第一篇：林壽《數學史概論》教案(156頁)1

《數學史概論》教案（156頁）

主講人：林壽

導言

主講人簡介：林壽，寧德師專教授，漳州師院特聘教授，四川大學博士生導師，德國《數學文摘》和美國《數學評論》評論員。1978.4~1980.2寧德師專數學科學習；1984.9~1987.7蘇州大學數學系碩士研究生；1998.9~2000.5 浙江大學理學院攻讀博士學位。拓撲學方向的科研項目先后20次獲得國家自然科學基金、國家優秀專著出版基金等的資助，研究課題涉及拓撲空間論、集合論拓撲、函數空間拓撲等，在國內外重要數學刊物上發表拓撲學論文90多篇，科學出版社出版著作3部。1992年獲國務院政府特殊津貼，1995年被授予福建省優秀專家，1997年獲第五屆中國青年科技獎、曾憲梓高等師范院校教師獎一等獎。

個人主頁：http://www.ndsz.net/ls.asp

一、數學史要學習什么？為什么要開設數學史的選修課？

數學史研究數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展，及其與社會、經濟和一般文化的聯系。對于深刻認識作為科學的數學本身，及全面了解整個人類文明的發展都具有重要的意義。

龐加萊（法，1854－1912年）語錄：如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。

薩頓（美，(1884-1956年)：學習數學史倒不一定產生更出色的數學家，但它產生更溫雅的數學家，學習數學史能豐富他們的思想，撫慰他們的心靈，并且培植他們高雅的質量。

數學史的分期：

1、數學的起源與早期發展（公元前6世紀）；

2、初等數學時期（公元前6世紀－16世紀）；

3、近代數學時期（17世紀－18世紀）；

4、現代數學時期（1820年至今）。

二、教學工作安排

授課形式：講解與自學相結合，分13講。

第一講：數學的起源與早期發展； 第二講：古代希臘數學； 第三講：中世紀的東西方數學I； 第四講：中世紀的東西方數學II； 第五講：文藝復興時期的數學；

第六講：牛頓時代：解析幾何與微積分的創立； 第七講：18世紀的數學：分析時代； 第八講：19世紀的代數； 第九講：19世紀的幾何與分析I； 第十講：19世紀的幾何與分析II； 第十一講：20世紀數學概觀 I； 第十二講：20世紀數學概觀 II； 第十三講：20世紀數學概觀 III； 選

講：數學論文寫作初步。

作業：每一講寫600字左右的讀書筆記，30%記入學期總成績。

考查：每位同學選取一名數學家，以這數學家為主題寫一篇數學史講稿（約 2000字），并把講稿內容制作成PowerPoint文檔（約15分鐘，5－8張文檔），70%記入學期總成績。

要求：講稿用A4紙單面打印，連同PowerPoint文檔于2008年6月18日（第17周星期三）上交。

三、主要參考書

1、[美]克萊因.古今數學思想.牛津大學出版社，1972（中譯本：北京大學數學系數學史翻譯組譯，上海科學技術出版社，1979~1981，4卷本）；

2、張奠宙.20世紀數學經緯.上海：華東師范大學出版社，2002；

3、吳文俊主編.世界著名數學家傳記（上、下冊）.北京：科學出版社，1995；

4、程民德主編.中國現代數學家傳（5卷本）.南京：江蘇教育出版社，1994－2002；

5、中國大百科全書編輯委員會.中國大百科全書（數學卷）.北京：中國大百科全書出版社，1988；

6、王元，嚴士健，石鐘慈，談德顏編譯.數學百科全書（5卷本）.北京：科學出版社，1994－2000；

7、郭金彬，孔國平.中國傳統數學思想史.北京：科學出版社，2004；

8、徐品方，張紅.數學符號史.北京：科學出版社，2006。

第一講

數學的起源與早期發展

主要內容：數與形概念的產生、河谷文明與早期數學、西漢以前的中國數學。

1、數與形概念的產生

從原始的“數”到抽象的“數”概念的形成，是一個緩慢、漸進的過程。人從生產活動中認識到了具體的數，導致了記數法。“屈指可數”表明人類記數最原始、最方便的工具是手指。

如，手指計數（伊朗，1966），結繩計數（秘魯，1972）（美國自然史博物館藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人稱之為基普），文字5000年（伊拉克，2001）（楔形數字），西安半坡遺址出土的陶器殘片。

早期幾種記數系統，如古埃及、古巴比倫、中國甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅（瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中，瑪雅是一個地區、一支民族和一種文明，分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部）等。

世界上不同年代出現了五花八門的進位制和眼花繚亂的記數符號體系，足以證明數學起源的多元性和數學符號的多樣性。

2、河谷文明與早期數學 2.1 古代埃及的數學 背景：古代埃及簡況

埃及文明上溯到距今6000年左右，從公元前3500年左右開始出現一些小國家，公元前3000年左右開始出現初步統一的國家。

古代埃及可以分為5個大的歷史時期：早期王國時期（公元前3100－前2688年）、古王國時期（前2686－前2181年）、中王國時期（前2040－前1768年）、新王國時期（前1567－前1086年）、后期王國時期（前1085－前332年）。

（1）古王國時期：前2686－前2181年。埃及進入統一時代，開始建造金字塔，是第一個繁榮而偉大的時代。（2）新王國時期：前1567－前1086年。埃及進入極盛時期，建立了地跨亞非兩洲的大帝國。

直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。

埃及人創造了連續3000多年的輝煌歷史，建立了國家，有了相當發達的農業和手工業，發明了銅器、創造了文字、掌握了較高的天文學和幾何學知識，建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。

吉薩金字塔（公元前2600年）（剛果，1978），它顯示了埃及人極其精確的測量能力，其中它的邊長和高度的比例約為圓周率的一半。

古埃及最重要的傳世數學文獻：紙草書，來自現實生活的數學問題集。萊茵德紙草書（1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購得，現藏倫敦大英博物館，主體部分由84個數學問題組成，其中還有歷史上第一個嘗試“化圓為化”的公式）。

莫斯科紙草書（1893年由俄國貴族戈列尼雪夫購得，現藏莫斯科普希金精細藝術博物館，包含了25個數學問題）。

埃及紙草書（民主德國，1981）。

數學貢獻：記數制，基本的算術運算，分數運算，一次方程，正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式，近似的圓面積，錐體體積等。

公元前4世紀希臘人征服埃及以后，這一古老的數學完全被蒸蒸日上的希臘數學所取代。

2.2 古代巴比倫的數學 背景：古代巴比倫簡況

兩河流域（美索不達米亞）文明上溯到距今6000年之前，幾乎和埃及人同時發明了文字“楔形文字”。

（1）古巴比倫王國：公元前1894－前729年。漢穆拉比（在位前 1792－前 1750）統一了兩河流域，建成了一個強盛的中央集權帝國，頒布了著名的《漢穆拉比法典》。

（2）亞述帝國：前8世紀－前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩蘇爾市）。（3）新巴比倫王國：前612－前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604－前562年）統治時期達到極盛，先后兩次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，是古代西方人眼中的全部世界，而中國的長城距他們太遠了。記錄者古希臘哲學家費隆·拜占廷說過：“心眼所見，永難磨滅”。

公元前6世紀中葉，波斯國家逐漸興起，并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國。

了解古代美索不達米亞文明的主要文獻是泥版，迄今已有約50萬塊泥版出土。蘇美爾計數泥版（文達，1982）。

現在泥版文書中大約有300多塊是數學文獻：以60進制為主的楔形文記數系統，長于計算，發展程序化算法的熟練技巧（開方根），能處理三項二次方程，有三次方程的例子，三角形、梯形的面積公式，棱柱、方錐的體積公式。

泥版楔形文，普林頓322（現在美國哥倫比亞大學圖書館，年代在公元前1600年以前，數論意義：整勾股數）。

巴比倫泥板和彗星（不丹，1986）。2.3 西漢以前的中國數學 黃河壺口瀑布（中國，2002）

《史記·夏本紀》大禹治水（公元前21世紀）中提到“左規矩，右準繩”，表明使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”。

考古學的成就，充分說明了中國數學的起源與早期發展。

1952年在陜西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻畫的符號中，有一些符號就是表示數字的符號。

在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是記錄數字的文字，表明中國已經使用了完整的十進制記數，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數字為三萬。殷墟甲骨上數學（商代，公元前1400－前1100年，1983－1984年間河南安陽出土）。

算籌（1971年陜西千陽縣西漢墓出土）是中國古代的計算工具，它的起源大約可上溯到公元前5世紀，后來寫在紙上便成為算籌記數法。至遲到春秋戰國時代，又開始出現嚴格的十進位制籌算記數（約公元前300年）。怎樣用算籌記數呢？公元3－4世紀成書的《孫子算經》記載說：“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。”

為了避免涂改，在唐代以后，我國又創用了一種商業大寫數字，又叫會計體：壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬。

中國傳統數學的最大特點是建立在籌算基礎之上，是中國傳統數學對人類文明的特殊貢獻，這與西方及阿拉伯數學是明顯不同的。

我國是世界上首先發現和認識負數的國家。戰國時法家李悝（約公元前455－前395年）曾任魏文侯相，主持變法，我國第一部比較完整的法典《法經》（現已失傳）中已應用了負數，“衣五人終歲用千百不足四百五十”，意思是說，5個人一年開支1500錢，差450錢。甘肅居延海附近（今甘肅省張掖市管領）發現的漢簡中有“負四筭（suàn，籌碼，同算），得七筭，相除得三筭”的句子。

在2002年中國考古發現報告會上，介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發現：湖南龍山里耶戰國－秦漢時期城址及秦代簡牘。2002年7月，考古人員在湖南龍山里耶戰國－秦漢古城出土了36000余枚秦簡，記錄的是秦始皇二十六年至三十七年（即公元前221－前210年）的秦朝歷史，其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。在《管子》、《荀子》、《戰國策》等先秦典籍中，都提到過“九九”，但實物還是首次發現，這是我國有文字記錄最早的乘法口訣表。

最后給一首數字詩，取自宋朝理學家邵康節（公元1011－1077年，中國占卜界的主要代表人物）寫的一首詩，描繪像花園一樣美麗的地方，一幅樸實自然的鄉村風俗畫，宛如一副淡雅的水墨畫：

一去二三里，煙村四五家。亭臺六七座，八九十枝花。

思考題

1、您對《數學史》課程的期望。

2、談談您的理解：數學是什么?

3、數學崇拜與數學忌諱。

4、從數學的起源簡述人類活動對文化發展的貢獻。

5、數的概念的發展給我們的啟示。

6、探討古代埃及和古代巴比倫的數學知識在現實生活中的意義。

第二講 古代希臘數學

主要內容：論證數學的發端，亞歷山大學派，古希臘數學的衰落家，簡述11位哲學家或科學家的數學工作。

恩格斯指出：“沒有希臘的文化和羅馬帝國奠定的基礎，沒沒有現代的歐洲。” “如果不知道遠溯古希臘各代前輩所建立和發展的概念、方法和結果，我們就不可能理解近年來數學的目標，也不可能理解它的成就。” ——Claude Hugo Hermann Weyl 背景：古希臘的變遷 古希臘地圖。

希臘時期（公元前11世紀－前3世紀）：分為愛奧尼亞時期和雅典時期。愛奧尼亞時期：公元前11世紀－前6世紀，其中公元前11世紀－前9世紀希臘各部落進入愛琴地區，公元前9－前6世紀希臘各城邦先后形成，前776年召開了第一次奧林匹克運動會，標志著古希臘文明進入了興盛時期。希波戰爭（前499－前449年）以后，雅典成為希臘的霸主。

雅典時期：公元前6－前3世紀，伯羅奔尼撒戰爭（前431－前404年，雅典及其同盟者與以斯巴達為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰爭），希臘各城邦陷入混戰之中。

馬其頓帝國崛起：前6世紀－前323年。馬其頓位于希臘的北部，處于希臘文明的邊緣，被希臘人視為蠻族。公元前4世紀起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國家，正當希臘的城邦在經歷將近100年的內戰之后都精疲力竭的時候，馬其頓的菲利普二世（公元前382－前336年）把整個希臘統一于其統治之下，前337年希臘各城邦承認馬其頓的霸主地位。前334年，亞歷山大（公元前356－前323年）率大軍渡海東征，拉開了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強大的波斯帝國，他先后從波斯人手中奪取了敘利亞和埃及，攻下巴比倫，波斯帝國滅亡。前323年，亞歷山大病死，他龐大的帝國也隨之分裂，古希臘歷史結束。但在帝國擴張的過程中將希臘文明傳播至東方，史稱希臘化時代。

希臘化時期（公元前3世紀－公元7世紀）：分為亞歷山大時期和亞歷山大后期。

亞歷山大時期：公元前323－前30年，前48－前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期：公元前30－公元640年，公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書。

羅馬帝國：公元前27－公元395年（公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷，現為土耳其的伊斯坦布爾），西羅馬帝國：公元395－公元476年（為日爾曼人所滅），東羅馬帝國：公元395－公元1453年（610年改稱拜占廷帝國，為奧斯曼土耳其人所滅）。

本講分三節介紹：古典時期的希臘數學、亞歷山大學派時期、希臘數學的衰落。

1、古典時期的希臘數學 公元前600－前300年。

1.1 愛奧尼亞學派（米利都學派）：泰勒斯（公元前625－前547年），出生于愛奧尼亞的米利都城，早年經商，被稱為“希臘哲學、科學之父”。

哲學：萬物源于水，即“水生萬物，萬物復歸于水”。其思想的影響是巨大的，在他的帶動下，人們開始擺脫神的束縛，去探索宇宙的奧秘，經過數百年的努力，出現了希臘科學的繁榮。泰勒斯首創之功，不可磨滅。

數學：創數學命題邏輯證明之先河，希臘幾何學的鼻祖，最早留名于世的數學家，證明了一些幾何命題，如“圓的直徑將圓分為兩個相等的部分”，“等腰三角形兩底角相等”，“兩相交直線形成的對頂角相等”，“如果一個三角形有兩角、一邊分別與另一個三角形的對應角、邊相等，那么這兩個三角形全等”，“半圓上的圓周角是直角”（泰勒斯定理），測量過金字塔的高度。

預報了公元前585年的一次日食。

1.2 畢達哥拉斯學派：畢達哥拉斯（約公元前560－前480年），出生于小亞細亞的薩摩斯島，與中國的孔子（公元前551－前479年）同時，曾師從愛奧尼亞學派，年青時曾游歷埃及和巴比倫，在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學、科學性質的學派，致力于哲學和數學的研究，繁榮興旺達一個世紀以上。

哲學（????????，智力愛好）：萬物皆為數。沒有數就既不可能表達、也不可能理解任何事物，宣稱宇宙萬物的主宰者用數來統御宇宙，試圖通過揭示數的奧秘來探索宇宙永恒的真理。

數學：數學研究抽象概念的認識歸功于畢達哥拉斯學派，“μαθηματιχα”（可學到的知識），“畢達哥拉斯定理”（希臘，1955），完全數（等于除它本身以外的全部因子之和，如6，28，496，?）、親和數（一對數，其中每一個數除它本身以外的所有因子之和是另一個數，如220，284），正五角星作圖與“黃金分割”（正五角星是該學派的標志，正五角星相鄰兩個頂點的距離與其邊長之比，或簡單說正五邊形邊長與其對角線之比，正好是黃金比），發現了“不可公度量”，困惑古希臘的數學家，出現的邏輯困難史稱“第一次數學危機”。

希波戰爭以后，雅典成為希臘民主政治與經濟文化的中心，希臘數學也隨之走向繁榮，可謂哲學盛行、學派林立、名家百出。雅典古衛城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護女神雅典娜建造的“帕提農神廟”（也稱“巴臺農神廟”，建造于公元前447－前432年），其中應用了一些數學原理。

雅典時期：開創演繹數學。擲鐵餅者（米隆，約前450年）。

1.3 伊利亞學派：芝諾（約公元前490－前430年），出生于意大利南部半島的伊利亞城邦，畢達哥拉斯學派成員的學生。

芝諾悖論：兩分法，運動不存在。再由是：位移事物在達到目的地之前必須先抵達一半處，即不可能在有限的時間內通過無限多個點，所以，如果它起動了，它永遠到不了終點，或者，它根本起動不了。

阿基里斯（荷馬史詩《依里亞特》中的希臘名將，善跑）、飛矢不動。芝諾的功績在于把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續和離散的關系以非數學的形態提出，并進行了辯證的考察。

1.4 詭辯學派（智人學派）：活躍于公元前5世紀下半葉的雅典城，代表人物均以雄辯著稱，詭辯的希臘原詞含智慧之意，故亦稱智人學派。

古典幾何三大作圖問題：三等分任意角、化圓為方、倍立方。

安蒂豐（約公元前480－前411年），有關他的生平至今沒有確切的定論，只知他在雅典從事學術活動，是智人學派的代表人物，在數學方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問題。他從一個圓內接正方形出發，將邊數逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、??、持續重復這一過程，隨著圓面積的逐漸窮竭，將得到一個邊長極微小的圓內接正多邊形。安蒂豐認為這個內接正多邊形將與圓重合，既然通常能夠作出一個等于任何已知多邊形的正方形，那么就能作出等于一個圓的正方形。這種推理當然沒有真正解決化圓為方問題，但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。

希臘人對三大作圖問題的所有解答都無法嚴格遵守尺規作圖的限制。1855年，法國科學院拒絕再審查化圓為方問題的解。直到19世紀，數學家們才利用現代數學知識弄清了這三大問題實際上是不可解的。如1882年林德曼（德，1852－1939年）證明了數?的超越性，從而確立了尺規化圓為方的不可能性。

1.5 柏拉圖學派：柏拉圖（約公元前427－前347年），出生于雅典的顯貴世家，曾師從畢達哥拉斯學派，哲學家蘇格拉底（公元前469－前399年）的學生。作為一名哲學家，柏拉圖對于歐洲的哲學乃至整個文化的發展，有著深遠的影響，特別是他的認識論、數學哲學和數學教育思想，后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖，在古代希臘社會條件下，對于科學的形成和數學的發展，起了不可磨滅的推進作用。代表作《理想國》。

柏拉圖說：“上帝按幾何原理行事”，“不懂幾何者免進”，認為打開宇宙之迷的鑰匙是數與幾何圖形，發展了用演繹邏輯方法系統整理零散數學知識的思想。

柏拉圖不是數學家，卻贏得了“數學家的締造者”的美稱，公元前387年以萬貫家財在雅典創辦學院，講授哲學與數學，直到529年東羅馬君王查士丁尼下令關閉所有的希臘學校才告終止。意大利文藝復興三杰之一拉斐爾?桑蒂（1483－1520年）的壁畫：雅典學院（創作于1509－1510年）。

古希臘最著名的哲學家、科學家：亞里士多德（公元前384－前322年）（烏拉圭，1996），柏拉圖的學生。

1.6 亞里士多德學派（呂園學派）：出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮，公元前335年建立了自己的學派，講學于雅典的呂園，又稱“呂園學派”，相傳亞里士多德還做過亞歷山大大帝的老師。“吾愛吾師，吾尤愛真理”。

集古希臘哲學之大成，把古希臘哲學推向最高峰，將前人使用的數學推理規律規范化和系統化，創立了獨立的邏輯學，堪稱“邏輯學之父”，“矛盾律”、“排中律”成為數學中間接證明的核心，努力把形式邏輯的方法運用于數學的推理上，為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎，被后人奉為演繹推理的圣經。

1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經院哲學，對亞里士多德哲學稍加篡改用來適應基督教教義，試圖從哲學上以理性的名義來論證上帝的存在。

亞歷山大帝國版圖、亞歷山大帝國解體。

希臘化時期的數學（公元前300－公元600年）。亞歷山大去世后，帝國一分為三：安提柯王朝（馬其頓）、托勒密王朝（埃及）、塞琉古王朝（敘利亞）。

亞歷山大燈塔（匈牙利，1980）。亞歷山大城現在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大（法羅斯）燈塔，建于托勒密王朝鼎盛時期的公元前285－前247年，建成的燈塔高達117米，1375年的一次猛烈地震，燈塔全毀，法羅斯島連同附近海岸地區慢慢沉入海底，千古奇觀從此煙消云散。

世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽神銅像，他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡，那是古代西方人眼中的全部世界，而中國的長城距他們太遠了。記錄者古希臘哲學家費隆·拜占廷說過：“心眼所見，永難磨滅”。

2、亞歷山大學派時期

公元前300－前30年。托勒密（托勒密·索特爾，約前367－前283年）統治下的希臘埃及，定都于亞歷山大城，于公元前300年左右，開始興建亞歷山大藝術博物館和圖書館，提倡學術，羅致人才，進入了亞歷山大時期：希臘數學黃金時代，先后出現了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數學家，他們的成就標志了古典希臘數學的巔峰。

2.1 歐幾里得（公元前325－前265年）

早年學習于雅典，公元前300年應托勒密一世之請來到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識建成一座巍峨的大廈，他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古，成為后人難以跨躍的高峰。“幾何無王者之道”，后推廣為：“求知無坦途”。

《原本》（Στοιχετα，意指：學科中具有廣泛應用的最重要的定理）。13卷： 第一卷：直邊形，全等、平行公理、畢達哥拉斯定理（世界最早、完整、嚴格的證明）、初等作圖法等；

第二卷：幾何方法解代數問題，求面積、體積等； 第三、四卷：圓、弦、切線、圓的內接、外切； 第五、六卷：比例論與相似形； 第七、八、九、十卷：數論；

第十一、十二、十三卷：立體幾何，包括窮竭法，是微積分思想的來源。采用了亞里士多德對公理、公設的區分，由5條公理，5條公設，119條定義和465條命題組成，構成了歷史上第一個數學公理體系。

5公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。

5公設：（1）假定從任意一點到任意一點可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長；（3）以任意中心和直徑可以畫圓；（4）凡直角都彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們都在同旁內角和小于兩直角的一側相交。

《原本》是數學史上第一座理論豐碑，確立了數學的演繹范式，正如英國著名哲學與數學家羅素（1872－1970年）說過：“歐幾里得的《原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一”。它也成為科學史上流傳最廣的著作之一，僅從1482年第一個拉丁文印刷本在威尼斯問世以來，已出了各種文字的版本1000多個。存在缺陷，定義借助直觀，公理系統不完備。

2.2 數學之神：阿基米德（公元前287－前212年）與牛頓（英，1642－1727年）、高斯（德，1777－1855年）并列有史以來最偉大的三大數學家之一，出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門生。

“給我一個支點，我就可以移動地球”。最為杰出的數學貢獻是，在《圓的度量》中，發展了200年前安蒂豐的窮竭法，用于計算周長、面積或體積，通過計算圓內接和外切正96邊形的周長，求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間（約為3.14），這是數學史上第一次給出科學求圓周率的方法，把希臘幾何學幾乎提高到西方17世紀后才得以超越的高峰。阿基米德螺線，一位應用數學家，阿基米德之死（在保衛敘拉古的戰斗中被羅馬士兵所殺）。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數學發現的象征圖形：球及其外切圓柱。

2.3 阿波羅尼奧斯（約公元前262－前190年），出生于小亞細亞的珀爾加，年青時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門生學習，貢獻涉及幾何學和天文學，最重要的數學成就是在前人工作的基礎上創立了相當完美的圓錐曲線論，以歐幾里得嚴謹風格寫成的傳世之作《圓錐曲線》，是希臘演繹幾何的最高成就，用純幾何的手段達到了今日解析幾何的一些主要結論，確實令人驚嘆，對圓錐曲線研究所達到的高度，直到17世紀笛卡兒、帕斯卡出場之前，始終無人能夠超越。《圓錐曲線》全書共8卷，含487個命題。

克萊因（美，1908－1992年）：它是這樣一座巍然屹立的豐碑，以致后代學者至少從幾何上幾乎不能再對這個問題有新的發言權。這確實可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。

貝爾納（英，1901－1971年）：他的工作如此的完備，所以幾乎二千年后，開普勒和牛頓可以原封不動地搬用，來推導行星軌道的性質。

3、希臘數學的衰落

公元180年前后的羅馬帝國版圖。

公元前6世紀，在意大利半島的臺伯河畔，有一座羅馬城逐漸建立起來。公元前509年，羅馬建立了共和國。古羅馬經過多個世紀的戰爭，時分時合多次。公元前27年，羅馬建立了元首政治，共和國宣告滅亡，從此進入羅馬帝國時代。在公元前1世紀完全征服了希臘各國而奪得了地中海地區的霸權，建立了強大的羅馬帝國。1世紀時，羅馬帝國繼續擴張，到2世紀，帝國版圖確定下來，它地跨歐、亞、非三洲，地中海成了它的內湖。傳統的史學家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國。

進入晚期羅馬帝國時期，帝國在戰亂中于395年由最后一個君主提奧多正式把帝國分為兩部分，西部以羅馬為首都分給了長子阿卡狄（稱為西羅馬帝國），東部以君士坦丁堡（今土耳其的伊斯坦布爾）為首都分給了次子賀諾里（稱為東羅馬帝國）。476年，西羅馬帝國皇帝被日耳曼人廢掉，西羅馬帝國滅亡，西歐奴隸制社會的歷史結束了，從此進入了封建社會時期。

古羅馬斗獸場（建于公元70－82年）。西班牙古羅馬高架引水橋（建于公元1世紀末2世紀初）高架引水橋從遙遠的雪山引水到阿爾卡薩城堡，全長15公里，有166個拱門，它由2萬多塊大石頭堆砌而成，石塊間沒有任何水泥等灰漿類物質黏合，至今仍能堅固完好，實在令人嘆為觀止。據說，這座已經1900歲引水橋的引水功能，直到1950年還在使用呢！如今它是塞哥維亞的標志性建筑。

羅馬帝國的建立，唯理的希臘文明從而被務實的羅馬文明所取代。同氣勢恢弘的羅馬建筑相比，羅馬人在數學領域遠談不上有什么顯赫的功績。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統治者對自由研究的寬松態度，在相當長一段時間內亞歷山大城仍然維持學術中心的地位，產生了一批杰出的數學家和數學著作。從公元前30年－公元600年常稱為希臘數學的“亞歷山大后期”。

3.1 托勒密（埃及，90－165年），在亞歷山大城工作，最重要的著作是《天文學大成》（《至大論》）13卷

第一、二卷：地心體系的基本輪廓； 第三卷：太陽運動； 第四卷：月亮運動；

第五卷：計算月地距離和日地距離； 第六卷：日食和月食的計算； 第七、八卷：恒星和歲差現象；

第九－十三卷：分別討論五大行星的運動，本輪和均輪的組合在這里得到運用。

提出地心說而成為整個中世紀西方天文學的經典。《大成》中總結了在他之前的古代三角學知識，其中最有意義的貢獻是包含有一張正弦三角函數表，這是歷史上第一個有明確的構造原理并流傳于世的系統的三角函數表。三角學的貢獻是亞歷山大后期幾何學最富創造性的成就。

托勒密的本輪－均輪模型。

3.2 丟番圖（公元200－284年）《算術》

亞歷山大后期希臘數學的一個重要特征是突破了前期以幾何學為中心的傳統，使算術和代數成為獨立的學科。希臘算術與代數成就的最高標志是丟番圖的《算術》，這是一部具有東方色彩、對古典希臘幾何傳統最離經叛道的算術與代數著作，其中最有名的一個不定方程：將一個已知的平方數分為兩個平方數。17世紀法國數學家費馬在閱讀《算術》時對該問題給出一個邊注，引出了后來舉世矚目的“費馬大定理”。另一重要貢獻是創用了一套縮寫符號，一種“簡寫代數”，是真正的符號代數出現之前的一個重要階段。

關于丟番圖的生平，知之甚少，推測大約公元250年前后活動于亞歷山大城，知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘：墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實地記錄了所經歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點燃起結婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲到的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進入冰冷的墓。悲傷只有用數論的研究去彌補，又過四年，他也走完了人生的旅途。

這相當于方程：1/6?x+1/12?x+1/7?x+5+1/2?x+4=x，x=84。古希臘數學的落幕。

基督教在羅馬被奉為國教后，將希臘學術視為異端邪說，對異教學者橫加迫害。公元415年，亞歷山大女數學家希帕蒂婭（公元370－415年）被一群聽命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作，是歷史上第一位杰出的女數學家。希帕蒂婭的被害預示了在基督教的陰影籠罩下整個中世紀歐洲數學的厄運。

柏拉圖學園被封閉。公元529年東羅馬皇帝查士丁尼（527－565年）下令封閉了雅典的所有學校，包括柏拉圖公元前387年創立的雅典學院。

亞歷山大圖書館（當時世界上藏書最多的圖書館）三劫，希臘古代數學至此落下帷幕。

第1次劫難：前47年，羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊，大火殃及亞歷山大圖書館，70萬卷圖書付之一炬。

第2次劫難：公元392年羅馬狄奧多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟，30多萬件希臘文手稿被毀。

第3次劫難：公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。

附：埃及陽歷、儒略歷、格里歷、公歷

目前通行世界的公歷，是我們大家最熟悉的一種陽歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創造的文明，是古羅馬人向埃及人學得，并隨著羅馬帝國的擴張和基督教的興起而傳播于世界各地。

由于計算尼羅河泛濫周期的需要，產生了古埃及的天文學和太陽歷。埃及陽歷：每年365天，12個月，每月30天，外加5天年終節日。天文學家索西吉斯（前90－？）建議羅馬儒略·凱撒（前100－前44年）大帝使用陽歷，注意4年置閏一次；公元前46年制定儒略歷。

儒略歷：平年365天，12個月，大月31天，小月30天，單月為大月（凱撒生日在7月），8月也定為大月（屋大維（奧古斯都，前63－公元14年，凱撒姐姐的兒子，是凱撒遺囑的第一繼承人，生日在8月），從8月開始，單月為小，雙月為大，所欠缺的天數均從2月（不吉利的月份）里扣除，使之成為28天。閏年366天，使2月成為29天。

儒略歷從公元前45年1月1日開始實行。

公元325年，羅馬教皇將儒略歷規定為教歷。公歷的紀元，就是從“耶穌降生”的那年算起的，這與基督教的興盛密切相關。

問題： 一年365.25天比實際回歸年長度365.2422多0.0078天，至公元1582年，已與實際天數多了10天。

為了不違背宗教的規定，滿足教會對歷法的要求，羅馬教皇格里高利13世設立了改革歷法的專門委員會，比較了各種方案后，決定采用意大利醫生利里奧的方案，在400年中去掉儒略歷多出的三個閏年。

格里歷：羅馬教皇格里高利13世，將1582年10月5日直接變成15日；在4年一閏的基礎上每逢百之年只有能被400整除的才算閏年；歷年的平均長度為365.2425，更接近回歸年長度（與回歸年長度相差25.92秒），要過3333歷年兩者才會相差1日。

由于格里歷的內容比較簡潔，便于記憶，而且精度較高，與天時符合較好，因此它逐步為各國政府所采用。

公歷：格里歷先在天主教國家使用，20世紀初為全世界普遍采用，所以又叫公歷。

我國于1912年開始采用公歷，但仍用中華民國紀年，1949年中華人民共和國成立后，采用公歷紀年。

思考題

1、試分析芝諾悖論：飛矢不動。

2、歐幾里得《原本》對數學以及整個科學的發展有什么意義？

3、簡述歐幾里得《原本》的現代意義？

4、以“化圓為方”問題為例，說明未解決問題在數學中的重要性。

5、體驗阿基米德方法：通過計算半徑為1的圓內接和外切正96邊形的周長，計算圓周率的近似值，計算到小數點后3位數。

6、畢達哥拉斯學派是怎樣引起第一次數學危機的？他們為什么要對這次數學危機采取回避的態度？

第三講：中世紀的東西方數學I

中國傳統數學的形成與興盛：公元前1世紀至公元14世紀。分成三個階段：《周髀算經》與《九章算術》、劉徽與祖沖之、宋元數學，這反映了中國傳統數學發展的三次高峰，簡述9位中國科學家的數學工作。

1、中算發展的第一次高峰：數學體系的形成

秦始皇陵兵馬俑（中國，1983），秦漢時期形成中國傳統數學體系。我們通過一些古典數學文獻說明數學體系的形成。1983－1984年間考古學家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年（即呂后至文帝初年，約為公元前170年前后）的竹簡，共千余支。經初步整理，其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數學著作，據寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算數書》，它是中國現存最早的數學專著。經研究，它和《九章算術》（公元1世紀）有許多相同之處，體例也是“問題集”形式，大多數題都由問、答、術三部分組成，而且有些概念、術語也與《九章算術》的一樣。

《周髀算經》（髀：量日影的標桿）編纂于西漢末年，約公元前100年，它雖是一部天文學著作（“蓋天說”－天圓地方；中國古代正統的宇宙觀是“渾天說”－大地是懸浮于宇宙空間的圓球，“天體如彈丸，地如卵中黃”），涉及的數學知識有的可以追溯到公元前11世紀（西周），其中包括兩項重要的數學成就：勾股定理的普遍形式（中國最早關于勾股定理的書面記載），數學在天文測量中的應用（測太陽高或遠的“陳子測日法”，陳子約公元前6、7世紀人，相似形方法）。

勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日。

中國傳統數學最重要的著作是《九章算術》（東漢，公元100年）。它不是出自一個人之手，是經過歷代多人修訂、增補而成，其中的數學內容，有些也可以追溯到周代。中國儒家的重要經典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學的六門課程“六藝”（禮、樂、射、御、書、數）中有一門是“九數”。《九章算術》是由“九數”發展而來。在秦焚書（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。經過西漢張蒼（約公元前256－152年，約公元前200年，西漢陽武（今河南原陽）人）、耿壽昌（公元前73－49年，約公元前50年）等人刪補，大約成書于東漢時期，至遲在公元100年。

全書246個問題，分成九章：（1）方田（土地測量），包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環形、弓形、截球體的表面積計算，另有約分、通分、四則運算，求最大公約數等運算法則；（2）粟米（糧食交易的比例方法）；（3）衰分（比例分配的算法），介紹依等級分配物資或按等級攤派稅收的比例分配算法；（4）少廣（開平方和開立方法）；（5）商功（立體形求體積法）；（6）均輸（征稅），處理行程和合理解決征稅問題，包括復比例和連比例等比較復雜的比例分配問題；（7）盈不足（盈虧類問題解法及其應用）；（8）方程（一次方程組解法和正負數）；（9）勾股（直角三角形），介紹利用構股定理測量計算高、深、廣、遠的問題。所包含的數學成就是豐富和多方面的，主要內容包括分數四則和比例算法、面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等，既有算術方面的，也有代數與幾何方面的內容。如方程第一題，其算籌式為

它完整地敘述了當時已有的數學成就，對中國傳統數學發展的影響，如同《原本》對西方數學發展的影響一樣深遠，在長達一千多年間，一直作為中國的數學教科書，并被公認為世界數學古典名著之一。《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系正式形成。

2、中算發展的第二次高峰：數學穩步發展 三國演義（中國，1998）。

從公元220年東漢分裂，到公元581年隋朝建立，史稱魏晉南北朝。這是中國歷史上的動蕩時期，也是思想相對活躍的時期。在長期獨尊儒學之后，學術界思辨之風再起，在數學上也興起了論證的趨勢。許多研究以注釋《周髀算經》、《九章算術》的形式出現，實質是尋求這兩部著作中一些重要結論的數學證明。這是中國數學史上一個獨特而豐產的時期，是中國傳統數學穩步發展的時期。

《九章算術》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。

2.1 劉徽（魏晉，公元3世紀）（中國，2002），淄鄉（今山東鄒平縣）人，布衣數學家，于263年撰《九章算術注》，不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，并且多有創造，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位，成為中國傳統數學最具代表性的人物。

劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積）。在劉徽之前，通常認為“周三徑一”，即圓周率取為3。劉徽在《九章算術注》中提出割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，通過計算圓內接正3072邊形的面積，求出圓周率為3927/1250（=3.1416）（阿基米德計算了圓內接和外切正96邊形的周長）。為方便計算，劉徽主張利用圓內接正192邊形的面積求出157/50（=3.14）作為圓周率，后人常把這個值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來推算圓周率的數學家，并享有國際聲譽。

讓我們來體會劉徽的“割圓術”。

劉徽對π的估算值（密克羅尼西亞，1999）。

劉徽利用極限思想求圓的面積，就極限思想而言，從現存中國古算著作看，在清代李善蘭及西方微積分學傳入中國之前，再沒有人超過甚至達到劉徽的水平。2000年國家最高科學技術獎得主吳文俊院士指出：“從對數學貢獻的角度來衡量，劉徽應該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。

劉徽的數學思想和方法，到南北朝時期被祖沖之推進和發展。

2.2 祖沖之（429－500年），范陽遒縣（今河北淶源）人，活躍于南朝的宋、齊兩代，曾做過一些小官，但他卻成為歷代為數很少能名列正史的數學家之一。祖沖之：“遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數可推。”

祖沖之的著作《綴術》，取得了圓周率的計算和球體體積的推導兩大數學成就。祖沖之關于圓周率的貢獻記載在《隋書》（唐，魏征主編）的《律歷志》中：“古之九數，圓周率三，圓徑率一，其術疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒，各設新率，未臻折衷。宋末，南徐州（今江蘇鎮江）從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。” 即，祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，并以355/113（=3.1415929…）為密率，22/7（=3.1428…）為約率。

1913年日本數學史家三上義夫（1875－1950年）在《中國和日本的數學之發展》里主張稱355/113為祖率。

祖沖之如何算出如此精密結果，《隋書·律歷志》寫道：“所著之書，名為《綴術》，學官莫能究其深奧，是故廢而不理”。《綴術》失傳了，沒有任何史料流傳下來。史學家認為，祖沖之除開繼續使用劉徽的“割圓術”“割之又割”外，并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法，繼續算至圓內接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。

《綴術》的另一貢獻是祖氏原理 ：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理，因為1635年意大利數學家卡瓦列里（1598－1647年）獨立提出，對微積分的建立有重要影響。

在數學成就方面，整個唐代卻沒有產生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時期相媲美的數學大家，主要的數學成就在于建立中國數學教育制度。為了教學需要唐初由李淳風（604－672年）等人注釋并校訂了《算經十書》（約656年），即《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》（劉徽）、《孫子算經》（約成書于公元400年，內有“物不知數”問題）、《夏候陽算經》（成書于公元6、7世紀，內有“百雞問題”：今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一。凡百錢，買雞翁、母、雛各幾何）、《張邱建算經》（張邱建，北魏清河（今邢臺市清河縣）人，約成書于公元466－485年間）、《綴術》（祖沖之）、《五曹算經》（北周甄鸞（字叔遵，河北無極人）著）、《五經算經》（北周甄鸞著）和《緝古算經》（約成書于626年前后，唐王孝通，內有三次方程及其根，但沒有解題方法）。十部算經對繼承古代數學經典有積極的意義，顯示了漢唐千余年間中國數學發展的水平，是當時科舉考試的必讀書（公元587年隋文帝開創中國的科舉考試制度，1905年清朝廢止科舉制度）。

3、中算發展的第三次高峰：數學全盛時期

社會背景：公元960年，北宋王朝的建立結束了五代十國（907－960年）割據的局面。北宋的農業、手工業、商業空前繁榮，科學技術突飛猛進，火藥、指南針、印刷術三大發明就是在這種經濟高漲的情況下得到了廣泛應用。雕版印書的發達，特別是北宋中期，在宋仁宗慶歷年間（約1041—1048年），畢升活字印刷術的發明（平民發明家畢升總結了歷代雕版印刷的豐富的實踐經驗，經過反復試驗，制成了膠泥活字，實行排版印刷，完成了印刷史上一項重大的革命，關于畢升的生平事跡，人們卻一無所知，幸虧畢升創造活字印刷術的事跡，比較完整地記錄在北宋著名科學家沈括的名著《夢溪筆談》里），給數學著作的保存與流傳帶來了福音。事實上，整個宋元時期（960—1368年），重新統一了的中國封建社會發生了一系列有利于數學發展的變化，以籌算為主要內容的中國傳統數學達到了鼎盛時期。中國傳統數學以宋元數學為最高境界。這一時期涌現許多杰出的數學家和先進的數學計算技術，其印刷出版、記載著中國傳統數學最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產。

下面介紹宋元時期的一些計算技術。3.1 賈憲三角

賈憲（約公元11世紀）是北宋人，在朝中任左班殿值，約1050年完成一部叫《黃帝九章算術細草》的著作，原書丟失，但其主要內容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄，因能傳世。賈憲發明了“增乘開方法”，是中算史上第一個完整、可推廣到任意次方的開方程序，一種非常有效和高度機械化的算法。在此基礎上，賈憲創造了“開方作法本源圖”（即“古法七乘方圖”或賈憲三角），西方人叫“帕斯卡三角”或“算術三角形”，因為法國數學家帕斯卡（1623－1662年）于1654年發表論文《論算術三角形，以及另外一些類似的小問題》。

算術三角形（利比里亞，1999）。3.2 隙積術 沈括（1030－1094年），北宋錢塘（今浙江杭州）人，北宋著名的科學家，1080年任延州（今陜西延安市）知州，因1082年的“永樂城（今寧夏銀川附近）之戰”敗于西夏（1032－1227年）而結束政治生涯，經過6年的軟禁之苦后，開始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多，其中以《夢溪筆談》（1093年）影響最大，內容包括數學、天文、歷法、地理、物理、化學等領域，被英國著名科學史家李約瑟譽為“中國科學史的里程碑”。他對數學的主要成就有兩項，會圓術（解決由弦求孤的問題）和隙積術（開創研究高階等差級數之先河）。

3.3天元術

李冶（金、元，1192－1279年），金代真定欒城（今河北欒城）人，出生的時候，金朝（1115－1234年）正由盛而衰，曾任鈞州（今河南禹縣）知事，1232年鈞州被蒙古軍所破，遂隱居于封龍山治學，潛心學問。1248年撰成代數名著《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”（一元高次方程）的著作，“天元術”與現代代數中的列方程法相類似，稱未知數為天元，“立天元一為某某”，相當于“設x為某某”，可以說是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術》“正負術”中云：“正算赤，負算黑”，李冶感到用筆記錄時換色的不便，便在《測圓海鏡》中用斜畫一杠表示負數。

“積財千萬，不如薄技在身”。

李冶的天元術列方程：x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4 大衍術

秦九韶（約1202－1261年），南宋普州安岳（今四川安岳）人，曾任和州（今安徽和縣）守，1244年，因母喪離任，回湖州（今浙江吳興）守孝三年。此間，秦九韶專心致志于研究數學，于1247年完成數學名著《數書九章》，內容分為九類：大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市易類，其中有兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。

《數書九章》是我國古算中最早用圓圈Ο表示0號的著作。

一是發展了一次同余組解法，創立了“大衍求一術”（一種解一次同余式的一般性算法程序，現稱中國剩余定理，所謂“求一”，通俗他說，就是求“一個數的多少倍除以另一個數，所得的余數為一”）的一般解法。中算家對于一次同余式問題解法最早見于《孫子算經》（約公元400年）中的“物不知數問題”（亦稱“孫子問題”）：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？。《孫子算經》給出的答案是23，但其算法很簡略，未說明其理論根據。秦九韶在《數書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方，最早接觸一次同余式的是意大利數學家斐波那契（1170－1250年）于1202年在《算盤書》中給出了兩個一次同余問題，但沒有一般算法，1743年瑞士數學家歐拉（1707－1783年）和1801年德國數學家高斯（1777－1855年）才對一次同余組進行了深入研究，重新獲得與中國剩余定理相同的結果。

二是總結了高次方程數值解法，將賈憲的“增乘開方法”推廣到了高次方程的一般情形，提出了相當完備的“正負開方術”（現稱秦九韶法）。在西方，直到1804年意大利數學家魯菲尼（1765－1822年）才創立了一種逐次近似法解決數字高次方程無理根的近似值問題，而1819年英國數學家霍納（1786－1837年）才提出與“增乘開方法”演算步驟相同的算法，西方稱霍納法。

3.5 垛積術

楊輝（公元13世紀），南宋錢塘（今浙江杭州）人，曾做過地方官，足跡遍及錢塘、臺州、蘇州等地，是東南一帶有名的數學家和數學教育家。楊輝的主要數學著作之一《詳解九章算法》（1261年）是為了普及《九章算術》中的數學知識而作，它從《九章算術》的246道題中選擇了80道有代表性的題目，進行詳解，其中主要的數學貢獻是“垛積術”，這是在沈括“隙積術”的基礎上發展起來的，由多面體體積公式導出相應的垛積術公式。另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。

3.6 四元術

朱世杰（約1260－1320年），寓居燕山（今北京附近），當時的北方，正處于天元術逐漸發展成為二元術、三元術的重要時期，朱世杰在經過長期游學、講學之后，終于在1299年和1303年在揚州刊刻了他的兩部代表作《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。

中國數學自晚唐以來不斷發展的簡化籌算的趨勢有了進一步的加強，日用數學和商用數學更加普及，南宋時期楊輝可以作為這一傾向的代表，而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學術成就而論，《四元玉鑒》遠超《算學啟蒙》，它是中國宋元數學高峰的又一個標志，主要貢獻有四元術和招差術（高次內插公式）。

四元術是多元高次方程列方程和解方程的方法，未知數最多可達四個，即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會元”，其中四元布列意為即元氣（常數項）居中，天元（未知數x）于下，地元（未知數y）于左，人元（未知數z）于右，物元（未知數u）于上，所以上述方程指“?x2?2x?xy2?xz?4y?4z?0”。

朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說道：《四元玉鑒》，其法以元氣居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，陰陽升降，進退左右，互通變化，錯綜無窮。

清代數學家羅士琳（1774—1853年）在《疇人傳·續編·朱世杰條》中說：漢卿在宋元間，與秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可稱鼎足而三。道古正負開方，仁卿天元如積，皆足上下千古，漢卿又兼包眾有，充類盡量，神而明之，尤超越乎秦李之上。

美國著名科學史家薩頓（1884－1956年）說：朱世杰是漢民族，他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數學家。

3.7 內插法

郭守敬（1231－1316年），順德邢臺（今河北邢臺）人，元代大天文學家、數學家、水利專家和儀器制造家，曾任工部郎中、太史令、都水監事和昭文館大學士等官職。與太史令王恂（1235－1281年，中山府（今河北定州）唐縣（今唐縣人），至元十八年（1281年），王恂喪父，去官守孝。守孝期間，因悲傷過度，不思飲食，饑餒染病而亡，享年46歲），一同吸收了前代歷法的精華，運用宋金兩朝的數學成就（包括沈括的會圓術），使用了三次內插公式，在1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》。設定一年為365.2425天，比地球繞太陽一周的實際運行時間只差26秒，早于歐洲1582年開始使用的“格里歷”300年，使用時間長達363年（1281－1643年），中國古代的歷法也發展到了高峰。

此外，1276年，郭守敬根據鏡成象原理發明了“景符”測影器，制造了世界聞名的簡儀、高表、窺（kuí）幾、仰儀、日晷（guǐ）、渾天象等12種天文儀器，元至元十三年（l276年）建造的河南登封觀星臺留存至今。古希臘數學以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式，與中國傳統數學以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化模式相輝映，交替影響世界數學的發展。這一時期創造的宋元算法，如隙積術、大衍術、開方術、垛積術、招差術、天元術等在世界數學史上占有光輝的地位。

4、中算的衰落

朱世杰可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的頂峰，而《四元玉鑒》可以說是宋元（960－1368年）數學的絕唱。14世紀中、后葉，明王朝建立以后，統治者奉行以八股文為特征的科舉制度，1370年明太祖朱元璋（1328－1398年）規定八股文為科舉考試的主要文體，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，明初起300余年內中國傳統數學研究呈現全面衰退，致使明代大數學家看不懂宋元重要數學成就。明清兩朝（1368－1911年）共543年，不僅未能產生出與《數書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數學杰作，而且在18世紀中葉“乾嘉學派”重新發掘研究以前，像“四元術”這樣一些宋元數學的精粹長期失傳、無人通曉。

中國與西方科學發展示意圖。

思考題

1、簡述劉徽的數學貢獻。

2、用數列極限證明：圓內椄正6?2^{n}邊形的周長的極限是圓周長。

3、《九章算術》在中國數學發展史上的地位和意義如何？

4、試比較阿基米德證明體積計算公式的方法與中國古代數學家的球體積計算公式的推導方法的異同。

5、更精確地計算圓周率是否有意義？談談您的理由。

6、分析宋元時期中國傳統數學興盛的社會條件。

第四講：中世紀的東西方數學II 主要內容：印度數學、阿拉伯數學、中世紀的歐洲數學，簡述了10位科學家的數學工作。

1、印度數學（公元5－12世紀）背景：古印度簡況 印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀中葉出現在印度西北部，逐漸向南擴張。雅利安（梵（fàn）文，原意是“高貴的”或“土地所有者”）人入侵印度，征服了土著居民達羅毗荼人，影響逐漸擴散到整個印度，在到達以后的第一個千年里，創造了書寫和口語的梵文，在印度創立了更為持久的文明，印度土著文化從此衰微不振。吠陀教也是雅利安人創造的，這是印度最古老而又有文字記載的宗教。可以說，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵語之上。

史前時期：公元前2300年前，公元前2500年前后，先民開始使用文字； 哈拉帕文化（1922年印度哈拉帕地區發掘發現）：前2300－前1750年，印度河流域出現早期國家；

早期吠陀時代：前1500－前900年，前1500年左右，吠陀時代開始，印度文明的中心漸次由西向東推進到恒河流域，后雅利安人侵入印度；

后期吠陀時代：前900－前600年，雅利安人的國家形成，婆羅門教形成； 列國時代：前6－前4世紀，摩揭陀國在恒河流域中部稱霸，開始走上統一北印度的道路，佛教產生；

帝國時代：前4－公元4世紀，從孔雀王朝到貴霜帝國；

印度歷史上曾出現過強盛的王朝，如孔雀王朝（前324－前187年）、笈多王朝（公元320－540年），但總體而言，整個古代和中世紀，富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵擾之下，如波斯帝國、馬其頓帝國、貴霜帝國的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占，所以古代印度文化不可避免地呈現出多元復雜的背景，最顯著的特色是其宗教性。

印度的宗教主要是婆羅門教、印度教，梵天是婆羅門教、印度教的創造神。婆羅門教是印度古代宗教之一，起源于公元前2000年的吠陀教，形成于公元前7世紀。公元前6世紀－公元4世紀是婆羅門教的鼎盛時期，公元4世紀以后，由于佛教和耆（qí）那（梵文，本意“勝利者”或“征服者”）教的發展，婆羅門教開始衰弱。公元8、9世紀，婆羅門教吸收了佛教和耆那教的一些教義，結合印度民間的信仰，經商羯羅改革，逐漸發展成為印度教。印度教與婆羅門教沒有本質上的區別，其教義基本相同，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報、人生輪回，輪回的形態取決于現世的行為，只有達到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。

印度數學分為河谷文化時期（約公元前3000－前1400年）、吠陀時期（約公元前10－前3世紀）、悉檀多時期（公元5－12世紀）。

1.1 吠陀時期（公元前10－前3世紀）

《吠陀》手稿（毛里求斯，1980），《吠陀》（梵文，意為知識、光明）是印度雅利安人的作品，成書于公元前15－前5世紀，歷時1000年左右，婆羅門教的經典，其中的《繩法經》（前8－前2世紀）是《吠陀》中關于廟宇、祭壇的設計與測量的部分（釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚佛教時期，佛教是古印度的迦毗羅衛國（今尼泊爾境內）王子喬達摩·悉達多所創，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數知識，如畢達哥拉斯定理、圓周率的近似值等。

阿育王（在位年代約為公元前268－前232年）是印度第一個信奉佛教的君主，阿育王石柱（尼泊爾，1996）記錄了現在阿拉伯數字的最早形態。

公元前2世紀至公元后3世紀的印度數學，可參考的資料主要是1881年發現的書寫在樺樹皮上的“巴克沙利手稿”（巴克沙利當時和古代大部分時間屬于印度，今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊），其數學內容十分豐富，涉及到分數、平方根、數列、收支與利潤計算、比例算法、級數求和、代數方程等，出現了完整的十進制數碼，其中有“?”（點）表示0，后來逐漸演變為現在通用的“0”，這一過程至遲于公元9世紀已完成，有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證，這是印度數學的一大發明。

印度頭等重要的天文學著作，無名氏著的《蘇利耶歷數全書》（梵文，意思是太陽的知識，相傳為太陽神蘇利耶所著）大約是公元5世紀所寫（1860年被譯為英文）。印度數學從這個時期開始對天文學比對宗教更有用。

1.2 “悉檀多”時期（公元5世紀－12世紀）

悉檀多是梵文，佛教術語，為“宗”或“體系”之意，意譯為“歷數書”。這是印度數學的繁榮鼎盛時期，是以計算為中心的實用數學的時代，數學貢獻主要是算術與代數，出現了一些著名的數學家。

1.2.1阿耶波多（公元476－約550年）

在印度的科學史上有重要的影響的人物，“阿耶波多號”人造衛星（印度，1975）。最早的印度數學家，499年天文學著作《阿耶波多歷數書》（圣使天文書）傳世（相當于祖沖之《綴術》的年代），最突出之處在于對希臘三角學的改進,制作正弦表（sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416（與劉徽所得的近似值相當），建立了丟番圖方程求解的“庫塔卡”（原意為“粉碎”）法。

1.2.2 婆羅摩笈多（598－約665年）

印度古天文臺：烏賈因天文臺。在這段時間（中國的隋唐時期），整個世界（無論東方還是西方）都沒有產生一個大數學家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉烏賈因天文臺工作，在望遠鏡出現之前，它可謂是東方最古老的天文臺之一。628年發表天文學著作《婆羅摩修正體系》（宇宙的開端），這是一部有21章的天文學著作，其中第12、18章講的是數學，分數成就十分可貴，比較完整地敘述了零的運算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。

1.2.3婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）

印度的第二顆人造衛星“婆什迦羅號”（1979）。

印度古代和中世紀最偉大的數學家、天文學家婆什迦羅，出生于印度南方的比德爾，成年后來到烏賈因天文臺工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來還做了這家天文臺的臺長。

古印度數學最高成就《天文系統之冠》（1150年，中國的南宋時期），其中有兩部婆什迦羅的重要數學著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。

《算法本源》主要探討代數問題。《莉拉沃蒂》（原意“美麗”）從一個印度教信徒的祈禱開始展開，講的是算術問題，流傳著一個浪漫的故事。

《莉拉沃蒂》中的一個算術問題：帶著微笑眼睛的美麗少女，請你告訴我，按照你的理解的正確反演法，什么數乘以3，加上這個乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？根據反演法，從2這個數開始回推，于是（2?10－8）^2＝144，144＋52＝196，196＝14，14?（3/2）?7?（4/7）/3=28，答案是28。

由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學和數學受外來文化影響較深，但印度數學始終保持東方數學以計算為中心的實用化特點。現代初等算術運算方法的發展，起始于印度，可能在大約10、11世紀，它被阿拉伯人采用，后來傳到歐洲，在那里，它們被改造成現在的形式。這些工作受到15世紀歐洲算術家們的充分注意。

與算術和代數相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩的語言來表達數學，他們的著作含糊而神秘（雖然發明了零號），且多半是經驗的，很少給出推導和證明。

2、阿拉伯數學（公元8－15世紀）背景：阿拉伯簡況

阿拉伯帝國的興盛被認為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經歷有關。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當時是一個遠離商業、藝術和文化中心的落后地區，穆罕默德在極其艱苦的條件下長大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經濟狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領悟到有且只有一個全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創立了伊斯蘭教，至632年一個以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統一的阿拉伯國家出現于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來歷，它在阿拉伯語里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。

四大哈里發時期（632－661年）：632年穆罕默德逝世后，他的最初四個繼任者，哈里發為阿拉伯文的音譯，意為真主使者的“繼承人”。

以“圣戰”為名進行大規模的武力擴張，為阿拉伯帝國的建立奠定了基礎。大約在650年，依據穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經》（伊斯蘭教的最根本經典，伊斯蘭教義的最高準則和綱領，伊斯蘭教法的立法依據，由先知穆罕默德從610－632年歷時22年的傳教過程中陸續頒布的）問世，被穆斯林認為是上天的啟示。

《圣訓》（穆罕默德闡釋《古蘭經》和實踐伊斯蘭教理的言行錄）中說：學問雖遠在中國，亦當求之。

倭（wō）馬亞王朝時期（661－750年）：主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族，因此他們把首都遷至大馬士革，遵奉伊斯蘭教的遜尼派（正統派），崇尚白色，中國史籍稱“白衣大食”。倭馬亞王朝發動大規模的對外戰爭，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵里海和中亞，南達北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國。迄今為止，這可能是人類歷史上最大的帝國。

倭馬亞王朝的不斷擴張和森嚴的等級統治逐漸激起了尖銳的階級矛盾。各教派和各族人民的反抗斗爭不斷發生。在今天的伊朗一帶崛起了一個新的教派——阿拔斯派。他們利用東方各地人民起義的力量推翻了倭馬亞王朝的統治，750年，盛極一時的“白衣大食”滅亡了。

阿拔斯王朝時期（750－1258年）：阿拉伯帝國第二個封建王朝，因其旗幟尚黑，中國史籍稱“黑衣大食”。750年，由阿拉伯貴族艾布·阿拔斯（750－754年在位）創建，故名。

755年阿拉伯帝國分裂為兩個獨立王國，東部王國阿拔斯王朝762年遷都巴格達，750－842年是帝國的極盛時代，哈里發哈龍?蘭希（公元786－808年統治巴格達）因《天方夜譚》（又名《一千零一夜》）而為人們所熟知，巴格達成為阿拉伯人創建的“一座舉世無雙的城市”，國際貿易與文化中心之一，創造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期（750－850年）的100年是阿拉伯文化的飛速發展時期，同時也是譯述活動的繁榮時期，希臘語占首位，其次是古敘利亞語、波斯語、梵語、希伯來語和奈伯特語，許多重要的學術著作在政府的規劃下有組織、有領導地被譯成阿拉伯文，史稱“百年翻譯運動”。9世紀中葉后，王朝進入分裂和衰落時代，1258年蒙古軍隊攻陷巴格達。

麥加城大清真寺：伊斯蘭教第一圣寺。阿拉伯人之所以重視天文學，是因為他們需要知道祈禱的準確時間（每天5次），使廣大帝國內的臣民在祈禱時能夠明辨方向（面朝麥加）。可以說，阿拉伯人對數學的需要主要是通過天文學和占星術（根據天象來預卜人間事務的一種方術）等。

伊斯坦布爾的天文學家（1971）。

9－15世紀阿拉伯科學繁榮了600年，創立了文化中心巴格達（波斯語，“神賜的禮物”）。公元830年，哈里發麥蒙（公元809－833年統治巴格達）下令在巴格達建造了智慧宮，這里面有巨大的圖書館、觀象臺、研究院，是一個集圖書館、科學院和翻譯局于一體的聯合機構，掀起了著名的翻譯運動，包括《原本》、《圓錐曲線》和《天文學大成》等在內的希臘天文、數學經典先后被譯成了阿拉伯文。無論從哪方面來看，它都是公元前3世紀亞歷山大圖書館建立以來最重要的學術機關。很快，它就成為世界的學術中心，形成后人所謂的“巴格達學派”，研究的內容包括哲學、醫學、動物學、植物學、天文學、數學、機械、建筑、伊斯蘭教教義或阿拉伯語語法學，等等。

阿拉伯科學（突尼斯，1980）。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面作出了巨大貢獻。阿拉伯數學的貢獻，消化希臘數學，吸收印度數學，對文藝復興后歐洲數學的進步有深刻的影響。最突出的事實：值得贊美的是他們充當了世界上的大量精神財富的保存者，在黑暗時代過去之后，這些精神財富得以傳給歐洲人。

2.1 早期阿拉伯數學（8世紀中葉－9世紀）

阿爾·花拉子米（783－850年）（蘇聯，1983），生于波斯北部花拉子模地區（今烏茲別克境內），813年來到巴格達，后成為智慧宮的領頭學者。820年出版《還原與對消概要》，以其邏輯嚴密、系統性強、通俗易懂和聯系實際等特點被奉為“代數教科書的鼻祖”，1140年被羅伯特（英）譯成拉丁文傳入歐洲，成為歐洲延用幾個世紀標準的代數學教科書，這也使得花拉子米成為中世紀對歐洲數學影響最大的阿拉伯數學家，這對東方數學家來說十分罕見。阿拉伯語的“al-jabr”意為還原，即移項，傳入歐洲后，到14世紀演變為拉丁語“algebra”，就成了今天英文的“algebra”（代數），因此花拉子米的上述著作通常稱為《代數學》。可以說，正如埃及人發明了幾何學，阿拉伯人命名了代數學。

《代數學》所討論的數學問題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問題簡單，但它探討了一般性解法，因而遠比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數。《代數學》中關于三項二次方程的求解。

花拉子米的另一本書《印度計算法》，系統介紹了印度數碼和十進制記數法，12世紀，這本書便傳入歐洲并廣為傳播（其拉丁文手稿現存于劍橋大學圖書館），所以歐洲一直稱這種數碼為阿拉伯數碼。

976年的西班牙數碼。

印度－阿拉伯數碼用較少的符號，最方便地表示一切數和運算，給數學的發展帶來很大的方便，是一一項卓越的偉大貢獻。它傳入歐洲以后，加快了歐洲數學的發展，許多數學家、天文學家對這套集體智慧的發現贊美不絕。法國數學家拉普拉斯（1749－1827年）寫道：“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以至我們忽視了它的真正偉績，簡直無法估計它的奇妙程度。而當我們想到它竟逃過古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了。”

印度－阿拉伯數碼13世紀傳入我國，是元朝伊斯蘭教徒從當時西方帶進來的一套阿拉伯數碼，中國人沒有采用它。公元16世紀，西洋歷算書大量輸入我國，原著上的印度－阿拉伯數字，我國一律用中國數碼一、二、三等改譯出來。光緒十一年（公元1885年）上海出版了一本用上海口音譯出的西算啟蒙書，書中正式出現了印度－阿拉伯數字通用原型。1892年，美國傳教士狄考文（W.M.Calvin, 1836－1908年）和清代鄒立文合譯《筆算數學》一書，首次正式采用了印度－阿拉伯數字，數字是按書籍直寫的。直到1902－1905年，中國數學教科書或數學用表才普遍使用印度－阿拉伯數字，并且一律與西洋算書一樣橫排。

阿拉伯的三角學。

阿爾·巴塔尼（858－929年），出生于哈蘭（今土耳其東南部），對希臘三角學系統化的工作，最重要的著作《歷數書》（或《天文論著》、《星的科學》）中發現地球軌道是一個經常變動的橢圓，創立了系統的三角學術語，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果，對中世紀歐洲影響最大的天文學家。

2.2 中期阿拉伯數學（10－12世紀）

奧馬·海雅姆（1048－1131年）（阿爾巴尼亞，1997），出生于波斯東北部霍拉桑地區（今伊朗東北部），受命在伊斯法罕（今伊朗西部）天文臺負責歷法改革工作，編制了中世紀最精密的歷法“哲拉里歷”（在平年365天的基礎上，每33年增加8個閏日。這樣一來，與實際的回歸年僅相差19.37秒，即每4460年才誤差一天，比現在全世界實行的公歷，每400年置97個閏日，還要準確），在代數學方面的成就集中反映于他的《還原與對消問題的論證》（1070），最杰出的貢獻是研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論。這一創造，使代數與幾何的聯系更加密切，可惜在1851年以前歐洲人并不了解他的這種解析幾何方法。此外，他在證明歐幾里得平行公設方面也做了有益的嘗試。

奧馬·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建），“海亞姆”指制造或經營帳篷的職業。

阿爾·比魯尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973），出生于波斯花拉子模城的比倫郊區，三角學理論的貢獻是利用二次插值法制定了正弦、正切函數表，證明了一些三角公式，如正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，提出地球繞太陽運轉，太陽是宇宙中心的思想等。

2.3 后期阿拉伯數學（13－15世紀）

納西爾丁·圖西（1201－1274年）（伊朗，1956），出生于波斯的圖斯城（也屬霍拉桑地區，今伊朗境內），最重要的數學著作《論完全四邊形》是數學史上流傳至今最早的三角學專著。在此以前，三角學知識只出現于天文學的論著中，是附屬于天文學的一種計算方法，納西爾丁的工作使得三角學成為純粹數學的一個獨立分支，對15世紀歐洲三角學的發展起重要的作用。正是在這部書里，首次陳述了著名的正弦定理。

阿爾·卡西（1380－1429年）（伊朗，1979），出生于卡尚（今屬伊朗），在撒馬爾罕（帖木兒王國都城，今屬烏茲別克）創建天文臺，并出任第一任臺長，百科全書《算術之鈅》（1427），在數學上取得了兩項世界領先的成就，一是圓周率的計算，1424年一直算到了正3·2^28邊形的周長以給出π的17位精確值，二是給出sin1°的精確值。人們常以他的卒年（1429）作為阿拉伯數學的終結。

恰好這個時候，歐洲的文藝復興之火開始在亞平寧半島（意大利南部）點燃。

3、中世紀的歐洲數學（5－14世紀）主要內容：黑暗時期、科學復蘇。

從公元476年西羅馬帝國滅亡到14世紀文藝復興長達1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀。

公元5－11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，教會成為歐洲社會的絕對勢力，宣揚天啟真理，追求來世，淡漠世俗生活，對自然不感興趣。

3.1 教會統治

猶太教最神圣的露天會堂：哭墻（耶路撒冷圣殿山，猶太人把這座墻視為他們信仰和團結的象征。據傳說，當羅馬人占領耶路撒冷時，猶太人經常聚集在這里舉行宗教儀式。他們每每追憶往事，回想起所羅門圣殿被毀的情景，不免嚎啕大哭一場。后來常有猶太人來到這里哭號，“哭墻”因而得名。如今，每到猶太教安息日，仍然有人到“哭墻”表示哀悼）。

基督教是當今世界上傳播最廣，信徒人數最多的宗教。公元一世紀中葉，基督教產生于巴勒斯坦，“基督”一詞是古希臘語的譯音，意為“救世主”。基督教的創始人是耶穌。耶穌是上帝耶和華之子，他出生在巴勒斯坦北部的加利利的拿撒勒，母親名叫瑪利亞，父親叫約瑟。瑪利亞未被迎娶前，圣靈降臨在她身上，使她懷孕。約瑟一度想休了瑪利亞，但受了天使的指示，仍把她娶了過來。耶穌30歲時受了約翰的洗禮，堅定了他對上帝的信念。此后，耶穌就率領彼得、約翰等門徒四處宣傳福音，引起了猶太貴族和祭司的恐慌，他們收買了耶穌的門徒猶大，把耶穌釘死在了十字架上。但三天以后，耶穌復活，向門徒和群眾顯現神跡，要求他們在更廣泛的范圍內宣講福音。從此，信奉基督教的人越來越多，他們把基督教傳播到世界各地。

基督教的經典是《圣經》（《舊約》、《新約》），記述的都是上帝的啟示，是基督教徒信仰的總綱和處世的規范，是永恒的真理。據《圣經》記載，耶穌和他們的門徒會并一起進行了“最后的晚餐”，在晚餐上就坐的正好是13個人，耶穌是被他的第13個門徒猶大出賣的。13就成了不吉利的數字了。

135年從猶太教中分裂出來成為獨立的宗教。

土耳其君士坦丁堡索非亞大教堂（建于532－537年，2008年4月3日北京奧運圣火途經之地）。

基督教產生不久，就逐漸形成拉丁語系的西派和希臘語的東派。東派以君士坦丁堡為中心，西派以羅馬為中心，天主教就是從西派的基礎上演化而來的。

在古代基督教中，西派不占優勢。5世紀時外族侵擾帝國西部，西羅馬當局已無力支撐局面，羅馬主教利奧一世利用其影響，一度使羅馬免遭匈奴入侵，這使羅馬主教的威信大大提高，得以居于意大利、北非、西班牙、高盧一帶拉丁語系教會的首位。476年，西羅馬帝國滅亡。5世紀末起至10世紀，羅馬主教和羅馬教會逐步確立了在整個西派教會中的實際領導地位。5世紀起，東西兩派矛盾日益尖銳，863年和867年，出現了羅馬主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提烏相互革除對方教籍的嚴重局面。1054年，東西兩派正式分裂，東派自稱正教，西派自稱公教。天主教會及其教皇制，作為獨特的單一教會和體制至此正式確立。

羅馬公教也稱天主教，因為16世紀傳入中國后，因其信徒將所崇奉的神稱為“天主”，因而在中國被稱為天主教。

16世紀中葉，羅馬公教派生出新教派，統稱“新教”，在中國稱為“耶穌教”。所以，基督教是公教、東正教和新教三大教派的總稱。

圣彼得教堂（梵蒂岡，建于1506－1626年）。

公元392年，基督教成為羅馬帝國的國教。5世紀末起至10世紀，羅馬主教和羅馬教會逐步確立了在整個西派教會中的實際領導地位，基督教逐漸成為中世紀歐洲封建社會的主要精神支柱。

5－11世紀，成為歐洲歷史上的黑暗時期。

梵蒂岡在拉丁語中意為“先知之地”。1929年，意大利政府同教皇簽訂了“拉特蘭條約”，承認梵蒂岡為主權國家，其主權屬教皇。

中世紀基督教日益封建化，整個社會以宗教和神學為核心，科學思想是異端邪說。由于羅馬人偏重于實用而沒有發展抽象數學，對羅馬帝國崩潰后的歐洲數學也有一定的影響，終使黑暗時代的歐洲在數學領域毫無成就。造成數學落后的原因是多方面的，主要是戰火連綿，神學一統天下。《圣經》是最根本的知識，教徒整日研讀圣經，視科學是神學的婢女，神學被譽為“科學的皇后”，甚至反對數學的學習與研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的條款規定：“絕對禁止應受到取締的數學藝術”。數學的發展受到沉重的打擊。

因宗教教育的需要，也出現一些水平低下的初級算術與幾何教材。羅馬人博埃齊（約480－524年）主要以哲學家留名青史，他的哲學是古希臘羅馬哲學到中世紀經院哲學的過渡，在數學方面，根據希臘材料用拉丁文選編了《幾何學》（《原本》第1、3、4卷部分內容）、《算術入門》等教科書，成為中世紀早期歐洲人了解希臘科學的唯一來源，他的眾多著作為傳播希臘羅馬文化，為普及百科知識，在長達千年的歷史上起了重要作用。公元522年博埃齊被誣控叛國罪而遭監禁，524年被處決。

法國人熱爾拜爾（938－1003年）（法國，1964）999年當選為羅馬教皇，提倡學習數學，翻譯了一些阿拉伯科學著作，把印度－阿拉伯數碼帶入歐洲。3.2 科學復蘇

貿易與旅游的發展，歐洲出現新興的城市，歐洲人開始與阿拉伯人、拜占庭人發生接觸，了解阿拉伯、希臘的文化，創立了大學（1088年博洛尼亞大學，1160年巴黎大學，1167年牛津大學，1209年劍橋大學，1222年帕多瓦大學，1224年那不勒斯大學）。

“十字軍東征”（1096－1291年）。

十字軍東征是西歐封建主、大商人和天主教會以維護基督教為名，對地中海東岸地區發動的侵略性遠征。因東侵軍隊的衣服上均有紅十字的標記，故稱為十字軍。1095年，羅馬教皇在法國召開宗教大會，宣布組成十字軍遠征，從異教徒（穆斯林）手中奪回圣城耶路撒冷。

東侵活動從1096年起，到1291年止，歷時近200年，大規模的侵略共8次。第一次東征（1096—1099年）攻占了耶路撒冷，建立了耶路撒冷王國。第四次東征（1202年—1204年）攻陷了拜占庭帝國，在巴爾干建立拉丁帝國。歷次東侵所占據點后來不斷喪失，1291年最后據點阿克城失守，標志著十字軍東征徹底失敗。

十字軍東征對地中海沿岸國家人民帶來了深重災難，西歐各國人民也損失慘重。幾十萬十字軍死亡，同時教廷和封建主卻取得了大量的財富。十字軍東征也促進了東西方文化的交流，使西歐人大開眼界，進入了阿拉伯世界。從此，歐洲人了解到了希臘及東方古典學術，對這些學術著作的搜求、翻譯和研究，科學開始復蘇，加速了西歐手工業、商業的發展。

12世紀是歐洲數學的大翻譯時期，希臘人的著作被阿拉伯文譯成拉丁文后，“在驚訝的西方面前展示了一個新的世界”。

阿德拉特（英，1090－1150年）——《原本》和花拉子米的天文表。杰拉德（意，1114－1187年）——《天文學大成》、《原本》、《圓錐曲線》、《圓的度量》。

基督教興起后，希臘的一切都被視為異端而被滅絕，只有柏拉圖的哲學，經過教會的改造而成為基督教神學的基礎。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀由托馬斯·阿奎那（意，1225－1274年）建立了經院哲學（著有《神學大全》，被認為是基督教的百科全書，后世稱之為托馬斯主義），對亞里士多德哲學稍加篡改用來適應基督教教義，經院哲學的主要任務是從哲學上以理性的名義來論證上帝的存在（托馬斯提出了著名的證明上帝存在的5種論證，對后世有重大影響）。以亞里士多德的宇宙觀為基礎的托勒密體系，成為被教會認可的神圣不可侵犯的天文學體系。

歐洲人了解到希臘和阿拉伯數學，構成后來歐洲數學發展的基礎。歐洲黑暗時期過后第一位有影響的數學家是斐波那契（意，約1170－1250年），他隨父親到印度、埃及、阿拉伯和希臘等地旅行，通過廣泛地學習和認真研究，掌握了許多計算技術，回到意大利后，編著了代表作《算盤書》（1202，1228），主要是一些源自古代中國、印度和希臘的科學問題的匯集，書中系統介紹了印度－阿拉伯數碼，對改變歐洲數學的面貌產生了很大的影響，是歐洲數學在經歷了漫長黑夜之后走向復蘇的號角。

1228年《算盤書》修訂后還載有如下“兔子問題”：

某人在一處有圍墻的地方養了一對小兔，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對兔子開始，一年內能繁殖成多少對兔子？

對這個問題的回答，導致了著名的“斐波那契數列”。

13世紀，整個拉丁世界數學無大進展，而14世紀相對是數學上的不毛之地，因為一是發生了英法“百年戰爭”（1337－1453年）使政治**，環境不安定（戰爭的導火線主要是王位繼承問題；1337－1360英勝，1369－1396年法幾乎收復全部失地，雙方締結20年停戰協定，1415－1428年英勝，1429－1453年法領土全部收復，至此百年戰爭以法的勝利而結束）；二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫，掃蕩了歐洲1/3以上的人口，使人的思想不能集中追求知識（1348－1352年，“黑死病”把歐洲變成了死亡陷阱，這條毀滅之路斷送了歐洲三分之一的人口，總計約2500萬人）；三是煩瑣哲學的思想仍在束縛科學，壓得科學家抬不起頭，只好把精力消磨在神學和形而上學的奇妙莫測的無聊問題論證上，如“一根針尖上可以站立多少個天使？”“蒼蠅有多少根胡須？”

科學在歐洲的復蘇，加速了歐洲手工業、商業的發展，最終導致了文藝復興時期歐洲數學的高漲。

思考題

1、印度數學對世界數學發展最重要的貢獻是什么？他們的數學發展有何重要貢獻？

2、有關零號“0”的歷史。

3、簡述阿爾·花拉子米的數學貢獻。

4、論述阿拉伯數學對保存希臘數學、傳播東方數學的作用。

5、試說明：古代東方數學的特點之一是以計算為中心的實用化數學。

6、求斐波那契數列的通項公式。

第五講：文藝復興時期的數學

主要介紹15－17世紀初的東西方數學，內容有文明背景、文藝復興時期的歐洲數學、15－17世紀的中國數學。

1、文明背景 1.1 文藝復興

14世紀可以看做是文藝復興的開始。文藝復興是指14世紀意大利各城市興起（一般認為第一個代表人物是但丁（意，1265－1321年），代表作為《神曲》（寫于1307－1321年），他的作品首先以含蓄的手法批評和揭露中世紀宗教統治的腐敗和愚蠢），15世紀后期起擴展到西歐各國，16世紀在歐洲盛行的一場思想文化運動。

這場斗爭是在“復興古典學術和藝術”的旗號掩蔽下進行的，那些從羅馬廢墟中發掘出來的古代文物，意大利各寺院里清理出來的古舊藏書，以及后來拜占庭滅亡時搶救出來的手抄本，都展現在學者面前。

意大利文藝復興盛期三杰：達?芬奇（1452－1519年），代表作有“最后的晚餐”、“蒙娜麗莎”（說不盡的蒙娜麗莎，這是一個永遠探討不完的問題。自問世至今，將近五百年，后人不知做過多少品評和揣測，留下越來越多的迷局。當今，世上有研究《蒙娜麗莎》的專著數百部，而有近百名學者將此畫作為終身課題。時間的推移不會使疑團得到解決，只會隨著研究的深入，將更多的疑惑留給后人。2007年海德堡大學專家宣稱，通過分析圖書館內一本約500年歷史的藏書頁空白處潦草的筆記，他們可以確認，這位有著神秘微笑的女子閨名麗莎·蓋拉爾迪尼，是意大利佛羅倫薩布商弗朗切斯科·德焦孔多的妻子。文件標注日期為1503年10月，與專家判斷作品完成的大致時間1503至1506年間剛好吻合），重視數學，“不懂數學的人不要讀我的書”，“凡是和數學沒有聯系的地方，都不是可靠的”；米開朗琪羅（1475－1564年），代表作“大衛”、“摩西”、圣彼得大教堂；拉斐爾（1483－1520年），代表作“雅典學院”。

“人文主義”思想是文藝復興的靈魂和中心，主張以世俗的“人”為中心，歌頌人性、反對神性，提倡人權、反對神權，提倡個性自由、反對宗教禁錮，贊頌世俗生活、反對來世觀念和禁欲主義。

在這歷時約200年的歷史中，帶來一段科學與藝術革命時期，揭開了現代歐洲歷史的序幕，使得知識界的面貌大大改觀，也使數學活動以空前的規模和深度蓬勃興起，被認為是中古時代和近代的分界。

1.2 技術進步

歐洲文藝復興時期的主要成就之一，是在15世紀后半葉開始產生近代自然科學。

四大發明相繼傳入歐洲。

火藥：大約在公元8、9世紀時，中國火藥的主要原料—硝石已傳到了阿拉伯、波斯等地。13世紀，蒙古軍隊西征時，火器傳到阿拉伯，歐洲人首先是西班牙人，在13世紀后期通過阿拉伯人的著作才知道火藥。14世紀初，阿拉伯國家攻打西班牙時，使用火藥和火器，歐洲人于是開始接觸到火藥和火器，并學習制造，從14世紀歐洲開始使用火藥和一些火器。

造紙：造紙術首先傳入與我國毗鄰的朝鮮和越南隨后傳到了日本，大概是在公元105年。公元751年（唐玄宗十年），唐安西節度使高仙芝率部與阿拉伯帝國沙利將軍的軍隊在怛羅斯城（今哈薩克斯坦的江布爾）交戰，唐軍大敗，被俘士兵中有從軍的造紙工人，中國的造紙術傳到了巴格達。歐洲人是通過阿拉伯人了解造紙技術的，最早接觸紙和造紙技術的歐洲國家是一度為阿拉伯人統治的西班牙，公元1150年，阿拉伯人在西班牙的薩狄瓦，建立了歐洲第一個造紙場。13世紀，造紙術傳入了葡萄牙，繼而傳入歐洲。

印刷術：中國的印刷術已經在11世紀傳到東南亞諸國。活字印刷術傳到歐洲是在14世紀，從我國新疆沿中亞、西亞逐步傳到歐洲的。1450－1455年約翰·古騰堡（德，1400－1468年）用金屬活字印出歐洲第一套《拉丁文文法》。盡管如此，認為畢昇是位特別有影響的人物是不對的。首先，歐洲并不是從中國學會制造活字，而是獨立發明的。其次，中國從西方學到現代印刷術是相當近期的事，在此之前活字印刷術從來沒有得到普遍使用。

指南針：指南針發明以后，首先把它應用在航海事業上，南宋時候，阿拉伯、波斯商人，經常搭乘我國的海船往來貿易，也學會使用指南針。大約在12世紀末到13世紀初，指南針由海路由阿拉伯人傳入歐洲。

1450年，德意志人古騰堡（右一）改良了中國的活字印刷術，發明了金屬活字印刷術。歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個印刷版。

馬克思《機器、自然力和科學的應用》：火藥、指南針、印刷術 —— 這是預告資產階級社會到來的三大發明。??總的說來變成了科學復興的手段，變成對精神發展創造必要前提的最強大的杠桿。

1.3 航海探險

最知名的有哥倫布（西，1451－1506年）（智利，1992）。

葡萄牙在15世紀初期就侵入非洲西北部，建立侵略據點，1487年，迪亞士（葡，1450－1500年）率領艦隊沿非洲西海岸南下，第二年春天進入印度洋，歸途中發現好望角，在開辟新航路的活動中取得了重大進展。

1497年，貴族達?伽馬（葡，1469－1524年）在迪亞士航行的基礎上繞過非洲，在1498年到達印度海岸，從而找到了通向東方的新航路。

哥倫布通過閱讀馬可·波羅的《東方見聞錄》，對富庶的東方產生了濃厚的興趣，他相信當時已日益流行的地圓學說，認為地球是圓的，只要從歐洲海岸一直向西航行，就可以到達印度，得到大量的黃金、香料。1492年8月3日哥倫布（西，1451－1506年）從西班牙出發了，一直向西航行，1492年10月12日，哥倫布到達了一個現在稱為巴哈馬群島中的華特林島，到達美洲。

1519年9月20日，麥哲倫（葡，1480－1521年）在西班牙國王的資助下，率探險船隊出航，先是沿著已經知道的道路向西航行，然后轉向南，沿著美洲大陸摸索南下，在春天到來之際發現了美洲南部的海峽（后人稱為麥哲倫海峽）。而后橫渡太平洋，1521年3月，終于到達了菲律賓群島，麥哲倫在干涉島上內部戰爭時，被當地的土著人殺死，后來船隊沿著已經熟悉的航路進入印度洋，再沿著葡萄牙人發現的航路于1522年9月返回西班牙，完成了了首次環球航行，證實了地球是球形的。哥倫布在瓜納阿尼島登陸（1492）。1.4 天文學的革命

托勒密（埃及，90－165年），宗教神學的宇宙觀：上帝創造了地球，地球是宇宙的中心。

哥白尼（波，1473－1543年）根據長期觀察推算提出“日心說”。雖然未能認識到宇宙的無限性，但反對上帝創造世界的“地心說”，沉重打擊了宗教神學，成為自然科學進一步發展的先聲。1543年出版《天體運行論》，被教會列為禁書。

布魯諾（意，1548－1600年）信奉哥白尼學說，以超人的預見大大豐富和發展了哥白尼學說。他1584年在《論無限、宇宙及世界》這本書當中，提出了宇宙無限的思想，他認為宇宙是統一的、物質的、無限的和永恒的。一般人認為布魯諾的思想簡直是“駭人聽聞”，甚至連那個時代被尊為“天空立法者”的天文學家開普勒也無法接受，開普勒在閱讀布魯諾的著作時感到一陣陣頭目眩暈！布魯諾在天主教會的眼里，是極端有害的“異端”和十惡不赦的敵人。他們施展狡詐的陰謀鬼計，以收買布魯諾的朋友，將布魯諾誘騙回國，并于1592年5月23日逮捕了他，把他囚禁在宗教判所的監獄里，接連不斷地審訊和折磨竟達8年之久。但這絲毫沒有動搖布魯諾相信真理的信念。天主教會的人們絕望了，他們兇相畢露，建議當局將布魯諾活活燒死。布魯諾似乎早已料到，當他聽完宣判后，面不改色地對這伙兇殘的劊子手輕蔑地說：“你們宣讀判決時的恐懼心理，比我走向火堆還要大得多。”1600年2月17日，布魯諾在羅馬的百花廣場上英勇就義了。

郵票：哥白尼（波，1473－1543年）（委內瑞拉，1973）。

2、文藝復興時期的歐洲數學

近代始于對古典時代的復興，但人們很快看到，它遠不是一場復興，而是一個嶄新的時代。在數學的許多領域發生了變化，在此介紹代數學、三角學、射影幾何、對數等的進步。

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕，其中包括三、四次方程的求解與符號代數的引入。關于方程的根式解。16世紀意大利數學最重要的成就。

1515年博洛尼亞大學數學教授費羅（意，1465－1526年）發現了形如x^3+mx=n的三次方程的代數解法，密傳給學生費奧。

塔塔利亞（意，1499－1557年）（原姓豐坦那，塔塔利亞是綽號，意為口吃者）發表了《論數字與度量》（1556－1560），被稱為數學百科全書和16世紀最好的數學著作之一，其中有關于二項展開式系數排成的“塔塔利亞三角形”，比帕斯卡發表它的時間（1665年）要早100多年。

塔塔利亞最重要的數學成就是發現了三次方程的代數解法，進行了兩次歷史性的辨論。塔塔利亞宣稱可解形如x^3+mx^2=n的三次方程，1535年2月22日費奧與塔塔利亞在威尼斯公開競賽，各出30個問題，塔塔利亞在2小時內全部解出而獲勝，揚名整個意大利。1539年塔塔利亞把他關于三次方程的解法寫成一首25行詩告訴卡爾丹。1548年8月10日塔塔利亞與卡爾丹的學生費拉里在米蘭大教堂附近舉行了公開辯論，爭論從上午10點持續到晚飯時間，聽眾一哄而散，結果不了了之。雙方各自宣布獲勝。直至8年后，塔塔利亞才在他的名著《論數字與度量》中的一篇插文里敘述了整個論戰過程。

米蘭大教堂：歐洲中世紀最大的教堂，可供4萬人舉行宗教活動，建于1386－1485年。有135個尖塔，象濃密的塔林刺向天空，且在每個塔尖上有神的雕像。教堂外部總共有2000多個雕像，甚為奇特。如果連內部雕像總共有 6000多尊，是世界上雕像最多的哥特式教堂。這個教堂有一個高達107米的尖塔，出于公元15世紀意大利建筑巨匠伯魯諾列斯基之手。塔頂上有金色圣母瑪利亞雕像，在陽光下顯得光輝奪目，神奇而又壯麗，高聳的尖塔把人們的目光引向虛渺的天空，使人忘卻今生，幻想來世。

卡爾丹（意，1501－1576年），醫學博士，16世紀文藝復興時期人文主義的代表人物，其中的一些科學觀點與達?芬奇的論述頗為相似，著作《事物之精妙》（1550年）、《世間萬物》（1557年）僅在16世紀就有十幾個版本流傳，后來又被譯為多種文字，影響深遠。他是一個天才和愚人的奇怪混合，也是一個富有傳奇色彩的怪杰，兼學者與無賴于一身，被譽為百科全書式的學者，渡過了光怪陸離的一生，在數學、天文學、哲學、物理學和醫學中都有一定的成就，同時也一直醉心于占星術（為基督命運占星和對自己死期的預卜）和賭博的研究，一生共寫了各種類型的文章、書籍200多種。最重要的數學著作是1545年在紐倫堡出版的《大術》（全名為《大術，或論代數法則》），該書系統給出代數學中的許多新概念和新方法，內有三次、四次方程的解法（由卡爾丹的學生費拉里（意，1522－1565年）發現）。在《大術》中方程的負根被采用，專門討論了解方程中遇到的虛根問題，首次把它當作一般的數進行運算，認識到如果一個方程有一個虛根，則應該有與之共軛的另一個虛根。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復興時期最后一位代數學家，他的前輩們曾經將這門學科推向一個發展高潮。邦貝利認為除了卡爾丹之外還沒有人能夠很深入代數學這一學科，但他對卡爾丹的表述并不滿意，因此準備寫一本書，以其清楚明了的表述使任何人都可以不必借助別的書而掌握代數學這門學問，這是1572年邦貝利出版《代數》的背景。在書中邦貝利引進了虛數，正式給出了負數的明確定義。

符號代數。

認識到了數學符號的意義，符號系統的建立使代數成為一門科學，從常量數學到變量數學的標志，反映了數學高度抽象與簡煉。

修道士帕西奧里（意，1445－1517年）（意，1994），1494年用鉛字印刷出版的《算術集成》（全稱《算術、幾何、比與比例集成》）是繼斐波那契之后第一部內容全面的數學書，其中采用了優越的記號及大量的數學符號（多為詞語的縮寫形式或詞首字母），這是本書的最突出之處，推進了代數學的發展。雖然帕西奧里對數學本身缺乏創建，但其著作具有簡明、通俗和綜合的特點，因而廣泛流傳，16世紀意大利的代數學有長足的發展，其間帕西奧里著作的教育和啟示作用是不能忽視的。

《算術集成》中有“青蛙入井問題”的變形“貓捉老鼠問題”：一只老鼠在60英尺高的白楊樹頂上，一只貓在樹腳下的地上。老鼠每天下降1/2英尺，晚上又上升1/6英尺；貓每天往上爬1英尺，晚上又滑下1/4英尺；這棵樹在貓和老鼠之間每天長1/4英尺，晚上又縮1/8英尺。試問貓要多久能捉住老鼠？

施蒂費爾（德，1487－1567年），16世紀德國最大的數學家，研究過代數和數論，首先使用加號＋、減號－和根號的人之一，1544年《綜合數學》（又譯《算術大全》）中指出：符號使用是代數學的一大進步。最早在印刷圖書中用“＋”作加、用“－”作減的是維德曼（德，1460－約1499年），1489年出版的《各種貿易的最優速算法》（又譯《簡算與速算》）創用“＋”、“－”號用于表示剩余和不足，并未引起人們的注意。1544年施蒂費爾及其他一些數學家相繼采用了這兩個抽象數學語言符號才真正地、正式地登上了加減運算的舞臺，漸漸地名揚四海，才得到了大家公認和使用。

等號叫一對雙生子。關于等號，《算術集成》中用ae（來自aequalis）表示相等。牛津大學數學教授雷科德（英，1510－1558）于1557年在代數論文《智慧的磨刀石》中首次用符號＝表示相等，文章中寫道：“為了避免枯燥的重復is aequalleto這個詞，也就是等于，如像我經常在自己的工作實際用到那樣，我就放二條平行線――同樣長＝的一對雙生子，因為任何兩件東西，不可能比它們更相等。”

發明現代小數點的人是克拉維斯（德，1537－1612年），他在繁榮數學這門學科上超過了16世紀的任何其他德國學者，1593年在羅馬出版的《星盤》中首次使用了現代意義上的小數點，即把小數點作為整數部分與小數部分分界的記號，1608年出版的《代數學》中更明確地使用這種小數點。這是用點表示小數記法之開始。

1629年吉拉德（荷，1593－1632年）出版的《代數的新發現》中用有限線段解釋方程的負根，并且第一個提出用減號“－”表示負數。從此，負數符號逐漸得到人們的認識，沿用至今。

韋達（法，1540－1603年），律師與政治家，業余研究數學，16世紀法國最大、最有影響的數學家（1593年解出比利時大使提出的45次方程問題，但他不承認負數，叫它為“不合理的數”），也被認為是16世紀最大的數學家，從先輩的著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法，用字母等符號表示未知量的值進行運算，規定了代數與算術的分界，被西方稱為“代數學之父”，1591年《分析引論》（或《分析方法入門》）是韋達最重要的代數著作，也是最早的符號代數專著。在《分析引論》的結尾寫下一句座右銘“沒有不能解決的問題”（Nullum non problema solvere）。1615年《論方程的整理與修正》用代數方式推出了一般的二次方程的求根公式，記載了著名的韋達定理，即方程的根與系數的關系式。他的著作內容深奧，言辭艱澀，其理論在當時并沒有產生很大影響，直到1646年韋達的文集出版才使他的理論漸漸流傳開來，得到后人的承認和贊賞。

2.2 三角學

歐洲文藝復興始于意大利，之后是德國。德國在數學研究上獨占魁首，遙遙領先除意大利以外的歐洲各國。

1450年以前，三角學主要是球面三角。

15、16世紀德國人從意大利人獲得了阿拉伯天文學著作中的三角學知識，如阿爾·巴塔尼（858－929年）的《歷數書》、納西爾丁·圖西（1201－1274年）的《論完全四邊形》。在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。

雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），又名繆勒，在維也納大學學習和講授天文學，逐漸掌握了托勒密的天文學說，并努力鉆研與之相關的幾何學、算術與三角學，后到羅馬，不斷學習拉丁文和希臘文的經典學術著作，對數學的主要貢獻是在三角學方面，代表作是完成于1464年《論各種三角形》（或稱《三角學全書》，1533年出版），是歐洲人對平面和球面三角學所作的第一個完整、獨立的闡述，歐洲傳播三角學，他的著作手稿在學者中廣為傳閱，成為15世紀最有能力、最有影響的數學家，對16世紀的數學產生了相當大的影響，哥白尼的工作受到他的影響，可惜40歲時英年早逝，死英是瘟疫，但有傳聞說他是被仇人毒死的。雷格蒙塔努斯出版的《星歷表》給出了1475－1506年間每天的天體位置，有趣的是，哥倫布在第四次航海探險時隨身攜帶了一份《星歷表》，并利用它預示的1504年2月29日的月食嚇唬牙買加的土著印第安人，終于使他們屈服。

韋達（法，1540－1603年），1579年《應用于三角形的數學定律》系統講述了用所有6種三角函數解平面的球面三角形，這在西歐也許是第一部書，1615年《截角術》系統化了球面三角和平面三角學。

2.3 射影幾何

歐洲幾何學創造性的復興晚于代數學。文藝復興時期給人印象最深的幾何創造其動力卻來自藝術，因為畫家們在將三維世界繪制到二維畫布上時，面臨著一些投影的問題。正是由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激導致了富有文藝復興特色的學科，透視學的興起，從而誕生了射影幾何學。研究圖形的射影性質，即它們經過射影變換不變的性質的幾何學，一度也叫做投影幾何學。

起源于繪畫和建筑學中的透視法，也就是投影和截景。公元前200年左右，古希臘數學家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來研究。文藝復興時期，繪畫藝術的盛行促進了理論的發展，透視法成為一門幾何與繪畫結合的熱門學科。阿爾貝蒂（意，1404－1472年）于1435年發表《論繪畫》一書，闡述了最早的數學透視法思想，他引入投影線和和截景概念，提出在同一投影線下和景物的情況下，任意兩個截景間有何種數學關系或何種共同的數學性質等問題，這些問題是射影幾何發展的起點。

德沙格（法，1591－1661年），約1630年住在巴黎的德沙格又同那時法國的幾個領頭的數學家成為朋友，隨后，經常出席梅森的“巴黎學會”的活動，與著名的數學家費馬也有交往。上述這批人的活動和所取得的成就，使法國成為17世紀上半葉世界數學史上最輝煌的國度，也為18、19世紀形成世界的數學中心打下良好的基礎。身處這一旋渦的德沙格以其新穎的思想和獨特的數學方法，開辟了數學的一個新領域，成為射影幾何學的先驅。1636年發表了第一篇關于透視法的論文《關于透視繪圖的一般方法》，主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，充滿了創造性的新思想、新方法，是射影幾何早期發展的代表作。書中提出并證明了“德沙格定理”：如果兩個三角形對應頂點的連線共點，那么它們的對應邊的交點共線。其逆定理也成立。圖形連續變化，變換的不變性，關心結構不涉及度量。

隨著解析幾何和后來的微積分的迅猛發展，該書逐漸被遺忘了。直到1845年，法國幾何學家、數學史家沙勒才在巴黎的一個舊書店里發現這本書的手抄本，此時射影幾何正處于復興時期，人們才認識到德沙格這本著作的價值。1950年前后，在巴黎國立圖書館又找到它的原版本，歷經300余年的滄桑歲月，它終于在諸多數學名著中有了一個適當的位置。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發現），帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線。不同于物理學上的帕斯卡定律：加在密閉液體任一部分的壓強，必然按其原來的大小，由液體向各個方向傳遞。

射影幾何的綜合方法，用代數方法處理問題更有效，射影幾何產生后很快讓位于代數、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發現。

2.4 對數 16世紀前半葉，歐洲人把實用的算術計算放在數學的首位。由于天文和航海計算的需要，計算技術最大的改進是對數的發明與應用。

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）曾是荷蘭軍隊的軍需總監，領導過許多公共建筑工程的建設，在數學方面最重要的著作《十進算術》，系統地探討了十進制記數及其運算理論，并提倡用十進制小數來書寫分數，闡述的思想雖然很簡單，卻在西方產生了深遠的影響。在西方史蒂文是第一個系統論述十進分數及其算術的人，其動機是簡化計算，把它獻給天文學家、測量人員和商人。在文明史上，史蒂文是工程師和技術專家的典范，他用科學的方式去處理實際問題，極為注重理論與實踐的結合，總是像一個數學家那樣思維，這是他科學生涯中一個最顯著的特點。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年），把大部分精力花在那個時代的政治和宗教論爭中，但仍為數學的發展做了許多有價值的工作。受三角公式積化和差，幾何級數指數等的啟示，納皮爾在對數的理論上至少花了20年的時間，于1590年左右開始寫關于對數的著作，1614年發表《奇妙對數規則的說明》。納皮爾的驚人發明被整個歐洲熱心地采用，尤其是天文學界，簡直為這個發現沸騰起來了。拉普拉斯就認為，對數的發現“以其節省勞力而延長了天文學家的壽命”。

郵票：納皮爾的對數（尼加拉瓜，1971）。

在誰最先發現對數這個問題上，納皮爾只遇到一個對手，即瑞士儀器制造者比爾吉。比爾吉獨立設想并造出了對數表，于1620年出版了《算術和幾何級數表》。雖然兩個人都在發表之前很早就有了對數的概念，但納皮爾的途徑是幾何的，比爾吉的途徑是代數的。

1620年岡特（英，1581－1626年）制成第一把對數尺。

數學史上是先有對數，后有指數概念。而今天的教科書是先講指數，并用指數來定義對數，這正與它的歷史相反。

對數17世紀中葉傳入我國，對數一詞被譯為“假數”。如1653年由波蘭數學家穆尼閣（1611－1656）和薛鳳祚合編的《比例對數表》一書，是傳入我國最早的對數著作。當時lg2=0.3010中2叫“真數”（沿用至今），0.3010叫“假數”，真數與假數列成表叫對數表，后來改“假數”為“對數”。

到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數學的融合，為近代數學的興起及以后的驚人發展鋪平了道路。3、15－17世紀的中國數學

兩個特點：珠算發展，西學東漸。3.1 珠算

珠算盤是算籌的發展。珠算盤的記載最早見于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。明代算盤完全取代了算籌，珠算開始普及于中國，現存最早的珠算書是1573年（明萬歷元年）閩建（今福建建甌）徐心魯訂正的《盤珠算法》。

程大位（明，1533－1606年），安徽休寧（今屯溪）人，自幼酷愛數學，從20多歲起便在長江下游一帶經商，收羅了很多古代與當時的數學書籍。經過幾十年的努力，在1592年60歲時，編著了一部集珠算理論之大成的著作《直指算法統宗》，詳述算盤的用法，載有大量運算口訣，流傳朝鮮、日本和東南亞以外。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數學史上任何著作也不能與之相比。

中國算盤（利比里亞，1999）、日本算盤（日本，1987）。

但實際上，珠算對籌算的取代，實際上卻在一定程度上造成了建立于籌算基礎上的中國古代數學的失傳。

3.2 西方數學的傳入

樂山大佛（唐，713－803年）。

中國古代歷史上，曾出現過兩次大規模的外來文化傳入：一次是公元一世紀到九世紀漢唐時期印度佛教文化的傳入；另一次是明清之際西方基督教文化，特別是西方自然科學的傳入。由于演算天文歷法的需要，來華的西方傳教士便將西方一些數學知識傳入中國。

巴黎圣母院（建于1163－1345年），位于巴黎市中心塞納河中的西岱島，是世界馳名的天主教堂，也是巴黎最負盛名的古代勝跡之一。整個建筑全部由石頭砌成，是一座典型的哥特式教堂，占地5500平方千米。兩座鐘樓后面有座高達90米的尖塔，巍峨入云，塔頂是一個細長的十字架，遠望似與天穹相接。整個建筑象征著基督教的神秘，給人以莊嚴華麗、神秘莫測之感。幾個世紀以來，巴黎圣母院一直是法國宗教、政治和民眾生活中重大事件和舉行典禮儀式的重要場所。

西方數學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。《原本》是世界上最早的數學公理化著作，影響最廣泛的數學名著。羅素（英，1872－1970年）：“歐幾里得的《原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一”。

最早來中國從事傳教活動的是明萬歷年間（1582年）來華的意大利傳教士利瑪竇（Matteo Ricci，1552－1610年），被中國人尊稱為“西學東漸第一師”，中華世紀壇的世紀廳中有利瑪竇（意，1552－1610年）的雕象。利瑪竇曾在德國學習數學，后又給世界大科學家伽利略（意，1564－1642年）講過幾何學，但利瑪竇來華并非以數學家的身份，而是“傳教”的天主教耶穌會教士，為了適應當時中國社會的需要，制訂了一套適合中國實際情況的“合儒”、“補儒”及“超儒”的和平傳教政策，即“政治上擁護貴族統治，學術上要有高水平，生活上要靈活適應中國的風土人情”。1596年9月22日，利瑪竇在南昌預測了一次日食，使他名聲大振。1600年利瑪竇與徐光啟（明，1562－1633年）在南京相識，開始了他們之間的科學合作。

利瑪竇第一次告訴中國的知識分子地球是圓的。九星會聚（中國，1982）。徐光啟（明，1562—1633年），上海徐家匯（今屬上海市）人，明末著名科學家，在數學、天文、歷法、軍事、測量、農業和水利等方面都有重要貢獻，官至文淵閣大學士，第一個認識到中國的近代科學已經遠遠的落后于西方，中國放眼看世界的第一人，第一個把歐洲先進的科學知識，特別是天文學知識介紹到中國，同時注意總結中國的固有科學遺產，成為我國近代科學的啟蒙大師。

1629年，徐光啟被禮部任命督修歷法，在他主持下，編譯《崇禎歷書》137卷。《崇禎歷書》主要是介紹丹麥天文學家第谷?布拉赫（1546－1601年）的“地心說”（第谷認為地球在宇宙中心靜止不動，行星繞太陽轉，而太陽則率領行星繞地球轉。這個體系雖在歐洲沒有流行，但傳入中國后曾被一度接受）。作為這一學說的數學基礎，希臘的幾何學，歐洲的三角學，以及納皮爾對數、伽利略比例規等計算工具也同時介紹進來。《崇禎歷書》（1634年修成），其中天文學和數學基本理論占全書30%，奠定了我國近300年歷法的基礎。《崇禎歷書》為什么不采用哥白尼體系，因為在當時哥白尼體系在理論上、實測上都還不很成功。因此當時的天文學家對哥白尼學說持懷疑的態度是很正常的。我們今天熟知的地球繞太陽轉的證據，是到了18世紀才最終被發現的。我們今天相信哥白尼是對的，但是那個時候證據還沒有被發現。所以《崇禎歷書》采用了地谷的體系。《崇禎歷書》對一些歐洲重要天文史上比較重要的學說，包括哥白尼的學說，都做了介紹，并且把哥白尼作為歐洲歷史上最偉大的四個天文學家之一。

1634年，《崇禎歷書》編撰完成，經過8次較量之后，崇禎皇帝最終相信西方天文學確實比中國的傳統天文學更好，1644年他下令頒行天下。但是他詔書剛剛下去沒幾天，李自成的軍隊就打進了京城，頒行《崇禎歷書》的命令還沒有實施，明朝就崩潰了。湯若望（德，1592－1666年，1622年進入廣東）把《崇禎歷書》做了刪改湯若望將《崇禎歷書》刪改為103卷，連同所編的新歷本一起進呈清政府，獻給滿清政權。順治皇帝給題寫了書名，命名為《西洋新法歷書》，將這個歷法頒行天下。

《崇禎歷書》對中國天文學整體上起到了一個怎樣的作用呢？它沒有改變中國傳統天文學作為政治巫術的性質。我們知道《崇禎歷書》在1634年的時候，跟歐洲的天文學差距很小。但是編完之后，200多年幾乎不變。后來清朝修訂過幾次，補充過零星的歐洲天文學知識，但是實際上我們完全脫離了歐洲天文學的進程。接著200年，我們幾乎原地不動，而歐洲這200年天文學發展如火如荼。《崇禎歷書》曾經有一個機會能夠讓我們跟國際接軌，但是因為我們對待科學的態度，最終中國仍然失去了這個機會。我們一度跟國際接軌但很快又脫軌，最終等到鴉片戰爭結束，西方天文學第二次大舉進入的時候，我們中國人幾乎不認識它了，因為我們落后了它200年。

在農業和水利上，編成巨著《農政全書》（1639年刻板付印）。

在數學上，1606年，徐光啟與利瑪竇合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯，并于1607年在上海刊刻出版，定名《幾何原本》，中文數學名詞“幾何”由此而來。徐光啟說，“此書為益，能令學理者祛其浮氣，煉其精心，學事者資其定法，發其巧思，故舉世無一人不當學。”，對未能完成全部的翻譯而感遺憾，曾說：“續成大業，未知何日，未知何人，書以俟（sì）焉”。《幾何原本》是中國近代翻譯西方數學書籍的開始，從此打開了中西學術交流的大門，相繼出

第二篇：林壽數學史教案-選講：數學論文寫作初步

選講：數學論文寫作

凡是運用概念、判斷、推理、證明或反駁等邏輯思維手段來分析、表達自然科學的理論和技術研究中的各種問題、成果的文章，都屬于科技學術論文的范疇。科技學術論文最重要的特點是科學性和創造性。

1、論文的撰寫

數學論文的撰寫過程分準備和寫作兩個階段。

準備階段首先搜集資料和研究資料，發現問題，提出猜想，逐步論證，對獲得的結果進行整理和提煉。寫作階段按列出的提綱寫作草稿，修改定稿。

1.1文獻搜集

運用適當的檢索方法，注意搜集與選擇的方向。文獻的搜集與選擇之要點，一是多，注意其全面性；二是精，注意其權威性。

1.2資料整理

資料整理是根據課題要求對已有的資料進行閱讀、記錄、分類、剔選、匯總的操作過程。

1.3論文選題

論文的價值主要在于選擇一個什么樣的課題。選題主要應遵循創新性原則和適應性原則，切忌題目雷同，內容重復或立題貪大，內容求全。

實例： “數學分析”選題10例；“數學教育”選題10例；“數學史” 選題10例。

1.4擬定提綱

擬定提綱有兩層含意，一是謀篇構思；二是擬寫提綱。

謀篇構思就是對研究工作的成果作合理安排的思維過程，要求作者對論文的思路、層次、順序等進行思考。擬寫提綱包括的至少有六個項目：題目；課題研究的目的；證明論點所用的概念、定理；采用的論證方法；結論；需進一步討論的問題。

1.5寫作初稿

數學論文已形成一定的撰寫格式，其結構一般由標題、署名、摘要、關鍵詞、分類號、正文（含引言和結論）、致謝、參考文獻等8個部分組成。

1（1）標題

一是準確得體，恰如其分；二是簡短精煉，高度概括；三是意義完整，體例規范。

（2）署名

一則表示擁有版權的聲明；二則反映文責自負的精神；三則有利于讀者同作者聯系。

（3）摘要

一份文獻內容的縮短的精確的表達，而無須補充解釋或評論。按功能劃分大體上可分為報道性摘要、指示性摘要和題錄式摘要。

（4）關鍵詞

從論文的正文、摘要或篇名中抽出的，并在表達論文內容主題方面具有實在意義起關鍵作用的詞匯稱為關鍵詞，一般為3－8個。

（5）分類號

論文主題所屬類別，采用《中圖法》的分類體系或美國《數學評論》的分類體系，具體要看所投刊物的要求。

（6）引言、正文及結論

引言是用于說明論文寫作的目的、理由、背景、研究成果和意義的部分，主要內容有：研究主題、目的和理由，對本課題已有研究成果的述評，本文所要解決的問題和采用的方法，概述成果及意義等。

正文的基本要求是以某一基本觀點為核心，貫穿全文，將已有的概念、定理與自己探索到的新思想、新結論，用清晰的邏輯方法撰寫為一個完整、無誤的統一體。它應包括理論分析，論證的新手段及方法和結論。

結論是整篇論文的歸結，集中反映作者的成果，表達作者對所研究課題的見解和主張，對全篇論文起畫龍點睛的作用。

（7）致謝

當科研成果以論文形式發表時，有時需要對他人的勞動給予充分肯定，鄭重地以書面形式表示感謝。它與論文的作者之間應有一定的區別。

（8）參考文獻

引用參考文獻的主要原因有三，一是說明研究課題范圍內前人的工作成果和 2 背景，并為證實自己的論點提供足夠的證據材料；二是承認科學的繼承性，表明尊重他人的勞動成果；三是便于自己寫作和讀者查閱，復核，了解相關領域里前人所做的貢獻。

著錄參考文獻的原則有三，一是只著錄最必要、最新的文獻；二是只著錄公開發表的文獻；三是采用規范化的著錄格式。

1.6修改定稿

一是錘煉課題，二是精思布局，三是檢驗材料，四是斟酌字句。

2、論文的發表

一篇學術論文只有正式發表后才能承認為正式文獻。注意發表形式，發表程序和校對工作。

作者如何提高投稿命中率？一是選題新穎實用，二是文章簡明可讀，三是了解征稿要求，四是細處一絲不茍；退稿原因多數為缺乏創新，論據不充分或沒有達到刊物要求的學術價值等。

3、科研成果的保管

保管好科研成果的有效手段是建立科研檔案。科研檔案是在科研活動中逐步做出并經整理和篩選，確有保留價值和有必要作為原始記錄而立卷存檔，長期保存的資料。

就其表現形式來說，科研檔案可以歸納為兩大類，一是實物檔案，二是記錄檔案。

采用科研檔案形式保管科研成果，其作用體現在歷史性的憑證，原始性的證據，供檢查、復核、校閱，供使用和參考，確立發現發明權，正式紀錄科學貢獻。

第三篇：林壽數學史教案-第八講：19世紀的代數

第八講：19世紀的代數

19世紀的代數稱之“代數學的新生“。

1、代數方程根式解

高斯（德，1777－1855年），11歲發現了二項式定理，1795年進入哥廷根大學學習，1796年發現了正17邊形的尺規作圖法，1799年證明了代數基本定理。

高斯，“數學王子”，18－19世紀之交的中堅人物，歐拉以后最重要的數學家，數學研究幾乎遍及所有領域，發表論文155篇。

1770年拉格朗日（法，1736－1813年）發表《關于代數方程解的思考》，認識到求解一般五次方程的代數方法可能不存在。1799年魯菲尼（意，1765－1822年）明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數方法求解。

1824年阿貝爾（挪，1802－1829年）出版《論代數方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了阿貝爾定理。

阿貝爾簡介及數學獎：阿貝爾獎（2003－）。

1829－1831年，伽羅瓦（法，1811－1832年）建立了判別方程根式解的充分必要條件，宣告了方程根式解難題的徹底解決。

伽羅瓦簡介。

伽羅瓦的工作可以看成是近世代數的發端，現代數學醞釀的標志之一。

2、數系擴張

1873年埃爾米特（法，1822－1901年）和1882年林德曼（德，1852－1939年）分別證明了e和π是超越數。虛數（即復數）的出現，承認與反承認一直在歐洲徘徊。19世紀復數在數學中起著舉足輕重的作用。1811年高斯（德，1777－1855年）討論了復數幾何表示。

對復數推廣的重要貢獻是哈密頓（愛爾蘭，1805－1865年），1843年定義了四元數。

哈密頓簡介。

1844年格拉斯曼（德，1809－1877年）在《線性擴張性》引進了n個分量的超復數，1847年凱萊（英，1821－1895年）定義了八元數。

3、行列式與矩陣

關于線性方程組解的發展，形成了行列式和矩陣的理論。

1683年關孝和（日，1642－1708年）完成《解伏題之法》，提出行列式理論和代數方程變換理論，尤其在行列式方面的研究是世界領先的。

1750年克萊姆（瑞士，1704－1752年）法則，1772年范德蒙（法，1735－1796年）、拉普拉斯（法，1749－1827年）行列式展開定理。

1841年凱萊（英，1821－1895年）行列式記號，1852年西爾維斯特（英，1814－1897年）慣性定理，1854年埃爾米特（法，1822－1901年）使用了正交矩陣，1858年凱萊證明了凱萊－哈密頓定理，1870年若爾當（法，1838－1921年）建立了若爾當標準形，1879年弗羅貝尼斯（德，1849－1917年）引入矩陣的秩。

4、布爾代數

來源于對數學和邏輯基礎的探討。

德?摩根（英，1806－1871年），1847年《形式邏輯》，突破古典的主謂詞邏輯的局限，影響到數理邏輯的發展。

布爾（英，1815－1864年），1847年《邏輯的數學分析，論演繹推理的演算法》和1854年《思維規律的研究，作為邏輯與概率的數學理論的基礎》為數理邏輯的發展鋪平了道路。

施羅德（德，1841－1902年）《邏輯代數講義》（3卷，1890－1905年）把布爾的邏輯代數推向頂峰。

5、數論

費馬（法，1601－1665年），“業余數學家之王”，獨騁17世紀數論天地，17世紀法國最偉大的數學家，《數學論集》（1670）。

18世紀的數論受到費馬思想的主宰。有影響的數學家是歐拉（瑞，1701－1783年），拉格朗日（法，1736－1813年），哥德巴赫（德，1690－1764年）和華林（英，1734－1798年）。

高斯（德，1777－1855年）的數論研究總結在1801年的《算術研究》中，它不僅是數論方面的劃時代之作，也是數學史上不可多得的經典著作之一。

代數數論是研究代數數域的數論性質。整數最基本的性質是唯一因子分解定理。1844－1847年庫默爾（德，1810－1893年）創立了理想數理論，1871年戴德金（德，1831－1916年）創立了代數數理論，1897年希爾伯特（德，1862－ 2 1943年）“代數數域理論”。

梅森素數。梅森素數是確定大素數的一種途徑。1644年梅森（法，1588－1648年）《物理數學隨感》。在“手算筆錄年代”僅找到12個梅森素數，近10年來通過GIMPS項目找到了10個（35至44個）梅森素數。

第四篇：林壽數學史教案-第九講：19世紀的幾何

第九講：19世紀的幾何

1、幾何學的變革

幾何學的基礎：現實空間與思維空間。1.1 微分幾何

平面曲線理論17世紀基本完成。1696年洛比塔（法，1661－1704年）的《無窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。

1760年歐拉（瑞，1707－1783年）《關于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論，1795年蒙日（法，1746－1818年）《關于分析的幾何應用的活頁論文》借助微分方程對曲面族深入研究。

蒙日簡介。1.2 非歐氏幾何

從公元前3世紀到18世紀末，數學家們雖然一直堅信歐氏幾何的完美與正確，但“平行公設”始終讓他們耿耿于懷。

薩凱里（意，1667－1733年）1733年《歐幾里得無懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾（德，1739－1812年）對平行線公設是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特（法，1728－1777年）《平行線理論》指出通過替換平行公設而展開新的無矛盾的幾何學道路。

1813年高斯（德，1777－1855年）：反歐幾里得幾何，非歐幾里得幾何，擔心世俗的攻擊而未發表。1826年羅巴切夫斯基（俄，1792－1856年）《簡要論述平行線定理的一個嚴格證明》，歷史上第一篇公開發表的非歐幾何文獻。1832年J?鮑約（匈，1802－1860年）《絕對空間的科學》，所謂“絕對幾何”就是非歐幾何。

黎曼（德，1826－1866年）1854年《關于幾何基礎的假設》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中，過已知直線外一點不能作任何平行于該給定直線的直線。

黎曼簡介。

1868年貝爾特拉米（意，1835－1899年）《論非歐幾何學的解釋》，在“偽球面”模型上實現（片段上）羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因（德，1849－1925年）“圓”模型實現羅巴切夫斯基幾何，1882年龐加萊（法，1854－1912年）也對羅巴切夫斯基幾何給出了一個歐氏模型，克萊因－龐加萊圓。

1.3 射影幾何

將射影幾何變革為具有獨立目標與方法的學科的數學家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列（法，1788－1867年）的《論圖形的射影性質》，探討圖形在投射和截影下保持不變的性質，闡述了連續性原理、對偶原理。

代數方法。1827年默比烏斯（德，1790－1868年）的《重心計算》中的齊次坐標，1829年普呂克（德，1801－1868年）的三線坐標。

1847年施陶特（德，1798－1867年）的《位置幾何學》不借助長度概念就得以建立射影幾何。凱萊（英，1821－1895年）和克萊因（德，1849－1925年）在射影幾何基礎上建立歐氏幾何和非歐幾何。

1.4 統一的幾何學

1872年克萊因（德，1849－1925年）在埃爾朗根大學的教授就職演講《關于近代幾何研究的比較考察》，闡述了幾何學統一的思想。

克萊因簡介。1.5 幾何學的公理化

19世紀的數學家重新審視《原本》時發現它有許多弱點。1899年希爾伯特《幾何基礎》，提出了對現代數學影響深遠的統一幾何學的途徑：公理化方法。

希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統的三原則：相容性、獨立性、完備性。

希爾伯特簡介。2、19世紀的中國數學

西方數學在中國早期傳播的第二次高潮是從19世紀中葉開始。李善蘭、華蘅芳等為中國近代科學事業的先行者。

2.1 李善蘭（清，1811－1882年）

李善蘭：1850年完成著作《垛積比類》，翻譯了《幾何原本》（1857）、《代微積拾級》（1859）和《代數學》（1859）。

2.2 華蘅芳（清，1833－1902年）

華蘅芳：1868年到江南制造總局翻譯館，翻譯了《代數術》（1872）、《微積溯源》（1874）和《決疑數學》（1880）。

西方數學在中國的早期傳播對中國現代數學的形成功效并不顯著。自19世 2 紀末開始，一批中國留學生到日本、歐美學習數學，回國后創辦數學系，1919年“五四”運動前后，中國現代數學稍具雛形。

第五篇：林壽數學史教案-第五講：文藝復興時期的數學

第五講：文藝復興時期的數學

1、文明背景 1.1 文藝復興

文藝復興是指14世紀意大利各城市興起，15世紀后期起擴展到西歐各國，16世紀在歐洲盛行的一場思想文化運動。在這歷時約200年的歷史中，揭開了現代歐洲歷史的序幕，被認為是中古時代和近代的分界，數學活動也以空前的規模和深度蓬勃興起。

1.2 技術進步

歐洲文藝復興時期的主要成就之一，是在15世紀后半葉開始產生近代自然科學。四大發明相繼傳入歐洲。1450年，德意志人古騰堡發明了金屬活字印刷術，歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個印刷版。

1.3 航海探險

1488年，迪亞士（葡，1450－1500年）進入印度洋，發現好望角。1498年，達?伽馬（葡，1469－1524年）到達印度海岸，找到了通向東方的新航路。1492年，哥倫布（西，1451－1506年）到達美洲。1519－1522年，麥哲倫（葡，1480－1521年）船隊完成了首次環球航行。

1.4 天文學的革命

哥白尼（波，1473－1543年）提出“日心說”，1543年出版《天體運行論》。布魯諾（意，1548－1600年）1584年在《論無限、宇宙及世界》提出了宇宙無限的思想。

2、文藝復興時期的歐洲數學

近代始于對古典時代的復興，但人們很快看到，它遠不是一場復興，而是一個嶄新的時代。

2.1 代數學

歐洲人在數學上的推進是從代數學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數學的序幕。

帕西奧里（意，1445－1517年），1494年出版《算術集成》是一部數學百科全書，其中采用了優越的記號及大量的數學符號，推進了代數學的發展。

塔塔利亞（意，1499－1557年）發表了《論數字與度量》（1556－1560），1 16世紀最好的數學著作之一，發現了三次方程的代數解法。

卡爾丹（意，1501－1576年）最重要的數學著作是1545年出版的《大術》，內有三次、四次方程的解法。

邦貝利（意，1526－1573），意大利文藝復興時期最后一位代數學家，1572年出版《代數》，引進了虛數，正式給出了負數的明確定義。

施蒂費爾（德，1487－1567年），16世紀德國最大的數學家，1544年《綜合數學》中指出：符號使用是代數學的一大進步。

韋達（法，1540－1603年），16世紀法國最大、最有影響的數學家，被西方稱為“代數學之父”，1591年出版《分析引論》是最早的符號代數專著。

2.2 三角學

在16世紀，三角學已從天文學中分離出來，成為一個獨立的數學分支。雷格蒙塔努斯（德，1436－1476年），1464年完成《論各種三角形》（1533年出版），是歐洲人對平面和球面三角學所作的第一個完整、獨立的闡述。

韋達（法，1540－1603年），1579年《應用于三角形的數學定律》系統講述了各鐘三角函數，1615年《截角術》系統化了球面三角和平面三角學。

2.3 射影幾何

文藝復興時期給人印象最深的幾何創造其動力卻來自藝術。正是由于繪畫、制圖中提出的問題的刺激導致了富有文藝復興特色的學科，誕生了射影幾何學。

阿爾貝蒂（意，1404－1472年），1435年發表《論繪畫》，闡述了最早的數學透視法思想，是射影幾何發展的起點。

德沙格（法，1591－1661年）主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結果的初稿》，射影幾何早期發展的代表作。

帕斯卡（法，1623－1662年）1640年《圓錐曲線論》（1779年發現），內有帕斯卡定理：圓錐曲線的內接六邊形對邊交點共線。

射影幾何產生后很快讓位于代數、解析幾何和微積分，他們的工作也漸被遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發現。

2.4 對數

1585年史蒂文（荷，1548－1620年）著作《十進算術》，系統地探討了十進制記數及其運算理論，并提倡用十進制小數來書寫分數。

納皮爾（蘇格蘭，1550－1617年）至少花了20年的時間，于1590年左右開始寫關于對數的著作，1614年發表《奇妙對數規則的說明》。

到16世紀末、17世紀初，整個初等數學的主要內容基本定型，文藝復興促成的東西方數學的融合，為近代數學的興起及以后的驚人發展鋪平了道路。3、15－17世紀的中國數學

3.1 珠算

珠算盤是算籌的發展。珠算盤的記載最早見于元末陶宗儀的《南村輟（chuò）耕錄》（1366年）。

程大位（明，1533－1606年）1592年編著了《直指算法統宗》。從它流傳的長久和廣泛方面來講，那是中國古代數學史上任何著作也不能與之相比。

3.2 西方數學的傳入

西方數學在中國早期傳播的第一次高潮是從17世紀初到18世紀初（明末清初），標志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。

最早來中國從事傳教活動的是明萬歷年間（1582年）來華的意大利傳教士利瑪竇（1552－1610年），被中國人尊稱為“西學東漸第一師”。

徐光啟（明，1562—1633年），中國近代科學的啟蒙大師。1607年，徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版。《幾何原本》是中國近代翻譯西方數學書籍的開始，相繼出現了許多歐洲數學著作。

3.3 明末的中國科技

李時珍（1518－1593年）《本草綱目》，徐光啟（1562－1633年）《農政全書》，徐霞客（1586－1641年）《徐霞客游記》，宋應星（1587－

？）《天工開物》。