第一篇：高等數學下冊總復習

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〈一〉內容提要

第八章 空間解析幾何與向量代數

1．直角坐標系

（1）坐標軸、坐標面上點的特征；

（2）關于坐標平面、坐標軸、坐標原點的對稱點；（3）空間兩點間的距離公式 2．向量的概念：

?（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，記為a或AB。

（2）向量的坐標表示：點P(x,y,z),則向量OP正向上的單位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，則AB={x2?????{x,y,z}?xi?yj?zk。其中i、j、k為三個坐標軸

????x1，y2?y1，z2?z1?}。

ax?ay?az222（3）向量a的長度叫向量的模，記為|a|：設a=?a?時，這個向量叫單位向量；與向量a???,a,a|a|=，則xyz?a=?|a|。當向量的模為

1?同方向的單位向量為a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角的余弦叫該向量的方向余弦。設?a=?ax,ay,az?，則

?a?cos???x??|a|?ay?? ?cos????|a|??a?cos???z??|a|??axax?ay?azaya2x222

2y?aaz?a2zax?ay?az222且cos2??cos2??cos2??1，即由非零向量a的三個方向余弦構成的向量?cos??,cos?,cos??是與a?同方向的單位向量。

3．向量的運算

設a=?a???b,a,a，xyz=?bx,by,bz?，則

（1）數乘運算：ka???ka??x,kay,kaz?；

?；（2）加減運算：a?b?ax?bx,ay?by,az?bz?1

??（3）數量積：a?b?????=|a||b|cos(a,b)=axbx?ayby?azbz。

??（4）向量積： a?b?i?jayby?kazbz=axbx

兩個非零向量a與b相互垂直?a?b=0；兩個非零向量a、b平行?a?b=0?分量成比例）。

?兩個向量a?????????axbx?ayby?azbz（即對應?與b???的夾角：cos(a,b)??a?b=??|a||b|=

a2xaxbx?ayby?azbz?a2y。

?2bz?a2z2bx?b2y4．平面方程

（1）平面的點法式方程

?設平面過點M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

?{A,B,C}是平面的法向量，則平面的點法式方程為

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0。

Ax?By?Cz?D?0。

?在平面的一般式方程中，以x、y、z的系數A、B、C為分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的?法向量n的三個分量就是三元一次方程中x、y、z的系數。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，則平面過原點；

②缺少一個變量，則平面平行于所缺變量代表的坐標軸，如平面2x?3z?5?0平行于y軸； ③僅有一個變量，則平面垂直于這個變量代表的坐標軸，如平面3z?5?0垂直于z軸。5．直線的方程

?（1）直線的點向式方程：已知直線L過點M0(x0,y0,z0)，且方向向量為s={m,n,p}，則直線方程為：

x?x0m?y?y0n?z?z0p

（2）直線的一般式方程 ??A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C2z?D2?0。

?i?jB1B2?kC1C2直線的一般式方程與直線的點向式方程可以互化，其中 s??A1A2。

6．常用二次曲面的方程及其圖形： 球面(x?橢球面 xax0)222?(y?y0)222?(z?z0)2?R2

?yb??x22zc?22?1 y22橢圓拋物面 zab(當a?b時為旋轉拋物面)2

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橢圓錐面 z2?xa22?yb22（當a?b時為圓錐面）

母線平行于坐標軸的柱面方程：方程中僅含二個變量的方程為母線平行于所缺變量代表的坐標軸的柱面方程。如f(x,z)?0為母線平行于y軸的柱面方程。

以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程：某坐標面上的曲線繞其中一個坐標軸旋轉時，所得旋轉面的方程是：將曲線方程中與旋轉軸相同的變量不變，而將另一變量變為其余兩個變量平方和的正負平方根。如：yoz面上的曲線f(y,z)?0繞z軸旋轉的曲面方程為

f(?x2?y,z)?02。

7．空間曲線在坐標面上的投影曲線 空間曲線??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0在xoy面上的投影曲線方程。將空間曲線??G(x,y)?0?z?0?F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0一般方程中的變量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)?0，則 ??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0

為空間曲線? 在xoy面上的投影曲線方程。在其它坐標面上的投影曲線方程可類似求得。

第九章 多元函數微分法及其應用

一、基本概念 1．多元函數

（1）知道多元函數的定義

n元函數：y?f(x1,x2,?,xn)

（2）會求二元函數的定義域

1°：分母不為0； 2°：真數大于0；

3°：開偶次方數不小于0；

4°：z?arcsinu或arccosu中|u|≤1（3）會對二元函數作幾何解釋 2．二重極限

limf(x,y)?Ax?x0y?y0這里動點(x,y)是沿任意路線趨于定點(x0,y0)的．，（1）理解二重極限的定義

（2）一元函數中極限的運算法則對二重極限也適用，會求二重極限；（3）會證二元函數的極限不存在（主要用沿不同路徑得不同結果的方法）． 3．多元函數的連續性

（1）理解定義：limf(P)?f(P0)．

P?P0（2）知道一切多元初等函數在其定義域內連續的結論；

（3）知道多元函數在閉區域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏導數與全微分 1．偏導數

（1）理解偏導數的定義（二元函數）

?z?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?z?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

（2）知道偏導數的幾何意義以及偏導數存在與連續的關系．（3）求偏導數法則、公式同一元函數． 2．高階偏導數

（1）理解高階偏導數的定義．（2）注意記號與求導順序問題．

（3）二元函數有二階連續偏導數時，求導次序無關：3．全微分

（1）知道全微分的定義

若?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示成A??x?B??y?o(?)，則z?f(x,y)在點(x0,y0)處可微；稱A??x?B??y為此函數在點(x0,y0)處的全微分，記為dz?A??x?B??y．

?z?x?y2??z?y?x2．

（2）知道二元函數全微分存在的充分必要條件：

函數可微，偏導數必存在；（A??z?x，B??z?y；dz??z?xdx??z?ydy）

偏導數存在，不一定可微（?z?dz是否為o(?)）． 偏導數連續，全微分必存在．

三、多元復合函數與隱函數求導法則 1．多元復合函數的求導法則（1）?z?x??z?u??u?x??z??v?v?x

?z?y??z?u??u?y??z?v?y??v

（2）對于函數只有一個中間變量的二元函數或多個中間變量的一元函數（全導數）的求導法要熟練掌握．（3）快班學生要掌握多元復合函數（主要是兩個中間變量的二元函數）的二階偏導數的求法． 2．隱函數的求導公式（1）一個方程的情形

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若F(x,y)?0確定了y?y(x)，則

dydx??FxFy；

若F(x,y,z)?0確定了z?z(x,y)，則（2）方程組的情形

?z?x??FxFz，?z?y??FyFz．

?F?Fy?x?F(x,y,z)?0?y?y(x)若?能確定?，則由 ??G(x,y,z)?0?z?z(x)?Gx?Gy???dydxdydx?Fz??Gz?dzdxdzdx?0?0

可解出dydx與dzdx；

若??F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0確定了u?u(x,y)，v?v(x,y)，象上邊一樣，可以求出

?u?x，?v?x及

?u?y，?v?y．

四、多元函數微分法的應用

1．幾何應用

（1）空間曲線的切線與法平面方程

1°：曲線?：x??(t)，y??(t)，z??(t)，t?t0時，?上相應點(x0,y0,z0)處： 切線方程：x?x0?y?y0?z?z0??(t0)??(t0)??(t0)

法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 2°：曲線?：??y??(x)?z??(x)，則點(x0,y0,z0)處

z?z0切線方程：x?x01?y?y0??(x0)???(x0)

法平面方程：(x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 3°：曲線?：??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0，則點P(x0,y0,z0)處

y?y0z?z0FxGxFyGyP切線方程為 x?x0FyGyFzGzP?FzGzFxGxP?

法平面方程：FyGyFzGzP?(x?x0)?FzGzFxGxP?(y?y0)?FxGxFyGyP?(z?z0)?0

（2）空間曲面的切平面與法線方程

1°：曲面?：F(x,y,z)?0，點(x0,y0,z0)處

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)?(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)?(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)?(z?z0)?0 法線方程：x?x0Fx?y?y0Fy?z?z0Fz

2°：曲面?：z?f(x,y)，在點(x0,y0,z0)處

切平面方程：z?z0?fx(x0,y0)?(x?x0)?fy(x0,y0)?(y?y0)法線方程：2．極值應用

??z?0???x（1）求一個多元函數的極值（如z?f(x,y)）：先用必要條件?，求出全部駐點，再用充分條件求

?z?0????yx?x0fx?y?y0fy?z?z0?1

出駐點處的zxx，zyy與zxyAC?BAC?B2

；?0，A?0時有極大值，A?0時有極小值； ?0時無極值． 2（2）求最值

1°：純數學式子時，區域內駐點處的函數值與區域邊界上的最值比較； 2°：有實際意義的最值問題．（3）條件極值

求一個多元函數在一個或m個條件下的極值時，用拉格朗日乘數法．

如：u?f(x,y,z)在條件?1(x,y,z)?0與?2(x,y,z)?0下的極值時，取

F(x,y,z;?1,?2)?f(x,y,z)??1?1(x,y,z)??2?2(x,y,z)

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?Fx?F?y?解方程組?Fz???1???2?0?0?0，求出x，y，z ?0?0則(x,y,z)就是可能的極值點；再依具體問題就可判定(x,y,z)為極大（或極小）值點．

第十章

重積分一、二重積分

n1． 定義：??f(x,y)d??limD??0?f(?i,?i)???i

(n??)i?12． 幾何意義：當f(x,y)≥0時，??f(x,y)d?表示以曲面z?f(x,y)為頂，以D為底的曲頂柱體體積．

D物理意義：以f(x,y)為密度的平面薄片D的質量． 3． 性質

1°：??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD2°：??[f(x,y)?g(x,y)]d??D??Df(x,y)d????Dg(x,y)d?

3°：若D?D1?D2，則??f(x,y)d??D??D1f(x,y)d????D2f(x,y)d?

4°：f(x,y)?1時，??f(x,y)d???D

D5°：若在D上?(x,y)≥?(x,y)，則

???(x,y)d?D≥???(x,y)d??D??Df(x,y)d?≥

??Df(x,y)d?

6°：若f(x,y)在閉區域D上連續，且m≤f(x,y)≤M，則

m??D≤??f(x,y)d?≤M??DD

7°：（中值定理）若f(x,y)在閉區域D上連續，則必有點(?,?)?D，使

??Df(x,y)d??f(?,?)??D

4． 二重積分的計算法（1）在直角坐標系中

1°：若積分區域D為X?型區域

a?x?b? D：??(x)?y??(x)2?1yy??2(x)y??1(x)OaXbx則化為先y后x的二次積分：

?型區域??Df(x,y)dxdy??badx???2(x)1(x)f(x,y)dyy

?c?y?ddx??1(y)x??2(y)2°：若積分區域D為Y?型區域D：?則化為先x后y的二次積分：

??1(y)?x??2(y)

cxY?型區域??Df(x,y)dxdy??dcdy???2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在極坐標系中

f(x,y)?f(rcos?,rsin?),d??rdrd?

??????1°：極點在D外：D：?

??1(?)?r??2(?)?O?極點在D外r則有??f(x,y)d??D???d????2(?)1(?)f(rcos?,rsin?)?rdr

???????2°：極點在D的邊界上：D：?

?0?r??(?)?O極點在D的邊界上r則有??f(x,y)d??D???d???(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

3°：極點在D內：D：??0???2??0?r??(?)d?

Or則有??f(x,y)d??D?2?0??(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

極點在D內在計算二重積分時要注意：

1°：選系：是直角坐標系還是極坐標系；若積分區域是圓域、環域或它們的一部分；被積式含有x?y或兩個積分變量之比yx22、xy時，一般可選擇極坐標系．

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2°：選序：當選用直角坐標系時，要考慮積分次序，選錯次序會出現復雜或根本積不出的情況（二次積分換次序）． 3°：積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合，如：D關于x軸（或y軸）對稱時，應配合被積函數對于y（或x）的奇偶性．

?a?x?b4°：若f(x,y)?f1(x)?f2(y)，積分區域D:?,則二重積分可化為兩個定積分的乘積．

c?y?d?二、三重積分

n1． 定義：???f(x,y,z)dv?lim???0?f(?i,?i,?i)??vi

(n??)i?12． 物理意義：以f(x,y,z)為密度的空間體?的質量． 3． 性質（與二重積分類同）．

4． 三重積分的計算法（1）在直角坐標系中 1°：若?為：??(x,y)?Dxyzz?z2(x,y)?z1(x,y)?z?z2(x,y)，此處Dxy為?在xOy面

z?z1(x,y)Oz?z1(x,y)與z?z2(x,y)分別為?的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，則

????f(x,y,z)dxdydz???Dxy?z2(x,y)f(x,y,z)dz???z1(x,y)?dxdy

??x?C1?z0?C22°：若?為：?此處Dz0為用平面z?z0截?時(x,y,z0)?Dz0?，z所得的截面面積，則???f(x,y,z)dxdydz?C2??C2C1Dz0dz??Dz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐標系下

???????若?為：??1(?)?r??2(?)，則

?z(r,?)?z?z(r,?)2?1xC1Oy????f(x,y,z)dxdydz???d?????2(?)1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz

（3）在球面坐標系中

?1????2???1????2若?為：?，則

??(?,?)?z??(?,?)2?1????f(x,y,z)dxdydz????21d????21d????2(?,?)1(?,?)f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?sin?d?2

注：1°：柱面坐標、球面坐標對普通班不要求；

2°：三重積分的計算也有選系、選序的問題；

3°：積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合；

?a?x?b?4°：若?是長方體：?c?y?d，而f(x,y,z)?f1(x)?f2(y)?f3(z)，則三重積分化為三個定積分?e?z?f?的乘積．

三、重積分的應用 1． 幾何應用（1）求面積：?D???d?D

（2）求體積：??f(x,y)d?，???dv

D?（3）求曲面面積：若?：z?f(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則?的面積為：??z???z???1??????dxdy

??x???y?22A???Dxy2． 物理應用（1）求質量：m????(x,y)d?D；m??????(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x?1m??Dx?(x,y)d?；y???Dy?(x,y)d?

在均勻情況下，重心公式可變形為：x?同理，可得到空間體?的重心坐標．

（3）求轉動慣量：

Jx?1???Dxd?；y?1D???Dyd?

D??Dy?(x,y)d?；J2y???Dx?(x,y)d?；Jo?Jx?Jy

2同理可有空間體對坐標面、坐標軸的轉動慣量．

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第十一章

曲線積分與曲面積分

一、曲線積分 1．定義：

n（1）第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：?f(x,y)ds?limLn??0?i?1f(?i,?i)??si

（?f(x,y,z)ds?limL??0?i?1f(?i,?i,?i)??si）

物理意義：曲線的質量．

（2）第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy?lim??0??P(?i?1ni,?i)??xi?Q(?i,?i)??yi?

?P(x,y,z)dxL?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?i?1n

i,?i,?i)??xi?Q(?i,?i,?i)??yi?R(?i,?i,?i)??zi?物理意義：變力沿曲線所作的功． 2．性質：（1）?L??L1??L2（L?L1?L2）

f(x,y)ds（2）第一類：?f(x,y)ds?L??L?第二類：?L????L

?（3）兩類曲線積分的聯系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds

其中cos?，cos?是曲線上點(x,y)處切線的方向余弦．（?Pdx?Qdy?Rdz?L?(Pcos?L?Qcos??Rcos?)ds）

3．計算法（化線積分為定積分）

?x??(t)L：?，?≤t≤?，則?f(x,y)ds?y??(t)?L???22f??(t),?(t)???(t)???(t)dt

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy????P??(t),?(t)???(t)?Q??(t),?(t)???(t)?dt?x?x?

注意：L為y?f(x)時，取L為?

?y?f(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其應用（1）格林公式：?Pdx?Qdy?L??D??Q?P????y??x???dxdy ?注意：1°：P，Q在D上具有一階連續偏導數；

2°：L是單連域D的正向邊界曲線；

3°：若D為多連域，先引輔助線，后再用格林公式．

（2）平面上曲線積分與路徑無關的條件

設P，Q在單連域G內有一階連續偏導數，A，B為G內任意兩點，則以下四個命題等價： 1°：?PdxLAB?Qdy與路徑L無關；

2°：對于G內任意閉曲線C有?Pdx?Qdy?0；

C3°：在G內，Pdx?Qdy為某函數u(x,y)的全微分；

?Q?x?P?y4°：?在G內處處成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)??P(x,y)dx(x0,y0)?Q(x,y)dy）

二、曲面積分 1．定義：

（1）第一類曲面積分（對面積的曲面積分）

n???f(x,y,z)dS?lim??0?i?1f(?i,?i,?i)??Si

物理意義：曲面?的質量。f(x,y,z)?1時，??dS?S?

?（2）第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）

?????v?dS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?lim??0??P(?i?1ni,?i,?i)?(??i)yz?Q(?i,?i,?i)?(??i)xz?R(?i,?i,?i)?(??i)xy?

2．性質（1）???????1????2

（2）第一類：??fdS??????fdS

? 12

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第二類：?????????

?（3）兩類曲面積分的聯系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????Pcos???Qcos??Rcos??dS

其中：cos?，cos?，cos?是曲面?上點(x,y,z)處法線的方向余弦． 3．計算法（化曲面積分為二重積分）

第一類：若曲面?：z?z(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則

??z???z???f?x,y,z(x,y)??1??????dxdy等等．

??x???y?22???f(x,y,z)dS???Dxy第二類：???前、后P(x,y,z)dydz????P?x(y,z),y,z?dydz

Dyz??Q(x,y,z)dzdx?右、左????Q?x,y(x,z),z?dzdx

Dxz???上、下R(x,y,z)dxdy????R?x,y,z(x,y)?dxdy

Dxy4．高斯公式及其應用

設空間區域?是由分片光滑的閉曲面?所圍成，函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在?上具有一階連續偏導數，則有

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???????P?Q?R?????y?z??x???dxdydz?

注：1°：?是?的邊界曲面的外側；

2°：非封閉曲面，必須添加輔助曲面，先封閉后再用公式． 5．通量與散度、環流量與旋度（普通班不要求）

通量：????????v?ndS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

散度：divv??P?x??Q?y??R?z

環流量：?Pdx?Qdy?Qdz???A?ds?

?旋度：rotA??i??xP?j??yQ?k??zR

第十二章

無窮級數

一、常數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un?u1?u2???un??的無窮和式，其中每一項都是常數．

n?1n（2）部分和：Sn??ui?1i

（3）常數項級數收斂（發散）?limSn存在（不存在）．

n??（4）和S?limSn（存在時）．

n??注：發散級數無和．

?（5）余項：當limSn?S時，稱級數rn?n???ui?1n?i為原級數第n項后的余項．

2． 基本性質

????（1）?kun與?un斂散性相同，且若?un?S，則?kun?kS；

n?1n?1n?1n?1（2）若?un?S，?vn??，則??un?vn??s??

推論1：若?un收斂，?vn發散，則??un?vn?必發散； 推論2：若?un與?vn都發散，則??un?vn?不一定發散．

（3）在級數前面去掉或添加、或改變有限項后所得級數與原級數的斂散性相同（收斂級數的和改變）．（4）收斂級數加括號（按規則）所得級數仍收斂于原來的和；（收斂級數去括號不一定收斂）

?（5）若級數?un收斂，則必有limun?0．

n?1n???（若limun?0，則?un必發散）

n??n?13． 幾個重要的常數項級數

?（1）等比級數?aqn?1n?1?a???1?q?發散?|q|?1|q|?1；

?（2）調和級數?n?11n發散；

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?（3）p?級數?n?11n?p（p?0），p?1時收斂，0?p≤1時發散）；

（4）倒階乘級數?n?11n!收斂．

4． 常數項級數的審斂法

（1）正項級數的審斂法

??設?un與?vn均為正項級數

n?2n?1?1°：?un收斂?n?1?Sn?有界；

2°：比較法

??若?un收斂（發散），且un≥vn，（un≤vn），則?vn收斂（發散）．

n?1n?1推論1：若limn??unvn???l，0?l???，則?vn與?un具有相同的斂散性．

n?1n?1?推論2：若limn?un?l，則?un發散；

n??n?1?若limn?un?l（p?1），則?un收斂．

n??n?1p3°：比值法

????1時????，則有???1時????1時????un?1?n收斂若limn??un?1un?un?1?n發散

?un?1n待定4°：根值法

????1時????，則當???1時????1時????un?1?n收斂若limn??nun?un?1?n發散

?un?1n待定（2）交錯級數的審斂法

?萊布尼茲定理：若交錯級數?(?1)n?1n?1un（un?0）滿足：

1°：un≥un?1 2°：limun?0

n???則?(?1)n?1n?1un收斂，且其和S≤u1，|rn|≤un?1．

（3）任意項級數的審斂法

?1°：若limun?0，則?un發散；

n??n?1??2°：若?|un|收斂，則?un絕對收斂；

n?1n?1???3°：若?|un|發散，?un收斂，則?un條件收斂．

n?1n?1n?

1二、函數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)??；

n?1（2）收斂點、發散點、收斂域、發散域；

n（3）部分和：Sn(x)??ui?1i(x)；

?（4）和函數：在收斂域上S(x)?limSn(x)?n???un?1n(x)．

2． 冪級數

?n（1）定義：?an?x?x0?，當x0?0時有：?anx；

n?0n?0n?（2）性質

?n?n1°：若?anx在x0處收斂，則當|x|?|x0|時，?anx絕對收斂（發散）；

n?0n?0?n?n 若?anx在x0處發散，則當|x|?|x0|時，?anx發散．

n?0n?0 16

高等數學下冊總復習資料

?2°：冪級數?an?x?x0?的收斂域，除端點外是關于x0對稱的區間(x0?R,x0?R)，兩端點是n?0n否屬于收斂域要分別檢驗．

?3°：在?anx的收斂區間??R,R?內，此級數的和函數S(x)連續． nn?0（3）收斂區間的求法

1°：不缺項時，先求??liman?1ann??，得收斂半徑R?1?；

再驗證兩端點，則收斂域＝(x0?R,x0?R)∪收斂的端點． 2°：缺項時，先求limun?1(x)un(x)??(x)，解不等式?(x)?1得x的所屬區間x1?x?x2，再驗證n??端點x1，x2，則收斂域＝(x1,x2)∪收斂的端點．

3． 冪級數的運算

（1）冪級數在它們收斂區間的公共部分可以進行加、減、乘、除運算．（2）冪級數在其收斂區間內可以進行逐項微分與逐項積分運算，即

??an?0nxn?S(x)，|x|?R，則有：

????n??anx???n?0???an?0?nxn?????nan?0nxn?1?S?(x)，|x|?R；

?x0??n???anx?dx??n?0????n?0x0?anxdx?n?n?0ann?1xn?1??x0S(x)dx，|x|?R

4． 函數展開為冪級數

（1）充要條件：若函數f(x)在點x0的某鄰域內具有任意階導數，則

?f(x)??n?0f(n)(x0)n!(x?x0)n?limRn(x)?0．

n???（2）唯一性：若f(x)在某區間內能展開成冪級數f(x)??an?0n(x?x0)，則其系數

nan?1n!f(n)(x0)，（n?0,1,2,?）．

（3）展開法：

1°：直接法（見教材P279）

2°：間接法

利用幾個函數的展開式展開

?ex??n?0xnn!?，(??,??)

sinx??(?1)n?0?nx2n?1?(2n?1)!x2n或?(?1)n?1n?1x2n?1(2n?1)!，(??,??)

cosx??(?1)n?0?n(2n)!，(??,??)

11?x??n?0xn，(?1,1)

?ln?1?x???(?1)n?0?nxn?1(n?1)，(?1,1]

?1?x?m?1??n?1m(m?1)(m?2)?(m?n?1)n!xn，(?1,1)

5． 傅立葉級數

（此內容只適用于快班）（1）定義：如果三角級數出，即

an?1a02????an?1ncosnx?bnsinnx?中的系數an，bn是由尤拉——傅立葉公式給?1?????f(x)cosnxdx，n?0,1,2,?；

bn?????f(x)sinnxdx，n?1,2,?

則稱這樣的三角級數為f(x)的傅立葉級數．

（2）收斂定理

設f(x)是周期為2?的周期函數，如果它在一個周期內滿足：連續或只有有限個第一類間斷點；單調或只有有限個極值點，則f(x)的傅立葉級數

a02????an?1ncosnx?bnsinnx?收斂于f(x)???f(x?0)?f(x?0)?2?x為連續點x為間斷點．

（3）函數f(x)展開為傅立葉級數的方法：

高等數學下冊總復習資料

1°：求f(x)的傅立葉系數；

2°：將1°中的系數代入三角級數式； 3°：寫出上式成立的區間．

（4）正弦級數與余弦級數

?稱?bnsinnx（an?0）為正弦級數；稱n?1a02???an?1ncosnx（bn?0）為余弦級數．

若在???,??上，f(x)為奇函數，則有an?0，其正弦級數為?bnsinnx，n?1?bn?2???0f(x)sinnxdx，（n?1,2,?）；

若在???,??上，f(x)為偶函數，則有bn?0，其余弦級數為

a02???an?1ncosnx，an?2???0f(x)cosnxdx，（n?0,1,2,?）；

若f(x)是定義在?0,??上的函數，要求其正弦（余弦）級數，可先對f(x)進行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)???f(x)x??0,????f(?x)x????,0?x?[0,?]x?[??,0)

?f(x)F(x)?偶延拓：??f(?x)

對于周期為2l的函數的展開情況與上邊類似（略）．

第二篇：高等數學復習

高等數學2考試知識點

總題型：填空（10空），選擇題（5個），計算題（A-9,B-8），證明題（2個）

第8章：填空選擇題型：向量的數量積和向量積的計算，運算性質，兩向量平行與垂直的充分必要條件即向量積為零向量和數量積為零，兩向量數量積的模表示以這兩向量為鄰邊的平行四邊形的面積，點到平面的距離公式，旋轉曲面方程的特點即出現兩個變量的平方和且其對應系數相等，球面的一般方程；

計算題型：根據直線和平面的關系求平面方程或直線方程；

第9章：填空選擇題型：多元函數的定義域，簡單函數的二重極限計算，多元函數的極限、連續和偏導數的關系，多元函數取極值的必要條件；

計算題型：偏導數的計算，空間曲線的切線法平面，空間曲面的切平面法線，函數在已知點沿已知向量方向的方向導數，多元函數的極值和條件極值；

證明題型：證明與偏導數有關的等式；

第10章：填空選擇題型：重積分的性質，計算被積函數為常數且積分區域比較特殊的二重積分或三重積分，二次積分交換積分次序；

計算題型：二重積分計算，極坐標系下二重積分的計算，三重積分的計算（球面坐標結合高斯公式），曲頂柱體的體積；

第11章：填空選擇題型：第一第二類曲線曲面積分的性質，計算被積函數為常數且積分曲線或積分曲面比較特殊的第一類曲線積分或第一類曲面積分；

計算題型：曲線型構建的質量（已知線密度，且曲線為圓弧），對坐標的曲線積分使用格林公式，高斯公式（積分區域為球的三重積分），全微分求積（求原函數）

第11章：填空選擇題型：級數收斂的定義，收斂級數的性質，簡單級數的絕對收斂和條件收斂以及發散的判定，冪級數的收斂半徑和收斂域，冪級數的間接展開(利用指數函數和三角函數)，傅里葉級數的收斂定理，記住奇偶函數在對稱區間的傅里葉級數展開為正弦與余弦級數；

計算題型：正項級數的審斂法，一般的級數判定其絕對收斂還是條件收斂，冪級數求和函數，冪級數的展開（分式展開，主要利用1/(1-x)的展開式，要注意收斂的范圍）； 證明題型：利用296頁的Weierstrass判別法證明函數項級數是一致收斂的；

第三篇：高等數學復習教程

高等數學復習》教程

第一講函數、連續與極限

一、理論要求 1.函數概念與性質 2.極限

3.連續

二、題型與解法 A.極限的求法

函數的基本性質（單調、有界、奇偶、周期）幾類常見函數（復合、分段、反、隱、初等函數）極限存在性與左右極限之間的關系 夾逼定理和單調有界定理

會用等價無窮小和羅必達法則求極限

函數連續（左、右連續）與間斷

理解并會應用閉區間上連續函數的性質（最值、有界、介值）

（1）用定義求

（2）代入法（對連續函數，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個重要極限法

（5）用夾逼定理和單調有界定理求（6）等價無窮小量替換法（7）洛必達法則與Taylor級數法

（8）其他（微積分性質，數列與級數的性質）1.（等價小量與洛必達）2.已知 解：

（洛必達）3.（重要極限）4.已知a、b為正常數，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設連續，求

（洛必達與微積分性質）7.已知在x=0連續，求a 解：令

（連續性的概念）

三、補充習題（作業）1.（洛必達）

2.（洛必達或Taylor）3.（洛必達與微積分性質）

第二講導數、微分及其應用

一、理論要求 1.導數與微分

2.微分中值定理 3.應用

二、題型與解法 A.導數微分的計算

B.曲線切法線問題 C.導數應用問題

D.冪級數展開問題 導數與微分的概念、幾何意義、物理意義

會求導（基本公式、四則、復合、高階、隱、反、參數方程求導）會求平面曲線的切線與法線方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 會用定理證明相關問題

會用導數求單調性與極最值、凹凸性、漸進線問題，能畫簡圖 會計算曲率（半徑）

基本公式、四則、復合、高階、隱函數、參數方程求導 1.決定，求 2.決定，求

解：兩邊微分得x=0時，將x=0代入等式得y=1 3.決定，則

4.求對數螺線處切線的直角坐標方程。

解：

5.f(x)為周期為5的連續函數，它在x=1可導，在x=0的某鄰域內滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x->0的極限有：f(1)=0

6.已知，求點的性質。解：令，故為極小值點。

7.，求單調區間與極值、凹凸區間與拐點、漸進線。解：定義域

8.求函數的單調性與極值、漸進線。解：，9.或： 10.求 解： =

E.不等式的證明 11.設，證：1）令

2）令

F.中值定理問題 12.設函數具有三階連續導數，且，求證：在（-1，1）上存在一點 證： 其中

將x=1，x=-1代入有 兩式相減： 13.，求證：

證： 令 令

（關鍵：構造函數）

三、補充習題（作業）1.2.曲線 3.4.證明x>0時

證：令

第三講不定積分與定積分

一、理論要求 1.不定積分 2.定積分 掌握不定積分的概念、性質（線性、與微分的關系）會求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）理解定積分的概念與性質

理解變上限定積分是其上限的函數及其導數求法 會求定積分、廣義積分

會用定積分求幾何問題（長、面、體）

會用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數平均值

二、題型與解法 A.積分計算 1.2.3.設，求 解： 4.B.積分性質 5.連續，,且，求并討論在的連續性。解：

6.C.積分的應用 7.設在[0，1]連續，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時S繞x軸旋轉體積最小。解：

8.曲線，過原點作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉的表面積。

解：切線繞x軸旋轉的表面積為

曲線繞x軸旋轉的表面積為

總表面積為

三、補充習題（作業）1.2.3.第四講向量代數、多元函數微分與空間解析幾何

一、理論要求 1.向量代數 理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個向量平行、垂直的條件 向量計算的幾何意義與坐標表示

2.多元函數微分 理解二元函數的幾何意義、連續、極限概念，閉域性質 理解偏導數、全微分概念 能熟練求偏導數、全微分 熟練掌握復合函數與隱函數求導法 3.多元微分應用 4.空間解析幾何 理解多元函數極值的求法，會用Lagrange乘數法求極值 掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法 會求平面、直線方程與點線距離、點面距離

二、題型與解法

A.求偏導、全微分 1.有二階連續偏導，滿足，求

解： 2.3.，求

B.空間幾何問題 4.求上任意點的切平面與三個坐標軸的截距之和。解：

5.曲面在點處的法線方程。

C.極值問題

三、補充習題（作業）1.2.3.6.設是由確定的函數，求的極值點與極值。

第五講多元函數的積分

一、理論要求 1.重積分 2.曲線積分 熟悉二、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）

會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉動慣量）理解兩類曲線積分的概念、性質、關系，掌握兩類曲線積分的計算方法

熟悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關的條件

3.曲面積分 理解兩類曲面積分的概念（質量、通量）、關系 熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分

二、題型與解法 A.重積分計算 1.為平面曲線繞z軸旋轉一周與z=8的圍域。解：

2.為與圍域。（3.，求

(49/20)

B.曲線、曲面積分 4.解：令

5.,。

解：取包含(0,0)的正向，6.對空間x>0內任意光滑有向閉曲面S，且在x>0有連續一階導數，,求。解：

第六講常微分方程

一、理論要求 1.一階方程 2.高階方程 3.二階線性常系數 熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法 會求(齊次)(非齊次)(非齊次)

二、題型與解法 A.微分方程求解 1.求通解。（2.利用代換化簡并求通解。（）

3.設是上凸連續曲線，處曲率為，且過處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：

三、補充習題（作業）

1.已知函數在任意點處的增量。（）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講無窮級數

一、理論要求 1.收斂性判別 級數斂散性質與必要條件

常數項級數、幾何級數、p級數斂散條件 正項級數的比較、比值、根式判別法 交錯級數判別法 2.冪級數 冪級數收斂半徑、收斂區間與收斂域的求法

冪級數在收斂區間的基本性質（和函數連續、逐項微積分）Taylor與Maclaulin展開

3.Fourier級數 了解Fourier級數概念與Dirichlet收斂定理 會求的Fourier級數與正余弦級數

第八講線性代數

一、理論要求 1.行列式 2.矩陣 會用按行（列）展開計算行列式

幾種矩陣（單位、數量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨）矩陣加減、數乘、乘法、轉置，方陣的冪、方陣乘積的行列式 矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆 矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價

用初等變換求矩陣的秩與逆

理解并會計算矩陣的特征值與特征向量

理解相似矩陣的概念、性質及矩陣對角化的沖要條件 掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法 掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質

3.向量 理解n維向量、向量的線性組合與線性表示

掌握線性相關、線性無關的判別

理解并向量組的極大線性無關組和向量組的秩 了解基變換與坐標變換公式、過渡矩陣、施密特方法 了解規范正交基、正交矩陣的概念與性質

4.線性方程組 理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件 理解齊次、非齊次線性方程組的基礎解系及通解

掌握用初等行變換求解線性方程組的方法

5.二次型 二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換 二次型的標準形、規范形及慣性定理

掌握用正交變換、配方法化二次型為標準形的方法

了解二次型的對應矩陣的正定性及其判別法

第九講概率統計初步

一、理論要求 1.隨機事件與概率 了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的關系與運算

會計算古典型概率與幾何型概率

掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式

2.隨機變量與分布 理解隨機變量與分布的概念 3.二維隨機變量

4.數字特征 5.大數定理 6.數理統計概念

7.參數估計

8.假設檢驗

第十講總結

1.極限求解

2.導數與微分

3.一元函數積分 理解分布函數、離散型隨機變量、連續型變量的概率密度

掌握0-

1、二項、超幾何、泊松、均勻、正態、指數分布，會求分布函數

理解二維離散、連續型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布 理解隨機變量的獨立性及不相關概念

掌握二維均勻分布、了解二維正態分布的概率密度 會求兩個隨機變量簡單函數的分布

理解期望、方差、標準差、矩、協方差、相關系數的概念

掌握常用分布函數的數字特征，會求隨機變量的數學期望

了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數定理 了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理

理解總體、簡單隨機樣本、統計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩 了解分布、t分布、F分布的概念和性質，了解分位數的概念 了解正態分布的常用抽樣分布

掌握矩估計與極大似然估計法

了解無偏性、有效性與一致性的概念，會驗證估計量的無偏性 會求單個正態總體的均值和方差的置信區間

掌握假設檢驗的基本步驟

了解單個及兩個正態總體的均值和方差的假設檢驗

變量替換（作對數替換），洛必達法則，其他（重要極限，微積分性質，級數，等價小量替換）1.(幾何級數)2.(對數替換)3.4.5.6.，求

復合函數、隱函數、參數方程求導 1.2.，求dy/dx 3.決定函數，求dy 4.已知，驗證 5.,求

1.求函數在區間上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函數微分 1.，求

2.由給出，求證：

3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求 6.證明滿足 7.求內的最值。

5.多元函數積分 1.求證： 2.3.4.改變積分次序 5.圍域。

6.常微分方程 1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。

《高等數學考研題型分析》

填空題：極限（指數變換，羅必達）、求導（隱函數，切法線）、不定積分、二重積分、變上限定積分

選擇題：等價小量概念，導數應用，函數性質，函數圖形，多元極限

計算題：中值定理或不等式，定積分幾何應用，偏導數及幾何應用，常微分方程及應用

第四篇：高等數學上冊復習

第一章復習提要 第一節 映射與函數

1、注意幾個特殊函數：符號函數，取整函數，狄利克雷函數；這些函數通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數的概念

3、了解常用函數的圖像和基本性質（特別是大家不太熟悉的反三角函數）第二節 數列的極限 會判斷數列的斂散性 第三節 函數的極限

1、函數極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會求函數的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數極限的局部有界性、局部保號性。第四節 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數極限的關系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數關系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會求函數的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關系：無窮大一定無界，反之不對。

5、極限為無窮大事實上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數增大的這種狀態 第五節 極限的運算法則

1、極限的四則運算法則：兩個函數的極限都存在時才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會求有理分式函數

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時:若分母q(x0)?0，則極限為函數值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時，用抓大頭法，分子、分母同時約去x的最高次冪。第六節 極限存在的準則，兩個重要極限（重要）

1、利用夾逼準則求極限： 例 p56也習題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個重要極限求其他的極限（p56習題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節 無窮小的比較（重要）

1、會比較兩個無窮之間的關系（高階、低階、同階，k 階還是等價窮小）若分子和分母同時為零，則為

x22、常見的等價無窮小：sinx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會利用等價無窮小計算極限（p60頁習題4）

第八節 函數的連續性與間斷點（重要）

1、函數在點x0連續 ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續lim?x?x02、會判斷間斷點及其類型。討論分段函數的連續性。

3、f(x)在點a連續?f(x)在點a連續；但反之不對。

第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性

初等函數在其定義域上都是連續的，因而求某點處極限時可以直接把點代入求值。

4.注意三個例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數的連續性求未知數的值（如p70頁 6）（重要）第十節 閉區間上連續函數的性質

最大值最小值定理、零點定理、介值定理的內容 會零點定理證明方程根的存在性。（重要）補充說明 請熟悉函數e當x?0?,x?0?,x??時的極限。第二章復習提要

1、導數的定義

（1）利用導數的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導數討論函數的可導性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點處的導數應該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導數求未知數的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設f(x)??為可導的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導數幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導?連續，反之不成立！

2、求導法則

（1）復合函數求導不要掉項；

（2）冪指函數u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉化成指數來求導

3、高階導數

（1）一般的函數求到2階即可；（2）幾個初等函數的n階導數：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導公式我們容易推出下列求導公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導數：

1?x2例

5、求y?的n階導數：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數的求導

例

6、求下列函數的二階導數：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數及參數方程求導（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出

dy。dx（2）會求二階導數

（3）對數求導法適用于冪指函數和連乘或連除的函數（4）注意參數方程二階導數的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關變化率問題：

根據題意給出變量x和y之間的關系；

?

兩邊對t（或者是其他變量）求導

?

dydx和之間的關系，已知其中一個求另外一個。dtdt5、函數的微分

（1）微分與可導的關系：可微?可導且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數或顯函數的微分： 顯函數的例子見課本的例題；下面給出隱函數的例子 例

7、設ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導數的應用復習提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應用： 證明等式，一般通過證明導數為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數用中值定理，有時還要結合單調性，見153也習題6）（重要）

利用輔助函數和中值定理證明等式（一個函數用拉格朗日，二個用柯西）例1 設函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f(1)?0，證明至少存在一點??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結合等價無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導數代入公式即可；

（2）常見函數ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數的單調性和凹凸性（1）會用列表法求函數的單調區間和凹凸區間（注意一般是閉區間），拐點。注意不要漏掉導數不存在的點也可能是單調區間的分點； 二階導數不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調性證明不等式（重要）（3）利用單調性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）

（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。3.6 函數圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復習提要

4.1 不定積分的概念和性質

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導數為sinx，則f(x)的一個原函數是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數為分式，分母次數比分子次數高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。

這個原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數和對數函數的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號。會做形如例7、8那樣具有典型特點的題目。

4.4 有理函數的積分（重要）

1、P(x)，先用多項式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對Q(x)分解因式，根據分解結果用待定系數法確定x?1x?1AB??：應設

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應設 ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應設(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數總是要比分母低一次。

3、三角函數可以通過如下換元法轉化為有理函數的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數就轉化成為有理函數

24.被積函數含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補充說明：這一章的內容需要大家在掌握一定規律的前提下多做練習，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質：利用定積分的性質判斷積分的取值范圍或比較兩個積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導數：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計算極限、判斷函數單調性等： 相應例題（p242,例7，8），相應習題（p243-244:習題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數F(x)為函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(或者帶絕對值的函數)的積分應為分段積分的和：典型題目p244，習題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設f(x)是周期為T的連續函數：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設F(x)是f(x)的原函數，引入記號

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數的反常積分（瑕積分）：設F(x)是f(x)的原函數，則 若b為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點）收斂必須F(c?),F(c?)同時存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。都是先求原函數然后代入兩個端點，只是對于非正常點（如?和瑕點）算的是函數的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會利用下面的兩個重要反常積分來討論一些函數的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時，注意[a,b]是否含有瑕點。否則會得到錯誤的結果：

adx。?1x第六章 定積分的應用

6.2 定積分在幾何學上的應用

1、平面圖形的面積（直角坐標系和極坐標下）（重要）

2、體積（特別是旋轉體的體積）（重要）

3、三個弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學上的應用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1

第五篇：高等數學復習提要

高等數學復習提綱

第一章 函數與極限 復習重點：

1、求極限

1）四則運算法則

注意：四則運算法則適用的函數個數是有限個；

四則運算法則的條件是充分條件

有理分式函數求極限公式：

?a0mm?1 xxxam?ba?a???amm?101m?1n?nnn a0x?a1x???am?1x?am?0xxxx?lim??0limnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??b?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）兩個重要極限

n?mm?nm?nlimsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）兩個準則

準則一： 若(1)yn?xn?zn?n?N則{xn}有極限,且limxn?an??(2)limyn?limzn?an??n??

準則二：單調有界數列必有極限

單調遞增有上界的數列其極限為最小的上界（上確界）

單調遞減有下界的數列其極限為最大的下界（下確界）4）無窮小量

a.無窮小量的定義，注意其是變量，談及無窮小量時一定要注明自變量的變化趨勢。唯一的例外是0永遠是無窮小量；

b.掌握何為高階無窮小，低階無窮小，同階無窮小，等價無窮小； c.利用無窮小量求極限

無窮小量與有界函數的乘積是無窮小量

等價無窮小量替代求極限

注意：下面給出關系式是在x?0時才成立

等價無窮小量替代求極限只在積、商時成立，加減時不行

1sinx~x 1?cosx~x2 x　arcsinx~x e?1~x

tanx~x ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x 1?x?1~ n2、連續性和間斷點 1）連續定義

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0要求會用定義討論分段函數分段點的連續性

2）間斷點

第Ⅰ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右極限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳躍間斷點 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)而f(x0)無定義??可去間斷點0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ類間斷點：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一個不?

間斷點的疑似點：使函數沒有意義的點和分段函數分段點

要求：判斷函數的間斷點，若是第一類的要寫出是跳躍還是可去，第二類只需寫出是第二類間斷點即可。

3、閉區間上連續函數的性質

1）最值定理：閉區間上連續函數的最大值和最小值一定取得到。注意：最值定理的條件是充分條件，不滿足結論不一定成立。

2）零點定理：f(x)在[a,b]上連續，f(a)f(b)<0，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f(x0)?0。要求：和羅爾中值定理結合在一起判斷根的唯一性。

第二章 一元函數微分學 復習重點：

1、導數的定義f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，會利用導數的定義判斷分段函數分段點處的可導性，以及利用導數定義求極限；

2、導數的幾何意義 表示曲線f(x)在x?x0處切線的斜率 要求會求切線方程法線方程；

3、微分的定義 dy?f?(x0)?x（一點可微）；dy?f?(x)dx（點點可微）

4、一元微分學中，可導、連續、可微三者之間的關系

可導必可微，可微必可導；可導一定連續，連續不一定可導

5、導數的計算 a.復合函數求導

b.高階導數

常見高階導數公式如下：

y?exy(n)?ex

y?xny(n)?n!,y(n?1)?0

n?y?sinxy(n)?sin(x?)2 n?y?cosxy(n)?cos(x?)2(?1)n?1(n?1)!(n)y?ln(1?x)y?(1?x)nc.隱函數求導

隱函數求導方法兩邊同時對x求導； 注意y是關于x的函數；

隱函數求導的結果還是隱函數；

隱函數高階求導時一階求導結果要注意回帶，以簡化運算。d.對數求導法

適用于冪指函數、無理分式函數 e.參數方程求導

注意二階導數

6、求微分

dy?f?(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和導數的應用

1、中值定理

1）羅爾定理 若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，f(a)=f(b)，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?0。

注意：a)羅爾定理的條件是充分的，不滿足條件結論不一定成立；

b)羅爾定理的結論可理解為若f(x)滿足羅爾定理三個條件，則導函數在開區間(a,b)至

少有一根；強調了導函數根的存在性，但沒指出到底有幾個根；

c)從羅爾定理可推出，若f(x)有n個根+連續+可導，則導函數至少有n-1個根；注意反之不成立；

d)若導函數沒有根，則f(x)至多一個根。2）拉格郎日定理

若f(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，則至少存在一點x0?(a,b)，使得f?(x0)?應用于不等式的證明和證明某個函數是一個常函數。3）柯西定理

若f(x)，F(x)滿足[a,b]連續，(a,b)可導，且x?(a,b),F?(x)?0則至少存在一點x0?(a,b)，使得

f(b)?f(a)。

b?af?(x0)f(b)?f(a)。?F?(x0)F(b)?F(a)應用于等式的證明。

2、洛必達法則

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0 f??x?f?x?f??x??3?lim?或???則lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x? ??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型極限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim極限不存在，此時洛必達法則不適用。

x??x??x1洛必達法則應用于解決,3、利用導數判斷函數的單調性，凹凸性，極值和拐點，會作圖 1）單調性的判定

設函數y?f（x）在?a,b?連續，在（a,b）可導，?x）a）如果在（a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）內f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、該條件為函數嚴格單調的充分條件 b、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內嚴格單增（減）的充要條件為：

對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)

在(a,b)內,任何使f?(x)?0的點必是孤立點 c、若函數f(x)在(a,b)內可導，則f在(a,b)內單增（減）的充要條件為： 對一切x?(a,b)，有f?(x)?0(f?(x)?0)d、單調區間的分界點為：一階導函數為0的點和一階不可導點 要求：會利用一階導函數判斷函數的單調區間；

會利用單調性證明不等式；

會利用嚴格單調性證明根的唯一性。2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上連續，(a,b)上二階可導，在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凹的；在(a,b)內若f??(x)?0，則f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐點：凹凸區間的分界點

拐點的疑似點：二階導函數為0的點和二階不可導點 判定定理1：若f(x)在x0處可導，在U(x0)內二階可導，則

當x?x0與x?x0時，f??(x)變號，(x0,f(x0)就是拐點；

當x?x0與x?x0時，f??(x)不變號，(x0,f(x0)就不是拐點；

判定定理2：若f(x)在x0處三階可導，且f??(x0)?0,f???(x0)?0,則(x0,f(x0)是拐點。注意，對于判定定理2，若f??(x0)?0,f???(x0)?0,結論是(x0,f(x0)可能是拐點也可能不 是拐點。4）極值

極大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極大值，x0為f(x)的一個極大值點。

極小值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個極小值，x0為f(x)的一個極小值點。

0最大值：設f(x)在(a,b)有定義，存在x0?(a,b)，對任意x?(a,b)，若f(x0)?f(x)，則稱f(x0)為f(x)的一個最大值，x0為f(x)的一個最大值點。

注意：極值反映的函數局部的性質，它只是和極值點附近點的函數值相互比較而言它是大的

還是小的，有可能出現極小值大于極大值的情況；而最值反映的是函數全局的性質，它是和整個區間上所有點的函數值相互比較。一個區間上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值點不唯一；而一個區間上極值是 不唯一的，可以有幾個極大值和極小值。

在區間內部，最大值一定是極大值，最小值一定是極小值。極值點的疑似點：

判定定理：駐點和一階不可導點

必要條件：可導的極值點一定是駐點。（使一階導函數為0的點稱之為駐點）第一充分條件：若f(x)在x0處連續，在U(x0)內可導，則

當x?x0與x?x0時，f?(x)變號，x0就是極值點；

當x?x0與x?x0時，f?(x)不變號，x0就不是極值點；

第二充分條件：若f(x)在x0處二階可導，且f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0就是極值點。

0f??(x0)?0,x0是極大值點；f??(x0)?0,x0是極小值點。

注意：在第二充分條件中，若f?(x0)?0,f??(x0)?0,則x0可能是極值點也可能不是。

第四章 不定積分（計算）

1、換元法（第一種，第二種（去根號））

2、分部積分法

3、倒代換

4、整個根式換元

5、有理函數積分

6、三角函數積分

nb第五章 定積分

f(x)dx?limf??i??xi.a??01、定積分的定義

i?1定積分的結果是常數，表示的是曲邊梯形面積的代數和，與積分區間和被積表達式有關，和積分變量無關。

2、可積的兩個充分條件和一個必要條件 f(x)在[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

f(x)在[a,b]有界且有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。f(x)在[a,b]可積，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定積分的幾何意義

4、定積分的重要性質

??（1）無論a,b,c三者位置關系如何，?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

accbbb（2）不等式性質： ?x?[a,b],f(x)?g(x),?f(x)dx??g(x)dx

aab（3）估值定理：?x?[a,b],m?f(x)?M,m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

ab（4）積分中值定理：f(x)在[a,b]上連續，則至少存在??[a,b],?f(x)dx?af(?)(b?a)

5、會用定積分的定義求極限

6、定積分的計算

（1）換元法

與不定積分相比要換積分上下限，最后不用回代（2）分部積分法

公式 ????nn22 ?In?sinxdxcosxdx????00 ?? 31??n?1n?3??????? ?nn?2422?? ?n?1?n?3???4?2?1 ?53?nn?2

（3）積分區間是對稱區間的要考慮被積函數的奇偶性和非奇非偶性 ??aa?a?f(x)dx??(f(x)?f(?x))dx

0a?TT（4）周期性

f(x)dx?f(x)dxa0

a?nTT

f(x)dx?nf(x)dxa0

??（5）常見公式

22??(1)fsinxdx?f?cosx?dx 00

???(2)xf?sinx?dx?f?sinx?dx002 ??(3)f(sinx)dx?22f(sinx)dx00

第六章 定積分的幾何應用 求面積（1）直角坐標系

（2）參數方程（3）極坐標系 ??????????