第一篇：彈道動(dòng)力學(xué)分析

導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析與動(dòng)態(tài)特性分析在導(dǎo)彈總體設(shè)計(jì)中的作用

在導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析中，我們需要設(shè)定的參數(shù)有目標(biāo)的初速度、目標(biāo)的初始x向位置、目標(biāo)的初始y向速度，發(fā)動(dòng)機(jī)的推力、發(fā)動(dòng)機(jī)的工作時(shí)間、升力變化系數(shù)、阻力變化系數(shù)。經(jīng)計(jì)算我們便可以得到導(dǎo)彈的速度曲線、彈道曲線、需用法向過載時(shí)間曲線、攻角時(shí)間曲線、舵偏角時(shí)間曲線、推力時(shí)間曲線。例如設(shè)定參數(shù)如下

可得導(dǎo)彈的速度曲線、彈道曲線、需用法向過載時(shí)間曲線、攻角時(shí)間曲線、舵偏角時(shí)間曲線、推力時(shí)間曲線分別如圖所示：

導(dǎo)引彈道運(yùn)動(dòng)學(xué)分析對(duì)總體工作是一個(gè)相當(dāng)不錯(cuò)的工具，使得總體能夠在方案論證階段就能掌握系統(tǒng)需用過載的情況，從而為后續(xù)的彈體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、氣動(dòng)設(shè)計(jì)以及控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供依據(jù)。而導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析能對(duì)導(dǎo)引彈道運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的功能進(jìn)行擴(kuò)展，使得總體工程師在總體方案設(shè)計(jì)過程中隨著定量數(shù)據(jù)信息的積累能夠采用導(dǎo)引彈道分析方法獲得更多的系統(tǒng)特征量的需用值。

導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析是基于“瞬時(shí)平衡”假設(shè)的。所謂“瞬時(shí)平衡”就是認(rèn)為導(dǎo)彈繞彈體軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是無慣性的，即導(dǎo)彈的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)是沒有過度過程的，更進(jìn)一步說就是從舵偏角到法向加速度的動(dòng)力學(xué)變成了一個(gè)比例環(huán)節(jié)。在“瞬時(shí)平衡”假設(shè)下，導(dǎo)彈在整個(gè)飛行過程中的任意時(shí)刻都處于平衡狀態(tài)。

為了給出導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析的方法的思路，首先對(duì)導(dǎo)彈質(zhì)點(diǎn)彈道運(yùn)動(dòng)方程組進(jìn)行分析。導(dǎo)彈在鉛錘平面內(nèi)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組為

?dV?mdt?Pcos?B?X?mgsin?????①??mVd??Psin??Y?mgcos????②B?dt??dx?Vcos????????????????????????????????????③ ?dt??dy?Vsin????????????????????????????????????④?dt??dm??mc??????????????????????????????????????⑤?dt?加入控制方程

?B??mzzmz???z

就可以實(shí)現(xiàn)方程組的閉合。同樣，我們可以將質(zhì)點(diǎn)彈道與導(dǎo)引彈道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組結(jié)合，就能構(gòu)造出一組新的封閉方程組，作為導(dǎo)引彈道動(dòng)力學(xué)分析的工具。

對(duì)于動(dòng)態(tài)特性分析的重要性，因?yàn)榭傮w工程師的一個(gè)主要目標(biāo)是保證導(dǎo)彈作為一個(gè)被控運(yùn)動(dòng)體具有良好的被控特性，而被控特性從不同的控制理論出發(fā)來理解是不同的，對(duì)于古典控制理論，我們所關(guān)注的被控對(duì)象特性集中體現(xiàn)在增益、阻尼和固有頻率這三個(gè)特征量上。對(duì)于現(xiàn)代控制理論，我們更關(guān)心系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定性和可檢測(cè)性。

對(duì)于一名總體工程師，只有真正了解了導(dǎo)彈作為一個(gè)被控的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)特性的特點(diǎn)、抽象的“被控特性”與實(shí)際物理參數(shù)之間的關(guān)系乃至從控制角度對(duì)導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)所提出的主要要求，才能夠真正在總體設(shè)計(jì)中把握住明確的目標(biāo)，理清工作的脈絡(luò)。

通過以上分析，我們可以得出結(jié)論，在進(jìn)行導(dǎo)彈導(dǎo)引動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，設(shè)計(jì)的主要學(xué)科有： 1.理論力學(xué)

2.導(dǎo)彈飛行力學(xué)——導(dǎo)引彈道運(yùn)動(dòng)學(xué)分析 在進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析時(shí)，涉及的主要學(xué)科有： 1.自動(dòng)控制原理 2.導(dǎo)彈飛行力學(xué)

第二篇：動(dòng)力學(xué)分析方法

動(dòng)力學(xué)分析方法

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的研究方法可分為分析方法（結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析）和試驗(yàn)方法（結(jié)構(gòu)動(dòng)力試驗(yàn)）兩大類。[7-10]

分析方法的主要任務(wù)是建模（modeling），建模的過程是對(duì)問題的去粗取精、去偽存真的過程。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中，著重研究力學(xué)模型（物理模型）和數(shù)學(xué)模型。建模方法很多，一般可分為正問題建模方法和反問題建模方法。正問題建模方法所建立的模型稱為分析模型（或機(jī)理模型）。因?yàn)樵谡龁栴}中，對(duì)所研究的結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）有足夠的了解，這種系統(tǒng)成為白箱系統(tǒng)。我們可以把一個(gè)實(shí)際系統(tǒng)分為若干個(gè)元素或元件（element），對(duì)每個(gè)元素或元件直接應(yīng)用力學(xué)原理建立方程（如平衡方程、本構(gòu)方程、漢密爾頓原理等），再考慮幾何約束條件綜合建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。如果所取的元素是一無限小的單元，則建立的是連續(xù)模型；如果是有限的單元或元件，則建立的是離散模型。這是傳統(tǒng)的建模方法，也稱為理論建模方法。反問題建模方法適用于對(duì)系統(tǒng)了解（稱黑箱系統(tǒng)——black box system）或不完全了解（稱灰箱系統(tǒng)——grey box system）的情況，它必須對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，利用系統(tǒng)的輸入（載荷）和輸出（響應(yīng)——response）數(shù)據(jù)，然后根據(jù)一定的準(zhǔn)則建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這種方法稱為試驗(yàn)建模方法，所建立的模型稱為統(tǒng)計(jì)模型。

在動(dòng)力平衡方程中，為了方便起見一般將慣性力一項(xiàng)隔離出來，單獨(dú)列出，因此通常表達(dá)式為：

???I?P?0……………………………………(2)Mu其中M為質(zhì)量矩陣，通常是一個(gè)不隨時(shí)間改變的產(chǎn)量；I和P是與位移和速度有關(guān)的向量，而與對(duì)時(shí)間的更高階導(dǎo)數(shù)無關(guān)。因此系統(tǒng)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間二級(jí)導(dǎo)數(shù)的平衡系統(tǒng)，而阻尼和耗能的影響將在I和P中體現(xiàn)。可以定義：

??………………………………………(3)I?Ku?Cu如果其中的剛度矩陣K和阻尼矩陣C為常數(shù)，系統(tǒng)的求解將是一個(gè)線性的問題；否則將需要求解非線性系統(tǒng)。可見線性動(dòng)力問題的前提是假設(shè)I是與節(jié)點(diǎn)位移和速度是線性相關(guān)的。

將公式(2)代入(1)中，則有

???Cu??Ku?P…………………………………(4)Mu上述平衡方程是動(dòng)力學(xué)中最一般的通用表達(dá)式，它適合與描述任何力學(xué)系統(tǒng)的特征，并且包含了所有可能的非線性影響。求解上述動(dòng)力問題需要對(duì)運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)域內(nèi)積分，空間有限元的離散化可以把空間和時(shí)間上的偏微分基本控制方程組在某一時(shí)間上轉(zhuǎn)化為一組耦合的、非線性的、普通微分方程組。

線性動(dòng)力問題是建立在結(jié)構(gòu)內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和變形足夠小的假設(shè)基礎(chǔ)之上的，能夠滿足線性疊加原理，且系統(tǒng)的各階頻率都是常數(shù)。因此結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)可以由每個(gè)特征向量的線性疊加而得到，通常所說的模態(tài)疊加法由此而來。

在靜力分析中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)與施加在結(jié)構(gòu)上的載荷和邊界條件有關(guān)，使用有限元方法可以求解得到應(yīng)力、應(yīng)變和位移在空間上的分布規(guī)律；在動(dòng)力分析中，結(jié)構(gòu)響應(yīng)不但與載荷和邊界條件有關(guān)，還和結(jié)構(gòu)的初始狀態(tài)有關(guān)，在時(shí)域的任何一點(diǎn)上都可以使用有限元方法求解空間上的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，然后可以使用一些數(shù)值積分技術(shù)來求解得到時(shí)域中各個(gè)點(diǎn)上的響應(yīng)。

某特定系統(tǒng)動(dòng)力分析方法的選擇在很大程度上依賴于是否需要詳細(xì)考慮非線性的影響。如果系統(tǒng)是線性的，或者系統(tǒng)能夠被合理地線性化，最好選用模態(tài)分析的方法，因?yàn)槌绦驅(qū)€性問題分析的效率較高，而且同時(shí)在頻域和時(shí)域范圍內(nèi)求解將更有利于洞察系統(tǒng)的動(dòng)力特性。1.1 模態(tài)疊加法

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，如果考慮粘性阻尼，則其受迫振動(dòng)的微分方程為：

???Cu??Ku?f(t)…………………………………(5)Mu解此運(yùn)動(dòng)方程一般有兩類方法，一類是直接積分法，就是按時(shí)間歷程對(duì)上述微分方程直接進(jìn)行數(shù)值積分，即數(shù)值解法。另一類解法就是模態(tài)（振型）疊加法。

若已解出系統(tǒng)的各階固有頻率?1，?2，?，?n和各階主振型（模態(tài)）?1，?2，?，?n，并有：

T?i??a1i，a2i，?，ani?………………………………(6)因?yàn)橹髡裥偷恼恍裕芍髡裥褪蔷€性無關(guān)的，設(shè)有常數(shù)?1，?2，?，?n使

???i?1nii?0……………………………………………(7)上式兩端左乘?TjM有：

???ii?1nTjM?i?0………………………………………(8)注意到主振型關(guān)于質(zhì)量陣的正交性：?TjM?i?0，并代入上式，可推出?1??2????n?0，這就是證明了?1，?2，?，?n線性無關(guān)。

于是，由線性代數(shù)理論知向量?1，?2，?，?n構(gòu)成了n維空間的一組向量基，因此對(duì)于n個(gè)自由度系統(tǒng)的任何振動(dòng)形式（相當(dāng)于任何一個(gè)n維矢量），都可以表示為n個(gè)正交的主振型的線性組合，即

u???i?i……………………………………………(9)

i?1n寫成矩陣的形式為：

u???………………………………………………(10)上式就是展開定理。用模態(tài)（振型）疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)就是建立在展開定理的基礎(chǔ)上。在實(shí)際問題的應(yīng)用中，應(yīng)注意的是系統(tǒng)自由度太多，而高階模態(tài)對(duì)應(yīng)的影響通常又很小，所以應(yīng)用時(shí)在滿足工程精度的前提下，只取低階模態(tài)(N<

根據(jù)展開定理，對(duì)方程(2)實(shí)行坐標(biāo)變換，再以模態(tài)矩陣的轉(zhuǎn)置?T乘方程的兩邊，得：

????TC??????TK??????Tf(t)………………(11)?TM??若系統(tǒng)為比例阻尼，則可利用正交條件使上述方程變位一系列相互獨(dú)立的方程組：

???C????K????f………………………………(12)M?其中M、C和K都是對(duì)角矩陣，它們的對(duì)角線元素分別為：

mi??iTM?i

ci??iTC?i?2?i?iMi

ki??iTK?i??i2Mi

?i2?kimi

i?1,2,?,n…………………………(13)其廣義力為：

fi??iTf(t)………………………………………(14)這樣方程組(11)可寫為： ???C????K????f

i?1,2,?,n

(15)M?iiii這是n個(gè)相互獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，每一個(gè)方程都可以按自由度系統(tǒng)的振動(dòng)理論去求解。

如果fi為任意激振力，對(duì)于零初始條件的系統(tǒng)可以借助于杜哈梅積分公式求出響應(yīng)，即：

?i??hi(?)fi(t??)d?…………………………………(16)

0t其中hi(?)為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。如果fi為簡諧激勵(lì)，即：

fi?fi0ej?t………………………………………(17)則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

?i??i0ej?t………………………………………(18)將上式代入(14)，可解得：

?i?或

fiki?mi??j?ci2…………………………………(19)?i?fifi ………………(20)?ki(1??i2?j2?i?i)mi?i2(1??i2?j2?i?i)其中，?i???i，在主坐標(biāo)?i解出之后，應(yīng)返回到原廣義坐標(biāo)ui上，利用公式(9)和(20)得：

?iTf?i……………………………(21)u??2i?1ki?mi??j?cin上式表示了多自由度系統(tǒng)在簡諧激振力f作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從中可以看出激振響應(yīng)除了與激振力f有關(guān)外，還與系統(tǒng)各階主模態(tài)及表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的各個(gè)參數(shù)有關(guān)。

通過以上的內(nèi)容可以看出在以模態(tài)理論為基礎(chǔ)的各種分析過程中，必須首先進(jìn)行模態(tài)分析，提取結(jié)構(gòu)的自然頻率。對(duì)于自由振動(dòng)方程在數(shù)學(xué)上講就是固有（特征）值方程(eigen-equations)。特征值方程的解不僅給出了特征值(eigenvalues)，即結(jié)構(gòu)的自振頻率和特征矢量——振型或模態(tài)(eigenmodes)，而且還能使結(jié)構(gòu)在動(dòng)力載荷作用下的運(yùn)動(dòng)方程解耦，即所謂振型分解法或叫振型疊加法(modal summation methods)。

特征值或特征頻率的提取是建立在一個(gè)無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)上的，即振動(dòng)方程中沒有阻尼項(xiàng)的影響：

???Ku?0………………………………………(22)Mu特征值和結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)描述了結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)下的振動(dòng)特點(diǎn)和頻率特征。通過使用振型分解法解得振興和頻率，能夠很容易地求得任何線性結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。在結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析中，響應(yīng)通常與低階響應(yīng)有關(guān)。而且在通常實(shí)際問題中，只需要考慮前面幾個(gè)振型就能獲得相當(dāng)精度的解。對(duì)于只有幾個(gè)自由度的力學(xué)模型，只需要考慮一個(gè)或者兩個(gè)自由度就能求得動(dòng)力響應(yīng)的近似解，而對(duì)于具有幾百個(gè)甚至上千個(gè)自由度的高度復(fù)雜有限元模型，就需要考慮數(shù)十個(gè)甚至上百個(gè)振型對(duì)響應(yīng)的影響。

第三篇：非線性動(dòng)力學(xué)數(shù)據(jù)分析

時(shí)間序列分析讀書報(bào)告與數(shù)據(jù)分析

劉愉

200921210001

時(shí)間序列分析是利用觀測(cè)數(shù)據(jù)建模，揭示系統(tǒng)規(guī)律，預(yù)測(cè)系統(tǒng)演化的方法。根據(jù)系統(tǒng)是否線性，時(shí)間序列分析的方法可分為線性時(shí)間序列分析和非線性時(shí)間序列分析。

一、時(shí)間序列分析涉及的基本概念

對(duì)于一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，我們可以用方程表示其對(duì)應(yīng)的模型，如有限差分方程、微分方

1、測(cè)量

程等。如果用Xt或X(t)表示所關(guān)心系統(tǒng)變量的列向量，則系統(tǒng)的變化規(guī)律可表示成

Xt?1?f(Xt)或

dXdt?F(X)

其中X可以是單變量，也可以是向量，F(xiàn)是函數(shù)向量。通過這類方程，我們可以研究系統(tǒng)的演化，如固定點(diǎn)、周期、混沌等。

在實(shí)際研究中，很多時(shí)候并不確定研究對(duì)象數(shù)據(jù)何種模型，我們得到的是某類模型（用Xt或X(t)表示）的若干觀測(cè)值（用Dt或D(t)表示），構(gòu)成觀測(cè)的某個(gè)時(shí)間序列，我們要做的是根據(jù)一系列觀測(cè)的數(shù)據(jù)，探索系統(tǒng)的演化規(guī)律，預(yù)測(cè)未來時(shí)間的數(shù)據(jù)或系統(tǒng)狀態(tài)。

2、噪聲

測(cè)量值和系統(tǒng)真實(shí)值之間不可避免的存在一些誤差，稱為測(cè)量誤差。其來源主要有三個(gè)方面：系統(tǒng)偏差（測(cè)量過程中的偏差，如指標(biāo)定義是否準(zhǔn)確反映了關(guān)心的變量）、測(cè)量誤差（測(cè)量過程中數(shù)據(jù)的隨機(jī)波動(dòng)）和動(dòng)態(tài)噪音（外界的干擾等）。高斯白噪聲是一類非常常見且經(jīng)典的噪聲。所謂白噪聲是指任意時(shí)刻的噪聲水平完全獨(dú)立于其他時(shí)刻噪聲。高斯白噪聲即分布服從高斯分布的白噪聲。這類噪聲實(shí)際體現(xiàn)了觀測(cè)數(shù)據(jù)在理論值（或真實(shí)值）周圍的隨機(jī)游走，它可以被如下概率分布刻畫：

p(x)dx?12??22exp?(x?M)2?2dx

（1）

其中M和?均為常數(shù)，分別代表均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

3、均值和標(biāo)準(zhǔn)差

最簡單常用的描述時(shí)間序列的方法是用均值和標(biāo)準(zhǔn)差表示序列的整體水平和波動(dòng)情況。（1）均值

如果M是系統(tǒng)真實(shí)的平均水平，我們用觀測(cè)的時(shí)間序列估計(jì)M的真實(shí)水平方法是：認(rèn)為N個(gè)采樣值的水平是系統(tǒng)水平的真實(shí)反映，那么最能代表這些觀測(cè)值（離所有觀測(cè)值最近）的Mest即可作為M的估計(jì)。于是定義Dt與Mest的偏離為(Dt?Mest),所以，使下面E最小的M的估計(jì)值即為所求：

N22E??(Dtt?1?Mest)

（2）

1/11 經(jīng)過求道計(jì)算，得到

M?1NNest?Dtt?

1（3）

即樣本的均值即為系統(tǒng)真是均值的估計(jì)值。

（2）標(biāo)準(zhǔn)差

標(biāo)準(zhǔn)差代表了系統(tǒng)在均值兩側(cè)的波動(dòng)情況。對(duì)時(shí)間樣本有：

Vt?Dt?Mest

（4）

為了分析所有時(shí)間上平均的波動(dòng)情況，我們也可以嘗試對(duì)波動(dòng)取平均，即：

1NN?t?1(Dt?Mest?1)???N?N?t?1?Dt???Mest?0

（5）?我們發(fā)現(xiàn)，這樣平均的結(jié)果是正負(fù)波動(dòng)抵消了，波動(dòng)的平均恒為零，為了避免這種情況，改用波動(dòng)的平方的平均水平代替，即

?2?1NN?Vtt?12?1NN?(Mestt?1?Dt)

（6）

2?即為標(biāo)準(zhǔn)差。（3）均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差

我們用Mest估計(jì)M，存在一定偏差或不確定性，即：

Mest?M?uncertainty

（7）

實(shí)際上，這種不確定性來自每次測(cè)量偏差的平均，通常每次測(cè)量偏差是服從高斯分布的，所以平均的不確定性計(jì)算得：

?N

（8）

我們稱之為均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

二、線性時(shí)間序列分析方法及模型舉例

對(duì)于線性時(shí)間序列，主要的分析方法有：均值和標(biāo)準(zhǔn)差、線性相關(guān)分析和功率譜分析。

1、均值和標(biāo)準(zhǔn)差分析前面已經(jīng)講過；

例：模型一（模型本身是確定的（無外界干擾等隨機(jī)波動(dòng)），觀測(cè)序列是真實(shí)值加上高斯白噪聲；）

有限差分方程系統(tǒng)：xt?1?A??xt，其平穩(wěn)狀態(tài)為xt?A/(1??)?M；觀測(cè)時(shí)間序列Dt?xt?Wt，其中，Wt 獨(dú)立的服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為?的高斯分布。從系統(tǒng)的差分方程我們可以看到，系統(tǒng)本身不受外界干擾，是確定性模型。所以觀測(cè)得到時(shí)間序列的波動(dòng)完全來自于測(cè)量過程。

對(duì)于上述模型，可以通過均值、方差的估計(jì)即可估計(jì)模型、作出預(yù)測(cè)。

2、線性相關(guān)分析

2/11 這種分析方法用于研究時(shí)間上相關(guān)的序列，即后一時(shí)刻的值完全或部分由前一時(shí)刻的或前幾個(gè)時(shí)刻的值決定。在模型一中，我們假設(shè)Wt之間是獨(dú)立的；當(dāng)這種假設(shè)不成立時(shí)，取另一種極端，即后一時(shí)刻完全取決于前一時(shí)刻的值：

Vt?1?f(Vt)

（9）

我們以簡單的線性函數(shù)為例：

Vt?1??Vt

（10）

如果結(jié)合完全獨(dú)立的情形與式（10），則有以下情況：

Vt?1??Vt?W

（11）

ρ在-1到1之間取值，ρ越接近0，數(shù)據(jù)間越不相關(guān)；ρ接近1，表示線性正相關(guān)；ρ接近-1，表示線性負(fù)相關(guān)

通過時(shí)間序列的一系列觀測(cè)值Dt減去均值得到Vt，我們可以通過以下公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，?est??t?1N?1Vt?1VtVtVt?t?1N?

1（12）

例：模型二（模型本身有不確定因素（外界干擾），觀測(cè)序列是真實(shí)值加上高斯白噪聲）

受外界因素影響的有限差分方程：xt?1?A??xt?vt，引入的vt是外界干擾造成的系統(tǒng)本身的波動(dòng)，測(cè)量過程仍然像Model One一樣，Dt?xt?Wt，這是如果做Vt?1對(duì)Vt的變化圖（見課本figure 6.7），發(fā)現(xiàn)二者之間有強(qiáng)烈的線性關(guān)系。對(duì)于這類模型，我們即可用線性相關(guān)分析來建模、預(yù)測(cè)。

如果將線性相關(guān)加以推廣，可以得到自相關(guān)函數(shù)，它反映的是Vt與Vt?k之間的關(guān)系：

R(k)??t?1N?kVt?kVtVtVt?t?1N?k

（13）

3、功率譜分析（1）傅里葉變換

對(duì)線性系統(tǒng)，一個(gè)信號(hào)可以分解成為不同頻率的正弦波。

（a）頻率為ω的正弦輸入，它的輸出也是同頻率的正弦信號(hào)，但是幅度和相位可能發(fā)生改變。輸出正弦波的振幅與輸入正弦波的振幅滿足：

Aoutput(?)?G(?)Ainput(?)

（14）

輸出相位相對(duì)輸入相位在每個(gè)頻率上有固定的偏移，即：

?(?)??output(?)??input(?)3/11

（15）G(?)稱為系統(tǒng)的增益，它在不同頻率上通常不一樣。?(?)稱為相移，在不同的頻率成分通常相移也不同。

（b）線性疊加的輸入的輸出結(jié)果等于各個(gè)輸入分別輸入時(shí)的輸出的疊加。把一個(gè)信號(hào)分解成不同頻率正弦信號(hào)的方法即傅里葉變換。

特殊的，輸入為白噪聲時(shí)，Ainput(?)是一個(gè)與噪聲標(biāo)準(zhǔn)差成正比的常數(shù)，與頻率無關(guān)，即白噪聲可以認(rèn)為是所有不同頻率成分信號(hào)之和，所以稱之為“白”。（c）傳輸函數(shù)

如果已知輸入和輸出，可以得到：

G(?)?Aoutput(?)Ainput(?)

?(?)??outp(?)??inpu(?)utt

（16）

（16）中兩個(gè)函數(shù)成為出傳輸函數(shù)，可以用于描述系統(tǒng)特性。

（d）功率譜

如果我們不能準(zhǔn)確得到輸入信號(hào)，但是我們知道或假設(shè)它是白噪聲。則Ainput(?)就是常數(shù)，進(jìn)而有：

G(?)?constAoutput(?)

（17）

G(?)的平方稱為功率譜。功率譜包含了與自相關(guān)函數(shù)完全一樣的信息。事實(shí)上，功率譜就是自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換。盡管它們蘊(yùn)含的信息是一樣的，但不同形式使它們?cè)诜治鰯?shù)據(jù)時(shí)又具有各自的優(yōu)勢(shì)。所以有時(shí)使用功率譜來分析數(shù)據(jù)比用自相關(guān)函數(shù)更有優(yōu)勢(shì)。

三、非線性時(shí)間序列分析方法及模型

前面列舉了一系列線性時(shí)間序列的分析方法，但是對(duì)于非線性系統(tǒng)，存在一種特殊的狀態(tài)，即混沌狀態(tài)，對(duì)于混沌狀態(tài)的時(shí)間序列，我們無法用線性的分析方法區(qū)分。

例：第一章的有限差分方程：

xt?1??xt(1?xt)

（18）

Dt?xt

（19）

觀測(cè)值即使不引入噪聲，其時(shí)間序列也在不斷波動(dòng)，當(dāng)?=4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，用線性自相關(guān)函數(shù)分析，如圖6.14，發(fā)現(xiàn)我們無法區(qū)分這個(gè)非線性模型與模型一。

我們需要探索一些分析非線性時(shí)間序列的方法。對(duì)于非線性時(shí)間序列分析，主要包括兩部：重構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型和系統(tǒng)特征的刻畫。

1、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型的重構(gòu)：

（1）對(duì)于有限差分方程——構(gòu)建return map

Return map 是觀測(cè)值Dt?1關(guān)于Dt的圖像（回歸曲線），反映的是xt?1與xt的關(guān)系。（2）對(duì)于微分方程——重構(gòu)相平面

一維高階微分方程可以轉(zhuǎn)化為多維一階微分方程組，以二階微分方程為例，4/11

dxdt22??bx

（20）

轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一階微分方程組：

?dx?y??dt??dy??bx??dt

（21）

要做變量x與y的相平面，首先要做如下離散化和近似： 觀測(cè)值D0,D1,?，將x關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)近似為：

dx(t)dtx(t?h)?x(t)hdDtdtDt?h?Dth?limh?0??

（22）

其中h只能取整數(shù)，最小取1，事實(shí)上，h去較大值也可以得到合適得結(jié)果。重建相平面實(shí)際是做Dt?h?Dthdxdt關(guān)于Dt的圖，有時(shí)候，只可以只做Dt?h關(guān)于Dt的圖。

dydt對(duì)于更一般的微分方程：

?f(x,y),?g(x,y)

（23）

雖然情況更復(fù)雜，但也可以通過這種方法重建相平面，圖6.17-6.19可以說明這一過程的合理性。

（3）嵌入時(shí)間序列

對(duì)于更高維的時(shí)間序列（p維），需要用嵌入時(shí)間序列的方法構(gòu)建相平面（相空間），p維的的嵌入時(shí)間序列構(gòu)成如下：

Dt?(Dt,Dt?h,Dt?2h,?,Dt?(p?1)h)

（24）

其中p是嵌入維數(shù)，h是嵌入延遲。

經(jīng)過上述三種方法，可以基本得到模型的基本特征。

2、系統(tǒng)特征的描述：

在模型重構(gòu)后，可以通過擬合等方式對(duì)系統(tǒng)特征做進(jìn)一步刻畫。

四、混沌時(shí)間序列的刻畫

混沌定義：bounded, deterministic dynamics that are aperiodic and display sensitive dependence on initial conditions.根據(jù)定義中體現(xiàn)的混沌系統(tǒng)的特征，用時(shí)間序列分析的方法研究。

1、有界

有界的定義是當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)永遠(yuǎn)保持在有限空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)。這個(gè)定義直接用于時(shí)間序列分析并不是很有效，因?yàn)闇y(cè)量的時(shí)間序列是時(shí)間上是有限的，變化范圍也是一定的。

在時(shí)間序列分析中可以用另一種方法研究系統(tǒng)是否有界——穩(wěn)態(tài)，即時(shí)間序列在演化過程中是否體現(xiàn)了相同的行為特性。相似的行為可以用均值和方差衡量。一種常用的衡量方法是將時(shí)間序列等分（三分、四分或十分等等），計(jì)算每段的均值和方差是否相近或統(tǒng)

5/11 計(jì)意義上可以認(rèn)為相同。

如果一個(gè)時(shí)間序列是分平穩(wěn)的，我們可以通過對(duì)時(shí)間序列做一些變換使之平穩(wěn)，如一階差分或后一時(shí)刻與前一時(shí)刻相除等。

2、非周期

混沌的系統(tǒng)是非周期的，由于噪聲因素，即使周期的序列也可能出現(xiàn)非周期，那么如何判定時(shí)間序列是否存在周期呢？對(duì)于一維時(shí)間序列或p維的嵌入時(shí)間序列 Dt，我們定義時(shí)間i和j的測(cè)量值之間的距離定義為：

?i,j?|Di?Dj|

（25）

嚴(yán)格的周期T定義是當(dāng)|i?j|?nT,n?0,1,2,?時(shí)，?i,j?0，對(duì)于有噪聲的時(shí)間序列，我們定義一個(gè)距離r，當(dāng)?i,j?r時(shí)，我們就在坐標(biāo)(i, j)處打點(diǎn)，我們將這樣做出的圖成為recurrence plots，它可以看出重建的軌線如何重復(fù)自身的演化。（圖6.26和圖6.27是r取不同值時(shí)的圖，都可以看出系統(tǒng)的周期，圖6.28和6.29是混沌的情形）。對(duì)于混沌的時(shí)間序列，圖的形狀可能和r的選取有關(guān)，于是定義出這樣一個(gè)correlation integral：

C(r)?numberoftimes|Di?Dj|?rN(N?1)

（26）

這是一個(gè)對(duì)于混沌系統(tǒng)很重要的指標(biāo)，它的重要意義不在于某個(gè)r處C(r)的取值，而在于C(r)如何隨r變化。

（1）對(duì)周期序列，r微小的變化不會(huì)引起C(r)明顯的變化；

（2）對(duì)混沌序列，r微小的變化會(huì)使C(r)明顯增大，即打點(diǎn)明顯增多；（3）對(duì)于白噪聲，r微小變化時(shí)C(r)增大更快。

事實(shí)上，C(r)與分形維數(shù)密切相關(guān)，取一點(diǎn)做參考點(diǎn)，隨著r增加，距離參考點(diǎn)r范圍內(nèi)的點(diǎn)與rv成正比，其中v是系統(tǒng)，所以有：

C(r)?Arv

（27）

A是比例常數(shù)，兩邊取log得到：

logC(r)?vlogr?logA

（28）

所以，只要對(duì)log C(r)與log r擬合，即可推算出維數(shù)。用相關(guān)維數(shù)可以分析混沌時(shí)間序列的吸引子，當(dāng)嵌入時(shí)間維數(shù)p≥2v+1時(shí)，可以重構(gòu)出系統(tǒng)吸引子，有時(shí)候p≥v也足夠了。

3、確定性

如果已知t時(shí)刻的值，在預(yù)測(cè)下一時(shí)刻值過程中沒有隨機(jī)因素，那么系統(tǒng)就是確定的，如模型一；如果混入了隨機(jī)因素（外界干擾），則系統(tǒng)是不確定的。但是，在觀測(cè)時(shí)間序列中，噪聲是不可避免的，如果預(yù)測(cè)是完美的，就成系統(tǒng)完全確定，如果預(yù)測(cè)是好的但不完美，就說系統(tǒng)有一個(gè)確定成分。

假設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)最后時(shí)刻是T，我們可以用一下方法預(yù)測(cè)T+1時(shí)刻的值：（1）產(chǎn)生嵌入時(shí)間序列Dt；（2）找到時(shí)間T的嵌入點(diǎn)列：

DT?(DT,DT?h,?,DT?(p?1)h)

6/11 找到其他的嵌入時(shí)間序列中與DT最接近的點(diǎn)Da；

（3）基于系統(tǒng)的確定性，Da+1可以看做是由Da預(yù)測(cè)出來的，所以將Da+1作為是T+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，記PT+1。

另一種預(yù)測(cè)方法是用與DT最接近的K個(gè)點(diǎn)Dai的下一時(shí)刻Dai?1的平均值作為T+1時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，即：

?T?1?1KK?Da?（29）

ii?1既然是預(yù)測(cè)，一定有預(yù)測(cè)誤差，衡量預(yù)測(cè)誤差，通常是將觀測(cè)數(shù)據(jù)分為兩半，用前一半數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)后一半數(shù)據(jù)，后一半數(shù)據(jù)測(cè)量值與預(yù)測(cè)值比較，衡量預(yù)測(cè)誤差，即：

??1TT?(Di?1T?k?PT?k)（30）

ε越小，說明預(yù)測(cè)越好，至于ε小到什么程度算預(yù)測(cè)足夠好，可以與最差的預(yù)測(cè)（如所有觀測(cè)值序列的平均值，喪失了所有時(shí)間信息，只保留了系統(tǒng)的平均水平）的誤差做比較，?lazy?1TT?(DT?kk?1?Plazy)

（31）

當(dāng)Plazy?Mest時(shí)，?lazy其實(shí)就是時(shí)間序列的方差σ，所以用

2??2即可衡量預(yù)測(cè)誤差的大小，比值越小越好。

4、對(duì)初值的敏感性

混沌系統(tǒng)的另一重要特征就是對(duì)初值敏感，衡量系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性可以用Lyapunov指數(shù)，其計(jì)算步驟可以如下概括：

（1）在給定初值后，經(jīng)迭代產(chǎn)生序列x0,x1,?,xn?1（2）計(jì)算每點(diǎn)處的斜率（3）計(jì)算李氏指數(shù)：

1????n?1?t?0df?nxt? ?dx?（4）當(dāng)給定兩個(gè)初始值x0，y0時(shí)，n步迭代后的值xn和yn的差距約為：

n?1xn?yn??t?0dfdxxt|x0?y0|

五、混沌和非線性的檢測(cè)

混沌是一種復(fù)雜的現(xiàn)象，判定一個(gè)時(shí)間序列是否來自對(duì)非線性系統(tǒng)或混沌系統(tǒng)的觀測(cè)，更嚴(yán)格的方法是假設(shè)檢驗(yàn)。

1、零假設(shè)：數(shù)據(jù)來自線性系統(tǒng)

7/11 xt?1?a0xt?a1xt?1?a2xt?2???ap?1xt?(p?1)?vt

2、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：在零假設(shè)條件下用觀測(cè)時(shí)間序列計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，常用的三種統(tǒng)計(jì)量有：非線性系統(tǒng)的預(yù)測(cè)方差、李氏指數(shù)、相關(guān)維數(shù)等，當(dāng)然還有一些其他的統(tǒng)計(jì)量也可以用來假設(shè)檢驗(yàn)。

3、假設(shè)檢驗(yàn)：在零假設(shè)下觀測(cè)時(shí)間序列得到的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量如果落在拒絕域內(nèi)，則認(rèn)為系統(tǒng)為非線性的或混沌的，否則接受原假設(shè)，認(rèn)為是線性系統(tǒng)。

六、實(shí)例數(shù)據(jù)分析

P4.txt、TP8.txt是2個(gè)時(shí)間序列信號(hào)的數(shù)據(jù)文件，該數(shù)據(jù)的采樣率是500Hz。試實(shí)現(xiàn)：

1、在時(shí)間軸上顯示原始數(shù)據(jù)波形；

2、求每個(gè)信號(hào)的功率譜，在頻率軸上顯示結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡單地討論；

3、求每個(gè)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)，在時(shí)間軸顯示結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡單地討論；

4、求2個(gè)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，在時(shí)間軸顯示結(jié)果，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行簡單地討論。分析結(jié)果：

1、時(shí)間軸上數(shù)據(jù)波形：

從時(shí)間序列上看，兩組數(shù)據(jù)基本維持在一個(gè)平衡水平，但是都存在尖峰，從時(shí)間序列看不出更豐富的信息，需要用其他方法進(jìn)一步分析。

2、功率譜：

功率譜的計(jì)算有兩種方式：

（1）計(jì)算時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)，再對(duì)自相關(guān)函數(shù)做傅里葉變換的幅度譜；（2）時(shí)間序列傅里葉變換的幅度譜的平方除以點(diǎn)數(shù)N。這里采用的第一種方法，結(jié)果如下圖：

8/11

從兩個(gè)時(shí)間序列的功率譜看，能量主要集中在了低頻部分，高頻部分能量分布極少，為了更清晰的看能量在低頻的分布，我們截取0-20Hz部分的頻率譜，如下圖：

從圖上可以看出，兩個(gè)時(shí)間序列的低頻成分中能量最大的頻率大概都在1.7Hz左右，TP8的能量分布更集中，P4還有較多能量分布在0.5Hz左右。

3、自相關(guān)函數(shù)：

自相關(guān)函數(shù)反映的是t時(shí)刻與前t-k時(shí)刻記錄值的關(guān)系，如果信號(hào)本身是周期的，其自相關(guān)函數(shù)保持與時(shí)間序列相同的周期，從下面兩個(gè)序列的自相關(guān)函數(shù)圖中，數(shù)據(jù)沒有周期現(xiàn)象，而且相關(guān)函數(shù)隨k增大很快降到0.2一下，并在-0.2和0.2之間震蕩，TP8震蕩的頻率更高。

9/11

截取前1000個(gè)點(diǎn)，進(jìn)一步觀察：

從上圖可以更好的體現(xiàn)出相關(guān)系數(shù)的變化，而且可以看出兩個(gè)時(shí)間序列變化的一致性，TP8比P4相關(guān)程度衰減得更快。為了更好的研究兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，我們下面將做兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)函數(shù)。

4、兩組數(shù)據(jù)的互相關(guān)函數(shù)：

10/11

截取兩側(cè)各500個(gè)點(diǎn)觀察：

上圖反映了兩個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的相關(guān)性，在k=0時(shí)，互相關(guān)函數(shù)最大，所以兩個(gè)時(shí)間序列是同步的。

11/11

第四篇：無碳小車動(dòng)力學(xué)分析

2、相關(guān)計(jì)算：

原動(dòng)機(jī)構(gòu)的作用是將重物下降的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小車的動(dòng)能。

在重物下降過程中，驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，為小車提供動(dòng)力，設(shè)重物質(zhì)量為M,下降高度為h，則其重力勢(shì)能為Mgh,轉(zhuǎn)化為自身的動(dòng)能EK1、小車的動(dòng)能EK2、小車行走過程中的摩擦及損耗

W損，Mgh?12Mv12，E1k1?EK2?W損

其中，EK1?12Mv12，EK1?v為重物下降的速度，也是驅(qū)動(dòng)軸的線速度；

n周，v2為同一時(shí)刻小車的行進(jìn)速度，也是后輪的線速度；設(shè)驅(qū)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)一周，后輪轉(zhuǎn)動(dòng)所以，vv

12?d驅(qū)動(dòng)軸nd后輪

設(shè)重物下降過程中加速度為a, 繩子的拉力為T, 有：

T?M(g?a)

由此產(chǎn)生的力矩為：

M1?T?R驅(qū)動(dòng)軸??（其中?為考慮摩擦影響而設(shè)置的系數(shù)）

分析可得：

1.當(dāng)拉力一定時(shí)，驅(qū)動(dòng)軸半徑越大，產(chǎn)生的力矩越大，驅(qū)動(dòng)軸半徑越小，產(chǎn)生的力矩越小； 2.當(dāng)力矩M達(dá)到一定的大小保持不變，驅(qū)動(dòng)軸半徑越小，拉力T越大，從而使物塊減速。

3、機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

根據(jù)前面的分析與計(jì)算，將驅(qū)動(dòng)軸設(shè)計(jì)為階梯軸：

3.1.3動(dòng)力學(xué)分析模型 a、驅(qū)動(dòng)

如圖：重物以加速度向下加速運(yùn)動(dòng)，繩子拉力為T，有T?m(g?a)

產(chǎn)生的扭矩M2?T?r2??1，（其中?1是考慮到摩擦產(chǎn)生的影響而設(shè)置的系數(shù)。）

驅(qū)動(dòng)輪受到的力矩MA，曲柄輪受到的扭矩M1，NA為驅(qū)動(dòng)輪A受到的壓力，F(xiàn)A為驅(qū)動(dòng)輪A提供的動(dòng)力，有

MA?M1?M2??2i（其中?2是考慮到摩擦產(chǎn)生的影響而設(shè)置的系數(shù)）

MA?NA???FA?R

b、轉(zhuǎn)向

假設(shè)小車在轉(zhuǎn)向過程中轉(zhuǎn)向輪受到的阻力矩恒為MC，其大小可

Nc1?BRc1??11??2?(?)E1E222?c?由赫茲公式求得，Nc??c?B?2b

由于b比較小，故 Mc???cbB142

對(duì)于連桿的拉力Fc，有

sin?c2??c?1r1?sin?1 l?2???arcsinc?(1?cos?)l?cos?c2

Mc?Fc?cos?c2?c?sin?c1M1?Fc?c?sin(???c2)c、小車行走受力分析

設(shè)小車慣量為I，質(zhì)心在則此時(shí)對(duì)于旋轉(zhuǎn)中心O?的慣量為I?

22?I?I?m[(?A?a1)?a3]（平行軸定理）

Nc??NB??22I????FA??A??(?A?a1)?d?(?A?a1?a2)rcR

小車的加速度為：

aA????A

aAa?Rr2

整理上述表達(dá)式得：

第五篇：動(dòng)力學(xué)論文

《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》小論文

利用對(duì)稱性求解動(dòng)力問題

組員姓名：

專業(yè)班級(jí):

土木班

指導(dǎo)老師：

完成時(shí)間：2014年X月

《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》小論文

——?jiǎng)恿τ?jì)算中對(duì)稱性的運(yùn)用問題

一、摘要

用柔度法計(jì)算對(duì)稱結(jié)構(gòu)的振動(dòng)頻率和周期時(shí)，選取半結(jié)構(gòu)可以簡化計(jì)算。學(xué)習(xí)之初，對(duì)如何建立等效的半結(jié)構(gòu)模型存在一些疑問，通過老師的講解以及自己的摸索，逐漸形成了一個(gè)比較清晰的概念，這篇小論文將就這一問題和如何選取對(duì)稱結(jié)構(gòu)進(jìn)行一個(gè)小結(jié)。

二、對(duì)稱法理論分析簡介

1.利用對(duì)稱性求解多自由度體系的自振頻率及其相應(yīng)的主振型

（a）

結(jié)構(gòu)對(duì)稱，質(zhì)量分布也對(duì)稱。該類結(jié)構(gòu)不僅可以利用對(duì)稱性求自振頻率和主振型；而且應(yīng)充分的利用對(duì)稱性進(jìn)行簡化計(jì)算。

圖（1）

圖1為一對(duì)稱結(jié)構(gòu)，質(zhì)量分布也對(duì)稱，其自由振動(dòng)的微分方程為

yi=-j=14mjyjδij

（i=1,2,3,4）

（a）

由于對(duì)稱性，有：

m1=m4，m2=m3

δ11=δ44，δ22=δ33，δ13=δ42，δ21=δ34

根據(jù)位移互等定理，有δij=δji（i不等于j）。將式（a）的第一式和第四式相加，第二式和第三式相加，分別得：

y1’=-m1y1’δ11‘-m2y2’δ12’

（b）

y2’=-m1y1’δ21‘-m2y2’δ22‘

（b）

式中：

y1’=y1+y4，y2’=y2+y3

δ11，=δ11+δ14，δ22，=δ22+δ23

δ12，=δ21，=δ12+δ13=δ21+δ24

再將式（a）的第一式減去第四式，第二式減去第三式，分別可得：

y1‘’=-m1y1‘’δ11‘’-m2y2‘’δ12‘’

（c）

y2‘’=-m1y1‘’δ21‘’-m2y2‘’δ22‘’

（c）

式中：

y1‘’=y1-y4，y2‘’=y2-y3

δ11‘’=δ11-δ14，δ22‘’=δ22-δ23，δ12‘’=δ21‘’=δ12-δ13=δ21-δ24

至此，把一組四元二階方程式（a)簡化為兩組二元二階微分方程式（b)和(c)，也就是說，求四個(gè)自由度體系的頻率和主振型簡化成求兩個(gè)自由度體系的頻率和主振型。

利用對(duì)稱性計(jì)算頻率和主振型時(shí)，通常可取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。圖1所示體系，其主振型不外乎圖2，3和4，5所示的四種形式。圖2，3為對(duì)稱振型，圖4，5為對(duì)稱振型。它們分別可取圖6和7所示的半邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算.下面給一算例：

例：求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及相應(yīng)的主振型，EI為常數(shù)

圖一

圖二

對(duì)稱結(jié)構(gòu)，計(jì)算正對(duì)稱振型時(shí)，B截面既不能轉(zhuǎn)動(dòng)，又不能移動(dòng)，如圖二，可取半邊結(jié)構(gòu)如下圖三

圖三

圖四

計(jì)算反對(duì)稱振型時(shí)，振型如圖五，B截面只能轉(zhuǎn)動(dòng)，不能移動(dòng)，可取半邊結(jié)構(gòu)如圖六

圖六

圖五

圖七

兩種振型見圖二和圖五，由計(jì)算結(jié)果可知，該結(jié)構(gòu)反對(duì)稱主振型為第一主振型，其對(duì)應(yīng)頻率為第一主頻率。

因此不管是靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，是計(jì)算靜態(tài)問題還是動(dòng)態(tài)問題，對(duì)稱結(jié)構(gòu)在計(jì)算時(shí)通常可以簡化，我們應(yīng)充分利用對(duì)稱性，使求解得以簡化，以加快解題速度，達(dá)到更好的效果。

但對(duì)稱法中還有很多值得商榷的小問題，以例題的形式開始討論：

三、建立等效半結(jié)構(gòu)模型

1、自由振動(dòng)時(shí)半結(jié)構(gòu)的選取

例1

試求圖示剛架的自振頻率。

L

EI

EI

EI

L

m

m

解：（1）結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可取半結(jié)構(gòu)。計(jì)算簡圖如下：

根據(jù)柔度系數(shù)的定義，在質(zhì)量m處作用單位力，畫出結(jié)構(gòu)的彎矩圖，圖乘即得到柔度系數(shù)。

EIE

EI

EI

L

L/2

半結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

彎矩圖

需注意，由于取了半結(jié)構(gòu)，在計(jì)算自振頻率時(shí)，質(zhì)量應(yīng)由原來的2m變?yōu)閙進(jìn)行計(jì)算。

（2）求整個(gè)結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，計(jì)算簡圖如下：

計(jì)算簡圖

彎矩圖

繪彎矩圖時(shí)，由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱，可取半結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。但最終對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行圖乘。

注意，此題實(shí)際上并沒有取半結(jié)構(gòu)，因此計(jì)算頻率時(shí)質(zhì)量仍為2m，雖然柔度系數(shù)為取半結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)的二倍，但與質(zhì)量相乘可以約分，所得結(jié)果與取半結(jié)構(gòu)計(jì)算是一樣的。

（3）結(jié)論：

①

計(jì)算對(duì)稱結(jié)構(gòu)的自振頻率時(shí)，如果取半結(jié)構(gòu)，則質(zhì)量應(yīng)為原來的二分之一；對(duì)于半結(jié)構(gòu)求柔度系數(shù)，應(yīng)按柔度系數(shù)的定義在結(jié)構(gòu)上施加單位力，繪出半結(jié)構(gòu)的彎矩圖并圖乘，即所有的計(jì)算都是基于半結(jié)構(gòu)的；

②

若僅僅對(duì)于繪彎矩圖階段取半結(jié)構(gòu)，則單位力應(yīng)變?yōu)樵瓉淼亩种唬蟪稣麄€(gè)結(jié)構(gòu)的彎矩圖并圖乘，即計(jì)算是基于整個(gè)結(jié)構(gòu)的，因此最后求頻率時(shí)質(zhì)量不變，實(shí)際上對(duì)于整個(gè)題目而言并沒有取半結(jié)構(gòu)；

2、受迫振動(dòng)時(shí)半結(jié)構(gòu)的選取

例2

圖示結(jié)構(gòu)在柱頂有電動(dòng)機(jī)，試求電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的最大水平位移和柱端彎矩的幅值。已知電動(dòng)機(jī)的質(zhì)量集中于柱頂，W=20kN，電動(dòng)機(jī)水平離心力的幅值，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速，柱的線剛度。

h=6m

W

I=∞

解：（1）此題結(jié)構(gòu)對(duì)稱，仍可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算。根據(jù)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)形式（水平振動(dòng)），其半結(jié)構(gòu)的選取以及彎矩圖如下所示。

半結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

彎矩圖

圖乘，得：

注意，由于取了半結(jié)構(gòu)，質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼囊话耄ǎ饬Ψ狄矐?yīng)取原來的二分之一，即。

（2）求整個(gè)結(jié)構(gòu)的柔度系數(shù)，僅在繪彎矩圖時(shí)取半結(jié)構(gòu)。則與例1相同，求柔度系數(shù)時(shí)施加在半結(jié)構(gòu)的單位力變?yōu)椋Y(jié)構(gòu)的質(zhì)量與施加在結(jié)構(gòu)上的外力大小不變。計(jì)算過程如下。

彎矩圖

圖乘得：

注意，解法二實(shí)際上仍是基于整個(gè)結(jié)構(gòu)的，僅僅在繪彎矩圖時(shí)應(yīng)用了對(duì)稱性，因此質(zhì)量與外力均不變。

（3）結(jié)論：

受迫振動(dòng)時(shí)，有外力作用于對(duì)稱結(jié)構(gòu)上，如果選取半結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，則不僅質(zhì)量變?yōu)樵瓉硪话耄饬Ψ狄矐?yīng)變?yōu)樵瓉淼亩种弧５饬Φ念l率不變。

四、總結(jié)

如何選取半結(jié)構(gòu)（如什么時(shí)候該用滑動(dòng)支座和鉸支座），選取半結(jié)構(gòu)之后各物理量應(yīng)如何做出相應(yīng)變化（如，求柔度系數(shù)時(shí)單位力是否變?yōu)樵瓉硪话耄饬Ψ凳欠褡兓龋约叭绾伪苊庥?jì)算結(jié)果與正確值相差二倍。對(duì)此，我們組經(jīng)過討論以及在做題的過程中也思考了很多。其實(shí)，現(xiàn)在看來，這個(gè)問題就變得很簡單了，只要明白，如果一開始就利用對(duì)稱性取了半結(jié)構(gòu)，那么后面的求解都是基于半結(jié)構(gòu)的；而如果僅僅在求柔度系數(shù)繪彎矩圖時(shí)取半結(jié)構(gòu)，那么計(jì)算還是基于整個(gè)結(jié)構(gòu)的，這樣就能明白到底哪些量應(yīng)變?yōu)樵瓉淼囊话耄男┎挥米兞恕Ｗ詈蟾兄x龍老師對(duì)我們的諄諄教誨，讓我們對(duì)結(jié)構(gòu)有了更深的了解。