第一篇：197-高中數學選修系列2 選修2-2《定積分的概念》教案

精品教學網 www.tmdps.cn.net 第五章 定積分的概念

教學目的與要求：

1． 解變上限定積分定義的函數，及其求導數定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。

2． 解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

3．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數的平均值等）。

5.1定積分概念 一． 定積分的定義

不考慮上述二例的幾何意義，下面從數學的角度來定義定積分 定義 設函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點，把區間[a,b]分成n個小區間，記?xi?xi?xi?1,i?1,2,......n,??max{?x1,?x2,......,?xn}在[xi?1,xi]上任意取一點?i，作和式：

1)?f(?)?x.......(iii?1n如果無論[a,b]作怎樣分割，也無論?i在[xi?1,xi]怎樣選取，只要??0有?f(?i)?xi?I（I為一個確定的常數），則稱極限I是i?1nf(x)在[a,b]上的定積分，簡稱積分，記做

?baf(x)dx即I=?f(x)dx其

ab

第-35 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 中f(x)為被積函數，f(x)dx為積分表達式，a為積分下限，b為積分上限，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區間。注

1． 定積分還可以用???語言定義 2由此定義，以上二例的結果可以表示為A=

?baf(x)dx和S=?v(t)dt

T1T23有定義知道?ba與函數f(x)以及區間[a,b]f(x)dx表示一個具體的書，有關，而與積分變量x無關，即

?baf(x)dx=?f(u)du=?f(t)dt

aabb4定義中的??0不能用n??代替

n5如果Lim??0?f(?)?x存在，則它就是f(x)在[a,b]上的定積分，那iii?1么f(x)必須在[a,b]上滿足什么條件f(x)在[a,b]上才可積分呢？

經典反例：f(x)??1]中的有理點?1,x為[0，在[0，1]上不可積。

1]中的無理點?0，x為[0，可見函數f(x)在什么情況下可積分并不是一件容易的事情。以下給出兩個充分條件。

定理1 設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。定理2 設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

定理3 設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。

6幾何意義

第-36 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 當f(x)?0時，?baf(x)dx表示曲邊梯形的面積；當f(x)? 0時，?baf(x)dx表示曲邊梯形的面積的負值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有負，則?0baf(x)dx表示曲邊梯形面積的代數和。

[例1]計算?1exdx

解：顯然f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積，現將[0，1]分成n個等分，分點為xi?取?i?xi作和式：

ni,i?0,1,2,.....n，?xi?1/n，??1/nnLim???0i?1111e[(e)n?1]f(?i)?xi?Lim?e?Lim?e?Lim?e?11??0??0n??0nni?1i?1en?1nninin1n1n所以：?10exdx=e-1 7．按照定義

5．2定積分的性質積分中值定理 有定積分的定義知，?baf(x)dx是當ab時無意義，但為了計算及應用的方便，特作兩個規定： 1． a=b時，2． a>b時，??babf(x)dx=0 f(x)dx=-?f(x)dx

baa 性質1：和差的定積分等于它的定積分的和差，即

?ba[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx

aabb

性質2：常數因子可以外提（可以推廣到n個）

第-37 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net ?bakf(x)dx?k?f(x)dx

ab性質3：無論a,b,c的位置如何，有

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accb性質4：f(x)?1則?baf(x)dx?b?a

性質5：若f(x)?g(x)則性質6：?baf(x)dx??g(x)dx,a?b

ab?baf(x)dx??f(x)dx

ab性質7：設在?a,b?，m?f?x??M，則

bm?b?a???af?x?dx?M?b?a?

性質8：（積分中值定理）若f(x)在[a,b]上連續，則[a,b]上至少存 一點?，使下式成立，例1．利用定積分幾何意義，求定積分值上式表示介于x面積

例

2、（估計積分值）證明 2?1?03 證： ?baf(x)dx?(b?a)f(?)

?01?1?x2dx?

4之間?0, x?1, y?0, y?1?x2dx2?x?x2?1 299?1?2?x?x???x??在0,1 上最大值為，最小值為2

44?2?22??∴ 2?12?x?x23?1 第-38 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net ∴ 2?3?0112?x?x2?1 25．3定積分的計算方法 一．變上限積分函數的導數

設函數f(x)在[a,b]上連續，x為[a,b]上任一點，顯然，f(x)在[a,b]上連續，從而可積，定積分為

?xaf(x)dx由于積分變量與積分上限相同，為防止混淆，修改為?(x)?變上限積分的函數。

?xaf(t)dt（a?b）稱?(x)是定理1：設f(x)在[a,b]上連續，則?(x)?導，且導數為??(x)?證明省略

?xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(?f(t)dt)?f(x)dxa定理2：如果函數f(x)在[a,b]上連續，則積分上限的函數?(x)??f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一個原函數。

ax注意：

1定理說明了連續函數的原函數一定存在 2此定理指出了定積分與原函數的關系

二、基本定理 牛頓—萊伯尼茲公式

定理 如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則

。(1)證 已知函數F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，又根據前面的定理知道，積分上限的函數

第-39 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net

也是f(x)的一個原函數。于是這兩個原函數之差為某個常數，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由?????的定義式及上節定積分的補充規定知?????????，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的?????，可得，在上式中令x = b，就得到所要證明的公式(1)。由積分性質知，(1)式對a>b的情形同樣成立。為方便起見，以后把F(b)– F(a)記成。

公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。

例1 計算定積分。

解。

例2 計算。

解。

第-40 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 例3 計算。

解。

例4 計算正弦曲線y = sinx在[0,? ]上與x軸所圍成的平面圖形的面積。

解。

例5 求

解 易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達法則來計算。

因此。

第-41 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net ?例

6、limcosxx?01tlntdtx4?limcosxlncosx?sinx 3x?04x1sinxlncosx ?limcosx?lim?lim2x?0x?0x?04xx

?11?sinx ??limx?042x?cosx85．4定積分的換元法

定理：設（1）f(x)在[a,b]上連續，（2）函數x??(t)在[?.?]上嚴格單調，且有連續導數，（3）??t??時，a??(t)?b 且?(?)?a,?(?)?b則有換元公式：

?baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt…….(1)??注

1． 用換元法時，當用x??(t)將積分變量x換成t求出原函數后，t不用回代，只要積分上下限作相應的變化即可。2． x??(t)必須嚴格單調 3． ?可以大于?

4． 從左往右看，是不定積分的第二換元法；從右往左看，可以認為是第一換元法。

例

1、?02x22x?x2dx??02x21-(x?1)2dx

法一

設 x-1?sin t

第-42 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net π2π?2π(1?sin t)2322cos t dt?2?0(1?sint)dt?π cost2 ?設 法二 x?2sin2t

π20原式

?8? 例2．設fsin4 t dt?8?3！π3??π 4！22?x?在???,???F?x???x0上連續，且

?x?2t?f?t?dt, 證明：若f(x)為偶函數，則F(x)也是偶函數。證：

F??x????x0??x?2t?f?t?dtt??u???x?2u?f??t?d??t?x0

??x0??x?2t?f?t?dt

?F?x?

例3． 奇偶函數在對稱區間積分性質，周期函數積分性質(1)f?x?在[-a,a]連續，a?0 ?x?為偶數，則?-a?x?a?Ta當f當f(2)?af(x)dx?2?0f(x)dxaa

為奇函數，則

T?-af(x)dx?0

f(x)dx??0f(x)dx，f?x?以T為周期

說明在任何長度為T的區間上的積分值是相等的。

第-43 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 例

4、?-11x(1?x2001)(ex-e-x)dx?4 e原式 ?2?011x(ex-e-x)dx

x-x

?2?xd(e-e)

0

?2x(ex?e?x)?10?

例

5、?4 eπcos xcos x2dx?dx π?222?cosx?2sinx1?sinx2π20?0π ??1dsin x?2arctansinx21?sinxπ20?π 2 例

6、設f解： 設?x?為連續函數，且f(x)?sinx??π0π0f(x)dx 求f?x?

?則f?x??sinx?A f(x)dx?A

兩邊積分

? π0f(x)dx??(sinx?A)dx

0πA??cosx0?Ax0

A?ππ2 1?π

第-44 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net ∴ f(x)?sinx?2 1?π5.5定積分的分部積分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有連續導數，則

?ba?uv?dx?uv|ba??uvdx

ab證明：因為(uv)??u?v?uv?，則有uv??(uv)??u?v，兩邊取定積分。有?bab?uv?dx?uv|ba??uvdx也可以寫成：?udv?uv|a??vdu

aaabbb例1．解：?10xexdx

1100?10xxexdx??xdex?xex|10??edx?e?(e?1)?1 e例2．解：?sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dx?xsin(lnx)|?xdsin(lnx)?esin1?xcos(lnx)dx1?1?1?1xee1e=esin1??cos(lnx)dx?esin1?xcos(lnx)|1??xsin(lnx)dx

11xe=esin1?ecos1?1?e?sin(lnx)dx

1e1=[esin1?ecos1?1] sin(lnx)dx?12例

3、設 f?x???1xln tdt1?tx?0，?1?求f?x??f??

?x???1x1ln tlnt?????解：f?x??f?dt??1xdt? ??????1?1?t1?t??x????

第-45 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net

1lnx?1? ??x???2? 1?x1?1?x?xln例4． 設f(x)在[a,b]連

(a,b)可導，且f?(x)?0，F(x)?x1f(t)dt證明在(a,b)內，有F?(x)?0 ?ax?a證：F?(x)?(x?a)f(x)??af(t)dt(x?a)2x

?(x?a)f(x)?(x?a)f(?)(x?a)2x?aa???x?b

?f(x)?f(?)

?f?(x)?0?f(x)在(a,b)單調減，??x

?f(?)?f(x)故 F?(x)?0

5．6定積分的近似計算 5．7廣義積分 一 無窮限的廣義積分

定義1 設函數f(x)在區間[a , +?)上連續，取b>a，若極限

存在，則稱此極限為函數f(x)在無窮區間[a , +??)上的廣義積分，記作，即

(1)。

第-46 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 這時也稱廣義積分分發散。

收斂；若上述極限不存在，稱為廣義積類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂。

設函數f(x)在區間(-? ,+?)上連續，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮區間(-??, +?)上的廣義積分，記作收斂；否則就稱廣義積分，也稱廣義積分發散。

上述廣義積分統稱為無窮限的廣義積分。

例1：計算廣義積分???0arctgxdx 1?x2解：???0barctgxarctgx1?22bdx=lim?dx?lim[arctgx]|0?

b???01?x2b???21?x28例2．計算廣義積分?sinxdx以及???0????sinxdx

解： ?0??sinxdx??cosx|0????(1?limcosa)顯然發散

a???同理?????sinxdx??sinxdx??sinxdx也發散

??00??例3： 證明廣義積分證 當p = 1時，(a>0)當p>1時收斂，當p? 1時發散。

第-47 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net , 當p??1時，因此，當p > 1時，這廣義積分收斂，其值為廣義積分發散。

二．無界函數的廣義積分

；當p??1時，這現在我們把定積分推廣到被積函數為無界函數的情形。

定義2 設函數f(x)在(a,b]上連續，而在點a的右領域內無界，取，如果極限(a,b]上的廣義積分，仍然記作收斂。

類似地，設函數f(x)在[a,b]上除點c(a

與

都收斂，則定義

存在，則稱此極限為函數f(x)在，這時也稱廣義積分；

(2)否則，就稱廣義積分發散。

第-48 –頁 精品教學網 www.tmdps.cn.net 例1 證明廣義積分證 當q = 1時，當q < 1時收斂，當q ? 1時發散。，當q ??1時，因此，當q < 1時，這廣義積分收斂，其值為這廣義積分發散。

；當q ??1時，例2．計算廣義積分?4dx4?x0

解：?4dx4?x0?lim?4??dx4?x??004???lim(?24?x)|0?lim[?2??24]?4??0??0例3：廣義積分可以相互轉化

?sin1x201xdx????1sintdt

第-49 –頁

第二篇：1.5.3《定積分的概念》教案(新人教A版選修2-2)1

1.5.3 定積分的概念

教學目標：

1.了解曲邊梯形面積與變速直線運動的共同特征.2.理解定積分及幾何意義.3.掌握定積分的基本性質及其計算 教學重點與難點：

1.定積分的概念及幾何意義 2.定積分的基本性質及運算

教學過程：

1.定積分的定義： 2.怎樣用定積分表示：

x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所圍成圖形的面積？ t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所圍成圖形的面積？

S1??f(x)dx??01101115xdx? S2??v(t)dt??(?t2?2)dt?

003323.你能說說定積分的幾何意義嗎？例如?f(x)dx的幾何意義是什么?

ab定積分?af(x)dx是直線x?a，x?b(a?b)，y?0和曲線y?f(x)所圍成的曲邊4.4.梯形的面積b根據定積分的幾何意義，你能用定積分表示下圖中陰影部分的面積嗎？

y

Ay?f1(x)B

Dy?f(x)C 2 abxO

思考：試用定積分的幾何意義說明 1.?204?x2dx的大小

由直線x=0，x=2，y=0及y?4?x2所圍成的曲邊梯形的面積，即圓x2+y2=22的21面積的，??4?x2dx??.042.?x3dx?0

?115.例：利用定積分的定義，計算?x3dx?0的值.016.由定積分的定義可得到哪些性質？

第三篇：選修2教案

第3課 法國資產階級共和制度的最終確教案 2012．4

一、教學目標：

1、理解法國共個制的最終確立是一個曲折復雜的過程

2、通過學習法國大革命額內容掌握法國作為一個工業發達的國家，在兩次工業革命期間，也是以犧牲環境為代價，對學生進行環保教育

3、對1875年憲法進行深刻的評價

二、重點難點 重點：1875年憲法

難點：對共和制最終確立的評價。

三、教材分析

本節課主要講述的是法國資產階級共和制的最終確立。教師要引導學生梳理法國資產階級共和制最終確立的過程，提煉過程的特點，形成自己的認識。需要讓學生掌握的主要概念有法蘭西第二帝國、1875年憲法。

本節內容歷史名詞較多，而且容易混淆。建議教師在教學過程中，對這些名詞進行專門講解。

四、教學方法

自主探究 合作學習

五、教學用具

多媒體課件

六、課時安排：1課時

七、教學過程： 導入新課

從1789年法國大革命開始到1848年，法國圍繞共和制與君主制，政權發生了哪些變化？

學生回顧思考回答：

法蘭西第一共和國（1792年9月至1804年）法蘭西第一帝國（1804年至1814年）波旁王朝復辟（1815年至1830年）七月王朝（1830年至1848年）

法蘭西第二共和國（1848年至1852年）

教師指出：雖然歷經磨難，在1848年法國再次成立了共和國，但是這樣的磨難并沒有結束，路易·波拿巴繼承了拿破侖的衣缽，使這樣的歷史繼續著。今天我們來了解這一段歷史。【講授新課】

一、法蘭西第二帝國的建立

思考：路易?波拿巴為什么能夠成為總統并最終成為皇帝？法蘭西第二帝國是怎樣建立？

學生閱讀教材，歸納總結回答。教師指出：

1、原因：

1）.人們懷念拿破侖，波拿巴利用了其伯父的威望,得到廣大農民的支持； 2）.社會動蕩不安,人們渴望秩序恢復;3）.新成立的共和國不得人心;4）.波拿巴通過種種手段打擊政敵:利用政黨,發動政變,把民主作為工具等；

2、法蘭西第二帝國建立的過程

(1)第一步：路易.波拿巴當選為總統。（標志資產階級保守派取代共和派執政）(2)第二步：利用秩序黨排擠共和派。（標志著保守派組閣控制議會）(3)第三步：發動政變，打擊秩序黨。（標志著開始個人軍事獨裁）

他上臺后，組織了“秩序黨”內閣，并解散了共和派的制憲議會。1849年，秩序黨在立法議會選舉中大獲全勝，資產階級保守派主宰了議會。但保守派內部斗爭異常激烈，路易·波拿巴一心想恢復帝制，自己當皇帝。他首先支持秩序黨排擠小資產階級民主共和派；接著在1851年底發動政變，解散立法議會，逮捕秩序黨和共和派的領袖人物并鎮壓共和派的反抗。波拿巴由此開始了個人獨裁統治。

(4)第四步：頒布新憲法，總統獨攬大權。（標志著總統獨攬一切大權）1852年初，路·波拿巴頒布了一部新憲法。根據新憲法，總統作為國家元首任期十年，獨攬一切權力，普選產生的議會只是個裝飾品。

(5)第五步：1852年強迫人民投票恢復帝制。（標志著拿破侖第二帝國的建立）1852年11月，波拿巴強迫人民投票贊成恢復帝制的決議。不久，他登基稱帝，號稱拿破侖三世。法蘭西第二帝國的統治正式建立，曇花一現的第二共和國壽終正寢。【探究延伸】拿破侖及其侄子波拿巴都做了皇帝。這是歷史的倒退嗎？請談談你的認識。

從歷史的演變來看，兩者恢復帝制都是歷史的倒退。但歷史是否倒退還要看它實行統治的結果和作用。兩位皇帝都適應了資產階級和廣大群眾的需要，實現了政局穩定；同時頒布了一系列有利于資本主義發展的法律與措施，如《拿破侖法典》，從這一點看他們是順應歷史潮流的。從作用上看，兩者都不同程度地推動了資本主義的發展，就在法蘭西第二帝國時代，法國完成了工業革命。從作用看兩者也是進步的。

總而言之．政體上的倒退是明顯的，但對社會進步的推動作用更為巨大。我們應該全面評價拿破侖與波拿巴的統治。

二、法蘭西第三共和國的建立

【問題探究】法蘭西第三共和國是在怎樣的背景下如何建立起來的？ 1.背景：法蘭西第二帝國的滅亡

滅亡原因：

①拿破侖三世的獨裁統治和戰爭政策，激化階級矛盾。②普法戰爭失敗，人民發動起義。2.建立

1870年9月．資產階級宣布廢除帝制，恢復共和國，史稱法蘭西第三共和國。

三、法國共和制的最終確立 法國共和制度是如何確立的？ 1.背景

第二帝國覆滅后，在法國到底實行君主制還是共和制的問題上，在新選出的國民議會內展開了激烈斗爭。無產階級的巴黎公社被鎮壓后，保衛共和制的力量遭到削弱。君主派乘機把復辟活動推向高潮。但是，在共和派的努力下，法國政局很快發生不利于君主派的變化，共和派力量不斷加強，君主派因內江力量削弱。2.過程

(1）1875年初，國民議會通過憲法修正案，確認實行共和制。

(2)1875年通過的憲法修正案和后來通過的一系列法律合稱1875年憲法，又稱第三共和國憲法。

(3)1879年初，共和派贏得法國總統選舉。

3.意義

共和制度的確立，標志著法國人民反封建斗爭任務的完成，為法國資本主義的發展創造了有利條件。

【問題探究】1875年憲法的內容和意義是什么？

憲法規定法國為議會制共和國；議會實行兩院制，下議院由公民直接選舉產生，上議院實行間接選舉；總統由兩院聯席會議共同選出，擁有統率軍隊、任命文武官員、宣布特赦等大權；內閣對議會負責，內閣總理由總統任命在議會兩院獲得多數支持的政黨領袖擔任，由總理組織內閣。

這部憲法雖然是共和派與君主派妥協的產物，但它畢竟為共和國的存在提供了法律依據，限制了此后君主派的復辟活動。

4、法國帝制與共和制斗爭的實質

帝制與共和制的斗爭反映了傳統力量與民主力量的斗爭，但不能認為是封建力量與資本主義力量的斗爭。無論是共和制還是帝制都是代表資產階級利益的，其斗爭也是資產階級內部就何種政體的斗爭。【探究延伸閱讀下列材料：

直到1877年，君主派依然不甘心，對共和派進行反撲，共和派遭到重大打擊。君主派的一家報紙得意地叫囂：“我們要把共和國和共和派搞成連狗都不吃的爛泥槳。”

請回答：材料反映了什么問題？結果如何？

答：材料直接體現了帝制與共和制斗爭的激烈，共和制的確立經歷了艱難的歷程。結果經過堅持不懈的斗爭，共和制得以鞏固。【課堂小結】法國共和政體是怎樣確立的？ 帝制與共和制歷經反復斗爭，最終共和制確立： 1791年建立君主立憲政體，1792年建立法蘭西第一共和國。1804年拿破侖建立法蘭西第一帝國。1848年二月革命建立法蘭西第二共和國。1852年波拿巴建立法蘭西第二帝國。1870年成立法蘭西第三共和國。

1875年頒布法蘭西第三共和國憲法，共和制由此確立。

八、教學反思：本課的教學主要難點在于理清思緒，因此在教學備課中應該更加的細致，通過對法國大革命帝制與共和制的反復較量過程，理解一種新的制度代替舊的制度是一個曲折反復的過程。

第四篇：高中數學定積分的概念、微積分基本定理及其簡單應用教案新課標人教A版選修2

一、例題

例1計算下列定積分

1．例2．計算由兩條拋物線y?x和y?x所圍成的圖形的面積.例

3、求

二、練習： 1.4.計算由曲線y?x?6x和y?x所圍成的圖形的面積

32?50(2x?4)dx 2.?211dx；

3.x?31(2x?1)dx。2x22?212(e?)dxxx?204?x2dx

?94x(1?x)dx

2.?e1(x?12)dx

3.x?212(ex?)dxx 三．課后練習：

1.計算下列定積分的值。

（1）??1(4x?x)dx

?2（3）?0(x?sinx)dx 32

（2）?1(x?1)dx

?25?2?cos2xdx

（4）

?2 已知自由落體運動的速率v?gt，則落體運動從t?0到t?t0所走的路程為（）

222gt0gt0gt02gt0

A.3B.C.D.6

3y?cosx,x?[0,?]2與坐標所圍成的面積（）3.曲線

5A.4

B.2

C.2

D.3 1x?x?(e?e)dx?（）04.211e?e e

B.2e

C.e

D.A.325.求曲線y??x?x?2x與x軸所圍成的圖形的面積。e?

6.設y?f(x)是二次函數，方程f(x)?0有兩個相等的實根，且f?(x)?2x?2。（1）求y?f(x)的表達式；

（2）求y?f(x)的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積；

（3）若直線x??t（0?t?1把y?f(x)）的圖象與兩坐標軸所圍成圖形的面積二等分，求t的值。

1． 解：1.?50(2x?4)dx?9?4?5

2112，所以?dx?lnx|1?ln2?ln1?ln2。

1xx33311113.因為(x2)'?2x,()'??2，所以?(2x?2)dx??2xdx??2dx

111xxxx131223。?x2|1?|1?(9?1)?(?1)?x332.因為(lnx)'?2．【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。

??y?x?x?0及x?1，所以兩曲線的交點為解：?2??y?x（0，0）、（1，1），面積S=?12?10xdx??x2dx，所以

011y?x?23x3?12S=?(x-x)dx??x??=3

03?0?3【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟： 1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。

C y?xO D A

2B

第五篇：定積分概念教案(修改)

四川工商學院

授 課 計 劃（教 案）

課程名稱：高等數學

章節名稱：第六章 第一節 定積分的概念 使用教材：趙樹媛主編，《微積分》（第四版），北京：中國人民大學出版社，2016.8 教學目的：掌握定積分的概念，培養學生建立數學模型、從具體到一般的抽象思維方式；從已知到未知的研究問題的方法，提高學生的應用能力和創新思維。

教學重點：定積分的概念

教學難點：定積分概念建立、分割的思想方法及應用

教學方法：教學采用啟發式、數形結合，用多媒體輔助教學。適用層次：應用型本科。教學時間：45分鐘。

教學內容與教學設計

引言

介紹牛頓和萊布尼茲兩位數學家和物理學家以及在微積分方面的研究成果，重點展示在積分方面的成果。（簡單提及積分產生背景）

（PPT展示肖像，簡歷和成就。2分鐘）

一、引例

已經會用公式求長方形、梯形、三角形面積。但對一些不規則平面圖形的面積計算，需要尋求其他方法計算。

（PPT展示封閉的圖形及分塊，特別強調曲邊梯形。2分鐘）

（一）求曲邊梯形的面積（板書）

由x?a,x?b,y?0與y?f?x??0圍成平面圖形，求面積A=?（如圖）（PPT展示）

1.分析問題

（1）用小曲邊梯形的面積相加就是A；（PPT展示）

（2）用小矩形代替小曲邊梯形有誤差，但有計算表達式（PPT放大圖形）

（3）分的越細，其和精度越高（PPT）（4）最好是都很細，或最大的都很小（PPT）

（PPT展示，4分鐘）

2.分割

（1）在?a,b?內任意插入n?1個分點：

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

這樣，把?a,b?分成了n個小區間?x0,x1?,?,?xi?1,xi?,?,?xn?1,xn?，并記小區間的長度為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?（PPT演示，重點說明其目的是準備用小矩形代替小曲邊梯形，以便提高精度。2分鐘）

（2）過每一個分點作平行于y軸的直線，這樣一來，大的曲邊梯形被分成n個小曲邊梯形?Ai（小范圍）。

3.近似代替

f(在第i 個小曲邊梯形上任取??i?[xi-1,xi]，作以 [ x i, x

為底，? i)為高的小矩形, ?1i]并用此小矩形面積近似代替相應小曲邊梯形面積 ?

A i , 得

?Ai?f(?i)?xi?xi?xi?xi?1，i?1,2,....,n

（PPT演示，重點說明乘積的量表示什么。2分鐘）

（1）求和

把n個小曲邊梯形相加，就得到大曲邊梯形面積的近似值

???A???Ai??f??i??xi（板書）

i?1i?1nn（PPT演示，重點說明，兩個量的區別，讓學生記住后一個表達式，這是將來應用的核心部

分。3分鐘）

（2）取極限

當分點的個數無限增加，且小區間長度的最大值?，即趨近于零時，上述和式極限就是梯形面積的精確值。

nn

A?lim?Ai=limf??i??xi即 ??max{?xi},（板書）??0??01?i?ni?1i?1

（PPT演示，重點說明三個符號構成一個新的記號，重點。3分鐘）

（二）變速直線運動的路程（板書）

??求物體在這段時間內所經過的路程s。

n設某物體作直線運動，已知速度v?v(t)是時間間隔?T1，T2?上t的連續函數，且 v(t)?0,S=lim?v??i??ti（板書）

??0i?1（PPT展示上述結論，與

（一）對比，只是將符號變更，另一方面乘積的量發生了變化。

3分鐘）

二、定積分的定義

定義：設函數f?x?在?a,b?上有定義，任意取分點

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b

把?a,b?分成n個小區間，?xi-1，xi?稱為子區間，其長度記為?xi?xi?xi?1,?i?1,2,?n?。在每個子區間?xi-1，xi?上，任取一點?i??xi-1，xi?，得函數值fnf(?)?x。??i?，作乘積

ii

f(?i)?xi。把所有的乘積加起來，得和式 ?i?1當n無限增大，且子區間長度的最大長度趨近于零時，如果上述和式的極限存在，則稱f?x?在子區間?a,b?上可積，并將此極限值稱為函數f?x?在?a,b?上的定積分。記作：

?f?x?dx

ab即

?f????x

（板書）?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

（PPT展示定義，重點說明：記號和等號，左邊是新的符號，右邊是其表達式，即如果可以建立右邊表達式，就立即將其用左邊符號表示，換言之，看見左邊符號，立即聯想到右邊的表達式。4分鐘）

（板書）?f?x?dx，變速直線運動的路程可以表示為：S=?v?t?dt（板書）曲邊梯形的面積可以表示為：A?abT2T1定理

1設f?x?在?a,b?上連續，則f?x?在?a,b?上可積。

定理2 設f?x?在?a,b?上有界，且只有有限個間斷點，則f?x?在?a,b?上可積。

（PPT展示定理。解釋：只要滿足條件，lim??0?f????x 就可以與定積分符號劃等號。

iii?1n2分鐘）

三、例題

利用定義計算定積分

?10x2dx

（PPT展示全部計算過程及答案，說明幾何意義。特別強調，以后用牛-萊公式計算，即簡單又快捷，但要用到不定積分的知識，提醒學生復習已學過的相關知識。下次課介紹牛-萊公式。2分鐘）

四、總結（板書）

（PPT展示定義-符號、定理，提示復習不定積分，核心表達式板書。1分鐘）

五、作業（板書）

板書設計框架

第五章 第一節 定積分的概念

一、引例

（一）求曲邊梯形的面積

（二）變速直線運動的路程

二、定積分定義

?f????x ?f?x?dx?lim?a?0iii?1bn

三、例題

?10x2dx=

四、總結

五、習題與提示