第一篇：高等數學期末總復習總結與計劃(僅供參考)

高等數學期末總復習總結與計劃 [圖片]

本章公式： 兩個重要極限：

常用的8個等價無窮小公式： 當x→0時，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.導數與微分

熟悉函數的可導性與連續(xù)性的關系 求高階導數會運用兩邊同取對數 隱函數的顯化 會求由參數方程確定的函數的導數

三.微分中值定理與導數的應用：

洛必達法則：

利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

① 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足或 型，否則濫用洛必達法則會出錯.當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應從另外途徑求極限.② 洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.③ 洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.曲線的凹凸性與拐點：

注意：首先看定義域然后判斷函數的單調區(qū)間

求極值和最值

利用公式判斷在指定區(qū)間內的凹凸性或者用函數的二階導數判斷（注意二階導數的符號）

四.不定積分：（要求：將例題重新做一遍）

對原函數的理解

原函數與不定積分 基本積分表基本積分表（共24個基本積分公式）

不定積分的性質 第一類換元法（湊微分法）第二類換元法（三角代換 無理代換 倒代換）3 分部積分法

f(x)中含有

可考慮用代換

第二篇：高等數學期末總復習總結與計劃

萬變不離其宗！短短一個月后，就要考試了，面對復習不能手足無措，要有目的地復習。主要以教材為主，看教材時，先把教材看完一節(jié)就做一節(jié)的練習，看完一章后，通過看小結對整一章的內容進行總復習。掌握重點的知識，對于沒有要求的部分可以少花時間或放棄，重點掌握要求的內容，大膽放棄老師不做要求的內容。復習自然離不開大量的練習，熟悉公式然后才能熟練任用。結合課后習題要清楚每一道題用了哪些公式。沒有用到公式的要死抓定義定理！

一.函數與極限二.導數與微分三.微分中值定理與導數的應用四.不定積分五.定積分六定積分的應用瀏覽目錄了解真正不熟悉的章節(jié)然后有針對的復習。一函數與極限

熟悉差集對偶律（最好掌握證明過程）鄰域（去心鄰域）函數有界性的表示方法數列極限與函數極限的區(qū)別收斂與函數存在極限等價無窮小與無窮大的轉換夾逼準則（重新推導證明過程）熟練運用兩個重要極限第二準則會運用等價無窮小快速化簡計算了解間斷點的分類零點定理

本章公式： 兩個重要極限：

常用的8個等價無窮小公式：當x→0時，sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.導數與微分

熟悉函數的可導性與連續(xù)性的關系求高階導數會運用兩邊同取對數隱函數的顯化會求由參數方程確定的函數的導數

三.微分中值定理與導數的應用：

洛必達法則： 利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意： ① 在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足或型，否則濫用洛必達法則會出錯.當不存在時（不包括∞情形），就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則失效，應從另外途徑求極限.② 洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.③ 洛必達法則是求未定式極限的有效工具，但是如果僅用洛必達法則，往往計算會十分繁瑣，因此一定要與其他方法相結合，比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等.曲線的凹凸性與拐點：

注意：首先看定義域然后判斷函數的單調區(qū)間 求極值和最值

利用公式判斷在指定區(qū)間內的凹凸性或者用函數的二階導數判斷（注意二階導數的符號）四.不定積分：（要求：將例題重新做一遍）對原函數的理解 原函數與不定積分 基本積分表基本積分表（共24個基本積分公式）不定積分的性質 第一類換元法（湊微分法）第二類換元法（三角代換無理代換倒代換）3 分部積分法

f(x)中含有

可考慮用代換

第三篇：高等數學下冊總復習

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高等數學下冊總復習

〈一〉內容提要

第八章 空間解析幾何與向量代數

1．直角坐標系

（1）坐標軸、坐標面上點的特征；

（2）關于坐標平面、坐標軸、坐標原點的對稱點；（3）空間兩點間的距離公式 2．向量的概念：

?（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，記為a或AB。

（2）向量的坐標表示：點P(x,y,z),則向量OP正向上的單位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，則AB={x2?????{x,y,z}?xi?yj?zk。其中i、j、k為三個坐標軸

????x1，y2?y1，z2?z1?}。

ax?ay?az222（3）向量a的長度叫向量的模，記為|a|：設a=?a?時，這個向量叫單位向量；與向量a???,a,a|a|=，則xyz?a=?|a|。當向量的模為

1?同方向的單位向量為a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角的余弦叫該向量的方向余弦。設?a=?ax,ay,az?，則

?a?cos???x??|a|?ay?? ?cos????|a|??a?cos???z??|a|??axax?ay?azaya2x222

2y?aaz?a2zax?ay?az222且cos2??cos2??cos2??1，即由非零向量a的三個方向余弦構成的向量?cos??,cos?,cos??是與a?同方向的單位向量。

3．向量的運算

設a=?a???b,a,a，xyz=?bx,by,bz?，則

（1）數乘運算：ka???ka??x,kay,kaz?；

?；（2）加減運算：a?b?ax?bx,ay?by,az?bz?1

??（3）數量積：a?b?????=|a||b|cos(a,b)=axbx?ayby?azbz。

??（4）向量積： a?b?i?jayby?kazbz=axbx

兩個非零向量a與b相互垂直?a?b=0；兩個非零向量a、b平行?a?b=0?分量成比例）。

?兩個向量a?????????axbx?ayby?azbz（即對應?與b???的夾角：cos(a,b)??a?b=??|a||b|=

a2xaxbx?ayby?azbz?a2y。

?2bz?a2z2bx?b2y4．平面方程

（1）平面的點法式方程

?設平面過點M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

?{A,B,C}是平面的法向量，則平面的點法式方程為

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0。

Ax?By?Cz?D?0。

?在平面的一般式方程中，以x、y、z的系數A、B、C為分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的?法向量n的三個分量就是三元一次方程中x、y、z的系數。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，則平面過原點；

②缺少一個變量，則平面平行于所缺變量代表的坐標軸，如平面2x?3z?5?0平行于y軸； ③僅有一個變量，則平面垂直于這個變量代表的坐標軸，如平面3z?5?0垂直于z軸。5．直線的方程

?（1）直線的點向式方程：已知直線L過點M0(x0,y0,z0)，且方向向量為s={m,n,p}，則直線方程為：

x?x0m?y?y0n?z?z0p

（2）直線的一般式方程 ??A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C2z?D2?0。

?i?jB1B2?kC1C2直線的一般式方程與直線的點向式方程可以互化，其中 s??A1A2。

6．常用二次曲面的方程及其圖形： 球面(x?橢球面 xax0)222?(y?y0)222?(z?z0)2?R2

?yb??x22zc?22?1 y22橢圓拋物面 zab(當a?b時為旋轉拋物面)2

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橢圓錐面 z2?xa22?yb22（當a?b時為圓錐面）

母線平行于坐標軸的柱面方程：方程中僅含二個變量的方程為母線平行于所缺變量代表的坐標軸的柱面方程。如f(x,z)?0為母線平行于y軸的柱面方程。

以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程：某坐標面上的曲線繞其中一個坐標軸旋轉時，所得旋轉面的方程是：將曲線方程中與旋轉軸相同的變量不變，而將另一變量變?yōu)槠溆鄡蓚€變量平方和的正負平方根。如：yoz面上的曲線f(y,z)?0繞z軸旋轉的曲面方程為

f(?x2?y,z)?02。

7．空間曲線在坐標面上的投影曲線 空間曲線??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0在xoy面上的投影曲線方程。將空間曲線??G(x,y)?0?z?0?F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0一般方程中的變量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)?0，則 ??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0

為空間曲線? 在xoy面上的投影曲線方程。在其它坐標面上的投影曲線方程可類似求得。

第九章 多元函數微分法及其應用

一、基本概念 1．多元函數

（1）知道多元函數的定義

n元函數：y?f(x1,x2,?,xn)

（2）會求二元函數的定義域

1°：分母不為0； 2°：真數大于0；

3°：開偶次方數不小于0；

4°：z?arcsinu或arccosu中|u|≤1（3）會對二元函數作幾何解釋 2．二重極限

limf(x,y)?Ax?x0y?y0這里動點(x,y)是沿任意路線趨于定點(x0,y0)的．，（1）理解二重極限的定義

（2）一元函數中極限的運算法則對二重極限也適用，會求二重極限；（3）會證二元函數的極限不存在（主要用沿不同路徑得不同結果的方法）． 3．多元函數的連續(xù)性

（1）理解定義：limf(P)?f(P0)．

P?P0（2）知道一切多元初等函數在其定義域內連續(xù)的結論；

（3）知道多元函數在閉區(qū)域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏導數與全微分 1．偏導數

（1）理解偏導數的定義（二元函數）

?z?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?z?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

（2）知道偏導數的幾何意義以及偏導數存在與連續(xù)的關系．（3）求偏導數法則、公式同一元函數． 2．高階偏導數

（1）理解高階偏導數的定義．（2）注意記號與求導順序問題．

（3）二元函數有二階連續(xù)偏導數時，求導次序無關：3．全微分

（1）知道全微分的定義

若?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示成A??x?B??y?o(?)，則z?f(x,y)在點(x0,y0)處可微；稱A??x?B??y為此函數在點(x0,y0)處的全微分，記為dz?A??x?B??y．

?z?x?y2??z?y?x2．

（2）知道二元函數全微分存在的充分必要條件：

函數可微，偏導數必存在；（A??z?x，B??z?y；dz??z?xdx??z?ydy）

偏導數存在，不一定可微（?z?dz是否為o(?)）． 偏導數連續(xù)，全微分必存在．

三、多元復合函數與隱函數求導法則 1．多元復合函數的求導法則（1）?z?x??z?u??u?x??z??v?v?x

?z?y??z?u??u?y??z?v?y??v

（2）對于函數只有一個中間變量的二元函數或多個中間變量的一元函數（全導數）的求導法要熟練掌握．（3）快班學生要掌握多元復合函數（主要是兩個中間變量的二元函數）的二階偏導數的求法． 2．隱函數的求導公式（1）一個方程的情形

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若F(x,y)?0確定了y?y(x)，則

dydx??FxFy；

若F(x,y,z)?0確定了z?z(x,y)，則（2）方程組的情形

?z?x??FxFz，?z?y??FyFz．

?F?Fy?x?F(x,y,z)?0?y?y(x)若?能確定?，則由 ??G(x,y,z)?0?z?z(x)?Gx?Gy???dydxdydx?Fz??Gz?dzdxdzdx?0?0

可解出dydx與dzdx；

若??F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0確定了u?u(x,y)，v?v(x,y)，象上邊一樣，可以求出

?u?x，?v?x及

?u?y，?v?y．

四、多元函數微分法的應用

1．幾何應用

（1）空間曲線的切線與法平面方程

1°：曲線?：x??(t)，y??(t)，z??(t)，t?t0時，?上相應點(x0,y0,z0)處： 切線方程：x?x0?y?y0?z?z0??(t0)??(t0)??(t0)

法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 2°：曲線?：??y??(x)?z??(x)，則點(x0,y0,z0)處

z?z0切線方程：x?x01?y?y0??(x0)???(x0)

法平面方程：(x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 3°：曲線?：??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0，則點P(x0,y0,z0)處

y?y0z?z0FxGxFyGyP切線方程為 x?x0FyGyFzGzP?FzGzFxGxP?

法平面方程：FyGyFzGzP?(x?x0)?FzGzFxGxP?(y?y0)?FxGxFyGyP?(z?z0)?0

（2）空間曲面的切平面與法線方程

1°：曲面?：F(x,y,z)?0，點(x0,y0,z0)處

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)?(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)?(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)?(z?z0)?0 法線方程：x?x0Fx?y?y0Fy?z?z0Fz

2°：曲面?：z?f(x,y)，在點(x0,y0,z0)處

切平面方程：z?z0?fx(x0,y0)?(x?x0)?fy(x0,y0)?(y?y0)法線方程：2．極值應用

??z?0???x（1）求一個多元函數的極值（如z?f(x,y)）：先用必要條件?，求出全部駐點，再用充分條件求

?z?0????yx?x0fx?y?y0fy?z?z0?1

出駐點處的zxx，zyy與zxyAC?BAC?B2

；?0，A?0時有極大值，A?0時有極小值； ?0時無極值． 2（2）求最值

1°：純數學式子時，區(qū)域內駐點處的函數值與區(qū)域邊界上的最值比較； 2°：有實際意義的最值問題．（3）條件極值

求一個多元函數在一個或m個條件下的極值時，用拉格朗日乘數法．

如：u?f(x,y,z)在條件?1(x,y,z)?0與?2(x,y,z)?0下的極值時，取

F(x,y,z;?1,?2)?f(x,y,z)??1?1(x,y,z)??2?2(x,y,z)

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?Fx?F?y?解方程組?Fz???1???2?0?0?0，求出x，y，z ?0?0則(x,y,z)就是可能的極值點；再依具體問題就可判定(x,y,z)為極大（或極小）值點．

第十章

重積分一、二重積分

n1． 定義：??f(x,y)d??limD??0?f(?i,?i)???i

(n??)i?12． 幾何意義：當f(x,y)≥0時，??f(x,y)d?表示以曲面z?f(x,y)為頂，以D為底的曲頂柱體體積．

D物理意義：以f(x,y)為密度的平面薄片D的質量． 3． 性質

1°：??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD2°：??[f(x,y)?g(x,y)]d??D??Df(x,y)d????Dg(x,y)d?

3°：若D?D1?D2，則??f(x,y)d??D??D1f(x,y)d????D2f(x,y)d?

4°：f(x,y)?1時，??f(x,y)d???D

D5°：若在D上?(x,y)≥?(x,y)，則

???(x,y)d?D≥???(x,y)d??D??Df(x,y)d?≥

??Df(x,y)d?

6°：若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，且m≤f(x,y)≤M，則

m??D≤??f(x,y)d?≤M??DD

7°：（中值定理）若f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則必有點(?,?)?D，使

??Df(x,y)d??f(?,?)??D

4． 二重積分的計算法（1）在直角坐標系中

1°：若積分區(qū)域D為X?型區(qū)域

a?x?b? D：??(x)?y??(x)2?1yy??2(x)y??1(x)OaXbx則化為先y后x的二次積分：

?型區(qū)域??Df(x,y)dxdy??badx???2(x)1(x)f(x,y)dyy

?c?y?ddx??1(y)x??2(y)2°：若積分區(qū)域D為Y?型區(qū)域D：?則化為先x后y的二次積分：

??1(y)?x??2(y)

cxY?型區(qū)域??Df(x,y)dxdy??dcdy???2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在極坐標系中

f(x,y)?f(rcos?,rsin?),d??rdrd?

??????1°：極點在D外：D：?

??1(?)?r??2(?)?O?極點在D外r則有??f(x,y)d??D???d????2(?)1(?)f(rcos?,rsin?)?rdr

???????2°：極點在D的邊界上：D：?

?0?r??(?)?O極點在D的邊界上r則有??f(x,y)d??D???d???(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

3°：極點在D內：D：??0???2??0?r??(?)d?

Or則有??f(x,y)d??D?2?0??(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

極點在D內在計算二重積分時要注意：

1°：選系：是直角坐標系還是極坐標系；若積分區(qū)域是圓域、環(huán)域或它們的一部分；被積式含有x?y或兩個積分變量之比yx22、xy時，一般可選擇極坐標系．

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2°：選序：當選用直角坐標系時，要考慮積分次序，選錯次序會出現復雜或根本積不出的情況（二次積分換次序）． 3°：積分區(qū)域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合，如：D關于x軸（或y軸）對稱時，應配合被積函數對于y（或x）的奇偶性．

?a?x?b4°：若f(x,y)?f1(x)?f2(y)，積分區(qū)域D:?,則二重積分可化為兩個定積分的乘積．

c?y?d?二、三重積分

n1． 定義：???f(x,y,z)dv?lim???0?f(?i,?i,?i)??vi

(n??)i?12． 物理意義：以f(x,y,z)為密度的空間體?的質量． 3． 性質（與二重積分類同）．

4． 三重積分的計算法（1）在直角坐標系中 1°：若?為：??(x,y)?Dxyzz?z2(x,y)?z1(x,y)?z?z2(x,y)，此處Dxy為?在xOy面

z?z1(x,y)Oz?z1(x,y)與z?z2(x,y)分別為?的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，則

????f(x,y,z)dxdydz???Dxy?z2(x,y)f(x,y,z)dz???z1(x,y)?dxdy

??x?C1?z0?C22°：若?為：?此處Dz0為用平面z?z0截?時(x,y,z0)?Dz0?，z所得的截面面積，則???f(x,y,z)dxdydz?C2??C2C1Dz0dz??Dz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐標系下

???????若?為：??1(?)?r??2(?)，則

?z(r,?)?z?z(r,?)2?1xC1Oy????f(x,y,z)dxdydz???d?????2(?)1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz

（3）在球面坐標系中

?1????2???1????2若?為：?，則

??(?,?)?z??(?,?)2?1????f(x,y,z)dxdydz????21d????21d????2(?,?)1(?,?)f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?sin?d?2

注：1°：柱面坐標、球面坐標對普通班不要求；

2°：三重積分的計算也有選系、選序的問題；

3°：積分區(qū)域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合；

?a?x?b?4°：若?是長方體：?c?y?d，而f(x,y,z)?f1(x)?f2(y)?f3(z)，則三重積分化為三個定積分?e?z?f?的乘積．

三、重積分的應用 1． 幾何應用（1）求面積：?D???d?D

（2）求體積：??f(x,y)d?，???dv

D?（3）求曲面面積：若?：z?f(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則?的面積為：??z???z???1??????dxdy

??x???y?22A???Dxy2． 物理應用（1）求質量：m????(x,y)d?D；m??????(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x?1m??Dx?(x,y)d?；y???Dy?(x,y)d?

在均勻情況下，重心公式可變形為：x?同理，可得到空間體?的重心坐標．

（3）求轉動慣量：

Jx?1???Dxd?；y?1D???Dyd?

D??Dy?(x,y)d?；J2y???Dx?(x,y)d?；Jo?Jx?Jy

2同理可有空間體對坐標面、坐標軸的轉動慣量．

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第十一章

曲線積分與曲面積分

一、曲線積分 1．定義：

n（1）第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：?f(x,y)ds?limLn??0?i?1f(?i,?i)??si

（?f(x,y,z)ds?limL??0?i?1f(?i,?i,?i)??si）

物理意義：曲線的質量．

（2）第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy?lim??0??P(?i?1ni,?i)??xi?Q(?i,?i)??yi?

?P(x,y,z)dxL?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?i?1n

i,?i,?i)??xi?Q(?i,?i,?i)??yi?R(?i,?i,?i)??zi?物理意義：變力沿曲線所作的功． 2．性質：（1）?L??L1??L2（L?L1?L2）

f(x,y)ds（2）第一類：?f(x,y)ds?L??L?第二類：?L????L

?（3）兩類曲線積分的聯系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds

其中cos?，cos?是曲線上點(x,y)處切線的方向余弦．（?Pdx?Qdy?Rdz?L?(Pcos?L?Qcos??Rcos?)ds）

3．計算法（化線積分為定積分）

?x??(t)L：?，?≤t≤?，則?f(x,y)ds?y??(t)?L???22f??(t),?(t)???(t)???(t)dt

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy????P??(t),?(t)???(t)?Q??(t),?(t)???(t)?dt?x?x?

注意：L為y?f(x)時，取L為?

?y?f(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其應用（1）格林公式：?Pdx?Qdy?L??D??Q?P????y??x???dxdy ?注意：1°：P，Q在D上具有一階連續(xù)偏導數；

2°：L是單連域D的正向邊界曲線；

3°：若D為多連域，先引輔助線，后再用格林公式．

（2）平面上曲線積分與路徑無關的條件

設P，Q在單連域G內有一階連續(xù)偏導數，A，B為G內任意兩點，則以下四個命題等價： 1°：?PdxLAB?Qdy與路徑L無關；

2°：對于G內任意閉曲線C有?Pdx?Qdy?0；

C3°：在G內，Pdx?Qdy為某函數u(x,y)的全微分；

?Q?x?P?y4°：?在G內處處成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)??P(x,y)dx(x0,y0)?Q(x,y)dy）

二、曲面積分 1．定義：

（1）第一類曲面積分（對面積的曲面積分）

n???f(x,y,z)dS?lim??0?i?1f(?i,?i,?i)??Si

物理意義：曲面?的質量。f(x,y,z)?1時，??dS?S?

?（2）第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）

?????v?dS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?lim??0??P(?i?1ni,?i,?i)?(??i)yz?Q(?i,?i,?i)?(??i)xz?R(?i,?i,?i)?(??i)xy?

2．性質（1）???????1????2

（2）第一類：??fdS??????fdS

? 12

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第二類：?????????

?（3）兩類曲面積分的聯系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????Pcos???Qcos??Rcos??dS

其中：cos?，cos?，cos?是曲面?上點(x,y,z)處法線的方向余弦． 3．計算法（化曲面積分為二重積分）

第一類：若曲面?：z?z(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則

??z???z???f?x,y,z(x,y)??1??????dxdy等等．

??x???y?22???f(x,y,z)dS???Dxy第二類：???前、后P(x,y,z)dydz????P?x(y,z),y,z?dydz

Dyz??Q(x,y,z)dzdx?右、左????Q?x,y(x,z),z?dzdx

Dxz???上、下R(x,y,z)dxdy????R?x,y,z(x,y)?dxdy

Dxy4．高斯公式及其應用

設空間區(qū)域?是由分片光滑的閉曲面?所圍成，函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在?上具有一階連續(xù)偏導數，則有

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???????P?Q?R?????y?z??x???dxdydz?

注：1°：?是?的邊界曲面的外側；

2°：非封閉曲面，必須添加輔助曲面，先封閉后再用公式． 5．通量與散度、環(huán)流量與旋度（普通班不要求）

通量：????????v?ndS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

散度：divv??P?x??Q?y??R?z

環(huán)流量：?Pdx?Qdy?Qdz???A?ds?

?旋度：rotA??i??xP?j??yQ?k??zR

第十二章

無窮級數

一、常數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un?u1?u2???un??的無窮和式，其中每一項都是常數．

n?1n（2）部分和：Sn??ui?1i

（3）常數項級數收斂（發(fā)散）?limSn存在（不存在）．

n??（4）和S?limSn（存在時）．

n??注：發(fā)散級數無和．

?（5）余項：當limSn?S時，稱級數rn?n???ui?1n?i為原級數第n項后的余項．

2． 基本性質

????（1）?kun與?un斂散性相同，且若?un?S，則?kun?kS；

n?1n?1n?1n?1（2）若?un?S，?vn??，則??un?vn??s??

推論1：若?un收斂，?vn發(fā)散，則??un?vn?必發(fā)散； 推論2：若?un與?vn都發(fā)散，則??un?vn?不一定發(fā)散．

（3）在級數前面去掉或添加、或改變有限項后所得級數與原級數的斂散性相同（收斂級數的和改變）．（4）收斂級數加括號（按規(guī)則）所得級數仍收斂于原來的和；（收斂級數去括號不一定收斂）

?（5）若級數?un收斂，則必有l(wèi)imun?0．

n?1n???（若limun?0，則?un必發(fā)散）

n??n?13． 幾個重要的常數項級數

?（1）等比級數?aqn?1n?1?a???1?q?發(fā)散?|q|?1|q|?1；

?（2）調和級數?n?11n發(fā)散；

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?（3）p?級數?n?11n?p（p?0），p?1時收斂，0?p≤1時發(fā)散）；

（4）倒階乘級數?n?11n!收斂．

4． 常數項級數的審斂法

（1）正項級數的審斂法

??設?un與?vn均為正項級數

n?2n?1?1°：?un收斂?n?1?Sn?有界；

2°：比較法

??若?un收斂（發(fā)散），且un≥vn，（un≤vn），則?vn收斂（發(fā)散）．

n?1n?1推論1：若limn??unvn???l，0?l???，則?vn與?un具有相同的斂散性．

n?1n?1?推論2：若limn?un?l，則?un發(fā)散；

n??n?1?若limn?un?l（p?1），則?un收斂．

n??n?1p3°：比值法

????1時????，則有???1時????1時????un?1?n收斂若limn??un?1un?un?1?n發(fā)散

?un?1n待定4°：根值法

????1時????，則當???1時????1時????un?1?n收斂若limn??nun?un?1?n發(fā)散

?un?1n待定（2）交錯級數的審斂法

?萊布尼茲定理：若交錯級數?(?1)n?1n?1un（un?0）滿足：

1°：un≥un?1 2°：limun?0

n???則?(?1)n?1n?1un收斂，且其和S≤u1，|rn|≤un?1．

（3）任意項級數的審斂法

?1°：若limun?0，則?un發(fā)散；

n??n?1??2°：若?|un|收斂，則?un絕對收斂；

n?1n?1???3°：若?|un|發(fā)散，?un收斂，則?un條件收斂．

n?1n?1n?

1二、函數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)??；

n?1（2）收斂點、發(fā)散點、收斂域、發(fā)散域；

n（3）部分和：Sn(x)??ui?1i(x)；

?（4）和函數：在收斂域上S(x)?limSn(x)?n???un?1n(x)．

2． 冪級數

?n（1）定義：?an?x?x0?，當x0?0時有：?anx；

n?0n?0n?（2）性質

?n?n1°：若?anx在x0處收斂，則當|x|?|x0|時，?anx絕對收斂（發(fā)散）；

n?0n?0?n?n 若?anx在x0處發(fā)散，則當|x|?|x0|時，?anx發(fā)散．

n?0n?0 16

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?2°：冪級數?an?x?x0?的收斂域，除端點外是關于x0對稱的區(qū)間(x0?R,x0?R)，兩端點是n?0n否屬于收斂域要分別檢驗．

?3°：在?anx的收斂區(qū)間??R,R?內，此級數的和函數S(x)連續(xù)． nn?0（3）收斂區(qū)間的求法

1°：不缺項時，先求??liman?1ann??，得收斂半徑R?1?；

再驗證兩端點，則收斂域＝(x0?R,x0?R)∪收斂的端點． 2°：缺項時，先求limun?1(x)un(x)??(x)，解不等式?(x)?1得x的所屬區(qū)間x1?x?x2，再驗證n??端點x1，x2，則收斂域＝(x1,x2)∪收斂的端點．

3． 冪級數的運算

（1）冪級數在它們收斂區(qū)間的公共部分可以進行加、減、乘、除運算．（2）冪級數在其收斂區(qū)間內可以進行逐項微分與逐項積分運算，即

??an?0nxn?S(x)，|x|?R，則有：

????n??anx???n?0???an?0?nxn?????nan?0nxn?1?S?(x)，|x|?R；

?x0??n???anx?dx??n?0????n?0x0?anxdx?n?n?0ann?1xn?1??x0S(x)dx，|x|?R

4． 函數展開為冪級數

（1）充要條件：若函數f(x)在點x0的某鄰域內具有任意階導數，則

?f(x)??n?0f(n)(x0)n!(x?x0)n?limRn(x)?0．

n???（2）唯一性：若f(x)在某區(qū)間內能展開成冪級數f(x)??an?0n(x?x0)，則其系數

nan?1n!f(n)(x0)，（n?0,1,2,?）．

（3）展開法：

1°：直接法（見教材P279）

2°：間接法

利用幾個函數的展開式展開

?ex??n?0xnn!?，(??,??)

sinx??(?1)n?0?nx2n?1?(2n?1)!x2n或?(?1)n?1n?1x2n?1(2n?1)!，(??,??)

cosx??(?1)n?0?n(2n)!，(??,??)

11?x??n?0xn，(?1,1)

?ln?1?x???(?1)n?0?nxn?1(n?1)，(?1,1]

?1?x?m?1??n?1m(m?1)(m?2)?(m?n?1)n!xn，(?1,1)

5． 傅立葉級數

（此內容只適用于快班）（1）定義：如果三角級數出，即

an?1a02????an?1ncosnx?bnsinnx?中的系數an，bn是由尤拉——傅立葉公式給?1?????f(x)cosnxdx，n?0,1,2,?；

bn?????f(x)sinnxdx，n?1,2,?

則稱這樣的三角級數為f(x)的傅立葉級數．

（2）收斂定理

設f(x)是周期為2?的周期函數，如果它在一個周期內滿足：連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；單調或只有有限個極值點，則f(x)的傅立葉級數

a02????an?1ncosnx?bnsinnx?收斂于f(x)???f(x?0)?f(x?0)?2?x為連續(xù)點x為間斷點．

（3）函數f(x)展開為傅立葉級數的方法：

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1°：求f(x)的傅立葉系數；

2°：將1°中的系數代入三角級數式； 3°：寫出上式成立的區(qū)間．

（4）正弦級數與余弦級數

?稱?bnsinnx（an?0）為正弦級數；稱n?1a02???an?1ncosnx（bn?0）為余弦級數．

若在???,??上，f(x)為奇函數，則有an?0，其正弦級數為?bnsinnx，n?1?bn?2???0f(x)sinnxdx，（n?1,2,?）；

若在???,??上，f(x)為偶函數，則有bn?0，其余弦級數為

a02???an?1ncosnx，an?2???0f(x)cosnxdx，（n?0,1,2,?）；

若f(x)是定義在?0,??上的函數，要求其正弦（余弦）級數，可先對f(x)進行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)???f(x)x??0,????f(?x)x????,0?x?[0,?]x?[??,0)

?f(x)F(x)?偶延拓：??f(?x)

對于周期為2l的函數的展開情況與上邊類似（略）．

第四篇：期末總復習

八年級《思想品德》上冊復習提綱

第一課：我的父親母親

1、家是我們成長的根據地，父母是我們的第一任老師，家是我們的第一所學校。

2、父母對我們的愛表現在：日常生活中（一句話、一個動作、一個眼神等）

3、在家庭中愛我們的只有父母嗎？（其實在家庭中愛我們不只是我們的父母，我們還沐浴在親情的陽光里，這份親情還來自爺爺、奶奶、外公、外婆等，他們都用不同的方式把濃濃的愛傳遞給我們。）

4、你與父母產生隔閡的客觀原因是什么？（為什么會覺得父母的愛跟以前不同？）

①有時候父母整天忙于工作，無暇顧及家庭和子女。②、作為具有多重身份的社會成員，父母不可能把所有的精力都傾注在子女身上。③我們渴望父母的愛，但有時也許我們太看重形式了。④、隨著我們不斷成長，父母給予我們愛的方式和以前有所不同。⑤、我們已經長大，有了更多的理性判斷，對父母的要求也更高了

5、一位父親，每天都很晚回家，難得那一次在天黑前回來了。他發(fā)現五歲的兒子正倚門等他。還沒說話的父親先聽到兒子的問話：“爸爸，你一個小時賺多少錢？”父親說：“你很想知道嗎？那我告訴你，我能賺20元。”兒子轉身走進自己的房間，捧出一堆皺巴巴的零錢，對爸爸說：“我攢了好長時間，現在終于有了20元，你明天能早點回家嗎？我想和你一起吃晚飯。” 請對以上父子的言行進行分析。

答：（1）作為孩子，尤其是一個五歲的孩子，希望父親經常陪陪自己是很正常、正當的情感要求。也正是因為年齡小，所以不理解這也是父親的一種愛——以自己的勞動來承擔對家人、孩子的責任。（2）父母整天為工作忙碌而不能與子女相伴，其實也是對孩子的一種愛，只是愛的方式發(fā)生了變化。與子女相伴是愛，努力工作為家庭提供經濟保障也是愛。（3）我們期盼父母的愛，同時也應該多一份對父母的理解和尊重。

6、評價：張大爺收到兒子的一封信：

新時代，新風尚；自己掙錢自己花：哪有余錢寄回家。

答：其實在生活中，我們通常只做一些力所能及的事就是對父母的愛，可張大爺的兒子并不會愛自己的父母，作為父母的他們并不需要子女的回報。只求子女們幸福、和諧。

7、簡要說說“兒行千里母擔擾”（怎樣與家人相處？）

答：親情是世界上最燦爛的陽光，無論我們走多遠，飛多高，父母的目光總是在我們的背后的，我們永遠的父母心中的牽掛。①、我們應與父母互敬互愛。②、我們應該具有與家人同呼吸共患難的家庭責任感。③作為父母，他們并不求回報，作為子女，我們也無以為報，只求與他們共呼吸、共甘苦。生活順利和時候，我們一起分享快樂、幸福和溫馨；生活困難的時候，我們也應該一起坦然面對。

8、為什么要孝敬父母？

①父母不但賦予了我們生命，而且為家庭做出了諸多貢獻②孝敬父母是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng)。③孝親敬長是道德和法律的要求。④孝敬父母收獲的是甜蜜。

9、孝敬父母的具體表現？

①要落實到具體行動之中，從小事做起。做一些力所能及的事。②多與父母溝通交流，多征求他們的意見。③承擔自己對家庭的責任。“④心里想著父母，理解關心父母；行動上幫助父母，為

父母分憂；努力學習，積極上進，讓父母高興。”⑤而要體現在日常生活中一件件小事上。

10、P10的《勇敢的人》你來說說羅軍是一個什么的人？

答：因為是她生育撫養(yǎng)了羅軍，母恩天高，畢生難報。羅軍發(fā)自內心的一聲呼喊，是孩子將自己與父母聯系在一起的心靈之鏈，是同呼吸、共命運的家庭責任感的體現。

11、父親節(jié)和母親節(jié)分別是什么時候？

母親節(jié)是每年5月的第二個星期日，父親節(jié)是每年6月的第三個星期天 第二課：家庭劇場

1、避免與父母沖突的辦法有哪些？

①自己的脾氣要平和，不可太情緒化②多與父母親溝通交流③創(chuàng)造機會；經常做事。④不用生硬的語言或作出過激的行為。

2、解決與父母間沖突的辦法有哪些？ ①認真傾聽 ②善于體諒。③主動交流 ④主動道歉 ⑤創(chuàng)造機會 ⑥控制情緒⑦承擔責任 ⑧達成協(xié)議

3、與父母發(fā)生沖突的主要原因是什么？

進入青春期的我們與父母發(fā)生沖突是難免的，一方面，我們覺得自己已經長大了，應該擁有獨立自主的權力 ；另一方面，父母還不習慣我們的“長大”不適應我們追求獨立自主的愿望和行為。這是一對矛盾，處理不好，就會發(fā)生沖突。第三課：閑話“家”常

1、中華民族是一個非常重視家庭的民族，家的觀念根深蒂固，人們以愛心和孝心構筑起和睦、友愛、團結、穩(wěn)定的家。只有家庭這個社會小細胞安定了，才會有整個社會的和諧、安定。

2、下列表現“家規(guī)”的蓍作有A、《禮記》B、《顏氏家訓》C《朱子家訓》D、《三字經》

3、家是我們全家人共同的地方，需要我們大家共同愛護，建立和諧家庭A、需要規(guī)范家庭成員的行為B、養(yǎng)成良好的行為習慣C、為家庭的前途共同努力

4、怎樣對待中國傳統(tǒng)家文化？

中國傳統(tǒng)家文化的精華，使我們今天應該繼承和弘揚的。但由于中華民族經歷了幾千年的封建社會，封建思想的影響根深蒂固，傳統(tǒng)家文化中的封建糟粕應該被摒棄。

5、中國的大文豪魯迅曾在自己的文章中這樣寫道：中國的“圣人之徒”……以為父對于子，有絕對的權力和威嚴，若是老子說話，當然無所不可，兒子有話，卻在未說之前早已錯了。（1）你是如何看待魯迅的這段話的？你贊成這段話的觀點嗎？

魯迅在他作品中的這段話，實則是一種對封建禮教和所謂“家規(guī)”的一種批判。不贊成。這段話有點類似于“父要子亡，子不得不亡”的陳詞濫調，這是一種帶有時代局限性的陳舊觀念。試問：難道父親有不對的地方，也要子女們聽從嗎？

（2）對于我們家的傳統(tǒng)文化，我們應當持什么態(tài)度去看待呢？

我們應該辯證地去看待。畢竟傳統(tǒng)家文化流傳至今，有很多內容已經脫離了時代，觀念陳舊，我們應有鑒別地繼承和發(fā)揚，而對于一些夾雜著封建糟粕的觀念，諸如“父為子綱”之類的，我們應當堅決摒棄。

（3）你還能收集一些有關中國傳統(tǒng)家文化的詩歌、俗語和小故事嗎？ 如：“四十年來家國，三千里地河山”“孟母三遷”“孔融讓梨”等，6、中國一直以來是子代依賴于父代建業(yè)，父代依賴子代養(yǎng)老，我們的養(yǎng)老模式是“反哺式”的，孝道作為一種傳統(tǒng)美德，一直是維持社會倫理的重要支柱，而西方國家的養(yǎng)老模式是“接力式”的，每代人只有一個義務，就是哺育孩子，老人不需要子女的贍養(yǎng)，養(yǎng)老問題由社會保障體系來解決。

7、中國家庭結構的變遷軌跡和形式①中國家庭結構的變遷軌跡是：家庭規(guī)模逐漸縮小。②、這種變遷在形式上表現為兩個方面：一方面是大家庭、如主干家庭、聯合家庭的比例逐步降低；另一方面是小家庭，如核心家庭、夫妻家庭及單身家庭的比例有所上升，其中核心家庭越來越占據主要地位。

8、一個美國人從中國回國，他的朋友請他談談觀感。他說：“在中國吃一餐飯，要打架三次。”他解釋說：“一進餐廳，為了推讓座位，主客就開始互相拉扯；接著上菜，主客又要你推我擋一番；最后為了付賬，更會開展一場精彩激烈的爭奪戰(zhàn)。”（1）這則幽默主要說明了什么道理？

答：說明生活在不同文化背景中的人，會有不同的待人處事的方式

（2）面對各國文化與習俗的差異，怎樣才能更好地融入當地主流文化中？

答：對不同文化和習俗要保持客觀、平等、尊重的態(tài)度，要從欣賞的角度看其他文化，要多找共同的地方，要掌握交流的方法 第四課：青春故事

1、人們通常將人生11歲到17、18歲這段美好的年華成為“青春期”。它是人由少年到成年的過

渡時期。

2、如何正確認識青春期的逆反心理？

①、青春期產生逆反心理是成長過程中，正常現象，或多或少地會發(fā)生在每一個成長中的青少年身上。②、從某種意義上講，逆反是走向成熟的一個關隘，關鍵在于我們能否過好這個關隘，如果過不好，可能會給自己的整個人生道路蒙上陰影。

3、逆反心理的危害：情感傷害、經濟損失、阻礙家庭和個人發(fā)展等惡果

4、如何走出逆反困境？

①、培養(yǎng)多向思維；②、設身處地的分析；③、學會控制情緒；④、第三方立場； ⑤、坦陳意見；⑥、更換對象；⑦、以認知化解情緒；⑧、主動傾訴。

5、追求流行風的原因：①、顯示自己的時髦，贏得在同學們心目中的地位。②、更好地凸顯個性，煥發(fā)青春光彩。③、青少年接受新鮮事物快，喜歡美，喜歡追求新奇事物。④青少年的思想是開拓的，大膽創(chuàng)新不安分，富有冒險精神。⑤獵奇心理喜歡以新面貌出現的東西，被新奇的觀念所左右

6、盲目追求流行風的危害。①、危害青少年的身心健康，荒廢學業(yè)，引發(fā)虛榮心；②、過渡愛慕虛榮，喪失理想信念和意志品質，浪費大好時光③喪失個性④偏離正道、甚至走上違法犯罪的道路。

7、作為中學生如何對待流行風？

①清楚自己真正適合什么，需要什么。②理智有度，擇其善者而從之。③提高自己的控制和辨別能力。④積極參加集體組織的有益活動。

8、如何看待偶像崇拜？

偶像崇拜是一種特殊的社會心理現象。青少年會以不同的方式表達對偶像的認同，進而仿效起行為方式、儀表特征。每個時代的青少年都有自己追逐的“星”，追“星”是青春期少年的正

常心理需要。真正的“星光”，應該是汗水的閃爍和內在美的光華。

9、盲目追星的危害：①喪失理智。②危害青春。③浪費時間、影響學業(yè)④喪失自我、空耗青春。⑤容易形成錯誤的人生觀和對人格發(fā)展不利。

10、作為中學生應該如何追星？

①不瘋狂盲目追星。②摒棄狹隘心態(tài)擺正自己與明星的關系。③學習他們的內在美。

11、放學路上，有位同學看到幾個中學生模樣的人陸續(xù)走進一家游戲廳，便也要跟著過去。同伴批評他時，他不服氣地說：“又不是我?guī)ь^的，況且別人能進，為什么我就不能？”請就題中該同學的錯誤言行選擇一個角度，運用所學知識說服其改變主意。答：喜歡新鮮事物對青少年來說是正常的心理特征。流行有物質的，也有精神的；有積極向上的，也有消極頹廢的。我們不必一味反對流行事物，但是我們應把握自己，不偏離正道，別讓自己被流行風吹跑。

12、武漢女粉絲為思念謝霆鋒而跳河尋死；17歲的偏癱歌迷周楓為周杰倫走遍六省，最后吞下30粒安眠藥； 當趙薇紅遍大江南北的時候，有小學生模仿小燕子的行為，上吊而亡。（1）上述材料告訴我們一個什么道理？

答：要正確對待偶像崇拜，不能盲目崇拜和模仿。（2）請你談談，青少年應該如何來正確看待偶像崇拜？

答：對于偶像崇拜我們應該一分為二的來看待，一方面，每個人都有自己心目中的理想形象，喜歡明星是很正常的心理現象，我們可以追星。但另一方面我們不能為之著迷，特別是不能迷明星的外表，盲目地模仿崇拜，而是應該看到他們“光環(huán)”背后的努力和艱辛。從自己崇拜的偶像身上汲取向上的奮斗的力量，學習他們身上的優(yōu)點，不斷的完善自我，這才是崇拜的目的。

第五課：我們不是“水晶人”

1、沒有秘密長不大青春期的孩子開始有了自己的小秘密。青春期的孩子認為自己長大了，長大的標志就是與父母保持一定的心理距離，于是萌生了獨享一片心靈天空的愿望。秘密對于未成年人的成長有著積極的意義。走向獨立是長大成人的基本特征之一，而擁有個人秘密并能恰當處臵是走向獨立的一個基本要求。有秘密的水晶人是永遠長不大的。

2、如何正確區(qū)別對待秘密？

在成長過程中，有些事情可以保密，而另外一些事情不能保密，比如使自己心理壓抑、難以排解的事情，可能給自己帶來危害的事情，或者違反法律的事情等。有了不能保密的事情，應該找可以信賴的人傾訴，或者向有關部門反映。

適當的傾訴可以幫助我們緩解心理壓力、保持心理健康，也能使我們從他人那里獲得幫助。

3、隱私是指公民不愿意為人所知或不愿意公開的，與公共利益無關的個人秘密。它包括三個方面內容：個人信息，個人活動，個人領域。法律保護公民的隱私權的法律依據：《中華人民共和國憲法》、《中華人民共和國刑法》、《中華人民共和國未成年人保護法》 4父母侵犯未成年人隱私的解決辦法

應該多與父母交流溝通，有禮貌地告訴父母這是自己的秘密，自己有權保守這些秘密，如果父母不經過自己允許擅自窺探，那么就違法了法律的規(guī)定，應承擔相應的法律責任。若父母不聽勸阻仍窺探自己的秘密，可向未成年人保護機構反映，請求對父母進行批評教育。如果父母侵害秘密的行為給自己造成了很大的傷害，未成年人可以直接向法院起訴，要求父母停止侵害、賠禮道

歉甚至賠償損失。

5怎樣保護自己的隱私？

①保管好自己含有個人隱私的物品。②不向他人講述自己的個人及家庭的隱私。③尊重他人的隱私④通過合法途徑維護自己的隱私。6你認為分數屬于隱私嗎？為什么？

答：不是，有考試就有成績，有成績就有好與壞，畢竟人不是完美的，既然有膽量考試就應該有膽量面對成績，只有每一次考試后排出成績，我們才能更加清楚的認識自己與別人的差距，才知道自己以后努力的方向，否則我們就沒了方向和動力，隨之就沒了竟爭的意識，只有排出成績，才能讓我們與同學相互了解，相互促進，共同進步，共同提高，所以我認為分數不是隱私。是，也許有人會說不排出成績，我們就會找不到自己合適的位臵，也就失去了考試的意義，但我認為考試在于自我檢測學習的好壞，自己跟自己比好了，知道自己不足后努力學習，掌握知識、運用知識行了，不是說最難超越的是自己嗎？如果邊自己都能超越還怕不能超越別人嗎。從另外一個角度上講，排出成績就是把學生分成三六九等，容易惡化同學之間的關系，無形中就在我們心里產生了自卑或是自負的心理。所以，同學之間沒了分數這層障礙，交往起來不是更加自然嗎。

7、幾個經常在學校附近轉悠的男青年不止一次向小宇要錢，不給他們就打小宇，而且威脅他不準跟父母或老師說。

（1）小宇應該保守這個秘密嗎？ 答：不應該保守。

（2）小宇的這個秘密屬于什么秘密？ 答：給自己帶來危險的秘密。（3）你如果遇到過這樣的事情，你準備怎么處理？

答：告訴家長，或告訴老師、學校，由學校協(xié)助民警將其抓起來。

第六課：青春相冊

1、男生有男生的優(yōu)勢，女生有女生的特長，差別是不容否認的。

2、性別存在偏見的原因：由于長期受男尊女卑封建思想的影響，不少人總認為女性在智力、能力等各方面都比不上男性，因而對女性存有偏見甚至持歧視的態(tài)度。

3、怎樣消除性別偏見？消除性別偏見和歧視，需要每個社會成員及時糾正自己的錯誤觀點，客觀地看問題；也要靠法律的監(jiān)督和約束；更離不開受歧視女性自身的自尊自愛、自強不息。與保護女性相關的法律有《中華人民共和國婦女權益保護法》、《中華人民共和國勞動法》、《中華人民共和國教育法》。

4、男生女生交往的好處是：、有利于智力上取長補短、有利于激勵自己奮發(fā)向上、有利于個性的完善和豐富、增加朋友。⑤、豐富感情交流。⑥發(fā)揮“異性效益”。⑦、增進心理健康。、⑧促進社會化人際交往⑨、培養(yǎng)“雙性化”人格。

5、面對別人的閑言碎語我們該怎么辦呢？①有坦蕩的胸懷；②反省自己③主動與議論自己的人多溝通，接觸④不做閑言碎語的傳播者和制造者。

6、男生女生如何正常交往？①廣泛交往②、看父母、老師的態(tài)度③、謹慎交友④、端正態(tài)度，淡化對方的性別意識。⑤、把握距離。⑥理解與尊重。⑦、端莊與慎重。

7．進入初中，在我們身體悄悄變化的同時，我們的心理也在發(fā)生著一系列的變化。在班級里，有的男生和女生之間似乎有一條無形的界限被稱之為“三八線”，在“三八線”上，男女同學不能對話。為此，某中學八年級一班的同學展開了一場辯論。下面是兩位同學的觀點： 甲同學：認為男女生要有界限。乙同學：認為男女生都是同學，沒有區(qū)別。請對兩位同學的觀點進行分析。

答：（1）男女同學在一些方面是有區(qū)別的，如果沒有界限，有可能會出現一些誤會，會影響身心健康發(fā)展，影響學習。從這點上看，甲同學的觀點有合理的一面，乙同學的觀點有片面性。（3分）（2）男女同學之間的正常交往有益于我們的身心健康發(fā)展，兩者之間可以優(yōu)勢互補，取長補短，從而營造一種和諧、溫馨、團結合作的氛圍。從這點上看，乙同學的觀點有合理的一面，甲同學的觀點有不足的方面。（3分）（3）作為男女同學，之間既要有一定的界限，又要相互幫助，團結友愛，共同進步。

第七課：我有署名權

1、什么是署名權？也稱版權，是指作者對其創(chuàng)作的文學、藝術和科學技術作品所享有的專有權利。著作權包括人身權和產權兩部分。人身權包括發(fā)表權、署名權、修改權、保護作品完整權等。

2、為什么未成年人享有著作權？根據，《中華人民共和國民法通則》第九條、第十條規(guī)定，無論是成年人還是未成年人都平等地享有民事權利能力。著作權是一項民事權利，未成年人一樣可以成為著作權人，其著作權不受侵犯。出版社在使用其作品時，應征得著作權人（或法定代理人）的同意，在使用后，著作權人應依法獲得報酬。

3《中華人民共和國民法通則》第七十一條 “ 財產所有權是指所有人依法對自己的財產享有占有、使用、收益和處分的權利

4、肖像權是指公民對自己的照片、畫像、雕像、錄像、攝像及其他有載體的視感影像，依法享有不守侵害的權利。

5、侵犯肖像權的條件：①未經本人同意 ②不得以營利為目的 限制民事行為能力人怎樣行使自己的民事權利？。（對象，10周歲以上的未成年人，不能完全辨認自己行為的精神病人。）可以進行預期年齡、智力或精神健康狀況相適應民事的活動，其他民事活動有其法定代理人代理，或者征得其法定代理人的同意。

6、民事行為能力指民事行為主體能通過自己的行為取得民事權利和承擔義務的資格。簡單的說。民事行為能力就是公民可以獨立進行民事活動的資格。

7、無民事行為能力人實施的民事行為和限制民事行為能力人實施的依法獨立實施的民事行為，都屬于無效民事行為。無效的民事行為從行為開始起就不具備法律效力。

8、法律規(guī)定，十周歲以上的未成年人為限制民事行為能力人，只能從事與自己的年齡智力相適應的民事活動。這是對未成年人的歧視還是保護？

答：這種法律規(guī)定是對未成年人的保護。民事行為能力指的是能以自己的行為取得民事責任的能力。十周歲以上的未成年人的辨別能力和理智都不成熟，只能進行與其年齡、智力相適應的民事活動，其他民事活動只能由其法定代理人代理，或者征得其法定代理人的同意，這是我國法律對未成年人的保護。

9、大慶一女子被人冒名頂替上學，本能成為白衣天使的她，因為別人的暗箱操作而變成農婦。侵犯的是該女子的（姓名權）

10、竊、搶劫到傷害致死，嫌疑人的年齡從12歲到17歲不等，作案之后，3起不同的案件，相同的一句：“除了網吧，我（我們）還能去哪兒？”，面對他們的問題，我們的看法是（家庭、學校才是他們良好的生活學習場所，在社會中，我們更值得警惕，謹防一些人教唆、引誘、脅迫、鼓動未成年人犯罪）

第八課：做一個合格的消費者

1、我國制定的《消費者權益保護法》就是一部專門維護消費者合法權益的法律，人們把它成為消費者的保護神。

2、作為消費者在購買中的9項權利有： ①享有人身、財產安全不受損害的權利；

②、享有知悉其購買、使用的商品或者接受的服務的真實情況權利； ③、享有自主選擇商品或服務的權利； ④、享有公平交易的權利； ⑤、享有依法獲得賠償的權利。

⑥、享有依法成立維護自身合法權益的社會團體的權利； ⑦、享有獲得有關消費和消費者權益保護方面的知識的權利； ⑧、享有其人格尊嚴、民族風俗習慣得到尊重的權利；

⑨、享有對商品和服務以及保護消費者權益工作進行監(jiān)督的權利。

3、國際消費者權益日：3月15日

4作為消費者，維護自己合法權益的正確途徑是什么？：①與經營者協(xié)商和解； ②、請求消費者協(xié)會調解；③、向有關行政部門申訴；④、根據與經營者達成的仲裁協(xié)議提請仲裁機構仲裁；⑤、向人民法院提起訴訟。⑥12315投訴電話是消費者維權的一件銳利武器

5、何成為合格精明的消費者？消費者要運用法律武器維護自己的合法權益，就必須了解有關法律法規(guī)和一些消費常識，否則自己的合法權益就難以得到有效地保護。一是注意消費投訴的實效；二是收集和保存證據；三是要懂得一些識假、辨假的知識。

材料一: 日前，北京市消費者協(xié)會發(fā)布了北京市場45種淋浴水嘴產品比較試驗結果：45個品牌的淋浴水嘴樣品中25個樣品部分檢測項目不符合相關國家標準。比較試驗結果表明，被測試的樣品節(jié)水性能基本能夠達到國家標準要求，三家產品檢測結果不節(jié)水；各淋浴水嘴樣品閥體強度性能和密封性能較好；近三分之一的樣品耐腐蝕性能不理想；五分之一的樣品連接螺紋扭力矩沒有達到國家標準要求；少數樣品管螺紋精度和配套軟管密封性能存在問題；知名品牌的水嘴樣品質量相對較好。（1）以上材料說明了什么？

答：目前，社會上還存在經營者無視法律，以各種理由侵害消費者的公平交易權、自由選擇權等合法權益，缺斤短兩、假冒偽劣、強買強賣、虛假宣傳等。很多消費者的法治觀念淡薄，以實際行動維權的意識不強。

（2）結合材料說明應該怎樣很好地維護消費者的合法權益？ 第九課：法律是武器

1、生活中有哪些侵犯未成年合法權益的現象？ 答：虐待、遺棄、毆打、等

2、未成年人的不良行為有：①曠課、夜不歸宿②攜帶管制刀具③打架斗毆、辱罵他人④強行向

他人索要財物。

3、如果遇到暴力侵犯怎么辦？答案在p102的“專家指點”

4、青少年受到侵害的原因：、青少年各方面都不成熟，屬于弱勢群體，缺乏自我保護能力，其合法權益更容易收到侵害；、現實中存在一些不利于青少年健康成長的因素，侵犯青少年合法權益和損害青少年身心健康的現象還時有發(fā)生；、法律在保護青少年合法權益時會出現不及時、不到位的現象，使青少年收到不同程度的傷害。

5、當合法權益受到侵犯時更重要的是要學會自我保護自我保護的方法。

第一招：遇到騙子時，不要隨便跟陌生人進入你無法控制的地方，如偏僻的角落等；如果陌生人一味糾纏要大聲呼叫，嚇退壞人第二招：遇到冒牌公務員，不要隨便跟自稱是警察和工作人員的人走，向他索要證件，并要求找自己的父母。第三招：遇到暴力搶劫，可以先把錢物如數交出，同時記清不法分子的特征，如身高、口音、著裝等，一但脫身，立即撥打110報警。第十課：他們?yōu)槭裁磿缸?/p>

1、犯罪行為：凡是不履行法律規(guī)定的義務或者做出法律所禁止的行為，都是違法行為。違法行為包括違憲行為和刑事違法行為、民事違法行為、行政違法行為等幾類。

什么是犯罪？是指違法情節(jié)嚴重，對社會危害很大、觸犯刑法并依法應受刑法處罰的行為。

犯罪的三個基本特征：（1）犯罪是危害社會的行為。（2）犯罪是觸犯刑法的行為。（3）犯

罪是應受刑罰處罰的行為。

我國對青少年犯罪的刑事責任范圍的規(guī)定刑事責任年齡：已滿16周歲的人犯罪，應當負刑事責任；已滿14周歲不滿16周歲的人，犯故意殺人、故意傷害致人重傷或者死亡、強奸、搶劫、販賣毒品、防火、爆炸、投毒罪的，應當負刑事責任；已滿14周歲不滿18周歲的人犯罪，應當從輕或者減輕處罰；因不滿16周歲不予刑事處罰的，責令他的家長或者監(jiān)護人加以管教；在必要時，也可以由政府收容教養(yǎng)

2、遵守法律這一基本的行為準則：惡意制造、傳播流言，不侮辱他人人格，不進行詐騙活動；

不泄露國家機密；不制造、傳播病毒，不利用網絡破壞公共設施等。

3、怎樣正確對待網絡？①、充分利用網絡優(yōu)勢幫助學習，提高自身素質。②、科學合理地安排

時間，不影響正常的學習和生活；③、要正確選擇網上信息，自覺抵制不良信息的影響；④、不進營業(yè)性網吧；⑤、遵守網絡道德，遵守紀律和法律。

4、未年人犯罪的主要原因有：無知、盲目模仿、從眾心理、報復心理以及尋求刺激、逞強好勝，都可能導致未成年人犯罪。

5、觀看影視作品、小說和玩電腦游戲時要注意的問題？①、影視作品及小說的情節(jié)絕大多數是

虛構的，和現實生活有很大區(qū)別；②、要有明辨是非的能力，切不可盲目模仿；③、要明白依靠非法手段獲利的人最終沒有好下場。

7青少年怎樣維護自己的合法權益？①宣告自己的合法權益不受侵害。②向有關部門反映 ③通過調解、仲裁等方式解決。④通過訴訟（打官司）⑤申請法律援助

8、法官的忠告： 在現實生活中，有些人在鼓勵、唆使、脅迫青少年從事違法犯罪的活動時，確實會講一些諸如“這件事與你無關”、“出了事不要你負責”之類的話，青少年往往被這些話所迷惑，但要知道，這些承諾不具有法律效力，在法律面前什么作用也起不了，到頭來，人家犯錯而你是在犯罪。

第五篇：高等數學基礎期末復習指導

高等數學基礎期末復習指導（文本）（2010.06.11）

中央電大教育學院 陳衛(wèi)宏 2010年06月13日

陳衛(wèi)宏：大家好！這里是高等數學基礎課程教學活動。

高等數學基礎課程期末考試時間：2010年7月11日11:00～12:30。閉卷。

高等數學基礎考試題型

單選題：5題，每題4分，共20分。

填空題：5題，每題4分，共20分。

計算題：4題，每題11分，共44分。

應用題：1題，共16分。

復習要求1

（一）函數、極限與連續(xù)

1．理解函數的概念，了解分段函數。能熟練地求函數的定義域和函數值。

2．了解函數的主要性質（單調性、奇偶性、周期性和有界性）。

3．熟練掌握六類基本初等函數的解析表達式、定義域、主要性質和圖形。

4．了解復合函數、初等函數的概念。

5．了解極限的概念，會求左右極限。

6．掌握極限的四則運算法則．掌握求極限的一些方法。

7．了解無窮小量的概念，了解無窮小量的運算性質。

8．了解函數的連續(xù)性和間斷點的概念。

9．知道初等函數在其有定義的區(qū)間內連續(xù)的性質。

復習要求2

（二）一元函數微分學

1．理解導數與微分概念，了解導數的幾何意義。會求曲線的切線方程。知道可導與連續(xù)的關系。

2．熟記導數與微分的基本公式，熟練掌握導數與微分的四則運算法則。

3．熟練掌握復合函數的求導法則。掌握隱函數的求導法．知道一階微分形式的不變性。

4．了解高階導數概念，掌握求顯函數的二階導數的方法。

5．會用拉格朗日定理證明簡單的不等式。

6．掌握用一階導數求函數單調區(qū)間與極值點的方法，了解可導函數極值存在的必要條件。知道極值點與駐點的區(qū)別與聯系。

7．掌握求解一些簡單的實際問題中最大值和最小值的方法（幾何問題）。

復習要求3

（三）一元函數積分學

1．理解原函數與不定積分概念，了解不定積分的性質以及積分與導數（微分）的關系。

2．熟記積分基本公式，熟練掌握第一換元積分法和分部積分法。

3．了解定積分的幾何意義和定積分的性質。

4．了解原函數存在定理，知道變上限的定積分，會求變上限定積分的導數。

5．掌握定積分的換元積分法和分部積分法。

6．了解無窮積分收斂性概念，會計算較簡單的無窮積分。

7．會用定積分計算簡單的平面曲線圍成圖形的面積。

文勇：高等數學考試在即，抓緊時間進行復習了。

陳衛(wèi)宏：做好形考冊與期末復習指導中的綜合練習。加油！祝你取得好成績！

趙雙穎：陳老師您好，今年能否再給期末綜合復習題？看08年7月的行嗎？

陳衛(wèi)宏：趙老師好！會有模擬練習貼出。

王惠書：陳老師您好：今年的高等數學基礎有變化嗎？

陳衛(wèi)宏：王老師上午好！高等數學基礎考試沒有變化。

王惠書：合理利用學習資源進行自主學習

開放教育的一個重要標志就是教育對學習者的開放。在開放教育中，學習者的背景呈現多元化的特點，這就決定了他們不同的學習需求和不同的媒體選擇取向，“經濟數學基礎”課程多種媒體一體化教材中的各種教學資源應該說基本滿足了各種層次、不同需求的學習者的需要。但是，每位學習者既無可能也無必要全部擁有各種媒體資源，選擇適合自己的學習資源是很重要的。

下面以“導數”內容學習舉例說明具體步驟：

1．指出本單元學習知識點及學習目標

學習內容：導數的定義、導數的幾何意義、導數基本公式和導數的四則運算法則、復合函數求導法則、導數的計算、高階導數。

學習目標：

（1）理解導數定義，會求曲線的切線方程，知道可導與連續(xù)的關系；

（2）熟練掌握導數基本公式、導數的四則運算法則、復合函數求導法則，掌握求簡單的隱函數導數的方法；

（3）知道高階導數概念，會求函數的二階導數。

2．指導學生利用多媒體資源自主學習

（1）閱讀《經濟數學基礎—微積分》教材相關內容；

（2）觀看經濟數學基礎網絡課程微分學相關內容；

（3）閱讀在線平臺的相關輔導文本。

3．列出本單元應掌握的問題

（1）函數在一點導數的定義式的含義是什么？

（2）函數在一點導數的數量、幾何、物理、經濟意義是什么？

（3）函數在一點導數和在區(qū)間上導數的區(qū)別與聯系是什么？

（4）導數的計算公式、法則有哪些？

（5）導數計算的題型有哪些？

（6）利用導數可以討論函數的哪些性質？

4．提出學習本單元的具體要求

（1）通過自主學習找出2-3個問題，通過網絡與任課教師或同學討論找出問題的正確答案；

（2）通過網絡或其它形式回答教師提出的問題；

（3）做作業(yè)冊或文字教材中相應的練習題。

陳衛(wèi)宏：請同學們認真看看。

王惠書：高等數學課程“問題式”教學法案例

下面以“導數”知識為例來說明“問題式”教學在高等數學課程中的應用。

（一）教學的總體設計

問題式教學法的實施步驟、組織形式、和學習結果用坐標系表示如下：

其中，實施步驟包括

1．提出問題

2．探求問題

3．解決問題

4．拓展問題

5．深化問題

相應的組織形式為

1．創(chuàng)設情景

2．自主學習

3．合作探究

4．鞏固應用

5．反思小結。

應用問題式教學法的總體構思如下：

首先，舉出兩個實例，提出問題并給出解決問題需要的已知只是和解決的思路；其次，通過自主學習合作學習得出導數的概念、基本公式、運算性質以及運算方法；第三，總結出利用導數解決實際問題的方法。

（二）組織實施步驟

第一步，創(chuàng)設情境提出問題：

實例1

對一個喜歡吃巧克力的人來講，有一個實驗表明：吃一顆巧克力的總效用為35，吃兩顆巧克力的總效用為60，吃三顆巧克力的總效用為75，吃四顆巧克力的總效用為80，吃五顆巧克力的總效用為75。由簡單的觀察和計算可知，從吃第一顆巧克力到吃第五顆巧克力，每多吃一顆巧克力它產生的效用增加量分別是25，15，5，-5，呈遞減的趨勢，換句話說，如果吃了四顆巧克力后，再吃第五顆、第六顆的話總效用不但不會增加反而會減少，也就是說不再會得到更多的滿足了。那么請問，換了你你會吃幾顆巧克力？

實例2

瞬時速率問題。已知物體的運動規(guī)律既路程與是時間的函數關系S=S（t）,求物體運動的瞬時速度。

第二步，自主學習探究問題：

1．解決問題所用的已有知識：平均速度、平均變化率、極限

2．解決問題的關鍵是什么：如何解決分母不能為0的問題

3．思路與方法是什么：先從一點擴充的一個區(qū)間，在讓區(qū)間趨于一點

第三步，合作學習解決問題：

1．函數在一點導數的定義：略

2．導數的數量意義、幾何意義、經濟意義、物理意義：略

3．基本公式、運算法則：略

第四步，鞏固應用拓展問題：

1．初等函數導數的計算：通過計算總結求導方法以及題型

2．導數的實際應用

第五步，反思小節(jié)深化問題：

1．利用導數解決問難題的思想方法

2．導數計算的題型及方法

3．可以利用導數解決問題的常見案例及解決方法

如何學好大學數學

（一）激發(fā)學生學習數學的興趣

興趣是學習的最好老師，它能激發(fā)求知欲望，促進思維的活躍，保持學習的持久。贊可夫認為，學生有了愉悅的情感，歡快的情緒可以使大腦皮層處于興奮狀態(tài)，精神振奮，思維活躍；反之，厭煩的情緒能抑制學生的智力活動。

1．明確數學教學目的

傳統(tǒng)數學教育是與升學緊密聯系的，而信息時代的數學教育則要求提高全社會成員的數學素質。高科技的發(fā)展，使現代數學以技術化的方式折射到人們日常生活的各個領域。通過學習數學知識，使學生正確認識數學的價值，懂得數學在信息社會中的作用，從而激發(fā)學生學習數學的興趣。

2．樹立正確的學習態(tài)度

大部分學生認為初等數學沒學好，高等數學也無法學好。因此，使學生樹立正確的學習態(tài)度，養(yǎng)成良好的學習習慣，是十分必要的。

（二）教師要切實轉變傳統(tǒng)的教育觀念，提高自身素質及授課水平

1．與時俱進，轉變觀念，使數學教學真正實現由“應試教育”向“素質教育和創(chuàng)新能力教育”的轉變。

時代呼喚素質教育和創(chuàng)新教育，時代需要高素質創(chuàng)新人才，通過必要的學習和自覺的反省更新教育觀念，樹立“以生為本”的現代教育理念，在課堂教學中注意體現素質教育思想、開放教育理念、能力本位理念等等，改知識傳授為能力培養(yǎng)，改應試教育為素質教育。

2．教師要改善自己的知識結構，不斷提高自身素質

在數學課堂教學中應以高水平的學識為基礎，建立廣博和精深相統(tǒng)一的知識結構，使自己具有更開闊的教學視野和更高的教學設計能力，不斷提高授課水平。特別要強調指出的是：數學教師要注重提高教學藝術水平，尤其要注重提高自身的語言表達能力，因為高職教師語言表達能力的優(yōu)劣，直接影響學生對新知識吸收程度，影響學生思維能力的調動和學習的積極性，直接影響教學效果。

3．教學方法要靈活多樣

我們要改變數學教育中的“無人”現象。一是教材中沒有人，既在數學教材從來只有公式、概念、定理，與人的日常生活脫離；二是教法中沒有人，指的是不是以學生為主，課堂上只有老師在教，討論法、案例法在數學教學環(huán)節(jié)中采用的很少。教師在授課過程中要盡量采用啟發(fā)式、討論式等氣氛活躍的教學方式，恰當地處理好傳授知識和培養(yǎng)學生能力的關系，使學生的思維不再禁錮在一個狹小的范圍內而學有所悟。教師在每一個教學環(huán)節(jié)上都要精心設計，同時創(chuàng)造出一個輕松、和諧、愉快、活躍的教學環(huán)境，使學生成為教學的主體，體會到學習的樂趣。

4．選用合適的教材，調整教學內容

教材是教學內容的物質載體，是學校教育教學的基本手段。教材的選取，既要保證基本的知識要點，又要適合學生的專業(yè)特點，使學生擁有必備的數學知識后，緊緊結合專業(yè)培養(yǎng)目標按需“取舍”等數學內容，突出培養(yǎng)專業(yè)人才的目的。在教材中適當增加數學史的知識，一部數學史就是千百年來無數數學家為探索真理孜孜以求，不斷解放思想、創(chuàng)新開拓的歷史，素材相當豐富；選擇近現代成功的數學應用案例，引導學生通過學習一種新的數學概念和數學思想，了解數學是如何通過科學嚴謹的數學思維、抽象化的符號語言虛擬世界和研究世界的，從而有意識地引導學生提高數學思維的能力，加強相關能力的訓練。

（三）強化“應用”教學

1．加強大學數學教學與后續(xù)專業(yè)課及實際生產、生活的聯系

教師在教學中應讓學生更多了解數學在后續(xù)專業(yè)課當中的一些應用，使學過的知識盡可能在后續(xù)專業(yè)課或生產實際、日常生活中找到相應的模型，鼓勵學生運用數學知識解決專業(yè)和實際問題。

2．融數學建模于數學教學之中，培養(yǎng)學生的數學應用能力和創(chuàng)新能力

數學建模是學生運用所學數學知識解決實際問題，數學建模不僅展示了數學在各個學科領域的應用，使學生感受到了學習數學的意義，而且通過學生對數學建模全過程的參與與自我嘗試，也使學生嘗到應用數學于實際的甜頭，增強數學在學生心目中的地位，建模過程實際上是學生重新發(fā)現的過程，也是學生創(chuàng)造性地運用數學知識的過程。教會學生通過抽象、簡化建立數學模型，讓學生通過“用”數學認識到“數學是實際生活的需要”，既培養(yǎng)了學生數學應用能力，又使學生有成就感，從而提高學習數學的興趣。

（四）運用現代化的教學手段

多媒體技術在教育領域里的運用，促進了教學模式、教學內容、教學手段、教學方法的變革。數學教育應與中國當代青年學生接受習慣－心理、閱讀、欣賞要求，借助發(fā)達的計算機、多媒體表現技術、表現手段將書本上的推論、概念、公式引進到中國高校的數學教材之中、課堂之上。在運用多媒體這種教學手段不僅使用幻燈、投影儀、電視錄像等電化教學手段外，還要充分利用網絡技術，以增強教學的直觀性和趣味性，使教學過程不再顯得平白和枯燥，提高教學效果，提高教學效率，激發(fā)出學生學習的興趣和學習積極性。

陳衛(wèi)宏：這些是我們應該學習的。

還是推薦大家多看看論壇頂部的帖子，其中幾位同學的心得會很有啟發(fā)。

預祝同學們取得好成績！

今天的活動就到這里，謝謝大家，再見！