第一篇：江西理工大學專升本高等數學復習經驗談

大家好，我是星原專升本學員，2013年參加了江西專升本考試，成功考上江西理工大學，應星原專

升本老師的邀請，將以前我復習高等數學的一點經驗或想法，供學弟學妹們借鑒，說得不好的地方請見諒。江西理工大學專升本的理科，高等數學是非常重要的科目，占了150分，好久沒看過高等數學了，一開始，我心里也很緊張，對于能否學好心里沒底，由于從小對數學感興趣，我靜下心來認真復習，最終取得了不錯的成績。總結自己的學習經驗，我覺得學好數學要注意兩點，一是培養自己的引導性思維，二是在學習中下苦功夫。和其他科目比起來，數學是一門比較抽象的學科，需要死記硬背的內容較少，邏輯推理和運算是掌握的重點。我覺得，在日常學習中，考生要培養自己的引導性思維，提高想象力和聯想力，進而提高解題能力。引導性思維，就是通過基本概念發散思考，聯想到接下來的解題思路，在解題時能夠舉一反三。做到這一點，數學學習才能游刃有余，解題才能順利地進行。

我參加了星原專升本的輔導班（扣扣：1793778090）。每次上課時，我都認真聽老師講解，認真理解和記憶基本概念、公式，這是提高數學學習的基礎。老師講解習題時，我注意掌握對習題的分析思路和推理邏輯，從中開闊思維，培養引導性思維。如果考生在老師講解習題時僅機械背記解題過程，則只能掌握同種習題的解法，遇到習題稍加變動，可能就束手無策。通過培養自己的引導性思維，我數學越學越有興趣，感覺解題思路也越來越開闊，老師講解習題時我也常能舉一反三，不僅對同種習題游刃有余，而且對一些變形的題目，也能多想幾個為什么，從中找出解題的頭緒，繼而順利解答。

雖然數學學習講究一定的方法和技巧，但它和其他科目一樣，也必須通過刻苦努力來鞏固，來不得半點虛假，掌握了解題的基本方法和公式后，還通過大量解題練習來增強記憶。成人考生年齡偏大，記憶力下降，只有通過更多的努力才能彌補這塊“短板”。為了提高學習，我工作外的休息時間都變成了學習時間，周末和晚上別人休息時，我則要求自己靜下心來學習。復習期間，我做了大量歷年試題和復習資料，以此鞏固了對基礎習題的掌握。學習中我發現，有的同學雖然手中掌握大量學習資料，但卻只停留在看的基礎上，沒有認真去解題，發現別的同學有新的資料時，仍舊想拿過來看看。每次測驗后，這些同學常抱怨，自己也看了很多復習資料，但成績卻并未提高。他們沒有意識到，數學學習是靠踏踏實實解題來鞏固的，不付出辛苦的努力，不在大量解題中積累經驗，提高學習成績只能是自己的一廂情愿。

第二篇：江西理工大學專升本備考四大注意事項

江西理工大學專升本備考四大注意事項

心如浮萍，精神渙散，意志薄弱，胡思亂想，行為散亂，是專升本準備的最大敵人，有許多行為的最終本質就是心態浮躁、意念不專。專升本呼喚的是一種思想明確，意志堅定，有所為而有所不為的戰斗品質。星原教育為參加江西理工大學專升本的同學們略舉以下五點，以資參考：

一忌猶豫彷徨。考生往往對自己選擇專業、甚至是否應該專升本等重大問題還心存疑慮，這是非常危險的；勾踐之所以能每天臥薪嘗膽，就在于他對自己等待時機滅吳雪恥的目標已經產生了深刻的認識。

二忌我行我素。考生不懂得“在什么山頭唱什么歌”的道理，不懂得特殊時期應該有所為而有所不為，一些不太好的習慣要及時糾正。如專升本前要合理按排作息時間；健康的身體是參與革命的“本錢”。

三忌活動頻繁。有些考生天性活潑，唱歌跳舞樣樣在行，而且有什么舞會活動之類的，心一癢就去了；或者朋友眾多，喝酒請飯，麻將紙牌，來者不拒。專升本需要清心寡欲，需要多和書交際，多和教室相處，這樣的讀書效果最有保證。

四忌愛好游戲。考生中不乏有酷愛網絡游戲，虛擬世界，等級爭鋒，裝備稱王，可PK，可練級，可做任務，可交朋友，不亦樂乎，雖然已劍指升本，但是心癮難除，隔三差四還是往電腦前坐；所謂一心不可兩用，自然不會有什么好結果。

專升本是人生中最緊要的幾步之一，心存僥幸，妄想投機取巧的人就是一時得逞，但到頭來都是好景不長的。星原專升本為廣大考生提供考試大綱，可幫助各位同學更好的掌握學習重點，提高備考效率。專升本是自我學習能力升級很好的契機，它不僅可以敦促你打掉自己身上的不良習氣，自覺養成一種終生受益、奮發向上、頑強不息的氣質和性格。相信你自己，相信我說的話，相信萬物真理！祝備戰專升本的考生考試順心！

第三篇：專升本高等數學(二)

成人高考（專升本）高等數學二

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。

第二章一元函數微分學 第一節導數與微分

[復習考試要求]

1.理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。4.掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。5.了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。

第二節導數的應用

[復習考試要求]

1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法。會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

3.理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數積分學

第一節不定積分

[復習考試要求]

1.理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數不定積分的計算。

第二節定積分及其應用

[復習考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件 2.掌握定積分的基本性質

3.理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

7.掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。

第四章多元函數微分學

[復習考試要求]

1.了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。2.了解二元函數的極限與連續的概念。

3.理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。4.掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。5.會求二元函數的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。

第五章概率論初步

[復習考試要求]

1.了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

2.掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

6.了解隨機變量的概念及其分布函數。

7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8.會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內容]

（一）數列的極限 1.數列

定義按一定順序排列的無窮多個數

稱為無窮數列，簡稱數列，記作{xn}，數列中每一個數稱為數列的項，第n項xn為數列的一般項或通項，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數列）（2）（3）（等比數列）（遞增數列），?（震蕩數列）（4）1，0，1，0，?都是數列。它們的一般項分別為（2n-1）,。

對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列{xn}可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3?一切正整

數時，對應的函數值就排列成數列。

在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,?。2.數列的極限

定義對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列{xn}以常數A為極限，或稱數列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列{xn}沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數軸上的點表示，若數數列極限的幾何意義：將常數A及數列的項列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數列極限的性質與運算法則 1.數列極限的性質

定理1.1（惟一性）若數列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數列{xn}單調有界，則它必有極限。3.數列極限的四則運算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當時，（三）函數極限的概念 1.當x→x0時函數f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→x0時）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當x→x0時f（x）的左極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當x→x0時，f（x）的右極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有

當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數的左極限系：

定理1.6當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對于函數，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數的極限

之間有以下關

2.當x→∞時，函數f（x）的極限（1）當x→∞時，函數f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對于函數y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱

當x→∞時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→∞時）

（2）當x→+∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→+∞時，函數f（x）的極限是A，記作

這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當x→-∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數，當x→-∞時，f（x）→？

解：當x→-∞時，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函數f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數f（x）有相同的極限A。例如函數，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數1，當x→+∞時，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x→∞時

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數滿足條件：（1），（2）

在點的某個鄰域內（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數極限的四則運算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數常用希臘字母定理1.10函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：

振蕩型發散

（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為。

2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個數值，“∞”是一個記號，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當當為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質

性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價無窮小量，記為是比較低價的無窮小量。當

；

等價無窮小量代換定理：

如果當時存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有： 當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的其結構式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結構式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質求極限； 4.利用函數的連續性求極限；

5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限。基本極限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發散

[答]C

D.（2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量

C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是

極限的運算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當時求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計算

[答]

解:

例7.用函數的連續性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317]解:當 [答]0

例9.求分段函數在分段點處的極限（1）[0307]設則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達法則）

即（2）若[解析]型未定式.當時，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內容：

極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。[主要知識內容]

（一）函數連續的概念 1.函數在點x0處連續

定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數y=f（x）在點x0處連續。

函數y=f（x）在點x0連續也可作如下定義：

定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即

定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續，則f（x）在點x0處左連續也右連續。2.函數在區間[a，b]上連續

定義如果函數f（x）在閉區間[a，b]上的每一點X處都連續，則稱f（x）在閉區間[a，b]上連續，并稱f（x）為[a，b]上的連續函數。這里，f（x）在左端點a連續，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。

可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3.函數的間斷點

定義如果函數f（x）在點x0處不連續則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且，則點x0是f（x）一個間斷點。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續 C.x=0處間斷，x=1處連續 D.x=0處連續，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續 ［答案］C [9703]設A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續，則k等于

［答案］B 例3[0209]設解：f（0）=e0=1

在x=0處連續，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續（2）f（x）·g（x）在x0處連續（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=x0處連續。

在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。

（三）閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存

處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即

在一個ξ，使得

推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數的連續性

由函數在一點處連續的定理知，連續函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區間內是連續函數。又由于基本初等函數在其定義區間內是連續的，可以得到下列重要結論。

定理1.18初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區間（0,1）內至少有一個實根.證：設f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續 f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內至少有一個實根。本章小結

函數、極限與連續是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。

這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下：

一、概念部分

重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續的概念。

極限概念應該明確極限是描述在給定變化過程中函數變化的性態，極限值是一個確定的常數。

函數在一點連續性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運算部分

重點：求極限，函數的點連續性的判定。1.求函數極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；

對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質求極限；（4）利用函數的連續性求極限； 若f（x）在x0處連續，則。

（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。

2.判定函數的連續性，利用閉區間上連續函數的零點定理證明方程的根的存在性。

第四篇：高等數學復習

高等數學2考試知識點

總題型：填空（10空），選擇題（5個），計算題（A-9,B-8），證明題（2個）

第8章：填空選擇題型：向量的數量積和向量積的計算，運算性質，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數量積為零，兩向量數量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點到平面的距離公式，旋轉曲面方程的特點即出現兩個變量的平方和且其對應系數相等，球面的一般方程；

計算題型：根據直線和平面的關系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數的定義域，簡單函數的二重極限計算，多元函數的極限、連續和偏導數的關系，多元函數取極值的必要條件；

計算題型：偏導數的計算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數在已知點沿已知向量方向的方向導數，多元函數的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導數有關的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質，計算被積函數為常數且積分區域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計算題型：二重積分計算，極坐標系下二重積分的計算，三重積分的計算（球面坐標結合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質，計算被積函數為常數且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計算題型：曲線型構建的質量（已知線密度，且曲線為圓弧），對坐標的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區域為球的三重積分），全微分求積（求原函數）

第11章：填空選擇題型：級數收斂的定義，收斂級數的性質，簡單級數的絕對收斂和條件收斂以及發散的判定，冪級數的收斂半徑和收斂域，冪級數的間接展開(利用指數函數和三角函數)，傅里葉級數的收斂定理，記住奇偶函數在對稱區間的傅里葉級數展開為正弦與余弦級數；

計算題型：正項級數的審斂法，一般的級數判定其絕對收斂還是條件收斂，冪級數求和函數，冪級數的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁的Weierstrass判別法證明函數項級數是一致收斂的；

第五篇：專升本高等數學復習題15

數學分析3試卷（2）

一、（12%）判別下列級數的斂散性：

?

（1）?

n?1(n!)2?(2n)!（2）?

n?1nnn(2n?1)

二、（20%）證明

11?xsin?ysin?yx（1）f(x,y)??

?0?xy?0xy?0(x,y?)在原點(0,(0,0)的 極限是0.（2）g(x,y)??xy

x?y22在原點(0,0)不存在極限.??x?y

三、（10%）證明函數f(x,y)????0xy?0xy?0在(0,0)存在兩個偏導數，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求復合函數??f(x,y),x?2(s?t),y?st的二階偏導數.五、（12%）驗證方程x3?y3?z3?2xyz?6在點(1,1,2)的鄰域存在以x,y為自變量的隱函數并求?z

?x與?z

?y.六、（10%）求函數z?3x?3y?6xy的極值.七、（10%）求曲面z?x?y?1在點(1,1,1)的切平面方程與法線的方程.?2233

八、（10%）.設f(x)??1?nn?1

42x4x2(n?0)?（1）判定級數?

n?1x1?nx的一致收斂性.（2）證明和函數f(x)在(0,??)連續.