第一篇：微分幾何教案 第七講
具體如下：
取M上的向量場X，對給定的x?M,有
*?(x)?T于是X(x)?TxM，xM為關于X的齊次線性函數，有
?(X)(x)??(x)?X(x)?,x?M.對?f,g?C(M)和?X,Y?X(M), 有
?(fX?gY)?f?(X)?g?(Y).下面設?1,?,?p?T*M（即1-形式），X1,?,XP為M上的向量場。
d?(?1????p)(X1,?,Xp)?????(p)?(?1)S(?)?1(Xi1)??p(XS(?)(i1?ip)?(?1)?1(Xi1)??p(Xip)?det(?i(Xj))，其中?(p)是?1,2,?,p?的置換群，即Sp,?{i1,?,ip}??(p),S(?)是?的逆序數。一般地，設
??i1??ip?ai1?ip?i1????ipi1??ip?(X1,?,Xp)?
?ai1?ip?i1????ip(X1,?,Xp).1
并且，設?和?分別為M上的p?形式和q?形式，則
(???)(X1,?,Xp?q)???(?1)S(?)(X??(p?q)?i1,?,Xip)??(Xip?1，設U?,U?是M上x處的兩個坐標鄰域，它們的局部坐標分別為?x?i?和?x?j?。設M上的p?形式?(x)在這兩個局部坐標系中分別表示為
?(x)???a??iip1?ip(x)dx?i1???dxi?i1p??b
jjp1?jp(x)dxj?j1???dx?j1???p.則有坐標變換公式：
b(x?i1,?,x?ip)j1?jp(x)????(xaii1???ip1?ip(x).?j1,?,x?jp)
三、外微分
對流形M上的0-形式f（即函數f?C?(M)），由函數的微分，有
df(x)??n?fdxi?1?xi，i 2
Xip?q?,為M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面將“d”推廣為Fp(M)到Fp?1(M)的映射。df
定義：設U為流形M上含x的坐標鄰域，局部坐標為?xi?。如果M上的p?形式在U中寫成
?(x)??iai1?ip(x)dx?i1???dx?1???ip則定義外微分如下：
d??d(x)dxi?dai1?ipi1???dxip1???ip?a?n?i1?ip(x)i?1???ipj?1?xdxj?dxij1???d:Fp(M)?Fp?1(M)??d?
性質：
① 對??,??Fp(M),?1,?2?R有
d(?1???2?)??1d???2d?.② 對??Fp(M),??Fq(M),有
d(???)?d????(?1)p??d?.ip，dxip.r③ d?d?0,即???F(M),都有
d(d?)?0.③ 當p?n時，對
???Fp(M),必有 d??0.例 考慮R3，取它的直角坐標系(x,y,z),則R3上所有微分形式為
0?形式：?0?f(x,y,z),f?C?(R3).1?形式：?1?adx?bdy?cdz,a,b,c?C?(R3).2?形式：
?2?ady?dz?bdz?dx?cdx?dy,a,b,c?C
3?形式：?3?adx?dy?dz,a?C?(R3).分別求它們的外微分。龐卡萊引理及逆命題
定義： 設M是n維微分流形，??Fp(M)。如果d??0,則稱?為閉微分形式（簡稱閉形式）。如果存在??Fp?1(M)使得??d?,則稱?為恰當微分形式（簡稱恰當形式）。顯然有
(R3).?定理（Poincare?引理）設?是M上的p?形式且是恰當的，則?必是閉形式。定理（Poincare?引理的逆命題）
?是U上的p?形設開集U?M可收縮為一點，式，若?是閉的，則?是恰當的。
對偶映射
定義：設M,N分別為m維和n維微分流形，F:M?N是C?映射。定義映射
F*:FP(N)?FP(M),(0?p?n)??F(?)*
使得對任何x?M,X1,?,Xp?TxM有
(F*(?))(x)?X1,?,XP???(F(x))?F*(x)X1,?,F*(x)XP?
其中F*即dF，是F的微分。F*稱為映射F*的對偶映射。性質：
⑴ F*是線性的，即對??1,?2?FP(N)，有
F*(?1?1??2?2)??1F*(?1)??2F*(?2).⑵ 對??,??Fp(N),有
F*(???)?F*(?)?F*(?).⑶ d?F*?F*?d，即對???Fp(N)有
d(F*?)?F*(d?).⑷ 若 F:M?N,G:N?P是C?的，則
(G?F)*?F*?G*.局部地，設(U,?)和(V,?)分別為M和N上包含x和y?F(x)的坐標圖，F(U)?V,局部坐標分別為?xi?和?yj?。如果設
?(y)??ai1?ip(y)dyi1???dyip，i1???ip則
F(?)(x)??ai1?ip(F(x))*i1???ipj1???jpdxj1???dxjp.?(xj1,?,xjp)?(yi1,?,yip)§5.8 流形上的積分
一、體積元與可定向流形
設 ?x1,?,xn?是Rn的一個直角坐標系?e1*,?,en*?為xi方向的單位向量構成的一個有序標準正交基，取Rn的一個n?形式：
??dx1???dxn, 顯然
?(e,?,e)?det(dxi(e))?1.*1*n*j它給出以e1*,?,en*為邊構成的n維正立方體。一般地，若?e1,?,en?是Rn的任一個有序基，則
于是
可將之視為以“有向?e1,?,en反）”。如R2上，取一般地，在?e1,?,en
eni??a1ije*j.j?
(e1,?,en)?(dx1???dxn)(e1,?,en)?det(dxi(ej))?det(aij).(e1,?,en)為邊的平行多面體的積”。若det(aij)?0(?0)則稱基底?e**1,?,en?的“定向相同（相dx1???dxn稱為Rn的標準體積元。e1?(1,0),e2?(0,1).（如圖示）
e1'?e2,e2'?e1.[ee?01?1',2']?[e1,e2]??10??, det(aij)??1?0.n維實向量空間V上任取兩組基?e1',?,en'?，它們的關系為
ej'?aijei,j?1,?,n.?體?與標準基???及或
?e',?,e'???e,?,e?[a].1n1nij定義等價關系：
?e1,?,en?~?e1',?,en'??det(aij)?0.這樣就可將V的所有有序基分為兩個類，稱之為V的定向。同一等價類中各元的定向相同，不同的等價類的元之間的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系習慣稱為正定向，而{i,k,j}代表的左手系為反定向。又如Rn中??1?,?n?確定它的一個標準定向流形的定向。
定義：設M是n維微分流形，?(U?,??)?是M的一個圖集。若該圖集能確定?x?M的切空間TxM的定向，則稱M是可定向的。M可定向??x?U??U?處雅可比行列式
??x?j??(x?1,?,x?n)??det??0.??x???i?x?(x?1,?,x?n)x并非所有的流形都可定向，如Mobius帶。定義：設?是M上的一個n-形式，若對?x?M，都有?(x)?0，則稱?為流形M的一個體形式（體積元）。可以證明：M可定向?M上有一個體積元。設x點處局部坐標系?x1,?,xn?，則TxM有自然基?????,?,??xn???x1，若對?x?M都有?????(x)????x,?,1?xn向，否則反向。定義：設M，形，其定向分別由?:M?N為C?向相同，則稱向的。
命題：設映射N分別由n-形式所定向，則
?
保定向流形上的積分首先考慮Rn中開集系。取切空間的基
?0,則?確定了流形M
N是兩個已定向的n維微分流??Fn(M)和??Fn(N)確定，若微分形式?*?與?是保定向的；否則稱?是:M?N,x?y??(x),流形??dx1???dxn和??dy1????(y1,?,yn)?(x?0.1,?,xn)U，?xi?為Rn的整體坐標
???????x,?,?確定U的正方
1?xn?9
正
M和?dyn的???的定映射。?反定? 向，于是Rn成為一定向流形。
設f為U上一個可積函數，??f(x)dx1???dxn.?U???Uf(x)dx1???dxn??Uf(x1,?,xn)dx1?dxn.d
下面考慮n維可定向的微分流形M。設 ?(U?,??)?是M上的一個圖冊，局部坐標為?x?1,?,x?n?，下面用切空間上的自?????x,?,??1?x?確定M的定向。
n?取M的開覆蓋?U??的一個單位分解?f?在M上的C?函數族?f??，滿足
① 對任何?及?x?M，有0?f?(x)?x?U?時，f?(x)?0； ② 對 ?x?M，僅有有限個f?(x)?0。③ 對 ?x?M，?f?(x)?1。
?設?是M上的一個n?形式，且其支集Supp??d?x?M|?(x)?0?，是一個緊子集。如果對某個?有Supp??有U?上可表示為
??a(x)dx?1???dx?n.然基，即存,且當
U?,則?1
?定義：
?U????U?a(x)dx?1???dx?n???(U?)a(x?1,?,x?n)dx?1?dx?n.d
一般地，由于Supp是緊致的，可選有限個鄰域?U1,?,Um?覆蓋Supp?，即有
Supp???mj?1Uj.由單位分解?fm??可知???f?1j?jSupp(fi?)?Uj,j?1,?,n.于是，定義：n?形式?在已定向流形M上的積分為d?mmmM????Mfj????Ujfj?????j(Uj)fj(x)a(x)dxj?1j?1j?11可以證明，有如下性質：
設 ?,?1,?2是已定向的n維流形M上的有緊支集的n?形式，則 ① ?M(?1??2)??M?1??M?2;② ?M?????M?,??R;③ ??M????M?;
④ 若?為M上的體積元，它確定M的正向，g(x)?0 為M上的連續實函數，則
且
dxn.，? ?Mg??0
當且僅當g?0上式取等號。
M?M1?M2,⑤ 若M1,M2為M的不相交開集，且M1,M2的定向與M一致，則
?M???M???M?.12變量置換公式：
設M,N是已定向的n維微分流形，?:M?N是一個保定向的微分同胚，?為N上的n?形式，則
*????N?M? 特別地，當?:U??(U)?Rn,x??(x)?y,（U為Rn的一開子集）是一微分同胚時，則對?(U)上的可積函數f(y)有
??(U)f(y)dy1?dyn??Uf(?(x))|J|dx1?dxn.如 當n?1時，?:[a,b]?[a',b']是一C?同胚，??f(x)dx,則有
*????[a',b']?[a,b]?，即
?a'f(x)dx??af[?(t)]?'(t)dt，b'b即 經典的變量變換公式。
第二篇：微分幾何期中考試
2009—2010年微分幾何期中考試試題
一、判斷題（10分）
1.在光滑曲線的正常點處，切線存在而且唯一。()
2.空間曲線的曲率與撓率完全確定了空間曲線的形狀。()
3.保角變換一定是等距變換。()
4.撓率是空間曲線的副法向量對于弧長的旋轉速度。（）
5.空間曲線穿過密切平面和從切平面,不穿過法平面。()
二、計算與證明題：
1．已知圓柱螺線的參數方程
(C):r={acost,asint,bt},t R
（1）求曲線C上任一點M的基本向量a,b,g。
（2）求曲線C上任一點M及A(a,0,0)點的切線和法平面及密切平面的一般方程。
（3）求曲線C的主法線曲面的參數方程和一般方程。
2．已知空間曲線(Viniani曲線)：
222ì?x+y+z=1(C):?í22???x+y=x
求曲線C在(0,0,1)點的曲率。
3．
第三篇：第四版微分幾何期末復習總結
1.求I弧長和交角.(1)I?du2?sinh2udv2,求u=v的弧長.解：u=v?I?du2?sinh2udu2=（1+sinh2u）du2=cosh2udu2,設曲線u=v上兩點A(u1),B(u2)?u1
1212?切線R-r0=?r1(0);主法線R-r0=?（?r01??r0?r0）?;副法線?R-r0?=?(r0?r0).dx2dx)?b]/[()2?1]dydy
第四篇：《機械制圖教案》第一章第七講
第七講 §2—1 投影法的基本知識
§2—2 三視圖的形成與投影規律
課
題：
1、投影法的基本知識
2、三視圖的形成與投影規律
課堂類型：講授
教學目的：
1、介紹投影法的概念、種類、應用
2、講解正投影法的基本性質
3、介紹三投影面體系和三視圖的形成、投影規律 教學要求：
1、掌握正投影法的基本性質
2、理解并掌握三視圖的形成和投影規律 教學重點：
1、正投影法的基本性質
2、三視圖的投影規律 教學難點：三視圖與物體方位的對應關系
教
具：自制的三投影面體系模型、簡單幾何體模型 教學方法：講授與課堂演示、舉例相結合。教學過程：
一、復習舊課
簡要復習近平面圖形的作圖方法和步驟。
二、引入新課題
在工程技術中，人們常用到各種圖樣，如機械圖樣、建筑圖樣等。這些圖樣都是按照不同的投影方法繪制出來的，而機械圖樣是用正投影法繪制的。
三、教學內容
（一）投影法的基本知識
1、投影法的概念
舉例：在日常生活中，人們看到太陽光或燈光照射物體時，在地面或墻壁上出現物體的 影子，這就是一種投影現象。我們把光線稱為投射線(或叫投影線)，地面或墻壁稱為投影面，影子稱為物體在投影面上的投影。
下面進一步從幾何觀點來分析投影的形成。設空間有一定點S和任一點A，以及不通過點S和點A的平面P，如圖2－1所示，從點S經過點A作直線SA，直線SA必然與平面P相交于一點a，則稱點a為空間任一點A在平面P上的投影，稱定點S為投影中心，稱平面P為投影面，稱直線SA為投影線。據此，要作出空間物體在投影面上的投影，其實質就是通過物體上的點、線、面作出一系列的投影線與投影面的交點，并根據物體上的線、面關系，對交點進行恰當的連線。
圖2－1
投影法的概
念
圖2－2
中心投影法
如圖2－2所示，作△ABC在投影面P上的投影。先自點S過點A、B、C分別作直線SA、SB、SC與投影面P的交點a、b、c，再過點a、b、c作直線，連成△abc，△abc即為空間的△ABC在投影面P上的投影。
上述這種用投射線（投影線）通過物體，向選定的面投影，并在該面上得到圖形的方法稱為投影法。
2、投影法的種類及應用
（1）中心投影法
投影中心距離投影面在有限遠的地方，投影時投影線匯交于投影中心的投影法稱為中心投影法，如圖2－2所示。
缺點：中心投影不能真實地反映物體的形狀和大小，不適用于繪制機械圖樣。優點：有立體感，工程上常用這種方法繪制建筑物的透視圖。（2）平行投影法
投影中心距離投影面在無限遠的地方，投影時投影線都相互平行的投影法稱為平行投影法，如圖2－3所示。
根據投影線與投影面是否垂直，平行投影法又可以分為兩種：
1）斜投影法——投影線與投影面相傾斜的平行投影法，如圖2－3（a）所示。2）正投影法——投影線與投影面相垂直的平行投影法，如圖2－3（b）所示。
（a）斜投影法
（b）正投影法
圖2－3
平行投影法
正投影法優點：能夠表達物體的真實形狀和大小，作圖方法也較簡單，所以廣泛用于繪制機械圖樣。
（二）三視圖的形成與投影規律
在機械制圖中，通常假設人的視線為一組平行的，且垂至于投影面的投影線，這樣在投影面上所得到的正投影稱為視圖。
一般情況下，一個視圖不能確定物體的形狀。如圖2－6所示，兩個形狀不同的物體，它們在投影面上的投影都相同。因此，要反映物體的完整形狀，必須增加由不同投影方向所 得到的幾個視圖，互相補充，才能將物體表達清楚。工程上常用的是三視圖。
圖2－6
一個視圖不能確定物體的形狀
1、三投影面體系與三視圖的形成
（1）三投影面體系的建立 三投影面體系由三個互相垂直的投影面所組成，如圖2－7所示。在三投影面體系中，三個投影面分別為： 正立投影面：簡稱為正面，用V表示； 水平投影面：簡稱為水平面，用H表示； 側立投影面：簡稱為側面，用W表示。
三個投影面的相互交線，稱為投影軸。它們分別是： OX軸：是V面和H面的交線，它代表長度方向； OY軸：是H面和W面的交線，它代表寬度方向； OZ軸：是V面和W面的交線，它代表高度方向；
三個投影軸垂直相交的交點O，稱為原點。
圖2－7
三投影面體系（2）三視圖的形成
將物體放在三投影面體系中，物體的位置處在人與投影面之間，然后將物體對各個投影面進行投影，得到三個視圖，這樣才能把物體的長、寬、高三個方向，上下、左右、前后六個方位的形狀表達出來，如圖2－8（a）所示。三個視圖分別為：
主視圖：從前往后進行投影，在正立投影面（V面）上所得到的視圖。俯視圖：從上往下進行投影，在水平投影面（H面）上所得到的視圖。主視圖：從前往后進行投影，在側立投影面（W面）上所得到的視圖。
（a）
（b）
（c）
（d）
圖2－8
三視圖的形成遇展開
（3）三投影面體系的展開
在實際作圖中，為了畫圖方便，需要將三個投影面在一個平面（紙面）上表示出來，規定：使V面不動，H面繞OX軸向下旋轉90°與V面重合，W面繞OZ軸向右旋轉90°與V面重合，這樣就得到了在同一平面上的三視圖，如圖2－8（b）所示。可以看出，俯視圖在主視圖的下方，左視圖在主視圖的右方。在這里應特別注意的是：同一條OY軸旋轉后出現了兩個位置，因為OY是H面和W面的交線，也就是兩投影面的共有線，所以OY軸隨著H面旋轉到OYH的位置，同時又隨著W面旋轉到OYW的位置。為了作圖簡便，投影圖中不必畫出投影面的邊框，如圖2－8（c）所示。由于畫三視圖時主要依據投影規律，所以投影軸也可以進一步省略，如圖2－8（d）所示。
2、三視圖的投影規律
從圖2－9可以看出，一個視圖只能反映兩個方向的尺寸，主視圖反映了物體的長度和高度，俯視圖反映了物體的長度和寬度，左視圖反映了物體的寬度和高度。由此可以歸納出三視圖的投影規律：
主、俯視圖“長對正”（即等長）； 主、左視圖“高平齊”（即等高）； 俯、左視圖“寬相等”（即等寬）；
三視圖的投影規律反映了三視圖的重要特性，也是畫圖和讀圖的依據。無論是整個物體還是物體的局部，其三面投影都必須符合這一規律。
圖2－9
視圖間的“三等”關系
3、三視圖與物體方位的對應關系
物體有長、寬、高三個方向的尺寸，有上下、左右、前后六個方位關系，如圖2－10（a）所示。六個方位在三視圖中的對應關系如圖2－10（b）所示。
主視圖反映了物體的上下、左右四個方位關系； 俯視圖反映了物體的前后、左右四個方位關系；
左視圖反映了物體的上下、前后四個方位關系。（要求學生必須熟記。）
（a）立體圖
（b）投影圖
圖2－10
三視圖的方位關系
注意：以主視圖為中心，俯視圖、左視圖靠近主視圖的一側為物體的后面，遠離主視圖的一側為物體的前面。
四、小結
1、概念：投影法、中心投影法、平行投影法、斜投影、正投影。
2、正投影法的基本性質
3、三視圖的投影規律
4、三視圖與物體方位的對應關系
第五篇：微分幾何答案彭家貴陳卿
習題一（P13）
2.設是向量值函數，證明：
（1）常數當且僅當；
（2）的方向不變當且僅當。
（1）證明：常數常數常數。
（2）注意到：，所以的方向不變單位向量常向量。
若單位向量常向量，則。
反之，設為單位向量，若，則。
由為單位向量。
從而，由常向量。
所以，的方向不變單位向量常向量
。即的方向不變當且僅當。
補充：
定理
平行于固定平面的充要條件是。
證明：：若平行于固定平面，設是平面的法向量，為一常向量。
于是。
：若，則。若
則方向固定，從而平行于固定平面。
若，則。令則
3.證明性質1.1與性質1.2。
性質1.1（1）證明：設，則
（2）證明：設，則
（3）證明：設，則
同理，所以。
性質1.2
證明：（1）
證明：（2）
4.設是正交標架，是的一個置換，證明：
（1）是正交標架；
（2）與定向相同當且僅當是一個偶置換。
（1）證明：當時，；
當時，所以，是正交標架。
（2）證明：
A)當
B)當
C)當
D)
當，此時，；
E)
當
F)
當
所以，與定向相同當且僅當是一個偶置換。
習題二（P28）
1.求下列曲線的弧長與曲率：
（1）
解：
所以，2.設曲線，證明它的曲率為
證明：
3.設曲線C在極坐標下的表示為，證明曲線C的曲率表達式為
證明：
所以，；；
。
因此，4.求下列曲線的曲率與撓率：
（4）
解：。
所以，。
5.證明：的正則曲線的曲率與撓率分別為。
證明：
根據弗雷內特標架運動方程，得：
所以。
6．證明：曲線
以為弧長參數，并求出它的曲率，撓率與Frenet標架。
證明：1）
所以，該曲線以為弧長參數。
由及
得
所以，2）。
3）所求Frenet標架是，其中。
10.設是中的一個合同變換。是中的正則曲線。求曲線與曲線的弧長參數、曲率、撓率之間的關系。
解：（1）
可見，與曲線除相差一個常數外，有相同的弧長參數。
（2）
可見，與曲線有相同的曲率。
（3）
可見，與曲線的曲率相差一個符號。
13.（1）求曲率（是弧長參數）的平面曲線。
解：設所求平面曲線因為是弧長參數，所以
可設，由曲率的定義，知
所以，所求平面曲線。
20.證明：曲線與曲線是合同的。
證明：1）對曲線作參數變換，則。
可知是圓柱螺線()，它的曲率和撓率分別為。因此，只要證明曲線的曲率，撓率，從而根據曲線論基本定理，它們可以通過剛體運動彼此重合。
2）下面計算曲線的曲率與撓率。
由，進而。
21.證明：定理4.4
定理4.4
設是連續可微函數，則
（1）
存在平面的曲線，它以為弧長參數，為曲率；
（2）
上述曲線在相差一個剛體運動的意義下是唯一的。
證明：先證明（1），為此考慮下面的一階微分方程組
給定初值，其中是中的一個與自然標架定向相同的正交標架，以及，則由微分方程組理論得，有唯一一組解滿足初始條件：。
若為所求曲線，則必是它的Frenet標架。因此，我們首先證明
均是與自然定向相同的正交標架。
將微分方程組改寫成其中。
是一個反對稱矩陣，即令
對求導，并利用有：
表明是微分方程組的解。
定義則
且
即
所以，是微分方程組的解。
注意到：，所以是微分方程組
滿足初始條件的唯一解。從而
所以，均是正交標架。
由于是關于的連續函數，且。故由
知。
可見，均是與自然定向相同的正交標架。
于是由微分方程組有：，這表明為弧長參數。從而由推出是單位切向量。由推出是曲線的曲率，從而由推出由，即是單位正法向量。
可見，微分方程組的滿足初始條件：
唯一一組的確表明：存在平面的曲線，它以為弧長參數，為曲率，當是連續可微函數時。
再證明（2）：設與是平面中兩條以為弧長參數的曲線，且定義在同一個參數區間上。則存在剛體運動
把曲線變為，即。
證明開始：設，考慮兩條曲線在處的Frenet標架
與。
則存在平面中一個剛體運動把第二個標架變為第一個標架，即與在處的Frenet標架重合。因此我們只須證明當曲線與在處的Frenet標架重合時。
曲線Frenet標架的標架運動方程為
這是一個關于向量值函數的常微分方程。曲線的Frenet標架與的Frenet標架都是微分方程組的解。它們在處重合就意味著這兩組解在的初值相等，由解對初值的唯一性定理立即得到。定理證明完成。
習題三（P68）
2（1）是什么曲面？
解：
4.證明：曲面的切平面過原點。
證明：無妨假定方程確定一個的隱函數，于是
設，則
所以，處的切平面為
易見，當時，有：
所以結論為真。
6.證明：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。
證明：設曲面的參數方程為。令為參數區域中過則的參數曲線，為曲面上過點的曲線。于是
這表明曲線過點的切向量都可由與線性表出。可見過點的切向量都在過點的切平面上。另一方面，對于任意切向量，在參數區域中取過且方向為的參數曲線
則此時，從而。
這表明：在點的切平面中每一個向量都是過點的某一曲線的位于點的切向量。
于是：曲面在點的切平面等于曲面上過點的曲線在點的切向量的全體。
25.求雙曲拋物面的Gauss曲率，平均曲率，主曲率和它們所對應的主方向.解：
由，。，其中。
由。
于是Gauss曲率：，平均曲率：。
因為，所以，所以主曲率：
對應的主方向為，其中
.所以。
同理，另一個主曲率：，對應的主方向為。
注：設為外恩格爾登變換，則。
補充：定理
（1）函數是主曲率的充要條件是。
（2）方向
d
=
du:dv
是主方向的充要條件是。
證明：（1）設是對應的主方向，則有，即。
分別用與上式兩邊作內積，得。
所以主方向滿足
由于不全為零，可得
（2）在臍點。
從而由可知，，中的兩個方程成為恒等式。此時，任何方向都是主方向。
在非臍點，分別用和代入
得到相應的主方向
和。
將
改寫成由于不全為零，有。
28．曲面上的一條曲線稱為曲率線，如果曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向。證明：曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。
證明：
設為外恩格爾登變換，則。
所以，曲線是曲率線當且僅當沿著，與平行。
29.設是曲面的一個參數表示，證明：曲面的參數曲線和
是曲率線的充要條件是。
證明：曲面的參數曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，同理，曲面的參數曲線，記是曲率線等價于曲線在每一點的切向量都是曲面在該點的一個主方向曲線在每一點，顯然，（假若，則矛盾！）。從而。
所以，曲面的參數曲線和是曲率線的充要條件是。
35.若曲面是極小曲面，證明：除相差一個常數外，它可以寫成，這個曲面稱為Scherk面。
證明：設曲面的參數方程為，則。
因此，。
由得到，即。
上式可化為
(1)
由于上式左邊是的函數，右邊是的函數，故只能是常數，設此常數為。
當時，由(1)可知，其中是常數。
于是該極小曲面是平面，其中。(不是Scherk曲面)
下面設。由(1)得，令，即。則有。
于是。在軸方向作一平移，可設，從而，積分得。
同理，由可得。
于是。
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