第一篇：2012年高考數學第一輪復習講與練(59)

2010年高考數學第一輪復習講與練（59）

直接證明與間接證明

知識要點 1．直接證明

（1）綜合法：從題設的出發，運用一系列有關作為推理的依據，逐步推演而得到要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由

到.（2）分析法：分析法的推理方向是由到，論證中步步尋求使其成立的，如此逐步歸結到已知的條件和已經成立的事實，從而使命題得證，表現為，分析法的證題步驟用符號表示為.2．間接證明

（1）反證法的解題步驟：――推演過程中引出矛盾――。

（2）反證法的理論依據是：原命題為真，則它的為真，在直接證明有困難時，就可以轉化為證明它的成立。

（3）一般情況下，有如下幾種情況的證題常常采用反證法

第一，問題共有n種情況，現要證明其中的一種情況成立時，可以想到用反證法把其它的n－1種情況都排除，從而肯定這種情況成立； 第二，命題是以否定命題的形式敘述的； 第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的；

第四，當命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的。典型例題

題型一：直接證明的應用

【1】在?ABC中，已知(a2

?b2)sin(A?B)?(a2

?b2)sin(A?B)，求證：?ABC為等腰三角形或直角三角形。

【2】已知數列{an}中sn是它的前n項和，并且sn?1?4an?2，a1?1（1）設bn?an?1?2an，求證{bn}是等差數列；（2）設cn?an

n，求證{cn}是等比數列;（3）求{an}的通項公式及前n項和。

題型二：間接證明的應用 【3】（1）用反證法證明命題:“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時,假設正確的是（）

A、假設三內角都不大于60度；B、假設三內角都大于60度；

C、假設三內角至多有一個大于60度；D、假設三內角至多有兩個大于60度。（2）已知：a,b,c?(0,1)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a中至少有一個不大于

課后作業

1.否定“自然數a,b,c中恰有一個偶數”時正確的反設為

2.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結論的否定是。3.若兩平行直線a,b之一與平面M相交，則另一條也與平面M相交。

4.分別用綜合法和分析法證明：已知a>0,b>0，求證：abb

?

a

?a?b

5.設數列{an}是公比為q的等比數列，Sn是它的前n項和．（１）求證：{Sn}不是等比數列；（２）數列{Sn}能是等差數列嗎？

第二篇：2012年高考數學第一輪復習講與練(like4)

2010年高考數學第一輪復習講與練(理科4)

數 學 歸 納 法 知識要點

1.用數學歸納法證題的兩個步驟的作用：步驟一是要作為起始值進行驗證，步驟二推證當成立時，必須要用到當時命題成立這個歸納假設，否則推理無法進行或無效。題型四：用數學歸納法證明整除問題

【4】是否存在正整數m，使f(n)?(2n?7)?3n?9對任意自然數n，都能被m整除。若存在，求出滿足題意的最大的m，并證明；不存在，說明理由。

完成的以上兩個步驟，最后應完整地寫出結論。

2.數學歸納法的功能：用來證明

例題解析

題型一：用數學歸納法證明等式問題 【1】（1）利用數學歸納法證明：“(n?1)(n?2)???(n?n)?2n?1?3?????(2n?1),n?N*”時，從“n?k”變到“n?k?1”時，左邊應增乘的因式是

（2）證明(1?22?2?32)?(3?42?4?52)?.....?[(2n?1)(2n)2?2n(2n?1)2]??n(n?1)(4n?3)

題型二：用數學歸納法證明不等式問題 【2】（1）用數學歸納法證明“對于足夠大的自然數n，總有2n?n2”，則驗證不等式所取的第一個值為；（2）用數學歸納法證明：1?

112?3?14???

12n

?1

?n；

題型三：用數學歸納法證明幾何問題

【3】設有n個平面過一點，且其中任意三個或三個以上的平面不共直線，證明由這些平面把空間分成n2

?n?2個部分

課后作業

1、用數學歸納法證明1?a?a2

???an?1

?

1?a

n?1?a

(a?1,n?N)，n?1時，等式左邊的項是

2、用數學歸納法證明1?

1?12

???

1*

2n

?1?n(n?N,n?1)時，第一步應驗證不等式

3、利用數學歸納法證明不等式1?112????13

2n

?1

?f(n)(n?2,n?N*)的過程，由n?k到

n?k?1時，左邊增加了個項數

4、某個命題與正整數n有關，如果當n?k(k?N?)時命題成立，那么可推得當n?k?1時命題也成立.現已知當n?7時該命題不成立，那么可推得（）A．當n=6時該命題不成立 B．當n=6時該命題成立

C．當n=8時該命題不成立

D．當n=8時該命題成立

5、平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交與同一點，用數學歸納法證明則這n個圓將平面分成n2

?n?2個部分。

6、用數學歸納法證明：1-112?3?14?......?

12n?1

?12n

=

1n?1

?

1n?2

?......?

12n

第三篇：名師談高考數學第一輪復習

名師談高考數學第一輪復習（15問）

【高三數學復習一般分為三輪：】熟悉三輪復習的內容和目標

第一輪重點是“三基”（基礎知識、基本技能、基本方法）復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生極易忽視復習課本重要例習題所蘊含的數學思想方法。

第二輪復習一般是專題強化訓練，目標在于提高學生解答高考解答題的能力。此階段學生不應沉迷于套卷演練，而應在教師指導下，以典型例題為載體，以數學思想方法的靈活運用為線索，講求解題策略，使自己在第一輪復習的基礎上，數學素質得以明顯提升。

第三輪一般進行模擬、強化，目的在于調節學生智能、情感、意志等因素，使學生逐漸熟悉數學高考對學生的各項要求。此階段學生應加強解題后反思，并舍得花一定的時間再次鉆研考試大綱、考試說明及歷屆高考試題，領會其命題風格。

問題1：高三數學復習第一輪怎么復習？

老師：第一輪重點是“三基”（基礎知識、基本技能、基本方法）復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生要掌握好復習課本重要例習題所蘊含的數學思想方法。在第一輪復習中，學生學習的重心要放在“三基”，千萬不要脫離這個目標；其次復習應該跟著老師或者略超前于老師的進度。最后在復習中一定要提高效率即掌握好80%以上的知識點。

問題2：我的基礎知識還可以，上課老師講得也都能聽懂，但是一到自己做題的時候就做不出來了，請老師幫忙分析一下原因。

老師：在中檔學生這個層面上，恐怕十個人得有九個人提出這個問題，這是學習數學的一大困難之處，聽老師講，聽得特別懂，自己一做就做不出來了，究其原因是什么呢？大家應該知道，原因在這里:數學是靠著邏輯演繹向前推進和發展的。當一個老師把你抱到了邏輯的起點上，告訴你這個邏輯關系是怎樣的，比如說餓了就應該找飯吃，下雨了就應該找傘來打，告訴你了這個邏輯規則，你自己肯定會按照邏輯的順序往前跑，這就叫為什么上課聽得懂，聽得頭頭是道。為什么課下自己不會做了呢？是因為課下你找不到邏輯的起點，有兩種學習的模式，一種是靠效仿，老師給我變一個數，出兩道類似的練習題，照老師的模子描下來，結果做對了，好象我學會了，這就是效仿的方式來學數學，這種方式在小學是主要手段，在初中，這種手段還占著百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分數也就是五六十分;其他的分數都要靠你的理解。即另一種是靠理解，所謂理解就是聽了老師的一段講解，看了老師的一個解題過程，你要把他提煉、升華成理性認識，在你的頭腦中，應該存下老師講解的這一段知識和解答的這一道題，他所體現出來的規律性的東西。當你遇到新問題、新試題的時候，你應該拿著這個規律去面對它，這樣的話，你就可以把老師講解的東西很自然地、流暢地用在你的解題里，這就是所謂通過理解，通過頓悟來學習數學。那么高中數學百分之六七十的成分是要靠著這種方式進行學習的。

問題3：我數學成績波動很大，在復習上有沒有什么需要注意的？

老師：數學成績波動大，說明能力還是有，要不怎么能有好的時候呢？第一是心理狀態不是特別好，心情好的時候，或者情緒比較高漲的時候，就能發揮得比較好，情緒比較低落的時候就發揮不出來，我覺得調整的方法，就是在心理方面對自己有一種暗示，心理問題就得靠暗示來解決，提高自己的信心，經常保持愉快和比較興奮，心態比較好的情況，可能成績能夠更穩定一點。問題4：做數學題時，尤其是考試的時候，遇到無從下手的題目怎么辦？

老師：如果你開始遇到無從下手的題那就繞過，一般來說，拿到一個題，如果一點思路都沒有的話，應該先避一避，把一些比較順手的題做好了以后，一方面會提高信心，再一方面，開始考的時候一般心情都比較緊張，考試中慢慢情緒會穩定的。等情緒穩定下來，或者把會做的做完后在回過頭解決，可能會比較有效。

問題5：考試總是無法發揮出我的水平，這怎么辦？

老師說:很多同學水平不錯，但考試結果不太理想。根據我的經驗，有這么幾方面的原因。一是有的同學水平比較高，但更會解決難題，對選擇、填空題不夠重視。結果大題做對了，選擇、填空做錯了，這是發揮不理想的情況。第二是對中檔題，中檔題應該說不難，但拿不住分。這里有一個如何對待中檔題的問題，我考慮有以下幾點。因為中檔題咱們給的標準答案和我們卻閱卷，一般是分步給分，所以要嚴格解題步驟，不要跳步。如：立體幾何的作圖過程，你所計算的角和距離是哪個角哪個距離，必須得指出。過去學生們的情況是最后這個題的結果是做對了，但得不到分。原因是中間跳步，寫得比較粗糙。還有就是我們在做角和距離時，做的過程和論證也占著相當的分數。解析幾何建立直角坐標系處理問題的方法、過程也要寫細。應用題，未知數的設計、等量關系的表述都不能忽略。中檔題必須抓住平時容易忽視的得分點，也能夠提高自己的水平。

問題6：我對題目長的題有恐懼感，請問老師怎么樣避免？

老師：如果我要去命題，恐怕這就是區分度的一個出題的技巧和技術，不是有些人怕難題嘛，在這些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去區分你們呢？誰上誰下呢？我就有意識地出一份字數比較多，信息量比較大的，文字比較長的題，誰害怕就刷掉，誰過了這一關就上來了，這也是一種出題的技巧，這也是現代信息技術時代對我們的要求，目前信息量這么大，不可能用三言兩語就把一件事說得特別清楚，字多一點，符號多一點，甚至英文都上來了都是有可能的。遇到這樣的問題怎么辦呢？唯一的策略就是化整為零，這個信息不管多長，文字量不管多大，這一大段話總是一句一句說下來的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以應對它的辦法就是化整為零，一句一句地去看它，不要從第一個字看到最后一個字，不懂心里就發慌，這樣的東西，我建議大家可以這樣做，第一遍叫粗讀，就是由第一個字讀到最后一個字，讀完之后，你能說出一個故事的梗概就夠了。比如說這個題里有三個量，比如說有耕地，有人均占有耕地的面積，還有單位的產量，還有什么等等，把這個量說清楚，這道題就說這幾個量的關系就夠了。接下來細讀，你一句話一句話地讀，讀了第一句話想想什么意思，想明白了再讀第二句，想不明白，找幾個關鍵詞體會什么意思，這樣一句一句讀下去，很長的一段，慢慢地就會讀懂。所以建議大家第一不要害怕，這是正常現象，第二化整為零，掌握科學的工作方法，總是可以應對的。

問題7：都說數學要講究臨場發揮，請問是不是有哪些地方需要注意？比如說應該做哪些題？先做高分的題還是低分的題？

老師：談一談考試技巧，其實這也是必要的，大家在高三復習這一年的過程當中，經過了許許多多場考試，其實這些考試除了考你的數學知識、數學能力之外，應該還有一個任務，就是考察你的考試技巧。但是這一點往往被同學們所忽略。這一點應該引起大家的重視，比如說，如果你是一個高分段的學生，你的目標高一點，是想考清華北大這些一些最名牌的大學的話，那你數學的期望值應該是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合適，對于這樣的同學，那么你就是按照題目的順序一道一道把它盡快地、嚴謹地答完，這沒有什么可考慮的，因為我的期望值和水平都可以應付這樣的辦法。

但是反過來，如果我的能力和數學成績考到一百分就很不錯了，我的水平已經發揮了，這樣的同學答題確實需要一些技巧，這個技巧的主要原則就是第一，一定要把自己會的，有把握的先答上，而且在個別的答題過程中，心理有點忐忑不安的話，做完之后還要做檢查工作，也就是說把會做的先做好，不管這個題的順序，不管這一問在什么地方，哪怕是倒數第二題的第一問，也要把它拿下來，所以做題的次序不一定按照題號的次序，而是會的就拿下，按照這樣的原則去組織。

那么這一層做完了，還有時間，就攻堡壘了，攻自己不會的題了。不會的題，你要注意，也是分為兩個集團，一個集團是咱們靜下心來，心態平和沒準就會做了，只要不緊張。那么有一些，恐怕再給你兩個小時，甚至再給你一天你也未見得做得出來，對這些難題，我們就要分分類，自己從直覺和感覺出發，如果覺得自己心情冷靜，這個題還能拿下，那就去拿它，所以層次在希望能夠達到一百分就滿足了的同學，你確實更應該注意答題技巧，原則是把會的先做下來，不一定按照題號的順序。另外，有的同學答題的時候心情比較緊張，往往影響你的發揮，我忠告大家，不要跟別人比，主要的是跟你自己比，如果我在學校歷次模擬考試，最多就考過九十五分，那么這次高考你能考九十六分，就可以喝慶功酒，就可以慶祝一番了，因此就可以把心情放下來，自己跟自己比，心情越冷靜，越踏實，越容易發揮，越容易取得好成績。特別是數學，心情如果不夠坦然，不夠平靜，往往會出現計算性錯誤，本來這道題會，三乘二，你得個五，變成加法做了，一下子分都沒了，特別是選擇題里，一道題要不然是五分，要不然是零分，如果因為我們的心情不夠踏實，不夠冷靜，一下子做錯了，本來應該得五分，變成零分了，這是非常遺憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是五六千人、六七千人的事，希望大家還是把心情踏實下來，這樣最好。問題8：如果我做前面的小題遇到困難，很不順，那我在考場上應該怎樣進行調整呢？

老師：大家現在要注意，目前的高考試題不是按照由易到難的次序排列的，它是多題把關，處處有關口，比如說做第一題白給分，一下子就出來了，做到第五題卡住了，這很有可能。人們都認為20題是最難的一道題，有的同學認為我看都不看，我這水平做不了，其實20題的第一問是往往是白給分的，是每個人都會的，為什么要放棄呢？所以大家要注意，目前的高考試卷是多題把關，就像地雷陣似的，處處有地雷，但是處處有坦蕩的路，所以我們要有相應的辦法來對付。

什么辦法呢？第一，心態上要注意，只要你的高考數學我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一個題不會，這非常正常，如果你數學的期望值是在一百分的話，那么你遇到40%個難題，那都是非常正常的事情。所以從心態上大家不要害怕，遇到難題是正常的，因為我考不了一百五十分嘛。

第二，遇到難題怎么辦？位置能力在中等位置的同學們，建議你們這樣做。遇到這個困難，你稍微愣一下神，靜下心來再想一想，如果暫時還想不出來，跳過去做下一道，沒準下一道很漂亮地做出來了，當你遇到下一個難點的時候，看看位置，如果位置仍然還靠前的話，你還可以繼續往下做。當你困難發生到三分之二的試卷上了，你回過頭來看看第一個難題，由于你離開那個境界遠了，心情也平靜了，你去看它，沒準突發一個靈感，困難就解決了。所以概括起來這么幾條，第一是心情平和，不要害怕，這是正常現象，你哪能道道都會啊？第二，遇到困難，一時解決不了暫時跳下去。繼續往下走，下面還有很多你會的，這就夠了。

問題9：在做解答題的時候，如果做不出第一小問，我是不是可以直接跳到第二小問？并且把第一小問要求求證的命題直接作為第二小問的條件呢？

老師：若這幾問是獨立評分，這是可以的，第一問對了給你分，第一問沒做了，第二問的時候第一問的結論也用了，照樣給你分，而且這是正常的、科學的答題方法，不要因為第一問不會，第二問就放棄，那就不應該了

問題10：我的數學比較差，我希望高考數學能拿到一百分，應該從哪方面入手？

老師：問題提出學習不是太好，不知道您哪方面學得不是太好，想拿到一百分，不知道你原來的成績怎么樣，如果原來是三、四十分的成績，高考要達到100多分就有點困難了，如果平時是七、八十分，這次要達到一百分，還是有努力的空間，我想從幾方面來說。第一，依綱（考綱）靠本（課本）。第二，把練習、試卷歸一下類，看是選擇題不行還是填空題不行，還是大題不行。一般來說，提高的空間都在選擇填空題上，還可能在中檔題中，最后兩個題提高的空間不大。所以我談一下選擇題的問題。選擇題與數學的概念、性質、公式密切相關，因此要想做對題，必須正確理解概念，數據處理準確，另外選擇題的選項就是針對考生數學概念理解上的錯誤和思維上出現的誤區而設置的。因此我們做選擇題時不能似是而非，現在就當前考生狀況用直接法和排除法選擇還是不錯的。但有些題可以用更靈活的方法，而用直解法用時間多，值得注意。往年經驗，每年十個選擇題中，總有

一、兩個難一點的題和比較新穎的題。對于這樣的題，考生不要驚慌，我認為有以下對策可以提高我們選擇題的能力。第一看見題型比較新，要聯想舊題，即新題想舊題。第二凡是推理比較困難，計算量比較大的題，處在選擇題中必有巧妙的方法。經常用特殊值法和代入檢驗法。

問題11：做選擇題的時候一般只錯一到兩題，但是剩下的時間就非常少了，只能做兩到三道大題了，這種情況下，怎樣能既提高速度，又能保證正確率呢？

老師：高考對選擇題的要求確實是兩個字，快、準，光準不快，比如說選擇題10道題你用了一個小時做完，后面還有那么多題呢，你怎么做得完呢？有的說光把答案抄一遍就得抄六七分鐘，確實是這樣，這樣就要注意了，做選擇題怎樣做得快呢？就是說你要把選擇體當做選擇題來做，而不要當做解答題來做。此話怎講？你做選擇題的時候，不要光看題干，不看選項，一門心思解這道題，當然花的時間長了。選擇題當選擇題做什么意思呢？要把四個選項和題桿連接成一個整體，從邏輯上分析這個題可能出現的漏洞在什么地方。從邏輯上首先分析它的破綻，如果一眼能認出破綻，這個解一下子就解了。

問題12：如何提高數學考試中的心理素質？有時候感覺自己考場上的心理素質還不過硬，是因為這個不過硬丟了很多不該丟的分。

老師：考試，什么叫考好了？不知道大家對我這個問題怎么回答？是不是好分就好了？那我問你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那當然算，你沒有考到一百四十就說你沒考好，還要打你屁股一下，那你愿意嗎？其實什么叫考好，關鍵是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考試中能夠盡情地發揮出來了，發揮得自己那么痛快，那就叫考好了，很可能一看分數，剛九十五分，可能我就是這個等級，就是這個水平。基于這一點，所以大家參加考試，一定要有一個平和的心態，自己跟自己比，以充分發揮自己的水平為宗旨，而不去追求那個分，也不要去考慮自己報的那個志愿，因為我們是先報志愿的，北京地區有這個負擔，我報的是清華，我得考一百三十五啊，壞了，這個題我不會，老是這種心態就考不好了。所以考試的時候，建議大家，第一要有一個正確的好壞觀，把自己跟自己比，第二點，考試的時候，一定要入境，使得自己腦子里完全是數學的東西，其他的私心雜念什么都沒有了，真正做到充耳不聞，視而不見。其實這個境界在高三這一年的模擬訓練中就應該練這一招。今天做模擬考試，你的教室窗子臨街，汽車過來過去，很吵，當你做完這個題的時候，你一點也沒有聽見。特別是現在天特別熱，怎么我答題的時候也不覺得熱了呢？一考完了一身臭汗，這就對了。如果你考試的時候窗外一個響聲你就一激靈，別人一翻卷子你就一激靈，老是冒汗，這就有問題了，要讓你的父母幫助你練這個工夫，特別是心理素質比較內向，膽小的同學，平時在家還可以，不會做題，還可以跟媽媽耍耍賴，到考場上，一道題不會，一看臉色都不一樣了，這樣的同學其實往往是挺聰明的，其實數學也學得不算不好的孩子，但是考試的時候，比他自己的水平總要掉下來十幾分，原因就是心理沒有調整好，這是一個大問題，凡是有這個問題的同學，建議你除了我說的那些數學的準備工作之外，是不是做做心理調試工作，必要的時候請老師、同學給你出點辦法怎么調節一下。

問題13：我自己認為考試成績和平時的成績很不吻合，有特別強烈的失敗感，有時候都失去信心了。這和心態不好有非常大的關系，但是現在又不知道怎么做。

老師：收獲季節還要自己收獲，別人收獲那是別人的，還不是你自己的。我覺得，首先應該樹立信心，一定要堅信數學這個東西是硬碰硬的工夫，如果這道題我真會，在考場上還真拿分，這跟寫作文不一樣，你說我平常記敘文寫得特別好，可是人家給你出的題目你就沒有靈感，沒有想法，就沒有辦法，數學就不是這樣，這個題你本來會，你就一定會，如果不會，一定是心理上有干擾，你老是想我考不好怎么辦，或者說我老是這樣，一考試就不如平常，這次再不如平常就壞了，老是想著這個，所以主要還是心理問題，恐怕心理比較內向，感情比較脆弱，進到了一個惡性循環的圈子里，越有這種現象，越怕發揮不出來，越怕發揮不出來，越沒發揮出來，長此以往，進入一個惡性循環圈。所以第一條，要樹立信心，你一定要堅信，我會的，到考場上一定也會，1加2到哪兒我也知道是3了，一定要樹立信心。第二，要解決好一個狀態，就是考試的時候，你要把一切負擔、私心雜念都放下，一門心思念數學，一門心思進入到數學領域，就是我剛才說的入境，這兩個工作如果解決了，恐怕考試的時候就容易解決這個問題了。再有，對這個問題還應該這樣，積累了一點經驗，有了一點進步，趕緊就應該肯定抓住閃光的地方，盡量擺脫惡性循環圈。舉個例子，比如說平常，我的考試沒掉過一百分，可是我一到模擬考試，最多只能考到92分，可是這次考試我考到了93分，那就是進步啊，就趕緊高興，就想自己這次成功的經驗是什么，別跟那100分比，要跟100分比還是不行，還是不如平常，那你這點滴的進步就被你抹煞了，所以你應該跟過去比，你過去還考不到93呢，想想這次你怎么那么放松了，在哪一點放松了，還有哪兒緊張，不斷地抓住自己閃光的地方.問題14：數學考試時應該怎樣分配時間？

老師：數學考試時應該怎樣分配時間，應該說是隨著高三復習過程中個人能力的不同而不斷調整的。我覺得一般而言，到了高考要根據自己不同的情況，學習成績比較好的同學，選擇題也就占到四十分鐘，要更好的同學，可能更短一點。對于平時成績不是太好的，那么選擇題恐怕要占到五十分鐘甚至更多。做后面的解答題，平時成績不是特別理想的，就集中力量做中間的四道解答題。后兩道大題，也就是第一問，頭兩問，看一看，當然不要失掉機會，有時候最后的一道大題的第一問也是可以做的。對于好學生來講，爭取中間的四道題，也就是中檔難度的題快一點拿下，因為要提高差距的話，想使自己成績比別人更好一點，區別還是在后兩道題上。問題15：現在高考數學題講究的是通性通法，是不是應該加強這方面的訓練，再突破一些難題？ 老師：目前的高考確實是通性通法，但是中等題和難題體現的不完全一樣，比如說中等題，在體現通性通法方面就比較暴露，比較直接。在綜合性題目里面，這個通性通法的使用就比較靈活，必須剝掉幾層之后才能看到。鑒于這種情況，針對不同層次的同學們，你們對通性通法可以做這樣不同層次的追求，比如高考數學分數期望值在一百到一百一十幾分之間的這樣一個檔次的，你就要特別注重通性通法在同等題里面的應用，要保證在中等題里面運用通性通法做到萬無一失。如果做得再好一點，你這個分數的期望值完全可以做到的。在難題里運用通性通法，這個外殼剝不開，個別看不透問題不太大。如果你期望值是一百二十分以上，甚至達到一百四十幾分，相信你在選擇填空和中等題方面是有基礎和把握的，你們攻克的要點就是通性通法在綜合題中間怎么使用，怎么穿破這個迷魂陣，能夠剝出里面的內涵，把通性通法用上，這是大家要攻克的，當然這個堡壘比前一個要困難一些。

第四篇：名師談高考數學第一輪復習

名師談高考數學第一輪復習（15問）

【高三數學復習一般分為三輪：】熟悉三輪復習的內容和目標

第一輪重點是“三基”（基礎知識、基本技能、基本方法）復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生極易忽視復習課本重要例習題所蘊含的數學思想方法。

第二輪復習一般是專題強化訓練，目標在于提高學生解答高考解答題的能力。此階段學生不應沉迷于套卷演練，而應在教師指導下，以典型例題為載體，以數學思想方法的靈活運用為線索，講求解題策略，使自己在第一輪復習的基礎上，數學素質得以明顯提升。

第三輪一般進行模擬、強化，目的在于調節學生智能、情感、意志等因素，使學生逐漸熟悉數學高考對學生的各項要求。此階段學生應加強解題后反思，并舍得花一定的時間再次鉆研考試大綱、考試說明及歷屆高考試題，領會其命題風格。

問題1：高三數學復習第一輪怎么復習？

老師：第一輪重點是“三基”（基礎知識、基本技能、基本方法）復習，目標是全面、扎實、系統、靈活。學生要掌握好復習課本重要例習題所蘊含的數學思想方法。在第一輪復習中，學生學習的重心要放在“三基”，千萬不要脫離這個目標；其次復習應該跟著老師或者略超前于老師的進度（成績好的同學應該有兩條復習路線，一條是跟著老師走，另外一條是自己制定的復習計劃）。最后在復習中一定要提高效率即掌握好90%以上的知識點。

問題2：我的基礎知識還可以，上課老師講得也都能聽懂，但是一到自己做題的時候就做不出來了，請老師幫忙分析一下原因。

老師：在中檔學生這個層面上，恐怕十個人得有九個人提出這個問題，這是學習數學的一大困難之處，聽老師講，聽得特別懂，自己一做就做不出來了，究其原因是什么呢？大家應該知道，原因在這里:數學是靠著邏輯演繹向前推進和發展的。當一個老師把你抱到了邏輯的起點上，告訴你這個邏輯關系是怎樣的，比如說餓了就應該找飯吃，下雨了就應該找傘來打，告訴你了這個邏輯規則，你自己肯定會按照邏輯的順序往前跑，這就叫為什么上課聽得懂，聽得頭頭是道。為什么課下自己不會做了呢？是因為課下你找不到邏輯的起點，有兩種學習的模式，一種是靠效仿，老師給我變一個數，出兩道類似的練習題，照老師的模子描下來，結果做對了，好象我學會了，這就是效仿的方式來學數學，這種方式在小學是主要手段，在初中，這種手段還占著百分之六七十的分量，但是到了高中就不行了，靠模仿能得到的分數也就是六七十分;其他的分數都要靠你的理解。即另一種是靠理解，所謂理解就是聽了老師的一段講解，看了老師的一個解題過程，你要把他提煉、升華成理性認識，在你的頭腦中，應該存下老師講解的這一段知識和解答的這一道題，他所體現出來的規律性的東西。當你遇到新問題、新試題的時候，你應該拿著這個規律去面對它，這樣的話，你就可以把老師講解的東西很自然地、流暢地用在你的解題里，這就是所謂通過理解，通過頓悟來學習數學。那么高中數學百分之六七十的成分是要靠著這種方式進行學習的。問題3：我數學成績波動很大，在復習上有沒有什么需要注意的？

老師：數學成績波動大，說明能力還是有，要不怎么能有好的時候呢？第一是心理狀態不是特別好，心情好的時候，或者情緒比較高漲的時候，就能發揮得比較好，情緒比較低落的時候就發揮不出來，我覺得調整的方法，就是在心理方面對自己有一種暗示，心理問題就得靠暗示來解決，提高自己的信心，經常保持愉快和比較興奮，心態比較好的情況，可能成績能夠更穩定一點。

問題4：做數學題時，尤其是考試的時候，遇到無從下手的題目怎么辦？

老師：如果你開始遇到無從下手的題那就繞過，一般來說，拿到一個題，如果一點思路都沒有的話，應該先避一避，把一些比較順手的題做好了以后，一方面會提高信心，再一方面，開始考的時候一般心情都比較緊張，考試中慢慢情緒會穩定的。等情緒穩定下來，或者把會做的做完后在回過頭解決，可能會比較有效。

問題5：考試總是無法發揮出我的水平，這怎么辦？

老師:很多同學水平不錯，但考試結果不太理想。根據我的經驗，有這么幾方面的原因。一是有的同學水平比較高，但更會解決難題，對選擇、填空題不夠重視。結果大題做對了，選擇、填空做錯了，這是發揮不理想的情況。第二是對中檔題，中檔題應該說不難，但拿不住分。這里有一個如何對待中檔題的問題，我考慮有以下幾點。因為中檔題給的標準答案一般是分步給分，所以要嚴格解題步驟，不要跳步。如：立體幾何的作圖過程，你所計算的角和距離是哪個角哪個距離，必須得指出。過去學生們的情況是最后這個題的結果是做對了，但得不到分。原因是中間跳步，寫得比較粗糙。還有就是我們在做角和距離時，做的過程和論證也占著相當的分數。解析幾何建立直角坐標系處理問題的方法、過程也要寫細。應用題，未知數的設計、等量關系的表述都不能忽略。中檔題必須抓住平時容易忽視的得分點，也能夠提高自己的水平。

問題6：我對題目長的題有恐懼感，請問老師怎么樣避免？

老師：如果我要去命題，恐怕這就是區分度的一個出題的技巧和技術，不是有些人怕難題嘛，在這些考生里面我要把一些人刷掉，怎么去區分你們呢？誰上誰下呢？我就有意識地出一份字數比較多，信息量比較大的，文字比較長的題，誰害怕就刷掉，誰過了這一關就上來了，這也是一種出題的技巧，這也是現代信息技術時代對我們的要求，目前信息量這么大，不可能用三言兩語就把一件事說得特別清楚，字多一點，符號多一點，甚至英文都上來了都是有可能的。遇到這樣的問題怎么辦呢？唯一的策略就是化整為零，這個信息不管多長，文字量不管多大，這一大段話總是一句一句說下來的，你先看懂第一句，再看第二句，每一句一定都很短，所以應對它的辦法就是化整為零，一句一句地去看它，不要從第一個字看到最后一個字，不懂心里就發慌，這樣的東西，我建議大家可以這樣做，第一遍叫粗讀，就是由第一個字讀到最后一個字，讀完之后，你能說出一個故事的梗概就夠了。比如說這個題里有三個量，比如說有耕地，有人均占有耕地的面積，還有單位的產量，還有什么等等，把這個量說清楚，這道題就說這幾個量的關系就夠了。接下來細讀，你一句話一句話地讀，讀了第一句話想想什么意思，想明白了再讀第二句，想不明白，找幾個關鍵詞體會什么意思，這樣一句一句讀下去，很長的一段，慢慢地就會讀懂。所以建議大家第一不要害 怕，這是正常現象，第二化整為零，掌握科學的工作方法，總是可以應對的。

問題7：都說數學要講究臨場發揮，請問是不是有哪些地方需要注意？比如說應該做哪些題？先做高分的題還是低分的題？

老師：談一談考試技巧，其實這也是必要的，大家在高三復習這一年的過程當中，要經過許多場考試，其實這些考試除了考你的數學知識、數學能力之外，應該還有一個任務，就是考察你的考試技巧和心理狀態。但是這一點往往被同學們所忽略。這一點應該引起大家的重視，比如說，如果你是一個高分段的學生，你的目標高一點，是想考清華北大這些一些最名牌的大學的話，那你數學的期望值應該是在一百三十分以上，甚至一百四十分左右才合適，對于這樣的同學，那么你就是按照題目的順序一道一道把它盡快地、嚴謹地答完，這沒有什么可考慮的，因為我的期望值和水平都可以應付這樣的辦法。

但是反過來，如果我的能力和數學成績考到一百分就很不錯了，我的水平已經發揮了，這樣的同學答題確實需要一些技巧，這個技巧的主要原則就是第一，一定要把自己會的、有把握的先答上，而且在個別的答題過程中，心理有點忐忑不安的話，做完之后還要做檢查工作，也就是說把會做的先做好，不管這個題的順序，不管這一問在什么地方，哪怕是倒數第二題的第一問，也要把它拿下來，所以做題的次序不一定按照題號的次序，而是會的就拿下，按照這樣的原則去組織。

那么這一層做完了，還有時間，就攻堡壘了，攻自己不會的題了。不會的題，你要注意，也是分為兩種類型，一種類型是咱們靜下心來，心態平和沒準就會做了，只要不緊張。另一種類型，恐怕再給你兩個小時，甚至再給你一天你也未見得做得出來，對這些難題，我們就要分分類，從直覺和感覺出發，能拿多少就拿多少，不要強求。所以層次在希望能夠達到一百分就滿足了的同學，你確實更應該注意答題技巧，原則是把會的先做下來，不一定按照題號的順序。

另外，有的同學答題的時候心情比較緊張，往往影響你的發揮，我忠告大家，不要跟別人比，主要的是跟你自己比，如果我在學校歷次模擬考試，最多就考過九十五分，那么這次高考你能考九十六分，就可以喝慶功酒，就可以慶祝一番了，因此就可以把心情放下來，自己跟自己比，心情越冷靜，越踏實，越容易發揮，越容易取得好成績。特別是數學，心情如果不夠坦然，不夠平靜，往往會出現計算性錯誤，本來這道題會，三乘二，你得個五，變成加法做了，一下子分都沒了，特別是選擇題里，一道題要不然是五分，要不然是零分，如果因為我們的心情不夠踏實，不夠冷靜，一下子做錯了，本來應該得五分，變成零分了，這是非常遺憾的，大家知道，高考如果差五分，那就是六七千人、七八千人的事，希望大家還是把心情踏實下來，這樣最好。

問題8：如果我做前面的小題遇到困難，很不順，那我在考場上應該怎樣進行調整呢？

老師：大家現在要注意，目前的高考試題不是按照由易到難的次序排列的，它是多題把關，處處有關口，比如說做第一題白給分，一下子就出來了，做到第五題卡住了，這很有可能。人們都認為22題是最難的一道題，有的同學認為我看都不看，我這水平做不了，其實22題的第一問是往往是白給分的，是每個人都會的，為什么要放棄呢？所以大家要注意，目前的高考試卷是多題把關，就像地雷陣似的，處處有地雷，但是處處有坦蕩的路，所以我們要有相應的辦法來對付。

什么辦法呢？第一，心態上要注意，只要你的高考數學我期望值不是一百四十五分，那么你遇到一個題不會，這非常正常，如果你數學的期望值是在一百分的話，那么你遇到40%個難題，那都是非常正常的事情。所以從心態上大家不要害怕，遇到難題是正常的，因為我考不了一百五十分嘛。

第二，遇到難題怎么辦？位置能力在中等位置的同學們，建議你們這樣做。遇到這個困難，你稍微愣一下神，靜下心來再想一想，如果暫時還想不出來，跳過去做下一道，沒準下一道很漂亮地做出來了，當你遇到下一個難點的時候，看看位置，如果位置仍然還靠前的話，你還可以繼續往下做。當你困難發生到三分之二的試卷上了，你回過頭來看看第一個難題，由于你離開那個境界遠了，心情也平靜了，你去看它，沒準突發一個靈感，困難就解決了。所以概括起來這么幾條，第一是心情平和，不要害怕，這是正常現象，你哪能道道都會啊？第二，遇到困難，一時解決不了暫時跳下去。繼續往下走，下面還有很多你會的，這就夠了。

問題9：在做解答題的時候，如果做不出第一小問，我是不是可以直接跳到第二小問？并且把第一小問要求求證的命題直接作為第二小問的條件呢？

老師：若這幾問是獨立評分，這是可以的，第一問對了給你分，第一問沒做了，第二問的時候第一問的結論也用了，照樣給你分，而且這是正常的、科學的答題方法，不要因為第一問不會，第二問就放棄，那就不應該了

問題10：我的數學比較差，我希望高考數學能拿到一百分，應該從哪方面入手？

老師：問題提出學習不是太好，不知道您哪方面學得不是太好，想拿到一百分，不知道你原來的成績怎么樣，如果平時是七、八十分，這次要達到一百分，還是有努力的空間，我想從幾方面來說。第一，依綱（考綱）靠本（課本）。第二，把練習、試卷歸一下類，看是選擇題不行還是填空題不行，還是大題不行。一般來說，提高的空間都在選擇填空題上及解答題中檔題上，最后兩個題提高的空間不大。在這里我談一下選擇題的問題。選擇題與數學的概念、性質、公式密切相關，因此要想做對題，必須正確理解概念，數據處理準確，另外選擇題的選項就是針對考生數學概念理解上的錯誤和思維上出現的誤區而設置的。因此我們做選擇題時不能似是而非，現在就當前考生狀況用直接法和排除法選擇還是不錯的。但有些題可以用更靈活的方法，而用直解法用時間多，值得注意。往年經驗，每年的選擇題中，總有

一、兩個難一點的題和比較新穎的題。對于這樣的題，考生不要驚慌，我認為有以下對策可以提高我們選擇題的能力。第一看見題型比較新，要聯想舊題，即新題想舊題。第二凡是推理比較困難，計算量比較大的題，處在選擇題中必有巧妙的方法。經常用特殊值法和代入檢驗法。

問題11：做選擇題的時候一般只錯一到兩題，但是剩下的時間就非常少了，只能做兩到三道大題了，這種情況下，怎樣能既提高速度，又能保證正確率呢？

老師：高考對選擇題的要求確實是兩個字，快、準，光準不快，比如說選擇題10道題你用了一個小時做完，后面還有那么多題呢，你怎么做得完呢？有的說光把答案抄一遍就得抄六七分鐘，確實是這樣，這樣 就要注意了，做選擇題怎樣做得快呢？就是說你要把選擇體當做選擇題來做，而不要當做解答題來做。此話怎講？你做選擇題的時候，不要光看題干，不看選項，一門心思解這道題，當然花的時間長了。選擇題當選擇題做什么意思呢？要把四個選項和題桿連接成一個整體，從邏輯上分析這個題可能出現的漏洞在什么地方。從邏輯上首先分析它的破綻，如果一眼能認出破綻，這個解一下子就解了。

問題12：如何提高數學考試中的心理素質？有時候感覺自己考場上的心理素質還不過硬，是因為這個不過硬丟了很多不該丟的分。

老師：考試，什么叫考好了？不知道大家對我這個問題怎么回答？是不是好分就好了？那我問你什么叫好分呢？一百四十算不算好分？那當然算，你沒有考到一百四十就說你沒考好，還要打你屁股一下，那你愿意嗎？其實什么叫考好，關鍵是自己跟自己比，如果自己的水平在一次考試中能夠盡情地發揮出來了，發揮得自己滿意，那就叫考好了，很可能一看分數，剛九十五分，可能我就是這個等級，就是這個水平。基于這一點，所以大家參加考試，一定要有一個平和的心態，自己跟自己比，以充分發揮自己的水平為宗旨，而不去追求那個分，也不要去考慮自己報的那個志愿，因為我們是先報志愿的，北京地區有這個負擔，我報的是清華，我得考一百三十五啊，壞了，這個題我不會，老是這種心態就考不好了。所以考試的時候，建議大家，第一要有一個正確的好壞觀，把自己跟自己比，第二點，考試的時候，一定要入境，使得自己腦子里完全是數學的東西，其他的私心雜念什么都沒有了，真正做到充耳不聞，視而不見。所以這個境界一定要在高三這一年的模擬訓練中練好這一招。比如：今天做模擬考試，你的教室窗子臨街，汽車過來過去，很吵，當你做完這個題的時候，你一點也沒有聽見。特別是現在天特別熱，怎么我答題的時候也不覺得熱了呢？一考完了一身臭汗，這就對了。如果你考試的時候窗外一個響聲你就一激靈，別人一翻卷子你就一激靈，老是冒汗，這就有問題了，要讓你的父母幫助你練這個工夫，特別是心理素質比較內向，膽小的同學，平時在家還可以，不會做題，還可以跟媽媽耍耍賴，到考場上，一道題不會，一看臉色都不一樣了，這樣的同學其實往往是挺聰明的。其實有許多數學學得挺不錯的學生，但是考試的時候，比他自己的水平總要掉下來十幾分，原因就是心理沒有調整好，這是一個大問題，凡是有這個問題的同學，建議你除了我說的那些數學的準備工作之外，是不是做做心理調試工作，必要的時候請老師、同學給你出點辦法怎么調節一下。

問題13：我自己認為考試成績和平時的成績很不吻合，有特別強烈的失敗感，有時候都失去信心了。這和心態不好有非常大的關系，但是現在又不知道怎么做。

老師：收獲季節還要自己收獲，別人收獲那是別人的，還不是你自己的。我覺得，首先應該樹立信心，一定要堅信數學這個東西是硬碰硬的工夫，如果這道題我真會，在考場上還真拿分，這跟寫作文不一樣，你說我平常記敘文寫得特別好，可是人家給你出的題目你就沒有靈感，沒有想法，就沒有辦法，數學就不是這樣，這個題你本來會，你就一定會，如果不會，一定是心理上有干擾，你老是想我考不好怎么辦，或者說我老是這樣，一考試就不如平常，這次再不如平常就壞了，老是想著這個，所以主要還是心理問題，恐怕心理比較內向，感情比較脆弱，進到了一個惡性循環的圈子里，越有這種現象，越怕發揮不出來，越怕 發揮不出來，越沒發揮出來，長此以往，進入一個惡性循環圈。所以第一條，要樹立信心，你一定要堅信，我會的，到考場上一定也會，1加2到哪兒我也知道是3了，一定要樹立信心。第二，要解決好一個狀態，就是考試的時候，你要把一切負擔、私心雜念都放下，一門心思念數學，一門心思進入到數學領域，就是我剛才說的入境，這兩個方面如果解決了，恐怕考試的時候就容易解決這個問題了。再有，對這個問題還應該這樣，積累了一點經驗，有了一點進步，趕緊就應該肯定抓住閃光的地方，盡量擺脫惡性循環圈。舉個例子，比如說有的同學高一高二的考試成績沒掉過110分，可是到高三就沒有考過100分了，有一次模擬考試考了92分，下一次考試考到了93分，那就說明你進步啊，就趕緊高興，想想自己這次成功的經驗是什么，別跟那110分比，不然跟110分比還是不行，那你這點滴的進步就被你抹煞了，想想這次你怎么那么放松了，在哪一點放松了，還有哪兒緊張，不斷地抓住自己閃光的地方.問題14：數學考試時應該怎樣分配時間？

老師：數學考試時應該怎樣分配時間，應該說是隨著高三復習過程中個人能力的不同而不斷調整的。我覺得一般而言，到了高考要根據自己不同的情況，學習成績比較好的同學，選擇填空題也就占到四十分鐘，要更好的同學，可能更短一點。對于平時成績不是太好的，那么選擇填空題恐怕要占到五十分鐘甚至更多。做后面的解答題，平時成績不是特別理想的，就集中力量做中間的四道解答題。后兩道大題，也就是第一問，頭兩問，看一看，當然不要失掉機會，有時候最后的一道大題的第一問也是可以做的。對于好學生來講，前四個大題，也就是中檔難度的題要準確、快速拿下，因為要提高差距的話，想使自己成績比別人更好一點，區別還是在后兩道大題上。

問題15：現在高考數學題講究的是通性通法，是不是應該加強這方面的訓練，再突破一些難題？

老師：目前的高考確實是通性通法，但是中等題和難題體現的不完全一樣，比如說中等題，在體現通性通法方面就比較暴露，比較直接。在綜合性題目里面，這個通性通法的使用就比較靈活，必須剝掉幾層之后才能看到。鑒于這種情況，針對不同層次的同學們，你們對通性通法可以做不同層次的追求，比如高考數學分數期望值在一百到一百一十幾分之間的這樣一個檔次的，你就要特別注重通性通法在中等題（解決好前四個大題類型）里面的應用，要保證在中等題里面運用通性通法做到萬無一失。如果做得再好一點，你這個分數的期望值完全可以做到的。那么在難題里運用通性通法，這個外殼剝不開，個別看不透，問題就不太大了。如果你期望值是一百二十分以上，甚至達到一百四十幾分，相信你在選擇填空和中等題方面是有基礎和把握的，你們攻克的要點就是通性通法在綜合題中間怎么使用，怎么穿破這個迷魂陣，能夠剝出里面的內涵，把通性通法用上，這是大家要攻克的，當然這個堡壘比前一個要困難一些。

最后再給高考生一些建議：

老師：建議大家，第一樹立信心，第二想想自己的工作方法有哪些不科學的地方，趕緊尋找一個科學的工作方法，我給大家已經介紹了。如果第一你有信心，第二你有一個科學的學習、復習方法，讓中學時代最后這一年過得不斷充實，覺得自己一天比一天更強大，你的自信心就會越來越飽滿，到高考的時候，你 的自信心都要爆棚了，那時候，相信你的數學成績一定會考出非常理想的水平。希望大家能認真做，相信能夠取得好的成績。謝謝大家。

數學第一輪復習策略[摘錄]

在高考中，有很多學生數學科目得分充滿了變數，有的學生平時數學成績很好，但是在高考中沒有發揮出應有的水平，于是就沒有拿到理想的分數，有一些在平時考試中，數學成績一般的學生，在高考中發揮得很好，就提升自己的競爭力。那么怎樣才能學好數學？怎樣才能最快的提升數學成績？一些成績優秀的學生又怎樣能保持很好的考試狀態？這些都是我們應該注意的內容。因為第一輪復習才開始不久，考生還有很多的時間可以利用，有很多的機會可以把握。

例如我們把北京考生2009年的成績統計拿過來分析一下，就發現數學成績的高低，直接決定一個學生的高考走向，在數學科目上，競爭很大，比如說2009年高考統計中，北京理科學生數學成績，高考分數為150分的學生有9個人，那么數學成績在140分以上的就一下子變成900人了，而在北京高考中，總分排名在前750的學生才有可能上北清，所以說一個學生數學成績要是在140分以下的話，要想達到北清線，就必須在其他的科目上拉分彌補數學科目的劣勢，不管其他科目成績怎樣，這個學生數學成績會讓自己處于被動局面。那么數學成績要是在120以下的話，你的競爭力就減弱得更多了，因為有可能是8000名之后了。我對班上學生一直在講這方面的內容，也給他們提出了要求，接下來就是完善這個過程了。我專門寫一篇文章給大家講講如何復習數學，希望能給學生們帶來幫助。

一些學生沒有養成好的答題習慣，導致丟掉很多不該丟的分。

每次分析試卷，都有學生抱怨自己疏忽而丟掉一些不該丟掉的分數，就那北京學生來說，由于自己疏忽造成的丟分，平均每個學生丟了30分。所謂說，考試的分數就是你平時學習的體現，平時沒有養成好的答題習慣，丟三落四，考試的時候想急于求成，步驟不合理，看問題不全面，等等，這些可能直接導致你數學分數上不去。一些學生交卷之后都覺得自己分數一定不很不錯，可是發下試卷就傻眼。

心理原因導致數學成績差。

有一部分學生平時數學成績一直不好，有時候對數學充滿恐懼感，覺得自己沒有學習數學的天賦，導致自己對數學學科的排斥，越是這樣，數學成績越是上不去，甚至一些人的理由是：女生就是沒有學習數學的天賦、、、、、、我覺得這些都是由心理因素導致的。數學沒有想象的那么難，但是最起碼你得有信心，同時靜心、潛心的去探索，根據自己的實際情況，循序漸進的學習，肯定會有起色的。我發現數學成績一直不好的學生，首先沒有堅持、靜心的去學習。

第五篇：高考第一輪復習數學：不等式的證明

不等式的證明

（一）●知識梳理

1.均值定理：a+b≥2ab； ab≤（a?b2）2（a、b∈R+），當且僅當a=b時取等號.2.比較法：a－b＞0?a＞b，a－b＜0?a＜b.3.作商法：a＞0，b＞0，ab＞1?a＞b.特別提示

1.比較法證明不等式是不等式證明的最基本的方法.作差后需要判斷差的符號，作差變形的方向常常是因式分解后，把差寫成積的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用條件，若●點擊雙基

1.若a、b是正數，則

a?b2ab＞1不能推出a＞b.這里要注意a、b兩數的符號.、ab、2aba?b、a2?b22這四個數的大小順序是

A.ab≤a?b22≤2aba?b≤

a2?b22

B.a2?b2≤ab≤

a?b2≤

2aba?b2

C.2aba?b≤ab≤a?b22≤

a2?b2

D.ab≤a?b2≤

a?b22≤

2aba?b

解析：可設a=1，b=2，則a?b2=43232，ab=2，2aba?ba2=，1?4252?b2===2.5.答案：C

2.設0＜x＜1，則a=2x，b=1+x，c=A.a

解析：∵0＜x＜1，B.b

11?x中最大的一個是 C.c

D.不能確定

∴1+x＞2x=4x＞2x.∴只需比較1+x與∵1+x－∴1+x＜11?x11?x11?x2的大小.=－

x2=.1?x?11?x1?x＜0，答案：C 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常數，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

必要條件 解析：當a＞0，b2－4ac＜0時，ax2+bx+c＞0.反之，ax+bx+c＞0對x∈R成立不能推出a＞0，b－4ac＜0.反例：a=b=0，c=2.故選A.答案：A 4.（理）已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），給出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序號都填上）解析：∵|a+b|＜－c，∴c＜a+b＜－c.∴－b+c＜a＜－b－c.故①②成立，③不成立.∵|a+b|＜－c，|a+b|≥|a|－|b|，∴|a|－|b|＜－c.∴|a|＜|b|－c.故④成立，⑤不成立.答案：①②④

（文）若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞a3b2+a2b3；④a+1a

222

552

2≥2.其中一定成立的是__________.解析：①a2+3－2a=（a－1）2+2＞0，∴a2+3＞2a；

②a2+b2－2a+2b+2=（a－1）2+（b+1）2≥0，∴a2+b2≥2（a－b－1）；

③a+b－ab－ab=a（a－b）+b（b－a）=（a2－b2）（a3－b3）=（a+b）（a－b）2（a2+ab+b2）.∵（a－b）≥0，a+ab+b≥0，但a+b符號不確定，∴a5+b5＞a3b2+a2b3不正確； ④a∈R時，a+答案：①② 1a22

255322

332

2≥2不正確.5.船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的平均速度v1和在靜水中的速度v2的大小關系為____________.解析：設甲地至乙地的距離為s，船在靜水中的速度為v2，水流速度為v（v2＞v＞0），則船在流水中在甲乙間來回行駛一次的時間

t=sv2?v+sv2?v=v2v22v2s2?v22，平均速度v1=22st2=

?vv2.∵v1－v2=∴v1＜v2.v2?vv22－v2=－

v2v2＜0，答案：v1＜v2 ●典例剖析

【例1】 設a＞0，b＞0，求證：（a21b）2（b?111a）2≥a2+b2.剖析：不等式兩端都是多項式的形式，故可用比差法證明或比商法證明.證法一：左邊－右邊＝

（a）?（b）ab（a?b）（a?ab?b）?ab（a?b）（a?2ab?b）（a?ab（a?b）33－（a＋b）

＝

＝＝

b）（aba?b）2≥0.ab∴原不等式成立.證法二：左邊＞0，右邊＞0，左邊右邊＝（a?b）（a?ab（a?ab?b）b）＝

a?ab?bab≥

2ab?abab＝1.∴原不等式成立.評述：用比較法證不等式，一般要經歷作差（或商）、變形、判斷三個步驟.變形的主要手段是通分、因式分解或配方.在變形過程中，也可利用基本不等式放縮，如證法二.下面的例3則是公式法與配方法的綜合應用.【例2】 已知a、b、x、y∈R且求證：xx?a+

1a＞

1b，x＞y.＞yy?b.剖析：觀察待證不等式的特征，用比較法或分析法較適合.證法一：（作差比較法）

∵又xx?a1a－1byy?b（x?a）（y?b）=

bx?ay，＞且a、b∈R+，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，∴bx＞ay.∴bx?ay（x?a）（y?b）＞0，即

xx?a＞

yy?b.證法二：（分析法）∵x、y、a、b∈R，∴要證+

xx?a＞

yy?b，只需證明x（y+b）＞y（x+a），即證xb＞ya.而由1a＞1b＞0，∴b＞a＞0.又x＞y＞0，知xb＞ya顯然成立.故原不等式成立.思考討論

該例若用函數的單調性應如何構造函數? 解法一：令f（x）=再令g（x）=∵1axx?a，易證f（x）在（0，+∞）上為增函數，從而

xx?a＞

yy?b.mm?x，易證g（x）在（0，+∞）上單調遞減.+＞1b，a、b∈R.∴a＜b.mm?a∴g（a）＞g（b），即＞

mm?b，命題得證.xy解法二：原不等式即為

axa?1＞

byb?1，為此構造函數f（x）=

xx?1，x∈（0，+∞）.xa易證f（x）在（0，+∞）上為單調增函數，而xy＞

yb，∴axa?1＞byb?1，即

xx?a＞

yy?b.【例3】 某食品廠定期購買面粉.已知該廠每天需用面粉6 t，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購面粉每次需支付運費900元.（1）求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少?（2）若提供面粉的公司規定：當一次購買面粉不少于210 t時，其價格可享受9折優惠（即原價的90%），問該廠是否考慮利用此優惠條件?請說明理由.解：（1）設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x t，由題意知，面粉的保管等其他費用為3［6x+6（x－1）+?+6×2+6×1］=9x（x+1）.設平均每天所支付的總費用為y1元，則y1=900x1x［9x（x+1）+900］+6×1800 =+9x+10809≥

2900x?9x+10809 =10989.當且僅當9x=900x，即x=10時取等號，即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.（2）若廠家利用此優惠條件，則至少每隔35天，購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則

y2==1x［9x（x+1）+900］+6×1800×0.90 +9x+9729（x≥35）.100x900x令f（x）=x+（x≥35），x2＞x1≥35，則 f（x1）－f（x2）=（x1+=

100x1）－（x2+

100x2）

（x2?x1）（100?x1x2）x1x2

∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0.∴f（x1）－f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），即f（x）=x+100x，當x≥35時為增函數.∴當x=35時，f（x）有最小值，此時y2＜10989.∴該廠應該接受此優惠條件.●闖關訓練 夯實基礎

1.設x＞0，y＞0，且xy－（x+y）=1，則 A.x+y≤22+2

B.x+y≥22+2 D.x+y≥（2+1）

2C.x+y≤（2+1）解析：∵x＞0，y＞0，∴xy≤（由xy－（x+y）=1得（∴x+y≥2+22.答案：B

x?y2x?y2）.2）2－（x+y）≥1.2.已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是 A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能確定

解析：M－N=x+y+1－（x+y+xy）==121222［（x2+y2－2xy）+（x2－2x+1）+（y2－2y+1）］ ［（x－y）2+（x－1）2+（y－1）2］≥0.答案：A 3.設a＞0，b＞0，a+解析：a+

22b22b2=1，則a1?b2的最大值是____________.?12b2b22=1?a+

=

32.a2∴a1?b2=2·a·答案：324?12?b22?12332=2·2=.≤2·

a?b24.若記號“※”表示求兩個實數a和b的算術平均數的運算，即a※b=，則兩邊均含有運算符號“※”和“+”，且對于任意3個實數a、b、c都能成立的一個等式可以是____________.解析：∵a※b=a?b2b?a2，b※a=，∴a※b+c=b※a+c.答案：a※b+c=b※a+c.思考：對于運算“※”分配律成立嗎? 即a※（b+c）=a※b+a※c.答案：不成立

5.當m＞n時，求證：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

證明：∵（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＝m3－3m2n＋3mn2－n3＝（m－n）3，3又m＞n，∴m－n＞0.∴（m－n）＞0，即（m3－m2n－3mn2）－（2m2n－6mn2＋n3）＞0.故m－mn－3mn＞2mn－6mn＋n．

6.已知a＞1，λ＞0，求證：loga（a+λ）＞loga+λ（a+2λ）.證明：loga（a+λ）－log（a+λ）（a+2λ）=lg（a??）lga2322223－lg（a?2?）lg（a??）

=lg（a??）?lga?lg（a?2?）lga?lg（a??）

∵a＞1，λ＞0，∴lga＞0，lg（a+2λ）＞0，且lga≠lg（a+2λ）.∴lga·lg（a+2λ）＜［（=［lg（a2lga?lg（a?2?）2lg（a??）22）］?2a?）2］＜［

2］=lg（a+λ）.∴lg（a??）?lga?lg（a?2?）lgalg（a??）2＞0.∴loga（a+λ）＞log（a+λ）（a+2λ）.培養能力

7.已知x＞0，y＞0，若不等式x+y≤mx?y恒成立，求實數m的最小值.分析：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yx?x?yyy∴m≥恒成立.∴m的最小值就是的最大值.解：∵x+y≤mx?y恒成立，x?x?yy∴m≥恒成立.∵x＞0，y＞0，∴x?y≥（x?2x?x?2yyy）2=

x?2y.∴x?x?yy≤=2.∴m的最小值為2.評述：分離參數法是求參數的范圍問題常用的方法，化歸是解這類問題常用的手段.8.有點難度喲！

求證：在非Rt△ABC中，若a＞b，ha、hb分別表示a、b邊上的高，則必有a+ha＞b+hb.證明：設S表示△ABC的面積，則 S=12aha=12bhb=12absinC.∴ha=bsinC，hb=asinC.∴（a+ha）－（b+hb）=a+bsinC－b－asinC =（a－b）（1－sinC）.∵C≠π2，∴1－sinC＞0.∴（a－b）（1－sinC）＞0.∴a+ha＞b+hb.探究創新

9.設二次函數f（x）=ax+bx+c（a＞0），方程f（x）－x=0的兩根x1、x2滿足1＜x1＜x2＜1a2.（1）當x∈（0，x1）時，證明x＜f（x）＜x1；（2）設函數f（x）的圖象關于直線x=x0對稱，求證x0＜證明：（1）令F（x）=f（x）－x，∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，∴F（x）=a（x－x1）（x－x2）.當x∈（0，x1）時，由于x1＜x2，∴（x－x1）（x－x2）＞0.又a＞0，得F（x）=a（x－x1）（x－x2）＞0，即x＜f（x）.又x1－f（x）=x1－［x+F（x）］=x1－x+a（x1－x）（x－x2）=（x1－x）［1+a（x－x2）］，∵0＜x＜x1＜x2＜1ax12.，x1－x＞0，1+a（x－x2）=1+ax－ax2＞1－ax2＞0，∴x1－f（x）＞0，即f（x）＜x1.綜上，可知x＜f（x）＜x1.（2）由題意知x0=－

b2a.∵x1、x2是方程f（x）－x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b－1）x+c=0的根，∴x1+x2=－∴x0=－b2ab?1a.=.ax1?ax2?12a=a（x1?x2）?12aax12ax12.又∵ax2＜1，∴x0＜=●思悟小結

1.比較法有兩種形式：一是作差，二是作商.用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法.它的依據是不等式的基本性質.2.步驟是：作差（商）→變形→判斷.變形的目的是為了判斷.若是作差，就判斷與0的大小關系，為了便于判斷，往往把形式變為積或完全平方式.若是作商，兩邊為正，就判斷與1的大小關系.3.有時要先對不等式作等價變形再進行證明，有時幾種證明方法綜合使用.4.在應用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”.若忽略了某個條件，就會出現錯誤.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數還是負數來證明不等式，其應用非常廣泛，一定要熟練掌握.2.對于公式a+b≥2ab，ab≤（a?b2）2要講清它們的作用和使用條件及內在聯系，兩個公式也體現了ab和a+b的轉化關系.拓展題例

【例1】設a、b∈R，關于x的方程x2＋ax＋b＝0的實根為α、β.若｜a｜＋｜b｜＜1，求證：｜α｜＜1，｜β｜＜1.證法一：∵α＋β＝－a，αβ＝b，∴｜α＋β｜＋｜αβ｜＝｜a｜＋｜b｜＜1.∴｜α｜－｜β｜＋｜α｜｜β｜＜1，（｜α｜－1）（｜β｜＋1）＜0.∴｜α｜＜1.同理，｜β｜＜1.證法二：設f（x）=x＋ax＋b，則有

f（1）＝1＋a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞1－1＝0，f（－1）＝1－a＋b＞1－（｜a｜＋｜b｜）＞0.∵0≤｜a｜＜1，∴－1＜a＜1.∴－122＜－a2＜12.∴方程f（x）＝0的兩實根在（－1，1）內，即｜α｜＜1，｜β｜＜1.評述：證法一先利用韋達定理，再用絕對值不等式的性質恰好能分解因式；證法二考慮根的分布，證兩根在（－1，1）內.【例2】 是否存在常數C，使得不等式數x、y恒成立?試證明你的結論.解：當x=y時，可由不等式得出C=下面分兩個方面證明.先證≥2xy.再證xx?2yx2x?y23x2x?y+

yx?2y≤C≤

xx?2y+

y2x?y對任意正

.+yx?2y≤

23，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2+y2x?y≥

23，22此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x+y.綜上，可知存在常數C=

23，使對任何正數x、y不等式恒成立.6.3 不等式的證明

（二）●知識梳理

1.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質和已證明過的不等式以及函數的單調性導出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因導果”.2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件 的方法叫分析法，概括為“執果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調性證明不等式.5.構造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數形結合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

1.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）a＜2+數a的取值范圍是

A.［－2，C.［－3，3232n

（?1）nn?1對任意n∈N恒成立，則實

*））

B.（－2，D.（－3，3232））

解析：當n為正偶數時，a＜2－1n，2－121n為增函數，∴a＜2－=32.1n當n為正奇數時，－a＜2+而－2－1n，a＞－2－

1n1n.為增函數，－2－

32＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，答案：A）.2.（2003年南京市質檢題）若＜

a11b＜0，則下列結論不正確的是 ．．．

B.ab＜b D.|a|+|b|＞|a+b|

2A.a＜b C.ba2

21b

+ab＞2

1a解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A 3.分析法是從要證的不等式出發，尋求使它成立的 A.充分條件

C.充要條件

答案：A

B.必要條件

D.既不充分又不必要條件

4.（理）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1·q

y n－

1的圖象，O1m n x 易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數列{an}與等比數列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，?），則an+1與bn+1的大小關系是____________.解析：an+1=a1?a2n?121a?b1a?b≥a1a2n?1=b1b2n?1=bn+1.答案：an+1≥bn+1 5.若a＞b＞c，則

+

1b?c1b?c_______

3a?c.（填“＞”“=”“＜”）

1a?b解析：a＞b＞c，（1+）（a－c）=（+

1b?c）［（a－b）+（b－c）］

≥2（a?b）（b?c）1·2（a?b）（b?c）=4.3a?c∴a?b+1b?c≥

4a?c＞.答案：＞ ●典例剖析

【例1】 設實數x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋

18.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應消去x、y.xy證明：∵a＞0，a＞0，∴ax＋ay≥2ax?y＝2ax?x.∵x－x2＝xy

214－（x－112）2≤

114，0＜a＜1，∴a＋a≥2a4＝2a8.1∴loga（a＋a）＜loga2a8＝loga2＋xy

18.1評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證a＋a≥2·a8即可． 【例2】 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1.求證：（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質，解決

+

xy

問題.證明：∵a、b、c∈R且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］·［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］·［（a+b+c）－b］·［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］·［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2（a?b）（b?c）＞0，（b+c）+（c+a）≥2（b?c）（c?a）＞0，（c+a）+（a+b）≥2（c?a）（a?b）＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】 已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：na－1＜a?1n+

.a?1n證法一：要證na－1＜即證a＜（a?1n，+1）.n令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+∵（1+tntntn）n.+?+Cnn（tn）n=1+C1na?1nn）n＞1+t，即na－1＜成立.證法二：設a=xn，x＞1.于是只要證即證xnx?1n＞x－1，n－1?1x?1n－1＞n.聯想到等比數列前n項和1+x+?+xn－

2=

xn?1x?1，① ② 倒序x+x+?+1=nxn?1x?1.①+②得2·x?1x?1=（1+xn－1）+（x+xn－2）+?+（xn－1+1）

＞2xn?1+2xn?1+?+2xn?1＞2n.∴xn?1x?1＞n.思考討論

本不等式是與自然數有關的命題，用數學歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關訓練 夯實基礎

1.已知a、b是不相等的正數，x=

a?2b，y=a?b，則x、y的關系是

A.x＞y 解析：∵x2=y2=a+b=12 B.y＞x

2C.x＞2y

D.不能確定

（a+b）2=

12（a+b+2ab），（a+b+a+b）＞

（a+b+2ab）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B 2.對實數a和x而言，不等式x+13ax＞5ax+9a成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）=x3－5ax2+13a2x－9a3 =（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）+5a］＞0.∵當x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：b2?ac＜3a.22證明：要證b2?ac＜3a，只需證b－ac＜3a，22

3即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）·（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）＝0.展開得ab+bc+ca=－∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a+b+c+ab+bc+ca≥0，亦即證122222

a2?b2?c22，［（a+b）＋（b＋c）＋（c＋a）］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a－b－ab＝－［（a＋22

b2）＋

3b42］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養能力

5.設a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.31證明：∵a+b+c=1，22∴（a+b）－2ab+c=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x+（c－1）x+c－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

?Δ?0?1?1?c?c???c?0?3?2??f（c）?0.222222

6.已知2b?2ca=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數根.a?2c2證明：由2b?2ca=1，∴b=.∴b=（2a2+2c）=

2a22+2ac+2c2=4ac+（a2－2c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數根.7.設a、b、c均為實數，求證：證明：∵a、b、c均為實數，∴12121212a+

12b+

12c≥

1b?c+

1c?a+

1a?b.（12b12c12a＋12c12b）≥

12bc12ab≥≥≥

11a?b，當a=b時等號成立；

（（＋＋）≥）≥

b?c1c?a，當b=c時等號成立； ． ≥

1b?c12a12ca三個不等式相加即得探究創新

12a+

12b+

12c+

1c?a+

1a?b，當且僅當a=b=c時等號成立.8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負數.證明：假設a、b、c、d都是非負數，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數.●思悟小結

1.綜合法就是“由因導果”，從已知不等式出發，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結論.2.分析法就是“執果索因”，從所證不等式出發，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結合在證明不等式中經常遇到.4.構造函數利用單調性證不等式或構造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現相關知識間的聯系.●教師下載中心 教學點睛

1.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應學生習慣的思維規律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現單一的不等式的證明題，常常與函數、數列、三角、方程綜合在一起，所以在教學中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數的單調性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數學歸納法等.拓展題例

【例1】 已知a、b為正數，求證：

（1）若a+1＞b，則對于任何大于1的正數x，恒有ax+（2）若對于任何大于1的正數x，恒有ax+

xx?1xx?1＞b成立；

＞b成立，則a+1＞b.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+xx?1=a（x－1）+

1x?1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.∵a+1＞b（b＞0），22∴（a+1）＞b.（2）∵ax+而ax+xx?1xx?1＞b對于大于1的實數x恒成立，即x＞1時，［ax+

1x?1xx?1］min＞b，=a（x－1）+

1+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，1a當且僅當a（x－1）=故［ax+xx?1x?1，即x=1+＞1時取等號.］min=（a+1）2.則（a+1）2＞b，即a+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】 求證：|a?b|1?|a?b|≤

|a|1?|a|+

|b|1?|b|.x剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=證明：令f（x）=

x1?x1?x（x≥0）的單調性.（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即|a?b|1?|a?b|≤|a|?|b|1?|a|?|b|=

|a|1?|a|?|b|?|b|1?|a|?|b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.思考討論

1.本題用分析法直接去證可以嗎? 2.本題當|a+b|=0時，不等式成立； 當|a+b|≠0時，原不等式即為

1?11|a?b|≤

|a|1?|a|?|b|1?|b|.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!