第一篇：初中數學“數學建模”的教學研究

初中數學“數學建模”的教學研究

張思明（北大附中，數學特級教師）鮑敬誼（北大附中數學學科主任，高級教師）

白永瀟（北京教育學院數學教師）

一、什么是數學建模？

1.1數學建模（Mathematical Modeling）是建立數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱，有代表的定義如下：

（1）普通高中數學課程標準中認為，數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育的重要內容和基本內容。

（2）葉其孝在《數學建模教學活動與大學數學教育改革》一書中認為，數學建模(Mathematical Modeling)就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學問題(也可稱為一個數學模型)，求解該數學問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環、不斷深化的過程。

兩種定義的區別在于課程標準對數學建模的定義沒有強調建立特定的解決問題的數學模型。數學建模的過程中當然會運用數學思想、方法和知識解決實際問題，但僅僅如此很難稱得上是“數學建模”。處理很多事情，比如法律和組織上的問題，常常會用到分類討論的思想、轉化的思想、類比的思想，而并沒有建立數學模型，這就不能說是進行了數學建模。這里所談（實際上，同大部分人認為的一樣）的數學建模，其過程是要建立具體的數學模型的。

什么是數學模型？根據徐利治先生在《數學方法論選講》一書中所談到，所謂“數學模型”（Mathematic Model）是一個含義很廣的概念，粗略的講，數學模型是指參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一個數學結構。廣義的說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程以及由之構成的算法系統都可以稱為數學模型；狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。

本論文所談到的數學建模，其過程一定是建立了一定的數學結構。

另外，我們所談的數學建模主要側重于解決非數學領域內的問題。這類問題往往來自于日常生活、經濟、工程、醫學等其他領域，呈現“原胚”狀態，需要分析、假設、抽象等加工，才能找出其隱含的數學關系結構。

一般地，數學建模的過程可用下面的框圖表示：

1.2什么是中學數學建模？

這里的“中學數學建模”有兩重含義。

一是按數學意義上的理解、在中學中做的數學建模。主要指基于中學范圍內的數學知識所進行的建模活動，同其它數學建模一樣，它仍以現實世界的具體問題為解決對象，但要求運用的數學知識在中學生認知水平內，專業知識不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教學價值。

二是按課程意義理解，它是本文要展開討論的，一種要在中學中實施的特殊的課程形態。它是一種以“問題引領、操作實踐”為特征的活動型課程。學生要通過經歷建模特有的過程，真實地解決一個實際問題，由此積累學數學、用數學的經驗，提升對數學及其價值的認識。其設置目的是希望通過教師對數學建模有目標、有層次的教與學的設計和指導，影響學生的學習過程，改變傳統的學習方式，實現激發學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發展學生創新精神，培養學生應用意識和應用數學的能力，最終使學生提升適應現代社會要求的可持續發展的素養。

二、數學建模進入中學課堂的背景

（一）數學建模從大學到中學的歷程

1.大學開設數學建模課程以及大學生數學建模競賽的開展。

目前，數學建模在大部分高校已經成為數學專業的必修課，其它工科、金融、社會學科的選修課程。而且，與計算機技術相結合，大學開設了數學實驗課程。

美國的大學生數學建模競賽有MCM（Mathematical Contestin Modeling）和ICM（Interdisciplinar yContestin Modeling），我國的有全國大學生數學建模競賽(CUMCM)（China Undergraduate Mathematical Contestin Modeling)。

2．數學建模從大學進入中學。

1988年，第六屆ICME就把“問題解決、建模和應用”列入大會七個主要研究課題之一，認為“問題解決、建模和應用必須成為從中學到大學——所有學生的數學課程的一部分。”

美國科學院下屬的國家研究委員會在1989年發表的調查報告《關于未來數學教育的報告》中，把“數學建模進入中學”列為數學教育改革最急需的項目。

（二）國外中學數學建模相關課程的發展

很多國家在中學開設了類似“數學建模”的數學應用課程，將數學知識和現實生活中的問題融合起來進行學習，形成了各具特色的中學數學課程。

1．美國——兩種課程模式。

（1）以項目為中心的學習(Project-Based Learning)

強調長期的、跨學科的、以學生為中心的學習活動，并結合現實世界中的問題與實踐進行教學。

（2）以問題為中心的學習(Problem-Based Learning)

是一種關注經驗的學習，它圍繞現實生活中的一些結構不明確的問題展開調查，并尋求解決方法。

1991年美國出版了由Frank Swetz和JeffersonS.Hartaler編的《中學課程中的數學建模—課堂練習資料導引》。此書介紹了自1975年以來美國的中學數學教學是如何強調問題解決和數學建模的，簡要分析了問題解決和數學建模的關系，指出在中學發展數學建模活動的必要性和可能性。

2．英國——課程整合。其主要內容是： ①從現實生活題材中引入數學；

②加強數學和其他科目的聯系；

③打破傳統格局和學科限制、允許在數學課中研究與數學有關的其他問題。在課程標準下，將“運用和應用數學”單獨列為一項成績目標，貫穿于整個數學課程之中。“運用和應用數學”十分注意面對解決實際問題與日常生活中的問題，包括提出問題、設計任務、做出計劃、收集信息、選用數學、運用策略、獲得結論、檢驗和解釋結果等環節，而不是局限在書本上現成的“問題”。例如，為研究最好的儲蓄方式（或地點），就要去調查各家銀行不同存款形式、期限的利率等。

3．日本——課題學習。

受美國“問題解決”等因素的影響，日本教育界提出了“課題學習”（Problem Situation Learning）。“課題學習”于1989年作為中學數學教學內容寫進了《中學數學學習指導要領》，自1993年4月開始在初中二、三年級中開始實施。

為了配置“課題學習”的實施，1993年日本出版了6套初中數學科書，共設置255個課題。大阪教育大學松宮哲夫先生提出了CRM(Composite Real Mathematics)型課題學習，特別重視課題的現實性，積極主張從現實世界中的問題情境出發進行課題學習。提出“湖水中的數學”、“高層建筑中的數學”、“田徑場中的數學”、“交通安全中的數學”、“鐵路運輸中的數學”等課題。

日本第15屆中央教育審議會在1996年提出了要在中小學設置綜合課程的建議，經過論證后修訂了中小學《學習指導綱要》，規定小學（從三年級開始）和初中從2002年開始，高中從2003年開始正式開設綜合學習課程。綜合活動課程不是課外活動，而是利用教學時間進行的正式課程。它沒用既定的教學目標和教科書。各校根據自己的興趣等選擇學習內容。

4．法國——多樣化途徑（初中）有指導的學生個人實踐活動（高中）。

1994年，法國開始進行中小學校的課程改革，增加了“多樣化途徑”課程，并于1995年-1996年首次在初二年級實施。

1999年，法國政府又規定，將這一實驗從初二推向初三，規定在初三年級增加“綜合實踐課程”，并且設為必修課。

2002年，法國幾乎所有的高中二年級都開始進行“有指導的學生個人實踐活動”。5．國際數學教育大會對數學建模的重視。

在近幾屆的國際數學教育大會（ICME）上，數學建模與應用都有固定的專題分組。1996年6月在西班牙召開的第八屆ICME大會上，不僅有歐美國家的數學建模的專題報告和經驗介紹，也有巴西這樣的發展中國家的代表介紹巴西國內10年來數學建模的發展情況。我國代表葉其孝教授在“數學建模與應用專業組”報告中，介紹了我國首創的中學數學知識應用競賽的情況。

（三）國內中學數學建模的發展

中學數學建模競賽的開展，展示了數學建模在培養學生方面的特殊作用，產生了巨大的影響，對數學建模課程進入中學起了積極的推動作用。從1991年以來，上海市舉辦了“金橋杯”中學生數學知識應用競賽；北京市在1994年第一屆“方正杯”中學生數學知識應用競賽，從1997年開始，由北京數學會等五家單位組織，把《高中數學知識應用競賽》作為正式的科普活動，定期開展。

北京市數學會從1994年起，組織了“中學數學教學改革和數學建模”討論班；經過研討形成一批教學素材，在北京師范大學的“數學學校”中進行了教學建模案例實踐。評價中，高考逐年加大了對數學應用能力的考察力度。教學中，“研究性學習”、“課題學習”、“數學建模”等教學方式陸續提出。

（四）課堂教學的嘗試和教學資源的發展歷程

?1993年，北大附中采用葉其孝引進的美國建模教材，組織部分同學在課外活動的時間開始開展數學建模活動。

?1997年，北大附中有了正式選修課，積累了一批案例資源作為教學之用，并為高中數學課程標準中數學建模內容的制訂，提供了經驗和案例。

?1997年，葉其孝主編的《中學數學建模》出版。

?2000年9月，張思明編著的《中學數學建模的實踐與探索》出版。?2002年12月，《北京高中數學知識應用競賽試題及解析》出版。?2003年，《中學生研究性學習案例---中學生數學建模論文選編》出版。

?2003年，數學建模被寫進有教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》，成為高中數學正式的學習內容。

?2004年，張思明、白永瀟編著的《數學課題學習的實踐和探索》出版。?2006年，拍攝17集專題片《數學建模走進中學課堂》。

?2007－2009年，在全國部分地區的“數學新課程的網上培訓”課程中，數學建模成為培訓內容之一。

?2008年，北京“數學建模”雙課堂“實驗，依托網絡、真實課堂和虛擬課堂結合的中學數學建模課程，探索了中學數學建模教學的可操作模式。

三、《義務教育數學課程標準（修訂稿）》和高中數學課標中有關數學建模的內容 教育部新啟動的《義務教育階段數學課程標準》的修訂中，東北師大史寧中校長提議，將原來的“雙基”增加到“四基”，增加了“基本數學活動經驗和基本數學思想”。基本活動經驗是指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。另外，《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》在“數與代數”的內容中提出了“要初步形成模型思想”，對“綜合與實踐”部分內容加以明確并提供了具體課例。上述變化正是課標對培養學生數學應用能力的應措。相比數學建模，綜合與實踐部分是學習數學建模的最初階段，因此內容包含的更加基本、廣泛，下面我們將分別介紹全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出的“模型思想”，“綜合與實踐”的內容，以及內容在實驗稿基礎上的變化，最后在通過實例來說明綜合與實踐部分的學習內容。

（一）模型思想

2007年12初全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出在“數與代數”的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

（二）與實驗稿相比“綜合與實踐”部分的變化

目的和內涵進一步明確，統一了名稱，給出了明確的定義：“綜合與實踐”，是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數學活動經驗、培養學生應用意識與創新意識的重要途徑。針對問題情境，學生綜合所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數學各部分內容之間、數學與生活實際之間、數學與其他學科之間的聯系，加深對所學數學內容的理解。

明確要求“綜合與實踐”應當保證每學期至少一次。三個學段“綜合與實踐”的要求和教學目標有了差異。

（三）“綜合與實踐”的常用教學形式和案例

按照教學內容不同，“綜合與實踐”可以分為兩種內容形式：體現數學知識內部聯系；體現數學與生活和其它學科聯系。

若按照活動開展的地點不同，可以分為課堂內、課堂內外結合、課堂外三種形式。（可見下表）

解決數學內部問題

解決數學外部問題（生活、的綜合與實踐活動 其他學科等）的綜合與實踐

活動

課堂內進行的綜合與實踐活動

例80--用幾何研究代數、例78--看圖說故事

課堂內外結合進行的綜合與實踐活動 課堂外進行的綜合與實踐活動

（四）《高中數學課程標準》中關于數學建模的定位

在《高中數學課程標準》的研制過程中，對是否增加數學建模的要求是有爭議的。一些專家認為，中學數學是打基礎的階段，核心是學好將來需要的基礎知識，應用不必強調，強調了也沒有用——在大躍進時期我們曾強調過“理論聯系實際”，文革中我們的教學內容里加入了類似“三機一泵”，地主如何算“變天帳”一類的內容，弱化了基礎理論的學習，效果是不好的。但一批數學家深刻注意到了數學的發展和變化，姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等先生都分別撰文闡明在中學培養學生數學應用能力的重要性。我們多年開展中學數學建模競賽和中學數學建模教學的實踐也證明了，數學建模對培養中學生應用能力的良好作用。種種努力，使數學建模最終成為新高中數學標準中規定的高中數學內容的一部分。

新高中數學標準在基本理念的第5條即是發展學生的數學應用意識，認為高中數學課

例46--空間想象與分類計數。

例77--包裝盒中的數學 例79--利用樹葉的特征對樹木分類 例21--鈕扣分類

例75--直覺的誤導 例76--從年歷中想到的 程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建模”的學習活動，設立體現數學某些重要應用的專題課程。高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。由此在數學內容中特別加入了：數學探究、數學建模。這些內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中。標準要求高中階段至少各應安排一次較為完整的數學探究、數學建模活動。

這里標準中談到的數學建模，內容即是一般意義上的數學建模。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育重要和基本的內容。數學建模可以通過以下框圖體現：

數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。

課程標準提出的教學要求是：

1．在數學建模中，問題是關鍵。數學建模的問題應是多樣的，應來自于學生的日常生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應與高中數學課程內容有聯系。

2．通過數學建模，學生將了解和經歷上述框圖所表示的解決實際問題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力。

3．每一個學生可以根據自己的生活經驗發現并提出問題，對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發展創新意識。

4．學生在發現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取信息。5．學生在數學建模中應采取各種合作方式解決問題，養成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗。

6．高中階段至少應為學生安排1次數學建模活動。還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建模活動與綜合實踐活動有機地結合起來。

標準未對數學建模的課時和內容做具體安排。學校和教師可根據各自的實際情況，統籌安排數學建模活動的內容和時間。例如，可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建模活動。

四、如何在初中開展數學建模

（一）數學建模與數學應用題的區別

與傳統應用題相比，數學建模所解決的問題往往呈現一種“混沌”狀態，沒有明顯的數據和關系可用，所給的條件也不一定有用，得出的結論往往不唯一，建立的數學模型也要在實踐中反復修改驗證，由于具有這些特點，數學建模是學習“數學應用”的最佳方式之一，能讓學生更好地體驗數學是怎樣運用于實際的過程，形成他們的數學經驗。

我們之所以要在初中滲透數學建模，一個很重要的理念是，要培養學生的實踐能力，需要綜合的利用知識，如果僅僅滿足于在每一個具體的領域里，介紹具體領域的知識，可能就沒有給學生綜合使用知識的一個機會，另外，數學的發展非常關注應用，用數學去解決其他學科和領域的問題，用數學去解決我們日常生活的問題，這都是數學發展越來越重視的一件事情，怎么利用數學的知識，去解決生活中其它學科中的問題，我們需要有一個平臺，讓學生利用這個平臺，去做這件事情。其次是對學生創新能力的培養，而創新的基礎是需要有問題的，是需要解決問題，是需要在解決問題的過程中，提出自己的想法，而綜合與實踐活動，恰恰就為學生這方面的能力，提供了一個可操作的，可以實踐的一個平臺。

對比第三階段的綜合與實踐活動的要求，有哪些相對于前兩階段的提升？一個是能夠結合實際情況，經歷設定解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型，解決問題的過程，建立模型，并嘗試發現問題，提出問題，這是一個比較高一點的要求，在前兩個學段，主要是學生一起做老師提供的已經在課本上給好的問題，在這個初中要嘗試，看學生自己能不能提出一些有價值的問題。要把數學建模的目標，和學生增長數學學習的經驗，改進學生學習的方式聯系起來，那么還提出要會反思，參與活動的全過程，會把研究的過程和解決形成報告和小論文，并進行交流，進一步獲得社會活動的經驗，要求結果要形成一個有價值的數學結果，像個小論文。

（二）初中數學建模的四個環節

第一個環節是提出問題，第二個環節是探求解題的途徑，第三個環節是操作實踐，第四個是反思交流評價。也可以簡單地用“選題，開題，作題，解題”這樣的操作方式來表達。具體來做數學建模的教學設計的時候，一個是要有一個清晰的線索，這個線索就是過程設計，核心是個問題，在問題引領下，突出活動。一個是“做”，不是老師做，是學生做，所以要圍繞著做來設計，一個是“過程”，過程要讓學生更多地參與，在過程中有所發現，有所收獲，最后，要積累經驗。

（三）數學建模的評價

可以通過幾個不同的維度來評價。第一是過程，就是學生能不能完整地完成這個過程，老師給了問題以后，或者我們自己提出的問題也好，首先把問題說清楚，第二件事，要有思路，我們能不能把這個思路說清楚，就是我打算怎么做，先拿紙試，然后拿布裁，然后發現什么問題再怎么解決，在解決的過程中，會用到哪些數學，要先有一個設計。我們看學生是不是能在真正做之前，把這問題想一想清楚，然后就是做，最后就是做的結果的展示。萬一出了問題，還可以有改進的一些思考。另外就是能不能拓展。第二是看數學用得怎么樣，包括是不是正確，是不是科學，是不是好，能不能改進的問題；比如說還可以考慮，因為我們畢竟是做實踐的東西，是否考慮到精度，是不是考慮到節約，是不是考慮到優化。第三就是情感態度價值觀。學生做一件事情的關注度，投入度，興奮度如何，也許做的并不太好，但是他非常專注，他不會的地方會向別人請教，而請教的態度非常好，他還可以去翻書和查資料等等。

將以上內容進行歸納，在數學建模評價中，我們不僅要關注結果，更要關注過程、關注學生的差異、學生個性的彰顯、學生在建模前后發生的變化。出可以從以下幾個角度入手觀察、評價：學生提出問題是否有新意，操作求解是否有創意，合作學習是否有效率，結果呈現是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收獲，興趣動力是否有增強，數學素養是否有提高。

（四）初中數學建模的若干簡要案例

4.1初中數學建模學習案例1：——與自行車有關的問題（小組學習實踐）課題：了解自行車中的數學問題，應用學過的數學知識，解決以下問題。問題1：用自己或同學的一輛自行車為觀察對象，觀察并解決下列問題：（1）我觀察的這輛自行車是什么牌子的？

（2）它的直徑是cm，輪子轉動一周，在地面走過的距離是____________cm，精確到1cm。

（3）自行車中軸的大齒輪盤的齒數是_________齒，后軸的小齒輪（飛輪）的齒數是_____________，中軸的大齒輪被踏動一周時，后軸的小齒輪在鏈條傳動下，不計算慣性將轉動_____________周（保留2位小數）。

問題2：如果你有自行車，并騎車上學，你能借助于自行車，測量出從你的家到學校的路程嗎？請你設計一個測量方案，并盡可能地通過實際操作測量出從你的家到學校的路程。

問題3：如果你的（或你的朋友）自行車是可以變速的自行車（如山地車、多飛輪的自行車）、請你觀察一下在這輛自行車上有幾個（中軸上的）大輪盤，幾個飛輪，它們都各有多少齒？記錄這些數據。如果你騎車時每一秒腳蹬一圈，請你根據上面測量的數據計算出這輛自行車運行時最大的速度和最小的速度各是每小時多少公里？

選做問題4：你認為對問題3中的自行車的各個齒輪的齒數安排的合理嗎？你能發現或提出什么樣的問題？如果有可能請你做設計改進的話，你會做什么？

求解工作的表格省略。

4.2初中數學建模案例2：——線路設計問題（自學、探索、創新實踐）課題：為所在小區設計一個最佳的郵政投遞路線，一個合理的保安巡邏路線。實施建議：

1．按居住地成立4-6人的小組，對你們要研究的小區，進行觀察，收集必要的數據和信息，(如平面圖，樓的門洞的朝向，道路情況，小區的進出口位置等).發揮各自的特長，分工合作完成測量方案的設計、實測、作圖、計算、論證、比較、計算機文稿錄入、結果介紹等。

2．復習必要的知識，如一筆畫方法，最短郵路的畫法和算法等。

3．畫出小區的平面示意圖，(最好復印一下，以避免后面畫壞時重畫)，在圖上完成郵政投遞路線的設計，(使郵遞員走的路線最短)。

4．實踐環節：先不加思索按投遞要求隨意地走一遍，再按你設計的路線，實際走一遍，測算出路程看一看相差多少(記錄數據)? 創新實踐項目:為你們居住的小區設計一個合理的保安巡邏路線、或合理的送奶的路線。首先思考“合理”的含義。

4.3初中數學建模案例3：——穿衣鏡的最佳設計（個人的創意與設計）

課題：自己提出幾個有關穿衣鏡設計的問題，給出你們認為最合理、最佳、最有創意的設計方案或解決辦法。

實施建議：

1.成立工作小組，討論本小組的工作目標、分工。

2．有可能的話到家具店、超市、（別忘了帶尺子或相機）有關雜志或網站上收集一點相關資料，可以發現問題或提出你們更好的設計。

3．分工合作完成你們的設計，最好有一個圖、或一個小的模型，可以用紙板做。4．準備在全班交流，可以用實物、照片、模型、“ppt”，等形式表現你們的成果和創意，如果給你3分鐘講演、展示，怎樣讓班里同學為你們的成果叫好？

4.4數學建模的可供學生選擇上的假期作業

1.利用放寒假與父母逛商場的機會，認真注意收集春節商場“打折消費”、“誘導消費”的各種廣告信息，測算化1000元可以最多實際買到價值多少的商品。計算實際打折率。開動你的大腦，為消費者設計一種收益較多的購物方式；或者為商場設計一個更好的吸引消費者的、也使的商場收益較多的購物方式。

2.測量一個比較高的建筑物的高度，說明測量方案，測量過程和測量數據。看誰想出更好的方法？

3.自編3道方程和方程組的應用題，要求聯系實際，有真實的實際背景，請寫出題目、題解，看誰編的有趣。

4.到超市觀察各種不同包裝設計的同種商品，如同一個牌號的大、小牙膏，收集它們的價格信息，找一個表示它們的重量和價格的公式。5.到各大商場，超市觀察不同的商品的外包裝，提出一個與“節約”有關的問題，將問題數學化，并用學過的知識試著解決它。進而自己在提出一些新的問題，或將自己得到的結果推廣以適用于更大的范圍。

6.了解出租車的計價方式，（如起步每公里，每種車型多少錢；運行中每公里，每種車型多少錢；等候時每分鐘，每種車型多少錢？）給出一個根據距離、等候時間計算付多少錢的方法或公式。

7.調查郵局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、國外的平信（包括航空）的郵資表，如果限定信封上只準貼至多3枚郵票，請你設計郵票應該有哪些面值？

8.自己找到的用學過和還沒有學過的數學知識解決的實際問題，（可以只提出問題，或僅僅提供一個解決問題的想法）。

學生實際的學習成果從略。

五、數學建模對教學和教師的影響

開展數學建模學習不僅是學習方式的改變，而且是育人模式的變化。

人才培養模式集中而具體的體現形式是教育教學模式。改革傳統的以“升學—應試”為目標的學校教育教學模式，創建以全體學生全面發展為目標的、體現素質教育方向和要求的新型教育教學模式，是當前學校實施素質教育的首要任務。而創建體現素質教育思想和要求的教育教學模式重要的著眼點就是要改變學生那種單純地被動接受教師知識傳輸的學習方式，幫助和指導學生在開展有意義接受學習的同時，形成一種對知識技能進行主動探求、并重視實際問題解決的主動積極的學習方式。這就是培養學生在教師指導下，從自身的學習生活和社會生活、自然界以及人類自身的發展中選取研究專題（專題、主題），以探究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題的數學建模。這對于培養學生的創新精神和實踐能力、創造能力、終身學習的能力具有十分重要的意義。而數學建模活動的實際結果告訴我們，它不僅對好學生、而且對學習有一定困難的學生都能起到培養興趣、激發創造的目的。數學建模的成果還可以為學生建立一種更表現學生素質的評價體系。數學建模的過程可以為不同水平的學生都提供體驗成功的機會，真正把篩子變成泵。

實際上，數學建模的教學過程（或者更自然地說是師生一起學和做的過程）對教師的成長和專業發展，更新教育觀念，主動參與并推進素質教育，有著越來越重要的作用。

主要表現在下面的幾個方面：

首先，它可以幫助教師轉變教學觀，更有利于發揮教師的主導作用和學生的主體作用。教師的主導作用體現在創設好的問題環境，激發學生自主地探索解決問題的積極性和創造性上；學生的主體作用體現在問題的探索、發現、解決的深度和方式盡量由學生自主控制和完成。它體現了教學過程由以教為主到以學為主的重心的轉移。課堂的主活動不應都是教師的講授，而應是學生自主的自學、討論、調查、探索、解決問題。教師要自覺適時地改變他的教育角色，平等地參與學生的探索、學習活動。教師不應只是“講演者”、不應是“總是正確的指導者”，而應不時扮演下列角色：模特——他不僅演示正確的開始，也表現失誤的開端和“撥亂返正”的思維技能；參謀——提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學生做出決斷；詢問者——故作不知，問原因、找漏洞，督促學生弄清楚、說明白，完成進度；仲裁者和鑒賞者——評判學生工作及成果的價值、意義、優劣，鼓勵學生的有創造性的想法和作法；在教學的組織中體現“學法”，把教和學融為一體。

其次，它可以幫助教師轉變學習觀。

過去在封閉式教育中，教師是知識的輸出者。由于教育被定位為在學校這個“圍墻”內，由知識的擁有者和惟一源泉——教師向知識的需求者——學生輸出知識的活動，教師和學生之間的關系就是教師“單向輸出”和學生“被動接受”的關系。在數學建模的實踐活動中，問題環境充分敞開，教師不可能也不再是學生獲取知識的惟一源泉，而且常常會無計可施，教師的指導作用更多地表現在“策略”的指導。教師把握教學目標時應立足于“做”而不是講，立足于學生對問題的分析，對解決問題過程的理解，而不以僅僅有正確的解答為滿足。要讓學生在問題、困難、挑戰、挫折、取勝的交替體驗中；在選擇、判斷、協作、交流的輪換操作中；經歷一個個學、用知識，進而發現問題，走向新的學、用知識的過程。從而培養能力、激發興趣、形成學生主動學習的良性循環。

第三，它還可以改變教師自己的成材觀、發展觀。

事實上，數學建模對教師也很陌生，對許多問題教師可能都不會，怎么教學生?在數學建模過程中表現出的問題形式與內容的多樣，問題解決方法的多樣性、新奇性和個性的展示，問題解決過程和結果層次的多樣性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰、考驗和有效的鍛煉。教師在陌生的問題前感到困難、失去相對于學生的優勢是自然的，常常出現的。這里有兩個認識需要改變，一是數學建模教學能力提高的主要途徑恰恰是自己多參與，多獨立的思考和實際去“做”；二是數學建模的教學過程中，教師的角色不應該總是“正確的指導者，總是正確的化身”，而應該平等地參與，適時扮演“同事、參謀、建議者、欣賞者”。教師要在自己的視野內努力尋找宜于學生使用的數學建模問題，做好每個問題解決過程的記錄，學生成功的經驗和自己在挫折中得到的教訓對于今后的數學建模的教學設計有重要的價值，也是教師由數學建模的生手到行家的有效途徑之一。

六、對在數學新課程中開展數學建模活動的小結 問題和內容的選擇：聯系學生和教材的實際。好入手、有趣味、可深入。

常態的環節和步驟：選題（問題引領），開題（交流預設的解決問題方案），做題（合作、探究、利用工具和資源），結題（交流分享、反思評價、積累資源）。

動靜結合的資源：你的學生、家長、同事、朋友和他們的實踐；相關刊物和網站。教與學的過程設計：強調------學生活動，做中學想、開放思維、小組功能、過程體驗、經驗積累。

關注和鼓勵：激發興趣、善用工具、提出問題、多途求解、情感交流、共享成果。著力促進：學習方式的轉變、學習過程的良性循環、課內知識的學習和應用、對數學的價值的感悟和理解。

評價：關注過程、關注變化。提出問題是否有新意，操作求解是否有創意，合作學習是否有效率，結果呈現是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收獲，興趣動力是否有增強，數學素養是否有提高。

第二篇：初中數學教學研究

新課程理念與初中數學課程改革

第一章（重點）

一、《標準》的研究背景

1、《綱要》是制訂標準的基本依據

2、中國數學課程改革與發展研究是《標準》的理論與實踐基礎

二、《標準》的基本理念

1、數學課程要面向全體學生

2、數學的發展要在數學課程中得到反映

3、數學課程要關注學生的生活經驗和已有的知識體驗

4、數學課程的內容要包括“過程”

5、在合作交流與自主探索的氛圍中學習數學

6、教師的角色要向數學學習活動的組織者、引導者和合作者轉換

7、評價應關注學習過程，應有助于學生認識自我，建立自信

8、科學合理地使用現代信息技術

三、基本理念在《標準》中的地位和作用

基本理念是構成《標準》的支撐點，《標準》中每一項具體描述都是這些理念物化的結果。

第二章 一、五個國家的數學課程標準

1、改革迭起的美國數學課程標準

包括6條指導性原則和12條標準

2、以水平為標準的英國數學課程標準

3、十年一改的日本數學課程標準

4、現實的數學的荷蘭數學課程標準

5、國小影響大的新加坡數學課程標準

二、國際數學的六個特點

1、面向全體

2、注重問題解決

3、注重數學應用

4、注重數學交流

5、注重培養學生的態度、情感與自信心

6、重視信息技術的應用

三、國外初中數學教材的特點

1、與現實生活緊密聯系在一起

2、從學生的經驗出發，激發學生學習的興趣

3、以學生的活動為主線來貫穿內容

4、內容呈現方式多樣化

5、教材為學生提供了充分的探索空間

6、教材注重對知識及時進行梳理

第三章（重點）

第一節 建立和發展學生的符號感1

符號感主要表現的四個方面

1、能從具體情景中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示

2、理解符號所代表的數量關系和變化規律

3、能進行符號間的轉換

4、能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題

第二節 數與代數的課程設計

一、代數式的課程設計特點

1、在具體情境中理解字母表示數的意義

2、在代數式、代數式求值、代數式運算的學習中發展符號感

二、方程與不等式的課程設計特點

1、體會方程（組）是刻畫現實世界的一個有效的數學模型

2、經歷探索方程（組）解的過程

3、掌握求解方程的基本方法，并能檢驗解的合理性

4、體會具體問題中的不等關系，利用不等式解決問題

三、函數的課程設計特點

1、函數思想的早期滲透

2、探索現實世界中變量之間的關系

3、對函數概念理解的逐步深入

4、在具體函數學習中強調函數模型的思想

5、結合數值、解析式、圖像探索具體函數的性質

6、利用函數的觀點認識方程和不等式

四、有理數、實數的課程設計特點

1、關注數與現實世界的聯系

2、關注對大數、無理數等的估計

3、關注對運算意義的理解以及對運算方法的選擇

4、利用計算器解決實際問題和探索規律

第三節 教學上的建議

數與代數課程教學的五點建議

1、注重實際問題數學化的過程，突出數、符號用來表示與交流的作用

2、鼓勵學生的充分探索和交流

3、注重培養學生的代數推算能力

4、重視對數與代數知識的理解和應用，避免繁雜的運算

5、注重發揮計算器、計算機等信息技術的作用

第四章（重點）

第一節 幾何課程的價值和目標

一、幾何課程的三項教育價值

1、更好地理解人類賴以生存的空間

2、發展無窮無盡的直覺源泉，形成創新意識

3、有利于數學思考、解決問題、情感態度的發展

二、幾何課程的目標

第二節 建立和發展學生的空間觀念

空間觀念的主要內容是

1、能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化，能根據條件作出立體模型或畫出圖形。

2、能描述實物或幾何圖形的運動和變化

3、能采用適當的方式描述物體間的位置關系

4、能運動圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考

第三節 空間與圖形課程的設計

一、圖形的認識的課程設計

1、在現實情景中抽象出圖形，經歷建立模型的過程

2、經歷探索圖形性質的過程，掌握一些基本圖形的基本性質

3、增加視圖與投影等有關空間的內容，更好地發展空間觀念

4、運用所學的圖形的性質解決實際問題

5、了解并欣賞一些有趣的圖形，感受圖形世界的豐富多彩

二、圖形與變換的課程設計

1、在豐富的現實情境中，探索變換（軸對稱、平移、旋轉）現象的共同特征，認識變換（軸對稱、平移、旋轉）的基本性質

2、探索圖形之間的變換關系及基本圖形的變換性質

3、靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計

4、欣賞并體驗變換在現實生活中的廣泛應用，體會其豐富的文化價值

5、認識圖形的相似及其在生活中的廣泛運用

三、圖形與坐標的課程設計

1、探索刻畫物體或圖形位置的方法，靈活運用不同的方式確定物體的位置

2、能建立適當的直角坐標系，描述物體的位置

3、在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化

四、圖形與證明的課程的設計

1、在探索圖形性質，與他人合作交流的活動過程中，發展合情推理，學習有關條理的思考與表達

2、體會證明的必要性

3、掌握證明的基本格式，養成說理有據的態度

4、體驗證明素材的豐富多彩

五、教學上的四點建議

1、以現實生活中的大量實例為背景，使學生體驗圖形與現實世界的密切聯系

2、注重使學生經歷觀察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等活動，積累數學活動經驗

3、全面發展學生的推理能力

4、發揮計算機等信息技術對空間與圖形及教學的作用

第五章（重點）

第一節 統計與概率的教育價值

統計與概率的教育價值

1、有助于學生適應現代社會的需要

2、有助于培養學生形成運用數據進行推斷的思考方式

3、有助于學生數學思考、解決問題、情感態度等多方面的發展

第二節 統計課程的設計

統計課程的設計

1、核心是發展學生的統計觀念（包括三個方面）

2、從事收集、整理、描述和分析數據的活動，并在此活動中學習統計的知識和方法（包括三個方面）

3、認識到統計在社會生活及科學領域中的應用，并能解決一些簡單的實際問題

第三節 概率課程的設計

概率課程的設計

1、體會概率的意義，了解頻率與概率的關系

2、學習獲得事件發生概率的方法

3、通過實例進一步豐富對概率的認識，發展學生的隨機觀念

第四節 教學上的建議

統計與概率教學的四點建議

1、突出統計與概率的實際意義和應用

2、突出學生在活動過程中的自主探索和合作交流

3、強調對所學知識和方法的理解和應用，避免單純的計算

4、強調計算器、計算機等信息技術的作用

第六章

第一節 實踐與綜合運用

一、實踐與綜合運用的內涵

1、加強數學與外部世界的聯系

2、加強數學內容之間的聯系

3、加強數學知識、方法、活動經驗、思維方式等的綜合應用

二、實踐與綜合運用的教育價值和總體目標

1、教育價值

2、總的要求

第二節 課題學習

一、課題學習的特征與目標

1、特征

2、目標：共4個方面

二、課題學習的教學和評價建議

1、提供給學生充分實踐、思考和交流的空間

2、提供適當的課題供學生選擇，并鼓勵學生獨立提出問題

3、注重課題學習后的教學反思

4、對課題的學習評價以質的評估為主

第三篇：初中數學建模論文

初中數學建模論文范文

數學建模隨著人類的進步，科技的發展和社會的日趨數字化，應用領域越來越廣泛，人們身邊的數學內容越來越豐富。強調數學應用及培養應用數學意識對推動素質教育的實施意義十分巨大。數學建模在數學教育中的地位被提到了新的高度，通過數學建模解數學應用題，提高學生的綜合素質。本文將結合數學應用題的特點，把怎樣利用數學建模解好數學應用問題進行剖析，希望得到同仁的幫助和指正。

一、數學應用題的特點

我們常把來源于客觀世界的實際，具有實際意義或實際背景，要通過數學建模的方法將問題轉化為數學形式表示，從而獲得解決的一類數學問題叫做數學應用題。數學應用題具有如下特點：

第一、數學應用題的本身具有實際意義或實際背景。這里的實際是指生產實際、社會實際、生活實際等現實世界的各個方面的實際。如與課本知識密切聯系的源于實際生活的應用題；與模向學科知識網絡交匯點有聯系的應用題；與現代科技發展、社會市場經濟、環境保護、實事政治等有關的應用題等。

第二、數學應用題的求解需要采用數學建模的方法，使所求問題數學化，即將問題轉化成數學形式來表示后再求解。

第三、數學應用題涉及的知識點多。是對綜合運用數學知識和方法解決實際問題能力的檢驗，考查的是學生的綜合能力，涉及的知識點一般在三個以上，如果某一知識點掌握的不過關，很難將問題正確解答。

二、數學應用題如何建模 第一層次：直接建模。

根據題設條件，套用現成的數學公式、定理等數學模型，注解圖為： 第二層次：直接建模。可利用現成的數學模型，但必須概括這個數學模型，對應用題進行分析，然后確定解題所需要的具體數學模型或數學模型中所需數學量需進一步求出，然后才能使用現有數學模型。

第三層次：多重建模。對復雜的關系進行提煉加工，忽略次要因素，建立若干個數學模型方能解決問題。

第四層次：假設建模。要進行分析、加工和作出假設，然后才能建立數學模型。如研究十字路口車流量問題，假設車流平穩，沒有突發事件等才能建模。

三、建立數學模型應具備的能力 從實際問題中建立數學模型，解決數學問題從而解決實際問題，這一數學全過程的教學關鍵是建立數學模型，數學建模能力的強弱，直接關系到數學應用題的解題質量，同時也體現一個學生的綜合能力。

1提高分析、理解、閱讀能力。

2強化將文字語言敘述轉譯成數學符號語言的能力。3增強選擇數學模型的能力。4加強數學運算能力。

數學應用題一般運算量較大、較復雜，且有近似計算。有的盡管思路正確、建模合理，但計算能力欠缺，就會前功盡棄。所以加強數學運算推理能力是使數學建模正確求解的關鍵所在，忽視運算能力，特別是計算能力的培養，只重視推理過程，不重視計算過程的做法是不可取的。

第四篇：初中數學建模論文

初中數學建模論文

有意義地利用“壓歲錢”

在正月里，長輩們每年都會給我們壓歲錢，而大多數同學都把壓歲錢當做了零花錢，沒有意義。為了能幫助失學兒童，學校辦一個“壓歲錢小銀行”，要求同學們有多少錢存多少錢，存入學校里“壓歲錢小銀行”，學校統一將同學們的壓歲錢存入銀行。畢業時本金還給同學們，利息捐給經濟有困難的同學。

假如平均每年按照200元壓歲錢存入銀行，初中三年每個學生總共存入600元計算，若初

一、初

二、初三各16個班，每班按60人計算，初三的存一年，初二的存兩年，初一的存三年，年利率分別按2.25%、2.40%、2.60%計算，則：

初一學生存三年的利息：

（200×2.60%×3)×(60×16)=14976(元)；

初二學生存二年的利息：

（200×2.40%×2)×(60×16)=9216(元)；

初三學生存一年的利息：

（200×2.25%×1)×(60×16)=4320(元)；

一年全校利息合計：

14976+9216+4320=28512（元）。

假設學校每年招生班級以及人數都不變，則學校每年都有28512元利息，日照市有那么多所中學，假如每所中學都建立“壓歲錢小銀行”，假如小學也建立“壓歲錢小銀行”，那么，每個學生六年下來，每年全校利息將比中學利息要高上好幾倍。所以成立“壓歲錢小銀行”很有意義與必要。為了災區兒童有良好的讀書環境，為了國家更繁榮，昌盛，同學們行動起來吧，拿出你們的壓歲錢，奉獻我們的一片愛心。

第五篇：初中數學建模教學教案

課題 二元一次方程

隨著數學教育界中數學建模理念地不斷深化，提高數學建模教學勢在必行。通過數學建模能力的培養，既能使學生可以從熟悉的情境中引入數學問題，拉近數學與生活、生產的聯系，激發學生學習數學的興趣，又能培養學生的數學應用意識；既能使學生掌握學習數學的方法又能培養學生的創新意識以及分析和解決實際問題的能力，使“人人學有價值的數學”。這正是新課程改革和數學教育的目的。

一、教學目標

1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念;2學會求出某二元一次方程的幾個解和檢驗某對數值是否為二元一次方程的解;3學會把二元一次方程中的一個未知數用另一個未知數的一次式來表示;4.在解決問題的過程中滲透類比的思想方法并滲透數模教學.二、教學重點、難點 重點二元一次方程的意義及二元一次方程的解的概念.難點把一個二元一次方程變形成用關于一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式其實質是解一個含有字母系數的方程.三、教學方法與教學手段 通過與一元一次方程的比較加強學生的類比的思想方法;通過“合作學習”使學生認識數學是根據實際的需要而產生發展的觀點.四、教學過程

1、方程（組）模型

方程（組）是研究現實世界數量關系最基本的數學模型，求解此類問題的關鍵是：針對給出的實際問題，設定合適的未知數，找出相等關系，但要注意驗證結果是否符合實際問題的意義。

1.情景導入 新聞鏈接桐鄉70歲以上老人可領取生活補助, 得到方程80a+150b=902 880.2.新課教學 引導學生觀察方程80a+150b=902 880與一元一次方程有異同 得出二元一次方程的概念含有兩個未知數,并且所含未知數的項的次數都是1次的方程叫做二元一次方程.做一做 

1根據題意列出方程: ①小明去看望奶奶買了5 kg蘋果和3 kg梨共花去23元分別求蘋果和梨的單價.設蘋果的單價x元/kg , 梨的單價y元/kg  ②在高速公路上一輛轎車行駛2時的路程比一輛卡車行駛3時的路程還多20千米如果設轎車的速度是a千米/小時卡車的速度是b千米/小時可得方程.2合作學習，活動背景：愛心滿人間——記求是中學“學雷鋒、關愛老人”志愿者活動.問題參加活動的36名志愿者,分為勞動組和文藝組,其中勞動組每組3人,文藝組每組6人.團支書擬安排8個勞動組,2個文藝組,單從人數上考慮,此方案是否可行? 為什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右兩邊有沒有相等? 由學生檢驗得出代入方程后能使方程兩邊相等.得出二元一次方程的解的概念使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數的值叫做二元一次方程的一個解.并提出注意二元一次方程解的書寫方法.試一試

檢驗下列各組數是不是方程2x=y+1的解: ①4,3,xy ②2.5,4,xy ③6,13.xy   ②③是方程的解每個學生再找出方程的一個解引導學生得到結論一般情況下二元一次方程有無數個解.3.合作學習 給定方程x+2y=8,男同學給出yx取絕對值小于10的整數的值女同學馬上給出對應的x的值 接下來男女同學互換.比一比哪位同學反應快請算的最快最準確的同學講他的計算方法.提問給出x的值計算y的值時y的系數為多少時計算y最為簡便 出示例題已知二元一次方程 x+2y=8.

1用關于y的代數式表示x; 2用關于x的代數式表示y;

3求當x= 2,0,-3時,對應的y的值并寫出方程x+2y=8的三個解.當用含x的一次式來表示y后再請同學做游戲讓同學體會一下計算的速度是否要快

4.課堂練習

(1)已知:5xm-2yn=4是二元一次方程,則m+n=(2)二元一次方程2x-y=3中方程可變形為y= 當x=2時y=;

(3)已知 2,1xy是關于x,y的方程2x+ay=5的一個解則a=.5.你能解決嗎 小紅到郵局給遠在農村的爺爺寄掛號信需要郵資3元8角.小紅有票額為6角和8角的郵票若干張問各需要多少張這兩種面額的郵票說說你的方案.例：學校準備在圖書館后面的場地邊上建一個面積為50平方米的長方形自行車棚，一邊利用圖書館的后墻，并利用已有的總長為25米的鐵圍欄，請你設計，如何搭建比較合理？

[簡析]：設與墻面垂直的邊長為x米，可得方程x(25-2x)=50。解方程可得答案。

數學建模教學的方式

數學建模應結合平常的教學內容切入，把培養學生的應用意識落實到教學過程中，使學生真正掌握數學建模的方法，培養學生的數學建模能力。

1、以課本知識為基礎，培養數學建模能力

2、以課堂教學為平臺，培養數學建模能力

在課堂教學中想培養數學建模能力不是簡單把實際問題引入，而應根據所學數學知識與實際問題的聯系，在教學中適時地進行培養。

6.課堂小結

(1)二元一次方程的意義及二元一次方程的解的概念注意書寫格式;(2)二元一次方程解的不定性和相關性;(3)會把二元一次方程化為用一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式.7.布置作業