世界上首先發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的國(guó)家。戰(zhàn)國(guó)時(shí)法家李悝（約公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持變法，我國(guó)第一部比較完整的法典《法經(jīng)》（現(xiàn)已失傳）中已應(yīng)用了負(fù)數(shù)，“衣五人終歲用千百不足四百五十”，意思是說(shuō)，5個(gè)人一年開(kāi)支1500錢，差450錢。甘肅居延海附近（今甘肅省張掖市管領(lǐng)）發(fā)現(xiàn)的漢簡(jiǎn)中有“負(fù)四筭（suàn，籌碼，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。

在2002年中國(guó)考古發(fā)現(xiàn)報(bào)告會(huì)上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發(fā)現(xiàn)：湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)－秦漢時(shí)期城址及秦代簡(jiǎn)牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)－秦漢古城出土了36000余枚秦簡(jiǎn)，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝歷史，其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。在《管子》、《荀子》、《戰(zhàn)國(guó)策》等先秦典籍中，都提到過(guò)“九九”，但實(shí)物還是首次發(fā)現(xiàn)，這是我國(guó)有文字記錄最早的乘法口訣表。

最后給一首數(shù)字詩(shī)，取自宋朝理學(xué)家邵康節(jié)（公元1011－1077年，中國(guó)占卜界的主要代表人物）寫的一首詩(shī)，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實(shí)自然的鄉(xiāng)村風(fēng)俗畫，宛如一副淡雅的水墨畫：

一去二三里，煙村四五家。亭臺(tái)六七座，八九十枝花。

思考題

1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。

2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?

3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。

4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。

5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。

6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。

第二講 古代希臘數(shù)學(xué)

主要內(nèi)容：論證數(shù)學(xué)的發(fā)端，亞歷山大學(xué)派，古希臘數(shù)學(xué)的衰落家，簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

恩格斯指出：“沒(méi)有希臘的文化和羅馬帝國(guó)奠定的基礎(chǔ)，沒(méi)沒(méi)有現(xiàn)代的歐洲。” “如果不知道遠(yuǎn)溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結(jié)果，我們就不可能理解近年來(lái)數(shù)學(xué)的目標(biāo)，也不可能理解它的成就?！?——Claude Hugo Hermann Weyl 背景：古希臘的變遷 古希臘地圖。

希臘時(shí)期（公元前11世紀(jì)－前3世紀(jì)）：分為愛(ài)奧尼亞時(shí)期和雅典時(shí)期。愛(ài)奧尼亞時(shí)期：公元前11世紀(jì)－前6世紀(jì)，其中公元前11世紀(jì)－前9世紀(jì)希臘各部落進(jìn)入愛(ài)琴地區(qū)，公元前9－前6世紀(jì)希臘各城邦先后形成，前776年召開(kāi)了第一次奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，標(biāo)志著古希臘文明進(jìn)入了興盛時(shí)期。希波戰(zhàn)爭(zhēng)（前499－前449年）以后，雅典成為希臘的霸主。

雅典時(shí)期：公元前6－前3世紀(jì)，伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)（前431－前404年，雅典及其同盟者與以斯巴達(dá)為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰(zhàn)爭(zhēng)），希臘各城邦陷入混戰(zhàn)之中。

馬其頓帝國(guó)崛起：前6世紀(jì)－前323年。馬其頓位于希臘的北部，處于希臘文明的邊緣，被希臘人視為蠻族。公元前4世紀(jì)起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國(guó)家，正當(dāng)希臘的城邦在經(jīng)歷將近100年的內(nèi)戰(zhàn)之后都精疲力竭的時(shí)候，馬其頓的菲利普二世（公元前382－前336年）把整個(gè)希臘統(tǒng)一于其統(tǒng)治之下，前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位。前334年，亞歷山大（公元前356－前323年）率大軍渡海東征，拉開(kāi)了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強(qiáng)大的波斯帝國(guó)，他先后從波斯人手中奪取了敘利亞和埃及，攻下巴比倫，波斯帝國(guó)滅亡。前323年，亞歷山大病死，他龐大的帝國(guó)也隨之分裂，古希臘歷史結(jié)束。但在帝國(guó)擴(kuò)張的過(guò)程中將希臘文明傳播至東方，史稱希臘化時(shí)代。

希臘化時(shí)期（公元前3世紀(jì)－公元7世紀(jì)）：分為亞歷山大時(shí)期和亞歷山大后期。

亞歷山大時(shí)期：公元前323－前30年，前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期：公元前30－公元640年，公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書。

羅馬帝國(guó)：公元前27－公元395年（公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷，現(xiàn)為土耳其的伊斯坦布爾），西羅馬帝國(guó)：公元395－公元476年（為日爾曼人所滅），東羅馬帝國(guó)：公元395－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國(guó)，為奧斯曼土耳其人所滅）。

本講分三節(jié)介紹：古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)、亞歷山大學(xué)派時(shí)期、希臘數(shù)學(xué)的衰落。

1、古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué) 公元前600－前300年。

1.1 愛(ài)奧尼亞學(xué)派（米利都學(xué)派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于愛(ài)奧尼亞的米利都城，早年經(jīng)商，被稱為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父”。

哲學(xué)：萬(wàn)物源于水，即“水生萬(wàn)物，萬(wàn)物復(fù)歸于水”。其思想的影響是巨大的，在他的帶動(dòng)下，人們開(kāi)始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力，出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。泰勒斯首創(chuàng)之功，不可磨滅。

數(shù)學(xué)：創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河，希臘幾何學(xué)的鼻祖，最早留名于世的數(shù)學(xué)家，證明了一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分”，“等腰三角形兩底角相等”，“兩相交直線形成的對(duì)頂角相等”，“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等”，“半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測(cè)量過(guò)金字塔的高度。

預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。

1.2 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：畢達(dá)哥拉斯（約公元前560－前480年），出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯島，與中國(guó)的孔子（公元前551－前479年）同時(shí)，曾師從愛(ài)奧尼亞學(xué)派，年青時(shí)曾游歷埃及和巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究，繁榮興旺達(dá)一個(gè)世紀(jì)以上。

哲學(xué)（????????，智力愛(ài)好）：萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物，宣稱宇宙萬(wàn)物的主宰者用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙，試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。

數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，“μαθηματιχα”（可學(xué)到的知識(shí)），“畢達(dá)哥拉斯定理”（希臘，1955），完全數(shù)（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，?）、親和數(shù)（一對(duì)數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù)，如220，284），正五角星作圖與“黃金分割”（正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志，正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)之比，或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比，正好是黃金比），發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”，困惑古希臘的數(shù)學(xué)家，出現(xiàn)的邏輯困難史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟(jì)文化的中心，希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，可謂哲學(xué)盛行、學(xué)派林立、名家百出。雅典古衛(wèi)城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護(hù)女神雅典娜建造的“帕提農(nóng)神廟”（也稱“巴臺(tái)農(nóng)神廟”，建造于公元前447－前432年），其中應(yīng)用了一些數(shù)學(xué)原理。

雅典時(shí)期：開(kāi)創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。擲鐵餅者（米隆，約前450年）。

1.3 伊利亞學(xué)派：芝諾（約公元前490－前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。

芝諾悖論：兩分法，運(yùn)動(dòng)不存在。再由是：位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處，即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn)，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，它根本起動(dòng)不了。

阿基里斯（荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動(dòng)。芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)提出，并進(jìn)行了辯證的考察。

1.4 詭辯學(xué)派（智人學(xué)派）：活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學(xué)派。

古典幾何三大作圖問(wèn)題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。

安蒂豐（約公元前480－前411年），有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論，只知他在雅典從事學(xué)術(shù)活動(dòng)，是智人學(xué)派的代表人物，在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問(wèn)題。他從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā)，將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、??、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。

希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年，法國(guó)科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）證明了數(shù)?的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。

1.5 柏拉圖學(xué)派：柏拉圖（約公元前427－前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，哲學(xué)家蘇格拉底（公元前469－前399年）的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響，特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用。代表作《理想國(guó)》。

柏拉圖說(shuō)：“上帝按幾何原理行事”，“不懂幾何者免進(jìn)”，認(rèn)為打開(kāi)宇宙之迷的鑰匙是數(shù)與幾何圖形，發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。

柏拉圖不是數(shù)學(xué)家，卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱，公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典創(chuàng)辦學(xué)院，講授哲學(xué)與數(shù)學(xué)，直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483－1520年）的壁畫：雅典學(xué)院（創(chuàng)作于1509－1510年）。

古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家：亞里士多德（公元前384－前322年）（烏拉圭，1996），柏拉圖的學(xué)生。

1.6 亞里士多德學(xué)派（呂園學(xué)派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn)，公元前335年建立了自己的學(xué)派，講學(xué)于雅典的呂園，又稱“呂園學(xué)派”，相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師?！拔釔?ài)吾師，吾尤愛(ài)真理”。

集古希臘哲學(xué)之大成，把古希臘哲學(xué)推向最高峰，將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，堪稱“邏輯學(xué)之父”，“矛盾律”、“排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心，努力把形式邏輯的方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ)，被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。

1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經(jīng)院哲學(xué)，對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，試圖從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在。

亞歷山大帝國(guó)版圖、亞歷山大帝國(guó)解體。

希臘化時(shí)期的數(shù)學(xué)（公元前300－公元600年）。亞歷山大去世后，帝國(guó)一分為三：安提柯王朝（馬其頓）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（敘利亞）。

亞歷山大燈塔（匈牙利，1980）。亞歷山大城現(xiàn)在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大（法羅斯）燈塔，建于托勒密王朝鼎盛時(shí)期的公元前285－前247年，建成的燈塔高達(dá)117米，1375年的一次猛烈地震，燈塔全毀，法羅斯島連同附近海岸地區(qū)慢慢沉入海底，千古奇觀從此煙消云散。

世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，那是古代西方人眼中的全部世界，而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò)：“心眼所見(jiàn)，永難磨滅”。

2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期

公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特爾，約前367－前283年）統(tǒng)治下的希臘埃及，定都于亞歷山大城，于公元前300年左右，開(kāi)始興建亞歷山大藝術(shù)博物館和圖書館，提倡學(xué)術(shù)，羅致人才，進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期：希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代，先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。

2.1 歐幾里得（公元前325－前265年）

早年學(xué)習(xí)于雅典，公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大，成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰?！皫缀螣o(wú)王者之道”，后推廣為：“求知無(wú)坦途”。

《原本》（Στοιχετα，意指：學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理）。13卷： 第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴(yán)格的證明）、初等作圖法等；

第二卷：幾何方法解代數(shù)問(wèn)題，求面積、體積等； 第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切； 第五、六卷：比例論與相似形； 第七、八、九、十卷：數(shù)論；

第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來(lái)源。采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分，由5條公理，5條公設(shè)，119條定義和465條命題組成，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。

5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。

5公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；（3）以任意中心和直徑可以畫圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。

《原本》是數(shù)學(xué)史上第一座理論豐碑，確立了數(shù)學(xué)的演繹范式，正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素（1872－1970年）說(shuō)過(guò)：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái)，已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統(tǒng)不完備。

2.2 數(shù)學(xué)之神：阿基米德（公元前287－前212年）與牛頓（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門生。

“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就可以移動(dòng)地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是，在《圓的度量》中，發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14），這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法，把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，阿基米德之死（在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形：球及其外切圓柱。

2.3 阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190年），出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤?，年青時(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門生學(xué)習(xí)，貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué)，最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫成的傳世之作《圓錐曲線》，是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，確實(shí)令人驚嘆，對(duì)圓錐曲線研究所達(dá)到的高度，直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越。《圓錐曲線》全書共8卷，含487個(gè)命題。

克萊因（美，1908－1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。

貝爾納（英，1901－1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用，來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。

3、希臘數(shù)學(xué)的衰落

公元180年前后的羅馬帝國(guó)版圖。

公元前6世紀(jì)，在意大利半島的臺(tái)伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來(lái)。公元前509年，羅馬建立了共和國(guó)。古羅馬經(jīng)過(guò)多個(gè)世紀(jì)的戰(zhàn)爭(zhēng)，時(shí)分時(shí)合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國(guó)宣告滅亡，從此進(jìn)入羅馬帝國(guó)時(shí)代。在公元前1世紀(jì)完全征服了希臘各國(guó)而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán)，建立了強(qiáng)大的羅馬帝國(guó)。1世紀(jì)時(shí)，羅馬帝國(guó)繼續(xù)擴(kuò)張，到2世紀(jì)，帝國(guó)版圖確定下來(lái)，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國(guó)。

進(jìn)入晚期羅馬帝國(guó)時(shí)期，帝國(guó)在戰(zhàn)亂中于395年由最后一個(gè)君主提奧多正式把帝國(guó)分為兩部分，西部以羅馬為首都分給了長(zhǎng)子阿卡狄（稱為西羅馬帝國(guó)），東部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布爾）為首都分給了次子賀諾里（稱為東羅馬帝國(guó)）。476年，西羅馬帝國(guó)皇帝被日耳曼人廢掉，西羅馬帝國(guó)滅亡，西歐奴隸制社會(huì)的歷史結(jié)束了，從此進(jìn)入了封建社會(huì)時(shí)期。

古羅馬斗獸場(chǎng)（建于公元70－82年）。西班牙古羅馬高架引水橋（建于公元1世紀(jì)末2世紀(jì)初）高架引水橋從遙遠(yuǎn)的雪山引水到阿爾卡薩城堡，全長(zhǎng)15公里，有166個(gè)拱門，它由2萬(wàn)多塊大石頭堆砌而成，石塊間沒(méi)有任何水泥等灰漿類物質(zhì)黏合，至今仍能堅(jiān)固完好，實(shí)在令人嘆為觀止。據(jù)說(shuō)，這座已經(jīng)1900歲引水橋的引水功能，直到1950年還在使用呢！如今它是塞哥維亞的標(biāo)志性建筑。

羅馬帝國(guó)的建立，唯理的希臘文明從而被務(wù)實(shí)的羅馬文明所取代。同氣勢(shì)恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)談不上有什么顯赫的功績(jī)。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度，在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位，產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年－公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。

3.1 托勒密（埃及，90－165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學(xué)大成》（《至大論》）13卷

第一、二卷：地心體系的基本輪廓； 第三卷：太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)； 第四卷：月亮運(yùn)動(dòng)；

第五卷：計(jì)算月地距離和日地距離； 第六卷：日食和月食的計(jì)算； 第七、八卷：恒星和歲差現(xiàn)象；

第九－十三卷：分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng)，本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)用。

提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典。《大成》中總結(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí)，其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表，這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。

托勒密的本輪－均輪模型。

3.2 丟番圖（公元200－284年）《算術(shù)》

亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》，這是一部具有東方色彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作，其中最有名的一個(gè)不定方程：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊注，引出了后來(lái)舉世矚目的“費(fèi)馬大定理”。另一重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮寫符號(hào)，一種“簡(jiǎn)寫代數(shù)”，是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。

關(guān)于丟番圖的生平，知之甚少，推測(cè)大約公元250年前后活動(dòng)于亞歷山大城，知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過(guò)十二分之一，兩頰長(zhǎng)胡，再過(guò)七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過(guò)四年，他也走完了人生的旅途。

這相當(dāng)于方程：1/6?x+1/12?x+1/7?x+5+1/2?x+4=x，x=84。古希臘數(shù)學(xué)的落幕。

基督教在羅馬被奉為國(guó)教后，將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō)，對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（公元370－415年）被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。

柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼（527－565年）下令封閉了雅典的所有學(xué)校，包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。

亞歷山大圖書館（當(dāng)時(shí)世界上藏書最多的圖書館）三劫，希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。

第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì)，大火殃及亞歷山大圖書館，70萬(wàn)卷圖書付之一炬。

第2次劫難：公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬(wàn)件希臘文手稿被毀。

第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。

附：埃及陽(yáng)歷、儒略歷、格里歷、公歷

目前通行世界的公歷，是我們大家最熟悉的一種陽(yáng)歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創(chuàng)造的文明，是古羅馬人向埃及人學(xué)得，并隨著羅馬帝國(guó)的擴(kuò)張和基督教的興起而傳播于世界各地。

由于計(jì)算尼羅河泛濫周期的需要，產(chǎn)生了古埃及的天文學(xué)和太陽(yáng)歷。埃及陽(yáng)歷：每年365天，12個(gè)月，每月30天，外加5天年終節(jié)日。天文學(xué)家索西吉斯（前90－？）建議羅馬儒略·凱撒（前100－前44年）大帝使用陽(yáng)歷，注意4年置閏一次；公元前46年制定儒略歷。

儒略歷：平年365天，12個(gè)月，大月31天，小月30天，單月為大月（凱撒生日在7月），8月也定為大月（屋大維（奧古斯都，前63－公元14年，凱撒姐姐的兒子，是凱撒遺囑的第一繼承人，生日在8月），從8月開(kāi)始，單月為小，雙月為大，所欠缺的天數(shù)均從2月（不吉利的月份）里扣除，使之成為28天。閏年366天，使2月成為29天。

儒略歷從公元前45年1月1日開(kāi)始實(shí)行。

公元325年，羅馬教皇將儒略歷規(guī)定為教歷。公歷的紀(jì)元，就是從“耶穌降生”的那年算起的，這與基督教的興盛密切相關(guān)。

問(wèn)題： 一年365.25天比實(shí)際回歸年長(zhǎng)度365.2422多0.0078天，至公元1582年，已與實(shí)際天數(shù)多了10天。

為了不違背宗教的規(guī)定，滿足教會(huì)對(duì)歷法的要求，羅馬教皇格里高利13世設(shè)立了改革歷法的專門委員會(huì)，比較了各種方案后，決定采用意大利醫(yī)生利里奧的方案，在400年中去掉儒略歷多出的三個(gè)閏年。

格里歷：羅馬教皇格里高利13世，將1582年10月5日直接變成15日；在4年一閏的基礎(chǔ)上每逢百之年只有能被400整除的才算閏年；歷年的平均長(zhǎng)度為365.2425，更接近回歸年長(zhǎng)度（與回歸年長(zhǎng)度相差25.92秒），要過(guò)3333歷年兩者才會(huì)相差1日。

由于格里歷的內(nèi)容比較簡(jiǎn)潔，便于記憶，而且精度較高，與天時(shí)符合較好，因此它逐步為各國(guó)政府所采用。

公歷：格里歷先在天主教國(guó)家使用，20世紀(jì)初為全世界普遍采用，所以又叫公歷。

我國(guó)于1912年開(kāi)始采用公歷，但仍用中華民國(guó)紀(jì)年，1949年中華人民共和國(guó)成立后，采用公歷紀(jì)年。

思考題

1、試分析芝諾悖論：飛矢不動(dòng)。

2、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義？

3、簡(jiǎn)述歐幾里得《原本》的現(xiàn)代意義？

4、以“化圓為方”問(wèn)題為例，說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。

5、體驗(yàn)阿基米德方法：通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)，計(jì)算圓周率的近似值，計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。

6、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的？他們?yōu)槭裁匆獙?duì)這次數(shù)學(xué)危機(jī)采取回避的態(tài)度？

第三講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛：公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段：《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué)，這反映了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰，簡(jiǎn)述9位中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

1、中算發(fā)展的第一次高峰：數(shù)學(xué)體系的形成

秦始皇陵兵馬俑（中國(guó)，1983），秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983－1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡(jiǎn)，共千余支。經(jīng)初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻(xiàn)，還有一部數(shù)學(xué)著作，據(jù)寫在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn)，這部竹簡(jiǎn)算書的書名叫《算數(shù)書》，它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。經(jīng)研究，它和《九章算術(shù)》（公元1世紀(jì)）有許多相同之處，體例也是“問(wèn)題集”形式，大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成，而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。

《周髀算經(jīng)》（髀：量日影的標(biāo)桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學(xué)著作（“蓋天說(shuō)”－天圓地方；中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)（西周），其中包括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就：勾股定理的普遍形式（中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書面記載），數(shù)學(xué)在天文測(cè)量中的應(yīng)用（測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”，陳子約公元前6、7世紀(jì)人，相似形方法）。

勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。

中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》（東漢，公元100年）。它不是出自一個(gè)人之手，是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”（禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù)）中有一門是“九數(shù)”。《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽(yáng)武（今河南原陽(yáng)）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補(bǔ)，大約成書于東漢時(shí)期，至遲在公元100年。

全書246個(gè)問(wèn)題，分成九章：（1）方田（土地測(cè)量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計(jì)算，另有約分、通分、四則運(yùn)算，求最大公約數(shù)等運(yùn)算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級(jí)分配物資或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法；（4）少?gòu)V（開(kāi)平方和開(kāi)立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問(wèn)題，包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問(wèn)題；（7）盈不足（盈虧類問(wèn)題解法及其應(yīng)用）；（8）方程（一次方程組解法和正負(fù)數(shù)）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)的問(wèn)題。所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等，既有算術(shù)方面的，也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。如方程第一題，其算籌式為

它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就，對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，如同《原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠(yuǎn)，在長(zhǎng)達(dá)一千多年間，一直作為中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書，并被公認(rèn)為世界數(shù)學(xué)古典名著之一。《九章算術(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。

2、中算發(fā)展的第二次高峰：數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展 三國(guó)演義（中國(guó)，1998）。

從公元220年?yáng)|漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期，也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后，學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起，在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期，是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。

《九章算術(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。

2.1 劉徽（魏晉，公元3世紀(jì)）（中國(guó)，2002），淄鄉(xiāng)（今山東鄒平縣）人，布衣數(shù)學(xué)家，于263年撰《九章算術(shù)注》，不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位，成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。

劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認(rèn)為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng)）。為方便計(jì)算，劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個(gè)值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家，并享有國(guó)際聲譽(yù)。

讓我們來(lái)體會(huì)劉徽的“割圓術(shù)”。

劉徽對(duì)π的估算值（密克羅尼西亞，1999）。

劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前，再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出：“從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量，劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。

劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法，到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。

2.2 祖沖之（429－500年），范陽(yáng)遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過(guò)一些小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推?！?/p>

祖沖之的著作《綴術(shù)》，取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設(shè)新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮(zhèn)江）從事史祖沖之，更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二?！?即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。

1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫（1875－1950年）在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱355/113為祖率。

祖沖之如何算出如此精密結(jié)果，《隋書·律歷志》寫道：“所著之書，名為《綴術(shù)》，學(xué)官莫能究其深?yuàn)W，是故廢而不理”?！毒Y術(shù)》失傳了，沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為，祖沖之除開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。

《綴術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理 ：冪勢(shì)既同則積不容異，在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（1598－1647年）獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。

在數(shù)學(xué)成就方面，整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家，主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)（604－672年）等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》（約656年），即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》（劉徽）、《孫子算經(jīng)》（約成書于公元400年，內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題）、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》（成書于公元6、7世紀(jì)，內(nèi)有“百雞問(wèn)題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經(jīng)》（張邱建，北魏清河（今邢臺(tái)市清河縣）人，約成書于公元466－485年間）、《綴術(shù)》（祖沖之）、《五曹算經(jīng)》（北周甄鸞（字叔遵，河北無(wú)極人）著）、《五經(jīng)算經(jīng)》（北周甄鸞著）和《緝古算經(jīng)》（約成書于626年前后，唐王孝通，內(nèi)有三次方程及其根，但沒(méi)有解題方法）。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平，是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書（公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。

3、中算發(fā)展的第三次高峰：數(shù)學(xué)全盛時(shí)期

社會(huì)背景：公元960年，北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)（907－960年）割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)，火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書的發(fā)達(dá)，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明（平民發(fā)明家畢升總結(jié)了歷代雕版印刷的豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn)，制成了膠泥活字，實(shí)行排版印刷，完成了印刷史上一項(xiàng)重大的革命，關(guān)于畢升的生平事跡，人們卻一無(wú)所知，幸虧畢升創(chuàng)造活字印刷術(shù)的事跡，比較完整地記錄在北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》里），給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上，整個(gè)宋元時(shí)期（960—1368年），重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化，以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù)，其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產(chǎn)。

下面介紹宋元時(shí)期的一些計(jì)算技術(shù)。3.1 賈憲三角

賈憲（約公元11世紀(jì)）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作，原書丟失，但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”，是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序，一種非常有效和高度機(jī)械化的算法。在此基礎(chǔ)上，賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”，因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形，以及另外一些類似的小問(wèn)題》。

算術(shù)三角形（利比里亞，1999）。3.2 隙積術(shù) 沈括（1030－1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學(xué)家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂(lè)城（今寧夏銀川附近）之戰(zhàn)”敗于西夏（1032－1227年）而結(jié)束政治生涯，經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后，開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢(mèng)溪筆談》（1093年）影響最大，內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑”。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng)，會(huì)圓術(shù)（解決由弦求孤的問(wèn)題）和隙積術(shù)（開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河）。

3.3天元術(shù)

李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時(shí)候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學(xué)，潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》，該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似，稱未知數(shù)為天元，“立天元一為某某”，相當(dāng)于“設(shè)x為某某”，可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試，在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云：“正算赤，負(fù)算黑”，李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便，便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù)。

“積財(cái)千萬(wàn)，不如薄技在身”。

李冶的天元術(shù)列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4 大衍術(shù)

秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué)，于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》，內(nèi)容分為九類：大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、賦役類、錢谷類、營(yíng)建類、軍旅類、市易類，其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。

《數(shù)書九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈Ο表示0號(hào)的著作。

一是發(fā)展了一次同余組解法，創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現(xiàn)稱中國(guó)剩余定理，所謂“求一”，通俗他說(shuō)，就是求“一個(gè)數(shù)的多少倍除以另一個(gè)數(shù)，所得的余數(shù)為一”）的一般解法。中算家對(duì)于一次同余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》（約公元400年）中的“物不知數(shù)問(wèn)題”（亦稱“孫子問(wèn)題”）：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何？?！秾O子算經(jīng)》給出的答案是23，但其算法很簡(jiǎn)略，未說(shuō)明其理論根據(jù)。秦九韶在《數(shù)書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤書》中給出了兩個(gè)一次同余問(wèn)題，但沒(méi)有一般算法，1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（1707－1783年）和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777－1855年）才對(duì)一次同余組進(jìn)行了深入研究，重新獲得與中國(guó)剩余定理相同的結(jié)果。

二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法，將賈憲的“增乘開(kāi)方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（現(xiàn)稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼（1765－1822年）才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題，而1819年英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開(kāi)方法”演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。

3.5 垛積術(shù)

楊輝（公元13世紀(jì)），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過(guò)地方官，足跡遍及錢塘、臺(tái)州、蘇州等地，是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作，它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進(jìn)行詳解，其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”，這是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”，其實(shí)是記載了賈憲的工作。

3.6 四元術(shù)

朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當(dāng)時(shí)的北方，正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期，朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后，終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。

中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng)，日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及，南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論，《四元玉鑒》遠(yuǎn)超《算學(xué)啟蒙》，它是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)（高次內(nèi)插公式）。

四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數(shù)最多可達(dá)四個(gè)，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會(huì)元”，其中四元布列意為即元?dú)猓ǔ?shù)項(xiàng)）居中，天元（未知數(shù)x）于下，地元（未知數(shù)y）于左，人元（未知數(shù)z）于右，物元（未知數(shù)u）于上，所以上述方程指“?x2?2x?xy2?xz?4y?4z?0”。

朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說(shuō)道：《四元玉鑒》，其法以元?dú)饩又?，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰?yáng)升降，進(jìn)退左右，互通變化，錯(cuò)綜無(wú)窮。

清代數(shù)學(xué)家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》中說(shuō)：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。

美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓（1884－1956年）說(shuō)：朱世杰是漢民族，他所生存時(shí)代的，同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。

3.7 內(nèi)插法

郭守敬（1231－1316年），順德邢臺(tái)（今河北邢臺(tái)）人，元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過(guò)度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就（包括沈括的會(huì)圓術(shù)），使用了三次內(nèi)插公式，在1280年完成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)定一年為365.2425天，比地球繞太陽(yáng)一周的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間只差26秒，早于歐洲1582年開(kāi)始使用的“格里歷”300年，使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年（1281－1643年），中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。

此外，1276年，郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測(cè)影器，制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高表、窺（kuí）幾、仰儀、日晷（guǐ）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封觀星臺(tái)留存至今。古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時(shí)期創(chuàng)造的宋元算法，如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開(kāi)方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。

4、中算的衰落

朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物，是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元（960－1368年）數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)中、后葉，明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體，在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明初起300余年內(nèi)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退，致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作，而且在18世紀(jì)中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前，像“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。

中國(guó)與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。

思考題

1、簡(jiǎn)述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。

2、用數(shù)列極限證明：圓內(nèi)椄正6?2^{n}邊形的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)。

3、《九章算術(shù)》在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何？

4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法的異同。

5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義？談?wù)勀睦碛伞?/p>

6、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。

第四講：中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II 主要內(nèi)容：印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)，簡(jiǎn)述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。

1、印度數(shù)學(xué)（公元5－12世紀(jì)）背景：古印度簡(jiǎn)況 印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀(jì)中葉出現(xiàn)在印度西北部，逐漸向南擴(kuò)張。雅利安（梵（fàn）文，原意是“高貴的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民達(dá)羅毗荼人，影響逐漸擴(kuò)散到整個(gè)印度，在到達(dá)以后的第一個(gè)千年里，創(chuàng)造了書寫和口語(yǔ)的梵文，在印度創(chuàng)立了更為持久的文明，印度土著文化從此衰微不振。吠陀教也是雅利安人創(chuàng)造的，這是印度最古老而又有文字記載的宗教。可以說(shuō)，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵語(yǔ)之上。

史前時(shí)期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民開(kāi)始使用文字； 哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地區(qū)發(fā)掘發(fā)現(xiàn)）：前2300－前1750年，印度河流域出現(xiàn)早期國(guó)家；

早期吠陀時(shí)代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀時(shí)代開(kāi)始，印度文明的中心漸次由西向東推進(jìn)到恒河流域，后雅利安人侵入印度；

后期吠陀時(shí)代：前900－前600年，雅利安人的國(guó)家形成，婆羅門教形成； 列國(guó)時(shí)代：前6－前4世紀(jì)，摩揭陀國(guó)在恒河流域中部稱霸，開(kāi)始走上統(tǒng)一北印度的道路，佛教產(chǎn)生；

帝國(guó)時(shí)代：前4－公元4世紀(jì)，從孔雀王朝到貴霜帝國(guó)；

印度歷史上曾出現(xiàn)過(guò)強(qiáng)盛的王朝，如孔雀王朝（前324－前187年）、笈多王朝（公元320－540年），但總體而言，整個(gè)古代和中世紀(jì)，富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵?jǐn)_之下，如波斯帝國(guó)、馬其頓帝國(guó)、貴霜帝國(guó)的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占，所以古代印度文化不可避免地呈現(xiàn)出多元復(fù)雜的背景，最顯著的特色是其宗教性。

印度的宗教主要是婆羅門教、印度教，梵天是婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神。婆羅門教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世紀(jì)。公元前6世紀(jì)－公元4世紀(jì)是婆羅門教的鼎盛時(shí)期，公元4世紀(jì)以后，由于佛教和耆（qí）那（梵文，本意“勝利者”或“征服者”）教的發(fā)展，婆羅門教開(kāi)始衰弱。公元8、9世紀(jì)，婆羅門教吸收了佛教和耆那教的一些教義，結(jié)合印度民間的信仰，經(jīng)商羯羅改革，逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門教沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別，其教義基本相同，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報(bào)、人生輪回，輪回的形態(tài)取決于現(xiàn)世的行為，只有達(dá)到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。

印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期（約公元前3000－前1400年）、吠陀時(shí)期（約公元前10－前3世紀(jì)）、悉檀多時(shí)期（公元5－12世紀(jì)）。

1.1 吠陀時(shí)期（公元前10－前3世紀(jì)）

《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意為知識(shí)、光明）是印度雅利安人的作品，成書于公元前15－前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀(jì)）是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分（釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)摩·悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。

阿育王（在位年代約為公元前268－前232年）是印度第一個(gè)信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊爾，1996）記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。

公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)，可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書寫在樺樹(shù)皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利當(dāng)時(shí)和古代大部分時(shí)間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼，其中有“?”（點(diǎn)）表示0，后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”，這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成，有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。

印度頭等重要的天文學(xué)著作，無(wú)名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書》（梵文，意思是太陽(yáng)的知識(shí)，相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著）大約是公元5世紀(jì)所寫（1860年被譯為英文）。印度數(shù)學(xué)從這個(gè)時(shí)期開(kāi)始對(duì)天文學(xué)比對(duì)宗教更有用。

1.2 “悉檀多”時(shí)期（公元5世紀(jì)－12世紀(jì)）

悉檀多是梵文，佛教術(shù)語(yǔ)，為“宗”或“體系”之意，意譯為“歷數(shù)書”。這是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，是以計(jì)算為中心的實(shí)用數(shù)學(xué)的時(shí)代，數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家。

1.2.1阿耶波多（公元476－約550年）

在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星（印度，1975）。最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》（圣使天文書）傳世（相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代），最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來(lái)），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”（原意為“粉碎”）法。

1.2.2 婆羅摩笈多（598－約665年）

印度古天文臺(tái)：烏賈因天文臺(tái)。在這段時(shí)間（中國(guó)的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無(wú)論東方還是西方）都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長(zhǎng)大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺(tái)工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開(kāi)端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。

1.2.3婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）

印度的第二顆人造衛(wèi)星“婆什迦羅號(hào)”（1979）。

印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德?tīng)?，成年后?lái)到烏賈因天文臺(tái)工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來(lái)還做了這家天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。

古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年，中國(guó)的南宋時(shí)期），其中有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。

《算法本源》主要探討代數(shù)問(wèn)題?！独蚶值佟罚ㄔ狻懊利悺保囊粋€(gè)印度教信徒的祈禱開(kāi)始展開(kāi)，講的是算術(shù)問(wèn)題，流傳著一個(gè)浪漫的故事。

《莉拉沃蒂》中的一個(gè)算術(shù)問(wèn)題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個(gè)乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根據(jù)反演法，從2這個(gè)數(shù)開(kāi)始回推，于是（2?10－8）^2＝144，144＋52＝196，196＝14，14?（3/2）?7?（4/7）/3=28，答案是28。

由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特點(diǎn)?，F(xiàn)代初等算術(shù)運(yùn)算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀(jì)，它被阿拉伯人采用，后來(lái)傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算術(shù)家們的充分注意。

與算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘（雖然發(fā)明了零號(hào)），且多半是經(jīng)驗(yàn)的，很少給出推導(dǎo)和證明。

2、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（公元8－15世紀(jì)）背景：阿拉伯簡(jiǎn)況

阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時(shí)是一個(gè)遠(yuǎn)離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū)，穆罕默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個(gè)全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來(lái)歷，它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。

四大哈里發(fā)時(shí)期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四個(gè)繼任者，哈里發(fā)為阿拉伯文的音譯，意為真主使者的“繼承人”。

以“圣戰(zhàn)”為名進(jìn)行大規(guī)模的武力擴(kuò)張，為阿拉伯帝國(guó)的建立奠定了基礎(chǔ)。大約在650年，依據(jù)穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經(jīng)》（伊斯蘭教的最根本經(jīng)典，伊斯蘭教義的最高準(zhǔn)則和綱領(lǐng)，伊斯蘭教法的立法依據(jù)，由先知穆罕默德從610－632年歷時(shí)22年的傳教過(guò)程中陸續(xù)頒布的）問(wèn)世，被穆斯林認(rèn)為是上天的啟示。

《圣訓(xùn)》（穆罕默德闡釋《古蘭經(jīng)》和實(shí)踐伊斯蘭教理的言行錄）中說(shuō)：學(xué)問(wèn)雖遠(yuǎn)在中國(guó)，亦當(dāng)求之。

倭（wō）馬亞王朝時(shí)期（661－750年）：主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族，因此他們把首都遷至大馬士革，遵奉伊斯蘭教的遜尼派（正統(tǒng)派），崇尚白色，中國(guó)史籍稱“白衣大食”。倭馬亞王朝發(fā)動(dòng)大規(guī)模的對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng)，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亞，南達(dá)北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國(guó)。迄今為止，這可能是人類歷史上最大的帝國(guó)。

倭馬亞王朝的不斷擴(kuò)張和森嚴(yán)的等級(jí)統(tǒng)治逐漸激起了尖銳的階級(jí)矛盾。各教派和各族人民的反抗斗爭(zhēng)不斷發(fā)生。在今天的伊朗一帶崛起了一個(gè)新的教派——阿拔斯派。他們利用東方各地人民起義的力量推翻了倭馬亞王朝的統(tǒng)治，750年，盛極一時(shí)的“白衣大食”滅亡了。

阿拔斯王朝時(shí)期（750－1258年）：阿拉伯帝國(guó)第二個(gè)封建王朝，因其旗幟尚黑，中國(guó)史籍稱“黑衣大食”。750年，由阿拉伯貴族艾布·阿拔斯（750－754年在位）創(chuàng)建，故名。

755年阿拉伯帝國(guó)分裂為兩個(gè)獨(dú)立王國(guó)，東部王國(guó)阿拔斯王朝762年遷都巴格達(dá)，750－842年是帝國(guó)的極盛時(shí)代，哈里發(fā)哈龍?蘭希（公元786－808年統(tǒng)治巴格達(dá)）因《天方夜譚》（又名《一千零一夜》）而為人們所熟知，巴格達(dá)成為阿拉伯人創(chuàng)建的“一座舉世無(wú)雙的城市”，國(guó)際貿(mào)易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期（750－850年）的100年是阿拉伯文化的飛速發(fā)展時(shí)期，同時(shí)也是譯述活動(dòng)的繁榮時(shí)期，希臘語(yǔ)占首位，其次是古敘利亞語(yǔ)、波斯語(yǔ)、梵語(yǔ)、希伯來(lái)語(yǔ)和奈伯特語(yǔ)，許多重要的學(xué)術(shù)著作在政府的規(guī)劃下有組織、有領(lǐng)導(dǎo)地被譯成阿拉伯文，史稱“百年翻譯運(yùn)動(dòng)”。9世紀(jì)中葉后，王朝進(jìn)入分裂和衰落時(shí)代，1258年蒙古軍隊(duì)攻陷巴格達(dá)。

麥加城大清真寺：伊斯蘭教第一圣寺。阿拉伯人之所以重視天文學(xué)，是因?yàn)樗麄冃枰榔矶\的準(zhǔn)確時(shí)間（每天5次），使廣大帝國(guó)內(nèi)的臣民在祈禱時(shí)能夠明辨方向（面朝麥加）?？梢哉f(shuō)，阿拉伯人對(duì)數(shù)學(xué)的需要主要是通過(guò)天文學(xué)和占星術(shù)（根據(jù)天象來(lái)預(yù)卜人間事務(wù)的一種方術(shù)）等。

伊斯坦布爾的天文學(xué)家（1971）。

9－15世紀(jì)阿拉伯科學(xué)繁榮了600年，創(chuàng)立了文化中心巴格達(dá)（波斯語(yǔ)，“神賜的禮物”）。公元830年，哈里發(fā)麥蒙（公元809－833年統(tǒng)治巴格達(dá)）下令在巴格達(dá)建造了智慧宮，這里面有巨大的圖書館、觀象臺(tái)、研究院，是一個(gè)集圖書館、科學(xué)院和翻譯局于一體的聯(lián)合機(jī)構(gòu)，掀起了著名的翻譯運(yùn)動(dòng)，包括《原本》、《圓錐曲線》和《天文學(xué)大成》等在內(nèi)的希臘天文、數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成了阿拉伯文。無(wú)論從哪方面來(lái)看，它都是公元前3世紀(jì)亞歷山大圖書館建立以來(lái)最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)。很快，它就成為世界的學(xué)術(shù)中心，形成后人所謂的“巴格達(dá)學(xué)派”，研究的內(nèi)容包括哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)、機(jī)械、建筑、伊斯蘭教教義或阿拉伯語(yǔ)語(yǔ)法學(xué)，等等。

阿拉伯科學(xué)（突尼斯，1980）。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國(guó)的文化，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，消化希臘數(shù)學(xué)，吸收印度數(shù)學(xué)，對(duì)文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的進(jìn)步有深刻的影響。最突出的事實(shí)：值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上的大量精神財(cái)富的保存者，在黑暗時(shí)代過(guò)去之后，這些精神財(cái)富得以傳給歐洲人。

2.1 早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（8世紀(jì)中葉－9世紀(jì)）

阿爾·花拉子米（783－850年）（蘇聯(lián)，1983），生于波斯北部花拉子模地區(qū)（今烏茲別克境內(nèi)），813年來(lái)到巴格達(dá)，后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對(duì)消概要》，以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強(qiáng)、通俗易懂和聯(lián)系實(shí)際等特點(diǎn)被奉為“代數(shù)教科書的鼻祖”，1140年被羅伯特（英）譯成拉丁文傳入歐洲，成為歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書，這也使得花拉子米成為中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，這對(duì)東方數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)十分罕見(jiàn)。阿拉伯語(yǔ)的“al-jabr”意為還原，即移項(xiàng)，傳入歐洲后，到14世紀(jì)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代數(shù)），因此花拉子米的上述著作通常稱為《代數(shù)學(xué)》?？梢哉f(shuō)，正如埃及人發(fā)明了幾何學(xué)，阿拉伯人命名了代數(shù)學(xué)。

《代數(shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問(wèn)題簡(jiǎn)單，但它探討了一般性解法，因而遠(yuǎn)比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數(shù)?！洞鷶?shù)學(xué)》中關(guān)于三項(xiàng)二次方程的求解。

花拉子米的另一本書《印度計(jì)算法》，系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，12世紀(jì)，這本書便傳入歐洲并廣為傳播（其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書館），所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。

976年的西班牙數(shù)碼。

印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼用較少的符號(hào)，最方便地表示一切數(shù)和運(yùn)算，給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)很大的方便，是一一項(xiàng)卓越的偉大貢獻(xiàn)。它傳入歐洲以后，加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對(duì)這套集體智慧的發(fā)現(xiàn)贊美不絕。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749－1827年）寫道：“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以至我們忽視了它的真正偉績(jī)，簡(jiǎn)直無(wú)法估計(jì)它的奇妙程度。而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。”

印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼13世紀(jì)傳入我國(guó)，是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時(shí)西方帶進(jìn)來(lái)的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼，中國(guó)人沒(méi)有采用它。公元16世紀(jì)，西洋歷算書大量輸入我國(guó)，原著上的印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，我國(guó)一律用中國(guó)數(shù)碼一、二、三等改譯出來(lái)。光緒十一年（公元1885年）上海出版了一本用上?？谝糇g出的西算啟蒙書，書中正式出現(xiàn)了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年，美國(guó)傳教士狄考文（W.M.Calvin, 1836－1908年）和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書，首次正式采用了印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，數(shù)字是按書籍直寫的。直到1902－1905年，中國(guó)數(shù)學(xué)教科書或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度－阿拉伯?dāng)?shù)字，并且一律與西洋算書一樣橫排。

阿拉伯的三角學(xué)。

阿爾·巴塔尼（858－929年），出生于哈蘭（今土耳其東南部），對(duì)希臘三角學(xué)系統(tǒng)化的工作，最重要的著作《歷數(shù)書》（或《天文論著》、《星的科學(xué)》）中發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個(gè)經(jīng)常變動(dòng)的橢圓，創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果，對(duì)中世紀(jì)歐洲影響最大的天文學(xué)家。

2.2 中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（10－12世紀(jì)）

奧馬·海雅姆（1048－1131年）（阿爾巴尼亞，1997），出生于波斯東北部霍拉桑地區(qū)（今伊朗東北部），受命在伊斯法罕（今伊朗西部）天文臺(tái)負(fù)責(zé)歷法改革工作，編制了中世紀(jì)最精密的歷法“哲拉里歷”（在平年365天的基礎(chǔ)上，每33年增加8個(gè)閏日。這樣一來(lái)，與實(shí)際的回歸年僅相差19.37秒，即每4460年才誤差一天，比現(xiàn)在全世界實(shí)行的公歷，每400年置97個(gè)閏日，還要準(zhǔn)確），在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》（1070），最杰出的貢獻(xiàn)是研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論。這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切，可惜在1851年以前歐洲人并不了解他的這種解析幾何方法。此外，他在證明歐幾里得平行公設(shè)方面也做了有益的嘗試。

奧馬·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建），“海亞姆”指制造或經(jīng)營(yíng)帳篷的職業(yè)。

阿爾·比魯尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973），出生于波斯花拉子模城的比倫郊區(qū)，三角學(xué)理論的貢獻(xiàn)是利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表，證明了一些三角公式，如正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，提出地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)，太陽(yáng)是宇宙中心的思想等。

2.3 后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)（13－15世紀(jì)）

納西爾丁·圖西（1201－1274年）（伊朗，1956），出生于波斯的圖斯城（也屬霍拉桑地區(qū)，今伊朗境內(nèi)），最重要的數(shù)學(xué)著作《論完全四邊形》是數(shù)學(xué)史上流傳至今最早的三角學(xué)專著。在此以前，三角學(xué)知識(shí)只出現(xiàn)于天文學(xué)的論著中，是附屬于天文學(xué)的一種計(jì)算方法，納西爾丁的工作使得三角學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支，對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起重要的作用。正是在這部書里，首次陳述了著名的正弦定理。

阿爾·卡西（1380－1429年）（伊朗，1979），出生于卡尚（今屬伊朗），在撒馬爾罕（帖木兒王國(guó)都城，今屬烏茲別克）創(chuàng)建天文臺(tái)，并出任第一任臺(tái)長(zhǎng)，百科全書《算術(shù)之鈅》（1427），在數(shù)學(xué)上取得了兩項(xiàng)世界領(lǐng)先的成就，一是圓周率的計(jì)算，1424年一直算到了正3·2^28邊形的周長(zhǎng)以給出π的17位精確值，二是給出sin1°的精確值。人們常以他的卒年（1429）作為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的終結(jié)。

恰好這個(gè)時(shí)候，歐洲的文藝復(fù)興之火開(kāi)始在亞平寧半島（意大利南部）點(diǎn)燃。

3、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)（5－14世紀(jì)）主要內(nèi)容：黑暗時(shí)期、科學(xué)復(fù)蘇。

從公元476年西羅馬帝國(guó)滅亡到14世紀(jì)文藝復(fù)興長(zhǎng)達(dá)1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀(jì)。

公元5－11世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期，教會(huì)成為歐洲社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力，宣揚(yáng)天啟真理，追求來(lái)世，淡漠世俗生活，對(duì)自然不感興趣。

3.1 教會(huì)統(tǒng)治

猶太教最神圣的露天會(huì)堂：哭墻（耶路撒冷圣殿山，猶太人把這座墻視為他們信仰和團(tuán)結(jié)的象征。據(jù)傳說(shuō)，當(dāng)羅馬人占領(lǐng)耶路撒冷時(shí)，猶太人經(jīng)常聚集在這里舉行宗教儀式。他們每每追憶往事，回想起所羅門圣殿被毀的情景，不免嚎啕大哭一場(chǎng)。后來(lái)常有猶太人來(lái)到這里哭號(hào)，“哭墻”因而得名。如今，每到猶太教安息日，仍然有人到“哭墻”表示哀悼）。

基督教是當(dāng)今世界上傳播最廣，信徒人數(shù)最多的宗教。公元一世紀(jì)中葉，基督教產(chǎn)生于巴勒斯坦，“基督”一詞是古希臘語(yǔ)的譯音，意為“救世主”?；浇痰膭?chuàng)始人是耶穌。耶穌是上帝耶和華之子，他出生在巴勒斯坦北部的加利利的拿撒勒，母親名叫瑪利亞，父親叫約瑟?，斃麃單幢挥⑶埃レ`降臨在她身上，使她懷孕。約瑟一度想休了瑪利亞，但受了天使的指示，仍把她娶了過(guò)來(lái)。耶穌30歲時(shí)受了約翰的洗禮，堅(jiān)定了他對(duì)上帝的信念。此后，耶穌就率領(lǐng)彼得、約翰等門徒四處宣傳福音，引起了猶太貴族和祭司的恐慌，他們收買了耶穌的門徒猶大，把耶穌釘死在了十字架上。但三天以后，耶穌復(fù)活，向門徒和群眾顯現(xiàn)神跡，要求他們?cè)诟鼜V泛的范圍內(nèi)宣講福音。從此，信奉基督教的人越來(lái)越多，他們把基督教傳播到世界各地。

基督教的經(jīng)典是《圣經(jīng)》（《舊約》、《新約》），記述的都是上帝的啟示，是基督教徒信仰的總綱和處世的規(guī)范，是永恒的真理。據(jù)《圣經(jīng)》記載，耶穌和他們的門徒會(huì)并一起進(jìn)行了“最后的晚餐”，在晚餐上就坐的正好是13個(gè)人，耶穌是被他的第13個(gè)門徒猶大出賣的。13就成了不吉利的數(shù)字了。

135年從猶太教中分裂出來(lái)成為獨(dú)立的宗教。

土耳其君士坦丁堡索非亞大教堂（建于532－537年，2008年4月3日北京奧運(yùn)圣火途經(jīng)之地）。

基督教產(chǎn)生不久，就逐漸形成拉丁語(yǔ)系的西派和希臘語(yǔ)的東派。東派以君士坦丁堡為中心，西派以羅馬為中心，天主教就是從西派的基礎(chǔ)上演化而來(lái)的。

在古代基督教中，西派不占優(yōu)勢(shì)。5世紀(jì)時(shí)外族侵?jǐn)_帝國(guó)西部，西羅馬當(dāng)局已無(wú)力支撐局面，羅馬主教利奧一世利用其影響，一度使羅馬免遭匈奴入侵，這使羅馬主教的威信大大提高，得以居于意大利、北非、西班牙、高盧一帶拉丁語(yǔ)系教會(huì)的首位。476年，西羅馬帝國(guó)滅亡。5世紀(jì)末起至10世紀(jì)，羅馬主教和羅馬教會(huì)逐步確立了在整個(gè)西派教會(huì)中的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)地位。5世紀(jì)起，東西兩派矛盾日益尖銳，863年和867年，出現(xiàn)了羅馬主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提烏相互革除對(duì)方教籍的嚴(yán)重局面。1054年，東西兩派正式分裂，東派自稱正教，西派自稱公教。天主教會(huì)及其教皇制，作為獨(dú)特的單一教會(huì)和體制至此正式確立。

羅馬公教也稱天主教，因?yàn)?6世紀(jì)傳入中國(guó)后，因其信徒將所崇奉的神稱為“天主”，因而在中國(guó)被稱為天主教。

16世紀(jì)中葉，羅馬公教派生出新教派，統(tǒng)稱“新教”，在中國(guó)稱為“耶穌教”。所以，基督教是公教、東正教和新教三大教派的總稱。

圣彼得教堂（梵蒂岡，建于1506－1626年）。

公元392年，基督教成為羅馬帝國(guó)的國(guó)教。5世紀(jì)末起至10世紀(jì)，羅馬主教和羅馬教會(huì)逐步確立了在整個(gè)西派教會(huì)中的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)地位，基督教逐漸成為中世紀(jì)歐洲封建社會(huì)的主要精神支柱。

5－11世紀(jì)，成為歐洲歷史上的黑暗時(shí)期。

梵蒂岡在拉丁語(yǔ)中意為“先知之地”。1929年，意大利政府同教皇簽訂了“拉特蘭條約”，承認(rèn)梵蒂岡為主權(quán)國(guó)家，其主權(quán)屬教皇。

中世紀(jì)基督教日益封建化，整個(gè)社會(huì)以宗教和神學(xué)為核心，科學(xué)思想是異端邪說(shuō)。由于羅馬人偏重于實(shí)用而沒(méi)有發(fā)展抽象數(shù)學(xué)，對(duì)羅馬帝國(guó)崩潰后的歐洲數(shù)學(xué)也有一定的影響，終使黑暗時(shí)代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無(wú)成就。造成數(shù)學(xué)落后的原因是多方面的，主要是戰(zhàn)火連綿，神學(xué)一統(tǒng)天下?！妒ソ?jīng)》是最根本的知識(shí)，教徒整日研讀圣經(jīng)，視科學(xué)是神學(xué)的婢女，神學(xué)被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”，甚至反對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的條款規(guī)定：“絕對(duì)禁止應(yīng)受到取締的數(shù)學(xué)藝術(shù)”。數(shù)學(xué)的發(fā)展受到沉重的打擊。

因宗教教育的需要，也出現(xiàn)一些水平低下的初級(jí)算術(shù)與幾何教材。羅馬人博埃齊（約480－524年）主要以哲學(xué)家留名青史，他的哲學(xué)是古希臘羅馬哲學(xué)到中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的過(guò)渡，在數(shù)學(xué)方面，根據(jù)希臘材料用拉丁文選編了《幾何學(xué)》（《原本》第1、3、4卷部分內(nèi)容）、《算術(shù)入門》等教科書，成為中世紀(jì)早期歐洲人了解希臘科學(xué)的唯一來(lái)源，他的眾多著作為傳播希臘羅馬文化，為普及百科知識(shí)，在長(zhǎng)達(dá)千年的歷史上起了重要作用。公元522年博埃齊被誣控叛國(guó)罪而遭監(jiān)禁，524年被處決。

法國(guó)人熱爾拜爾（938－1003年）（法國(guó)，1964）999年當(dāng)選為羅馬教皇，提倡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，翻譯了一些阿拉伯科學(xué)著作，把印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼帶入歐洲。3.2 科學(xué)復(fù)蘇

貿(mào)易與旅游的發(fā)展，歐洲出現(xiàn)新興的城市，歐洲人開(kāi)始與阿拉伯人、拜占庭人發(fā)生接觸，了解阿拉伯、希臘的文化，創(chuàng)立了大學(xué)（1088年博洛尼亞大學(xué)，1160年巴黎大學(xué)，1167年牛津大學(xué)，1209年劍橋大學(xué)，1222年帕多瓦大學(xué)，1224年那不勒斯大學(xué)）。

“十字軍東征”（1096－1291年）。

十字軍東征是西歐封建主、大商人和天主教會(huì)以維護(hù)基督教為名，對(duì)地中海東岸地區(qū)發(fā)動(dòng)的侵略性遠(yuǎn)征。因東侵軍隊(duì)的衣服上均有紅十字的標(biāo)記，故稱為十字軍。1095年，羅馬教皇在法國(guó)召開(kāi)宗教大會(huì)，宣布組成十字軍遠(yuǎn)征，從異教徒（穆斯林）手中奪回圣城耶路撒冷。

東侵活動(dòng)從1096年起，到1291年止，歷時(shí)近200年，大規(guī)模的侵略共8次。第一次東征（1096—1099年）攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒冷王國(guó)。第四次東征（1202年—1204年）攻陷了拜占庭帝國(guó)，在巴爾干建立拉丁帝國(guó)。歷次東侵所占據(jù)點(diǎn)后來(lái)不斷喪失，1291年最后據(jù)點(diǎn)阿克城失守，標(biāo)志著十字軍東征徹底失敗。

十字軍東征對(duì)地中海沿岸國(guó)家人民帶來(lái)了深重災(zāi)難，西歐各國(guó)人民也損失慘重。幾十萬(wàn)十字軍死亡，同時(shí)教廷和封建主卻取得了大量的財(cái)富。十字軍東征也促進(jìn)了東西方文化的交流，使西歐人大開(kāi)眼界，進(jìn)入了阿拉伯世界。從此，歐洲人了解到了希臘及東方古典學(xué)術(shù)，對(duì)這些學(xué)術(shù)著作的搜求、翻譯和研究，科學(xué)開(kāi)始復(fù)蘇，加速了西歐手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展。

12世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的大翻譯時(shí)期，希臘人的著作被阿拉伯文譯成拉丁文后，“在驚訝的西方面前展示了一個(gè)新的世界”。

阿德拉特（英，1090－1150年）——《原本》和花拉子米的天文表。杰拉德（意，1114－1187年）——《天文學(xué)大成》、《原本》、《圓錐曲線》、《圓的度量》。

基督教興起后，希臘的一切都被視為異端而被滅絕，只有柏拉圖的哲學(xué)，經(jīng)過(guò)教會(huì)的改造而成為基督教神學(xué)的基礎(chǔ)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經(jīng)院哲學(xué)（著有《神學(xué)大全》，被認(rèn)為是基督教的百科全書，后世稱之為托馬斯主義），對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義，經(jīng)院哲學(xué)的主要任務(wù)是從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在（托馬斯提出了著名的證明上帝存在的5種論證，對(duì)后世有重大影響）。以亞里士多德的宇宙觀為基礎(chǔ)的托勒密體系，成為被教會(huì)認(rèn)可的神圣不可侵犯的天文學(xué)體系。

歐洲人了解到希臘和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，構(gòu)成后來(lái)歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契（意，約1170－1250年），他隨父親到印度、埃及、阿拉伯和希臘等地旅行，通過(guò)廣泛地學(xué)習(xí)和認(rèn)真研究，掌握了許多計(jì)算技術(shù)，回到意大利后，編著了代表作《算盤書》（1202，1228），主要是一些源自古代中國(guó)、印度和希臘的科學(xué)問(wèn)題的匯集，書中系統(tǒng)介紹了印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼，對(duì)改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大的影響，是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。

1228年《算盤書》修訂后還載有如下“兔子問(wèn)題”：

某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對(duì)小兔，假定每對(duì)兔子每月生一對(duì)小兔，而小兔出生后兩個(gè)月就能生育。問(wèn)從這對(duì)兔子開(kāi)始，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子？

對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答，導(dǎo)致了著名的“斐波那契數(shù)列”。

13世紀(jì)，整個(gè)拉丁世界數(shù)學(xué)無(wú)大進(jìn)展，而14世紀(jì)相對(duì)是數(shù)學(xué)上的不毛之地，因?yàn)橐皇前l(fā)生了英法“百年戰(zhàn)爭(zhēng)”（1337－1453年）使政治**，環(huán)境不安定（戰(zhàn)爭(zhēng)的導(dǎo)火線主要是王位繼承問(wèn)題；1337－1360英勝，1369－1396年法幾乎收復(fù)全部失地，雙方締結(jié)20年停戰(zhàn)協(xié)定，1415－1428年英勝，1429－1453年法領(lǐng)土全部收復(fù)，至此百年戰(zhàn)爭(zhēng)以法的勝利而結(jié)束）；二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，掃蕩了歐洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知識(shí)（1348－1352年，“黑死病”把歐洲變成了死亡陷阱，這條毀滅之路斷送了歐洲三分之一的人口，總計(jì)約2500萬(wàn)人）；三是煩瑣哲學(xué)的思想仍在束縛科學(xué)，壓得科學(xué)家抬不起頭，只好把精力消磨在神學(xué)和形而上學(xué)的奇妙莫測(cè)的無(wú)聊問(wèn)題論證上，如“一根針尖上可以站立多少個(gè)天使？”“蒼蠅有多少根胡須？”

科學(xué)在歐洲的復(fù)蘇，加速了歐洲手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展，最終導(dǎo)致了文藝復(fù)興時(shí)期歐洲數(shù)學(xué)的高漲。

思考題

1、印度數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展最重要的貢獻(xiàn)是什么？他們的數(shù)學(xué)發(fā)展有何重要貢獻(xiàn)？

2、有關(guān)零號(hào)“0”的歷史。

3、簡(jiǎn)述阿爾·花拉子米的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。

4、論述阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對(duì)保存希臘數(shù)學(xué)、傳播東方數(shù)學(xué)的作用。

5、試說(shuō)明：古代東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是以計(jì)算為中心的實(shí)用化數(shù)學(xué)。

6、求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。

第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

主要介紹15－17世紀(jì)初的東西方數(shù)學(xué)，內(nèi)容有文明背景、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)、15－17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)。

1、文明背景 1.1 文藝復(fù)興

14世紀(jì)可以看做是文藝復(fù)興的開(kāi)始。文藝復(fù)興是指14世紀(jì)意大利各城市興起（一般認(rèn)為第一個(gè)代表人物是但丁（意，1265－1321年），代表作為《神曲》（寫于1307－1321年），他的作品首先以含蓄的手法批評(píng)和揭露中世紀(jì)宗教統(tǒng)治的腐敗和愚蠢），15世紀(jì)后期起擴(kuò)展到西歐各國(guó)，16世紀(jì)在歐洲盛行的一場(chǎng)思想文化運(yùn)動(dòng)。

這場(chǎng)斗爭(zhēng)是在“復(fù)興古典學(xué)術(shù)和藝術(shù)”的旗號(hào)掩蔽下進(jìn)行的，那些從羅馬廢墟中發(fā)掘出來(lái)的古代文物，意大利各寺院里清理出來(lái)的古舊藏書，以及后來(lái)拜占庭滅亡時(shí)搶救出來(lái)的手抄本，都展現(xiàn)在學(xué)者面前。

意大利文藝復(fù)興盛期三杰：達(dá)?芬奇（1452－1519年），代表作有“最后的晚餐”、“蒙娜麗莎”（說(shuō)不盡的蒙娜麗莎，這是一個(gè)永遠(yuǎn)探討不完的問(wèn)題。自問(wèn)世至今，將近五百年，后人不知做過(guò)多少品評(píng)和揣測(cè)，留下越來(lái)越多的迷局。當(dāng)今，世上有研究《蒙娜麗莎》的專著數(shù)百部，而有近百名學(xué)者將此畫作為終身課題。時(shí)間的推移不會(huì)使疑團(tuán)得到解決，只會(huì)隨著研究的深入，將更多的疑惑留給后人。2007年海德堡大學(xué)專家宣稱，通過(guò)分析圖書館內(nèi)一本約500年歷史的藏書頁(yè)空白處潦草的筆記，他們可以確認(rèn)，這位有著神秘微笑的女子閨名麗莎·蓋拉爾迪尼，是意大利佛羅倫薩布商弗朗切斯科·德焦孔多的妻子。文件標(biāo)注日期為1503年10月，與專家判斷作品完成的大致時(shí)間1503至1506年間剛好吻合），重視數(shù)學(xué)，“不懂?dāng)?shù)學(xué)的人不要讀我的書”，“凡是和數(shù)學(xué)沒(méi)有聯(lián)系的地方，都不是可靠的”；米開(kāi)朗琪羅（1475－1564年），代表作“大衛(wèi)”、“摩西”、圣彼得大教堂；拉斐爾（1483－1520年），代表作“雅典學(xué)院”。

“人文主義”思想是文藝復(fù)興的靈魂和中心，主張以世俗的“人”為中心，歌頌人性、反對(duì)神性，提倡人權(quán)、反對(duì)神權(quán)，提倡個(gè)性自由、反對(duì)宗教禁錮，贊頌世俗生活、反對(duì)來(lái)世觀念和禁欲主義。

在這歷時(shí)約200年的歷史中，帶來(lái)一段科學(xué)與藝術(shù)革命時(shí)期，揭開(kāi)了現(xiàn)代歐洲歷史的序幕，使得知識(shí)界的面貌大大改觀，也使數(shù)學(xué)活動(dòng)以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起，被認(rèn)為是中古時(shí)代和近代的分界。

1.2 技術(shù)進(jìn)步

歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的主要成就之一，是在15世紀(jì)后半葉開(kāi)始產(chǎn)生近代自然科學(xué)。

四大發(fā)明相繼傳入歐洲。

火藥：大約在公元8、9世紀(jì)時(shí)，中國(guó)火藥的主要原料—硝石已傳到了阿拉伯、波斯等地。13世紀(jì)，蒙古軍隊(duì)西征時(shí)，火器傳到阿拉伯，歐洲人首先是西班牙人，在13世紀(jì)后期通過(guò)阿拉伯人的著作才知道火藥。14世紀(jì)初，阿拉伯國(guó)家攻打西班牙時(shí)，使用火藥和火器，歐洲人于是開(kāi)始接觸到火藥和火器，并學(xué)習(xí)制造，從14世紀(jì)歐洲開(kāi)始使用火藥和一些火器。

造紙：造紙術(shù)首先傳入與我國(guó)毗鄰的朝鮮和越南隨后傳到了日本，大概是在公元105年。公元751年（唐玄宗十年），唐安西節(jié)度使高仙芝率部與阿拉伯帝國(guó)沙利將軍的軍隊(duì)在怛羅斯城（今哈薩克斯坦的江布爾）交戰(zhàn)，唐軍大敗，被俘士兵中有從軍的造紙工人，中國(guó)的造紙術(shù)傳到了巴格達(dá)。歐洲人是通過(guò)阿拉伯人了解造紙技術(shù)的，最早接觸紙和造紙技術(shù)的歐洲國(guó)家是一度為阿拉伯人統(tǒng)治的西班牙，公元1150年，阿拉伯人在西班牙的薩狄瓦，建立了歐洲第一個(gè)造紙場(chǎng)。13世紀(jì)，造紙術(shù)傳入了葡萄牙，繼而傳入歐洲。

印刷術(shù)：中國(guó)的印刷術(shù)已經(jīng)在11世紀(jì)傳到東南亞諸國(guó)?；钭钟∷⑿g(shù)傳到歐洲是在14世紀(jì)，從我國(guó)新疆沿中亞、西亞逐步傳到歐洲的。1450－1455年約翰·古騰堡（德，1400－1468年）用金屬活字印出歐洲第一套《拉丁文文法》。盡管如此，認(rèn)為畢昇是位特別有影響的人物是不對(duì)的。首先，歐洲并不是從中國(guó)學(xué)會(huì)制造活字，而是獨(dú)立發(fā)明的。其次，中國(guó)從西方學(xué)到現(xiàn)代印刷術(shù)是相當(dāng)近期的事，在此之前活字印刷術(shù)從來(lái)沒(méi)有得到普遍使用。

指南針：指南針發(fā)明以后，首先把它應(yīng)用在航海事業(yè)上，南宋時(shí)候，阿拉伯、波斯商人，經(jīng)常搭乘我國(guó)的海船往來(lái)貿(mào)易，也學(xué)會(huì)使用指南針。大約在12世紀(jì)末到13世紀(jì)初，指南針由海路由阿拉伯人傳入歐洲。

1450年，德意志人古騰堡（右一）改良了中國(guó)的活字印刷術(shù)，發(fā)明了金屬活字印刷術(shù)。歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個(gè)印刷版。

馬克思《機(jī)器、自然力和科學(xué)的應(yīng)用》：火藥、指南針、印刷術(shù) —— 這是預(yù)告資產(chǎn)階級(jí)社會(huì)到來(lái)的三大發(fā)明。??總的說(shuō)來(lái)變成了科學(xué)復(fù)興的手段，變成對(duì)精神發(fā)展創(chuàng)造必要前提的最強(qiáng)大的杠桿。

1.3 航海探險(xiǎn)

最知名的有哥倫布（西，1451－1506年）（智利，1992）。

葡萄牙在15世紀(jì)初期就侵入非洲西北部，建立侵略據(jù)點(diǎn)，1487年，迪亞士（葡，1450－1500年）率領(lǐng)艦隊(duì)沿非洲西海岸南下，第二年春天進(jìn)入印度洋，歸途中發(fā)現(xiàn)好望角，在開(kāi)辟新航路的活動(dòng)中取得了重大進(jìn)展。

1497年，貴族達(dá)?伽馬（葡，1469－1524年）在迪亞士航行的基礎(chǔ)上繞過(guò)非洲，在1498年到達(dá)印度海岸，從而找到了通向東方的新航路。

哥倫布通過(guò)閱讀馬可·波羅的《東方見(jiàn)聞錄》，對(duì)富庶的東方產(chǎn)生了濃厚的興趣，他相信當(dāng)時(shí)已日益流行的地圓學(xué)說(shuō)，認(rèn)為地球是圓的，只要從歐洲海岸一直向西航行，就可以到達(dá)印度，得到大量的黃金、香料。1492年8月3日哥倫布（西，1451－1506年）從西班牙出發(fā)了，一直向西航行，1492年10月12日，哥倫布到達(dá)了一個(gè)現(xiàn)在稱為巴哈馬群島中的華特林島，到達(dá)美洲。

1519年9月20日，麥哲倫（葡，1480－1521年）在西班牙國(guó)王的資助下，率探險(xiǎn)船隊(duì)出航，先是沿著已經(jīng)知道的道路向西航行，然后轉(zhuǎn)向南，沿著美洲大陸摸索南下，在春天到來(lái)之際發(fā)現(xiàn)了美洲南部的海峽（后人稱為麥哲倫海峽）。而后橫渡太平洋，1521年3月，終于到達(dá)了菲律賓群島，麥哲倫在干涉島上內(nèi)部戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)，被當(dāng)?shù)氐耐林藲⑺?，后?lái)船隊(duì)沿著已經(jīng)熟悉的航路進(jìn)入印度洋，再沿著葡萄牙人發(fā)現(xiàn)的航路于1522年9月返回西班牙，完成了了首次環(huán)球航行，證實(shí)了地球是球形的。哥倫布在瓜納阿尼島登陸（1492）。1.4 天文學(xué)的革命

托勒密（埃及，90－165年），宗教神學(xué)的宇宙觀：上帝創(chuàng)造了地球，地球是宇宙的中心。

哥白尼（波，1473－1543年）根據(jù)長(zhǎng)期觀察推算提出“日心說(shuō)”。雖然未能認(rèn)識(shí)到宇宙的無(wú)限性，但反對(duì)上帝創(chuàng)造世界的“地心說(shuō)”，沉重打擊了宗教神學(xué)，成為自然科學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的先聲。1543年出版《天體運(yùn)行論》，被教會(huì)列為禁書。

布魯諾（意，1548－1600年）信奉哥白尼學(xué)說(shuō)，以超人的預(yù)見(jiàn)大大豐富和發(fā)展了哥白尼學(xué)說(shuō)。他1584年在《論無(wú)限、宇宙及世界》這本書當(dāng)中，提出了宇宙無(wú)限的思想，他認(rèn)為宇宙是統(tǒng)一的、物質(zhì)的、無(wú)限的和永恒的。一般人認(rèn)為布魯諾的思想簡(jiǎn)直是“駭人聽(tīng)聞”，甚至連那個(gè)時(shí)代被尊為“天空立法者”的天文學(xué)家開(kāi)普勒也無(wú)法接受，開(kāi)普勒在閱讀布魯諾的著作時(shí)感到一陣陣頭目眩暈！布魯諾在天主教會(huì)的眼里，是極端有害的“異端”和十惡不赦的敵人。他們施展狡詐的陰謀鬼計(jì)，以收買布魯諾的朋友，將布魯諾誘騙回國(guó)，并于1592年5月23日逮捕了他，把他囚禁在宗教判所的監(jiān)獄里，接連不斷地審訊和折磨竟達(dá)8年之久。但這絲毫沒(méi)有動(dòng)搖布魯諾相信真理的信念。天主教會(huì)的人們絕望了，他們兇相畢露，建議當(dāng)局將布魯諾活活燒死。布魯諾似乎早已料到，當(dāng)他聽(tīng)完宣判后，面不改色地對(duì)這伙兇殘的劊子手輕蔑地說(shuō)：“你們宣讀判決時(shí)的恐懼心理，比我走向火堆還要大得多。”1600年2月17日，布魯諾在羅馬的百花廣場(chǎng)上英勇就義了。

郵票：哥白尼（波，1473－1543年）（委內(nèi)瑞拉，1973）。

2、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)

近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興，但人們很快看到，它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興，而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域發(fā)生了變化，在此介紹代數(shù)學(xué)、三角學(xué)、射影幾何、對(duì)數(shù)等的進(jìn)步。

2.1 代數(shù)學(xué)

歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕，其中包括三、四次方程的求解與符號(hào)代數(shù)的引入。關(guān)于方程的根式解。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)最重要的成就。

1515年博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅（意，1465－1526年）發(fā)現(xiàn)了形如x^3+mx=n的三次方程的代數(shù)解法，密傳給學(xué)生費(fèi)奧。

塔塔利亞（意，1499－1557年）（原姓豐坦那，塔塔利亞是綽號(hào)，意為口吃者）發(fā)表了《論數(shù)字與度量》（1556－1560），被稱為數(shù)學(xué)百科全書和16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一，其中有關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)排成的“塔塔利亞三角形”，比帕斯卡發(fā)表它的時(shí)間（1665年）要早100多年。

塔塔利亞最重要的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法，進(jìn)行了兩次歷史性的辨論。塔塔利亞宣稱可解形如x^3+mx^2=n的三次方程，1535年2月22日費(fèi)奧與塔塔利亞在威尼斯公開(kāi)競(jìng)賽，各出30個(gè)問(wèn)題，塔塔利亞在2小時(shí)內(nèi)全部解出而獲勝，揚(yáng)名整個(gè)意大利。1539年塔塔利亞把他關(guān)于三次方程的解法寫成一首25行詩(shī)告訴卡爾丹。1548年8月10日塔塔利亞與卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里在米蘭大教堂附近舉行了公開(kāi)辯論，爭(zhēng)論從上午10點(diǎn)持續(xù)到晚飯時(shí)間，聽(tīng)眾一哄而散，結(jié)果不了了之。雙方各自宣布獲勝。直至8年后，塔塔利亞才在他的名著《論數(shù)字與度量》中的一篇插文里敘述了整個(gè)論戰(zhàn)過(guò)程。

米蘭大教堂：歐洲中世紀(jì)最大的教堂，可供4萬(wàn)人舉行宗教活動(dòng)，建于1386－1485年。有135個(gè)尖塔，象濃密的塔林刺向天空，且在每個(gè)塔尖上有神的雕像。教堂外部總共有2000多個(gè)雕像，甚為奇特。如果連內(nèi)部雕像總共有 6000多尊，是世界上雕像最多的哥特式教堂。這個(gè)教堂有一個(gè)高達(dá)107米的尖塔，出于公元15世紀(jì)意大利建筑巨匠伯魯諾列斯基之手。塔頂上有金色圣母瑪利亞雕像，在陽(yáng)光下顯得光輝奪目，神奇而又壯麗，高聳的尖塔把人們的目光引向虛渺的天空，使人忘卻今生，幻想來(lái)世。

卡爾丹（意，1501－1576年），醫(yī)學(xué)博士，16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物，其中的一些科學(xué)觀點(diǎn)與達(dá)?芬奇的論述頗為相似，著作《事物之精妙》（1550年）、《世間萬(wàn)物》（1557年）僅在16世紀(jì)就有十幾個(gè)版本流傳，后來(lái)又被譯為多種文字，影響深遠(yuǎn)。他是一個(gè)天才和愚人的奇怪混合，也是一個(gè)富有傳奇色彩的怪杰，兼學(xué)者與無(wú)賴于一身，被譽(yù)為百科全書式的學(xué)者，渡過(guò)了光怪陸離的一生，在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、哲學(xué)、物理學(xué)和醫(yī)學(xué)中都有一定的成就，同時(shí)也一直醉心于占星術(shù)（為基督命運(yùn)占星和對(duì)自己死期的預(yù)卜）和賭博的研究，一生共寫了各種類型的文章、書籍200多種。最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年在紐倫堡出版的《大術(shù)》（全名為《大術(shù)，或論代數(shù)法則》），該書系統(tǒng)給出代數(shù)學(xué)中的許多新概念和新方法，內(nèi)有三次、四次方程的解法（由卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里（意，1522－1565年）發(fā)現(xiàn)）。在《大術(shù)》中方程的負(fù)根被采用，專門討論了解方程中遇到的虛根問(wèn)題，首次把它當(dāng)作一般的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，認(rèn)識(shí)到如果一個(gè)方程有一個(gè)虛根，則應(yīng)該有與之共軛的另一個(gè)虛根。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復(fù)興時(shí)期最后一位代數(shù)學(xué)家，他的前輩們?cè)?jīng)將這門學(xué)科推向一個(gè)發(fā)展高潮。邦貝利認(rèn)為除了卡爾丹之外還沒(méi)有人能夠很深入代數(shù)學(xué)這一學(xué)科，但他對(duì)卡爾丹的表述并不滿意，因此準(zhǔn)備寫一本書，以其清楚明了的表述使任何人都可以不必借助別的書而掌握代數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn)，這是1572年邦貝利出版《代數(shù)》的背景。在書中邦貝利引進(jìn)了虛數(shù)，正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。

符號(hào)代數(shù)。

認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)符號(hào)的意義，符號(hào)系統(tǒng)的建立使代數(shù)成為一門科學(xué)，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，反映了數(shù)學(xué)高度抽象與簡(jiǎn)煉。

修道士帕西奧里（意，1445－1517年）（意，1994），1494年用鉛字印刷出版的《算術(shù)集成》（全稱《算術(shù)、幾何、比與比例集成》）是繼斐波那契之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書，其中采用了優(yōu)越的記號(hào)及大量的數(shù)學(xué)符號(hào)（多為詞語(yǔ)的縮寫形式或詞首字母），這是本書的最突出之處，推進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。雖然帕西奧里對(duì)數(shù)學(xué)本身缺乏創(chuàng)建，但其著作具有簡(jiǎn)明、通俗和綜合的特點(diǎn)，因而廣泛流傳，16世紀(jì)意大利的代數(shù)學(xué)有長(zhǎng)足的發(fā)展，其間帕西奧里著作的教育和啟示作用是不能忽視的。

《算術(shù)集成》中有“青蛙入井問(wèn)題”的變形“貓捉老鼠問(wèn)題”：一只老鼠在60英尺高的白楊樹(shù)頂上，一只貓?jiān)跇?shù)腳下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；貓每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；這棵樹(shù)在貓和老鼠之間每天長(zhǎng)1/4英尺，晚上又縮1/8英尺。試問(wèn)貓要多久能捉住老鼠？

施蒂費(fèi)爾（德，1487－1567年），16世紀(jì)德國(guó)最大的數(shù)學(xué)家，研究過(guò)代數(shù)和數(shù)論，首先使用加號(hào)＋、減號(hào)－和根號(hào)的人之一，1544年《綜合數(shù)學(xué)》（又譯《算術(shù)大全》）中指出：符號(hào)使用是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。最早在印刷圖書中用“＋”作加、用“－”作減的是維德曼（德，1460－約1499年），1489年出版的《各種貿(mào)易的最優(yōu)速算法》（又譯《簡(jiǎn)算與速算》）創(chuàng)用“＋”、“－”號(hào)用于表示剩余和不足，并未引起人們的注意。1544年施蒂費(fèi)爾及其他一些數(shù)學(xué)家相繼采用了這兩個(gè)抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)才真正地、正式地登上了加減運(yùn)算的舞臺(tái)，漸漸地名揚(yáng)四海，才得到了大家公認(rèn)和使用。

等號(hào)叫一對(duì)雙生子。關(guān)于等號(hào)，《算術(shù)集成》中用ae（來(lái)自aequalis）表示相等。牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德（英，1510－1558）于1557年在代數(shù)論文《智慧的磨刀石》中首次用符號(hào)＝表示相等，文章中寫道：“為了避免枯燥的重復(fù)is aequalleto這個(gè)詞，也就是等于，如像我經(jīng)常在自己的工作實(shí)際用到那樣，我就放二條平行線――同樣長(zhǎng)＝的一對(duì)雙生子，因?yàn)槿魏蝺杉|西，不可能比它們更相等。”

發(fā)明現(xiàn)代小數(shù)點(diǎn)的人是克拉維斯（德，1537－1612年），他在繁榮數(shù)學(xué)這門學(xué)科上超過(guò)了16世紀(jì)的任何其他德國(guó)學(xué)者，1593年在羅馬出版的《星盤》中首次使用了現(xiàn)代意義上的小數(shù)點(diǎn)，即把小數(shù)點(diǎn)作為整數(shù)部分與小數(shù)部分分界的記號(hào)，1608年出版的《代數(shù)學(xué)》中更明確地使用這種小數(shù)點(diǎn)。這是用點(diǎn)表示小數(shù)記法之開(kāi)始。

1629年吉拉德（荷，1593－1632年）出版的《代數(shù)的新發(fā)現(xiàn)》中用有限線段解釋方程的負(fù)根，并且第一個(gè)提出用減號(hào)“－”表示負(fù)數(shù)。從此，負(fù)數(shù)符號(hào)逐漸得到人們的認(rèn)識(shí)，沿用至今。

韋達(dá)（法，1540－1603年），律師與政治家，業(yè)余研究數(shù)學(xué)，16世紀(jì)法國(guó)最大、最有影響的數(shù)學(xué)家（1593年解出比利時(shí)大使提出的45次方程問(wèn)題，但他不承認(rèn)負(fù)數(shù)，叫它為“不合理的數(shù)”），也被認(rèn)為是16世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家，從先輩的著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法，用字母等符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算，規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界，被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”，1591年《分析引論》（或《分析方法入門》）是韋達(dá)最重要的代數(shù)著作，也是最早的符號(hào)代數(shù)專著。在《分析引論》的結(jié)尾寫下一句座右銘“沒(méi)有不能解決的問(wèn)題”（Nullum non problema solvere）。1615年《論方程的整理與修正》用代數(shù)方式推出了一般的二次方程的求根公式，記載了著名的韋達(dá)定理，即方程的根與系數(shù)的關(guān)系式。他的著作內(nèi)容深?yuàn)W，言辭艱澀，其理論在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有產(chǎn)生很大影響，直到1646年韋達(dá)的文集出版才使他的理論漸漸流傳開(kāi)來(lái)，得到后人的承認(rèn)和贊賞。

2.2 三角學(xué)

歐洲文藝復(fù)興始于意大利，之后是德國(guó)。德國(guó)在數(shù)學(xué)研究上獨(dú)占魁首，遙遙領(lǐng)先除意大利以外的歐洲各國(guó)。

1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角。

15、16世紀(jì)德國(guó)人從意大利人獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí)，如阿爾·巴塔尼（858－929年）的《歷數(shù)書》、納西爾丁·圖西（1201－1274年）的《論完全四邊形》。在16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。

雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），又名繆勒，在維也納大學(xué)學(xué)習(xí)和講授天文學(xué)，逐漸掌握了托勒密的天文學(xué)說(shuō)，并努力鉆研與之相關(guān)的幾何學(xué)、算術(shù)與三角學(xué)，后到羅馬，不斷學(xué)習(xí)拉丁文和希臘文的經(jīng)典學(xué)術(shù)著作，對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是在三角學(xué)方面，代表作是完成于1464年《論各種三角形》（或稱《三角學(xué)全書》，1533年出版），是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的第一個(gè)完整、獨(dú)立的闡述，歐洲傳播三角學(xué)，他的著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱，成為15世紀(jì)最有能力、最有影響的數(shù)學(xué)家，對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響，哥白尼的工作受到他的影響，可惜40歲時(shí)英年早逝，死英是瘟疫，但有傳聞?wù)f他是被仇人毒死的。雷格蒙塔努斯出版的《星歷表》給出了1475－1506年間每天的天體位置，有趣的是，哥倫布在第四次航海探險(xiǎn)時(shí)隨身攜帶了一份《星歷表》，并利用它預(yù)示的1504年2月29日的月食嚇唬牙買加的土著印第安人，終于使他們屈服。

韋達(dá)（法，1540－1603年），1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》系統(tǒng)講述了用所有6種三角函數(shù)解平面的球面三角形，這在西歐也許是第一部書，1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學(xué)。

2.3 射影幾何

歐洲幾何學(xué)創(chuàng)造性的復(fù)興晚于代數(shù)學(xué)。文藝復(fù)興時(shí)期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力卻來(lái)自藝術(shù)，因?yàn)楫嫾覀冊(cè)趯⑷S世界繪制到二維畫布上時(shí)，面臨著一些投影的問(wèn)題。正是由于繪畫、制圖中提出的問(wèn)題的刺激導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科，透視學(xué)的興起，從而誕生了射影幾何學(xué)。研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過(guò)射影變換不變的性質(zhì)的幾何學(xué)，一度也叫做投影幾何學(xué)。

起源于繪畫和建筑學(xué)中的透視法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。文藝復(fù)興時(shí)期，繪畫藝術(shù)的盛行促進(jìn)了理論的發(fā)展，透視法成為一門幾何與繪畫結(jié)合的熱門學(xué)科。阿爾貝蒂（意，1404－1472年）于1435年發(fā)表《論繪畫》一書，闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想，他引入投影線和和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個(gè)截景間有何種數(shù)學(xué)關(guān)系或何種共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)等問(wèn)題，這些問(wèn)題是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。

德沙格（法，1591－1661年），約1630年住在巴黎的德沙格又同那時(shí)法國(guó)的幾個(gè)領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家成為朋友，隨后，經(jīng)常出席梅森的“巴黎學(xué)會(huì)”的活動(dòng)，與著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也有交往。上述這批人的活動(dòng)和所取得的成就，使法國(guó)成為17世紀(jì)上半葉世界數(shù)學(xué)史上最輝煌的國(guó)度，也為18、19世紀(jì)形成世界的數(shù)學(xué)中心打下良好的基礎(chǔ)。身處這一旋渦的德沙格以其新穎的思想和獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法，開(kāi)辟了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域，成為射影幾何學(xué)的先驅(qū)。1636年發(fā)表了第一篇關(guān)于透視法的論文《關(guān)于透視繪圖的一般方法》，主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，充滿了創(chuàng)造性的新思想、新方法，是射影幾何早期發(fā)展的代表作。書中提出并證明了“德沙格定理”：如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，那么它們的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線。其逆定理也成立。圖形連續(xù)變化，變換的不變性，關(guān)心結(jié)構(gòu)不涉及度量。

隨著解析幾何和后來(lái)的微積分的迅猛發(fā)展，該書逐漸被遺忘了。直到1845年，法國(guó)幾何學(xué)家、數(shù)學(xué)史家沙勒才在巴黎的一個(gè)舊書店里發(fā)現(xiàn)這本書的手抄本，此時(shí)射影幾何正處于復(fù)興時(shí)期，人們才認(rèn)識(shí)到德沙格這本著作的價(jià)值。1950年前后，在巴黎國(guó)立圖書館又找到它的原版本，歷經(jīng)300余年的滄桑歲月，它終于在諸多數(shù)學(xué)名著中有了一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢谩?/p>

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發(fā)現(xiàn)），帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。不同于物理學(xué)上的帕斯卡定律：加在密閉液體任一部分的壓強(qiáng)，必然按其原來(lái)的大小，由液體向各個(gè)方向傳遞。

射影幾何的綜合方法，用代數(shù)方法處理問(wèn)題更有效，射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。

2.4 對(duì)數(shù) 16世紀(jì)前半葉，歐洲人把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位。由于天文和航海計(jì)算的需要，計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明與應(yīng)用。

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）曾是荷蘭軍隊(duì)的軍需總監(jiān)，領(lǐng)導(dǎo)過(guò)許多公共建筑工程的建設(shè)，在數(shù)學(xué)方面最重要的著作《十進(jìn)算術(shù)》，系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù)，闡述的思想雖然很簡(jiǎn)單，卻在西方產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在西方史蒂文是第一個(gè)系統(tǒng)論述十進(jìn)分?jǐn)?shù)及其算術(shù)的人，其動(dòng)機(jī)是簡(jiǎn)化計(jì)算，把它獻(xiàn)給天文學(xué)家、測(cè)量人員和商人。在文明史上，史蒂文是工程師和技術(shù)專家的典范，他用科學(xué)的方式去處理實(shí)際問(wèn)題，極為注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，總是像一個(gè)數(shù)學(xué)家那樣思維，這是他科學(xué)生涯中一個(gè)最顯著的特點(diǎn)。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年），把大部分精力花在那個(gè)時(shí)代的政治和宗教論爭(zhēng)中，但仍為數(shù)學(xué)的發(fā)展做了許多有價(jià)值的工作。受三角公式積化和差，幾何級(jí)數(shù)指數(shù)等的啟示，納皮爾在對(duì)數(shù)的理論上至少花了20年的時(shí)間，于1590年左右開(kāi)始寫關(guān)于對(duì)數(shù)的著作，1614年發(fā)表《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的說(shuō)明》。納皮爾的驚人發(fā)明被整個(gè)歐洲熱心地采用，尤其是天文學(xué)界，簡(jiǎn)直為這個(gè)發(fā)現(xiàn)沸騰起來(lái)了。拉普拉斯就認(rèn)為，對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)“以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。

郵票：納皮爾的對(duì)數(shù)（尼加拉瓜，1971）。

在誰(shuí)最先發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)這個(gè)問(wèn)題上，納皮爾只遇到一個(gè)對(duì)手，即瑞士?jī)x器制造者比爾吉。比爾吉獨(dú)立設(shè)想并造出了對(duì)數(shù)表，于1620年出版了《算術(shù)和幾何級(jí)數(shù)表》。雖然兩個(gè)人都在發(fā)表之前很早就有了對(duì)數(shù)的概念，但納皮爾的途徑是幾何的，比爾吉的途徑是代數(shù)的。

1620年岡特（英，1581－1626年）制成第一把對(duì)數(shù)尺。

數(shù)學(xué)史上是先有對(duì)數(shù)，后有指數(shù)概念。而今天的教科書是先講指數(shù)，并用指數(shù)來(lái)定義對(duì)數(shù)，這正與它的歷史相反。

對(duì)數(shù)17世紀(jì)中葉傳入我國(guó)，對(duì)數(shù)一詞被譯為“假數(shù)”。如1653年由波蘭數(shù)學(xué)家穆尼閣（1611－1656）和薛鳳祚合編的《比例對(duì)數(shù)表》一書，是傳入我國(guó)最早的對(duì)數(shù)著作。當(dāng)時(shí)lg2=0.3010中2叫“真數(shù)”（沿用至今），0.3010叫“假數(shù)”，真數(shù)與假數(shù)列成表叫對(duì)數(shù)表，后來(lái)改“假數(shù)”為“對(duì)數(shù)”。

到16世紀(jì)末、17世紀(jì)初，整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型，文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。3、15－17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)

兩個(gè)特點(diǎn)：珠算發(fā)展，西學(xué)東漸。3.1 珠算

珠算盤是算籌的發(fā)展。珠算盤的記載最早見(jiàn)于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。明代算盤完全取代了算籌，珠算開(kāi)始普及于中國(guó)，現(xiàn)存最早的珠算書是1573年（明萬(wàn)歷元年）閩建（今福建建甌）徐心魯訂正的《盤珠算法》。

程大位（明，1533－1606年），安徽休寧（今屯溪）人，自幼酷愛(ài)數(shù)學(xué)，從20多歲起便在長(zhǎng)江下游一帶經(jīng)商，收羅了很多古代與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)書籍。經(jīng)過(guò)幾十年的努力，在1592年60歲時(shí)，編著了一部集珠算理論之大成的著作《直指算法統(tǒng)宗》，詳述算盤的用法，載有大量運(yùn)算口訣，流傳朝鮮、日本和東南亞以外。從它流傳的長(zhǎng)久和廣泛方面來(lái)講，那是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上任何著作也不能與之相比。

中國(guó)算盤（利比里亞，1999）、日本算盤（日本，1987）。

但實(shí)際上，珠算對(duì)籌算的取代，實(shí)際上卻在一定程度上造成了建立于籌算基礎(chǔ)上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)的失傳。

3.2 西方數(shù)學(xué)的傳入

樂(lè)山大佛（唐，713－803年）。

中國(guó)古代歷史上，曾出現(xiàn)過(guò)兩次大規(guī)模的外來(lái)文化傳入：一次是公元一世紀(jì)到九世紀(jì)漢唐時(shí)期印度佛教文化的傳入；另一次是明清之際西方基督教文化，特別是西方自然科學(xué)的傳入。由于演算天文歷法的需要，來(lái)華的西方傳教士便將西方一些數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國(guó)。

巴黎圣母院（建于1163－1345年），位于巴黎市中心塞納河中的西岱島，是世界馳名的天主教堂，也是巴黎最負(fù)盛名的古代勝跡之一。整個(gè)建筑全部由石頭砌成，是一座典型的哥特式教堂，占地5500平方千米。兩座鐘樓后面有座高達(dá)90米的尖塔，巍峨入云，塔頂是一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的十字架，遠(yuǎn)望似與天穹相接。整個(gè)建筑象征著基督教的神秘，給人以莊嚴(yán)華麗、神秘莫測(cè)之感。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)，巴黎圣母院一直是法國(guó)宗教、政治和民眾生活中重大事件和舉行典禮儀式的重要場(chǎng)所。

西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第一次高潮是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初（明末清初），標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯?！对尽肥鞘澜缟献钤绲臄?shù)學(xué)公理化著作，影響最廣泛的數(shù)學(xué)名著。羅素（英，1872－1970年）：“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。

最早來(lái)中國(guó)從事傳教活動(dòng)的是明萬(wàn)歷年間（1582年）來(lái)華的意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552－1610年），被中國(guó)人尊稱為“西學(xué)東漸第一師”，中華世紀(jì)壇的世紀(jì)廳中有利瑪竇（意，1552－1610年）的雕象。利瑪竇曾在德國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，后又給世界大科學(xué)家伽利略（意，1564－1642年）講過(guò)幾何學(xué)，但利瑪竇來(lái)華并非以數(shù)學(xué)家的身份，而是“傳教”的天主教耶穌會(huì)教士，為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)中國(guó)社會(huì)的需要，制訂了一套適合中國(guó)實(shí)際情況的“合儒”、“補(bǔ)儒”及“超儒”的和平傳教政策，即“政治上擁護(hù)貴族統(tǒng)治，學(xué)術(shù)上要有高水平，生活上要靈活適應(yīng)中國(guó)的風(fēng)土人情”。1596年9月22日，利瑪竇在南昌預(yù)測(cè)了一次日食，使他名聲大振。1600年利瑪竇與徐光啟（明，1562－1633年）在南京相識(shí)，開(kāi)始了他們之間的科學(xué)合作。

利瑪竇第一次告訴中國(guó)的知識(shí)分子地球是圓的。九星會(huì)聚（中國(guó)，1982）。徐光啟（明，1562—1633年），上海徐家匯（今屬上海市）人，明末著名科學(xué)家，在數(shù)學(xué)、天文、歷法、軍事、測(cè)量、農(nóng)業(yè)和水利等方面都有重要貢獻(xiàn)，官至文淵閣大學(xué)士，第一個(gè)認(rèn)識(shí)到中國(guó)的近代科學(xué)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)的落后于西方，中國(guó)放眼看世界的第一人，第一個(gè)把歐洲先進(jìn)的科學(xué)知識(shí)，特別是天文學(xué)知識(shí)介紹到中國(guó)，同時(shí)注意總結(jié)中國(guó)的固有科學(xué)遺產(chǎn)，成為我國(guó)近代科學(xué)的啟蒙大師。

1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷?！冻绲潥v書》主要是介紹丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫（1546－1601年）的“地心說(shuō)”（第谷認(rèn)為地球在宇宙中心靜止不動(dòng)，行星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)，而太陽(yáng)則率領(lǐng)行星繞地球轉(zhuǎn)。這個(gè)體系雖在歐洲沒(méi)有流行，但傳入中國(guó)后曾被一度接受）。作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，希臘的幾何學(xué)，歐洲的三角學(xué)，以及納皮爾對(duì)數(shù)、伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具也同時(shí)介紹進(jìn)來(lái)?！冻绲潥v書》（1634年修成），其中天文學(xué)和數(shù)學(xué)基本理論占全書30%，奠定了我國(guó)近300年歷法的基礎(chǔ)?！冻绲潥v書》為什么不采用哥白尼體系，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)哥白尼體系在理論上、實(shí)測(cè)上都還不很成功。因此當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家對(duì)哥白尼學(xué)說(shuō)持懷疑的態(tài)度是很正常的。我們今天熟知的地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的證據(jù)，是到了18世紀(jì)才最終被發(fā)現(xiàn)的。我們今天相信哥白尼是對(duì)的，但是那個(gè)時(shí)候證據(jù)還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。所以《崇禎歷書》采用了地谷的體系?！冻绲潥v書》對(duì)一些歐洲重要天文史上比較重要的學(xué)說(shuō)，包括哥白尼的學(xué)說(shuō)，都做了介紹，并且把哥白尼作為歐洲歷史上最偉大的四個(gè)天文學(xué)家之一。

1634年，《崇禎歷書》編撰完成，經(jīng)過(guò)8次較量之后，崇禎皇帝最終相信西方天文學(xué)確實(shí)比中國(guó)的傳統(tǒng)天文學(xué)更好，1644年他下令頒行天下。但是他詔書剛剛下去沒(méi)幾天，李自成的軍隊(duì)就打進(jìn)了京城，頒行《崇禎歷書》的命令還沒(méi)有實(shí)施，明朝就崩潰了。湯若望（德，1592－1666年，1622年進(jìn)入廣東）把《崇禎歷書》做了刪改湯若望將《崇禎歷書》刪改為103卷，連同所編的新歷本一起進(jìn)呈清政府，獻(xiàn)給滿清政權(quán)。順治皇帝給題寫了書名，命名為《西洋新法歷書》，將這個(gè)歷法頒行天下。

《崇禎歷書》對(duì)中國(guó)天文學(xué)整體上起到了一個(gè)怎樣的作用呢？它沒(méi)有改變中國(guó)傳統(tǒng)天文學(xué)作為政治巫術(shù)的性質(zhì)。我們知道《崇禎歷書》在1634年的時(shí)候，跟歐洲的天文學(xué)差距很小。但是編完之后，200多年幾乎不變。后來(lái)清朝修訂過(guò)幾次，補(bǔ)充過(guò)零星的歐洲天文學(xué)知識(shí)，但是實(shí)際上我們完全脫離了歐洲天文學(xué)的進(jìn)程。接著200年，我們幾乎原地不動(dòng)，而歐洲這200年天文學(xué)發(fā)展如火如荼?！冻绲潥v書》曾經(jīng)有一個(gè)機(jī)會(huì)能夠讓我們跟國(guó)際接軌，但是因?yàn)槲覀儗?duì)待科學(xué)的態(tài)度，最終中國(guó)仍然失去了這個(gè)機(jī)會(huì)。我們一度跟國(guó)際接軌但很快又脫軌，最終等到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束，西方天文學(xué)第二次大舉進(jìn)入的時(shí)候，我們中國(guó)人幾乎不認(rèn)識(shí)它了，因?yàn)槲覀兟浜罅怂?00年。

在農(nóng)業(yè)和水利上，編成巨著《農(nóng)政全書》（1639年刻板付印）。

在數(shù)學(xué)上，1606年，徐光啟與利瑪竇合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，并于1607年在上?？坛霭妫稁缀卧尽?，中文數(shù)學(xué)名詞“幾何”由此而來(lái)。徐光啟說(shuō)，“此書為益，能令學(xué)理者祛其浮氣，煉其精心，學(xué)事者資其定法，發(fā)其巧思，故舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)?！保瑢?duì)未能完成全部的翻譯而感遺憾，曾說(shuō)：“續(xù)成大業(yè)，未知何日，未知何人，書以俟（sì）焉”?！稁缀卧尽肥侵袊?guó)近代翻譯西方數(shù)學(xué)書籍的開(kāi)始，從此打開(kāi)了中西學(xué)術(shù)交流的大門，相繼出

第二篇：林壽數(shù)學(xué)史教案-選講：數(shù)學(xué)論文寫作初步

選講：數(shù)學(xué)論文寫作

凡是運(yùn)用概念、判斷、推理、證明或反駁等邏輯思維手段來(lái)分析、表達(dá)自然科學(xué)的理論和技術(shù)研究中的各種問(wèn)題、成果的文章，都屬于科技學(xué)術(shù)論文的范疇。科技學(xué)術(shù)論文最重要的特點(diǎn)是科學(xué)性和創(chuàng)造性。

1、論文的撰寫

數(shù)學(xué)論文的撰寫過(guò)程分準(zhǔn)備和寫作兩個(gè)階段。

準(zhǔn)備階段首先搜集資料和研究資料，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出猜想，逐步論證，對(duì)獲得的結(jié)果進(jìn)行整理和提煉。寫作階段按列出的提綱寫作草稿，修改定稿。

1.1文獻(xiàn)搜集

運(yùn)用適當(dāng)?shù)臋z索方法，注意搜集與選擇的方向。文獻(xiàn)的搜集與選擇之要點(diǎn)，一是多，注意其全面性；二是精，注意其權(quán)威性。

1.2資料整理

資料整理是根據(jù)課題要求對(duì)已有的資料進(jìn)行閱讀、記錄、分類、剔選、匯總的操作過(guò)程。

1.3論文選題

論文的價(jià)值主要在于選擇一個(gè)什么樣的課題。選題主要應(yīng)遵循創(chuàng)新性原則和適應(yīng)性原則，切忌題目雷同，內(nèi)容重復(fù)或立題貪大，內(nèi)容求全。

實(shí)例： “數(shù)學(xué)分析”選題10例；“數(shù)學(xué)教育”選題10例；“數(shù)學(xué)史” 選題10例。

1.4擬定提綱

擬定提綱有兩層含意，一是謀篇構(gòu)思；二是擬寫提綱。

謀篇構(gòu)思就是對(duì)研究工作的成果作合理安排的思維過(guò)程，要求作者對(duì)論文的思路、層次、順序等進(jìn)行思考。擬寫提綱包括的至少有六個(gè)項(xiàng)目：題目；課題研究的目的；證明論點(diǎn)所用的概念、定理；采用的論證方法；結(jié)論；需進(jìn)一步討論的問(wèn)題。

1.5寫作初稿

數(shù)學(xué)論文已形成一定的撰寫格式，其結(jié)構(gòu)一般由標(biāo)題、署名、摘要、關(guān)鍵詞、分類號(hào)、正文（含引言和結(jié)論）、致謝、參考文獻(xiàn)等8個(gè)部分組成。

1（1）標(biāo)題

一是準(zhǔn)確得體，恰如其分；二是簡(jiǎn)短精煉，高度概括；三是意義完整，體例規(guī)范。

（2）署名

一則表示擁有版權(quán)的聲明；二則反映文責(zé)自負(fù)的精神；三則有利于讀者同作者聯(lián)系。

（3）摘要

一份文獻(xiàn)內(nèi)容的縮短的精確的表達(dá)，而無(wú)須補(bǔ)充解釋或評(píng)論。按功能劃分大體上可分為報(bào)道性摘要、指示性摘要和題錄式摘要。

（4）關(guān)鍵詞

從論文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表達(dá)論文內(nèi)容主題方面具有實(shí)在意義起關(guān)鍵作用的詞匯稱為關(guān)鍵詞，一般為3－8個(gè)。

（5）分類號(hào)

論文主題所屬類別，采用《中圖法》的分類體系或美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》的分類體系，具體要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及結(jié)論

引言是用于說(shuō)明論文寫作的目的、理由、背景、研究成果和意義的部分，主要內(nèi)容有：研究主題、目的和理由，對(duì)本課題已有研究成果的述評(píng)，本文所要解決的問(wèn)題和采用的方法，概述成果及意義等。

正文的基本要求是以某一基本觀點(diǎn)為核心，貫穿全文，將已有的概念、定理與自己探索到的新思想、新結(jié)論，用清晰的邏輯方法撰寫為一個(gè)完整、無(wú)誤的統(tǒng)一體。它應(yīng)包括理論分析，論證的新手段及方法和結(jié)論。

結(jié)論是整篇論文的歸結(jié)，集中反映作者的成果，表達(dá)作者對(duì)所研究課題的見(jiàn)解和主張，對(duì)全篇論文起畫龍點(diǎn)睛的作用。

（7）致謝

當(dāng)科研成果以論文形式發(fā)表時(shí)，有時(shí)需要對(duì)他人的勞動(dòng)給予充分肯定，鄭重地以書面形式表示感謝。它與論文的作者之間應(yīng)有一定的區(qū)別。

（8）參考文獻(xiàn)

引用參考文獻(xiàn)的主要原因有三，一是說(shuō)明研究課題范圍內(nèi)前人的工作成果和 2 背景，并為證實(shí)自己的論點(diǎn)提供足夠的證據(jù)材料；二是承認(rèn)科學(xué)的繼承性，表明尊重他人的勞動(dòng)成果；三是便于自己寫作和讀者查閱，復(fù)核，了解相關(guān)領(lǐng)域里前人所做的貢獻(xiàn)。

著錄參考文獻(xiàn)的原則有三，一是只著錄最必要、最新的文獻(xiàn)；二是只著錄公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)；三是采用規(guī)范化的著錄格式。

1.6修改定稿

一是錘煉課題，二是精思布局，三是檢驗(yàn)材料，四是斟酌字句。

2、論文的發(fā)表

一篇學(xué)術(shù)論文只有正式發(fā)表后才能承認(rèn)為正式文獻(xiàn)。注意發(fā)表形式，發(fā)表程序和校對(duì)工作。

作者如何提高投稿命中率？一是選題新穎實(shí)用，二是文章簡(jiǎn)明可讀，三是了解征稿要求，四是細(xì)處一絲不茍；退稿原因多數(shù)為缺乏創(chuàng)新，論據(jù)不充分或沒(méi)有達(dá)到刊物要求的學(xué)術(shù)價(jià)值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研檔案?？蒲袡n案是在科研活動(dòng)中逐步做出并經(jīng)整理和篩選，確有保留價(jià)值和有必要作為原始記錄而立卷存檔，長(zhǎng)期保存的資料。

就其表現(xiàn)形式來(lái)說(shuō)，科研檔案可以歸納為兩大類，一是實(shí)物檔案，二是記錄檔案。

采用科研檔案形式保管科研成果，其作用體現(xiàn)在歷史性的憑證，原始性的證據(jù)，供檢查、復(fù)核、校閱，供使用和參考，確立發(fā)現(xiàn)發(fā)明權(quán)，正式紀(jì)錄科學(xué)貢獻(xiàn)。

第三篇：林壽數(shù)學(xué)史教案-第八講：19世紀(jì)的代數(shù)

第八講：19世紀(jì)的代數(shù)

19世紀(jì)的代數(shù)稱之“代數(shù)學(xué)的新生“。

1、代數(shù)方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11歲發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1796年發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法，1799年證明了代數(shù)基本定理。

高斯，“數(shù)學(xué)王子”，18－19世紀(jì)之交的中堅(jiān)人物，歐拉以后最重要的數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域，發(fā)表論文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）發(fā)表《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》，認(rèn)識(shí)到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。1799年魯菲尼（意，1765－1822年）明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解。

1824年阿貝爾（挪，1802－1829年）出版《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了阿貝爾定理。

阿貝爾簡(jiǎn)介及數(shù)學(xué)獎(jiǎng)：阿貝爾獎(jiǎng)（2003－）。

1829－1831年，伽羅瓦（法，1811－1832年）建立了判別方程根式解的充分必要條件，宣告了方程根式解難題的徹底解決。

伽羅瓦簡(jiǎn)介。

伽羅瓦的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端，現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀的標(biāo)志之一。

2、數(shù)系擴(kuò)張

1873年埃爾米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分別證明了e和π是超越數(shù)。虛數(shù)（即復(fù)數(shù)）的出現(xiàn)，承認(rèn)與反承認(rèn)一直在歐洲徘徊。19世紀(jì)復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中起著舉足輕重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）討論了復(fù)數(shù)幾何表示。

對(duì)復(fù)數(shù)推廣的重要貢獻(xiàn)是哈密頓（愛(ài)爾蘭，1805－1865年），1843年定義了四元數(shù)。

哈密頓簡(jiǎn)介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《線性擴(kuò)張性》引進(jìn)了n個(gè)分量的超復(fù)數(shù)，1847年凱萊（英，1821－1895年）定義了八元數(shù)。

3、行列式與矩陣

關(guān)于線性方程組解的發(fā)展，形成了行列式和矩陣的理論。

1683年關(guān)孝和（日，1642－1708年）完成《解伏題之法》，提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論，尤其在行列式方面的研究是世界領(lǐng)先的。

1750年克萊姆（瑞士，1704－1752年）法則，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展開(kāi)定理。

1841年凱萊（英，1821－1895年）行列式記號(hào)，1852年西爾維斯特（英，1814－1897年）慣性定理，1854年埃爾米特（法，1822－1901年）使用了正交矩陣，1858年凱萊證明了凱萊－哈密頓定理，1870年若爾當(dāng)（法，1838－1921年）建立了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，1879年弗羅貝尼斯（德，1849－1917年）引入矩陣的秩。

4、布爾代數(shù)

來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討。

德?摩根（英，1806－1871年），1847年《形式邏輯》，突破古典的主謂詞邏輯的局限，影響到數(shù)理邏輯的發(fā)展。

布爾（英，1815－1864年），1847年《邏輯的數(shù)學(xué)分析，論演繹推理的演算法》和1854年《思維規(guī)律的研究，作為邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)》為數(shù)理邏輯的發(fā)展鋪平了道路。

施羅德（德，1841－1902年）《邏輯代數(shù)講義》（3卷，1890－1905年）把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰。

5、數(shù)論

費(fèi)馬（法，1601－1665年），“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，獨(dú)騁17世紀(jì)數(shù)論天地，17世紀(jì)法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家，《數(shù)學(xué)論集》（1670）。

18世紀(jì)的數(shù)論受到費(fèi)馬思想的主宰。有影響的數(shù)學(xué)家是歐拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和華林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的數(shù)論研究總結(jié)在1801年的《算術(shù)研究》中，它不僅是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作，也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一。

代數(shù)數(shù)論是研究代數(shù)數(shù)域的數(shù)論性質(zhì)。整數(shù)最基本的性質(zhì)是唯一因子分解定理。1844－1847年庫(kù)默爾（德，1810－1893年）創(chuàng)立了理想數(shù)理論，1871年戴德金（德，1831－1916年）創(chuàng)立了代數(shù)數(shù)理論，1897年希爾伯特（德，1862－ 2 1943年）“代數(shù)數(shù)域理論”。

梅森素?cái)?shù)。梅森素?cái)?shù)是確定大素?cái)?shù)的一種途徑。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理數(shù)學(xué)隨感》。在“手算筆錄年代”僅找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)，近10年來(lái)通過(guò)GIMPS項(xiàng)目找到了10個(gè)（35至44個(gè)）梅森素?cái)?shù)。

第四篇：林壽數(shù)學(xué)史教案-第九講：19世紀(jì)的幾何

第九講：19世紀(jì)的幾何

1、幾何學(xué)的變革

幾何學(xué)的基礎(chǔ)：現(xiàn)實(shí)空間與思維空間。1.1 微分幾何

平面曲線理論17世紀(jì)基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《無(wú)窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。

1760年歐拉（瑞，1707－1783年）《關(guān)于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論，1795年蒙日（法，1746－1818年）《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁(yè)論文》借助微分方程對(duì)曲面族深入研究。

蒙日簡(jiǎn)介。1.2 非歐氏幾何

從公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們雖然一直堅(jiān)信歐氏幾何的完美與正確，但“平行公設(shè)”始終讓他們耿耿于懷。

薩凱里（意，1667－1733年）1733年《歐幾里得無(wú)懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾（德，1739－1812年）對(duì)平行線公設(shè)是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特（法，1728－1777年）《平行線理論》指出通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反歐幾里得幾何，非歐幾里得幾何，擔(dān)心世俗的攻擊而未發(fā)表。1826年羅巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》，歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。1832年J?鮑約（匈，1802－1860年）《絕對(duì)空間的科學(xué)》，所謂“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中，過(guò)已知直線外一點(diǎn)不能作任何平行于該給定直線的直線。

黎曼簡(jiǎn)介。

1868年貝爾特拉米（意，1835－1899年）《論非歐幾何學(xué)的解釋》，在“偽球面”模型上實(shí)現(xiàn)（片段上）羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因（德，1849－1925年）“圓”模型實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何，1882年龐加萊（法，1854－1912年）也對(duì)羅巴切夫斯基幾何給出了一個(gè)歐氏模型，克萊因－龐加萊圓。

1.3 射影幾何

將射影幾何變革為具有獨(dú)立目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列（法，1788－1867年）的《論圖形的射影性質(zhì)》，探討圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，闡述了連續(xù)性原理、對(duì)偶原理。

代數(shù)方法。1827年默比烏斯（德，1790－1868年）的《重心計(jì)算》中的齊次坐標(biāo)，1829年普呂克（德，1801－1868年）的三線坐標(biāo)。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置幾何學(xué)》不借助長(zhǎng)度概念就得以建立射影幾何。凱萊（英，1821－1895年）和克萊因（德，1849－1925年）在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何。

1.4 統(tǒng)一的幾何學(xué)

1872年克萊因（德，1849－1925年）在埃爾朗根大學(xué)的教授就職演講《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想。

克萊因簡(jiǎn)介。1.5 幾何學(xué)的公理化

19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家重新審視《原本》時(shí)發(fā)現(xiàn)它有許多弱點(diǎn)。1899年希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》，提出了對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的統(tǒng)一幾何學(xué)的途徑：公理化方法。

希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的三原則：相容性、獨(dú)立性、完備性。

希爾伯特簡(jiǎn)介。2、19世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)

西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第二次高潮是從19世紀(jì)中葉開(kāi)始。李善蘭、華蘅芳等為中國(guó)近代科學(xué)事業(yè)的先行者。

2.1 李善蘭（清，1811－1882年）

李善蘭：1850年完成著作《垛積比類》，翻譯了《幾何原本》（1857）、《代微積拾級(jí)》（1859）和《代數(shù)學(xué)》（1859）。

2.2 華蘅芳（清，1833－1902年）

華蘅芳：1868年到江南制造總局翻譯館，翻譯了《代數(shù)術(shù)》（1872）、《微積溯源》（1874）和《決疑數(shù)學(xué)》（1880）。

西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的早期傳播對(duì)中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成功效并不顯著。自19世 2 紀(jì)末開(kāi)始，一批中國(guó)留學(xué)生到日本、歐美學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，回國(guó)后創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系，1919年“五四”運(yùn)動(dòng)前后，中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)稍具雛形。

第五篇：林壽數(shù)學(xué)史教案-第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

第五講：文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

1、文明背景 1.1 文藝復(fù)興

文藝復(fù)興是指14世紀(jì)意大利各城市興起，15世紀(jì)后期起擴(kuò)展到西歐各國(guó)，16世紀(jì)在歐洲盛行的一場(chǎng)思想文化運(yùn)動(dòng)。在這歷時(shí)約200年的歷史中，揭開(kāi)了現(xiàn)代歐洲歷史的序幕，被認(rèn)為是中古時(shí)代和近代的分界，數(shù)學(xué)活動(dòng)也以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起。

1.2 技術(shù)進(jìn)步

歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的主要成就之一，是在15世紀(jì)后半葉開(kāi)始產(chǎn)生近代自然科學(xué)。四大發(fā)明相繼傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡發(fā)明了金屬活字印刷術(shù)，歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個(gè)印刷版。

1.3 航海探險(xiǎn)

1488年，迪亞士（葡，1450－1500年）進(jìn)入印度洋，發(fā)現(xiàn)好望角。1498年，達(dá)?伽馬（葡，1469－1524年）到達(dá)印度海岸，找到了通向東方的新航路。1492年，哥倫布（西，1451－1506年）到達(dá)美洲。1519－1522年，麥哲倫（葡，1480－1521年）船隊(duì)完成了首次環(huán)球航行。

1.4 天文學(xué)的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心說(shuō)”，1543年出版《天體運(yùn)行論》。布魯諾（意，1548－1600年）1584年在《論無(wú)限、宇宙及世界》提出了宇宙無(wú)限的思想。

2、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)

近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興，但人們很快看到，它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興，而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。

2.1 代數(shù)學(xué)

歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕。

帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術(shù)集成》是一部數(shù)學(xué)百科全書，其中采用了優(yōu)越的記號(hào)及大量的數(shù)學(xué)符號(hào)，推進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

塔塔利亞（意，1499－1557年）發(fā)表了《論數(shù)字與度量》（1556－1560），1 16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一，發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法。

卡爾丹（意，1501－1576年）最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年出版的《大術(shù)》，內(nèi)有三次、四次方程的解法。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復(fù)興時(shí)期最后一位代數(shù)學(xué)家，1572年出版《代數(shù)》，引進(jìn)了虛數(shù)，正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。

施蒂費(fèi)爾（德，1487－1567年），16世紀(jì)德國(guó)最大的數(shù)學(xué)家，1544年《綜合數(shù)學(xué)》中指出：符號(hào)使用是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。

韋達(dá)（法，1540－1603年），16世紀(jì)法國(guó)最大、最有影響的數(shù)學(xué)家，被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”，1591年出版《分析引論》是最早的符號(hào)代數(shù)專著。

2.2 三角學(xué)

在16世紀(jì)，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái)，成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《論各種三角形》（1533年出版），是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的第一個(gè)完整、獨(dú)立的闡述。

韋達(dá)（法，1540－1603年），1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》系統(tǒng)講述了各鐘三角函數(shù)，1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學(xué)。

2.3 射影幾何

文藝復(fù)興時(shí)期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力卻來(lái)自藝術(shù)。正是由于繪畫、制圖中提出的問(wèn)題的刺激導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科，誕生了射影幾何學(xué)。

阿爾貝蒂（意，1404－1472年），1435年發(fā)表《論繪畫》，闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想，是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》，射影幾何早期發(fā)展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發(fā)現(xiàn)），內(nèi)有帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。

射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。

2.4 對(duì)數(shù)

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十進(jìn)算術(shù)》，系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論，并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù)。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）至少花了20年的時(shí)間，于1590年左右開(kāi)始寫關(guān)于對(duì)數(shù)的著作，1614年發(fā)表《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的說(shuō)明》。

到16世紀(jì)末、17世紀(jì)初，整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型，文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。3、15－17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)

3.1 珠算

珠算盤是算籌的發(fā)展。珠算盤的記載最早見(jiàn)于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年編著了《直指算法統(tǒng)宗》。從它流傳的長(zhǎng)久和廣泛方面來(lái)講，那是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上任何著作也不能與之相比。

3.2 西方數(shù)學(xué)的傳入

西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第一次高潮是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初（明末清初），標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。

最早來(lái)中國(guó)從事傳教活動(dòng)的是明萬(wàn)歷年間（1582年）來(lái)華的意大利傳教士利瑪竇（1552－1610年），被中國(guó)人尊稱為“西學(xué)東漸第一師”。

徐光啟（明，1562—1633年），中國(guó)近代科學(xué)的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版?！稁缀卧尽肥侵袊?guó)近代翻譯西方數(shù)學(xué)書籍的開(kāi)始，相繼出現(xiàn)了許多歐洲數(shù)學(xué)著作。

3.3 明末的中國(guó)科技

李時(shí)珍（1518－1593年）《本草綱目》，徐光啟（1562－1633年）《農(nóng)政全書》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游記》，宋應(yīng)星（1587－

？）《天工開(kāi)物》。