第一篇：線性代數(shù)第五版第一章常見試題及解答

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．二階行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．設行列式a2A．-3 C．1 答案：D k?122k?1≠0的充分必要條件是（）

B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，則a2B．-1 D．3

c1a1b2?c2=（）

b1?c1?3x1?kx2?x3?0?4x2?x3?0有非零解,則 k=（）3.如果方程組??4x2?kx3?0?A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2

a115a11?2a12a13a23，則D1的值為（）a334．設行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：C

a23=3，D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32B．-6 D．15 5.設3階方陣A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）為A的列向量，且|A|=2，則|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（）A.-2 C.2 答案：C

B.0 D.6 ?x?x2?06.若方程組?1有非零解，則k=（）

kx?x?02?1A.-1 C.1

B.0 D.2 答案：A 0?101?1中元素a21的代數(shù)余了式A21=（）7．3階行列式aij=1?110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）

a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B

01?119．行列式?101?11?101第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21=（?11?10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.設行列式403?1,則行列式401?（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2階行列式a1a2b2b,則

b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1?c=（1a2?c2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）

答案：B））3 0 ?2 0 2.計算行列式 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

12.設A為三階方陣且|A|=3，則|2A|=___________.答案：24 13.已知?=（1，2，3），則|?T?|=___________.答案：0 1114．行列式答案：-2

14中（3，2）元素的代數(shù)余子式A32=____________.234916k15.若答案：1/2 112a1b1?0,a1b2a2b2a3b2則k=___________.a1b3a2b3=____________.a3b316.行列式a2b1a3b1答案：0 a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________.a3317．已知3階行列式2a214a223a316a326a23=6，則a219a33a31答案：1/6 18．設3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=__________________.答案：-4 21019.若131?0,則k?_____________。

k21 答案：-1

ababab11121320．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b

3=_____________.答案：0 a2121．已知行列式230?0，則數(shù)a =__________.1?11答案：3 22．設方程組??x1?2x2?0?2x1?kx有非零解，則數(shù)k = __________.2?0答案：4 23．已知行列式a1?b1a1?b1b1a2?b2a?4，則

a1______.2?b?2a2b?2答案：2 12324.行列式459=_________.6713答案：0 25.行列式***0的值為_________________________.答案;-2

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11141131121126．求4階行列式1111的值.4 ***11?0121解：原式=11111110003?***11??3010??6?6

***．求行列式3412

412312341234解：原式=101341?10011?3141202?2?211230?1?1?11234?10011?300?44?160

000?4

3011

1200012028.計算四階行列式0012的值.2001120200解：原式=012?2120??15

001012111130.計算行列式D=12001030的值.10041?1112?3?111解：原式=04200???1?1?1?1????2?3?4??2

0030?2340004

12323331．計算3階行列式

249499.367677120203解：原式=240409.?0

36060721012132．計算行列式D=012的值.解：原式=2?2?2?1?1?0?1?1?0?0?2?0?1?1?2?1?1?2?4 6

******00200133．計算6階行列式

***001000100200?18 0?6000解：原式=000?3123434．計算行列式D=1012的值.3?1?10120?51解：原式=2022020?611222222003?1?4???1?4?6???1?3?5??2?1?7?3?93539??24

?1?73533335333.35535．計算行列式D=3331333解：原式=141333=14******?112

x236.已知3階行列式aij=x0中元素a12的代數(shù)余子式A12=8，求元素a21的代數(shù)余子式

5?14A21的值.解：A12?(?1)1?2x054??4x?8?x??2

A21?(?1)2?1?23?14?5

1?3432?205?2237.求行列式D=427006的值。

1?340435985解：原式=4035202?2=322?2?300?2?698??***8

x?1?11?138．計算行列式D?1x?11?11?1x?1?1的值.1?11x?11?11?11?11?1解：原式?x1x?11?1?1x?1?1?x0x004100x0?x

1?11x?1000x234539．計算4階行列式D=

34564567.567823452345解：原式=34567?34564561111?0

11111111abc40.計算行列式D=a2b2c2的值。a?a3b?b3c?c3abc111解：原式=a2b2c2?abcabc?abc(c?b)(c?a)(b?a)a3b3c3a2b2c2

第二篇：線性代數(shù)習題及解答

線性代數(shù)習題一

說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長度，?T表示向量?的轉置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

a11a12a133a113a123a131．設行列式a21a22a23=2，則?a31?a32?a33=（）

a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3

D．6 2．設矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A

D．E-A-

13．設矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結論正確的是（）

A．??A?A-1??B?可逆，且其逆為????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆為???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆為???B-1? ?4．設?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無關的充分必要條件是A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個向量線性無關

B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個向量都不能由其余向量線性表示

5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

D．（2，-6，-5，-1）T

6．實數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1

B．2）

（C．3 D．4 7．設?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導出組Ax=0的解，則以下結論正確的是

（）

A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．設三階方陣A的特征值分別為A．2,4,C．

B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

11，3，則A-1的特征值為（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．設矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）

1A．?1?123

01B．102

?2C．

D．

?21

10．以下關于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零

二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。

11．設det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB))=__________．

3B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣

112．設3階矩陣A=42t?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 1-13?1k13．設方陣A滿足A=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A=__________． 14．實向量空間R的維數(shù)是__________．

15．設A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解向量的個數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________． n17．設?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________． 18．設方陣A有一個特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

19．設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．

20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．

三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

222121．計算行列式142?12?6142． ?1?1?4121222．設矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA=4A+BA，求矩陣B．

-1-1-123．設向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個極大線性無關組，并將其余向量通過極大線性無關組表示出來．

?124．設三階矩陣A=?24533，求矩陣A的特征值和特征向量． ?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩陣A=3010360?110110的秩．

?1

2四、證明題（本大題共1小題，6分）

a1127．設三階矩陣A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無關．

?a??a??a??31??32??33?

線性代數(shù)習題二

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或T

*

A表示方陣A未選均無分。

1.設3階方陣A的行列式為2，則

?12A?()A.-1 B.?14 C.14 D.1 x?2x?1x?22.設f(x)?2x?22x?12x?2,則方程f(x)?0的根的個數(shù)為（）

3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2

D.3 3.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若A?B,則必有（A.A?0 B.A?B?0

C.A?0

D.A?B?0

4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（）A.(A?B)2?A2?2AB?B2

B.(A?B)(A?B)?A2?B2

C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)D.(AB)2?A2B2

?a1ba1b2a1b3?5.設A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,則矩陣A的秩為（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2

D.3 6.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（）A.0

B.2））C.3 D.4 7.設向量α=（1，-2，3）與β=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（）A.-10 C.3

B.-4 D.10 ?x1?x2?x3?4?8.已知線性方程組?x1?ax2?x3?3無解，則數(shù)a=()?2x?2ax?42?1A.?C.1 2B.0 D.1 1 29.設3階方陣A的特征多項式為A.-18 C.6

?E?A?(??2)(??3)2,則A?()

B.-6 D.18 10.若3階實對稱矩陣A?(aij)是正定矩陣，則A的3個特征值可能為（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3

B.-1，-2，3 D.1，2，3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

3011.設行列式D42,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__________.?2253?212.設A??a??a?b?b?,B????,則AB?__________.?a?a?bb?????103???2013.設A是4×3矩陣且r(A)?2,B?0??,則r(AB)?__________.??103???14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為__________.15.設線性無關的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關系為__________.?x1??x2?x3?0?16.設方程組??x1?x2?x3?0有非零解，且數(shù)??0,則??__________.?x?x??x?03?1217.設4元線性方程組Ax?b的三個解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.則方程組的通解是__________.18.設3階方陣A的秩為2，且A2?5A?0,則A的全部特征值為__________.??211??1?????a019.設矩陣A?0有一個特征值??2,對應的特征向量為x?2,則數(shù)a=__________.??????413??2?????20.設實二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設矩陣A?(?,2?2,3?3),B求

?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均為3維列向量，且A?18,B?2.A?B.?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩陣方程0??????.?1?10??43??21???????23.設向量組α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）問p為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組.T

T

T

T?2x1??x2?x3?1?24.設3元線性方程組??x1?x2?x3?2, ?4x?5x?5x??123?1（1）確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解？

（2）當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解（要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為?1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明

22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3為標準形，并寫出所作的可逆線

1?1及?2??,方陣B?A2.3A?0.習題一答案

習題二答案

線性代數(shù)習題三

說明:在本卷中,A表示矩陣A的轉置矩陣,A表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1.設A為3階矩陣,|A|=1,則|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8

TT

*?1?2.設矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??1??1??1??A.0 B.(1,-1)C.? D.??1???1?1?? ????3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA

12?*?-14.設矩陣A的伴隨矩陣A=??34??,則A=()

??A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42?????? ? B.C.D.?????34??31?? ???34??212?222????????5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()．．?101??001??100???????A.?010? B.?010? C.?030? ?000??100??001???????6.設A,B均為n階可逆矩陣,則必有()

?100??? D.?010?

?201???A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.設向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則()A.α1, α2,β線性無關 B.β不能由α1, α2線性表示

C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一 8.設A為3階實對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2

D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為()??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2 10.設二次型f(x)=xAx正定,則下列結論中正確的是()A.對任意n維列向量x,xAx都大于零 B.f的標準形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式

TT0112的值為_________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________.???11??1?3?

3???13.設矩陣A=?,P=,則AP=_________.?01???24?????14.設A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|AB|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關,則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個解,且

-1?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對角矩陣為_________.???1?2?T

?20.設矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???

三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.?0?10???1?20?????22.設矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設B=A+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對角矩陣.2-

1?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標準形.?x?2y3?

3四、證明題(本題6分)27.設n階矩陣A滿足A=E,證明A的特征值只能是?1.2線性代數(shù)習題三答案

第三篇：2004-2005線性代數(shù)試題A卷解答

04-05學年 四．解答下列各題（本大題滿分18分）1．

解100A?220?10,345?A11A*??A12???A13A21A22A23A31??1000?A32????1050?,???A33??42????2??0?0?.?1?5???A?1?0?1??111??A*??2A?12??55??

2．解?4??0A2??0??0?000??400??4E,?040?004??A?1?A.4B?A?1?E?A?A2??A?1?A?3E??1?31?3?1?E?3A?E?A??443??3?

333??133?.?313?331?? 五．（本題滿分12分）

解因為?1?2B???4??111??1?014????36??0??2?4?4??1??0?11?1?1?1??1?3?1?3?3??2??,000?0??000?0??022同解方程組為所以通解為

??x1??2x3?2x4?3,?x2?3x3?3x4?2,??2???2???3???k3?????k3?x1?2?????2???(k1,k2?R).?1??0??0????1???0??0??

六．（本題滿分12分）

解(1)?I?A???1?2?4?(??5)(??1)?0,??3?1?5,?2??1.對于?1?5,解(5I?A)x?0.?4?4??1?1?(5I?A)?????00?.22??????1?(1,1)T,所以A的屬于?1?5的全部特征向量為C1?1(C1?0).對于?2??1,解(?I?A)?0.??2?4??12?(?I?A)????.????2?4??00??2?(?2,1)T,所以A的屬于?2??1的全部特征向量為C2?2(C2?0).(2)因?1,?2分別屬于5和?1的特征向量,故線性無關.于是,令?1?2?P?(?1,?2)???,11???50?P?1AP??.??0?1?則P可逆,且

七．解答下列各題（本大題滿分12分）1．

5??115??115??11???解?133??02?2???01?1??????0?1t??0?1t??00t?1???????當t?1時,向量組線性無關;當t?1時,向量組線性無關.2．

解因?1,?2,?3,?4線性相關,故存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0.顯然,k1?0,否則k2,k3,k4不全為零,使k2?2?k3?3?k4?4?0,得?2,?3,?4線性相關,與已知矛盾.同理,k2?0,k3?0,k4?0.

第四篇：線性代數(shù)題庫解答

知識能力層次

一、填空（每題2分）

１．設方程組有非零解，則

。

2．線性方程組有非零解，則　　　　　　。

3．方程組有無窮多解，則

。

4．非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是

____________。

5．設是階方陣,是齊次線性方程組的兩個不同的解向量,

則

。

6．設為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知

，則線性方程組的通解為

。

7．三元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個解分別

為

，，則的全部解可表為

。

8．設，欲使線性齊次方程組的基礎解系有兩個解向量，

則=

。

9．當

時，線性方程組無解。

10．方程組=的基礎解系所含向量個數(shù)是___

_1______。

11．若5元線性方程組的基礎解系中含有2個線性無關的解向量，

則

3

。

12．設線性方程組有解，則應滿足條件。

13．設齊次線性方程組為，則它的基礎解系中所包含的向量個數(shù)為

n-1　　　　。

14．設是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組　　的

解向量．

15．設為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個解，則　　　　　１　　　　　。

16．設矩陣，則齊次線性方程組的一個基礎解系為。

17．若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。

18．設n元齊次線性方程組的一個基礎解系中線性無關的解向量個數(shù)是n，則為

零矩陣

。

19．設是階矩陣，如果，則任何　　n個線性無關的n維向量　都是

的基礎解系。

20．設n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為

。

二、單項選擇填空題（每題2分）

1．線性方程組

（

A

）

A.

無解

B.

只有0解

C.

有惟一解

D.

有無窮多解

2．設方程組，

當=（

B

）時，方程組有非零解。

A.0

B.

±1

C.

2

D.

任意實數(shù)

3．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則

（

D

）

A．方程組有無窮多解

B.

方程組無解

C.

方程組有惟一解或無窮多解

D.

方程組可能無解，也可能有無窮多解

4.

若齊次線性方程組有非零解，則的值為（

C　　）

A．

B．

C．

D．

5．當（

C

）時，僅有零解。

A．

B．

C．

D．

6．設為矩陣，只有零解的充要條件是　　　　（

D

）

A．的行向量組線性無關

B．的行向量組線性相關

C．的列向量組線性相關

D．的列向量組線性無關

7．設A為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（　　C　　）

A．m=n　　　　　　B．r

(A)=

m　　　　　　C．r

(A)=n

D．r

(A)<

n

8．若方程組存在基礎解系，則λ等于　　（　　Ｄ　　）

A．2　　　　　　　　B．3　　　　　　　　C．4

D．5

9.

設矩陣，，則非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是

（

B

）

A．

B．

C．

D．

10．若，則元線性方程組　　　　　　　（

D

）

A．有無窮多解

B．有唯一解

C．無解

D．不一定

11.

設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，，是

的解，則下列正確的是

（

A

）

A．是的解

B．是的解

C．是的解

D．是的解

12．設為矩陣，只有零解的充要條件是　　　　（

D

）

A．的行向量組線性無關

B．的行向量組線性相關

C．的列向量組線性相關

D．的列向量組線性無關

13．設齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導出組，

，是的解，則下列正確的是　　　　　　　　　（

A

）

A．是的解

B．是的解

C．是的解

D．是的解

14．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則

(

D

)

A．方程組有無窮多解

B．

方程組無解

C．方程組有唯一解或無窮多解

D．方程組可能無解，也可能有無窮多解

15．是n元線性方程組有惟一解的　　　　　（　　Ｃ　　）

A．充分必要條件

B．充分條件

C．必要條件

D．無關條件

16．已知線性方程組無解，則　　（　　Ａ　　）

A.

B.

C.

D.

17．為矩陣，是非齊次線性方程組的導出組，則下列結論正確

的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

A

）

A．有無窮多解，則有非零解

B．有無窮多解，則僅有零解

C．僅有零解，則有唯一解

D．有非零解，則有無窮多解

18．設為矩陣，有解，則　　　　　　　　　　　　（　　Ｂ　　）

A．當有惟一解時，

B．當有惟一解時，

C．當有無窮解時,只有零解

D.當有無窮解時，

19．線性方程組

有解的充分必要條件是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　Ａ　　）

A.

B.

C.

D.

20．齊次線性方程組，（

Ｃ

）是它的一個基礎解系。

A.

B.

C.

D.

三、判斷題（每題2分）

1．若是的解，則也是它的解。

（

是

）

2．若是齊次線性方程組的解向量的一個極大無關組，則

是方程組的一個基礎解系。

（

是

）

3．若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（

否

）

4．若有無窮多組解，則有非零解。

（

是

）

5．n線性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的A秩,就一定有無窮多組解。

（

否

）

6．齊次線性方程組的基礎解系不是惟一的。

7．是方程組的一個基礎解系。（

是

）

8．方程組的每個基礎解系中只含有一個解向量。

（

是

）

9．線性方程組在時，是有解的。

（

是

）

10．任何齊次線性方程組都有基礎解系。

（

否

）

11．是方程組的一般解。

（

是

）

12．方程組的一般解可表示為。

（

否

）

13．時，方程組有解。

（

否

）

14．與基礎解系等價的線性無關的向量組也是基礎解系。

（

是

）

15．若是一個線性方程組的解，那么

（其中）也是它的一個解。

（

是

）

16．方程組有非零解。

（

否

）

17．方程組與方程組是同解的方程組。

（

是

）

18．用初等變換解，可以對實行列等行變換。

（

否

）

19．若是的解，是的解，則是的解。

（

否

）

20．給定方程組，當時，方程組有解。

（

否

）

理解能力層次

一、填空（每題2分）

1．已知方程組有無窮多解，則

-1

或3

。

2．設是的解向量，是其導出組的基礎解系，則必線性　　　　　無關　　　　　。

3.

設四階方陣且，則方程組的

一個解向量為

。

4.

設方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=

0

。

5．設，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則　　　1　　　。

6．設為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個特征值等于

０

。

7．設，B是三階矩陣，且，若，則

4

。

8．設為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為　　　　　3　　　　　。

9．若齊次線性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。

10．已知四元非齊次線性方程組，是它的三個解向量，且

，則齊次線性方程組的通解為

_____________。

11．齊次線性方程組有非零解，則應滿足條件。

12．已知四元線性方程組的三個解為，且

，，則方程組的通解是

。

13．已知線性方程組的兩個解為

則該方程組的全部解為

。

14．設齊次線性方程組的基礎解系中含有三個解向量，其中矩陣，則

2

。

15．設四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，

，其中是它的的三個解向量，則方程組的通解為

。

16．設，，則齊次線性方程組的解空間的一組基為

。

17．已知是非齊次線性方程組線性無關的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關系式

。

18．設是實正交矩陣，且，則線性方程組的解是

。

19．設矩陣，其中

則線性方程組的基礎解系含有解向量的個數(shù)是

n-1

。

20．設為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是

只有零解

。

21．設任意一個維向量都是方程組的解，則

0

。

22．設非齊次線性方程組有兩個解，，則該方程組的通解為

。

23．已知齊次線性方程組有無窮多解，則

-5或-6

。24．若線性方程組

無解，則常數(shù)應滿足的條件是　　　　　　　　.

25．3元非齊次線性方程組有3個解為，，，則系數(shù)矩陣=

。

26．若向量，都是線性方程組的解，則系數(shù)矩陣

=

。

27．方程組有解的充分必要條件為

。

28．設元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則

0

。

29.

已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為

是的極大線性無關組

。

30.

設，，，

其中，則線性方程組的解是。

二、單項選擇填空題（每題2分）

1．齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是

（

C

）

A．的任意兩個列向量線性相關

B．的任意兩個列向量線性無關

C．中必有一列向量是其余列向量的線性組合

D．中任一列向量是其余列向量的線性組合

2．設矩陣，且，則線性方程組

（

D

）

A．可能無解；

B．一定無解；

C．可能有解；

D．一定有解

3．當

=（　　Ａ　　）時，方程組無解

A.

2

B.

3

C.

4

D.

5

4．為矩陣，秩(A)

=，下列結論正確的是　　　　（　　Ｂ　　）

A．齊次線性方程組僅有零解

B．非齊次線性方程組有無窮多解

C．中任一個階子式均不等于零

D．中任意個列向量必線性無關。

5．是個m方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的　　（　　Ｂ　　）

A．充分必要條件

B．充分條件

C．必要條件

D．無關條件

6．設為矩陣，則齊次線性方程組有結論　　　　（　　Ｃ　　）

A．時，方程組僅有零解

B．時，方程組有非零解，且基礎解系含個線性無關的解向量

C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解

D．若中所有n

-

1階子式不為零，則方程組僅有零解

7．n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是　　　　　（　　Ｄ　　）

A．導出組僅有零解

B．為方陣，且時，

C.

D．的列向量線性無關，且可由的列向量線性表示

8．設為矩陣，，則方程組

(

A

)

A.

當時，有解

B.

當時，有惟一解

C.

當時，有惟一解

D.

當時，有無窮多個解

9．設為矩陣，且，若的行向量組線性無關，則

（

A

）

A、方程組有無窮多解

B、方程組有唯一解

C、方程組無解

D、方程組僅有零解

10.

設矩陣，且，則線性方程組

（

D

）

A．可能無解；

B．一定無解；

C．可能有解；

D．一定有解

11．若線性方程組有惟一解，則的值為　　　（

D

）

A．

B．

C．

D．異于與的數(shù)

12.設是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且，，(C為任常數(shù))，則線性方程組的通

解是

(

C

)

A.

B.

C.

D.

13．設矩陣，齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數(shù)都是

（

A

）

A．

B．

C．

D．

14.設向量組中是齊次線性方程組的一個基礎解系，則向量組

(

D

)

也是的一個基礎解系

A.

B.

C.

D.

15．設為矩陣，

，是非齊次方程組的三個不同的解，則正確的結論是

(

D

)

A.

線性相關

B.

是的基礎解系

C.

的任何線性組合是的解

D.

當線性無關時，則是的通解,,其中是滿足的任何數(shù)

16．要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣A為

(

B

)

A.

B.

C.

D.

17．設為矩陣，若有解，是其兩個特解，的基礎解系是，則

(

B

)

A.

的通解是

B.

的通解是

C.

的通解是

D.

的通解是

上述四項中均為任意常數(shù)

18．已知是齊次方程的基礎解系，那么基礎解系也可以是　(

B

)

A．

B．

C．

D．

19．齊次線性方程組

的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則

(

C

)

A．

B．

C．

D．

20．已知，，，

，則齊次線性方程組

的通解為

（

Ｂ

）

A．

B．

C．

D．

三、判斷題（每題2分）

1．齊次線性方程組只有零解，則應滿足的條件是。（

否

）

2．若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無窮多解。（

否

）

3．設為n階方陣，且，是的兩個不同的解向量，則的通解為。　　　　　　　　　　　　　　　　　（

否

）

4．設齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式

，則這個方程組的每個基礎解系中解向量的個數(shù)都是1。

（

是

）

5．設為矩陣，若非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時，

方程組有解。

（

是

）

6．設A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。

（

是

）

7．設A為n階奇導方陣，A中有一個元素的代數(shù)余子式，則齊次線性方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)為n

。　　　　　　　　　　　　（

否

）

8．設為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無關。

（

否

）

9．設為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無關。

（

是

）

10．設為階方陣，，且是的三個線性無關的解向量，則是的一個基礎解系。　　　　　　（

是

）

11．設為線性無關的n維列向量，，則非齊次線性方程組有惟一解。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

12．設是的基礎解系，則為的通解。

（

否

）

13．已知為非齊次線性方程組的兩個不同的解，為對應的齊次方程組的基礎解系，則（其中）是

的通解。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

14．設4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎解系為

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

15．設為的基礎解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

16．給定方程組，則對任意的，方程組均有解，且有無窮多解。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

17．設為矩陣，為維列向量，則當方程組有解時，加入一個方程

后方程組也有解。　　　　　　　　　　　　（

否

）

18．設為矩陣，為維列向量，則當方程組無解時，加入一個方程

后方程組也無解。　　　　　　　　　　　　（

是

）

19．設線性方程組，當時，方程組僅有零解。

（

否

）

20．設為矩陣，非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（

是

）

簡單應用能力層次

一、計算題（每題5分）

1．求線性方程組

的一般解．

解：

因為系數(shù)矩陣

……3分

所以一般解為：，

其中，是自由未知量。

…….……5分

2．求線性方程組的一般解。

解：因為增廣矩陣

…………3分

所以一般解為：

（其中是自由未知量）。

…………5分

3．當取何值時，線性方程組有非零解？并求一般解．

解：

因為增廣矩陣

………3分

所以當=

-2時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：

是自由未知量)

…………5

4．當取何值時，線性方程組

有解？并求一般解．

解：因為增廣矩陣

……3分

當=3時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：

是自由未知量)。

…………5分

5．求線性方程組的一般解。

解：

因為系數(shù)矩陣

……3分

所以一般解為

（其中，是自由未知量）。

.......................……5分

6．設齊次線性方程組

問取何值時方程組有非零解，并求一般解.

解：因為系數(shù)矩陣

A

=

……3分

所以當l

=

5時，方程組有非零解.

且一般解為：

（其中是自由未知量）。

.......................……5分

7．設線性方程組

，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.

解

因為

.......................……3分

所以

r(A)

=

2，r()

=

3.

又因為r(A)

<

r()，所以方程組無解。

.......................……5分

8．求下列線性方程組的一般解。

解：因為增廣矩陣

.......................……3分

所以一般解為：

（其中是自由未知量）

.......................……5分

9．設線性方程組討論當a，b為何值時，方程組無解，有惟一解，有無窮多解。

.......................……3分

所以當且時，方程組無解；

當時，方程組有唯一解；

當且時，方程組有無窮多解。.

......................……5分

10．當取何值時，線性方程組

有解？并求一般解.

解：因為增廣矩陣

................…3分

所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：

是自由未知量〕。

......................……5分

11．已知線性方程組的增廣矩陣經初等行變換化為

問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解。

解：當=3時，，方程組有解.

當=3時，..............…3分

一般解為，

其中,

為自由未知量。

.....................……5分

12．當為何值時，方程組有解，并求其通解。

解：

..............…3分

當，同解方程組為令，

令

....................……5分

13.

設線性方程組為，問：、取何值時，方程組無解、

有惟一解、有無窮多解？

在有無窮多解時求出其通解。

解：

..............…2分

當時，方程組有惟一解

當，時，方程組無解

當，時，=＝2<3，方程組有無窮多組解,

其通解為，為任意常數(shù)。

....................……5分

14.線性方程組為

，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。

解：

..............…3分

當2時，方程組有唯一解

當2，1時，方程組無解

當2，1時，＝2<3，方程組有無窮多組解,其通解為

(為任意常數(shù))。

....................……5分

15．已知是齊次線性方程組的一個解，試求方程組的一個包含的基礎解系。

解：，，..............…2分

令，得方程組的兩個解為：，，

從而所求基礎解系即為和。

..............…5分

16．求解線性方程組。

解

：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　..............…3分

因為

，r(`A)

=

r(A)

=

3，所以，方程組有解．

一般解為:

(x4是自由未知量)。

..............…5分

17．設線性方程組

試問c為何值時，方程組有解？若方程組有解時，求一般解。

解：因為

..............…2分

所以當c

=

0時，方程組有解．且

..............…3分

所以，原方程組的一般解為：

（x3是自由未知量）。

..............…5分

18．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。

解：

..............…3分

當時，方程組有解，解為

..............…5分

19．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。

..............…3分

當時，方程組有解，解為

..............…5分

20．設為４階矩陣，且，試問的基礎解系所含解向量的個數(shù)。

解：，，又因為４階矩陣，故中至少有一個３階子式不為０，則中至少有一個非零元素，則，

..............…2分

又，所以，

..............…4分

從而有，故的基礎解系所含解向量的個數(shù)為4-1=3個。..............…5分

二、證明題（每題5分）

1.

設是的一個基礎解系，證明：也是

的一個基礎解系。

證明：是的一個基礎解系，都是的解，且線性無關，從而都是的解，…………….2分

設

即

由線性無關，得，，

僅有零解，

從而線性無關，

也是的一個基礎解系。…………….5分

2．證明方程組有解的充要條件是。

證明：……3分

方程組有解，即，即…………5分

3．設n階矩陣可逆，

證明：線性方程組

無解。

證明：線性方程組的系數(shù)矩陣為，因為矩陣，所以，

…………….2分

又因為該方程組的增廣矩陣為，而是可逆的，，

…………….4分

從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無解。………….5分

4．設實數(shù)域上的線性方程組，證明：

（1）如果，則方程組有惟一解；

（2）如果則方程組無解；

（3）如果則方程組有無窮多解。

證明：（1）令，，

因為，，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：

；

（2），從而方程組無解；

（3），從而方程組有無窮多解。………….5分

5．

證明：含有n個未知量n+1個方程的線性方程組

若有解，則行列式

證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因為該非齊次線性方程組有解，所以必須滿足關系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。

………….5分

6．設是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當時，必有非零解。

證明：是矩陣，是矩陣，且

，，

，由，得，

而是，所以當時，必有非零解。

……………….5分

7．已知行列式，證明方程組無解。

證明：由題設知方程組的增廣矩陣的秩，

……………….2分

而系數(shù)矩陣是矩陣，，

……………….4分

故，方程組無解。

……………….5分

8．設是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，

且，證明：向量組是線性無關的。

證明：設有常數(shù)，使得，

上式左乘，，得，………….3分

以此類推，分別左第乘，得，

故向量組線性無關。

……………….5分

9．設是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。

證明：有惟一解，僅有零解，故，

即為可逆矩陣，

……………….3分

于是由，得，所以。

……………….5分

10．設是矩陣，且,若滿足,證明:。

證明：設，其中為維列向量，，

，故線性無關，

由于，即=，

……………….3分

所以，由于線性無關，

故，所以。

……………….5分

綜合應用能力層次

一、計算題（每題8分）

1.設線性方程組，

討論當為何值時，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？（不必求解）

解：……5分

當時，方程組無解；

當時，方程組有惟一解；

當時，方程組有無窮多解

………….……8分

2.設線性方程組，

討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）

解：……5分

當時，方程組無解；

當時，方程組有惟一解；

當時，方程組有無窮多解

………….……8分

3.設線性方程組，

討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）

解：因為對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：

所以，當時，，方程組有唯一解。……………..5分

而當時，由上面的結果可知：

所以，當且時，，方程組無解；

當且時，，方程組有無窮多解。……….8分

4.

設線性方程組，

討論當為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）

解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：

，

…………………

5分

當時，因為，所以方程組有唯一解；

當且時，因為，所以方程組無解；

當且時，因為，所以方程組有無窮多解。…….8分

5.

當，為何值時，線性方程組

有唯一解、無解、有無窮多解？（不必求出解）

解：對方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：

…….5分

由階梯形矩陣可見：

(1)當時，，故此時方程組有唯一解;

(2)當且時，，，故此時方程組無解;

(3)當且時，，故此時方程組有無窮多解.…….8分

6當為何值時，線性方程組

有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程的通解。

解：

設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換

=

…….…….4分

當a=－3時，

方程組無解。

當a－3且a2時，

方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為

，

則方程組的解為。

…….…….6分

當a=2時，

方程組有無窮多個解。此時梯形矩陣對應的梯形方程組為

則方程組的解為　　（c為任意常數(shù)）。　　　　　　　　…….…….8分

7.

求線性方程組的全部解(用其導出組的基礎解系表示).解：

….……5分

全部解為：…8分

8.

的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。

解：5分

全部解為：

………8分

9．求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。

解：對線性方程組的增廣矩陣進行行初等變換得：

，

…………………………5分

令自由未知量，，得方程組的一個特解：，

令分別取：，，得到導出組的基礎解系為：

；

所以，方程組的全部解為：

（其中、為任意常數(shù)）。……8分

10.

求線性方程組的全部解（用其導出組的基礎解系表示）。

解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：

，…………..5分

令自由未知量，，，得到一個特解

，

再取分別為，得到導出組的基礎解系：

，

所以方程組的全部解為

，（為任意常數(shù)）….8分

11.

用基礎解系表示線性方程組的全部解。

解：設方程組的系數(shù)矩陣為，對其增廣矩陣作初等變換，得：

………………..

5分

原方程組同解于，取得方程組一個特解。

導出組的系數(shù)矩陣可化為，

導出組與方程組同解，

取，得基礎解系：。

故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)

的解都是方程組

(Ⅱ)

的解，試確定。

解：=，

于是得方程組(Ⅰ)的全部解：

，…………..3分

將代入(Ⅱ)的導出組得，

將代入(Ⅱ)得，

解此四式得。

…………..8分

13．已知非齊次線性方程組

有3個線性無關的解，

(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.

(2)求的值和方程組的通解.

解:(1)

設a1,a2,a3是方程組的3個線性無關的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個線性無關的解.于是的基礎解系中解的個數(shù)不少于2,即,從而,

又因為的行向量是兩兩線性無關的,所以,

兩個不等式說明.

(2)對方程組的增廣矩陣作初等行變換:

…………..3分

由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換:

…………..5分

得同解方程組,

得到方程組的通解:

(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,

c1,c2為任常數(shù).

…………..8分

14．設,.討論為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?

并在有無窮多解時，求出其通解.

解：經計算

因此方程組有唯一解

…..……..2分

時，對增廣矩陣作行變換化為階梯形:

因

，即時無解。

…..……..5分

時，同樣對增廣矩陣作行變換化為階梯形:

因，所以時有無窮多解。等價方程組為:

得通解為：，（為任意系數(shù)）

…..……..8分

15．已知線性方程組

，試討論：

(1)取何值時，方程組無解；

(2)取何值時,方程有唯一解，并求出其解；

(3)取何值時,方程有無窮多解，并求出其通解。

解：

(1)時，

，無解；

…..……..2分

(2)時，，唯一解

.……..5分

(3)時，，無窮多解,

通解。

…..……..8分

16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關,如果,求方程組的通解。

解：令，則由

得，

將代入上式，整理后得，

由線性無關，知，

…..……..5分

解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。

…..……..8分17．已知線性方程組解：，討論取何值時，方程無解；有惟一解；有無窮多解（不必求解）。

解：

…..……..4分

由于方程有解0，1，

故得時有惟一解；

時有無窮多解；

時無解。

…..……..8分

18．設線性方程組為：，試討論下列問題：

（1）當取什么值時，線性方程組有唯一解？

（2）當取什么值時，線性方程組無解？

（3）當取什么值時，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．（要求用導出組的基礎解系及它的特解形式表示其通解）。

解

：線性方程組的系數(shù)行列式為

…..……..2

（1）當，即且時，線性方程組有唯一解；

…..……..4分

（2）當時，，線性方程組無解；….…..

6分

（3）當時

線性方程組有無窮多解，且其通解為。

…..……..8分

19．設線性方程組，已知是該方程組的一個解，求方程組的全部解。

解：將代入方程組中得，

…..……..2分

…..……..4分

當時，方程組有無窮多解，此時

，

方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），

…..……..6分

當時，，于是，故方程組有無窮多解，

全部解為：。

…..……..8分

20．求一齊次線性方程組，使，構成它的一個基礎解系。

解：顯然，所求的方程組是一個5元線性方程組，且，

另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個基礎解系所含解向量的個數(shù)為，故只要求方程組的一個基礎解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿足要求，為此對矩陣施行初等行變換，得

，

…..…….

4分

由此得方程組的一個基礎解系：，

…..…….

6分

故所求的線性方程組為，即。

…..…….

8分

二、證明題（每題8分）

1．已知三階矩陣且的每一個列向量都是方程組的解，

求

(1)的值；(2)證明。

(1)解：由得中至少有一非零列向量，

的每一個列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式

，。

………………..

4分

(2)證明：（反證法）若設，則可逆，因此由題意

與矛盾，所以。

………………..

8分

2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無解。

證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，

故，

……....…4分

則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，，方程組無解…8分

3．設有兩個n元齊次線性方程組，。證明：

（1）若的解都是的解，則；

（2）若與同解，則。

證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是；

…………….4分

（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為

，由此即得。

…………….8分

4．已知非齊次線性方程組

有3個線性無關的解，

（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；

（2）求的值及方程組的通解。

解：（1）設是非齊次方程組三個線性無關的解，

令，則是其導出組的兩個解

設即

因線性無關，所以必有，

即由此得線性無關，

因為導出組至少有兩個線性無關的解，所以其基礎解系至少包含兩個解，故，由此得；

另一方面，導出組的系數(shù)矩陣

存在2階不等于零的子式，

所以，，綜上所述，即得。

…………….4分

（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，

由（1）得,故增廣矩陣

的秩也為2，

用初等行變換把上述矩陣化為階梯形

由此得?????，即

利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組

即

由此得通解為

：，其中為自由未知數(shù)。

…………….8分

5．設方程組(1)

及方程組(2)，

其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。

證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，

則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解。　　　　　　　　　　　　　　　…………….４分

反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。

…………….8分

發(fā)展應用能力層次

一、計算題（每題10分）

1．設有兩個四元齊次方程組(Ⅰ);

(Ⅱ)

,

（1）線性方程組(Ⅰ)的基礎解系；

（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。

解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣，

則得(Ⅰ)的基礎解系為：和；..............…3分

（2）．由（1）的結果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,

若兩個方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，

所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：

。　　　　　　　　..............…10分

2．已知非齊次線性方程組，

；

（1）

求解方程組，用其導出組的基礎解系表示通解；

（2）

同解，求的值。

解：（1）設組（I）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對作初等行變換，得：

，

因，故（I）有無窮多解，

且通解為，為任意常數(shù)。…………….5分

（2）將通解代入組（II）第一個方程，得到：

，即，

由得任意性，得。

將通解代入組（II）第二、三個方程，分別得到。

因此，。

…….…………10分

3．設非齊次線性方程組有3個解向量，，求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。

解：設所給方程為，由題設可知是的3個解，因此

，是的兩個線性無關的解，故，

又中有2階子式，因此，

所以，

…………….5分

由于，所以，是的基礎解系，因此可得線性方程組

的通解為：

（其中為任意常數(shù)）。

…….…………10分

4．設四元線性齊次方程組，又已知某線性齊次方程組的通解為

，

（1）求線性方程組的基礎解系；

（2）問線性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則加以證明。

解：（1）的系數(shù)矩陣為

通解為。

…….…………4分

（2）將的通解代入中，則有，得，當時，則向量滿足方程組，，

故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。

…….…………10分

5．

已知齊次線性方程組

其中

試討論和b滿足何種關系時，

(1)

方程組僅有零解；

(2)

方程組有非零解.

在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系。

解：

方程組的系數(shù)行列式

=，

…….…………4分

（1）當時且時，r

(A)=

n，方程組僅有零解；

…….…………6分

（2）當b=0

時，原方程組的同解方程組為：，

由可知，不全為零.

不妨設，

得原方程組的一個基礎解系為

，，,

當時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為

由此得原方程組的同解方程組為:，，

.

原方程組的一個基礎解系為：。

…….…………10分

6．設,

,

,

,

試討論當為何值時,

(1)不能由線性表示；

(2)可由唯一地線性表示,

并求出表示式；

(3)可由線性表示,

但表示式不唯一,

并求出表示式。

解：設有數(shù)使得

(*)

記.

對矩陣施以初等行變換,

有

…….…………2分

(1)當時,

有

.

可知,故方程組(*)無解,

不能由線性表示；

…….…………4分

(2)當,

且時,

有

,方程組(*)有唯一解：,

,

．

此時可由唯一地線性表示,

其表示式為：；……………7分

(3)當時,

對矩陣施以初等行變換,

有

，

,方程組(*)有無窮多解,其全部解為:

,

,

，

其中為任意常數(shù)．

可由線性表示,

但表示式不唯一,　其表示式為：

。

…….…………10分

7．設有齊次線性方程組

試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解

解：方程組的系數(shù)行列式為

當，即或時，方程組有非零解

…….…………4分

當時，

故方程組的同解方程組為：

由此得基礎解系為，

于是方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)

.…7分

當時，

故方程組的同解方程組為：

，由此得基礎解系為

于是方程組的通解為：，其中k為任意常數(shù)。

…….…………10分

8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數(shù)），且，求線性方程組的通解

解：（1）如果，則,由知，因此，

所以的通解是：，其中為任常數(shù)；

…….……5分

（2）如果k

=9，則,那么，或2

若,則的通解是，其中t為任常數(shù)，

若,對，設，

則方程組的通解是，其中為任常數(shù)。

…….…………10分

9．已知線性方程組

（Ⅰ）

的一個基礎解系為，，，，試寫出線性方程組（Ⅱ）的通解。

解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數(shù)矩陣分別記為，則由題設可知，于是，可見的n個行向量的轉置向量為（Ⅱ）的n個解向量，

由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數(shù)為，…….…………5分

又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數(shù)之差，即為n，故的n個行向量線性無關，從而它們的轉置向量構成（Ⅱ）的一個基礎解系，于是得到（Ⅱ）的通解：

，

其中為任意常數(shù)。

…….…………10分

10．求以為解向量的齊次線性方程組。

解：因為，

所以的一個極大無關組是，

…….…………3分

作矩陣，

易得線性的基礎解系由決定，

取自由未知量得一基礎解系為，6分

于是所求方程組的系數(shù)矩陣為，

所求的齊次線性方程組為。

…….…………10分

二、證明題（每題10分）

1．已知平面上三條不同直線的方程分別為

試證這三條直線交于一點的充分必要條件為。

證明：必要性：

設三條直線交于一點，則線性方程組

有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，

于是，由于

但根據(jù)題設，故；

………….5分

充分性：

由，則從必要性的證明可知，，故秩()<

3

由于

故秩(A)=2，于是，秩(A)=

秩()=2,

因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點。

………….10分

2．設是非齊次線性方程組的一個解，是對應的齊次線性方程組的基礎解系，證明：線性無關。

證明：（反證法）假設線性相關，則必存在一組不全為零的數(shù)，使，

即有，

設，則，否則由上式知線性相關，因而與基礎解系矛盾。所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………….5分

于是有，從而與是非齊次線性方程組的一個解矛盾，因此所給向量組是線性無關的。　　　　　　　　　　………….10分

3．設是齊次線性方程組的基礎解系，向量滿足，證明：向量組線性無關。

證明：設數(shù)，使，

即

…………….3分

假設，則可由線性表示，

即是方程的解，與題設矛盾，

因此，，

…………….7分

然后由線性無關，得，

所以向量組線性無關。

…………….10分

4．設為實矩陣，是維實列向量，證明：

（1）秩；

（2）非齊次線性方程組有解。

證明：（１）先證與是同解方程組，

因為若是的解，即，則，

所以的解都是的解，

當是的解時，即，由，

可知，故的解都是的解，

因此與是同解方程組，

由此，可知它們的基礎解系含個解，故秩；….5分

（2）由可知

，

因此，故非齊次線性方程組有解。…………….10分

5．證明：方程組（其中均為整數(shù)）只有零解。

證明：方程組的系數(shù)行列式為，

若令，則由于均為整數(shù)，得也均為整數(shù)

為整數(shù)，，所以方程組有惟一解，即只有零解。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………….10分

第五篇：線性代數(shù)試題及答案

線性代數(shù)習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數(shù)為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù) 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數(shù)矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

/ 7，