第一篇：高等數學課程考試說明小教

高等數學B(1)課程考試說明

四川電大責任教師

本期高等數學B(1)內容包括函數、極限與連續、導數與微分、導數的應用、不定積

一、函數

本章的重點是理解函數的基本概念和掌握基本初等函數的解析式、定義域、性質及圖形。對函數的概念要著重理解定義域和對應關系，能熟練求出函數的定義域和函數值。函數有四種屬性：單調性、奇偶性、周期性、有界性，要注意一個函數并不是一定具有上述四種屬性或其中之一，而是可能具有。要會判斷函數是否具有上述性質，記住這四種屬性的圖形特點。理解復合函數和初等函數的概念，會把這復合函數分解成較簡單函

例1求函數y?

1?x2?3ln(x?1)

［分析］函數的定義域是指使函數有意義的自變量的取值范圍。一般地是使解析表達式有意義的x的取值，如對數函數中的真數要大于0，分式中分母不為0，偶次根式下的表達式不小于0 解:

?x?1?0??ln(x?1)?0??x2?3?0?因此定義域是x??x?1?

?x?2

?x?3? 3且x?2例2

下列函數中，哪些是奇函數，哪些是偶函數?(1)y?xsin2x 3ax?a?x(a?0,a?1)（2）y?2ax?a?x(a?0,a?1)（3）y?2(4)y?lnx(?(5)y?x?lnxx2?1)

［分析］根據奇偶函數定義：若f(?x)?f(x)，則f(x)為偶函數；若f(?x)??f(x)，則f(x)

解(1)

f(?x)?(?x)3sin(?2x)?(?x)3(?sin2x)??x3sin2x?f(x)

故y?x3sin2x

a?x?a?(?x)(2)f(?x)?

2ax?a?x?f(x)

?2ax?a?x故 y?

a?x?a?(?x)a?x?ax?(3)f(?x)?

22ax?a?x????f(x)

2(4)f(?x)?ln(?x?(?x)?1)

?ln(?x?x2?1)

?ln(?x?x2?1)(?x?x2?1)?x?x?12 ?ln1x?x?12

??ln(x?x2?1)

??f(x)

故f(x)

(5)f(?x)??x?ln(?x)?f(x)(或?f(?x))

f(x)

注意：既是奇函數又是偶函數的函數存在嗎?存在，只有f(x)?0

例3

?x2?2x?0?y? ??1?x?0

?arctanxx?0?求f(1), f(0)，f(?)，f(?1)，f()（a?0［分析］求分段函數的函數值,應注意y2解:

f(1)?1?2?3, f(?)?1 121a

12f(?1)?arctan(?1)???4

111f()?()2?2?2?2 aaa

(1)函數y?1?x?1 的定義域為____________ln(3?x)

2(2)設函數f(x?1)?x?1，求f(1)，f(x)(3)下列每對函數中，哪一對函數是相等的函數? Af(x)?x2,g(x)?x

f(x)?lnx2,g(x)?2lnxx2?1f(x)?x?1,g(x)?

x?1f(x)?ln(x?1)xln(x?1)，g(x)? xx2(4)將函數y?2sin2x?4?2lnx(5)下列函數中，哪一個是偶函數?

f(x)?sin2xcosx

f(x)?lnxx2

f(x)?ln(x2?1?x)

f(x)?e?ex?x

(1)?1?x?3且x?2(2)1，x?2x?2(3)D

s2

(4)f(x)?u?v,u?2,s?sint,t?2x;

v?w,w?4?2p,p?lnx

二、本章的重點是求極限和理解函數的連續性概念。極限的概念是難點，要知道極限是描述變量變化趨勢的概念，是由變量的變化趨勢所決定的。函數在一點極限存在的充分必要條件是它在該點的左、右極限存在且相等，與在該點函數是否有定義無關(即存在極限未必有定義)，x2?1lim?2x?1x?1如f(x)??

?xxx?0在x?0?0x?0

無窮小量是一種特殊的且很重要的變量，它有兩個很重要的性質，對求極限很有用：①有限個無窮小量之和還是無窮小量；②無窮小量與有界變量乘積仍是無窮小量。要理解無窮小量的概念及其性質，會判斷一個變量是否為無窮小量。求極限是重要的計算問題之一，其方法很多，技巧性強，學員應多做練習去掌握。比較基本的方法有以下幾種：(1)(2)(3)

sinx1?1和lim(1?)x?ex?0x??xx1變量形式及自變量變化趨勢。若設t?x11tsin?

1和

lim(1?)t?e

limt??t?0tt(4)lim

limsinmx1f(x)?m，lim(1?)?ex?0f(x)??xf(x)

(5)用洛比塔法則計算(第四章內容)本章的另一個重點是函數的連續性，函數f(x)在一點x0處如①f(x)在x0②f(x)在x0③limf(x)?f(x0)

x?x0

則稱f(x)在x0處連續，否則稱x0是f(x)的間斷點。會判斷函數在一點的連續性、間斷點的類型。掌握連續函數的和、差、積、商(分母不為0)仍為連續函數，初等函數在

例4

(1)limx?0sin3xx?1?12

(2)lim(x?2x?x)

x???x50?1(3)limx???(2x?1)30(x?1)20

tan(x?1)2(4)lim

2x?1x?11x2?2x?1?)（5）lim((x?x)sin2x?1x?1x?12?

(1)［分析］分子、分母當x?0時，同趨于0，先將分母有理化后，再利用重要極限計

解

limx?0sin3xx?1?1?limx?0sin3x(x?1?1)(x2?1)2?1?limsin3x(x?1?1)

x?0x?3lim?6 sin3x?lim(x?1?1)

x?03xx?0(2)［分析］x???時，x2?2x???，不能直接得x2?2x?x?0，應有理

解 ：

x???lim(x?2x?x)?lim2(x2?2x?x)(x2?2x?x)x?2x?x2x???

?limx2?2x?x2x?2x?x21?2?1x2x???

?limx???(分母、分子同除以x)?1

(3)［分析］x???時，分子、分母同趨于??，由于分子、分母都為x多項式，故分子、分母同除以x解 ： 5050

1?150x50?1x?lim lim30203020x???x???(2x?1)(x?1)11(2?)(1?)xx

=(4)

解 ：

1302tan?2(x?1)?sin?2(x?1)cos?2(x?1),x2?1?(x?1)(x?1)

??sin(x?1)tan(x?1)1?22 ?lim(?)?lim2x?1x?1?x?14x?1(x?1)cos(x?1)2(5)［分析］這是一個和式求極限，第一項消去x?1零因子后再計算，第二項利用無窮

解：

1x2?2x?1x2?2x?11lim((x?x)sin?)?lim?lim(x?1)sin x?1x?1x?1x?1x?1x2?1x2?12?limx?1x?1?0?0x?1

例5

問k

1?x?0?sin(ln)f(x)??

x?1x?0?k?在x?0處連續。

解 ：

limf(x)?f(0)

x?0limf(x)?limsin(lnx?0x?0x?01)x?1

?limsinln1?0 故k?0時函數f(x)在x?0

(1)下列變量哪些是無窮小量?

lnx(x?o)，②

e

(x???)，③ e

(x??)??x1xx)sinx(x?0), ⑥ ④

lnx(x?1)，⑤

(1?cos⑦(x?1)sin(2)

sinx(x?0)x1(x?1)，⑧ x?1

1x?1(x?1)

(?cotx)① lim1x?0xx?1?xlim()x??x?312x3?x?1lim(sin(x?1)?3)x??x3x?x2?2limtanx?sinx

x?0sin3xsinxcosxlim(?2)x???x?1x?1⑥ limx(x????2?arctanx)

⑦ lim(x1?2x?x?0)

1?x?1sin3x(3)1?3x?f(x)??(1?x)??kx?0x?0

在x?0處連續，則k?______________

(1)(2)①0，②e，③（３）e ?13?4

211?2, ④，⑤，⑥１，⑦e?6322

三、本章的重點是理解導數的定義、幾何意義及求導數(或微分)。對導數定義要結合導數的導數是微積分中的重要計算問題之一，導數(或微分)基本公式表和四則運算法則是求導(或微分)

(1)(2)復合函數求導法則求導(一階、二階)

(3)隱函數微分法(一階)，注意y是x的復合函數，含y的項求導時一定會產生y′項。(4)參數式表示的函數求導數(一階)

?x??(t)??y??(t)dydy?dt, 則 dxdxdt?(x)(5)冪指函數y??(x)例6

(1)y?的求導和多個函數相乘除的求導，這是采用對數求導法計算

x?sinx?1'，求yxsin2x2

（2）y?2，求 dy

(3)y?cos(ln1)，求y'(1)x?1(4)設??x?et?2??y?t?t

/

求yx

(5)設y?y(x)解：(1)y?ex?y2?sin(xy)?1確定，求y'

x?sinx?11sinx1???

xxxx1x)'?(sinx'1)?()' xx故y'?（??11xcosx?sinx1???2 22xxxxsin2x2(2)dy?2x?ln2?(sin2)'dx

2xx1?ln2?2sin?cos??dx

222x

=2sin2x2ln2sin22?2?sinx?dx

=2(3)y??sin(ln/11')?(ln)x?1x?11x?11'??sin(ln)??()

x?11x?1??(x?1)sin(ln?1?1)? x?1(x?1)211sin(ln)x?1x?111y/(1)?sinln

22(4)yt?2t?'12t,xt'?12tet

dy?dx2t?12t12tet?4tt?1et

(5)方程兩邊對x2

(x?y2)'ex?y?(xy)'cos(xy)?0(1?2yy)e'x?y2?(y?xy')cos(xy)?0

?(ex?y?ycos(xy))' y?2y?xcos(xy)

(1)下列結論正確的是（）A

(2)函數y?2?lnx在(1,2)處的切線方程是（）A． y?x?

1Ｂ． y?x?1 Ｃ． y?

211?1

Ｄ． y??1 xx

//(3)函數y?lncosx，則y?（Ay?secxtanx

Ｂ． y??secxtanx11?

22cosxcosx

?x(4)①y?arctane，求dy ②求由方程x3?y3?3axy所確定的隱函數y(x)的導數y/③求由參數方程

?x?1?tdy?

? t

所確定的函數y(x)的導數y?dx?t?4?④y?1?ln2x?esinx，求y/⑤y?arcsin(2 lnx)，求y/x ⑥y?xcosx，求y/

(1)(2)(3)

e?xay?x2dx，②2(4)①?dx,1?e?2xy?ax④

?8t?1 2(t?4)lnxx1?ln2x?esinxcosx

⑤2arcsin(lnx1?lnx)?22xxx?lnx⑥（cosx?sinxlnx)xcosx x

四、本章的重點是用導數討論函數單調性、極值點及極值，討論凹凸性及拐點，求解極值應

4.1

會用中值定理證明恒等式、不等式、求函數的零點，記住中值定理的條件和結論(羅爾定理、拉格朗日定理)

4.2會用洛必塔法則求“0?”或“”型未定式極限，方法是分子、分母各自求導0?

4.3判別函數的單調性：設函數y?f(x), x?(a,b)，掌握f(x)單調的判別方法，即

??0,f(x)在(a,b)單調增加 f'(x)???0，f(x)在(a,b)單調減少個別孤立的導數為0，不影響其3

如x在(??,??)上單調，但是y/(0)?0除外., y/?04.4

設f(x)連續且f/(x0)?0或f/(x0)??0,x0不是極值點 f/(x0??)f/(x0??)(其中??0）??0，x是極值點0?? f/(x0??)?0，則x0f/(x0??)?0，則x04.設y?f(x), x?(a,b)，f/(x0)?0且f(x)?f//(x0)?0,f(x)在(a,b)內是?的 ?//f(x)在(a,b)內是?的f(x)?0,0???0,(x0,f(x0))不是拐點（其中??0）f//(x0??)?f//(x0??)???0,(x0,f(x0))是拐點

4.6

(1)設出變量、自變量與因變量(目標函數)(2)

(3)求一階導數，令y/?0(4)

x例7

證明：當x?0時，有e?x?1

［分析1］證明的關鍵是找到滿足中值定理的函數。對本題，令f(x)?ex，任取x?0，顯然f(x)在區間[0,x]上連續，在區間(0,x)

［分析2］用函數的單調性。令f(x)?ex?x?1，顯然f(x)在x?0的區間上連續，可導。

設法證明f/(x)?0，當x?0時，又x?0時，f(x)?0。所以x?0時，f(x)?0。例8

(1)

excosx?1lim x?0sin2xx?1（2）lim(（3）lim11?)x?1lnxxx?xx???

（4）limx(x????2?arctanx)

解:(1)當x?0時，分子、分母都?0excosx?1excosx?exsinx1?lim?lim x?0x?02cos2x2sin2x(2)

lim(x?1110lnx?(x?1)?)?lim(“”)x?1(x?1)lnxx?1lnx01?11?xx?lim

=lim

x?1x?1x?1xlnx?x?1lnx?x?11?lim?? x?1lnx?1?12?(3)“

?x???limxx?x?lim11?00x???12x?1?1 1?0(4)0??型，化成“

?x???limx(?2?arctanx)?lim2x????arctanx1x2121?x ?limx???1?2x? 例9 求函數y?x?ln(1?x)2x1?x2?2x(x?1)2y ??解:

y?1?221?x21?x1?x'y的定義域是(??,??)，且對任意的x,都有y/?0，故函數y?x?ln(1?x2)在定義域區間(??,??)內是單調增加的，從而函數y?x?ln(1?x)22(1?x2)?2x?2x2(x2?1)因y?? ?2222(1?x)(1?x)////當x?1時，y?0，//當x?1時，y?0，2故函數y?x?ln(1?x)在區間(??,1)內是凸的，在(1,??)內是凹的。(1,1?ln2)是拐點。

例10

設水桶的底半徑為r,高為h。水桶水平放置，上方中央(h/2處)有一個小孔, 小孔到水桶底的最遠距離是a。試求r及h為何值時，水桶有最大的容積?

解:

設容積為V

(2?)2hv????r2h

4變量h，rh4r2?()2?a2 從中解出r，代入到Vv? h?2h(a?()2)

v'??hh((a2?()2)?h?)422令V′＝０，得h?23a

23在h有意義的范圍內，只有一個駐點，故為所求。于是當h?a

r?6a

時，6

(1)下列命題不正確的是（）

f(x0?0)?f(x0?0)x?x0limf(x)

x0處可導，則一定在x0[a,b]上恒有f/(x)?0，則f(x)在右端點x?b

處達到最大值。(2)函數y?(x?1)2?

1的單調增加區間是_________________

x2y2??1

內，求使其面積為最大的矩形邊長。(3)設一矩形內接于橢圓46(4)把一根長為a的鉛絲切成兩段，一段圍成圓形，另一段圍成正方形，問這兩段鉛絲

(5)討論y?x?lnx

(1)(2)x??1

(3)提示：設矩形在第一象限內的點為P(x,y)，則矩形面積為S?4xy，其中y?6?32x,x?2 是S的最大值點，2 當矩形邊長分別是22和23(4)提示：設圓周長為x，則正方形周長為a?x，其面積之和為

x2a?x2)?()，2?4a?4a當鉛絲長分別是，4??4??s??（(5)單調增加區間是(1,??)，減少區間是(0,1)，極小值點是x?1，極小值是1，在(0,??)內是凹的，沒有拐點，最小值是1

5.1掌握原函數與不積分是導數(或微分)導??F(x)?C?f(x)(?F/(x))

??? F(x)?C f(x)?積分積分的概念并不難理解，在區間上的函數f(x)和F(x)，只要滿足F/(x)?f(x)，F(x)就是f(x)的一個原函數，F(x)?C就是f(x)的不定積分，即?f(x)dx?F(x)?c

5.2 5.2.1

直接利用積分公式或對被積函數進行恒等變形后再直接用積分公式得到積分結 5.2.2

分第一換元積分法和第二換元積分法，它們是同一個問題從不同方向進行分析而

?f(x)dx?F(x)?c

則括號內的x換成任何可微函數或變量，上式都成立，即

?f(?(x))d?(x)?F(?(x))?c

實際問題中，上式左端常常是

?f(?(x))?(x)dx形式，這就需要將?(x)dx

''湊成d?(x)，而這一步往往是不易看出來的，而要經過大量練習后方能掌握各種湊微分

無論是第一換元法還是第二換元法，都是為了使被積函數化成基本積分公式的形式，以便得出結果，23x1?3xdx

?12dx

2112??d(1?x)??d(1?3x)

26因為

xdx?122u?1?3xx1?3xdx?(1?3x)d(?(1?3x))（令）??63212312

??(1?3x)4?c

8第二換元法主要用于去根號，一類是進行三角變換

3x?asint,x?atant,x?asect等；一類是令x?nt,x?tm。

5.2.3

''分部積分法是uvdx?uv?uvdx 或udv?uv?vdu

????分部積分主要有三個類型(七種)(1)∫多項式×指數(或正(余)弦)函數×dx

三(角函數)、指(數函數)動，多(項式函數)不動。如計算

x?cos2xdx，dx?dtgx

所以選v?tant，u?xcos2x(2)∫多項式函數×對數(或反三角)函數×dx 因為多(項式函數)動，對(數函數)、反(三角函數)不動。如(x?1)lnxdx，選dv?(x?1)dx??1d(x?1)2,u?lnx2(3)∫指數函數×正(余)弦函數×dx

動與不動可任意選擇.2x有時需要多次使用分部積分，如xedx?

例11

(1)(3x?

?1x?1?xsinx)dx

x（2）4dx

2?(1?2x）xx5（3）e(e?2)dx

?（4）?2?3xdx

（5）1?lnx?xlnxdx

(6)解:(1)e?x2dx

1x3?(x?1x?1?xsinx11)dx??3xdx??dx??dx??sinxdx xxx3=x3?2x?lnx?cosx?c 42)由于dx??41d(1?2x)，故 2414=dx(?2?(1?2x）?(1?2x)22d(1?2x))

??2?=(3)

令t?e?2 xd(1?2x)（令u?1?2x）2(1?2x)2?c

1?2xdt?exdx16t?c 6

5xx5e(e?2)dx?t??dt?

=(4)

?2?3xdx??1x(e?2)?c 612?3x?d(2?3x)

333212?(2?3x)2??c?(2?3x)2?c 339(5)由于1dx?dlnx

x1?lnx11dx?dx??xlnx?xlnx?xdx dlnx?lnx?lnx=ln(lnx)?lnx?c 11(6)設t?，則dt??2dx

xx=et?x2dx??e?(?dt)

=?e?c??e?c

例12

(1)

t1x1x??ex21?x2x?12dx

（2）?1xx?12dx

(3)dx

（4）?ln(x?x2?1)dx

解:

(1)由于是1?x2型，故設x?sint，則1?x2?1?sin2t?cos2t?cost，dx?costdt 于是積分?sin2t?costdt

dx ??2cost1?xx22=sintdt ?=11t?sin2t?c 24x1?x2由三角形知，設sint?x?，則 cost?

11sin2t?2sintcost?2x1?x2

?x21?x2dx?1xarcsitn?1?x2?c 22(2)

由于是x2?1型，故設x?sectx2?1?sec2t?1?tant

dx?tantsectdt

故?x1x2?1dx??1tant?sectdt

sect?tant

?t?c

1?c x12(3)設t?2x?1，x?(t?1)

2dx?tdt，于是

?arccos?e2x?1dx??ettdt??tdet

?tet?et?c

?e(4)2x?1(2x?1?1)?c

2x2x2?12

1??ln(x?x?1)dx?xln(x?x?1)??x?1)??222x?x?1?xdx

?xln(x?(x?x2?1)x(x?x?1)x?122dx

?xln(x?x2?1)??xdxx?12

?xln(x?x2?1)?x2?1?c

5.3

形如p(x)dx?q(y)dy解法：分離變量，例13

y3y'?1?0 , y(1)?1

解:

方程變形為 y3y'??1 , 分離變量

y3dy??dx

兩端積分得

將y(1)?1代入，得C? 14y??x?c 44 5y4??4x?5

練習(1)若?f(x）dx?5x3?c，則f(x)?（32

Ａ．5x

Ｂ．15x

Ｃ．15x?c

Ｄ．(2)計算下列積分

①(x?1)lnxdx

②sin254x 4??xdx

x21dx

dx

④?③?1?xx1?lnx⑤1xdxdx

⑥?1?ex?1?2x

21x122⑦?4exdx

⑧?xcosdx

2x答案

(1)B(2)①

111(x?1)2lnx?x2?x?lnx?c；

242②?2xcosx?2sinx?c；

③1(x?1)2?ln(x?1)?c；

2ex?c ；

④21?lnx?c；

⑤lnxe?11121?2x2?c；

⑦ex(?2??2)?c；

⑥2xx⑧2xsin21xx1x?8xcos?sin?c。

22626

定積分及其應用

本章的重點是定積分的計算及其應用(求面積和求體積)6.1

定積分是一個和式的極限，要記?。憾ǚe分是一個定值，它與積分變量無關，即

bb?f(x)dx??f(t)dt

aa常用性質：

aba?f(x)dx?0；

?f(x)dx???f(x)dx

aabbcb?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

aac

a?a?f(x)dx?0，當

aaf(?x)??f(x)

?a?f(x)dx?2?f(x)dx

當

0f(?x)?f(x)

定積分與不定積分是兩個不同的概念，牛頓—萊布尼茲公式把它們聯系在一起，設f(x)是連續函數，F(x)是f(x)b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a從而解決了定積分的計算問題。因此，不定積分的計算方 法都可以搬到定積分上來。先求處)，有了F(x)，只要再求F(x)在上限與下限值的差即可。不過，這樣計算定積分，有時顯得繁了些，因此，定積分有換元積分法和分部積分法。注意，“換元必須換限”；當計算熟練以后，用湊微分的方法，又常常不引積分中間變量，也就是不進行變量替換，“不換元決不能換限。”

6.2

微積分基本定理，原函數的存在性為引入牛頓—萊布尼茲公式奠定了基礎。求變上限的定積分的導數是重要內容，變上限定積分的導數，等于被積函數在上限處的值。要

設函數f(x)在[a,b]上連續，當x?[a,b]時，f(x)在[a,x]上的定積分

x?f(x)dx?F(x)?c(為求定積分，此處的C沒有用?(x)??f(t)dt是變上限x的函數，它是f(x)的一個原函數，a即

?(x)?f(x)注意：

?(x)'(1)(b?af(t)dt)'?f(?(x))?'(x)dx(?(x)是可導函數)；

(2)(f(t)dt)??f(x)

x?'6.3

6.4掌握求平面圖形面積和旋轉體體積的方法 例13

12x2?3x?51?xdx

（２）?2(1)?dx

02x?31?x05解: 52x2?3x?52x(x?3)?3(x?3)?4dx??(1)?dx

x?3x?30055??(2x?3?04)dx

x?3?(x2?3x?4ln(x?3))

?10?4ln8?4ln

3(2)?1201?x1?x2dx=?12011?x2dx??120x1?x2dx

=arcsinx?(?1?x2)

=?6?3?

12x例14

求下列極限

?(1)

limx?0x0co2stdtx?

（２）limx?00arctatdntx2

［分析］這兩個極限都是“00?解:

(1)limx?0x0cos2tdtxcos2x?lim?1

(用洛比塔法則)x?01?limarctanx

x?02x?(2)limx?0x0arctantdtx2

=lim1

x?02(1?x2)

=22例15

求C值，使拋物線y?x?2x與直線y?cx所圍成圖形的面積是 拋物線y?x2?2x、直線x?2?c和直線y?0所圍成圖形面積的一半。解:

y?x2?2x交x軸于(0,0)及(2,0)點，它與y?cx交于(0,0)及(2+C,C(2+C))點，所以直線x?2?c過y?x2?2x與y?cx(非原點)的交點。

y?x2?2x與y?cx所圍圖形及y?x2?2x，y?0，x?2?c所圍圖形的面積分別記為A和B2?c

A? ?2(cx?2x?x)dx

?01(c?2)3 622(2x?x)dx

?b?2?c

=(c?2)?(c?2)?13324 3由B＝２Ａ，得(c?2)?24?23，所以c?2?，33舍去負值，得C＝練習

x23?2

3(1)極限limx?02?sintdt0x2 ?________________________(2)2dx①?

②21x?x?ln2?02ex?1dx

12③xcos2xdx

④x00??1?x2dx

??dxdx⑤?x

⑥

?x22?0e?e1x(1?x)1答案

① ln④ 4??

② 2?

③

322???e?

⑥ 1?

⑤ tan1644

第二篇：高等數學課程總結

姓名：學號：

高 等 數 學

課 程 總 結

班級：機械設計制造及其自動化 指導老師： 2015年9月我步入合肥學院，并在這里開始了我新的學習生涯。在這里一切都和高中有所不同，一切都變得陌生，新奇而又迷茫。10月份我第一次接觸高數，并在之后幾月的學習中對高數有了一定的了解。

對于許多文科學生來說，數學也許是一個令人有些畏懼的名詞，有些同學也許就是因為數學學不好或者不太喜歡數學，而選擇了學文科的，但是，對于任何一個文科生來說，數學都是非常重要的，有人把數學比做是文科生的生命線，有人說數學和英語在很大程度上決定了一名文科生的層次，這都是有一定道理的。因此，一定要盡自己最大的努力來學好數學.在我看來，數學其實是一門非常奇妙而有趣的學問。只要你有一雙善于發現、敢于發現的眼睛，你就能夠找到數學的魅力所在，就會對它產生興趣。而興趣是最好的老師，如果你既對數學感興趣，又下定決心努力學好數學，那又怎么會學不好呢?

課本對于數學來說，是很重要的。我們做的試題,有很多都是課本例題或其“變種”只要花上一點點時間把課本好好看看，要拿下這些題便易如反掌；反之，要是對一些基本的概念、定理都含混不清，不但基礎題會失分，難題更不可能做得好。數學的邏輯性、分析性極強，可以說是一種純理性的科學，要求思維清晰明了，因而基礎知識十分重要，尤其是對于數學不是特別好的同學來說。合院版《高等數學上冊》共分四個大章節，分別為第一章 函數與極限；第二章 一元函數微分學； 第三章 一元函數積分學； 第四章 常微分方程。

第一章函數與極限：

函數與極限為基礎學習模塊是之后微積分學習的工具，主要要求掌握函數的定義域和兩個重要的函數。

第二章 一元函數微分學：

該章節為本書重點章節，要求掌握導數的意義，隱函數的導數，導數的定義，洛必達法則，曲線的切線方程，單調性凹凸性，微分近似計算，中值定理，麥克勞林公式等。

第三章 一元函數積分學

該章節重點要求掌握定積分的計算，不定積分的第一、第二換元法，定積分的定義，反常積分的計算，變上限積分的計算，曲線弧長面積，旋轉體體積的解法等

第四章 常微分方程

要求掌握可分離變量的微分方程的解法，和一階線性微分方程的解法。

以下是我個人覺得在數學學習過程中非常必要的幾點:

1、按部就班。數學是環環相扣的一門學科，哪一個環節脫節都會影響整個學習的進程。所以，平時學習不應貪快，要一章一章過關，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問題。

2、強調理解。概念、定理、公式要在理解的基礎上記憶。我的經驗是，每新學一個定理，便嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運用新定理；若不行，則對照答案，加深對定理的理解。

3、基本訓練。學習數學是不能缺少訓練的，平時多做一些難度適中的練習，當然莫要陷入死鉆難題的誤區，要熟悉常考的題型，訓練要做到有的放矢。

4、標出重點。平?？搭}看課本的時候,碰到有好的解題方法或重點內容,可以用鮮艷的彩筆劃出來,以便以后復習時能一目了然.

第三篇：高等數學課程簡介

數學的學習，本質的目的不僅僅是讓你去解題或掌握數學知識，而是讓你在腦子里形成一種嚴謹、動態的思維方式，這種思維方式對 其他科目的學習是極為重要的。初等數學：幾何學：研究空間形式

代數學：研究數量關系

高等數學 解析幾何：用代數方法研究幾何，其中平面解析幾何部分內容已經在中學學過

線性代數：研究如何解線性方程組及有關問題

高等代數：研究方程式的求根問題

微積分：研究變速運動及曲邊圖形的求面積問題

概率論與數理統計：研究隨機現象，依據數據進行推理

所有這些學科構成高等數學的基礎部分，在此基礎上建立了高等數學的宏偉大廈。

初等數學和高等數學最大的區別就是： 高等數學是建立在微積分 之上的，而初等數學不是。微積分是現代數學最基本的一個工具，所 以說沒學過微積分就等于沒有學過真正的數學。

內容： ： 基礎——極限

主要——微積分： 一元微分： 導數與微分 導數與微分的應用 多元微分： 多元微分以及應用

一元積分： 定積分，不定積分，廣義積分 定積分在幾何及物理上的應用。多元積分： 重積分 曲線積分 曲面積分 三種積分在幾何，物理上的應用。

微積分里面最漂亮的定理就是斯托克斯公式，這個公式也是多元微積分的頂峰。單變量微積分中的牛頓-萊布尼茨公式就是其表現形式，多元微積分學中的格林公式和高斯公式也是其表現形式。現代數學最基本的兩門學科就是微積分和線性代數。正如華羅庚的大弟子龔升教授所說的： “一個學生或者老師說他學了多么多么高深的專業，但是他連微積分和線 性代數這兩門課都弄不清楚的話，那一切都是空的，糊弄外行是可以，但是如果真刀真槍干數學是不行的”。如何學好高等數學平心而論，高等數學確實是一門比較難的課程。極限的運算、無窮小 量、一元微積分學、多元微積分學、無窮級數等章節都有比較大的難度。很多學生對“怎樣才能學好這門課程？”感到困惑。要想學好高等數 學，要做到以下幾點： 首先，理解概念。數學中有很多概念。概念反映的是事物的本質，弄 清楚了它是如何定義的、有什么性質，才能真正地理解一個概念。其次，掌握定理。定理是一個正確的命題，分為條件和結論兩部分。對于定理除了要掌握它的條件和結論以外，還要搞清它的適用范圍，做到 有的放矢。不是每個定理都是關鍵的定理，因為有些定理只是關鍵定理的推廣而 已。我們可以用讀故事的心態去學數學，每一個定理就像一個故事中 的結局一樣，一定有它的前因后果，只有弄清楚了某些定理和定義的 終極目的，我們才能真正掌握它。如果我們學了一系列的定理或者定 義，卻不知道這些定理和命題是為了什么而服務，那么一切都是無用 功。第三，在弄懂例題的基礎上作適量的習題。要特別提醒學習者的是，課本上的例題都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例 題的特點和解法在理解例題的基礎上作適量的習題。作題時要善于總結----不僅總結方法，也要總結錯誤。這樣，作完之后才會有所收獲，才能 舉一反三。第四，理清脈絡。要對所學的知識有個整體的把握，及時總結知識體 系，這樣不僅可以加深對知識的理解，還會對進一步的學習有所幫助。高等數學有兩個特點：1.等價代換。在極限類的計算里，常等價代換 一些因子（這在量的計算中是不可理解的），但極限是階的計算。2.如果原函數形式使計算很困難，可使用原函數的積分或微分形式，這是化簡計算的思想。這三個函數之間的關系就是微分方程。

現代數學是自然科學的基本語言，是應用模式探索現實世界物質 運動機理的主要手段，更是現代技術與工程必不可少的工具。歷史物理學、天文學、力學的許多重大發現無不與數學的進步息息相關，如：牛頓力學、愛因斯坦的相對論、電磁波和光的本質的發現、海王 星和冥王星的發現、量子力學的誕生等等。20世紀最偉大的技術成就 電子計算機的發明和應用都是以數學為基礎的。而現代的許多所謂高 科技更是本質上就是“數學技術”，如：醫學上的 CT 技術、指紋的存儲和識別、飛行器的模擬設計、石油地質勘探的數據處理分析、信息 安全技術、保險精算、金融風險分析和預測等等。當今的數學不再只 是通過其他學科間接地應用于各技術領域，而是廣泛地直接地應用于各技術領域中。

第四篇：高等數學課程簡介

高等數學課程簡介

課程的性質、目的和任務

《高等數學》是培養學生掌握科學思維能力、掌握數學知識和數學技術的重要基礎課程。該課程所論及的科學思想和方法論，在自然科學、工程技術、經濟和社會科學等領域中具有廣泛應用和強勁的活力。

大學是一所以工為主、文理結合的綜合性大學，其中理工類專業占絕大多數，本課程是大學理工科各專業的一門必修公共基礎課，因此本課程安排在第一學期和第二學期開設，是考慮到工科學生必須具備高等數學的基礎知識，才能理解掌握用數學語言表述的數學規律，并學會用數學的方法解決數學問題，為基礎課專業基礎課打下良好的基礎。

課程教學的主要任務是培養學生掌握經典數學和近代數學的基本概念、基本原理及解題方法，掌握當代數學技術的基本技能；培養學生學會建立數學模型，具備用數學學方法解釋自然規律探索自然界奧秘的科學思維能力。

（二）教材與參考書

高等數學教研組的幾位具有多年教學經驗的教師于97年組織編寫了一套《高等數學》教材，由機械工業出版社出版，此教材是根據我校工科各專業特點而編寫，至2003年末已連續使用5屆，學生們及后續專業課教師普遍反映很好，2004年我們采用了面向21世紀國家級重點教材—同濟大學主編的《高等數學》（第五版）。此外，我校圖書館及應用數學系資料室又購進大批面向21世紀的國優、省優的相關教學參考書。

（三）師資隊伍及學術水平

《高等數學》課程由應用數學系教師擔任，師資力量雄厚，有教師18人、其中教授5人、副教授4人，講師5人，助教4人，年齡均在50歲以下，平均年齡為37歲，職稱結構合理，年齡結構優化，充滿生機和活力。部分教師已有20多年的教齡，具有豐富的教學經驗，帶動和培養了青年教師的教學水平的提高。18人中有4人正在職攻讀博士學位，2人即將畢業，3人正在攻讀碩士學位。中、青年教師承擔了多項科研和教改課題，具有較強的教學和科研開發能力，近4年來，在各類學術刊物上發表論文100余篇，統編教材4部，完成和正在承擔的科研和課程建設項目19項。其中國家級3項，省級3項，市校級10項，獲省級以上科研成果獎勵3項（佐證材料參看附表六和附表七）。高職授課率為100%

（四）教學設備和圖書資料

學校近幾年陸續建設了大量的多媒體教室，為一些課程進行現代化教學提供了方便條件，近幾年，高等數學課的教學采用多媒體教學與傳統教學手段相結合的方式，先后購買引進、聯合開發、自主開發了本課程的三套教學課件。近四年里，應用數學系資料室購置國內外數學圖書500余冊，每年訂閱相關雜志30余種。

（五）教學內容、方法與基本要求

理工類《高等數學》課程內容做統一要求，其中包括：（1）極限與連續；（2）一元函數微分學；（3）一元函數積分學；（4）向量代數與空間解析幾何基礎；（5）多元函數微分學；（6）多元函數積分學;（7）級數；（8）微分方程。（佐證材料參看附表十六到附表二十三）。

課程的基本要求：提煉經典數學內容、加強近代數學知識及前沿的內容。三百多年來，高等數學理論的發展推動和促進了許多工程技術學科的形成，在高等數學有限的學時內為了打開接觸現代高科技領域的窗口，使其具有較強的可持續發展性。

教學方法的改革，本課程在長期的教學實踐中形成了如下“三結合”的特色：（1）教學與科研相結合。為了從根本上提高教學質量，教師應該努力提高科研水平，將當代最新的科研成果滲透到課堂中，才能為學生指明正確的方向。近幾年來，我們發表科研及教學法研究論文 篇，主持國家級科研項目 3 項，主持省部級科研項目5 項。（2）教學手段與教學內容改革相結合。幾年來，自主開發、聯合開發、購買引進高等數學CAI課件3套，極大地豐富了教學手段，同時，鼓勵教師開展豐富多彩的課外輔助教學，并準備開設網上答疑系統。在教學內容上，將數學建模的思想滲透到理論教學中，結合教學進度，將數學軟件Maple、Matlab介紹展示給學生，增強了學生的應用技能。（3）參加數學建模競賽與教學改革相結合。通過參加數學建模競賽，使得廣大教師擺脫了傳統教學體系的束縛，廣泛借鑒了兄弟院校的教學改革經驗，將數學建模競賽中思想、方法滲透到日常的理論教學之中，并通過課件的反復修改提煉，使全體教師的教學水平進一步提高。

（六）現代化教學

先后購買引進、聯合開發、自主開發了本課程的三套CAI課件，連續四年來（02——06年）廣泛開展了教學手段與教學內容的改革。普遍采用多媒體教學與傳統教學相結合的教學手段，將數學建模的思想方法、Maple 與Matlab等當代數學軟件的基本功能，滲透穿插于理論教學的全過程，突出應用技能的培養。（佐證材料參看附表二十五）。

（七）建立和使用試題庫

96年引進西安交通大學的《高等數學》試題庫，04年又購買了其升級版，使用近8年，01年引進高教出版社出版的《線性代數》、《復變函數》、《概率論與數理統計》和《近代數學學》試題庫，近六年的《高等數學》考試完全由試題庫組題。（佐證材料參看附表二十四）

（八）考核方式

經過多年的教學實踐，我們總結經驗，制定了嚴格、細致的命題實施細則和評卷實施細則，在日常教學與考核方式上實行“五統一”，即：統一教學大綱、統一教學日歷、統一命題、統一閱卷、統一學生評教系統。（佐證材料參看附表十六到附表二十三以及附表三

十二、附表三十三和附表三十四）。

（九）課程建設

近五年來，高等數學課程申報了多項省級及校級課程立項并獲得批準，資助金額十余萬。提供了參加學術會議、購買圖書資料、教材的建設、多媒體課件的開發等經費。通過近幾年的建設，今年準備申報校及省級精品課。（佐證材料參看附表十）。

（十）青年教師培養

近五年來，我們引進中青年教師6人，其中原來是高校教師的1人，科研單位的1人，博士畢業生1人，碩士畢業生3人（現1人已獲得博士學位，1人在讀博士），本科畢業生2人（1人已獲得碩士學位，1人在讀碩士）。一直以來，我們非常重視教師隊伍的建設，對青年教師的培養尤為重要，青年教師入校時，校內組織崗前培訓，分配到各院系后，院系制定詳細的培養計劃，每一位青年教師都有專門的老教師進行指導培養。院里多次組織青年教師的教學比賽，選拔出幾名優秀的教師參加校級的教學比賽，其中我系青年教師趙冰、李靜、張彥分獲得燕山大學青年教師教學基本功競賽一、二等獎。組織青年教師聆聽優秀教師講課，聽名師講座和知識創新講座。鼓勵青年教師繼續深造，近四年有4名教師考取博士生和2名教師考取碩士生，其中1名博士和1名碩士已畢業。（佐證材料參看附表十三和附表十四）。

（十一）教學組織管理與教學研究改革

嚴格執行學校的教學規章制度，教學日歷科學嚴謹，課前準備充分，有完整的教案及講義，課堂教學嚴肅認真，內容傳授條理清楚，語言表達準確，課后輔導答疑細致、耐心，學生作業批改及時、認真。堅持聽課制度，教師之間互相聽課，互相交流，實行年輕教師的導師負責制（佐證材料參看附表十一）。

組織全體教師積極投入到教學研究和教學改革中，2005年申報成功校級課程建設項目“工科高等數學教學課程體系的建設”，從課程體系、教學內容、教學手段、考核方式、實踐環節等各方面對本課程進行全方位改革和建設。（佐證材料參看附

第五篇：高等數學課程教學設計方案

高等數學（2）課程教學設計方案

中央電大教務處教學管理科

（2005年04月15日）

（修訂稿）

一、課程概況

1．課程的性質、任務

“高等數學（2）”課程是中央廣播電視大學電子信息技術專業的一門必修的重要基礎理論課，是為培養學生的基本素質、學習后續課程服務的。

通過本課程的學習，要使學生掌握課程內容的基本概念和基本方法，逐步培養抽象概括問題的能力、邏輯推理能力、對實際問題進行統計判斷的能力，較熟練的運算能力和綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。

2．課程內容的設置及其指導思想

“高等數學（2）”課程計劃學時是63學時，內容包括“空間解析幾何與向量代數”、“多元函數微積分”、“傅立葉級數”。具體設置見教學大綱。

“高等數學（2）”課程的教學內容設置是根據電大電子信息技術專業專科層次的培養目標要求，以“必需、夠用”為度，其指導思想是降低理論推導，加強基本概念和基本方法的訓練，不追求繁瑣的計算和變換技巧。

二、學習者需求分析

廣播電視大學是遠程開放教育，學習者主要是在職的成人和社會青年，他們學習的主要特征是：

學習的目的性明確，他們或為提高自身的業務水平而學習，或為就業做準備而學習。因此要求所學內容要針對性強，能夠學以致用。

實踐經驗豐富，自學能力比較強。他們一般歡迎方便自學的學習媒體。

工學矛盾突出、缺少必要的學習環境、負擔較重。希望學習媒體具有方便、經濟和效率高的特點

基本素質參差不齊。要求學習媒體能夠因材施教，需要教學服務系統的支持。

三、教學實施方案

瀏覽人次10

（一）教學大綱

教學大綱是課程教學的根本依據?！案叩葦祵W”教學大綱所規定的教學內容符合教育部理工專科層次“高等數學”的教學基本要求，符合基礎課內容設置“必需”、“夠用”的基本原則。教學過程中，應遵循教學大綱實施教學。

（二）教材

1．文字教材

“高等數學（2）”文字主教材使用《高等數學（下冊）》和《高等數學（上冊第二分冊）》，柳重堪主編，中央電大出版社出版。

教學內容為第9章至第12章以及第7章中“傅立葉級數”的內容，63學時。

2．錄像教材

錄像教材由柳重堪教授主講，共34學時，可與高等數學文字教材配套使用。

3．VCD教材

VCD教材的內容采用分標題、模塊式講座的教學方式，主要講授課程的的基本概念和基本計算方法，以重要知識點為模塊，利用VCD的可交互性，供學生自主學習使用。

（三）其他輔導措施

每學期利用BBS進行一至兩次輔導，主要內容是各章自我檢測題目解答、各章內容的總結輔導及期末復習。

（四）形成性考核

1．形成性考核要求

獨立完成形成性考核是學好本課程的重要手段。形成性考核的作業題目應根據教學基本要求精選，份量要適度，由易到難。通過做練習題來加深對概念的理解和掌握，熟悉各種公式的運用，從而達到消化、掌握所學知識的目的。

每學期學生必須完成形成性考核的4次課程作業，形成性考核內容由中央電大統一規定。中央電大和省市電大將對規定的形成性考核的完成情況進行檢查。任課教師必須認真批閱學生形成性考核的作業，并根據作業完成的情況進行評分，給出形成性考核成績并計入學生期末總成績。

開設本課程的地方電大可以根據教學情況，適當補充一定的練習。

2．形成性考核的作業評判

學生必須按規定時間完成形成性考核的作業，態度認真，字跡工整，抄寫題目，解答題有解答過程。

任課教師必須按時收取形成性考核的作業，對于規定的作業進行詳批詳改，公平公正評定成績，并對學生的作業情況做詳細記錄。任課教師應將批改后的作業返還學生，學生對做錯的題目應認真進行改正。

形成性考核的作業最終成績按平均值確定。

任課教師批改形成性考核的作業應記相應的教學工作量。

各省市電大須及時布置并檢查學生作業的完成情況，并將檢查結果進行通報。

3．形成性考核的作業成績的認定

經辦學單位鑒定，報上級教學部門審定，驗收合格后成績有效。

各省市級電大須在學期的第19周前對形成性考核的作業進行全部檢查，并將作業成績報送中央電大。

（五）考試

考試是對教與學的全面驗收，是不可缺少的教學環節。

考試題目要全面，符合大綱要求，同時要做到體現重點，難度適中，題量適度，難度及題量的梯度應按照教學要求的三個不同層次安排，對未作具體要求教學的內容不作考試要求。

本課程的期末考試全國統一命題，統一評分標準，統一考試時間。

學生本課程的成績由期末考試成績和形成性考核成績兩部分組成，其中期末考試成績占80％，形成性考核成績占20％。

各地要嚴格考試紀律，統一把握評分標準，及時上報考試統計結果及分析報告。

中央廣播電視大學高等數學（2）課程組

2005年03月25日