第一篇：高等數學上冊復習

第一章復習提要 第一節 映射與函數

1、注意幾個特殊函數：符號函數，取整函數，狄利克雷函數；這些函數通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數的概念

3、了解常用函數的圖像和基本性質（特別是大家不太熟悉的反三角函數）第二節 數列的極限 會判斷數列的斂散性 第三節 函數的極限

1、函數極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會求函數的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數極限的局部有界性、局部保號性。第四節 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數極限的關系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數關系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會求函數的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關系：無窮大一定無界，反之不對。

5、極限為無窮大事實上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數增大的這種狀態 第五節 極限的運算法則

1、極限的四則運算法則：兩個函數的極限都存在時才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會求有理分式函數

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時:若分母q(x0)?0，則極限為函數值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時，用抓大頭法，分子、分母同時約去x的最高次冪。第六節 極限存在的準則，兩個重要極限（重要）

1、利用夾逼準則求極限： 例 p56也習題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個重要極限求其他的極限（p56習題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節 無窮小的比較（重要）

1、會比較兩個無窮之間的關系（高階、低階、同階，k 階還是等價窮小）若分子和分母同時為零，則為

x22、常見的等價無窮小：sinx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會利用等價無窮小計算極限（p60頁習題4）

第八節 函數的連續性與間斷點（重要）

1、函數在點x0連續 ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續lim?x?x02、會判斷間斷點及其類型。討論分段函數的連續性。

3、f(x)在點a連續?f(x)在點a連續；但反之不對。

第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性

初等函數在其定義域上都是連續的，因而求某點處極限時可以直接把點代入求值。

4.注意三個例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數的連續性求未知數的值（如p70頁 6）（重要）第十節 閉區間上連續函數的性質

最大值最小值定理、零點定理、介值定理的內容 會零點定理證明方程根的存在性。（重要）補充說明 請熟悉函數e當x?0?,x?0?,x??時的極限。第二章復習提要

1、導數的定義

（1）利用導數的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導數討論函數的可導性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點處的導數應該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導數求未知數的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設f(x)??為可導的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導數幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導?連續，反之不成立！

2、求導法則

（1）復合函數求導不要掉項；

（2）冪指函數u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉化成指數來求導

3、高階導數

（1）一般的函數求到2階即可；（2）幾個初等函數的n階導數：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導公式我們容易推出下列求導公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導數：

1?x2例

5、求y?的n階導數：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數的求導

例

6、求下列函數的二階導數：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數及參數方程求導（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出

dy。dx（2）會求二階導數

（3）對數求導法適用于冪指函數和連乘或連除的函數（4）注意參數方程二階導數的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關變化率問題：

根據題意給出變量x和y之間的關系；

?

兩邊對t（或者是其他變量）求導

?

dydx和之間的關系，已知其中一個求另外一個。dtdt5、函數的微分

（1）微分與可導的關系：可微?可導且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數或顯函數的微分： 顯函數的例子見課本的例題；下面給出隱函數的例子 例

7、設ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導數的應用復習提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應用： 證明等式，一般通過證明導數為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數用中值定理，有時還要結合單調性，見153也習題6）（重要）

利用輔助函數和中值定理證明等式（一個函數用拉格朗日，二個用柯西）例1 設函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f(1)?0，證明至少存在一點??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結合等價無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導數代入公式即可；

（2）常見函數ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數的單調性和凹凸性（1）會用列表法求函數的單調區間和凹凸區間（注意一般是閉區間），拐點。注意不要漏掉導數不存在的點也可能是單調區間的分點； 二階導數不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調性證明不等式（重要）（3）利用單調性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）

（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。3.6 函數圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復習提要

4.1 不定積分的概念和性質

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導數為sinx，則f(x)的一個原函數是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數為分式，分母次數比分子次數高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。

這個原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數和對數函數的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號。會做形如例7、8那樣具有典型特點的題目。

4.4 有理函數的積分（重要）

1、P(x)，先用多項式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對Q(x)分解因式，根據分解結果用待定系數法確定x?1x?1AB??：應設

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應設 ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應設(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數總是要比分母低一次。

3、三角函數可以通過如下換元法轉化為有理函數的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數就轉化成為有理函數

24.被積函數含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補充說明：這一章的內容需要大家在掌握一定規律的前提下多做練習，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質：利用定積分的性質判斷積分的取值范圍或比較兩個積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導數：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計算極限、判斷函數單調性等： 相應例題（p242,例7，8），相應習題（p243-244:習題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數F(x)為函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(或者帶絕對值的函數)的積分應為分段積分的和：典型題目p244，習題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設f(x)是周期為T的連續函數：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設F(x)是f(x)的原函數，引入記號

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數的反常積分（瑕積分）：設F(x)是f(x)的原函數，則 若b為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點）收斂必須F(c?),F(c?)同時存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。都是先求原函數然后代入兩個端點，只是對于非正常點（如?和瑕點）算的是函數的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會利用下面的兩個重要反常積分來討論一些函數的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時，注意[a,b]是否含有瑕點。否則會得到錯誤的結果：

adx。?1x第六章 定積分的應用

6.2 定積分在幾何學上的應用

1、平面圖形的面積（直角坐標系和極坐標下）（重要）

2、體積（特別是旋轉體的體積）（重要）

3、三個弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學上的應用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第二篇：高等數學復習

高等數學2考試知識點

總題型：填空（10空），選擇題（5個），計算題（A-9,B-8），證明題（2個）

第8章：填空選擇題型：向量的數量積和向量積的計算，運算性質，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數量積為零，兩向量數量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點到平面的距離公式，旋轉曲面方程的特點即出現兩個變量的平方和且其對應系數相等，球面的一般方程；

計算題型：根據直線和平面的關系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數的定義域，簡單函數的二重極限計算，多元函數的極限、連續和偏導數的關系，多元函數取極值的必要條件；

計算題型：偏導數的計算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數在已知點沿已知向量方向的方向導數，多元函數的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導數有關的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質，計算被積函數為常數且積分區域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計算題型：二重積分計算，極坐標系下二重積分的計算，三重積分的計算（球面坐標結合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質，計算被積函數為常數且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計算題型：曲線型構建的質量（已知線密度，且曲線為圓弧），對坐標的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區域為球的三重積分），全微分求積（求原函數）

第11章：填空選擇題型：級數收斂的定義，收斂級數的性質，簡單級數的絕對收斂和條件收斂以及發散的判定，冪級數的收斂半徑和收斂域，冪級數的間接展開(利用指數函數和三角函數)，傅里葉級數的收斂定理，記住奇偶函數在對稱區間的傅里葉級數展開為正弦與余弦級數；

計算題型：正項級數的審斂法，一般的級數判定其絕對收斂還是條件收斂，冪級數求和函數，冪級數的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁的Weierstrass判別法證明函數項級數是一致收斂的；

第三篇：高等數學第六版上冊(同濟)復習重點

高數重點

1、洛必達法則求未定式極限

2、隱函數的求導公式（隱函數存在的三個定理）

3、多元函數的極值及其求法（多元函數極值和最值的概念，二元函數極值存在的必要條件

和充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值）

4、多元復合函數的求導法則（多元復合函數求導，全微分形式的不變性）

5、全微分（全微分的定義，課微分的必要條件和充分條件）

6、偏導數（概念，二階偏導數求解）

7、二重積分的計算法（利用直角坐標、極坐標求二重積分）

8、微分方程的基本概念（微分方程及其階，解，通解，初始條件，特解）

9、齊次方程

10、牛頓——萊布尼茨公式

一、1、夾逼定理

2、連續（定義證明函數連續，判斷間斷點類型）

二、1、導數（證明函數是否可導）連續不一定可導，可導不一定連續

2、求導法則

3、求導公式，微分公式

三、1、微分中值定理！

2、洛必達法則

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲線凹凸性，極值

5、曲率公式 曲率半徑

四、積分不定積分

1、兩類換元法

2、分部積分法（注意加C）

3、定積分定義、反常積分

五、定積分的應用

極坐標求做功求面積求體積求弧長

第四篇：高等數學上冊

《高等數學》上冊

一、函數與極限

1.函數基本概念—了解

1． 集合及集合的運算

2． 數軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區間 3． 常量和變量

4． 函數的定義和函數的表達方式 5． 函數的定義域和函數的計算 6． 基本初等函數

7． 復合函數和初等函數 8． 分段函數

2.函數的極限及運算法則—理解極限的含義，會計算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數學上冊下冊均有求極限的題目，極限的方法是研究函數的工具。（不會涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數列及數列極限 2． 函數的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關系及無窮小的性質（運算注意前提條件有限個和無限個的區別）5． 極限的有界性定理及應用

6． 復合函數求極限（變量代換的方法）

3.兩個重要極限（兩個極限的運算法則的條件、推廣和應用）

1． 第一個重要極限

2． 第一個重要極限的應用 3． 第二個重要極限

4． 第二個重要極限的應用（注意：單調 且有界是證明題的關鍵部分）4.無窮小的比較

等價無窮小及其應用

重要部分！5.函數的連續性和間斷點

1． 增量

2． 函數連續的兩個定義 3． 左連續和右連續

4． 函數的間斷點分類（重要，出小題）

5． 連續函數四則運算的連續性（運算法則的條件、推廣和應用）6． 反函數和復合函數的連續性

7． 連續函數的性質（注意：閉區間上連續函數的性質，重要，但一般不單獨出題）一致連續性不用看 練習題一

2.導數與微分（重要,小題必考章節！）1.導數的定義和導數四則運算法則

1． 導數的定義（重要），2． 導數的幾何意義（理解；其中數一數二導數的物理意義；數三，經濟意義、邊際函數、彈性函數）

3． 函數可導性與連續性的關系（必需的！）4． 求導公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函數導數的四則運算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同類型函數的求導法則及高階導數

1． 復合函數的求導法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數的求導法則（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 參數方程所確定的函數的求導法則（小題，理解！多元隱函數的求導）4． 高階導數（重要）

3.函數的微分及應用（理解，重要同導數必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運算法則 4． 復合函數的微分公式

5． 利用微分進行近似計算（除去不用看）練習題二

3.導數的應用（考大題 難題，重要章節！）

1.中值定理和洛必達法則（中值定理包括費馬定理的應用及相關的證明題，必須會做證明題！）

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達法則（必考;泰勒公式及其應用，參照張宇的老師的導學或視頻）2.函數的極值和最值（考小題，單調性及極值點、最大值最小值）

1． 函數的單調性及判斷 2． 函數的極值 3． 函數的最值

3.曲線的凸凹性，拐點及函數作圖（考小題，單調性及極值點、凹凸性及拐點、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點 3.曲線的漸近線

4.函數作圖（會大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習題三

4.不定積分（重要！運算的基礎知識。與數

一、數三相比，數二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數與不定積分（理解原函數）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定積分的性質（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一類換元法的應用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二類換元法的應用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部積分法和不定積分技巧的綜合應用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被積函數和積分變量的選取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函數的積分（重要，常見的一些題型，基本的運算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數的二重積分，三重積分，線面積分的基礎）1.定積分的定義和基本運算

1． 定積分的定義（理解！）

2． 定積分的性質

3． 變上限的積分函數（理解！）

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學好，這一部分涉及的計算應該1． 定積分的換元法 很簡單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區間為無窮區間的廣義積分 一元函數的極限，導數，微分，不定積分，定2． 被積函數有無窮間斷點的廣義積分（Г積分這是高等數學的基礎，根本所在；然后多函數不用看）元函數（二元函數）的類似運算，只要把定義4.定積分的運用（會應用）相關推理過程理解了，則 自然會有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點不再難點！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數三只看旋轉體 體積）

4.曲線的弧長（數

一、數二公式記住，數 三不考）

第五篇：高等數學復習提要

高等數學復習提綱

第一章 函數與極限 復習重點：

1、求極限

1）四則運算法則

注意：四則運算法則適用的函數個數是有限個；

四則運算法則的條件是充分條件

有理分式函數求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個準則

準則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準則二：單調有界數列必有極限

單調遞增有上界的數列其極限為最小的上界（上確界）

單調遞減有下界的數列其極限為最大的下界（下確界）4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數的乘積是無窮小量

等價無窮小量替代求極限

注意：下面給出關系式是在x?0時才成立

等價無窮小量替代求極限只在積、商時成立，加減時不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續性和間斷點 1）連續定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會用定義討論分段函數分段點的連續性

2）間斷點

第Ⅰ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??可去間斷點0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個不?

間斷點的疑似點：使函數沒有意義的點和分段函數分段點

要求：判斷函數的間斷點，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點即可。

3、閉區間上連續函數的性質

1）最值定理：閉區間上連續函數的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結論不一定成立。

2）零點定理：f(x)在[a,b]上連續，f(a)f(b)<0，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數微分學 復習重點：

1、導數的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會利用導數的定義判斷分段函數分段點處的可導性，以及利用導數定義求極限；

2、導數的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點可微）；dy?f?(x)dx（點點可微）

4、一元微分學中，可導、連續、可微三者之間的關系

可導必可微，可微必可導；可導一定連續，連續不一定可導

5、導數的計算 a.復合函數求導

b.高階導數

常見高階導數公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數求導

隱函數求導方法兩邊同時對x求導； 注意y是關于x的函數；

隱函數求導的結果還是隱函數；

隱函數高階求導時一階求導結果要注意回帶，以簡化運算。d.對數求導法

適用于冪指函數、無理分式函數 e.參數方程求導

注意二階導數

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導數的應用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，f(a)=f(b)，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結論不一定成立；

b)羅爾定理的結論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個條件，則導函數在開區間(a,b)至

少有一根；強調了導函數根的存在性，但沒指出到底有幾個根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個根+連續+可導，則導函數至少有n-1個根；注意反之不成立；

d)若導函數沒有根，則f(x)至多一個根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?應用于不等式的證明和證明某個函數是一個常函數。3）柯西定理

若f(x)，F(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應用于等式的證明。

2、洛必達法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時洛必達法則不適用。

x??x??x1洛必達法則應用于解決,3、利用導數判斷函數的單調性，凹凸性，極值和拐點，會作圖 1）單調性的判定

設函數y?f（x）在?a,b?連續，在（a,b）可導，?x）a）如果在（a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數嚴格單調的充分條件 b、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內嚴格單增（減）的充要條件為：

對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內,任何使f?(x)?0的點必是孤立點 c、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內單增（減）的充要條件為： 對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調區間的分界點為：一階導函數為0的點和一階不可導點 要求：會利用一階導函數判斷函數的單調區間；

會利用單調性證明不等式；

會利用嚴格單調性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續，(a,b)上二階可導，在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點：凹凸區間的分界點

拐點的疑似點：二階導函數為0的點和二階不可導點 判定定理1：若f(x)在x0處可導，在U(x0)內二階可導，則

當x?x0與x?x0時，f??(x)變號，(x0,f(x0)就是拐點；

當x?x0與x?x0時，f??(x)不變號，(x0,f(x0)就不是拐點；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點。注意，對于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結論是(x0,f(x0)可能是拐點也可能不 是拐點。4）極值

極大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極大值，x0為f(x)的一個極大值點。

極小值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極小值，x0為f(x)的一個極小值點。

0最大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個最大值，x0為f(x)的一個最大值點。

注意：極值反映的函數局部的性質，它只是和極值點附近點的函數值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數全局的性質，它是和整個區間上所有點的函數值相互比較。一個區間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點不唯一；而一個區間上極值是 不唯一的，可以有幾個極大值和極小值。

在區間內部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點的疑似點：

判定定理：駐點和一階不可導點

必要條件：可導的極值點一定是駐點。（使一階導函數為0的點稱之為駐點）第一充分條件：若f(x)在x0處連續，在U(x0)內可導，則

當x?x0與x?x0時，f?(x)變號，x0就是極值點；

當x?x0與x?x0時，f?(x)不變號，x0就不是極值點；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點。

0f??(x0)?0,x0是極大值點；f??(x0)?0,x0是極小值點。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點也可能不是。

第四章 不定積分（計算）

1、換元法（第一種，第二種（去根號））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個根式換元

5、有理函數積分

6、三角函數積分

nb第五章 定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結果是常數，表示的是曲邊梯形面積的代數和，與積分區間和被積表達式有關，和積分變量無關。

2、可積的兩個充分條件和一個必要條件 f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質

??（1）無論a,b,c三者位置關系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、會用定積分的定義求極限

6、定積分的計算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回代（2）分部積分法

公式 ????nn22 ?In?sinxdxcosxdx????00 ?? 31??n?1n?3??????? ?nn?2422?? ?n?1?n?3???4?2?1 ?53?nn?2

（3）積分區間是對稱區間的要考慮被積函數的奇偶性和非奇非偶性 ??aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0a?TT（4）周期性

f(x)dx?f(x)dxa0

a?nTT

f(x)dx?nf(x)dxa0

??（5）常見公式

22??(1)fsinxdx?f?cosx?dx 00

???(2)xf?sinx?dx?f?sinx?dx002 ??(3)f(sinx)dx?22f(sinx)dx00

第六章 定積分的幾何應用 求面積（1）直角坐標系

（2）參數方程（3）極坐標系 ??????????