第一篇：【創新方案】2013年高考數學一輪復習 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線教案 理 新人教版選修4-1

第2講 圓周角定理與圓的切線

【2013年高考會這樣考】

考查圓的切線定理和性質定理的應用．

【復習指導】

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切

角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)圓周角：頂點在圓周上且兩邊都與圓相交的角．

(2)圓周角定理：圓周角的度數等于它所對弧度數的一半．

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)弦切角：頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊與圓相交的角．

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，1則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優弧BC

上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圓O的直徑為4.tan 60°

考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于22.3________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線

段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明

三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第二篇：【高考精品復習】選修4-1 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線

第【高考會這樣考】 2講 圓周角定理與圓的切線

考查圓的切線定理和性質定理的應用．

【復習指導】

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D

是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大

小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與

圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝3，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圓

O的直徑為4.tan ∠AOP答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第三篇：選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

第【復習指導】 2講 圓周角定理與圓的切線

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點

A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓

O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則

圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若ABAP3tan 60°＝2，故圓O的直徑為4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從

而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第四篇：2015屆高考數學總復習幾何證明選講第2課時 圓的進一步認識課時訓練 新人教A版選修4-1

選修4－1 幾何證明選講第2課時 圓的進一步認識(理科專用)

1.如圖，在半徑為7的圓O中，弦AB、CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD

＝1，求圓心O到弦CD的距離．

解：連結OD，取CD的中點M.則圓心O到弦CD的距離為OM.4＋15由相交弦定理得PA·PB＝DP·PC，解得PC＝4，所以MD＝＝.2

25?233所以OM＝OD2－MD2＝7－?＝＝.?2?42

2.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若

CEAB＝3AD，求的值． EO

AB221解：設圓的半徑為R，則AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE333

3OD2118CE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.OC999EO

3.如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分別求PD、AB的值．

解：由PD∶DB＝9∶16，可設PD＝9x，DB＝16x.因為PA為圓O的切線，所以PA2＝PDPB，11所以32＝9x(9x＋16x)，化為x2＝，所以x＝.25

59所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.5

因為AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，所以AB⊥PA.所以AB＝PB2－PA2＝52－32＝4.4.如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的值．

解：連結OA，則∠AOC＝60°，∠OAP＝90°，因為OA＝1，所以PA＝3.5.自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA的中點，過M引割線交圓于B、C兩點．求證：∠MCP＝∠MPB.證明：∵ PA與圓相切于A，PMMB＝.MC

PM

∴ MA2＝MB·MC.又M為PA的中點，∴ PM＝MA，∴ PM2＝MB·MC，∴ ∵ ∠BMP＝∠PMC，∴ △BMP∽△PMC，∴ ∠MCP＝∠MPB.16.如圖，圓O的兩條弦AC、BD互相垂直，OE⊥

AB，垂足為E，求證：OE＝CD.證明：連結AO并延長交圓O于F，則AF為圓O的直徑，連結BF、CF，則∠ABF＝

∠ACF＝90°.∵ OE⊥AB，又O為AF的中點，∴ E為AB的中點，∴ OE＝BF.∵ ∠

︵︵

1ACF＝90°，∴ AC⊥CF.又AC⊥BD，∴ BD

∥CF，則DC＝BF，∴ DC＝BF，∴ OE＝CD.7.如圖，AB是圓O的直徑，C、F為圓O上的點，且CA平分∠BAF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D.求證：DC是圓O的切線．

證明：連結OC，所以∠OAC＝∠OCA.又CA平分∠BAF，所以∠OAC＝∠FAC，所以∠FAC＝∠OCA，所以OC∥AD.又CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以DC是圓O的切線．

8.如圖，圓O1與圓O2交于M、N兩點，直線AE與這兩個圓及MN依次交于A、B、C、D、E.求證：AB·CD＝BC·DE.證明：因為A、M、D、N四點共圓，所以AC·CD＝MC·CN.同理，有BC·CE＝MC·CN，所以AC·CD＝BC·CE，即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，所以AB·CD＝BC·DE.9.如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交CD的延長線于點P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的長；(2)求證：BE＝EF.(1)解：∵ PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴ PD＝4.又PC＝ED＝1，∴ CE＝2.∵ ∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，PCAC

∴ △PAC∽△CBA，∴ ＝，ACAB

∴ AC2＝PC·AB＝2，∴ AC＝2.(2)證明：∵ BE＝AC2，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，2×

1∴ EF＝2，∴ EF＝BE.10.如圖，AB是圓O的直徑，D、E為圓上位于AB異側的兩點，連結BD并延長至點C，使BD＝DC，連結AC、AE、DE.求證：∠E＝∠C.證明：連結AD.∵ AB是圓O的直徑，∴ ∠ADB＝90°.∴ AD⊥BD.∵ BD＝DC，∴ AD是線段BC的中垂線． ∴ AB＝AC.∴ ∠B＝∠C.又∵ D、E為圓上位于AB異側的兩點，∴ ∠B＝∠E.∴ ∠E＝∠C.11.如圖所示，AB是圓O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AB的垂線交AC的延長線于點E、交AD的延長線于點F，過G作圓O的切線，切點為H.求證：

(1)C、D、F、E四點共圓；(2)GH2＝GE·

GF.證明：(1)如圖，連結BC.∵ AB是圓O的直徑，∴ ∠ACB＝90°.∵ AG⊥FG，∴ ∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴ ∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC＝∠AEG.∴ ∠FDC＋∠CEF＝180°.∴ C、D、F、E四點共圓．

(2)∵ GH為圓O的切線，GCD為割線，∴ GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四點共圓，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，GCGE

∴ △GCE∽△GFD.∴，GFGD

即GC·GD＝GE·GF，∴ GH2＝GE·

GF.

第五篇：2015屆高考數學大一輪復習幾何證明選講精品試題 理(含2014模擬試題)

精品題庫試題

理數

1.（2014重慶一中高三下學期第一次月考，14）（原創）如圖，在，是的長為。的中點，于，的延長線交

中，的外接圓于，則，[解析] 1.在Rt△ABC中，, 解得;同理可得, 由射影定理可得，得.根據割線定理可得, 得, 所以.2.(2014天津薊縣第二中學高三第一次模擬考試，14)如圖, 圓于、兩點，且與直徑

交于點，切圓于點，則, 交

.1

[解析] 2.根據相交弦定理可得理可得①②聯立得PB=15.①.在Rt△DTP中，結合條件可得DT=9.根據切割線定

②.3.(2014天津薊縣邦均中學高三第一次模擬考試，14)如圖，點P在圓O直徑AB的延長線上，且PB=OB=2, PC切圓O于C點，CD

AB于D點，則CD=.[解析] 3.根據切割線定理可得OC, 在Rt△OCP中, 根據射影定理可得PC= CD=

22, 得, 得PD=3, 又因為

..連接, 所以CD的長為4.(2014重慶楊家坪中學高三下學期第一次月考，14)如圖，割線，若，，則、為⊙O的兩條

等于____________.[解析] 4.由割線定理得，所以，解得或（舍去），2

由～，所以，所以，解得.5.(2014湖北黃岡高三4月模擬考試，15)（選修4-1：幾何證明選講）已知點直徑的演唱線上，直線，則

與圓

相切于，的平分線分別交、在圓于的、兩點，若.[解析] 5.因為為圓的切線，由弦切角定理，則，又因為平分，則，所以，根據三角形外角定理，因為是圓的直徑，則，所以是等腰直角三角形，所以.6.（2014廣東汕頭普通高考模擬考試試題，15）如圖，點①結論的序號是___________., 延長與圓

交于另一點 , ②, , 分別與圓切于，給出下列三個結論：，③

～, 其中正確 3

[解析] 6.如圖，錯，所以正確的序號為①②.,，所以③范圍.7.(2014廣東廣州高三調研測試，14)（幾何證明選講選做題）

如圖4，則為⊙的直徑，弦交于點.若，的長為_______.[解析] 7.由已知可得，，由相交弦定理得：，所以

8.(2014北京東城高三第二學期教學檢測，10)如圖，割線與直徑相交于

點.已知∠

=，與圓相切于，不過圓心, 則圓的的半徑等于_______.4

[解析] 8.由題意可得：.從而, 又因為。由切割線定理，所以可得，所以，所以.故直徑.再由相交弦定理，從而半徑為7.9.(2014重慶銅梁中學高三1月月考試題，16)如圖，圓心，弦于點，則

切⊙O于點_________.，割線經過

[解析] 9.依題意，由切割線定理，所以，即，所以圓的半徑，由為切線，所以，所以，又弦于點，所以.10.（2014湖北八校高三第二次聯考數學（理）試題，15）（選修4-1：幾何證明選講）如圖，△ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BD//AC． 過點A 作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F．若AB = AC，AE = ______．，BD = 4，則線段CF的長為 5

[解析] 10.根據切割線定理可得，代入數據得EB=5.因為AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因為EA是切線，根據同弧對應的圓周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因為BE//AC，所以四邊形ACBE為平行四邊形，所以AC=EB=5，BC=EA=.因為AC//BD，所以可得弧AB與弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入數據得.11.(2014重慶五區高三第一次學生調研抽測，14)如圖，的延長線上，與半圓相切于點，若

是半圓，的直徑，則

在.[解析] 11.延長，又，所以.12.(2014山西忻州一中、康杰中學、臨汾一中、長治二中四校高三第三次聯考，22)選修 6

4-1：幾何證明選講

如圖，過圓外一點作一條直線與圓交于兩點，且，作直線與圓相切于點，連結

交

于點，已知圓的半徑為2，（1）求的長；

（2）求證：.[解析] 12.（1）延長交圓于點，連結，則，又，所以，又可知，所以

根據切割線定理得，即.7

⑾證明：過作于，則，從而有，又由題意知

所以，因此，即

13.(2014山西太原高三模擬考試

（一），22)選修4一1：幾何證明選講

如圖，已知PA與⊙O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B，C，∠APC的平分線分別交AB、AC于點D、E.（Ⅰ）證明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值.[解析] 13.8

14.(2014河北石家莊高中畢業班復習教學質量檢測

（二），22)選修4—1：幾何證明選講：如圖，已知于、為圓的一條直徑，以端點作垂直于

為圓心的圓交直線

于

于點.、兩點，交圓兩點，過點的直線，交直線（Ⅰ）求證：、、、四點共圓；

（Ⅱ）若，, 求外接圓的半徑.[解析] 14.（Ⅰ）因為為圓一條直徑，所以，又，故、、、四點在以為直徑的圓上，所以，、、、四點共圓.（4分）

（Ⅱ）因為與圓相切于點，由切割線定理得 , 即，9

所以

又, 則, 得，連接, 由（1）可知為的外接圓直徑，, 故的外接圓半徑為.（10分）

15.(2014河北唐山高三第一次模擬考試，22)選修4―1: 幾何證明選講

如圖，點.是圓的切線，是切點，于，過點的割線交圓于、兩（Ⅰ）證明：，，四點共圓；

（Ⅱ）設，求的大小.[解析] 15.（Ⅰ）連結，則.由射影定理得，由切割線定理得，故，即，又，所以～，所以.10

因此，，四點共圓.（6分）

（Ⅱ）連結.因為，結合（Ⅰ）得

.（10分）

16.(2014貴州貴陽高三適應性監測考試, 22)【選修4－1：幾何證明選講】

如圖，.是圓的直徑，弦、的延長線相交于點，垂直的延長線于點（Ⅰ）求證：；

(Ⅱ)求證：.[解析] 16.（Ⅰ）連結，因為為圓的直徑，所以，又，11

則四點共圓，所以.(5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，連結，又∽，所以

即，所以.（10分）

17.(2014黑龍江哈爾濱第三中學第一次高考模擬考試，22)選修4-1：幾何證明選講

如圖，是的⊙直徑，與⊙相切于，為線段上一點，連接、分別交⊙于、兩點，連接交于點.（Ⅰ）求證：、、、四點共圓.（Ⅱ）若為的三等分點且靠近，，求線段的長.[解析] 17.（Ⅰ）連結，則，12

所以，所以，所以四點共圓.（5分）

（Ⅱ）因為，則，又為的三等分點，，又因為，所以，.（10分）

18.（2014吉林實驗中學高三年級第一次模擬，22）選修4—1幾何證明選講: 如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F。

（I）求證：DE是⊙O的切線；

（II）若的值.[解析] 18.22．（I）證明：連結OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分 ∴OD//AE 又AE⊥DE

…………………………………3分 ∴OE⊥OD，又OD為半徑

∴DE是的⊙O切線 ………………………5分

（II）解：過D作DH⊥AB于H，13

則有∠DOH=∠CAB

…………6分

設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

19.(2014河南豫東豫北十所名校高中畢業班階段性測試

（四）數學（理）試題, 22)選修4-1: 幾何證明選講．

如圖，AB是于點G． 的一條切線，切點為B，ADE、CFD都是的割線, AC =AB，CE交(I)證明：(Ⅱ)證明：FG//AC.；

[解析] 19.20.(2014吉林省長春市高中畢業班第二次調研測試，22)選修4—1：幾何證明選講．

如圖，是圓的直徑，是延長線上的一點，是圓 的割線，過點作的垂線，交直線于點，交直線

于點，過點作圓的切線，切點為.（1）求證：四點共圓；（2）若, 求的長.[解析] 20.（1）證明：連結，∵是圓的直徑，15

∴，在和中，又∵ ∴

∴四點共圓。

（2）∵四點共圓，∴

∵是圓的切線，∴ ∴

又因為 ∴

∴.答案和解析

理數

[答案] 1.[解析] 1.在Rt△ABC中，, 解得;同理可得, 由 16

射影定理可得，得.根據割線定理可得, 得[答案] 2.15 , 所以.[解析] 2.根據相交弦定理可得理可得①②聯立得PB=15.①.在Rt△DTP中，結合條件可得DT=9.根據切割線定

②.[答案] 3.[解析] 3.根據切割線定理可得OC, 在Rt△OCP中, 根據射影定理可得PC= CD=[答案] 4.6

22, 得, 得PD=3, 又因為

..連接, 所以CD的長為[解析] 4.由割線定理得，所以，解得或（舍去），由～，所以，所以，解得.[答案] 5.[解析] 5.因為為圓的切線，由弦切角定理，則，又因為平分，則，17

所以，根據三角形外角定理，因為是圓的直徑，則，所以是等腰直角三角形，所以[答案] 6.①②

.[解析] 6.如圖，錯，所以正確的序號為①②.,，所以③范圍.[答案] 7.1 [解析] 7.由已知可得，，由相交弦定理得：[答案] 8.7，所以

[解析] 8.由題意可得：.從而, 又因為。由切割線定理，所以可得，所以，所以.故直徑.再由相交弦定理，從而半徑為7.[答案] 9.[解析] 9.依題意，由切割線定理，所以，即，18

所以圓的半徑，由為切線，所以，所以，又弦于點，所以.[答案] 10.[解析] 10.根據切割線定理可得，代入數據得EB=5.因為AB=AC，可得∠C=∠ABC，又因為EA是切線，根據同弧對應的圓周角相等可得，∠C=∠EAB，所以可得∠EAB=∠ABC，所以可得EA//BC，又因為BE//AC，所以四邊形ACBE為平行四邊形，所以AC=EB=5，BC=EA=.因為AC//BD，所以可得弧AB與弧CD相等，所以可得∠FACA=∠ACB，所以△AFC∽△BAC，可得，代入數據得.[答案] 11.[解析] 11.延長，又，所以.[答案] 12.查看解析

[解析] 12.（1）延長交圓于點，連結，則，19

又，所以，又可知，所以

根據切割線定理得，即.⑾證明：過作于，則，從而有，又由題意知

所以，因此，即

[答案] 13.查看解析

[解析] 13.[答案] 14.查看解析

[解析] 14.（Ⅰ）因為為圓一條直徑，所以，又，故、、、四點在以為直徑的圓上，所以，、、、四點共圓.（4分）

（Ⅱ）因為與圓相切于點，由切割線定理得 , 即，所以

又, 則, 得，連接, 由（1）可知為的外接圓直徑，, 故的外接圓半徑為.（10分）

[答案] 15.查看解析

[解析] 15.（Ⅰ）連結，則.由射影定理得，由切割線定理得，故，即，又，所以～，所以.因此，，四點共圓.（6分）

（Ⅱ）連結.因為，結合（Ⅰ）得

.（10分）[答案] 16.查看解析

[解析] 16.（Ⅰ）連結，因為為圓的直徑，所以，又，則四點共圓，所以.(5分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，連結，22

又∽，所以

即，所以

.（10分）

[答案] 17.查看解析

[解析] 17.（Ⅰ）連結，則，，所以，所以，所以四點共圓.（5分）

（Ⅱ）因為，則，又為的三等分點，，又因為，所以，.（10分）

[答案] 18.查看解析

[解析] 18.22．（I）證明：連結OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分∴OD//AE 又AE⊥DE

…………………………………3分 ∴OE⊥OD，又OD為半徑

∴DE是的⊙O切線 ………………………5分

（II）解：過D作DH⊥AB于H，23

則有∠DOH=∠CAB

…………6分

設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，由△AED≌△AHD可得AE=AH=7x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

[答案] 19.查看解析 [解析] 19.24

[答案] 20.查看解析

[解析] 20.（1）證明：連結，∵是圓的直徑，∴，在和中，又∵ ∴

∴四點共圓。

（2）∵四點共圓，∴

∵是圓的切線，∴ ∴又因為 ∴

∴.25