第一篇:林壽《數(shù)學(xué)史概論》教案(156頁(yè))1
《數(shù)學(xué)史概論》教案(156頁(yè))
主講人:林壽
導(dǎo)言
主講人簡(jiǎn)介:林壽,寧德師專教授,漳州師院特聘教授,四川大學(xué)博士生導(dǎo)師,德國(guó)《數(shù)學(xué)文摘》和美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》評(píng)論員。1978.4~1980.2寧德師專數(shù)學(xué)科學(xué)習(xí);1984.9~1987.7蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生;1998.9~2000.5 浙江大學(xué)理學(xué)院攻讀博士學(xué)位。拓?fù)鋵W(xué)方向的科研項(xiàng)目先后20次獲得國(guó)家自然科學(xué)基金、國(guó)家優(yōu)秀專著出版基金等的資助,研究課題涉及拓?fù)淇臻g論、集合論拓?fù)?、函?shù)空間拓?fù)涞?,在?guó)內(nèi)外重要數(shù)學(xué)刊物上發(fā)表拓?fù)鋵W(xué)論文90多篇,科學(xué)出版社出版著作3部。1992年獲國(guó)務(wù)院政府特殊津貼,1995年被授予福建省優(yōu)秀專家,1997年獲第五屆中國(guó)青年科技獎(jiǎng)、曾憲梓高等師范院校教師獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。
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一、數(shù)學(xué)史要學(xué)習(xí)什么?為什么要開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史的選修課?
數(shù)學(xué)史研究數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展,及其與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)和一般文化的聯(lián)系。對(duì)于深刻認(rèn)識(shí)作為科學(xué)的數(shù)學(xué)本身,及全面了解整個(gè)人類文明的發(fā)展都具有重要的意義。
龐加萊(法,1854-1912年)語(yǔ)錄:如果我們想要預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái),適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀。
薩頓(美,(1884-1956年):學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史倒不一定產(chǎn)生更出色的數(shù)學(xué)家,但它產(chǎn)生更溫雅的數(shù)學(xué)家,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史能豐富他們的思想,撫慰他們的心靈,并且培植他們高雅的質(zhì)量。
數(shù)學(xué)史的分期:
1、數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展(公元前6世紀(jì));
2、初等數(shù)學(xué)時(shí)期(公元前6世紀(jì)-16世紀(jì));
3、近代數(shù)學(xué)時(shí)期(17世紀(jì)-18世紀(jì));
4、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(1820年至今)。
二、教學(xué)工作安排
授課形式:講解與自學(xué)相結(jié)合,分13講。
第一講:數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展; 第二講:古代希臘數(shù)學(xué); 第三講:中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I; 第四講:中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II; 第五講:文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué);
第六講:牛頓時(shí)代:解析幾何與微積分的創(chuàng)立; 第七講:18世紀(jì)的數(shù)學(xué):分析時(shí)代; 第八講:19世紀(jì)的代數(shù); 第九講:19世紀(jì)的幾何與分析I; 第十講:19世紀(jì)的幾何與分析II; 第十一講:20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 I; 第十二講:20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 II; 第十三講:20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀 III; 選
講:數(shù)學(xué)論文寫作初步。
作業(yè):每一講寫600字左右的讀書筆記,30%記入學(xué)期總成績(jī)。
考查:每位同學(xué)選取一名數(shù)學(xué)家,以這數(shù)學(xué)家為主題寫一篇數(shù)學(xué)史講稿(約 2000字),并把講稿內(nèi)容制作成PowerPoint文檔(約15分鐘,5-8張文檔),70%記入學(xué)期總成績(jī)。
要求:講稿用A4紙單面打印,連同PowerPoint文檔于2008年6月18日(第17周星期三)上交。
三、主要參考書
1、[美]克萊因.古今數(shù)學(xué)思想.牛津大學(xué)出版社,1972(中譯本:北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯,上??茖W(xué)技術(shù)出版社,1979~1981,4卷本);
2、張奠宙.20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯.上海:華東師范大學(xué)出版社,2002;
3、吳文俊主編.世界著名數(shù)學(xué)家傳記(上、下冊(cè)).北京:科學(xué)出版社,1995;
4、程民德主編.中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳(5卷本).南京:江蘇教育出版社,1994-2002;
5、中國(guó)大百科全書編輯委員會(huì).中國(guó)大百科全書(數(shù)學(xué)卷).北京:中國(guó)大百科全書出版社,1988;
6、王元,嚴(yán)士健,石鐘慈,談德顏編譯.數(shù)學(xué)百科全書(5卷本).北京:科學(xué)出版社,1994-2000;
7、郭金彬,孔國(guó)平.中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史.北京:科學(xué)出版社,2004;
8、徐品方,張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史.北京:科學(xué)出版社,2006。
第一講
數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展
主要內(nèi)容:數(shù)與形概念的產(chǎn)生、河谷文明與早期數(shù)學(xué)、西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)。
1、數(shù)與形概念的產(chǎn)生
從原始的“數(shù)”到抽象的“數(shù)”概念的形成,是一個(gè)緩慢、漸進(jìn)的過(guò)程。人從生產(chǎn)活動(dòng)中認(rèn)識(shí)到了具體的數(shù),導(dǎo)致了記數(shù)法。“屈指可數(shù)”表明人類記數(shù)最原始、最方便的工具是手指。
如,手指計(jì)數(shù)(伊朗,1966),結(jié)繩計(jì)數(shù)(秘魯,1972)(美國(guó)自然史博物館藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié),當(dāng)時(shí)人稱之為基普),文字5000年(伊拉克,2001)(楔形數(shù)字),西安半坡遺址出土的陶器殘片。
早期幾種記數(shù)系統(tǒng),如古埃及、古巴比倫、中國(guó)甲骨文、古希臘、古印度、瑪雅(瑪雅文明誕生于熱帶叢林之中,瑪雅是一個(gè)地區(qū)、一支民族和一種文明,分布在今墨西哥的尤卡坦半島、危地馬拉、伯利茲、洪都拉斯和薩爾瓦多西部)等。
世界上不同年代出現(xiàn)了五花八門的進(jìn)位制和眼花繚亂的記數(shù)符號(hào)體系,足以證明數(shù)學(xué)起源的多元性和數(shù)學(xué)符號(hào)的多樣性。
2、河谷文明與早期數(shù)學(xué) 2.1 古代埃及的數(shù)學(xué) 背景:古代埃及簡(jiǎn)況
埃及文明上溯到距今6000年左右,從公元前3500年左右開(kāi)始出現(xiàn)一些小國(guó)家,公元前3000年左右開(kāi)始出現(xiàn)初步統(tǒng)一的國(guó)家。
古代埃及可以分為5個(gè)大的歷史時(shí)期:早期王國(guó)時(shí)期(公元前3100-前2688年)、古王國(guó)時(shí)期(前2686-前2181年)、中王國(guó)時(shí)期(前2040-前1768年)、新王國(guó)時(shí)期(前1567-前1086年)、后期王國(guó)時(shí)期(前1085-前332年)。
(1)古王國(guó)時(shí)期:前2686-前2181年。埃及進(jìn)入統(tǒng)一時(shí)代,開(kāi)始建造金字塔,是第一個(gè)繁榮而偉大的時(shí)代。(2)新王國(guó)時(shí)期:前1567-前1086年。埃及進(jìn)入極盛時(shí)期,建立了地跨亞非兩洲的大帝國(guó)。
直到公元前332年亞歷山大大帝征服埃及為止。
埃及人創(chuàng)造了連續(xù)3000多年的輝煌歷史,建立了國(guó)家,有了相當(dāng)發(fā)達(dá)的農(nóng)業(yè)和手工業(yè),發(fā)明了銅器、創(chuàng)造了文字、掌握了較高的天文學(xué)和幾何學(xué)知識(shí),建造了巍峨宏偉的神廟和金字塔。
吉薩金字塔(公元前2600年)(剛果,1978),它顯示了埃及人極其精確的測(cè)量能力,其中它的邊長(zhǎng)和高度的比例約為圓周率的一半。
古埃及最重要的傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn):紙草書,來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)問(wèn)題集。萊茵德紙草書(1858年為蘇格蘭收藏家萊茵德購(gòu)得,現(xiàn)藏倫敦大英博物館,主體部分由84個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題組成,其中還有歷史上第一個(gè)嘗試“化圓為化”的公式)。
莫斯科紙草書(1893年由俄國(guó)貴族戈列尼雪夫購(gòu)得,現(xiàn)藏莫斯科普希金精細(xì)藝術(shù)博物館,包含了25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題)。
埃及紙草書(民主德國(guó),1981)。
數(shù)學(xué)貢獻(xiàn):記數(shù)制,基本的算術(shù)運(yùn)算,分?jǐn)?shù)運(yùn)算,一次方程,正方形、矩形、等腰梯形等圖形的面積公式,近似的圓面積,錐體體積等。
公元前4世紀(jì)希臘人征服埃及以后,這一古老的數(shù)學(xué)完全被蒸蒸日上的希臘數(shù)學(xué)所取代。
2.2 古代巴比倫的數(shù)學(xué) 背景:古代巴比倫簡(jiǎn)況
兩河流域(美索不達(dá)米亞)文明上溯到距今6000年之前,幾乎和埃及人同時(shí)發(fā)明了文字“楔形文字”。
(1)古巴比倫王國(guó):公元前1894-前729年。漢穆拉比(在位前 1792-前 1750)統(tǒng)一了兩河流域,建成了一個(gè)強(qiáng)盛的中央集權(quán)帝國(guó),頒布了著名的《漢穆拉比法典》。
(2)亞述帝國(guó):前8世紀(jì)-前612年,建都尼尼微(今伊拉克的摩蘇爾市)。(3)新巴比倫王國(guó):前612-前538年。尼布甲尼撒二世(在位前604-前562年)統(tǒng)治時(shí)期達(dá)到極盛,先后兩次攻陷耶路撒冷,建成世界古代七大奇觀之一的巴比倫“空中花園”。世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像,他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡,是古代西方人眼中的全部世界,而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò):“心眼所見(jiàn),永難磨滅”。
公元前6世紀(jì)中葉,波斯國(guó)家逐漸興起,并于公元前538年滅亡了新巴比倫王國(guó)。
了解古代美索不達(dá)米亞文明的主要文獻(xiàn)是泥版,迄今已有約50萬(wàn)塊泥版出土。蘇美爾計(jì)數(shù)泥版(文達(dá),1982)。
現(xiàn)在泥版文書中大約有300多塊是數(shù)學(xué)文獻(xiàn):以60進(jìn)制為主的楔形文記數(shù)系統(tǒng),長(zhǎng)于計(jì)算,發(fā)展程序化算法的熟練技巧(開(kāi)方根),能處理三項(xiàng)二次方程,有三次方程的例子,三角形、梯形的面積公式,棱柱、方錐的體積公式。
泥版楔形文,普林頓322(現(xiàn)在美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館,年代在公元前1600年以前,數(shù)論意義:整勾股數(shù))。
巴比倫泥板和彗星(不丹,1986)。2.3 西漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué) 黃河壺口瀑布(中國(guó),2002)
《史記·夏本紀(jì)》大禹治水(公元前21世紀(jì))中提到“左規(guī)矩,右準(zhǔn)繩”,表明使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具,而且知道“勾三股四弦五”。
考古學(xué)的成就,充分說(shuō)明了中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展。
1952年在陜西西安半坡村出土的,至今六七千年的陶器上刻畫的符號(hào)中,有一些符號(hào)就是表示數(shù)字的符號(hào)。
在殷墟出土的商代甲骨文中,有一些是記錄數(shù)字的文字,表明中國(guó)已經(jīng)使用了完整的十進(jìn)制記數(shù),包括從一至十,以及百、千、萬(wàn),最大的數(shù)字為三萬(wàn)。殷墟甲骨上數(shù)學(xué)(商代,公元前1400-前1100年,1983-1984年間河南安陽(yáng)出土)。
算籌(1971年陜西千陽(yáng)縣西漢墓出土)是中國(guó)古代的計(jì)算工具,它的起源大約可上溯到公元前5世紀(jì),后來(lái)寫在紙上便成為算籌記數(shù)法。至遲到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代,又開(kāi)始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位制籌算記數(shù)(約公元前300年)。怎樣用算籌記數(shù)呢?公元3-4世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》記載說(shuō):“凡算之法,先識(shí)其位,一縱十橫,百立千僵,千十相望,萬(wàn)百相當(dāng)?!?/p>
為了避免涂改,在唐代以后,我國(guó)又創(chuàng)用了一種商業(yè)大寫數(shù)字,又叫會(huì)計(jì)體:壹、貳、叁、肆、伍、陸、柒、捌、玖、拾、佰、仟、萬(wàn)。
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上,是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)人類文明的特殊貢獻(xiàn),這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。
我國(guó)是世界上首先發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的國(guó)家。戰(zhàn)國(guó)時(shí)法家李悝(約公元前455-前395年)曾任魏文侯相,主持變法,我國(guó)第一部比較完整的法典《法經(jīng)》(現(xiàn)已失傳)中已應(yīng)用了負(fù)數(shù),“衣五人終歲用千百不足四百五十”,意思是說(shuō),5個(gè)人一年開(kāi)支1500錢,差450錢。甘肅居延海附近(今甘肅省張掖市管領(lǐng))發(fā)現(xiàn)的漢簡(jiǎn)中有“負(fù)四筭(suàn,籌碼,同算),得七筭,相除得三筭”的句子。
在2002年中國(guó)考古發(fā)現(xiàn)報(bào)告會(huì)上,介紹了繼秦始皇陵兵馬俑坑之后秦代考古的又一重大發(fā)現(xiàn):湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)-秦漢時(shí)期城址及秦代簡(jiǎn)牘。2002年7月,考古人員在湖南龍山里耶戰(zhàn)國(guó)-秦漢古城出土了36000余枚秦簡(jiǎn),記錄的是秦始皇二十六年至三十七年(即公元前221-前210年)的秦朝歷史,其中有一份完整的“九九乘法口訣表”。在《管子》、《荀子》、《戰(zhàn)國(guó)策》等先秦典籍中,都提到過(guò)“九九”,但實(shí)物還是首次發(fā)現(xiàn),這是我國(guó)有文字記錄最早的乘法口訣表。
最后給一首數(shù)字詩(shī),取自宋朝理學(xué)家邵康節(jié)(公元1011-1077年,中國(guó)占卜界的主要代表人物)寫的一首詩(shī),描繪像花園一樣美麗的地方,一幅樸實(shí)自然的鄉(xiāng)村風(fēng)俗畫,宛如一副淡雅的水墨畫:
一去二三里,煙村四五家。亭臺(tái)六七座,八九十枝花。
思考題
1、您對(duì)《數(shù)學(xué)史》課程的期望。
2、談?wù)勀睦斫猓簲?shù)學(xué)是什么?
3、數(shù)學(xué)崇拜與數(shù)學(xué)忌諱。
4、從數(shù)學(xué)的起源簡(jiǎn)述人類活動(dòng)對(duì)文化發(fā)展的貢獻(xiàn)。
5、數(shù)的概念的發(fā)展給我們的啟示。
6、探討古代埃及和古代巴比倫的數(shù)學(xué)知識(shí)在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。
第二講 古代希臘數(shù)學(xué)
主要內(nèi)容:論證數(shù)學(xué)的發(fā)端,亞歷山大學(xué)派,古希臘數(shù)學(xué)的衰落家,簡(jiǎn)述11位哲學(xué)家或科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。
恩格斯指出:“沒(méi)有希臘的文化和羅馬帝國(guó)奠定的基礎(chǔ),沒(méi)沒(méi)有現(xiàn)代的歐洲。” “如果不知道遠(yuǎn)溯古希臘各代前輩所建立和發(fā)展的概念、方法和結(jié)果,我們就不可能理解近年來(lái)數(shù)學(xué)的目標(biāo),也不可能理解它的成就?!?——Claude Hugo Hermann Weyl 背景:古希臘的變遷 古希臘地圖。
希臘時(shí)期(公元前11世紀(jì)-前3世紀(jì)):分為愛(ài)奧尼亞時(shí)期和雅典時(shí)期。愛(ài)奧尼亞時(shí)期:公元前11世紀(jì)-前6世紀(jì),其中公元前11世紀(jì)-前9世紀(jì)希臘各部落進(jìn)入愛(ài)琴地區(qū),公元前9-前6世紀(jì)希臘各城邦先后形成,前776年召開(kāi)了第一次奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì),標(biāo)志著古希臘文明進(jìn)入了興盛時(shí)期。希波戰(zhàn)爭(zhēng)(前499-前449年)以后,雅典成為希臘的霸主。
雅典時(shí)期:公元前6-前3世紀(jì),伯羅奔尼撒戰(zhàn)爭(zhēng)(前431-前404年,雅典及其同盟者與以斯巴達(dá)為首的伯羅奔尼撒同盟之間的戰(zhàn)爭(zhēng)),希臘各城邦陷入混戰(zhàn)之中。
馬其頓帝國(guó)崛起:前6世紀(jì)-前323年。馬其頓位于希臘的北部,處于希臘文明的邊緣,被希臘人視為蠻族。公元前4世紀(jì)起馬其頓逐漸成為希臘北部的重要國(guó)家,正當(dāng)希臘的城邦在經(jīng)歷將近100年的內(nèi)戰(zhàn)之后都精疲力竭的時(shí)候,馬其頓的菲利普二世(公元前382-前336年)把整個(gè)希臘統(tǒng)一于其統(tǒng)治之下,前337年希臘各城邦承認(rèn)馬其頓的霸主地位。前334年,亞歷山大(公元前356-前323年)率大軍渡海東征,拉開(kāi)了征服世界的序幕。亞歷山大最大的敵人是強(qiáng)大的波斯帝國(guó),他先后從波斯人手中奪取了敘利亞和埃及,攻下巴比倫,波斯帝國(guó)滅亡。前323年,亞歷山大病死,他龐大的帝國(guó)也隨之分裂,古希臘歷史結(jié)束。但在帝國(guó)擴(kuò)張的過(guò)程中將希臘文明傳播至東方,史稱希臘化時(shí)代。
希臘化時(shí)期(公元前3世紀(jì)-公元7世紀(jì)):分為亞歷山大時(shí)期和亞歷山大后期。
亞歷山大時(shí)期:公元前323-前30年,前48-前30年凱撒、屋大維侵占埃及。亞歷山大后期:公元前30-公元640年,公元640年阿拉伯人焚毀亞歷山大城藏書。
羅馬帝國(guó):公元前27-公元395年(公元330君士坦丁大帝遷都拜占廷,現(xiàn)為土耳其的伊斯坦布爾),西羅馬帝國(guó):公元395-公元476年(為日爾曼人所滅),東羅馬帝國(guó):公元395-公元1453年(610年改稱拜占廷帝國(guó),為奧斯曼土耳其人所滅)。
本講分三節(jié)介紹:古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)、亞歷山大學(xué)派時(shí)期、希臘數(shù)學(xué)的衰落。
1、古典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué) 公元前600-前300年。
1.1 愛(ài)奧尼亞學(xué)派(米利都學(xué)派):泰勒斯(公元前625-前547年),出生于愛(ài)奧尼亞的米利都城,早年經(jīng)商,被稱為“希臘哲學(xué)、科學(xué)之父”。
哲學(xué):萬(wàn)物源于水,即“水生萬(wàn)物,萬(wàn)物復(fù)歸于水”。其思想的影響是巨大的,在他的帶動(dòng)下,人們開(kāi)始擺脫神的束縛,去探索宇宙的奧秘,經(jīng)過(guò)數(shù)百年的努力,出現(xiàn)了希臘科學(xué)的繁榮。泰勒斯首創(chuàng)之功,不可磨滅。
數(shù)學(xué):創(chuàng)數(shù)學(xué)命題邏輯證明之先河,希臘幾何學(xué)的鼻祖,最早留名于世的數(shù)學(xué)家,證明了一些幾何命題,如“圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分”,“等腰三角形兩底角相等”,“兩相交直線形成的對(duì)頂角相等”,“如果一個(gè)三角形有兩角、一邊分別與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等,那么這兩個(gè)三角形全等”,“半圓上的圓周角是直角”(泰勒斯定理),測(cè)量過(guò)金字塔的高度。
預(yù)報(bào)了公元前585年的一次日食。
1.2 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派:畢達(dá)哥拉斯(約公元前560-前480年),出生于小亞細(xì)亞的薩摩斯島,與中國(guó)的孔子(公元前551-前479年)同時(shí),曾師從愛(ài)奧尼亞學(xué)派,年青時(shí)曾游歷埃及和巴比倫,在薩摩斯島建立了具有宗教、哲學(xué)、科學(xué)性質(zhì)的學(xué)派,致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)的研究,繁榮興旺達(dá)一個(gè)世紀(jì)以上。
哲學(xué)(????????,智力愛(ài)好):萬(wàn)物皆為數(shù)。沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)、也不可能理解任何事物,宣稱宇宙萬(wàn)物的主宰者用數(shù)來(lái)統(tǒng)御宇宙,試圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙永恒的真理。
數(shù)學(xué):數(shù)學(xué)研究抽象概念的認(rèn)識(shí)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,“μαθηματιχα”(可學(xué)到的知識(shí)),“畢達(dá)哥拉斯定理”(希臘,1955),完全數(shù)(等于除它本身以外的全部因子之和,如6,28,496,?)、親和數(shù)(一對(duì)數(shù),其中每一個(gè)數(shù)除它本身以外的所有因子之和是另一個(gè)數(shù),如220,284),正五角星作圖與“黃金分割”(正五角星是該學(xué)派的標(biāo)志,正五角星相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的距離與其邊長(zhǎng)之比,或簡(jiǎn)單說(shuō)正五邊形邊長(zhǎng)與其對(duì)角線之比,正好是黃金比),發(fā)現(xiàn)了“不可公度量”,困惑古希臘的數(shù)學(xué)家,出現(xiàn)的邏輯困難史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后,雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟(jì)文化的中心,希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮,可謂哲學(xué)盛行、學(xué)派林立、名家百出。雅典古衛(wèi)城最宏偉、最精美、最著名的建筑是為敬奉城市庇護(hù)女神雅典娜建造的“帕提農(nóng)神廟”(也稱“巴臺(tái)農(nóng)神廟”,建造于公元前447-前432年),其中應(yīng)用了一些數(shù)學(xué)原理。
雅典時(shí)期:開(kāi)創(chuàng)演繹數(shù)學(xué)。擲鐵餅者(米隆,約前450年)。
1.3 伊利亞學(xué)派:芝諾(約公元前490-前430年),出生于意大利南部半島的伊利亞城邦,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員的學(xué)生。
芝諾悖論:兩分法,運(yùn)動(dòng)不存在。再由是:位移事物在達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)一半處,即不可能在有限的時(shí)間內(nèi)通過(guò)無(wú)限多個(gè)點(diǎn),所以,如果它起動(dòng)了,它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn),或者,它根本起動(dòng)不了。
阿基里斯(荷馬史詩(shī)《依里亞特》中的希臘名將,善跑)、飛矢不動(dòng)。芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系以非數(shù)學(xué)的形態(tài)提出,并進(jìn)行了辯證的考察。
1.4 詭辯學(xué)派(智人學(xué)派):活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城,代表人物均以雄辯著稱,詭辯的希臘原詞含智慧之意,故亦稱智人學(xué)派。
古典幾何三大作圖問(wèn)題:三等分任意角、化圓為方、倍立方。
安蒂豐(約公元前480-前411年),有關(guān)他的生平至今沒(méi)有確切的定論,只知他在雅典從事學(xué)術(shù)活動(dòng),是智人學(xué)派的代表人物,在數(shù)學(xué)方面的突出成就是用“窮竭法”討論化圓為方問(wèn)題。他從一個(gè)圓內(nèi)接正方形出發(fā),將邊數(shù)逐步加倍到正八邊形、正十六邊形、??、持續(xù)重復(fù)這一過(guò)程,隨著圓面積的逐漸窮竭,將得到一個(gè)邊長(zhǎng)極微小的圓內(nèi)接正多邊形。安蒂豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將與圓重合,既然通常能夠作出一個(gè)等于任何已知多邊形的正方形,那么就能作出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題,但安蒂豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。
希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。1855年,法國(guó)科學(xué)院拒絕再審查化圓為方問(wèn)題的解。直到19世紀(jì),數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。如1882年林德曼(德,1852-1939年)證明了數(shù)?的超越性,從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。
1.5 柏拉圖學(xué)派:柏拉圖(約公元前427-前347年),出生于雅典的顯貴世家,曾師從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,哲學(xué)家蘇格拉底(公元前469-前399年)的學(xué)生。作為一名哲學(xué)家,柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展,有著深遠(yuǎn)的影響,特別是他的認(rèn)識(shí)論、數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想,后人將分析法和歸謬法歸的使用歸功于柏拉圖,在古代希臘社會(huì)條件下,對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展,起了不可磨滅的推進(jìn)作用。代表作《理想國(guó)》。
柏拉圖說(shuō):“上帝按幾何原理行事”,“不懂幾何者免進(jìn)”,認(rèn)為打開(kāi)宇宙之迷的鑰匙是數(shù)與幾何圖形,發(fā)展了用演繹邏輯方法系統(tǒng)整理零散數(shù)學(xué)知識(shí)的思想。
柏拉圖不是數(shù)學(xué)家,卻贏得了“數(shù)學(xué)家的締造者”的美稱,公元前387年以萬(wàn)貫家財(cái)在雅典創(chuàng)辦學(xué)院,講授哲學(xué)與數(shù)學(xué),直到529年?yáng)|羅馬君王查士丁尼下令關(guān)閉所有的希臘學(xué)校才告終止。意大利文藝復(fù)興三杰之一拉斐爾?桑蒂(1483-1520年)的壁畫:雅典學(xué)院(創(chuàng)作于1509-1510年)。
古希臘最著名的哲學(xué)家、科學(xué)家:亞里士多德(公元前384-前322年)(烏拉圭,1996),柏拉圖的學(xué)生。
1.6 亞里士多德學(xué)派(呂園學(xué)派):出生于馬其頓的斯塔吉拉鎮(zhèn),公元前335年建立了自己的學(xué)派,講學(xué)于雅典的呂園,又稱“呂園學(xué)派”,相傳亞里士多德還做過(guò)亞歷山大大帝的老師?!拔釔?ài)吾師,吾尤愛(ài)真理”。
集古希臘哲學(xué)之大成,把古希臘哲學(xué)推向最高峰,將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化,創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué),堪稱“邏輯學(xué)之父”,“矛盾律”、“排中律”成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心,努力把形式邏輯的方法運(yùn)用于數(shù)學(xué)的推理上,為歐幾里得演繹幾何體系的形成奠定了方法論的基礎(chǔ),被后人奉為演繹推理的圣經(jīng)。
1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那(意,1225-1274年)建立了經(jīng)院哲學(xué),對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義,試圖從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在。
亞歷山大帝國(guó)版圖、亞歷山大帝國(guó)解體。
希臘化時(shí)期的數(shù)學(xué)(公元前300-公元600年)。亞歷山大去世后,帝國(guó)一分為三:安提柯王朝(馬其頓)、托勒密王朝(埃及)、塞琉古王朝(敘利亞)。
亞歷山大燈塔(匈牙利,1980)。亞歷山大城現(xiàn)在是埃及最大的海港城市。郵票中的主圖是世界古代七大奇觀之一的亞歷山大(法羅斯)燈塔,建于托勒密王朝鼎盛時(shí)期的公元前285-前247年,建成的燈塔高達(dá)117米,1375年的一次猛烈地震,燈塔全毀,法羅斯島連同附近海岸地區(qū)慢慢沉入海底,千古奇觀從此煙消云散。
世界古代七大奇觀指埃及金字塔、巴比倫空中花園、阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亞歷山大燈塔、羅德島太陽(yáng)神銅像,他們是分布于西亞、北非和地中海沿岸的古跡,那是古代西方人眼中的全部世界,而中國(guó)的長(zhǎng)城距他們太遠(yuǎn)了。記錄者古希臘哲學(xué)家費(fèi)隆·拜占廷說(shuō)過(guò):“心眼所見(jiàn),永難磨滅”。
2、亞歷山大學(xué)派時(shí)期
公元前300-前30年。托勒密(托勒密·索特爾,約前367-前283年)統(tǒng)治下的希臘埃及,定都于亞歷山大城,于公元前300年左右,開(kāi)始興建亞歷山大藝術(shù)博物館和圖書館,提倡學(xué)術(shù),羅致人才,進(jìn)入了亞歷山大時(shí)期:希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代,先后出現(xiàn)了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家,他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的巔峰。
2.1 歐幾里得(公元前325-前265年)
早年學(xué)習(xí)于雅典,公元前300年應(yīng)托勒密一世之請(qǐng)來(lái)到亞歷山大,成為亞歷山大學(xué)派的奠基人。用邏輯方法把幾何知識(shí)建成一座巍峨的大廈,他的公理化思想和方法歷盡滄桑而流傳千古,成為后人難以跨躍的高峰?!皫缀螣o(wú)王者之道”,后推廣為:“求知無(wú)坦途”。
《原本》(Στοιχετα,意指:學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理)。13卷: 第一卷:直邊形,全等、平行公理、畢達(dá)哥拉斯定理(世界最早、完整、嚴(yán)格的證明)、初等作圖法等;
第二卷:幾何方法解代數(shù)問(wèn)題,求面積、體積等; 第三、四卷:圓、弦、切線、圓的內(nèi)接、外切; 第五、六卷:比例論與相似形; 第七、八、九、十卷:數(shù)論;
第十一、十二、十三卷:立體幾何,包括窮竭法,是微積分思想的來(lái)源。采用了亞里士多德對(duì)公理、公設(shè)的區(qū)分,由5條公理,5條公設(shè),119條定義和465條命題組成,構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。
5公理:(1)等于同量的量彼此相等;(2)等量加等量,和相等;(3)等量減等量,差相等;(4)彼此重合的圖形是全等的;(5)整體大于部分。
5公設(shè):(1)假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線;(2)一條有限直線可不斷延長(zhǎng);(3)以任意中心和直徑可以畫圓;(4)凡直角都彼此相等;(5)若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角,那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng),它們都在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。
《原本》是數(shù)學(xué)史上第一座理論豐碑,確立了數(shù)學(xué)的演繹范式,正如英國(guó)著名哲學(xué)與數(shù)學(xué)家羅素(1872-1970年)說(shuō)過(guò):“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一,是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。它也成為科學(xué)史上流傳最廣的著作之一,僅從1482年第一個(gè)拉丁文印刷本在威尼斯問(wèn)世以來(lái),已出了各種文字的版本1000多個(gè)。存在缺陷,定義借助直觀,公理系統(tǒng)不完備。
2.2 數(shù)學(xué)之神:阿基米德(公元前287-前212年)與牛頓(英,1642-1727年)、高斯(德,1777-1855年)并列有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家之一,出生于西西里島的敘拉古,曾在亞歷山大城師從歐幾里得的門生。
“給我一個(gè)支點(diǎn),我就可以移動(dòng)地球”。最為杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是,在《圓的度量》中,發(fā)展了200年前安蒂豐的窮竭法,用于計(jì)算周長(zhǎng)、面積或體積,通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng),求得圓周率介于3?10/71和3?1/7之間(約為3.14),這是數(shù)學(xué)史上第一次給出科學(xué)求圓周率的方法,把希臘幾何學(xué)幾乎提高到西方17世紀(jì)后才得以超越的高峰。阿基米德螺線,一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家,阿基米德之死(在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中被羅馬士兵所殺)。墓碑上是阿基米德最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖形:球及其外切圓柱。
2.3 阿波羅尼奧斯(約公元前262-前190年),出生于小亞細(xì)亞的珀?duì)柤?,年青時(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的門生學(xué)習(xí),貢獻(xiàn)涉及幾何學(xué)和天文學(xué),最重要的數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線論,以歐幾里得嚴(yán)謹(jǐn)風(fēng)格寫成的傳世之作《圓錐曲線》,是希臘演繹幾何的最高成就,用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論,確實(shí)令人驚嘆,對(duì)圓錐曲線研究所達(dá)到的高度,直到17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前,始終無(wú)人能夠超越。《圓錐曲線》全書共8卷,含487個(gè)命題。
克萊因(美,1908-1992年):它是這樣一座巍然屹立的豐碑,以致后代學(xué)者至少?gòu)膸缀紊蠋缀醪荒茉賹?duì)這個(gè)問(wèn)題有新的發(fā)言權(quán)。這確實(shí)可以看成是古希臘幾何的登峰造極之作。
貝爾納(英,1901-1971年):他的工作如此的完備,所以幾乎二千年后,開(kāi)普勒和牛頓可以原封不動(dòng)地搬用,來(lái)推導(dǎo)行星軌道的性質(zhì)。
3、希臘數(shù)學(xué)的衰落
公元180年前后的羅馬帝國(guó)版圖。
公元前6世紀(jì),在意大利半島的臺(tái)伯河畔,有一座羅馬城逐漸建立起來(lái)。公元前509年,羅馬建立了共和國(guó)。古羅馬經(jīng)過(guò)多個(gè)世紀(jì)的戰(zhàn)爭(zhēng),時(shí)分時(shí)合多次。公元前27年,羅馬建立了元首政治,共和國(guó)宣告滅亡,從此進(jìn)入羅馬帝國(guó)時(shí)代。在公元前1世紀(jì)完全征服了希臘各國(guó)而奪得了地中海地區(qū)的霸權(quán),建立了強(qiáng)大的羅馬帝國(guó)。1世紀(jì)時(shí),羅馬帝國(guó)繼續(xù)擴(kuò)張,到2世紀(jì),帝國(guó)版圖確定下來(lái),它地跨歐、亞、非三洲,地中海成了它的內(nèi)湖。傳統(tǒng)的史學(xué)家把公元前27年到公元284年稱為早期羅馬帝國(guó)。
進(jìn)入晚期羅馬帝國(guó)時(shí)期,帝國(guó)在戰(zhàn)亂中于395年由最后一個(gè)君主提奧多正式把帝國(guó)分為兩部分,西部以羅馬為首都分給了長(zhǎng)子阿卡狄(稱為西羅馬帝國(guó)),東部以君士坦丁堡(今土耳其的伊斯坦布爾)為首都分給了次子賀諾里(稱為東羅馬帝國(guó))。476年,西羅馬帝國(guó)皇帝被日耳曼人廢掉,西羅馬帝國(guó)滅亡,西歐奴隸制社會(huì)的歷史結(jié)束了,從此進(jìn)入了封建社會(huì)時(shí)期。
古羅馬斗獸場(chǎng)(建于公元70-82年)。西班牙古羅馬高架引水橋(建于公元1世紀(jì)末2世紀(jì)初)高架引水橋從遙遠(yuǎn)的雪山引水到阿爾卡薩城堡,全長(zhǎng)15公里,有166個(gè)拱門,它由2萬(wàn)多塊大石頭堆砌而成,石塊間沒(méi)有任何水泥等灰漿類物質(zhì)黏合,至今仍能堅(jiān)固完好,實(shí)在令人嘆為觀止。據(jù)說(shuō),這座已經(jīng)1900歲引水橋的引水功能,直到1950年還在使用呢!如今它是塞哥維亞的標(biāo)志性建筑。
羅馬帝國(guó)的建立,唯理的希臘文明從而被務(wù)實(shí)的羅馬文明所取代。同氣勢(shì)恢弘的羅馬建筑相比,羅馬人在數(shù)學(xué)領(lǐng)域遠(yuǎn)談不上有什么顯赫的功績(jī)。由于希臘文化的慣性影響以及羅馬統(tǒng)治者對(duì)自由研究的寬松態(tài)度,在相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)亞歷山大城仍然維持學(xué)術(shù)中心的地位,產(chǎn)生了一批杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。從公元前30年-公元600年常稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。
3.1 托勒密(埃及,90-165年),在亞歷山大城工作,最重要的著作是《天文學(xué)大成》(《至大論》)13卷
第一、二卷:地心體系的基本輪廓; 第三卷:太陽(yáng)運(yùn)動(dòng); 第四卷:月亮運(yùn)動(dòng);
第五卷:計(jì)算月地距離和日地距離; 第六卷:日食和月食的計(jì)算; 第七、八卷:恒星和歲差現(xiàn)象;
第九-十三卷:分別討論五大行星的運(yùn)動(dòng),本輪和均輪的組合在這里得到運(yùn)用。
提出地心說(shuō)而成為整個(gè)中世紀(jì)西方天文學(xué)的經(jīng)典。《大成》中總結(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí),其中最有意義的貢獻(xiàn)是包含有一張正弦三角函數(shù)表,這是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。三角學(xué)的貢獻(xiàn)是亞歷山大后期幾何學(xué)最富創(chuàng)造性的成就。
托勒密的本輪-均輪模型。
3.2 丟番圖(公元200-284年)《算術(shù)》
亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng),使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志是丟番圖的《算術(shù)》,這是一部具有東方色彩、對(duì)古典希臘幾何傳統(tǒng)最離經(jīng)叛道的算術(shù)與代數(shù)著作,其中最有名的一個(gè)不定方程:將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)。17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在閱讀《算術(shù)》時(shí)對(duì)該問(wèn)題給出一個(gè)邊注,引出了后來(lái)舉世矚目的“費(fèi)馬大定理”。另一重要貢獻(xiàn)是創(chuàng)用了一套縮寫符號(hào),一種“簡(jiǎn)寫代數(shù)”,是真正的符號(hào)代數(shù)出現(xiàn)之前的一個(gè)重要階段。
關(guān)于丟番圖的生平,知之甚少,推測(cè)大約公元250年前后活動(dòng)于亞歷山大城,知道他活了84歲。丟番圖的墓志銘:墳中安葬著丟番圖,多么令人驚訝,它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一,又過(guò)十二分之一,兩頰長(zhǎng)胡,再過(guò)七分之一,點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子,可憐遲到的寧馨兒,享年僅及其父之半,便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ),又過(guò)四年,他也走完了人生的旅途。
這相當(dāng)于方程:1/6?x+1/12?x+1/7?x+5+1/2?x+4=x,x=84。古希臘數(shù)學(xué)的落幕。
基督教在羅馬被奉為國(guó)教后,將希臘學(xué)術(shù)視為異端邪說(shuō),對(duì)異教學(xué)者橫加迫害。公元415年,亞歷山大女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭(公元370-415年)被一群聽(tīng)命于主教的基督暴徒殘酷殺害。希帕蒂婭曾注釋過(guò)阿基米德、阿波羅尼奧斯和丟番圖的著作,是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。希帕蒂婭的被害預(yù)示了在基督教的陰影籠罩下整個(gè)中世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的厄運(yùn)。
柏拉圖學(xué)園被封閉。公元529年?yáng)|羅馬皇帝查士丁尼(527-565年)下令封閉了雅典的所有學(xué)校,包括柏拉圖公元前387年創(chuàng)立的雅典學(xué)院。
亞歷山大圖書館(當(dāng)時(shí)世界上藏書最多的圖書館)三劫,希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。
第1次劫難:前47年,羅馬凱撒燒毀了亞歷山大港的艦隊(duì),大火殃及亞歷山大圖書館,70萬(wàn)卷圖書付之一炬。
第2次劫難:公元392年羅馬狄?jiàn)W多修下令拆毀塞拉皮斯希臘神廟,30多萬(wàn)件希臘文手稿被毀。
第3次劫難:公元640年阿拉伯奧馬爾一世下令收繳亞歷山大城全部希臘書籍予以焚毀。
附:埃及陽(yáng)歷、儒略歷、格里歷、公歷
目前通行世界的公歷,是我們大家最熟悉的一種陽(yáng)歷。這部歷法浸透了人類幾千年間所創(chuàng)造的文明,是古羅馬人向埃及人學(xué)得,并隨著羅馬帝國(guó)的擴(kuò)張和基督教的興起而傳播于世界各地。
由于計(jì)算尼羅河泛濫周期的需要,產(chǎn)生了古埃及的天文學(xué)和太陽(yáng)歷。埃及陽(yáng)歷:每年365天,12個(gè)月,每月30天,外加5天年終節(jié)日。天文學(xué)家索西吉斯(前90-?)建議羅馬儒略·凱撒(前100-前44年)大帝使用陽(yáng)歷,注意4年置閏一次;公元前46年制定儒略歷。
儒略歷:平年365天,12個(gè)月,大月31天,小月30天,單月為大月(凱撒生日在7月),8月也定為大月(屋大維(奧古斯都,前63-公元14年,凱撒姐姐的兒子,是凱撒遺囑的第一繼承人,生日在8月),從8月開(kāi)始,單月為小,雙月為大,所欠缺的天數(shù)均從2月(不吉利的月份)里扣除,使之成為28天。閏年366天,使2月成為29天。
儒略歷從公元前45年1月1日開(kāi)始實(shí)行。
公元325年,羅馬教皇將儒略歷規(guī)定為教歷。公歷的紀(jì)元,就是從“耶穌降生”的那年算起的,這與基督教的興盛密切相關(guān)。
問(wèn)題: 一年365.25天比實(shí)際回歸年長(zhǎng)度365.2422多0.0078天,至公元1582年,已與實(shí)際天數(shù)多了10天。
為了不違背宗教的規(guī)定,滿足教會(huì)對(duì)歷法的要求,羅馬教皇格里高利13世設(shè)立了改革歷法的專門委員會(huì),比較了各種方案后,決定采用意大利醫(yī)生利里奧的方案,在400年中去掉儒略歷多出的三個(gè)閏年。
格里歷:羅馬教皇格里高利13世,將1582年10月5日直接變成15日;在4年一閏的基礎(chǔ)上每逢百之年只有能被400整除的才算閏年;歷年的平均長(zhǎng)度為365.2425,更接近回歸年長(zhǎng)度(與回歸年長(zhǎng)度相差25.92秒),要過(guò)3333歷年兩者才會(huì)相差1日。
由于格里歷的內(nèi)容比較簡(jiǎn)潔,便于記憶,而且精度較高,與天時(shí)符合較好,因此它逐步為各國(guó)政府所采用。
公歷:格里歷先在天主教國(guó)家使用,20世紀(jì)初為全世界普遍采用,所以又叫公歷。
我國(guó)于1912年開(kāi)始采用公歷,但仍用中華民國(guó)紀(jì)年,1949年中華人民共和國(guó)成立后,采用公歷紀(jì)年。
思考題
1、試分析芝諾悖論:飛矢不動(dòng)。
2、歐幾里得《原本》對(duì)數(shù)學(xué)以及整個(gè)科學(xué)的發(fā)展有什么意義?
3、簡(jiǎn)述歐幾里得《原本》的現(xiàn)代意義?
4、以“化圓為方”問(wèn)題為例,說(shuō)明未解決問(wèn)題在數(shù)學(xué)中的重要性。
5、體驗(yàn)阿基米德方法:通過(guò)計(jì)算半徑為1的圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng),計(jì)算圓周率的近似值,計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后3位數(shù)。
6、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是怎樣引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的?他們?yōu)槭裁匆獙?duì)這次數(shù)學(xué)危機(jī)采取回避的態(tài)度?
第三講:中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)I
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的形成與興盛:公元前1世紀(jì)至公元14世紀(jì)。分成三個(gè)階段:《周髀算經(jīng)》與《九章算術(shù)》、劉徽與祖沖之、宋元數(shù)學(xué),這反映了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的三次高峰,簡(jiǎn)述9位中國(guó)科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。
1、中算發(fā)展的第一次高峰:數(shù)學(xué)體系的形成
秦始皇陵兵馬俑(中國(guó),1983),秦漢時(shí)期形成中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系。我們通過(guò)一些古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)說(shuō)明數(shù)學(xué)體系的形成。1983-1984年間考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的一批西漢初年(即呂后至文帝初年,約為公元前170年前后)的竹簡(jiǎn),共千余支。經(jīng)初步整理,其中有歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻(xiàn),還有一部數(shù)學(xué)著作,據(jù)寫在一支竹簡(jiǎn)背面的字跡辨認(rèn),這部竹簡(jiǎn)算書的書名叫《算數(shù)書》,它是中國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著。經(jīng)研究,它和《九章算術(shù)》(公元1世紀(jì))有許多相同之處,體例也是“問(wèn)題集”形式,大多數(shù)題都由問(wèn)、答、術(shù)三部分組成,而且有些概念、術(shù)語(yǔ)也與《九章算術(shù)》的一樣。
《周髀算經(jīng)》(髀:量日影的標(biāo)桿)編纂于西漢末年,約公元前100年,它雖是一部天文學(xué)著作(“蓋天說(shuō)”-天圓地方;中國(guó)古代正統(tǒng)的宇宙觀是“渾天說(shuō)”-大地是懸浮于宇宙空間的圓球,“天體如彈丸,地如卵中黃”),涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)有的可以追溯到公元前11世紀(jì)(西周),其中包括兩項(xiàng)重要的數(shù)學(xué)成就:勾股定理的普遍形式(中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書面記載),數(shù)學(xué)在天文測(cè)量中的應(yīng)用(測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”,陳子約公元前6、7世紀(jì)人,相似形方法)。
勾股定理的普遍形式:求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開(kāi)方除之,得邪至日。
中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作是《九章算術(shù)》(東漢,公元100年)。它不是出自一個(gè)人之手,是經(jīng)過(guò)歷代多人修訂、增補(bǔ)而成,其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容,有些也可以追溯到周代。中國(guó)儒家的重要經(jīng)典著作《周禮》記載西周貴族子弟必學(xué)的六門課程“六藝”(禮、樂(lè)、射、御、書、數(shù))中有一門是“九數(shù)”。《九章算術(shù)》是由“九數(shù)”發(fā)展而來(lái)。在秦焚書(公元前213年)之前,至少已有原始的本子。經(jīng)過(guò)西漢張蒼(約公元前256-152年,約公元前200年,西漢陽(yáng)武(今河南原陽(yáng))人)、耿壽昌(公元前73-49年,約公元前50年)等人刪補(bǔ),大約成書于東漢時(shí)期,至遲在公元100年。
全書246個(gè)問(wèn)題,分成九章:(1)方田(土地測(cè)量),包括正方形、矩形、三角形、梯形、圓形、環(huán)形、弓形、截球體的表面積計(jì)算,另有約分、通分、四則運(yùn)算,求最大公約數(shù)等運(yùn)算法則;(2)粟米(糧食交易的比例方法);(3)衰分(比例分配的算法),介紹依等級(jí)分配物資或按等級(jí)攤派稅收的比例分配算法;(4)少?gòu)V(開(kāi)平方和開(kāi)立方法);(5)商功(立體形求體積法);(6)均輸(征稅),處理行程和合理解決征稅問(wèn)題,包括復(fù)比例和連比例等比較復(fù)雜的比例分配問(wèn)題;(7)盈不足(盈虧類問(wèn)題解法及其應(yīng)用);(8)方程(一次方程組解法和正負(fù)數(shù));(9)勾股(直角三角形),介紹利用構(gòu)股定理測(cè)量計(jì)算高、深、廣、遠(yuǎn)的問(wèn)題。所包含的數(shù)學(xué)成就是豐富和多方面的,主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等,既有算術(shù)方面的,也有代數(shù)與幾何方面的內(nèi)容。如方程第一題,其算籌式為
它完整地?cái)⑹隽水?dāng)時(shí)已有的數(shù)學(xué)成就,對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響,如同《原本》對(duì)西方數(shù)學(xué)發(fā)展的影響一樣深遠(yuǎn),在長(zhǎng)達(dá)一千多年間,一直作為中國(guó)的數(shù)學(xué)教科書,并被公認(rèn)為世界數(shù)學(xué)古典名著之一。《九章算術(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正式形成。
2、中算發(fā)展的第二次高峰:數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展 三國(guó)演義(中國(guó),1998)。
從公元220年?yáng)|漢分裂,到公元581年隋朝建立,史稱魏晉南北朝。這是中國(guó)歷史上的動(dòng)蕩時(shí)期,也是思想相對(duì)活躍的時(shí)期。在長(zhǎng)期獨(dú)尊儒學(xué)之后,學(xué)術(shù)界思辨之風(fēng)再起,在數(shù)學(xué)上也興起了論證的趨勢(shì)。許多研究以注釋《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》的形式出現(xiàn),實(shí)質(zhì)是尋求這兩部著作中一些重要結(jié)論的數(shù)學(xué)證明。這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)獨(dú)特而豐產(chǎn)的時(shí)期,是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)穩(wěn)步發(fā)展的時(shí)期。
《九章算術(shù)》注釋中最杰出的代表是劉徽和祖沖之父子。
2.1 劉徽(魏晉,公元3世紀(jì))(中國(guó),2002),淄鄉(xiāng)(今山東鄒平縣)人,布衣數(shù)學(xué)家,于263年撰《九章算術(shù)注》,不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理,并且多有創(chuàng)造,奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位,成為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最具代表性的人物。
劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”(圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積)。在劉徽之前,通常認(rèn)為“周三徑一”,即圓周率取為3。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”,通過(guò)計(jì)算圓內(nèi)接正3072邊形的面積,求出圓周率為3927/1250(=3.1416)(阿基米德計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正96邊形的周長(zhǎng))。為方便計(jì)算,劉徽主張利用圓內(nèi)接正192邊形的面積求出157/50(=3.14)作為圓周率,后人常把這個(gè)值稱為“徽率”。這使劉徽成為中算史上第一位用可靠的理論來(lái)推算圓周率的數(shù)學(xué)家,并享有國(guó)際聲譽(yù)。
讓我們來(lái)體會(huì)劉徽的“割圓術(shù)”。
劉徽對(duì)π的估算值(密克羅尼西亞,1999)。
劉徽利用極限思想求圓的面積,就極限思想而言,從現(xiàn)存中國(guó)古算著作看,在清代李善蘭及西方微積分學(xué)傳入中國(guó)之前,再?zèng)]有人超過(guò)甚至達(dá)到劉徽的水平。2000年國(guó)家最高科學(xué)技術(shù)獎(jiǎng)得主吳文俊院士指出:“從對(duì)數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的角度來(lái)衡量,劉徽應(yīng)該與歐幾里得、阿基米德相提并論”。
劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法,到南北朝時(shí)期被祖沖之推進(jìn)和發(fā)展。
2.2 祖沖之(429-500年),范陽(yáng)遒縣(今河北淶源)人,活躍于南朝的宋、齊兩代,曾做過(guò)一些小官,但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。祖沖之:“遲疾之率,非出神怪,有形可檢,有數(shù)可推?!?/p>
祖沖之的著作《綴術(shù)》,取得了圓周率的計(jì)算和球體體積的推導(dǎo)兩大數(shù)學(xué)成就。祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在《隋書》(唐,魏征主編)的《律歷志》中:“古之九數(shù),圓周率三,圓徑率一,其術(shù)疏舛。自劉歆、張衡、劉徽、王蕃、皮延宗之徒,各設(shè)新率,未臻折衷。宋末,南徐州(今江蘇鎮(zhèn)江)從事史祖沖之,更開(kāi)密法,以圓徑一億為一丈,圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正數(shù)在盈朒二限之間。密率,圓徑一百一十三,圓周三百五十五。約率,圓徑七,周二十二?!?即,祖沖之算出圓周率在3.1415926與3.1415927之間,并以355/113(=3.1415929…)為密率,22/7(=3.1428…)為約率。
1913年日本數(shù)學(xué)史家三上義夫(1875-1950年)在《中國(guó)和日本的數(shù)學(xué)之發(fā)展》里主張稱355/113為祖率。
祖沖之如何算出如此精密結(jié)果,《隋書·律歷志》寫道:“所著之書,名為《綴術(shù)》,學(xué)官莫能究其深?yuàn)W,是故廢而不理”?!毒Y術(shù)》失傳了,沒(méi)有任何史料流傳下來(lái)。史學(xué)家認(rèn)為,祖沖之除開(kāi)繼續(xù)使用劉徽的“割圓術(shù)”“割之又割”外,并不存在有其它方法的可能性。如按劉徽的方法,繼續(xù)算至圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形可得出圓周率在3.14159261與3.14159271之間。
《綴術(shù)》的另一貢獻(xiàn)是祖氏原理 :冪勢(shì)既同則積不容異,在西方文獻(xiàn)中稱為卡瓦列里原理,或不可分量原理,因?yàn)?635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里(1598-1647年)獨(dú)立提出,對(duì)微積分的建立有重要影響。
在數(shù)學(xué)成就方面,整個(gè)唐代卻沒(méi)有產(chǎn)生出能夠與其前的魏晉南北朝和其后的宋元時(shí)期相媲美的數(shù)學(xué)大家,主要的數(shù)學(xué)成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度。為了教學(xué)需要唐初由李淳風(fēng)(604-672年)等人注釋并校訂了《算經(jīng)十書》(約656年),即《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》(劉徽)、《孫子算經(jīng)》(約成書于公元400年,內(nèi)有“物不知數(shù)”問(wèn)題)、《夏候陽(yáng)算經(jīng)》(成書于公元6、7世紀(jì),內(nèi)有“百雞問(wèn)題”:今有雞翁一,直錢五;雞母一,直錢三;雞雛三,直錢一。凡百錢,買雞翁、母、雛各幾何)、《張邱建算經(jīng)》(張邱建,北魏清河(今邢臺(tái)市清河縣)人,約成書于公元466-485年間)、《綴術(shù)》(祖沖之)、《五曹算經(jīng)》(北周甄鸞(字叔遵,河北無(wú)極人)著)、《五經(jīng)算經(jīng)》(北周甄鸞著)和《緝古算經(jīng)》(約成書于626年前后,唐王孝通,內(nèi)有三次方程及其根,但沒(méi)有解題方法)。十部算經(jīng)對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典有積極的意義,顯示了漢唐千余年間中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平,是當(dāng)時(shí)科舉考試的必讀書(公元587年隋文帝開(kāi)創(chuàng)中國(guó)的科舉考試制度,1905年清朝廢止科舉制度)。
3、中算發(fā)展的第三次高峰:數(shù)學(xué)全盛時(shí)期
社會(huì)背景:公元960年,北宋王朝的建立結(jié)束了五代十國(guó)(907-960年)割據(jù)的局面。北宋的農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn),火藥、指南針、印刷術(shù)三大發(fā)明就是在這種經(jīng)濟(jì)高漲的情況下得到了廣泛應(yīng)用。雕版印書的發(fā)達(dá),特別是北宋中期,在宋仁宗慶歷年間(約1041—1048年),畢升活字印刷術(shù)的發(fā)明(平民發(fā)明家畢升總結(jié)了歷代雕版印刷的豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),經(jīng)過(guò)反復(fù)試驗(yàn),制成了膠泥活字,實(shí)行排版印刷,完成了印刷史上一項(xiàng)重大的革命,關(guān)于畢升的生平事跡,人們卻一無(wú)所知,幸虧畢升創(chuàng)造活字印刷術(shù)的事跡,比較完整地記錄在北宋著名科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》里),給數(shù)學(xué)著作的保存與流傳帶來(lái)了福音。事實(shí)上,整個(gè)宋元時(shí)期(960—1368年),重新統(tǒng)一了的中國(guó)封建社會(huì)發(fā)生了一系列有利于數(shù)學(xué)發(fā)展的變化,以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)達(dá)到了鼎盛時(shí)期。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以宋元數(shù)學(xué)為最高境界。這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和先進(jìn)的數(shù)學(xué)計(jì)算技術(shù),其印刷出版、記載著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最高成就的宋元算書,是世界文化的重要遺產(chǎn)。
下面介紹宋元時(shí)期的一些計(jì)算技術(shù)。3.1 賈憲三角
賈憲(約公元11世紀(jì))是北宋人,在朝中任左班殿值,約1050年完成一部叫《黃帝九章算術(shù)細(xì)草》的著作,原書丟失,但其主要內(nèi)容被楊輝的《詳解九章算法》摘錄,因能傳世。賈憲發(fā)明了“增乘開(kāi)方法”,是中算史上第一個(gè)完整、可推廣到任意次方的開(kāi)方程序,一種非常有效和高度機(jī)械化的算法。在此基礎(chǔ)上,賈憲創(chuàng)造了“開(kāi)方作法本源圖”(即“古法七乘方圖”或賈憲三角),西方人叫“帕斯卡三角”或“算術(shù)三角形”,因?yàn)榉▏?guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(1623-1662年)于1654年發(fā)表論文《論算術(shù)三角形,以及另外一些類似的小問(wèn)題》。
算術(shù)三角形(利比里亞,1999)。3.2 隙積術(shù) 沈括(1030-1094年),北宋錢塘(今浙江杭州)人,北宋著名的科學(xué)家,1080年任延州(今陜西延安市)知州,因1082年的“永樂(lè)城(今寧夏銀川附近)之戰(zhàn)”敗于西夏(1032-1227年)而結(jié)束政治生涯,經(jīng)過(guò)6年的軟禁之苦后,開(kāi)始賦閑幽居生活。沈括一生論著極多,其中以《夢(mèng)溪筆談》(1093年)影響最大,內(nèi)容包括數(shù)學(xué)、天文、歷法、地理、物理、化學(xué)等領(lǐng)域,被英國(guó)著名科學(xué)史家李約瑟譽(yù)為“中國(guó)科學(xué)史的里程碑”。他對(duì)數(shù)學(xué)的主要成就有兩項(xiàng),會(huì)圓術(shù)(解決由弦求孤的問(wèn)題)和隙積術(shù)(開(kāi)創(chuàng)研究高階等差級(jí)數(shù)之先河)。
3.3天元術(shù)
李冶(金、元,1192-1279年),金代真定欒城(今河北欒城)人,出生的時(shí)候,金朝(1115-1234年)正由盛而衰,曾任鈞州(今河南禹縣)知事,1232年鈞州被蒙古軍所破,遂隱居于封龍山治學(xué),潛心學(xué)問(wèn)。1248年撰成代數(shù)名著《測(cè)圓海鏡》,該書是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作,“天元術(shù)”與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法相類似,稱未知數(shù)為天元,“立天元一為某某”,相當(dāng)于“設(shè)x為某某”,可以說(shuō)是符號(hào)代數(shù)的嘗試,在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。劉徽注釋《九章算術(shù)》“正負(fù)術(shù)”中云:“正算赤,負(fù)算黑”,李冶感到用筆記錄時(shí)換色的不便,便在《測(cè)圓海鏡》中用斜畫一杠表示負(fù)數(shù)。
“積財(cái)千萬(wàn),不如薄技在身”。
李冶的天元術(shù)列方程:x^3+336x^2+4184x+2488320=0。3.4 大衍術(shù)
秦九韶(約1202-1261年),南宋普州安岳(今四川安岳)人,曾任和州(今安徽和縣)守,1244年,因母喪離任,回湖州(今浙江吳興)守孝三年。此間,秦九韶專心致志于研究數(shù)學(xué),于1247年完成數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》,內(nèi)容分為九類:大衍類、天時(shí)類、田域類、測(cè)望類、賦役類、錢谷類、營(yíng)建類、軍旅類、市易類,其中有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)使得宋代算書在中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)史上占有突出的地位。
《數(shù)書九章》是我國(guó)古算中最早用圓圈Ο表示0號(hào)的著作。
一是發(fā)展了一次同余組解法,創(chuàng)立了“大衍求一術(shù)”(一種解一次同余式的一般性算法程序,現(xiàn)稱中國(guó)剩余定理,所謂“求一”,通俗他說(shuō),就是求“一個(gè)數(shù)的多少倍除以另一個(gè)數(shù),所得的余數(shù)為一”)的一般解法。中算家對(duì)于一次同余式問(wèn)題解法最早見(jiàn)于《孫子算經(jīng)》(約公元400年)中的“物不知數(shù)問(wèn)題”(亦稱“孫子問(wèn)題”):今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何??!秾O子算經(jīng)》給出的答案是23,但其算法很簡(jiǎn)略,未說(shuō)明其理論根據(jù)。秦九韶在《數(shù)書九章》中明確給出了一次同余組的一般性解法。在西方,最早接觸一次同余式的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(1170-1250年)于1202年在《算盤書》中給出了兩個(gè)一次同余問(wèn)題,但沒(méi)有一般算法,1743年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783年)和1801年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(1777-1855年)才對(duì)一次同余組進(jìn)行了深入研究,重新獲得與中國(guó)剩余定理相同的結(jié)果。
二是總結(jié)了高次方程數(shù)值解法,將賈憲的“增乘開(kāi)方法”推廣到了高次方程的一般情形,提出了相當(dāng)完備的“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”(現(xiàn)稱秦九韶法)。在西方,直到1804年意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼(1765-1822年)才創(chuàng)立了一種逐次近似法解決數(shù)字高次方程無(wú)理根的近似值問(wèn)題,而1819年英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納(1786-1837年)才提出與“增乘開(kāi)方法”演算步驟相同的算法,西方稱霍納法。
3.5 垛積術(shù)
楊輝(公元13世紀(jì)),南宋錢塘(今浙江杭州)人,曾做過(guò)地方官,足跡遍及錢塘、臺(tái)州、蘇州等地,是東南一帶有名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。楊輝的主要數(shù)學(xué)著作之一《詳解九章算法》(1261年)是為了普及《九章算術(shù)》中的數(shù)學(xué)知識(shí)而作,它從《九章算術(shù)》的246道題中選擇了80道有代表性的題目,進(jìn)行詳解,其中主要的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是“垛積術(shù)”,這是在沈括“隙積術(shù)”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的,由多面體體積公式導(dǎo)出相應(yīng)的垛積術(shù)公式。另一貢獻(xiàn)是所謂的“楊輝三角”,其實(shí)是記載了賈憲的工作。
3.6 四元術(shù)
朱世杰(約1260-1320年),寓居燕山(今北京附近),當(dāng)時(shí)的北方,正處于天元術(shù)逐漸發(fā)展成為二元術(shù)、三元術(shù)的重要時(shí)期,朱世杰在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期游學(xué)、講學(xué)之后,終于在1299年和1303年在揚(yáng)州刊刻了他的兩部代表作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》。
中國(guó)數(shù)學(xué)自晚唐以來(lái)不斷發(fā)展的簡(jiǎn)化籌算的趨勢(shì)有了進(jìn)一步的加強(qiáng),日用數(shù)學(xué)和商用數(shù)學(xué)更加普及,南宋時(shí)期楊輝可以作為這一傾向的代表,而朱世杰則是這一傾向的繼承。《算學(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著,出版后不久即流傳至日本和朝鮮。就學(xué)術(shù)成就而論,《四元玉鑒》遠(yuǎn)超《算學(xué)啟蒙》,它是中國(guó)宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志,主要貢獻(xiàn)有四元術(shù)和招差術(shù)(高次內(nèi)插公式)。
四元術(shù)是多元高次方程列方程和解方程的方法,未知數(shù)最多可達(dá)四個(gè),即天元、地元、人元和物元。如《四元玉鑒》卷首“假令四草”之“四象會(huì)元”,其中四元布列意為即元?dú)猓ǔ?shù)項(xiàng))居中,天元(未知數(shù)x)于下,地元(未知數(shù)y)于左,人元(未知數(shù)z)于右,物元(未知數(shù)u)于上,所以上述方程指“?x2?2x?xy2?xz?4y?4z?0”。
朱世杰的好友莫若在《四元玉鑒》的序文中說(shuō)道:《四元玉鑒》,其法以元?dú)饩又?,立天元一于下,地元一于左,人元一于右,物元一于上,陰?yáng)升降,進(jìn)退左右,互通變化,錯(cuò)綜無(wú)窮。
清代數(shù)學(xué)家羅士琳(1774—1853年)在《疇人傳·續(xù)編·朱世杰條》中說(shuō):漢卿在宋元間,與秦道古(九韶)、李仁卿(冶)可稱鼎足而三。道古正負(fù)開(kāi)方,仁卿天元如積,皆足上下千古,漢卿又兼包眾有,充類盡量,神而明之,尤超越乎秦李之上。
美國(guó)著名科學(xué)史家薩頓(1884-1956年)說(shuō):朱世杰是漢民族,他所生存時(shí)代的,同時(shí)也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家。
3.7 內(nèi)插法
郭守敬(1231-1316年),順德邢臺(tái)(今河北邢臺(tái))人,元代大天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、水利專家和儀器制造家,曾任工部郎中、太史令、都水監(jiān)事和昭文館大學(xué)士等官職。與太史令王恂(1235-1281年,中山府(今河北定州)唐縣(今唐縣人),至元十八年(1281年),王恂喪父,去官守孝。守孝期間,因悲傷過(guò)度,不思飲食,饑餒染病而亡,享年46歲),一同吸收了前代歷法的精華,運(yùn)用宋金兩朝的數(shù)學(xué)成就(包括沈括的會(huì)圓術(shù)),使用了三次內(nèi)插公式,在1280年完成了中國(guó)古代最精密的歷法《授時(shí)歷》。設(shè)定一年為365.2425天,比地球繞太陽(yáng)一周的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間只差26秒,早于歐洲1582年開(kāi)始使用的“格里歷”300年,使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)363年(1281-1643年),中國(guó)古代的歷法也發(fā)展到了高峰。
此外,1276年,郭守敬根據(jù)鏡成象原理發(fā)明了“景符”測(cè)影器,制造了世界聞名的簡(jiǎn)儀、高表、窺(kuí)幾、仰儀、日晷(guǐ)、渾天象等12種天文儀器,元至元十三年(l276年)建造的河南登封觀星臺(tái)留存至今。古希臘數(shù)學(xué)以幾何定理的演繹推理為特征、具有公理化模式,與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心、具有程序性和機(jī)械性的算法化模式相輝映,交替影響世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。這一時(shí)期創(chuàng)造的宋元算法,如隙積術(shù)、大衍術(shù)、開(kāi)方術(shù)、垛積術(shù)、招差術(shù)、天元術(shù)等在世界數(shù)學(xué)史上占有光輝的地位。
4、中算的衰落
朱世杰可以被看作是中國(guó)宋元時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)性人物,是中國(guó)以籌算為主要計(jì)算工具的古代數(shù)學(xué)發(fā)展的頂峰,而《四元玉鑒》可以說(shuō)是宋元(960-1368年)數(shù)學(xué)的絕唱。14世紀(jì)中、后葉,明王朝建立以后,統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度,1370年明太祖朱元璋(1328-1398年)規(guī)定八股文為科舉考試的主要文體,在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容,明初起300余年內(nèi)中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)研究呈現(xiàn)全面衰退,致使明代大數(shù)學(xué)家看不懂宋元重要數(shù)學(xué)成就。明清兩朝(1368-1911年)共543年,不僅未能產(chǎn)生出與《數(shù)書九章》、《四元玉鑒》相媲美的數(shù)學(xué)杰作,而且在18世紀(jì)中葉“乾嘉學(xué)派”重新發(fā)掘研究以前,像“四元術(shù)”這樣一些宋元數(shù)學(xué)的精粹長(zhǎng)期失傳、無(wú)人通曉。
中國(guó)與西方科學(xué)發(fā)展示意圖。
思考題
1、簡(jiǎn)述劉徽的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。
2、用數(shù)列極限證明:圓內(nèi)椄正6?2^{n}邊形的周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)。
3、《九章算術(shù)》在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和意義如何?
4、試比較阿基米德證明體積計(jì)算公式的方法與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的球體積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法的異同。
5、更精確地計(jì)算圓周率是否有意義?談?wù)勀睦碛伞?/p>
6、分析宋元時(shí)期中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)興盛的社會(huì)條件。
第四講:中世紀(jì)的東西方數(shù)學(xué)II 主要內(nèi)容:印度數(shù)學(xué)、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué),簡(jiǎn)述了10位科學(xué)家的數(shù)學(xué)工作。
1、印度數(shù)學(xué)(公元5-12世紀(jì))背景:古印度簡(jiǎn)況 印度古文明的歷史可追溯到公元前3000年左右。雅利安人大約在公元前2000年紀(jì)中葉出現(xiàn)在印度西北部,逐漸向南擴(kuò)張。雅利安(梵(fàn)文,原意是“高貴的”或“土地所有者”)人入侵印度,征服了土著居民達(dá)羅毗荼人,影響逐漸擴(kuò)散到整個(gè)印度,在到達(dá)以后的第一個(gè)千年里,創(chuàng)造了書寫和口語(yǔ)的梵文,在印度創(chuàng)立了更為持久的文明,印度土著文化從此衰微不振。吠陀教也是雅利安人創(chuàng)造的,這是印度最古老而又有文字記載的宗教。可以說(shuō),古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵語(yǔ)之上。
史前時(shí)期:公元前2300年前,公元前2500年前后,先民開(kāi)始使用文字; 哈拉帕文化(1922年印度哈拉帕地區(qū)發(fā)掘發(fā)現(xiàn)):前2300-前1750年,印度河流域出現(xiàn)早期國(guó)家;
早期吠陀時(shí)代:前1500-前900年,前1500年左右,吠陀時(shí)代開(kāi)始,印度文明的中心漸次由西向東推進(jìn)到恒河流域,后雅利安人侵入印度;
后期吠陀時(shí)代:前900-前600年,雅利安人的國(guó)家形成,婆羅門教形成; 列國(guó)時(shí)代:前6-前4世紀(jì),摩揭陀國(guó)在恒河流域中部稱霸,開(kāi)始走上統(tǒng)一北印度的道路,佛教產(chǎn)生;
帝國(guó)時(shí)代:前4-公元4世紀(jì),從孔雀王朝到貴霜帝國(guó);
印度歷史上曾出現(xiàn)過(guò)強(qiáng)盛的王朝,如孔雀王朝(前324-前187年)、笈多王朝(公元320-540年),但總體而言,整個(gè)古代和中世紀(jì),富庶的南亞次大陸幾乎不斷地處于外族的侵?jǐn)_之下,如波斯帝國(guó)、馬其頓帝國(guó)、貴霜帝國(guó)的入侵及匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占,所以古代印度文化不可避免地呈現(xiàn)出多元復(fù)雜的背景,最顯著的特色是其宗教性。
印度的宗教主要是婆羅門教、印度教,梵天是婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神。婆羅門教是印度古代宗教之一,起源于公元前2000年的吠陀教,形成于公元前7世紀(jì)。公元前6世紀(jì)-公元4世紀(jì)是婆羅門教的鼎盛時(shí)期,公元4世紀(jì)以后,由于佛教和耆(qí)那(梵文,本意“勝利者”或“征服者”)教的發(fā)展,婆羅門教開(kāi)始衰弱。公元8、9世紀(jì),婆羅門教吸收了佛教和耆那教的一些教義,結(jié)合印度民間的信仰,經(jīng)商羯羅改革,逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門教沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別,其教義基本相同,都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神,主張善惡有報(bào)、人生輪回,輪回的形態(tài)取決于現(xiàn)世的行為,只有達(dá)到“梵我同一”方可獲得解脫,修成正果。
印度數(shù)學(xué)分為河谷文化時(shí)期(約公元前3000-前1400年)、吠陀時(shí)期(約公元前10-前3世紀(jì))、悉檀多時(shí)期(公元5-12世紀(jì))。
1.1 吠陀時(shí)期(公元前10-前3世紀(jì))
《吠陀》手稿(毛里求斯,1980),《吠陀》(梵文,意為知識(shí)、光明)是印度雅利安人的作品,成書于公元前15-前5世紀(jì),歷時(shí)1000年左右,婆羅門教的經(jīng)典,其中的《繩法經(jīng)》(前8-前2世紀(jì))是《吠陀》中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分(釋迦牟尼(公元前565-公元前486年)傳揚(yáng)佛教時(shí)期,佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)(今尼泊爾境內(nèi))王子喬達(dá)摩·悉達(dá)多所創(chuàng),因父為釋迦族,得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思,門徒稱他為佛),包含幾何、代數(shù)知識(shí),如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。
阿育王(在位年代約為公元前268-前232年)是印度第一個(gè)信奉佛教的君主,阿育王石柱(尼泊爾,1996)記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)字的最早形態(tài)。
公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué),可參考的資料主要是1881年發(fā)現(xiàn)的書寫在樺樹(shù)皮上的“巴克沙利手稿”(巴克沙利當(dāng)時(shí)和古代大部分時(shí)間屬于印度,今天位于巴基斯坦西北部距離白沙瓦約80公里處的一座村莊),其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富,涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等,出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼,其中有“?”(點(diǎn))表示0,后來(lái)逐漸演變?yōu)楝F(xiàn)在通用的“0”,這一過(guò)程至遲于公元9世紀(jì)已完成,有公元876年的“瓜廖爾石碑”為證,這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明。
印度頭等重要的天文學(xué)著作,無(wú)名氏著的《蘇利耶歷數(shù)全書》(梵文,意思是太陽(yáng)的知識(shí),相傳為太陽(yáng)神蘇利耶所著)大約是公元5世紀(jì)所寫(1860年被譯為英文)。印度數(shù)學(xué)從這個(gè)時(shí)期開(kāi)始對(duì)天文學(xué)比對(duì)宗教更有用。
1.2 “悉檀多”時(shí)期(公元5世紀(jì)-12世紀(jì))
悉檀多是梵文,佛教術(shù)語(yǔ),為“宗”或“體系”之意,意譯為“歷數(shù)書”。這是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期,是以計(jì)算為中心的實(shí)用數(shù)學(xué)的時(shí)代,數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)主要是算術(shù)與代數(shù),出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家。
1.2.1阿耶波多(公元476-約550年)
在印度的科學(xué)史上有重要的影響的人物,“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星(印度,1975)。最早的印度數(shù)學(xué)家,499年天文學(xué)著作《阿耶波多歷數(shù)書》(圣使天文書)傳世(相當(dāng)于祖沖之《綴術(shù)》的年代),最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表(sine一詞由阿耶波多稱為半弦的jiva演化而來(lái)),和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了π的近似值3.1416(與劉徽所得的近似值相當(dāng)),建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”(原意為“粉碎”)法。
1.2.2 婆羅摩笈多(598-約665年)
印度古天文臺(tái):烏賈因天文臺(tái)。在這段時(shí)間(中國(guó)的隋唐時(shí)期),整個(gè)世界(無(wú)論東方還是西方)都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因,并在這里長(zhǎng)大。婆多摩笈多成年以后,一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺(tái)工作,在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前,它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作《婆羅摩修正體系》(宇宙的開(kāi)端),這是一部有21章的天文學(xué)著作,其中第12、18章講的是數(shù)學(xué),分?jǐn)?shù)成就十分可貴,比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則,丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法,即現(xiàn)在所謂的佩爾(英,1611-1685年)方程的一種解法。
1.2.3婆什迦羅Ⅱ(1114-1188年)
印度的第二顆人造衛(wèi)星“婆什迦羅號(hào)”(1979)。
印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅,出生于印度南方的比德?tīng)?,成年后?lái)到烏賈因天文臺(tái)工作,成為婆多摩笈多的繼承者,后來(lái)還做了這家天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。
古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》(1150年,中國(guó)的南宋時(shí)期),其中有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作《算法本源》、《莉拉沃蒂》。
《算法本源》主要探討代數(shù)問(wèn)題?!独蚶值佟罚ㄔ狻懊利悺保囊粋€(gè)印度教信徒的祈禱開(kāi)始展開(kāi),講的是算術(shù)問(wèn)題,流傳著一個(gè)浪漫的故事。
《莉拉沃蒂》中的一個(gè)算術(shù)問(wèn)題:帶著微笑眼睛的美麗少女,請(qǐng)你告訴我,按照你的理解的正確反演法,什么數(shù)乘以3,加上這個(gè)乘積的3/4,然后除以7,減去此商的1/3,自乘,減去52,取平方根,加上8,除以10,得2?根據(jù)反演法,從2這個(gè)數(shù)開(kāi)始回推,于是(2?10-8)^2=144,144+52=196,196=14,14?(3/2)?7?(4/7)/3=28,答案是28。
由于印度屢被其他民族征服,使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較深,但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特點(diǎn)?,F(xiàn)代初等算術(shù)運(yùn)算方法的發(fā)展,起始于印度,可能在大約10、11世紀(jì),它被阿拉伯人采用,后來(lái)傳到歐洲,在那里,它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算術(shù)家們的充分注意。
與算術(shù)和代數(shù)相比,印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外,印度人用詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué),他們的著作含糊而神秘(雖然發(fā)明了零號(hào)),且多半是經(jīng)驗(yàn)的,很少給出推導(dǎo)和證明。
2、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(公元8-15世紀(jì))背景:阿拉伯簡(jiǎn)況
阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類歷史上最精彩的插曲之一,這當(dāng)然與先知穆罕默德(公元570-632年)的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時(shí)是一個(gè)遠(yuǎn)離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū),穆罕默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。25歲那年,由于他娶了一位富商的遺孀,經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后,穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個(gè)全能的神主宰世界,并確信真主安拉選擇了他作為使者,在人間傳教。穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教,至632年一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一,統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來(lái)歷,它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”,其信徒叫穆斯林(信仰安拉、服從先知的人)。
四大哈里發(fā)時(shí)期(632-661年):632年穆罕默德逝世后,他的最初四個(gè)繼任者,哈里發(fā)為阿拉伯文的音譯,意為真主使者的“繼承人”。
以“圣戰(zhàn)”為名進(jìn)行大規(guī)模的武力擴(kuò)張,為阿拉伯帝國(guó)的建立奠定了基礎(chǔ)。大約在650年,依據(jù)穆罕默德和他的信徒所講的啟示輯錄而成的《古蘭經(jīng)》(伊斯蘭教的最根本經(jīng)典,伊斯蘭教義的最高準(zhǔn)則和綱領(lǐng),伊斯蘭教法的立法依據(jù),由先知穆罕默德從610-632年歷時(shí)22年的傳教過(guò)程中陸續(xù)頒布的)問(wèn)世,被穆斯林認(rèn)為是上天的啟示。
《圣訓(xùn)》(穆罕默德闡釋《古蘭經(jīng)》和實(shí)踐伊斯蘭教理的言行錄)中說(shuō):學(xué)問(wèn)雖遠(yuǎn)在中國(guó),亦當(dāng)求之。
倭(wō)馬亞王朝時(shí)期(661-750年):主要支持者是敘利亞和埃及的大貴族,因此他們把首都遷至大馬士革,遵奉伊斯蘭教的遜尼派(正統(tǒng)派),崇尚白色,中國(guó)史籍稱“白衣大食”。倭馬亞王朝發(fā)動(dòng)大規(guī)模的對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng),版圖東起印度西部,西至西班牙,北抵里海和中亞,南達(dá)北非,成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國(guó)。迄今為止,這可能是人類歷史上最大的帝國(guó)。
倭馬亞王朝的不斷擴(kuò)張和森嚴(yán)的等級(jí)統(tǒng)治逐漸激起了尖銳的階級(jí)矛盾。各教派和各族人民的反抗斗爭(zhēng)不斷發(fā)生。在今天的伊朗一帶崛起了一個(gè)新的教派——阿拔斯派。他們利用東方各地人民起義的力量推翻了倭馬亞王朝的統(tǒng)治,750年,盛極一時(shí)的“白衣大食”滅亡了。
阿拔斯王朝時(shí)期(750-1258年):阿拉伯帝國(guó)第二個(gè)封建王朝,因其旗幟尚黑,中國(guó)史籍稱“黑衣大食”。750年,由阿拉伯貴族艾布·阿拔斯(750-754年在位)創(chuàng)建,故名。
755年阿拉伯帝國(guó)分裂為兩個(gè)獨(dú)立王國(guó),東部王國(guó)阿拔斯王朝762年遷都巴格達(dá),750-842年是帝國(guó)的極盛時(shí)代,哈里發(fā)哈龍?蘭希(公元786-808年統(tǒng)治巴格達(dá))因《天方夜譚》(又名《一千零一夜》)而為人們所熟知,巴格達(dá)成為阿拉伯人創(chuàng)建的“一座舉世無(wú)雙的城市”,國(guó)際貿(mào)易與文化中心之一,創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拔斯王朝前期(750-850年)的100年是阿拉伯文化的飛速發(fā)展時(shí)期,同時(shí)也是譯述活動(dòng)的繁榮時(shí)期,希臘語(yǔ)占首位,其次是古敘利亞語(yǔ)、波斯語(yǔ)、梵語(yǔ)、希伯來(lái)語(yǔ)和奈伯特語(yǔ),許多重要的學(xué)術(shù)著作在政府的規(guī)劃下有組織、有領(lǐng)導(dǎo)地被譯成阿拉伯文,史稱“百年翻譯運(yùn)動(dòng)”。9世紀(jì)中葉后,王朝進(jìn)入分裂和衰落時(shí)代,1258年蒙古軍隊(duì)攻陷巴格達(dá)。
麥加城大清真寺:伊斯蘭教第一圣寺。阿拉伯人之所以重視天文學(xué),是因?yàn)樗麄冃枰榔矶\的準(zhǔn)確時(shí)間(每天5次),使廣大帝國(guó)內(nèi)的臣民在祈禱時(shí)能夠明辨方向(面朝麥加)??梢哉f(shuō),阿拉伯人對(duì)數(shù)學(xué)的需要主要是通過(guò)天文學(xué)和占星術(shù)(根據(jù)天象來(lái)預(yù)卜人間事務(wù)的一種方術(shù))等。
伊斯坦布爾的天文學(xué)家(1971)。
9-15世紀(jì)阿拉伯科學(xué)繁榮了600年,創(chuàng)立了文化中心巴格達(dá)(波斯語(yǔ),“神賜的禮物”)。公元830年,哈里發(fā)麥蒙(公元809-833年統(tǒng)治巴格達(dá))下令在巴格達(dá)建造了智慧宮,這里面有巨大的圖書館、觀象臺(tái)、研究院,是一個(gè)集圖書館、科學(xué)院和翻譯局于一體的聯(lián)合機(jī)構(gòu),掀起了著名的翻譯運(yùn)動(dòng),包括《原本》、《圓錐曲線》和《天文學(xué)大成》等在內(nèi)的希臘天文、數(shù)學(xué)經(jīng)典先后被譯成了阿拉伯文。無(wú)論從哪方面來(lái)看,它都是公元前3世紀(jì)亞歷山大圖書館建立以來(lái)最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)。很快,它就成為世界的學(xué)術(shù)中心,形成后人所謂的“巴格達(dá)學(xué)派”,研究的內(nèi)容包括哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、動(dòng)物學(xué)、植物學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)、機(jī)械、建筑、伊斯蘭教教義或阿拉伯語(yǔ)語(yǔ)法學(xué),等等。
阿拉伯科學(xué)(突尼斯,1980)。
在世界文明史上,阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國(guó)的文化,最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻(xiàn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的貢獻(xiàn),消化希臘數(shù)學(xué),吸收印度數(shù)學(xué),對(duì)文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的進(jìn)步有深刻的影響。最突出的事實(shí):值得贊美的是他們充當(dāng)了世界上的大量精神財(cái)富的保存者,在黑暗時(shí)代過(guò)去之后,這些精神財(cái)富得以傳給歐洲人。
2.1 早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(8世紀(jì)中葉-9世紀(jì))
阿爾·花拉子米(783-850年)(蘇聯(lián),1983),生于波斯北部花拉子模地區(qū)(今烏茲別克境內(nèi)),813年來(lái)到巴格達(dá),后成為智慧宮的領(lǐng)頭學(xué)者。820年出版《還原與對(duì)消概要》,以其邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)性強(qiáng)、通俗易懂和聯(lián)系實(shí)際等特點(diǎn)被奉為“代數(shù)教科書的鼻祖”,1140年被羅伯特(英)譯成拉丁文傳入歐洲,成為歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書,這也使得花拉子米成為中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家,這對(duì)東方數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)十分罕見(jiàn)。阿拉伯語(yǔ)的“al-jabr”意為還原,即移項(xiàng),傳入歐洲后,到14世紀(jì)演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“algebra”,就成了今天英文的“algebra”(代數(shù)),因此花拉子米的上述著作通常稱為《代數(shù)學(xué)》??梢哉f(shuō),正如埃及人發(fā)明了幾何學(xué),阿拉伯人命名了代數(shù)學(xué)。
《代數(shù)學(xué)》所討論的數(shù)學(xué)問(wèn)題本身并不比丟番圖或婆羅摩笈多的問(wèn)題簡(jiǎn)單,但它探討了一般性解法,因而遠(yuǎn)比希臘人和印度人的著作更接近于近代初等代數(shù)?!洞鷶?shù)學(xué)》中關(guān)于三項(xiàng)二次方程的求解。
花拉子米的另一本書《印度計(jì)算法》,系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法,12世紀(jì),這本書便傳入歐洲并廣為傳播(其拉丁文手稿現(xiàn)存于劍橋大學(xué)圖書館),所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。
976年的西班牙數(shù)碼。
印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼用較少的符號(hào),最方便地表示一切數(shù)和運(yùn)算,給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)很大的方便,是一一項(xiàng)卓越的偉大貢獻(xiàn)。它傳入歐洲以后,加快了歐洲數(shù)學(xué)的發(fā)展,許多數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家對(duì)這套集體智慧的發(fā)現(xiàn)贊美不絕。法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯(1749-1827年)寫道:“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù),每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值,而且有位置的值,這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想,它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單,以至我們忽視了它的真正偉績(jī),簡(jiǎn)直無(wú)法估計(jì)它的奇妙程度。而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)古代希臘最偉大的阿基米德和阿波羅尼奧斯兩位天才思想的關(guān)注時(shí),我們更感到這成就的偉大了。”
印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼13世紀(jì)傳入我國(guó),是元朝伊斯蘭教徒從當(dāng)時(shí)西方帶進(jìn)來(lái)的一套阿拉伯?dāng)?shù)碼,中國(guó)人沒(méi)有采用它。公元16世紀(jì),西洋歷算書大量輸入我國(guó),原著上的印度-阿拉伯?dāng)?shù)字,我國(guó)一律用中國(guó)數(shù)碼一、二、三等改譯出來(lái)。光緒十一年(公元1885年)上海出版了一本用上??谝糇g出的西算啟蒙書,書中正式出現(xiàn)了印度-阿拉伯?dāng)?shù)字通用原型。1892年,美國(guó)傳教士狄考文(W.M.Calvin, 1836-1908年)和清代鄒立文合譯《筆算數(shù)學(xué)》一書,首次正式采用了印度-阿拉伯?dāng)?shù)字,數(shù)字是按書籍直寫的。直到1902-1905年,中國(guó)數(shù)學(xué)教科書或數(shù)學(xué)用表才普遍使用印度-阿拉伯?dāng)?shù)字,并且一律與西洋算書一樣橫排。
阿拉伯的三角學(xué)。
阿爾·巴塔尼(858-929年),出生于哈蘭(今土耳其東南部),對(duì)希臘三角學(xué)系統(tǒng)化的工作,最重要的著作《歷數(shù)書》(或《天文論著》、《星的科學(xué)》)中發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個(gè)經(jīng)常變動(dòng)的橢圓,創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ),哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果,對(duì)中世紀(jì)歐洲影響最大的天文學(xué)家。
2.2 中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(10-12世紀(jì))
奧馬·海雅姆(1048-1131年)(阿爾巴尼亞,1997),出生于波斯東北部霍拉桑地區(qū)(今伊朗東北部),受命在伊斯法罕(今伊朗西部)天文臺(tái)負(fù)責(zé)歷法改革工作,編制了中世紀(jì)最精密的歷法“哲拉里歷”(在平年365天的基礎(chǔ)上,每33年增加8個(gè)閏日。這樣一來(lái),與實(shí)際的回歸年僅相差19.37秒,即每4460年才誤差一天,比現(xiàn)在全世界實(shí)行的公歷,每400年置97個(gè)閏日,還要準(zhǔn)確),在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》(1070),最杰出的貢獻(xiàn)是研究三次方程根的幾何作圖法,提出的用圓錐曲線圖求根的理論。這一創(chuàng)造,使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切,可惜在1851年以前歐洲人并不了解他的這種解析幾何方法。此外,他在證明歐幾里得平行公設(shè)方面也做了有益的嘗試。
奧馬·海雅姆陵墓(伊朗,1934年修建),“海亞姆”指制造或經(jīng)營(yíng)帳篷的職業(yè)。
阿爾·比魯尼(973-1048年)(巴基斯坦,1973),出生于波斯花拉子模城的比倫郊區(qū),三角學(xué)理論的貢獻(xiàn)是利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表,證明了一些三角公式,如正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式,提出地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn),太陽(yáng)是宇宙中心的思想等。
2.3 后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)(13-15世紀(jì))
納西爾丁·圖西(1201-1274年)(伊朗,1956),出生于波斯的圖斯城(也屬霍拉桑地區(qū),今伊朗境內(nèi)),最重要的數(shù)學(xué)著作《論完全四邊形》是數(shù)學(xué)史上流傳至今最早的三角學(xué)專著。在此以前,三角學(xué)知識(shí)只出現(xiàn)于天文學(xué)的論著中,是附屬于天文學(xué)的一種計(jì)算方法,納西爾丁的工作使得三角學(xué)成為純粹數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立分支,對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起重要的作用。正是在這部書里,首次陳述了著名的正弦定理。
阿爾·卡西(1380-1429年)(伊朗,1979),出生于卡尚(今屬伊朗),在撒馬爾罕(帖木兒王國(guó)都城,今屬烏茲別克)創(chuàng)建天文臺(tái),并出任第一任臺(tái)長(zhǎng),百科全書《算術(shù)之鈅》(1427),在數(shù)學(xué)上取得了兩項(xiàng)世界領(lǐng)先的成就,一是圓周率的計(jì)算,1424年一直算到了正3·2^28邊形的周長(zhǎng)以給出π的17位精確值,二是給出sin1°的精確值。人們常以他的卒年(1429)作為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的終結(jié)。
恰好這個(gè)時(shí)候,歐洲的文藝復(fù)興之火開(kāi)始在亞平寧半島(意大利南部)點(diǎn)燃。
3、中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)(5-14世紀(jì))主要內(nèi)容:黑暗時(shí)期、科學(xué)復(fù)蘇。
從公元476年西羅馬帝國(guó)滅亡到14世紀(jì)文藝復(fù)興長(zhǎng)達(dá)1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀(jì)。
公元5-11世紀(jì),是歐洲歷史上的黑暗時(shí)期,教會(huì)成為歐洲社會(huì)的絕對(duì)勢(shì)力,宣揚(yáng)天啟真理,追求來(lái)世,淡漠世俗生活,對(duì)自然不感興趣。
3.1 教會(huì)統(tǒng)治
猶太教最神圣的露天會(huì)堂:哭墻(耶路撒冷圣殿山,猶太人把這座墻視為他們信仰和團(tuán)結(jié)的象征。據(jù)傳說(shuō),當(dāng)羅馬人占領(lǐng)耶路撒冷時(shí),猶太人經(jīng)常聚集在這里舉行宗教儀式。他們每每追憶往事,回想起所羅門圣殿被毀的情景,不免嚎啕大哭一場(chǎng)。后來(lái)常有猶太人來(lái)到這里哭號(hào),“哭墻”因而得名。如今,每到猶太教安息日,仍然有人到“哭墻”表示哀悼)。
基督教是當(dāng)今世界上傳播最廣,信徒人數(shù)最多的宗教。公元一世紀(jì)中葉,基督教產(chǎn)生于巴勒斯坦,“基督”一詞是古希臘語(yǔ)的譯音,意為“救世主”?;浇痰膭?chuàng)始人是耶穌。耶穌是上帝耶和華之子,他出生在巴勒斯坦北部的加利利的拿撒勒,母親名叫瑪利亞,父親叫約瑟?,斃麃單幢挥⑶埃レ`降臨在她身上,使她懷孕。約瑟一度想休了瑪利亞,但受了天使的指示,仍把她娶了過(guò)來(lái)。耶穌30歲時(shí)受了約翰的洗禮,堅(jiān)定了他對(duì)上帝的信念。此后,耶穌就率領(lǐng)彼得、約翰等門徒四處宣傳福音,引起了猶太貴族和祭司的恐慌,他們收買了耶穌的門徒猶大,把耶穌釘死在了十字架上。但三天以后,耶穌復(fù)活,向門徒和群眾顯現(xiàn)神跡,要求他們?cè)诟鼜V泛的范圍內(nèi)宣講福音。從此,信奉基督教的人越來(lái)越多,他們把基督教傳播到世界各地。
基督教的經(jīng)典是《圣經(jīng)》(《舊約》、《新約》),記述的都是上帝的啟示,是基督教徒信仰的總綱和處世的規(guī)范,是永恒的真理。據(jù)《圣經(jīng)》記載,耶穌和他們的門徒會(huì)并一起進(jìn)行了“最后的晚餐”,在晚餐上就坐的正好是13個(gè)人,耶穌是被他的第13個(gè)門徒猶大出賣的。13就成了不吉利的數(shù)字了。
135年從猶太教中分裂出來(lái)成為獨(dú)立的宗教。
土耳其君士坦丁堡索非亞大教堂(建于532-537年,2008年4月3日北京奧運(yùn)圣火途經(jīng)之地)。
基督教產(chǎn)生不久,就逐漸形成拉丁語(yǔ)系的西派和希臘語(yǔ)的東派。東派以君士坦丁堡為中心,西派以羅馬為中心,天主教就是從西派的基礎(chǔ)上演化而來(lái)的。
在古代基督教中,西派不占優(yōu)勢(shì)。5世紀(jì)時(shí)外族侵?jǐn)_帝國(guó)西部,西羅馬當(dāng)局已無(wú)力支撐局面,羅馬主教利奧一世利用其影響,一度使羅馬免遭匈奴入侵,這使羅馬主教的威信大大提高,得以居于意大利、北非、西班牙、高盧一帶拉丁語(yǔ)系教會(huì)的首位。476年,西羅馬帝國(guó)滅亡。5世紀(jì)末起至10世紀(jì),羅馬主教和羅馬教會(huì)逐步確立了在整個(gè)西派教會(huì)中的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)地位。5世紀(jì)起,東西兩派矛盾日益尖銳,863年和867年,出現(xiàn)了羅馬主教尼古拉一世和君士坦丁堡主教佛提烏相互革除對(duì)方教籍的嚴(yán)重局面。1054年,東西兩派正式分裂,東派自稱正教,西派自稱公教。天主教會(huì)及其教皇制,作為獨(dú)特的單一教會(huì)和體制至此正式確立。
羅馬公教也稱天主教,因?yàn)?6世紀(jì)傳入中國(guó)后,因其信徒將所崇奉的神稱為“天主”,因而在中國(guó)被稱為天主教。
16世紀(jì)中葉,羅馬公教派生出新教派,統(tǒng)稱“新教”,在中國(guó)稱為“耶穌教”。所以,基督教是公教、東正教和新教三大教派的總稱。
圣彼得教堂(梵蒂岡,建于1506-1626年)。
公元392年,基督教成為羅馬帝國(guó)的國(guó)教。5世紀(jì)末起至10世紀(jì),羅馬主教和羅馬教會(huì)逐步確立了在整個(gè)西派教會(huì)中的實(shí)際領(lǐng)導(dǎo)地位,基督教逐漸成為中世紀(jì)歐洲封建社會(huì)的主要精神支柱。
5-11世紀(jì),成為歐洲歷史上的黑暗時(shí)期。
梵蒂岡在拉丁語(yǔ)中意為“先知之地”。1929年,意大利政府同教皇簽訂了“拉特蘭條約”,承認(rèn)梵蒂岡為主權(quán)國(guó)家,其主權(quán)屬教皇。
中世紀(jì)基督教日益封建化,整個(gè)社會(huì)以宗教和神學(xué)為核心,科學(xué)思想是異端邪說(shuō)。由于羅馬人偏重于實(shí)用而沒(méi)有發(fā)展抽象數(shù)學(xué),對(duì)羅馬帝國(guó)崩潰后的歐洲數(shù)學(xué)也有一定的影響,終使黑暗時(shí)代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無(wú)成就。造成數(shù)學(xué)落后的原因是多方面的,主要是戰(zhàn)火連綿,神學(xué)一統(tǒng)天下?!妒ソ?jīng)》是最根本的知識(shí),教徒整日研讀圣經(jīng),視科學(xué)是神學(xué)的婢女,神學(xué)被譽(yù)為“科學(xué)的皇后”,甚至反對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的條款規(guī)定:“絕對(duì)禁止應(yīng)受到取締的數(shù)學(xué)藝術(shù)”。數(shù)學(xué)的發(fā)展受到沉重的打擊。
因宗教教育的需要,也出現(xiàn)一些水平低下的初級(jí)算術(shù)與幾何教材。羅馬人博埃齊(約480-524年)主要以哲學(xué)家留名青史,他的哲學(xué)是古希臘羅馬哲學(xué)到中世紀(jì)經(jīng)院哲學(xué)的過(guò)渡,在數(shù)學(xué)方面,根據(jù)希臘材料用拉丁文選編了《幾何學(xué)》(《原本》第1、3、4卷部分內(nèi)容)、《算術(shù)入門》等教科書,成為中世紀(jì)早期歐洲人了解希臘科學(xué)的唯一來(lái)源,他的眾多著作為傳播希臘羅馬文化,為普及百科知識(shí),在長(zhǎng)達(dá)千年的歷史上起了重要作用。公元522年博埃齊被誣控叛國(guó)罪而遭監(jiān)禁,524年被處決。
法國(guó)人熱爾拜爾(938-1003年)(法國(guó),1964)999年當(dāng)選為羅馬教皇,提倡學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),翻譯了一些阿拉伯科學(xué)著作,把印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼帶入歐洲。3.2 科學(xué)復(fù)蘇
貿(mào)易與旅游的發(fā)展,歐洲出現(xiàn)新興的城市,歐洲人開(kāi)始與阿拉伯人、拜占庭人發(fā)生接觸,了解阿拉伯、希臘的文化,創(chuàng)立了大學(xué)(1088年博洛尼亞大學(xué),1160年巴黎大學(xué),1167年牛津大學(xué),1209年劍橋大學(xué),1222年帕多瓦大學(xué),1224年那不勒斯大學(xué))。
“十字軍東征”(1096-1291年)。
十字軍東征是西歐封建主、大商人和天主教會(huì)以維護(hù)基督教為名,對(duì)地中海東岸地區(qū)發(fā)動(dòng)的侵略性遠(yuǎn)征。因東侵軍隊(duì)的衣服上均有紅十字的標(biāo)記,故稱為十字軍。1095年,羅馬教皇在法國(guó)召開(kāi)宗教大會(huì),宣布組成十字軍遠(yuǎn)征,從異教徒(穆斯林)手中奪回圣城耶路撒冷。
東侵活動(dòng)從1096年起,到1291年止,歷時(shí)近200年,大規(guī)模的侵略共8次。第一次東征(1096—1099年)攻占了耶路撒冷,建立了耶路撒冷王國(guó)。第四次東征(1202年—1204年)攻陷了拜占庭帝國(guó),在巴爾干建立拉丁帝國(guó)。歷次東侵所占據(jù)點(diǎn)后來(lái)不斷喪失,1291年最后據(jù)點(diǎn)阿克城失守,標(biāo)志著十字軍東征徹底失敗。
十字軍東征對(duì)地中海沿岸國(guó)家人民帶來(lái)了深重災(zāi)難,西歐各國(guó)人民也損失慘重。幾十萬(wàn)十字軍死亡,同時(shí)教廷和封建主卻取得了大量的財(cái)富。十字軍東征也促進(jìn)了東西方文化的交流,使西歐人大開(kāi)眼界,進(jìn)入了阿拉伯世界。從此,歐洲人了解到了希臘及東方古典學(xué)術(shù),對(duì)這些學(xué)術(shù)著作的搜求、翻譯和研究,科學(xué)開(kāi)始復(fù)蘇,加速了西歐手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展。
12世紀(jì)是歐洲數(shù)學(xué)的大翻譯時(shí)期,希臘人的著作被阿拉伯文譯成拉丁文后,“在驚訝的西方面前展示了一個(gè)新的世界”。
阿德拉特(英,1090-1150年)——《原本》和花拉子米的天文表。杰拉德(意,1114-1187年)——《天文學(xué)大成》、《原本》、《圓錐曲線》、《圓的度量》。
基督教興起后,希臘的一切都被視為異端而被滅絕,只有柏拉圖的哲學(xué),經(jīng)過(guò)教會(huì)的改造而成為基督教神學(xué)的基礎(chǔ)。1207年亞里士多德的著作全部被譯成拉丁文。13世紀(jì)由托馬斯·阿奎那(意,1225-1274年)建立了經(jīng)院哲學(xué)(著有《神學(xué)大全》,被認(rèn)為是基督教的百科全書,后世稱之為托馬斯主義),對(duì)亞里士多德哲學(xué)稍加篡改用來(lái)適應(yīng)基督教教義,經(jīng)院哲學(xué)的主要任務(wù)是從哲學(xué)上以理性的名義來(lái)論證上帝的存在(托馬斯提出了著名的證明上帝存在的5種論證,對(duì)后世有重大影響)。以亞里士多德的宇宙觀為基礎(chǔ)的托勒密體系,成為被教會(huì)認(rèn)可的神圣不可侵犯的天文學(xué)體系。
歐洲人了解到希臘和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),構(gòu)成后來(lái)歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。歐洲黑暗時(shí)期過(guò)后第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契(意,約1170-1250年),他隨父親到印度、埃及、阿拉伯和希臘等地旅行,通過(guò)廣泛地學(xué)習(xí)和認(rèn)真研究,掌握了許多計(jì)算技術(shù),回到意大利后,編著了代表作《算盤書》(1202,1228),主要是一些源自古代中國(guó)、印度和希臘的科學(xué)問(wèn)題的匯集,書中系統(tǒng)介紹了印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼,對(duì)改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大的影響,是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。
1228年《算盤書》修訂后還載有如下“兔子問(wèn)題”:
某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對(duì)小兔,假定每對(duì)兔子每月生一對(duì)小兔,而小兔出生后兩個(gè)月就能生育。問(wèn)從這對(duì)兔子開(kāi)始,一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子?
對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答,導(dǎo)致了著名的“斐波那契數(shù)列”。
13世紀(jì),整個(gè)拉丁世界數(shù)學(xué)無(wú)大進(jìn)展,而14世紀(jì)相對(duì)是數(shù)學(xué)上的不毛之地,因?yàn)橐皇前l(fā)生了英法“百年戰(zhàn)爭(zhēng)”(1337-1453年)使政治**,環(huán)境不安定(戰(zhàn)爭(zhēng)的導(dǎo)火線主要是王位繼承問(wèn)題;1337-1360英勝,1369-1396年法幾乎收復(fù)全部失地,雙方締結(jié)20年停戰(zhàn)協(xié)定,1415-1428年英勝,1429-1453年法領(lǐng)土全部收復(fù),至此百年戰(zhàn)爭(zhēng)以法的勝利而結(jié)束);二是10年之久的鼠疫引起了“黑死病”瘟疫,掃蕩了歐洲1/3以上的人口,使人的思想不能集中追求知識(shí)(1348-1352年,“黑死病”把歐洲變成了死亡陷阱,這條毀滅之路斷送了歐洲三分之一的人口,總計(jì)約2500萬(wàn)人);三是煩瑣哲學(xué)的思想仍在束縛科學(xué),壓得科學(xué)家抬不起頭,只好把精力消磨在神學(xué)和形而上學(xué)的奇妙莫測(cè)的無(wú)聊問(wèn)題論證上,如“一根針尖上可以站立多少個(gè)天使?”“蒼蠅有多少根胡須?”
科學(xué)在歐洲的復(fù)蘇,加速了歐洲手工業(yè)、商業(yè)的發(fā)展,最終導(dǎo)致了文藝復(fù)興時(shí)期歐洲數(shù)學(xué)的高漲。
思考題
1、印度數(shù)學(xué)對(duì)世界數(shù)學(xué)發(fā)展最重要的貢獻(xiàn)是什么?他們的數(shù)學(xué)發(fā)展有何重要貢獻(xiàn)?
2、有關(guān)零號(hào)“0”的歷史。
3、簡(jiǎn)述阿爾·花拉子米的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)。
4、論述阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對(duì)保存希臘數(shù)學(xué)、傳播東方數(shù)學(xué)的作用。
5、試說(shuō)明:古代東方數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是以計(jì)算為中心的實(shí)用化數(shù)學(xué)。
6、求斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式。
第五講:文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)
主要介紹15-17世紀(jì)初的東西方數(shù)學(xué),內(nèi)容有文明背景、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)、15-17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)。
1、文明背景 1.1 文藝復(fù)興
14世紀(jì)可以看做是文藝復(fù)興的開(kāi)始。文藝復(fù)興是指14世紀(jì)意大利各城市興起(一般認(rèn)為第一個(gè)代表人物是但丁(意,1265-1321年),代表作為《神曲》(寫于1307-1321年),他的作品首先以含蓄的手法批評(píng)和揭露中世紀(jì)宗教統(tǒng)治的腐敗和愚蠢),15世紀(jì)后期起擴(kuò)展到西歐各國(guó),16世紀(jì)在歐洲盛行的一場(chǎng)思想文化運(yùn)動(dòng)。
這場(chǎng)斗爭(zhēng)是在“復(fù)興古典學(xué)術(shù)和藝術(shù)”的旗號(hào)掩蔽下進(jìn)行的,那些從羅馬廢墟中發(fā)掘出來(lái)的古代文物,意大利各寺院里清理出來(lái)的古舊藏書,以及后來(lái)拜占庭滅亡時(shí)搶救出來(lái)的手抄本,都展現(xiàn)在學(xué)者面前。
意大利文藝復(fù)興盛期三杰:達(dá)?芬奇(1452-1519年),代表作有“最后的晚餐”、“蒙娜麗莎”(說(shuō)不盡的蒙娜麗莎,這是一個(gè)永遠(yuǎn)探討不完的問(wèn)題。自問(wèn)世至今,將近五百年,后人不知做過(guò)多少品評(píng)和揣測(cè),留下越來(lái)越多的迷局。當(dāng)今,世上有研究《蒙娜麗莎》的專著數(shù)百部,而有近百名學(xué)者將此畫作為終身課題。時(shí)間的推移不會(huì)使疑團(tuán)得到解決,只會(huì)隨著研究的深入,將更多的疑惑留給后人。2007年海德堡大學(xué)專家宣稱,通過(guò)分析圖書館內(nèi)一本約500年歷史的藏書頁(yè)空白處潦草的筆記,他們可以確認(rèn),這位有著神秘微笑的女子閨名麗莎·蓋拉爾迪尼,是意大利佛羅倫薩布商弗朗切斯科·德焦孔多的妻子。文件標(biāo)注日期為1503年10月,與專家判斷作品完成的大致時(shí)間1503至1506年間剛好吻合),重視數(shù)學(xué),“不懂?dāng)?shù)學(xué)的人不要讀我的書”,“凡是和數(shù)學(xué)沒(méi)有聯(lián)系的地方,都不是可靠的”;米開(kāi)朗琪羅(1475-1564年),代表作“大衛(wèi)”、“摩西”、圣彼得大教堂;拉斐爾(1483-1520年),代表作“雅典學(xué)院”。
“人文主義”思想是文藝復(fù)興的靈魂和中心,主張以世俗的“人”為中心,歌頌人性、反對(duì)神性,提倡人權(quán)、反對(duì)神權(quán),提倡個(gè)性自由、反對(duì)宗教禁錮,贊頌世俗生活、反對(duì)來(lái)世觀念和禁欲主義。
在這歷時(shí)約200年的歷史中,帶來(lái)一段科學(xué)與藝術(shù)革命時(shí)期,揭開(kāi)了現(xiàn)代歐洲歷史的序幕,使得知識(shí)界的面貌大大改觀,也使數(shù)學(xué)活動(dòng)以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起,被認(rèn)為是中古時(shí)代和近代的分界。
1.2 技術(shù)進(jìn)步
歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的主要成就之一,是在15世紀(jì)后半葉開(kāi)始產(chǎn)生近代自然科學(xué)。
四大發(fā)明相繼傳入歐洲。
火藥:大約在公元8、9世紀(jì)時(shí),中國(guó)火藥的主要原料—硝石已傳到了阿拉伯、波斯等地。13世紀(jì),蒙古軍隊(duì)西征時(shí),火器傳到阿拉伯,歐洲人首先是西班牙人,在13世紀(jì)后期通過(guò)阿拉伯人的著作才知道火藥。14世紀(jì)初,阿拉伯國(guó)家攻打西班牙時(shí),使用火藥和火器,歐洲人于是開(kāi)始接觸到火藥和火器,并學(xué)習(xí)制造,從14世紀(jì)歐洲開(kāi)始使用火藥和一些火器。
造紙:造紙術(shù)首先傳入與我國(guó)毗鄰的朝鮮和越南隨后傳到了日本,大概是在公元105年。公元751年(唐玄宗十年),唐安西節(jié)度使高仙芝率部與阿拉伯帝國(guó)沙利將軍的軍隊(duì)在怛羅斯城(今哈薩克斯坦的江布爾)交戰(zhàn),唐軍大敗,被俘士兵中有從軍的造紙工人,中國(guó)的造紙術(shù)傳到了巴格達(dá)。歐洲人是通過(guò)阿拉伯人了解造紙技術(shù)的,最早接觸紙和造紙技術(shù)的歐洲國(guó)家是一度為阿拉伯人統(tǒng)治的西班牙,公元1150年,阿拉伯人在西班牙的薩狄瓦,建立了歐洲第一個(gè)造紙場(chǎng)。13世紀(jì),造紙術(shù)傳入了葡萄牙,繼而傳入歐洲。
印刷術(shù):中國(guó)的印刷術(shù)已經(jīng)在11世紀(jì)傳到東南亞諸國(guó)?;钭钟∷⑿g(shù)傳到歐洲是在14世紀(jì),從我國(guó)新疆沿中亞、西亞逐步傳到歐洲的。1450-1455年約翰·古騰堡(德,1400-1468年)用金屬活字印出歐洲第一套《拉丁文文法》。盡管如此,認(rèn)為畢昇是位特別有影響的人物是不對(duì)的。首先,歐洲并不是從中國(guó)學(xué)會(huì)制造活字,而是獨(dú)立發(fā)明的。其次,中國(guó)從西方學(xué)到現(xiàn)代印刷術(shù)是相當(dāng)近期的事,在此之前活字印刷術(shù)從來(lái)沒(méi)有得到普遍使用。
指南針:指南針發(fā)明以后,首先把它應(yīng)用在航海事業(yè)上,南宋時(shí)候,阿拉伯、波斯商人,經(jīng)常搭乘我國(guó)的海船往來(lái)貿(mào)易,也學(xué)會(huì)使用指南針。大約在12世紀(jì)末到13世紀(jì)初,指南針由海路由阿拉伯人傳入歐洲。
1450年,德意志人古騰堡(右一)改良了中國(guó)的活字印刷術(shù),發(fā)明了金屬活字印刷術(shù)。歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個(gè)印刷版。
馬克思《機(jī)器、自然力和科學(xué)的應(yīng)用》:火藥、指南針、印刷術(shù) —— 這是預(yù)告資產(chǎn)階級(jí)社會(huì)到來(lái)的三大發(fā)明。??總的說(shuō)來(lái)變成了科學(xué)復(fù)興的手段,變成對(duì)精神發(fā)展創(chuàng)造必要前提的最強(qiáng)大的杠桿。
1.3 航海探險(xiǎn)
最知名的有哥倫布(西,1451-1506年)(智利,1992)。
葡萄牙在15世紀(jì)初期就侵入非洲西北部,建立侵略據(jù)點(diǎn),1487年,迪亞士(葡,1450-1500年)率領(lǐng)艦隊(duì)沿非洲西海岸南下,第二年春天進(jìn)入印度洋,歸途中發(fā)現(xiàn)好望角,在開(kāi)辟新航路的活動(dòng)中取得了重大進(jìn)展。
1497年,貴族達(dá)?伽馬(葡,1469-1524年)在迪亞士航行的基礎(chǔ)上繞過(guò)非洲,在1498年到達(dá)印度海岸,從而找到了通向東方的新航路。
哥倫布通過(guò)閱讀馬可·波羅的《東方見(jiàn)聞錄》,對(duì)富庶的東方產(chǎn)生了濃厚的興趣,他相信當(dāng)時(shí)已日益流行的地圓學(xué)說(shuō),認(rèn)為地球是圓的,只要從歐洲海岸一直向西航行,就可以到達(dá)印度,得到大量的黃金、香料。1492年8月3日哥倫布(西,1451-1506年)從西班牙出發(fā)了,一直向西航行,1492年10月12日,哥倫布到達(dá)了一個(gè)現(xiàn)在稱為巴哈馬群島中的華特林島,到達(dá)美洲。
1519年9月20日,麥哲倫(葡,1480-1521年)在西班牙國(guó)王的資助下,率探險(xiǎn)船隊(duì)出航,先是沿著已經(jīng)知道的道路向西航行,然后轉(zhuǎn)向南,沿著美洲大陸摸索南下,在春天到來(lái)之際發(fā)現(xiàn)了美洲南部的海峽(后人稱為麥哲倫海峽)。而后橫渡太平洋,1521年3月,終于到達(dá)了菲律賓群島,麥哲倫在干涉島上內(nèi)部戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí),被當(dāng)?shù)氐耐林藲⑺?,后?lái)船隊(duì)沿著已經(jīng)熟悉的航路進(jìn)入印度洋,再沿著葡萄牙人發(fā)現(xiàn)的航路于1522年9月返回西班牙,完成了了首次環(huán)球航行,證實(shí)了地球是球形的。哥倫布在瓜納阿尼島登陸(1492)。1.4 天文學(xué)的革命
托勒密(埃及,90-165年),宗教神學(xué)的宇宙觀:上帝創(chuàng)造了地球,地球是宇宙的中心。
哥白尼(波,1473-1543年)根據(jù)長(zhǎng)期觀察推算提出“日心說(shuō)”。雖然未能認(rèn)識(shí)到宇宙的無(wú)限性,但反對(duì)上帝創(chuàng)造世界的“地心說(shuō)”,沉重打擊了宗教神學(xué),成為自然科學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的先聲。1543年出版《天體運(yùn)行論》,被教會(huì)列為禁書。
布魯諾(意,1548-1600年)信奉哥白尼學(xué)說(shuō),以超人的預(yù)見(jiàn)大大豐富和發(fā)展了哥白尼學(xué)說(shuō)。他1584年在《論無(wú)限、宇宙及世界》這本書當(dāng)中,提出了宇宙無(wú)限的思想,他認(rèn)為宇宙是統(tǒng)一的、物質(zhì)的、無(wú)限的和永恒的。一般人認(rèn)為布魯諾的思想簡(jiǎn)直是“駭人聽(tīng)聞”,甚至連那個(gè)時(shí)代被尊為“天空立法者”的天文學(xué)家開(kāi)普勒也無(wú)法接受,開(kāi)普勒在閱讀布魯諾的著作時(shí)感到一陣陣頭目眩暈!布魯諾在天主教會(huì)的眼里,是極端有害的“異端”和十惡不赦的敵人。他們施展狡詐的陰謀鬼計(jì),以收買布魯諾的朋友,將布魯諾誘騙回國(guó),并于1592年5月23日逮捕了他,把他囚禁在宗教判所的監(jiān)獄里,接連不斷地審訊和折磨竟達(dá)8年之久。但這絲毫沒(méi)有動(dòng)搖布魯諾相信真理的信念。天主教會(huì)的人們絕望了,他們兇相畢露,建議當(dāng)局將布魯諾活活燒死。布魯諾似乎早已料到,當(dāng)他聽(tīng)完宣判后,面不改色地對(duì)這伙兇殘的劊子手輕蔑地說(shuō):“你們宣讀判決時(shí)的恐懼心理,比我走向火堆還要大得多。”1600年2月17日,布魯諾在羅馬的百花廣場(chǎng)上英勇就義了。
郵票:哥白尼(波,1473-1543年)(委內(nèi)瑞拉,1973)。
2、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)
近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興,但人們很快看到,它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興,而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域發(fā)生了變化,在此介紹代數(shù)學(xué)、三角學(xué)、射影幾何、對(duì)數(shù)等的進(jìn)步。
2.1 代數(shù)學(xué)
歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的,它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域,拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕,其中包括三、四次方程的求解與符號(hào)代數(shù)的引入。關(guān)于方程的根式解。16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)最重要的成就。
1515年博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅(意,1465-1526年)發(fā)現(xiàn)了形如x^3+mx=n的三次方程的代數(shù)解法,密傳給學(xué)生費(fèi)奧。
塔塔利亞(意,1499-1557年)(原姓豐坦那,塔塔利亞是綽號(hào),意為口吃者)發(fā)表了《論數(shù)字與度量》(1556-1560),被稱為數(shù)學(xué)百科全書和16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一,其中有關(guān)于二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)排成的“塔塔利亞三角形”,比帕斯卡發(fā)表它的時(shí)間(1665年)要早100多年。
塔塔利亞最重要的數(shù)學(xué)成就是發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法,進(jìn)行了兩次歷史性的辨論。塔塔利亞宣稱可解形如x^3+mx^2=n的三次方程,1535年2月22日費(fèi)奧與塔塔利亞在威尼斯公開(kāi)競(jìng)賽,各出30個(gè)問(wèn)題,塔塔利亞在2小時(shí)內(nèi)全部解出而獲勝,揚(yáng)名整個(gè)意大利。1539年塔塔利亞把他關(guān)于三次方程的解法寫成一首25行詩(shī)告訴卡爾丹。1548年8月10日塔塔利亞與卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里在米蘭大教堂附近舉行了公開(kāi)辯論,爭(zhēng)論從上午10點(diǎn)持續(xù)到晚飯時(shí)間,聽(tīng)眾一哄而散,結(jié)果不了了之。雙方各自宣布獲勝。直至8年后,塔塔利亞才在他的名著《論數(shù)字與度量》中的一篇插文里敘述了整個(gè)論戰(zhàn)過(guò)程。
米蘭大教堂:歐洲中世紀(jì)最大的教堂,可供4萬(wàn)人舉行宗教活動(dòng),建于1386-1485年。有135個(gè)尖塔,象濃密的塔林刺向天空,且在每個(gè)塔尖上有神的雕像。教堂外部總共有2000多個(gè)雕像,甚為奇特。如果連內(nèi)部雕像總共有 6000多尊,是世界上雕像最多的哥特式教堂。這個(gè)教堂有一個(gè)高達(dá)107米的尖塔,出于公元15世紀(jì)意大利建筑巨匠伯魯諾列斯基之手。塔頂上有金色圣母瑪利亞雕像,在陽(yáng)光下顯得光輝奪目,神奇而又壯麗,高聳的尖塔把人們的目光引向虛渺的天空,使人忘卻今生,幻想來(lái)世。
卡爾丹(意,1501-1576年),醫(yī)學(xué)博士,16世紀(jì)文藝復(fù)興時(shí)期人文主義的代表人物,其中的一些科學(xué)觀點(diǎn)與達(dá)?芬奇的論述頗為相似,著作《事物之精妙》(1550年)、《世間萬(wàn)物》(1557年)僅在16世紀(jì)就有十幾個(gè)版本流傳,后來(lái)又被譯為多種文字,影響深遠(yuǎn)。他是一個(gè)天才和愚人的奇怪混合,也是一個(gè)富有傳奇色彩的怪杰,兼學(xué)者與無(wú)賴于一身,被譽(yù)為百科全書式的學(xué)者,渡過(guò)了光怪陸離的一生,在數(shù)學(xué)、天文學(xué)、哲學(xué)、物理學(xué)和醫(yī)學(xué)中都有一定的成就,同時(shí)也一直醉心于占星術(shù)(為基督命運(yùn)占星和對(duì)自己死期的預(yù)卜)和賭博的研究,一生共寫了各種類型的文章、書籍200多種。最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年在紐倫堡出版的《大術(shù)》(全名為《大術(shù),或論代數(shù)法則》),該書系統(tǒng)給出代數(shù)學(xué)中的許多新概念和新方法,內(nèi)有三次、四次方程的解法(由卡爾丹的學(xué)生費(fèi)拉里(意,1522-1565年)發(fā)現(xiàn))。在《大術(shù)》中方程的負(fù)根被采用,專門討論了解方程中遇到的虛根問(wèn)題,首次把它當(dāng)作一般的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,認(rèn)識(shí)到如果一個(gè)方程有一個(gè)虛根,則應(yīng)該有與之共軛的另一個(gè)虛根。
邦貝利(意,1526-1573),意大利文藝復(fù)興時(shí)期最后一位代數(shù)學(xué)家,他的前輩們?cè)?jīng)將這門學(xué)科推向一個(gè)發(fā)展高潮。邦貝利認(rèn)為除了卡爾丹之外還沒(méi)有人能夠很深入代數(shù)學(xué)這一學(xué)科,但他對(duì)卡爾丹的表述并不滿意,因此準(zhǔn)備寫一本書,以其清楚明了的表述使任何人都可以不必借助別的書而掌握代數(shù)學(xué)這門學(xué)問(wèn),這是1572年邦貝利出版《代數(shù)》的背景。在書中邦貝利引進(jìn)了虛數(shù),正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。
符號(hào)代數(shù)。
認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)符號(hào)的意義,符號(hào)系統(tǒng)的建立使代數(shù)成為一門科學(xué),從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志,反映了數(shù)學(xué)高度抽象與簡(jiǎn)煉。
修道士帕西奧里(意,1445-1517年)(意,1994),1494年用鉛字印刷出版的《算術(shù)集成》(全稱《算術(shù)、幾何、比與比例集成》)是繼斐波那契之后第一部?jī)?nèi)容全面的數(shù)學(xué)書,其中采用了優(yōu)越的記號(hào)及大量的數(shù)學(xué)符號(hào)(多為詞語(yǔ)的縮寫形式或詞首字母),這是本書的最突出之處,推進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。雖然帕西奧里對(duì)數(shù)學(xué)本身缺乏創(chuàng)建,但其著作具有簡(jiǎn)明、通俗和綜合的特點(diǎn),因而廣泛流傳,16世紀(jì)意大利的代數(shù)學(xué)有長(zhǎng)足的發(fā)展,其間帕西奧里著作的教育和啟示作用是不能忽視的。
《算術(shù)集成》中有“青蛙入井問(wèn)題”的變形“貓捉老鼠問(wèn)題”:一只老鼠在60英尺高的白楊樹(shù)頂上,一只貓?jiān)跇?shù)腳下的地上。老鼠每天下降1/2英尺,晚上又上升1/6英尺;貓每天往上爬1英尺,晚上又滑下1/4英尺;這棵樹(shù)在貓和老鼠之間每天長(zhǎng)1/4英尺,晚上又縮1/8英尺。試問(wèn)貓要多久能捉住老鼠?
施蒂費(fèi)爾(德,1487-1567年),16世紀(jì)德國(guó)最大的數(shù)學(xué)家,研究過(guò)代數(shù)和數(shù)論,首先使用加號(hào)+、減號(hào)-和根號(hào)的人之一,1544年《綜合數(shù)學(xué)》(又譯《算術(shù)大全》)中指出:符號(hào)使用是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。最早在印刷圖書中用“+”作加、用“-”作減的是維德曼(德,1460-約1499年),1489年出版的《各種貿(mào)易的最優(yōu)速算法》(又譯《簡(jiǎn)算與速算》)創(chuàng)用“+”、“-”號(hào)用于表示剩余和不足,并未引起人們的注意。1544年施蒂費(fèi)爾及其他一些數(shù)學(xué)家相繼采用了這兩個(gè)抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)才真正地、正式地登上了加減運(yùn)算的舞臺(tái),漸漸地名揚(yáng)四海,才得到了大家公認(rèn)和使用。
等號(hào)叫一對(duì)雙生子。關(guān)于等號(hào),《算術(shù)集成》中用ae(來(lái)自aequalis)表示相等。牛津大學(xué)數(shù)學(xué)教授雷科德(英,1510-1558)于1557年在代數(shù)論文《智慧的磨刀石》中首次用符號(hào)=表示相等,文章中寫道:“為了避免枯燥的重復(fù)is aequalleto這個(gè)詞,也就是等于,如像我經(jīng)常在自己的工作實(shí)際用到那樣,我就放二條平行線――同樣長(zhǎng)=的一對(duì)雙生子,因?yàn)槿魏蝺杉|西,不可能比它們更相等。”
發(fā)明現(xiàn)代小數(shù)點(diǎn)的人是克拉維斯(德,1537-1612年),他在繁榮數(shù)學(xué)這門學(xué)科上超過(guò)了16世紀(jì)的任何其他德國(guó)學(xué)者,1593年在羅馬出版的《星盤》中首次使用了現(xiàn)代意義上的小數(shù)點(diǎn),即把小數(shù)點(diǎn)作為整數(shù)部分與小數(shù)部分分界的記號(hào),1608年出版的《代數(shù)學(xué)》中更明確地使用這種小數(shù)點(diǎn)。這是用點(diǎn)表示小數(shù)記法之開(kāi)始。
1629年吉拉德(荷,1593-1632年)出版的《代數(shù)的新發(fā)現(xiàn)》中用有限線段解釋方程的負(fù)根,并且第一個(gè)提出用減號(hào)“-”表示負(fù)數(shù)。從此,負(fù)數(shù)符號(hào)逐漸得到人們的認(rèn)識(shí),沿用至今。
韋達(dá)(法,1540-1603年),律師與政治家,業(yè)余研究數(shù)學(xué),16世紀(jì)法國(guó)最大、最有影響的數(shù)學(xué)家(1593年解出比利時(shí)大使提出的45次方程問(wèn)題,但他不承認(rèn)負(fù)數(shù),叫它為“不合理的數(shù)”),也被認(rèn)為是16世紀(jì)最大的數(shù)學(xué)家,從先輩的著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法,用字母等符號(hào)表示未知量的值進(jìn)行運(yùn)算,規(guī)定了代數(shù)與算術(shù)的分界,被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”,1591年《分析引論》(或《分析方法入門》)是韋達(dá)最重要的代數(shù)著作,也是最早的符號(hào)代數(shù)專著。在《分析引論》的結(jié)尾寫下一句座右銘“沒(méi)有不能解決的問(wèn)題”(Nullum non problema solvere)。1615年《論方程的整理與修正》用代數(shù)方式推出了一般的二次方程的求根公式,記載了著名的韋達(dá)定理,即方程的根與系數(shù)的關(guān)系式。他的著作內(nèi)容深?yuàn)W,言辭艱澀,其理論在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有產(chǎn)生很大影響,直到1646年韋達(dá)的文集出版才使他的理論漸漸流傳開(kāi)來(lái),得到后人的承認(rèn)和贊賞。
2.2 三角學(xué)
歐洲文藝復(fù)興始于意大利,之后是德國(guó)。德國(guó)在數(shù)學(xué)研究上獨(dú)占魁首,遙遙領(lǐng)先除意大利以外的歐洲各國(guó)。
1450年以前,三角學(xué)主要是球面三角。
15、16世紀(jì)德國(guó)人從意大利人獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí),如阿爾·巴塔尼(858-929年)的《歷數(shù)書》、納西爾丁·圖西(1201-1274年)的《論完全四邊形》。在16世紀(jì),三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái),成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。
雷格蒙塔努斯(德,1436-1476年),又名繆勒,在維也納大學(xué)學(xué)習(xí)和講授天文學(xué),逐漸掌握了托勒密的天文學(xué)說(shuō),并努力鉆研與之相關(guān)的幾何學(xué)、算術(shù)與三角學(xué),后到羅馬,不斷學(xué)習(xí)拉丁文和希臘文的經(jīng)典學(xué)術(shù)著作,對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是在三角學(xué)方面,代表作是完成于1464年《論各種三角形》(或稱《三角學(xué)全書》,1533年出版),是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的第一個(gè)完整、獨(dú)立的闡述,歐洲傳播三角學(xué),他的著作手稿在學(xué)者中廣為傳閱,成為15世紀(jì)最有能力、最有影響的數(shù)學(xué)家,對(duì)16世紀(jì)的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響,哥白尼的工作受到他的影響,可惜40歲時(shí)英年早逝,死英是瘟疫,但有傳聞?wù)f他是被仇人毒死的。雷格蒙塔努斯出版的《星歷表》給出了1475-1506年間每天的天體位置,有趣的是,哥倫布在第四次航海探險(xiǎn)時(shí)隨身攜帶了一份《星歷表》,并利用它預(yù)示的1504年2月29日的月食嚇唬牙買加的土著印第安人,終于使他們屈服。
韋達(dá)(法,1540-1603年),1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》系統(tǒng)講述了用所有6種三角函數(shù)解平面的球面三角形,這在西歐也許是第一部書,1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學(xué)。
2.3 射影幾何
歐洲幾何學(xué)創(chuàng)造性的復(fù)興晚于代數(shù)學(xué)。文藝復(fù)興時(shí)期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力卻來(lái)自藝術(shù),因?yàn)楫嫾覀冊(cè)趯⑷S世界繪制到二維畫布上時(shí),面臨著一些投影的問(wèn)題。正是由于繪畫、制圖中提出的問(wèn)題的刺激導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科,透視學(xué)的興起,從而誕生了射影幾何學(xué)。研究圖形的射影性質(zhì),即它們經(jīng)過(guò)射影變換不變的性質(zhì)的幾何學(xué),一度也叫做投影幾何學(xué)。
起源于繪畫和建筑學(xué)中的透視法,也就是投影和截景。公元前200年左右,古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。文藝復(fù)興時(shí)期,繪畫藝術(shù)的盛行促進(jìn)了理論的發(fā)展,透視法成為一門幾何與繪畫結(jié)合的熱門學(xué)科。阿爾貝蒂(意,1404-1472年)于1435年發(fā)表《論繪畫》一書,闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想,他引入投影線和和截景概念,提出在同一投影線下和景物的情況下,任意兩個(gè)截景間有何種數(shù)學(xué)關(guān)系或何種共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)等問(wèn)題,這些問(wèn)題是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。
德沙格(法,1591-1661年),約1630年住在巴黎的德沙格又同那時(shí)法國(guó)的幾個(gè)領(lǐng)頭的數(shù)學(xué)家成為朋友,隨后,經(jīng)常出席梅森的“巴黎學(xué)會(huì)”的活動(dòng),與著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也有交往。上述這批人的活動(dòng)和所取得的成就,使法國(guó)成為17世紀(jì)上半葉世界數(shù)學(xué)史上最輝煌的國(guó)度,也為18、19世紀(jì)形成世界的數(shù)學(xué)中心打下良好的基礎(chǔ)。身處這一旋渦的德沙格以其新穎的思想和獨(dú)特的數(shù)學(xué)方法,開(kāi)辟了數(shù)學(xué)的一個(gè)新領(lǐng)域,成為射影幾何學(xué)的先驅(qū)。1636年發(fā)表了第一篇關(guān)于透視法的論文《關(guān)于透視繪圖的一般方法》,主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》,充滿了創(chuàng)造性的新思想、新方法,是射影幾何早期發(fā)展的代表作。書中提出并證明了“德沙格定理”:如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn),那么它們的對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線。其逆定理也成立。圖形連續(xù)變化,變換的不變性,關(guān)心結(jié)構(gòu)不涉及度量。
隨著解析幾何和后來(lái)的微積分的迅猛發(fā)展,該書逐漸被遺忘了。直到1845年,法國(guó)幾何學(xué)家、數(shù)學(xué)史家沙勒才在巴黎的一個(gè)舊書店里發(fā)現(xiàn)這本書的手抄本,此時(shí)射影幾何正處于復(fù)興時(shí)期,人們才認(rèn)識(shí)到德沙格這本著作的價(jià)值。1950年前后,在巴黎國(guó)立圖書館又找到它的原版本,歷經(jīng)300余年的滄桑歲月,它終于在諸多數(shù)學(xué)名著中有了一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢谩?/p>
帕斯卡(法,1623-1662年)1640年《圓錐曲線論》(1779年發(fā)現(xiàn)),帕斯卡定理:圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。不同于物理學(xué)上的帕斯卡定律:加在密閉液體任一部分的壓強(qiáng),必然按其原來(lái)的大小,由液體向各個(gè)方向傳遞。
射影幾何的綜合方法,用代數(shù)方法處理問(wèn)題更有效,射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分,他們的工作也漸被遺忘,遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。
2.4 對(duì)數(shù) 16世紀(jì)前半葉,歐洲人把實(shí)用的算術(shù)計(jì)算放在數(shù)學(xué)的首位。由于天文和航海計(jì)算的需要,計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明與應(yīng)用。
1585年史蒂文(荷,1548-1620年)曾是荷蘭軍隊(duì)的軍需總監(jiān),領(lǐng)導(dǎo)過(guò)許多公共建筑工程的建設(shè),在數(shù)學(xué)方面最重要的著作《十進(jìn)算術(shù)》,系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論,并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù),闡述的思想雖然很簡(jiǎn)單,卻在西方產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在西方史蒂文是第一個(gè)系統(tǒng)論述十進(jìn)分?jǐn)?shù)及其算術(shù)的人,其動(dòng)機(jī)是簡(jiǎn)化計(jì)算,把它獻(xiàn)給天文學(xué)家、測(cè)量人員和商人。在文明史上,史蒂文是工程師和技術(shù)專家的典范,他用科學(xué)的方式去處理實(shí)際問(wèn)題,極為注重理論與實(shí)踐的結(jié)合,總是像一個(gè)數(shù)學(xué)家那樣思維,這是他科學(xué)生涯中一個(gè)最顯著的特點(diǎn)。
納皮爾(蘇格蘭,1550-1617年),把大部分精力花在那個(gè)時(shí)代的政治和宗教論爭(zhēng)中,但仍為數(shù)學(xué)的發(fā)展做了許多有價(jià)值的工作。受三角公式積化和差,幾何級(jí)數(shù)指數(shù)等的啟示,納皮爾在對(duì)數(shù)的理論上至少花了20年的時(shí)間,于1590年左右開(kāi)始寫關(guān)于對(duì)數(shù)的著作,1614年發(fā)表《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的說(shuō)明》。納皮爾的驚人發(fā)明被整個(gè)歐洲熱心地采用,尤其是天文學(xué)界,簡(jiǎn)直為這個(gè)發(fā)現(xiàn)沸騰起來(lái)了。拉普拉斯就認(rèn)為,對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)“以其節(jié)省勞力而延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”。
郵票:納皮爾的對(duì)數(shù)(尼加拉瓜,1971)。
在誰(shuí)最先發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)這個(gè)問(wèn)題上,納皮爾只遇到一個(gè)對(duì)手,即瑞士?jī)x器制造者比爾吉。比爾吉獨(dú)立設(shè)想并造出了對(duì)數(shù)表,于1620年出版了《算術(shù)和幾何級(jí)數(shù)表》。雖然兩個(gè)人都在發(fā)表之前很早就有了對(duì)數(shù)的概念,但納皮爾的途徑是幾何的,比爾吉的途徑是代數(shù)的。
1620年岡特(英,1581-1626年)制成第一把對(duì)數(shù)尺。
數(shù)學(xué)史上是先有對(duì)數(shù),后有指數(shù)概念。而今天的教科書是先講指數(shù),并用指數(shù)來(lái)定義對(duì)數(shù),這正與它的歷史相反。
對(duì)數(shù)17世紀(jì)中葉傳入我國(guó),對(duì)數(shù)一詞被譯為“假數(shù)”。如1653年由波蘭數(shù)學(xué)家穆尼閣(1611-1656)和薛鳳祚合編的《比例對(duì)數(shù)表》一書,是傳入我國(guó)最早的對(duì)數(shù)著作。當(dāng)時(shí)lg2=0.3010中2叫“真數(shù)”(沿用至今),0.3010叫“假數(shù)”,真數(shù)與假數(shù)列成表叫對(duì)數(shù)表,后來(lái)改“假數(shù)”為“對(duì)數(shù)”。
到16世紀(jì)末、17世紀(jì)初,整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型,文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合,為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。3、15-17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)
兩個(gè)特點(diǎn):珠算發(fā)展,西學(xué)東漸。3.1 珠算
珠算盤是算籌的發(fā)展。珠算盤的記載最早見(jiàn)于元末陶宗儀的《南村輟(chuò)耕錄》(1366年)。明代算盤完全取代了算籌,珠算開(kāi)始普及于中國(guó),現(xiàn)存最早的珠算書是1573年(明萬(wàn)歷元年)閩建(今福建建甌)徐心魯訂正的《盤珠算法》。
程大位(明,1533-1606年),安徽休寧(今屯溪)人,自幼酷愛(ài)數(shù)學(xué),從20多歲起便在長(zhǎng)江下游一帶經(jīng)商,收羅了很多古代與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)書籍。經(jīng)過(guò)幾十年的努力,在1592年60歲時(shí),編著了一部集珠算理論之大成的著作《直指算法統(tǒng)宗》,詳述算盤的用法,載有大量運(yùn)算口訣,流傳朝鮮、日本和東南亞以外。從它流傳的長(zhǎng)久和廣泛方面來(lái)講,那是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上任何著作也不能與之相比。
中國(guó)算盤(利比里亞,1999)、日本算盤(日本,1987)。
但實(shí)際上,珠算對(duì)籌算的取代,實(shí)際上卻在一定程度上造成了建立于籌算基礎(chǔ)上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)的失傳。
3.2 西方數(shù)學(xué)的傳入
樂(lè)山大佛(唐,713-803年)。
中國(guó)古代歷史上,曾出現(xiàn)過(guò)兩次大規(guī)模的外來(lái)文化傳入:一次是公元一世紀(jì)到九世紀(jì)漢唐時(shí)期印度佛教文化的傳入;另一次是明清之際西方基督教文化,特別是西方自然科學(xué)的傳入。由于演算天文歷法的需要,來(lái)華的西方傳教士便將西方一些數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國(guó)。
巴黎圣母院(建于1163-1345年),位于巴黎市中心塞納河中的西岱島,是世界馳名的天主教堂,也是巴黎最負(fù)盛名的古代勝跡之一。整個(gè)建筑全部由石頭砌成,是一座典型的哥特式教堂,占地5500平方千米。兩座鐘樓后面有座高達(dá)90米的尖塔,巍峨入云,塔頂是一個(gè)細(xì)長(zhǎng)的十字架,遠(yuǎn)望似與天穹相接。整個(gè)建筑象征著基督教的神秘,給人以莊嚴(yán)華麗、神秘莫測(cè)之感。幾個(gè)世紀(jì)以來(lái),巴黎圣母院一直是法國(guó)宗教、政治和民眾生活中重大事件和舉行典禮儀式的重要場(chǎng)所。
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第一次高潮是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初(明末清初),標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯?!对尽肥鞘澜缟献钤绲臄?shù)學(xué)公理化著作,影響最廣泛的數(shù)學(xué)名著。羅素(英,1872-1970年):“歐幾里得的《原本》毫無(wú)疑義是古往今來(lái)最偉大的著作之一,是希臘理智最完美的紀(jì)念碑之一”。
最早來(lái)中國(guó)從事傳教活動(dòng)的是明萬(wàn)歷年間(1582年)來(lái)華的意大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci,1552-1610年),被中國(guó)人尊稱為“西學(xué)東漸第一師”,中華世紀(jì)壇的世紀(jì)廳中有利瑪竇(意,1552-1610年)的雕象。利瑪竇曾在德國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),后又給世界大科學(xué)家伽利略(意,1564-1642年)講過(guò)幾何學(xué),但利瑪竇來(lái)華并非以數(shù)學(xué)家的身份,而是“傳教”的天主教耶穌會(huì)教士,為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)中國(guó)社會(huì)的需要,制訂了一套適合中國(guó)實(shí)際情況的“合儒”、“補(bǔ)儒”及“超儒”的和平傳教政策,即“政治上擁護(hù)貴族統(tǒng)治,學(xué)術(shù)上要有高水平,生活上要靈活適應(yīng)中國(guó)的風(fēng)土人情”。1596年9月22日,利瑪竇在南昌預(yù)測(cè)了一次日食,使他名聲大振。1600年利瑪竇與徐光啟(明,1562-1633年)在南京相識(shí),開(kāi)始了他們之間的科學(xué)合作。
利瑪竇第一次告訴中國(guó)的知識(shí)分子地球是圓的。九星會(huì)聚(中國(guó),1982)。徐光啟(明,1562—1633年),上海徐家匯(今屬上海市)人,明末著名科學(xué)家,在數(shù)學(xué)、天文、歷法、軍事、測(cè)量、農(nóng)業(yè)和水利等方面都有重要貢獻(xiàn),官至文淵閣大學(xué)士,第一個(gè)認(rèn)識(shí)到中國(guó)的近代科學(xué)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)的落后于西方,中國(guó)放眼看世界的第一人,第一個(gè)把歐洲先進(jìn)的科學(xué)知識(shí),特別是天文學(xué)知識(shí)介紹到中國(guó),同時(shí)注意總結(jié)中國(guó)的固有科學(xué)遺產(chǎn),成為我國(guó)近代科學(xué)的啟蒙大師。
1629年,徐光啟被禮部任命督修歷法,在他主持下,編譯《崇禎歷書》137卷?!冻绲潥v書》主要是介紹丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫(1546-1601年)的“地心說(shuō)”(第谷認(rèn)為地球在宇宙中心靜止不動(dòng),行星繞太陽(yáng)轉(zhuǎn),而太陽(yáng)則率領(lǐng)行星繞地球轉(zhuǎn)。這個(gè)體系雖在歐洲沒(méi)有流行,但傳入中國(guó)后曾被一度接受)。作為這一學(xué)說(shuō)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),希臘的幾何學(xué),歐洲的三角學(xué),以及納皮爾對(duì)數(shù)、伽利略比例規(guī)等計(jì)算工具也同時(shí)介紹進(jìn)來(lái)?!冻绲潥v書》(1634年修成),其中天文學(xué)和數(shù)學(xué)基本理論占全書30%,奠定了我國(guó)近300年歷法的基礎(chǔ)?!冻绲潥v書》為什么不采用哥白尼體系,因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)哥白尼體系在理論上、實(shí)測(cè)上都還不很成功。因此當(dāng)時(shí)的天文學(xué)家對(duì)哥白尼學(xué)說(shuō)持懷疑的態(tài)度是很正常的。我們今天熟知的地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的證據(jù),是到了18世紀(jì)才最終被發(fā)現(xiàn)的。我們今天相信哥白尼是對(duì)的,但是那個(gè)時(shí)候證據(jù)還沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。所以《崇禎歷書》采用了地谷的體系?!冻绲潥v書》對(duì)一些歐洲重要天文史上比較重要的學(xué)說(shuō),包括哥白尼的學(xué)說(shuō),都做了介紹,并且把哥白尼作為歐洲歷史上最偉大的四個(gè)天文學(xué)家之一。
1634年,《崇禎歷書》編撰完成,經(jīng)過(guò)8次較量之后,崇禎皇帝最終相信西方天文學(xué)確實(shí)比中國(guó)的傳統(tǒng)天文學(xué)更好,1644年他下令頒行天下。但是他詔書剛剛下去沒(méi)幾天,李自成的軍隊(duì)就打進(jìn)了京城,頒行《崇禎歷書》的命令還沒(méi)有實(shí)施,明朝就崩潰了。湯若望(德,1592-1666年,1622年進(jìn)入廣東)把《崇禎歷書》做了刪改湯若望將《崇禎歷書》刪改為103卷,連同所編的新歷本一起進(jìn)呈清政府,獻(xiàn)給滿清政權(quán)。順治皇帝給題寫了書名,命名為《西洋新法歷書》,將這個(gè)歷法頒行天下。
《崇禎歷書》對(duì)中國(guó)天文學(xué)整體上起到了一個(gè)怎樣的作用呢?它沒(méi)有改變中國(guó)傳統(tǒng)天文學(xué)作為政治巫術(shù)的性質(zhì)。我們知道《崇禎歷書》在1634年的時(shí)候,跟歐洲的天文學(xué)差距很小。但是編完之后,200多年幾乎不變。后來(lái)清朝修訂過(guò)幾次,補(bǔ)充過(guò)零星的歐洲天文學(xué)知識(shí),但是實(shí)際上我們完全脫離了歐洲天文學(xué)的進(jìn)程。接著200年,我們幾乎原地不動(dòng),而歐洲這200年天文學(xué)發(fā)展如火如荼?!冻绲潥v書》曾經(jīng)有一個(gè)機(jī)會(huì)能夠讓我們跟國(guó)際接軌,但是因?yàn)槲覀儗?duì)待科學(xué)的態(tài)度,最終中國(guó)仍然失去了這個(gè)機(jī)會(huì)。我們一度跟國(guó)際接軌但很快又脫軌,最終等到鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束,西方天文學(xué)第二次大舉進(jìn)入的時(shí)候,我們中國(guó)人幾乎不認(rèn)識(shí)它了,因?yàn)槲覀兟浜罅怂?00年。
在農(nóng)業(yè)和水利上,編成巨著《農(nóng)政全書》(1639年刻板付印)。
在數(shù)學(xué)上,1606年,徐光啟與利瑪竇合作完成了歐幾里得《原本》前6卷的中文翻譯,并于1607年在上??坛霭妫稁缀卧尽?,中文數(shù)學(xué)名詞“幾何”由此而來(lái)。徐光啟說(shuō),“此書為益,能令學(xué)理者祛其浮氣,煉其精心,學(xué)事者資其定法,發(fā)其巧思,故舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)?!保瑢?duì)未能完成全部的翻譯而感遺憾,曾說(shuō):“續(xù)成大業(yè),未知何日,未知何人,書以俟(sì)焉”?!稁缀卧尽肥侵袊?guó)近代翻譯西方數(shù)學(xué)書籍的開(kāi)始,從此打開(kāi)了中西學(xué)術(shù)交流的大門,相繼出
第二篇:林壽數(shù)學(xué)史教案-選講:數(shù)學(xué)論文寫作初步
選講:數(shù)學(xué)論文寫作
凡是運(yùn)用概念、判斷、推理、證明或反駁等邏輯思維手段來(lái)分析、表達(dá)自然科學(xué)的理論和技術(shù)研究中的各種問(wèn)題、成果的文章,都屬于科技學(xué)術(shù)論文的范疇。科技學(xué)術(shù)論文最重要的特點(diǎn)是科學(xué)性和創(chuàng)造性。
1、論文的撰寫
數(shù)學(xué)論文的撰寫過(guò)程分準(zhǔn)備和寫作兩個(gè)階段。
準(zhǔn)備階段首先搜集資料和研究資料,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,提出猜想,逐步論證,對(duì)獲得的結(jié)果進(jìn)行整理和提煉。寫作階段按列出的提綱寫作草稿,修改定稿。
1.1文獻(xiàn)搜集
運(yùn)用適當(dāng)?shù)臋z索方法,注意搜集與選擇的方向。文獻(xiàn)的搜集與選擇之要點(diǎn),一是多,注意其全面性;二是精,注意其權(quán)威性。
1.2資料整理
資料整理是根據(jù)課題要求對(duì)已有的資料進(jìn)行閱讀、記錄、分類、剔選、匯總的操作過(guò)程。
1.3論文選題
論文的價(jià)值主要在于選擇一個(gè)什么樣的課題。選題主要應(yīng)遵循創(chuàng)新性原則和適應(yīng)性原則,切忌題目雷同,內(nèi)容重復(fù)或立題貪大,內(nèi)容求全。
實(shí)例: “數(shù)學(xué)分析”選題10例;“數(shù)學(xué)教育”選題10例;“數(shù)學(xué)史” 選題10例。
1.4擬定提綱
擬定提綱有兩層含意,一是謀篇構(gòu)思;二是擬寫提綱。
謀篇構(gòu)思就是對(duì)研究工作的成果作合理安排的思維過(guò)程,要求作者對(duì)論文的思路、層次、順序等進(jìn)行思考。擬寫提綱包括的至少有六個(gè)項(xiàng)目:題目;課題研究的目的;證明論點(diǎn)所用的概念、定理;采用的論證方法;結(jié)論;需進(jìn)一步討論的問(wèn)題。
1.5寫作初稿
數(shù)學(xué)論文已形成一定的撰寫格式,其結(jié)構(gòu)一般由標(biāo)題、署名、摘要、關(guān)鍵詞、分類號(hào)、正文(含引言和結(jié)論)、致謝、參考文獻(xiàn)等8個(gè)部分組成。
1(1)標(biāo)題
一是準(zhǔn)確得體,恰如其分;二是簡(jiǎn)短精煉,高度概括;三是意義完整,體例規(guī)范。
(2)署名
一則表示擁有版權(quán)的聲明;二則反映文責(zé)自負(fù)的精神;三則有利于讀者同作者聯(lián)系。
(3)摘要
一份文獻(xiàn)內(nèi)容的縮短的精確的表達(dá),而無(wú)須補(bǔ)充解釋或評(píng)論。按功能劃分大體上可分為報(bào)道性摘要、指示性摘要和題錄式摘要。
(4)關(guān)鍵詞
從論文的正文、摘要或篇名中抽出的,并在表達(dá)論文內(nèi)容主題方面具有實(shí)在意義起關(guān)鍵作用的詞匯稱為關(guān)鍵詞,一般為3-8個(gè)。
(5)分類號(hào)
論文主題所屬類別,采用《中圖法》的分類體系或美國(guó)《數(shù)學(xué)評(píng)論》的分類體系,具體要看所投刊物的要求。
(6)引言、正文及結(jié)論
引言是用于說(shuō)明論文寫作的目的、理由、背景、研究成果和意義的部分,主要內(nèi)容有:研究主題、目的和理由,對(duì)本課題已有研究成果的述評(píng),本文所要解決的問(wèn)題和采用的方法,概述成果及意義等。
正文的基本要求是以某一基本觀點(diǎn)為核心,貫穿全文,將已有的概念、定理與自己探索到的新思想、新結(jié)論,用清晰的邏輯方法撰寫為一個(gè)完整、無(wú)誤的統(tǒng)一體。它應(yīng)包括理論分析,論證的新手段及方法和結(jié)論。
結(jié)論是整篇論文的歸結(jié),集中反映作者的成果,表達(dá)作者對(duì)所研究課題的見(jiàn)解和主張,對(duì)全篇論文起畫龍點(diǎn)睛的作用。
(7)致謝
當(dāng)科研成果以論文形式發(fā)表時(shí),有時(shí)需要對(duì)他人的勞動(dòng)給予充分肯定,鄭重地以書面形式表示感謝。它與論文的作者之間應(yīng)有一定的區(qū)別。
(8)參考文獻(xiàn)
引用參考文獻(xiàn)的主要原因有三,一是說(shuō)明研究課題范圍內(nèi)前人的工作成果和 2 背景,并為證實(shí)自己的論點(diǎn)提供足夠的證據(jù)材料;二是承認(rèn)科學(xué)的繼承性,表明尊重他人的勞動(dòng)成果;三是便于自己寫作和讀者查閱,復(fù)核,了解相關(guān)領(lǐng)域里前人所做的貢獻(xiàn)。
著錄參考文獻(xiàn)的原則有三,一是只著錄最必要、最新的文獻(xiàn);二是只著錄公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn);三是采用規(guī)范化的著錄格式。
1.6修改定稿
一是錘煉課題,二是精思布局,三是檢驗(yàn)材料,四是斟酌字句。
2、論文的發(fā)表
一篇學(xué)術(shù)論文只有正式發(fā)表后才能承認(rèn)為正式文獻(xiàn)。注意發(fā)表形式,發(fā)表程序和校對(duì)工作。
作者如何提高投稿命中率?一是選題新穎實(shí)用,二是文章簡(jiǎn)明可讀,三是了解征稿要求,四是細(xì)處一絲不茍;退稿原因多數(shù)為缺乏創(chuàng)新,論據(jù)不充分或沒(méi)有達(dá)到刊物要求的學(xué)術(shù)價(jià)值等。
3、科研成果的保管
保管好科研成果的有效手段是建立科研檔案??蒲袡n案是在科研活動(dòng)中逐步做出并經(jīng)整理和篩選,確有保留價(jià)值和有必要作為原始記錄而立卷存檔,長(zhǎng)期保存的資料。
就其表現(xiàn)形式來(lái)說(shuō),科研檔案可以歸納為兩大類,一是實(shí)物檔案,二是記錄檔案。
采用科研檔案形式保管科研成果,其作用體現(xiàn)在歷史性的憑證,原始性的證據(jù),供檢查、復(fù)核、校閱,供使用和參考,確立發(fā)現(xiàn)發(fā)明權(quán),正式紀(jì)錄科學(xué)貢獻(xiàn)。
第三篇:林壽數(shù)學(xué)史教案-第八講:19世紀(jì)的代數(shù)
第八講:19世紀(jì)的代數(shù)
19世紀(jì)的代數(shù)稱之“代數(shù)學(xué)的新生“。
1、代數(shù)方程根式解
高斯(德,1777-1855年),11歲發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理,1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí),1796年發(fā)現(xiàn)了正17邊形的尺規(guī)作圖法,1799年證明了代數(shù)基本定理。
高斯,“數(shù)學(xué)王子”,18-19世紀(jì)之交的中堅(jiān)人物,歐拉以后最重要的數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)研究幾乎遍及所有領(lǐng)域,發(fā)表論文155篇。
1770年拉格朗日(法,1736-1813年)發(fā)表《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》,認(rèn)識(shí)到求解一般五次方程的代數(shù)方法可能不存在。1799年魯菲尼(意,1765-1822年)明確提出要證明高于四次的一般方程不可能用代數(shù)方法求解。
1824年阿貝爾(挪,1802-1829年)出版《論代數(shù)方程,證明一般五次方程的不可解性》,證明了阿貝爾定理。
阿貝爾簡(jiǎn)介及數(shù)學(xué)獎(jiǎng):阿貝爾獎(jiǎng)(2003-)。
1829-1831年,伽羅瓦(法,1811-1832年)建立了判別方程根式解的充分必要條件,宣告了方程根式解難題的徹底解決。
伽羅瓦簡(jiǎn)介。
伽羅瓦的工作可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端,現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀的標(biāo)志之一。
2、數(shù)系擴(kuò)張
1873年埃爾米特(法,1822-1901年)和1882年林德曼(德,1852-1939年)分別證明了e和π是超越數(shù)。虛數(shù)(即復(fù)數(shù))的出現(xiàn),承認(rèn)與反承認(rèn)一直在歐洲徘徊。19世紀(jì)復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中起著舉足輕重的作用。1811年高斯(德,1777-1855年)討論了復(fù)數(shù)幾何表示。
對(duì)復(fù)數(shù)推廣的重要貢獻(xiàn)是哈密頓(愛(ài)爾蘭,1805-1865年),1843年定義了四元數(shù)。
哈密頓簡(jiǎn)介。
1844年格拉斯曼(德,1809-1877年)在《線性擴(kuò)張性》引進(jìn)了n個(gè)分量的超復(fù)數(shù),1847年凱萊(英,1821-1895年)定義了八元數(shù)。
3、行列式與矩陣
關(guān)于線性方程組解的發(fā)展,形成了行列式和矩陣的理論。
1683年關(guān)孝和(日,1642-1708年)完成《解伏題之法》,提出行列式理論和代數(shù)方程變換理論,尤其在行列式方面的研究是世界領(lǐng)先的。
1750年克萊姆(瑞士,1704-1752年)法則,1772年范德蒙(法,1735-1796年)、拉普拉斯(法,1749-1827年)行列式展開(kāi)定理。
1841年凱萊(英,1821-1895年)行列式記號(hào),1852年西爾維斯特(英,1814-1897年)慣性定理,1854年埃爾米特(法,1822-1901年)使用了正交矩陣,1858年凱萊證明了凱萊-哈密頓定理,1870年若爾當(dāng)(法,1838-1921年)建立了若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,1879年弗羅貝尼斯(德,1849-1917年)引入矩陣的秩。
4、布爾代數(shù)
來(lái)源于對(duì)數(shù)學(xué)和邏輯基礎(chǔ)的探討。
德?摩根(英,1806-1871年),1847年《形式邏輯》,突破古典的主謂詞邏輯的局限,影響到數(shù)理邏輯的發(fā)展。
布爾(英,1815-1864年),1847年《邏輯的數(shù)學(xué)分析,論演繹推理的演算法》和1854年《思維規(guī)律的研究,作為邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)》為數(shù)理邏輯的發(fā)展鋪平了道路。
施羅德(德,1841-1902年)《邏輯代數(shù)講義》(3卷,1890-1905年)把布爾的邏輯代數(shù)推向頂峰。
5、數(shù)論
費(fèi)馬(法,1601-1665年),“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”,獨(dú)騁17世紀(jì)數(shù)論天地,17世紀(jì)法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家,《數(shù)學(xué)論集》(1670)。
18世紀(jì)的數(shù)論受到費(fèi)馬思想的主宰。有影響的數(shù)學(xué)家是歐拉(瑞,1701-1783年),拉格朗日(法,1736-1813年),哥德巴赫(德,1690-1764年)和華林(英,1734-1798年)。
高斯(德,1777-1855年)的數(shù)論研究總結(jié)在1801年的《算術(shù)研究》中,它不僅是數(shù)論方面的劃時(shí)代之作,也是數(shù)學(xué)史上不可多得的經(jīng)典著作之一。
代數(shù)數(shù)論是研究代數(shù)數(shù)域的數(shù)論性質(zhì)。整數(shù)最基本的性質(zhì)是唯一因子分解定理。1844-1847年庫(kù)默爾(德,1810-1893年)創(chuàng)立了理想數(shù)理論,1871年戴德金(德,1831-1916年)創(chuàng)立了代數(shù)數(shù)理論,1897年希爾伯特(德,1862- 2 1943年)“代數(shù)數(shù)域理論”。
梅森素?cái)?shù)。梅森素?cái)?shù)是確定大素?cái)?shù)的一種途徑。1644年梅森(法,1588-1648年)《物理數(shù)學(xué)隨感》。在“手算筆錄年代”僅找到12個(gè)梅森素?cái)?shù),近10年來(lái)通過(guò)GIMPS項(xiàng)目找到了10個(gè)(35至44個(gè))梅森素?cái)?shù)。
第四篇:林壽數(shù)學(xué)史教案-第九講:19世紀(jì)的幾何
第九講:19世紀(jì)的幾何
1、幾何學(xué)的變革
幾何學(xué)的基礎(chǔ):現(xiàn)實(shí)空間與思維空間。1.1 微分幾何
平面曲線理論17世紀(jì)基本完成。1696年洛比塔(法,1661-1704年)的《無(wú)窮小分析》完成并傳播了平面曲線理論。
1760年歐拉(瑞,1707-1783年)《關(guān)于曲面上曲線的研究》,建立了曲面理論,1795年蒙日(法,1746-1818年)《關(guān)于分析的幾何應(yīng)用的活頁(yè)論文》借助微分方程對(duì)曲面族深入研究。
蒙日簡(jiǎn)介。1.2 非歐氏幾何
從公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末,數(shù)學(xué)家們雖然一直堅(jiān)信歐氏幾何的完美與正確,但“平行公設(shè)”始終讓他們耿耿于懷。
薩凱里(意,1667-1733年)1733年《歐幾里得無(wú)懈可擊》提出“薩凱里四邊形”。1763年克呂格爾(德,1739-1812年)對(duì)平行線公設(shè)是否能由其它公理加以證明表示懷疑。1766年蘭伯特(法,1728-1777年)《平行線理論》指出通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)道路。
1813年高斯(德,1777-1855年):反歐幾里得幾何,非歐幾里得幾何,擔(dān)心世俗的攻擊而未發(fā)表。1826年羅巴切夫斯基(俄,1792-1856年)《簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》,歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。1832年J?鮑約(匈,1802-1860年)《絕對(duì)空間的科學(xué)》,所謂“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何。
黎曼(德,1826-1866年)1854年《關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》建立了黎曼幾何。在黎曼幾何中,過(guò)已知直線外一點(diǎn)不能作任何平行于該給定直線的直線。
黎曼簡(jiǎn)介。
1868年貝爾特拉米(意,1835-1899年)《論非歐幾何學(xué)的解釋》,在“偽球面”模型上實(shí)現(xiàn)(片段上)羅巴切夫斯基幾何。1871年克萊因(德,1849-1925年)“圓”模型實(shí)現(xiàn)羅巴切夫斯基幾何,1882年龐加萊(法,1854-1912年)也對(duì)羅巴切夫斯基幾何給出了一個(gè)歐氏模型,克萊因-龐加萊圓。
1.3 射影幾何
將射影幾何變革為具有獨(dú)立目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家是龐斯列。綜合方法。1822年龐斯列(法,1788-1867年)的《論圖形的射影性質(zhì)》,探討圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì),闡述了連續(xù)性原理、對(duì)偶原理。
代數(shù)方法。1827年默比烏斯(德,1790-1868年)的《重心計(jì)算》中的齊次坐標(biāo),1829年普呂克(德,1801-1868年)的三線坐標(biāo)。
1847年施陶特(德,1798-1867年)的《位置幾何學(xué)》不借助長(zhǎng)度概念就得以建立射影幾何。凱萊(英,1821-1895年)和克萊因(德,1849-1925年)在射影幾何基礎(chǔ)上建立歐氏幾何和非歐幾何。
1.4 統(tǒng)一的幾何學(xué)
1872年克萊因(德,1849-1925年)在埃爾朗根大學(xué)的教授就職演講《關(guān)于近代幾何研究的比較考察》,闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的思想。
克萊因簡(jiǎn)介。1.5 幾何學(xué)的公理化
19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家重新審視《原本》時(shí)發(fā)現(xiàn)它有許多弱點(diǎn)。1899年希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》,提出了對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的統(tǒng)一幾何學(xué)的途徑:公理化方法。
希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的三原則:相容性、獨(dú)立性、完備性。
希爾伯特簡(jiǎn)介。2、19世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第二次高潮是從19世紀(jì)中葉開(kāi)始。李善蘭、華蘅芳等為中國(guó)近代科學(xué)事業(yè)的先行者。
2.1 李善蘭(清,1811-1882年)
李善蘭:1850年完成著作《垛積比類》,翻譯了《幾何原本》(1857)、《代微積拾級(jí)》(1859)和《代數(shù)學(xué)》(1859)。
2.2 華蘅芳(清,1833-1902年)
華蘅芳:1868年到江南制造總局翻譯館,翻譯了《代數(shù)術(shù)》(1872)、《微積溯源》(1874)和《決疑數(shù)學(xué)》(1880)。
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的早期傳播對(duì)中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的形成功效并不顯著。自19世 2 紀(jì)末開(kāi)始,一批中國(guó)留學(xué)生到日本、歐美學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),回國(guó)后創(chuàng)辦數(shù)學(xué)系,1919年“五四”運(yùn)動(dòng)前后,中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)稍具雛形。
第五篇:林壽數(shù)學(xué)史教案-第五講:文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)
第五講:文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)
1、文明背景 1.1 文藝復(fù)興
文藝復(fù)興是指14世紀(jì)意大利各城市興起,15世紀(jì)后期起擴(kuò)展到西歐各國(guó),16世紀(jì)在歐洲盛行的一場(chǎng)思想文化運(yùn)動(dòng)。在這歷時(shí)約200年的歷史中,揭開(kāi)了現(xiàn)代歐洲歷史的序幕,被認(rèn)為是中古時(shí)代和近代的分界,數(shù)學(xué)活動(dòng)也以空前的規(guī)模和深度蓬勃興起。
1.2 技術(shù)進(jìn)步
歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的主要成就之一,是在15世紀(jì)后半葉開(kāi)始產(chǎn)生近代自然科學(xué)。四大發(fā)明相繼傳入歐洲。1450年,德意志人古騰堡發(fā)明了金屬活字印刷術(shù),歐幾里得的《原本》1482年在威尼斯出版了第一個(gè)印刷版。
1.3 航海探險(xiǎn)
1488年,迪亞士(葡,1450-1500年)進(jìn)入印度洋,發(fā)現(xiàn)好望角。1498年,達(dá)?伽馬(葡,1469-1524年)到達(dá)印度海岸,找到了通向東方的新航路。1492年,哥倫布(西,1451-1506年)到達(dá)美洲。1519-1522年,麥哲倫(葡,1480-1521年)船隊(duì)完成了首次環(huán)球航行。
1.4 天文學(xué)的革命
哥白尼(波,1473-1543年)提出“日心說(shuō)”,1543年出版《天體運(yùn)行論》。布魯諾(意,1548-1600年)1584年在《論無(wú)限、宇宙及世界》提出了宇宙無(wú)限的思想。
2、文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)
近代始于對(duì)古典時(shí)代的復(fù)興,但人們很快看到,它遠(yuǎn)不是一場(chǎng)復(fù)興,而是一個(gè)嶄新的時(shí)代。
2.1 代數(shù)學(xué)
歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的,它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域,拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕。
帕西奧里(意,1445-1517年),1494年出版《算術(shù)集成》是一部數(shù)學(xué)百科全書,其中采用了優(yōu)越的記號(hào)及大量的數(shù)學(xué)符號(hào),推進(jìn)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。
塔塔利亞(意,1499-1557年)發(fā)表了《論數(shù)字與度量》(1556-1560),1 16世紀(jì)最好的數(shù)學(xué)著作之一,發(fā)現(xiàn)了三次方程的代數(shù)解法。
卡爾丹(意,1501-1576年)最重要的數(shù)學(xué)著作是1545年出版的《大術(shù)》,內(nèi)有三次、四次方程的解法。
邦貝利(意,1526-1573),意大利文藝復(fù)興時(shí)期最后一位代數(shù)學(xué)家,1572年出版《代數(shù)》,引進(jìn)了虛數(shù),正式給出了負(fù)數(shù)的明確定義。
施蒂費(fèi)爾(德,1487-1567年),16世紀(jì)德國(guó)最大的數(shù)學(xué)家,1544年《綜合數(shù)學(xué)》中指出:符號(hào)使用是代數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步。
韋達(dá)(法,1540-1603年),16世紀(jì)法國(guó)最大、最有影響的數(shù)學(xué)家,被西方稱為“代數(shù)學(xué)之父”,1591年出版《分析引論》是最早的符號(hào)代數(shù)專著。
2.2 三角學(xué)
在16世紀(jì),三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來(lái),成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。雷格蒙塔努斯(德,1436-1476年),1464年完成《論各種三角形》(1533年出版),是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的第一個(gè)完整、獨(dú)立的闡述。
韋達(dá)(法,1540-1603年),1579年《應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律》系統(tǒng)講述了各鐘三角函數(shù),1615年《截角術(shù)》系統(tǒng)化了球面三角和平面三角學(xué)。
2.3 射影幾何
文藝復(fù)興時(shí)期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動(dòng)力卻來(lái)自藝術(shù)。正是由于繪畫、制圖中提出的問(wèn)題的刺激導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科,誕生了射影幾何學(xué)。
阿爾貝蒂(意,1404-1472年),1435年發(fā)表《論繪畫》,闡述了最早的數(shù)學(xué)透視法思想,是射影幾何發(fā)展的起點(diǎn)。
德沙格(法,1591-1661年)主要著作是1639年《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》,射影幾何早期發(fā)展的代表作。
帕斯卡(法,1623-1662年)1640年《圓錐曲線論》(1779年發(fā)現(xiàn)),內(nèi)有帕斯卡定理:圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對(duì)邊交點(diǎn)共線。
射影幾何產(chǎn)生后很快讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分,他們的工作也漸被遺忘,遲至19世紀(jì)才又被人們重新發(fā)現(xiàn)。
2.4 對(duì)數(shù)
1585年史蒂文(荷,1548-1620年)著作《十進(jìn)算術(shù)》,系統(tǒng)地探討了十進(jìn)制記數(shù)及其運(yùn)算理論,并提倡用十進(jìn)制小數(shù)來(lái)書寫分?jǐn)?shù)。
納皮爾(蘇格蘭,1550-1617年)至少花了20年的時(shí)間,于1590年左右開(kāi)始寫關(guān)于對(duì)數(shù)的著作,1614年發(fā)表《奇妙對(duì)數(shù)規(guī)則的說(shuō)明》。
到16世紀(jì)末、17世紀(jì)初,整個(gè)初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型,文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合,為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路。3、15-17世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)
3.1 珠算
珠算盤是算籌的發(fā)展。珠算盤的記載最早見(jiàn)于元末陶宗儀的《南村輟(chuò)耕錄》(1366年)。
程大位(明,1533-1606年)1592年編著了《直指算法統(tǒng)宗》。從它流傳的長(zhǎng)久和廣泛方面來(lái)講,那是中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上任何著作也不能與之相比。
3.2 西方數(shù)學(xué)的傳入
西方數(shù)學(xué)在中國(guó)早期傳播的第一次高潮是從17世紀(jì)初到18世紀(jì)初(明末清初),標(biāo)志性事件是歐幾里得《原本》的首次翻譯。
最早來(lái)中國(guó)從事傳教活動(dòng)的是明萬(wàn)歷年間(1582年)來(lái)華的意大利傳教士利瑪竇(1552-1610年),被中國(guó)人尊稱為“西學(xué)東漸第一師”。
徐光啟(明,1562—1633年),中國(guó)近代科學(xué)的啟蒙大師。1607年,徐光啟與利瑪竇合作翻譯的歐幾里得《原本》前6卷出版?!稁缀卧尽肥侵袊?guó)近代翻譯西方數(shù)學(xué)書籍的開(kāi)始,相繼出現(xiàn)了許多歐洲數(shù)學(xué)著作。
3.3 明末的中國(guó)科技
李時(shí)珍(1518-1593年)《本草綱目》,徐光啟(1562-1633年)《農(nóng)政全書》,徐霞客(1586-1641年)《徐霞客游記》,宋應(yīng)星(1587-
?)《天工開(kāi)物》。