第一篇：《高等數學上冊考試試題》

………密……………封……………線……………以……………內……………答……………題……………無……………效…………… 《高等數學（上）考試試題》

一、填空題(每小題4分，5個小題，共計20分)學院 _____________班級名稱_______________學號_____________姓名_____________教師________________1．limx??(1?3x)(1?2x)(1?4x)2201030?_________。2．設f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),則f?(x)?0有且僅有_______個實根。________3．設　y?sin(1?x2),則y???4．設　y?12x?e2x。，則其反函數x(y)的導數x?(y)?________f(a)?f(a?x)2x5．設　f(x)為可導函數且滿足lim x?0?1，則曲線y?f(x)在點(a，f(a))處的切線斜率為________。

二、選擇題(每小題4分，5個小題，共計20分)121．當x?0時，(1?ax)3?1與cosx?1是等價的無窮小，則常數a?(32)A、32B、23C、?D、?23 2．已知?ax?b，當x?1f(x)??2　處處可導，則有(?x，當x?1)A、a?2，b??1B、a??2,b?1C、a??1,b?2D、a?1，b??2 3．設　limx?0?f(x)?f(0)?ln(1?3x)x2?4,則f?(0)等于()A、3B、4C、1D、43)4．設函數y?f(x)在點x處可導,則它在點x處的微分dy是指(A、f?(x)B、?f(x)C、?xD、f?(x)?x 5． 設常數k ?0，函數f(x)?lnx?xe?k在(0,??)內零點個數為()A、1B、2C、3D、01

三、解答題(每小題7分，6個小題，共計42分)

1．計算極限

lim(x?e

x?0

2x)sinx。

2．設y

?y(x)由方程e

xy

?sin(xy)?y確定,求

dydx。

3．設?

?x?tlnt?y?t

t，(t?

1e)確定了函數y?y(x),試求

dydx。

4．設函數

f(x)具有連續二階導數,且f(0)?f?(0)?0,f??(0)?6,求

f(sin2

lim

x)。

x?0

x

5．求數列的極限

limn?1

11?

???n2??

?n2?2????n?n2?n??． ?

6．討論函數

f(x)?lim

1?x2nn??

1?x

2n

x的連續性，若有間斷點，判斷其類型。

四、證明題(每小題9分，2個小題，共計18分)

1．證明：當

0?a?b時,b?ab

?ln

ba

?

b?aa

成立.2．設f(x)在[0,a]連續，在(0,a)內可導，且f(a)?0，證明存在一點

使得3f(?)??f?(?)?0。

?(0,a)，…

………

… _效__…__…__…__…__…__無__…_師…教… … _…__題__…__…__…__…__…名答姓…__…__…__…__…__內__…_號…學…_…__…__以__…__…__…__…__…稱線名…級…班…__…__…__封__…__…__…_ …院…學密………?

答案：

一、填空題(每小題4分，5個小題，共計20分)

1．()

2.43．y???2cos(1?x)?4xsin(1?x)4．?

222

(2x?e)e?4x

x

2x2

(x?0)5． 2

二、選擇題(每小題4分，5個小題，共計20分)

1．C2．A3．D4．D5．B

三、解答題(每小題7分，6個小題，共計42分)

x

x?e?1

2x

?1

1．lim(x?e

x?0xy

2x)sin?lim{[1?(x?e

x?0

2x

?1)]x?e

2x

}

sinx

?e。

xy

2．e(y?xy?)?(y?xy?)cos(xy)?y?，y??

dy

3． y??

t

y(e?cos(xy))

xy

1?x(e?cos(xy))。

dtdxdt

?

t(lnt?1)lnt?1

t

?t。

4．因f(x)具有連續二階導數

則lim

?12

x?0,則f(x)及f?(x),f??(x)在x?0都連續 f?(sinx)?sin2x

4x

f(sinx)x

?lim

x?0

?

lim

f?(sin

x

x)

x?0

lim

f??(sin

x)sin2x?

limf??(sin

x?0

x)??3 f??(0)

x?0

2x

11n?1?5．2?n?2?2???2??n2??，由夾逼準則有n?n?n??n?2?n?n???

n

11?1?

limn?2?2???2?1。?n??n?2?n?n???n??

6．f(x)?lim

1?x1?x

2n2n

n??

??x,|x|?1

?

x??0,|x|?1，?x,|x|?1?

x??1

x??1

x??1

x??1

在分段點x

lim

x??1

?

??1處，因為lim?f(x)?lim?(?x)?1，lim?f(x)?lim?x??1，即

?

f(x)?lim

x??1

f(x),x??1是f(x)的跳躍間斷點（第一類）；

x?1

x?1

x?1

在分段點x

?1

處，因為lim

x?1

?

f(x)?lim?x?1，lim?f(x)?lim?(?x)??1，即limf(x)?limf(x),x?1

x?1

?

x?1

?

是f(x)的跳躍間斷點（第一類）。

四、證明題(每小題9分，2個小題，共計18分)

1．證明:令f(x)?lnx,則f(x)在(0,??)連續,可導

當0?a?b時,對f(x)在[a,b]上應用拉格朗日中值定則至少存在理

??(a,b),使f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)

ba?1

即lnb?lna?ln

?

(b?a)，又a???b且(b?a)?0，則

1b

?

?

?

1a，故：當0?a?b時,b?ab

?ln

ba

?

b?aa

成立.。

2．證明：令F(x)?x3f(x)，因為f(x)在[0,a]連續，在(0,a)內可導，所以F(x)在[0,a]連續，在(0,a)內可導，且F(0)?F(a)?a3?f(a)?0，滿足羅爾中值定理條件，至少存在一點??(0,a)，使得

F?(?)?3?f(?)??f?(?)?0，即3f(?)??f?(?)?0。

第二篇：高等數學上冊

《高等數學》上冊

一、函數與極限

1.函數基本概念—了解

1． 集合及集合的運算

2． 數軸、無窮大和無窮小的幾何表示、區間 3． 常量和變量

4． 函數的定義和函數的表達方式 5． 函數的定義域和函數的計算 6． 基本初等函數

7． 復合函數和初等函數 8． 分段函數

2.函數的極限及運算法則—理解極限的含義，會計算求極限的題目；涉及范圍較廣，高等數學上冊下冊均有求極限的題目，極限的方法是研究函數的工具。（不會涉及證明用極限定義證明極限的題目）

1． 數列及數列極限 2． 函數的極限

3． 無窮大和無窮小的極限表示

4． 無窮大和無窮小的關系及無窮小的性質（運算注意前提條件有限個和無限個的區別）5． 極限的有界性定理及應用

6． 復合函數求極限（變量代換的方法）

3.兩個重要極限（兩個極限的運算法則的條件、推廣和應用）

1． 第一個重要極限

2． 第一個重要極限的應用 3． 第二個重要極限

4． 第二個重要極限的應用（注意：單調 且有界是證明題的關鍵部分）4.無窮小的比較

等價無窮小及其應用

重要部分！5.函數的連續性和間斷點

1． 增量

2． 函數連續的兩個定義 3． 左連續和右連續

4． 函數的間斷點分類（重要，出小題）

5． 連續函數四則運算的連續性（運算法則的條件、推廣和應用）6． 反函數和復合函數的連續性

7． 連續函數的性質（注意：閉區間上連續函數的性質，重要，但一般不單獨出題）一致連續性不用看 練習題一

2.導數與微分（重要,小題必考章節！）1.導數的定義和導數四則運算法則

1． 導數的定義（重要），2． 導數的幾何意義（理解；其中數一數二導數的物理意義；數三，經濟意義、邊際函數、彈性函數）

3． 函數可導性與連續性的關系（必需的！）4． 求導公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函數導數的四則運算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同類型函數的求導法則及高階導數

1． 復合函數的求導法則（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隱函數的求導法則（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 參數方程所確定的函數的求導法則（小題，理解！多元隱函數的求導）4． 高階導數（重要）

3.函數的微分及應用（理解，重要同導數必考，小題）

1． 微分的定義

2． 微分的幾何意義

3． 微分的基本公式和運算法則 4． 復合函數的微分公式

5． 利用微分進行近似計算（除去不用看）練習題二

3.導數的應用（考大題 難題，重要章節！）

1.中值定理和洛必達法則（中值定理包括費馬定理的應用及相關的證明題，必須會做證明題！）

1． 羅爾定理及幾何意義

2． 拉格郎日中值定理及幾何意義

3． 利用拉格郎日中值定理證明不等式

4． 洛必達法則（必考;泰勒公式及其應用，參照張宇的老師的導學或視頻）2.函數的極值和最值（考小題，單調性及極值點、最大值最小值）

1． 函數的單調性及判斷 2． 函數的極值 3． 函數的最值

3.曲線的凸凹性，拐點及函數作圖（考小題，單調性及極值點、凹凸性及拐點、漸近線的定義理解）

1． 曲線的凸凹性及判斷 2． 曲線的拐點 3.曲線的漸近線

4.函數作圖（會大致描繪圖形幫助做題）5.曲率

（了解即可）練習題三

4.不定積分（重要！運算的基礎知識。與數

一、數三相比，數二有可能大題。）

1.不定積分的概念和基本公式

1． 原函數與不定積分（理解原函數）

2． 不定積分的定義（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定積分的性質（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本積分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.換元積分法

1． 換元積分法的引入

2． 第一類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一類換元法的應用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二類換元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二類換元法的應用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部積分法和不定積分技巧的綜合應用

1． 分部積分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被積函數和積分變量的選取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函數的積分（重要，常見的一些題型，基本的運算方法的綜合利用）4.綜合題舉例（積分表不必看）

5.定積分（重要！非常重要，是多元函數的二重積分，三重積分，線面積分的基礎）1.定積分的定義和基本運算

1． 定積分的定義（理解！）

2． 定積分的性質

3． 變上限的積分函數（理解！）

4． 牛頓—萊布尼茲公式 各種題型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定積分的換元法和分部積分法

若不定積分學好，這一部分涉及的計算應該1． 定積分的換元法 很簡單！2． 定積分的分部積分法

3． 利用方程和數列求定積分

常見的各種類型的題目一定要熟悉，再熟悉，3.廣義積分（理解！考小題）再再熟悉，怎么熟悉都不為過！

1． 積分區間為無窮區間的廣義積分 一元函數的極限，導數，微分，不定積分，定2． 被積函數有無窮間斷點的廣義積分（Г積分這是高等數學的基礎，根本所在；然后多函數不用看）元函數（二元函數）的類似運算，只要把定義4.定積分的運用（會應用）相關推理過程理解了，則 自然會有 水到渠成1． 定積分的元素法 效果，難點不再難點！2． 利用定積分求平面圖形面積

3． 利用定積分求體積（數三只看旋轉體 體積）

4.曲線的弧長（數

一、數二公式記住，數 三不考）

第三篇：高等數學自我檢查試題集上冊

高等數學自我檢查試題集

第一部分 高等數學上冊

自我檢查試題一

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 設f(x)的定義域為[1，5)，則f(1?x)的定義域為_________________。2． limarccos（x???2x?1?x)?_____________。

__。3． f?(3)?a,則limf(3?2t)?f(3)

t?__________

t?0

c都是單位向量，b、__4．（不做）已知a、且a?b?c?0，則a?b?b?c?a?c?_

1。

5． 設f?(0)?0,f?(1)?a，則?f?(x)f??(x)dx?__________

0_。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）

1．當x?0時，變量1?cosx是x的（）無窮小。

（A）等價（B）同階但不等價（C）高階（D）低階

2．設f(x)二階可導，且limf(x)

ln(1?xsinx)??3，則f(0)是f(x)的（）。2

x?0

（A）極大值（B）極小值（C）駐點（D）拐點

?1?3．設f(x)??x3

?a,?0?xsinttdt,x?0x?03，當a取（）時，函數f(x)是連續函數。

（A）2（B）1（C）-1（D）0

4．已知曲線y?f(x)在x?1處有水平切線，且f??(1)??2，則曲線y?f(x)在(1,f(1))處的曲率k為（）。

（A）0（B）1（C）2（D）2

5．下列廣義積分發散的是（）。

（A）?dx1

sinx?1（B）??1dx?x2????（C）?e

0?x2dx（D）?2dxxln2x

三、計算題（每小題7分，滿分49分）

1． 求lim（x?01x?1

ex?1)。

2y2． 設y?y(x)是由xy?e?siny所確定的隱函數，求dy

dx。

3． 設F(x)?x?xf(t)dt，其中f(x)在[1,??)內具有一階連續導數，求F??(x)。

4． 求不定積分?

sinxcosx1?sin

x

dx。

12x

45． 已知f?(x)?ln(1?x)，且f(1)??，計算?f(x)dx。

6．（不做）求過點(?1,2,3)垂直于直線

線方程。

7． 設f(x)?

?

y5

?

z6

且平行于平面7x?8y?9z?10?0的直

?

x

e

?t

costdt，試求f(x)在[0,?]上的最大值和最小值。

四、應用題（每小題8分，滿分16分）1． 設平面圖形D由曲線y?x,y?x所圍成，（1）求D的面積；

（2）求D繞x軸旋轉一周所生成的旋轉體的體積Vx。

2． 將長為a的鐵絲分成兩段，一段圍成正方形，一段圍成圓形。問這兩段鐵絲各長為多少時，正方形與圓形的面積之和為最小。

五、證明題（5分）

設f(x)在[0，1]上連續，且f(x)?1，證明：2x?

?

x

f(t)dt?1在[0，1]上有且僅有一根。

自我檢查試題二

一、填空（每小題3分，滿分15分）

1． 若f(x)的定義域為（0，1），則f(e)的定義域為____________________。2． 設f?(a)?1，則lim

x

f(a?3h)?f(a?2h)

h

?_____________。

h?0

3． 曲線y?(x?1)?1的拐點是______________。4． 曲線y?x?4x?3在點(2,?1)處的曲率k?_________

y。

5．（不做）位于yOz平面上的曲線z?e(y?0)繞z軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程是____________________。

二、單項選擇（每小題3分，滿分15分）1．函數f(x)?xx在x?0處（）。

（A）連續且可導（B）連續但不可導（C）可導但不連續（D）不連續也不可導 2．設f(0)?0，且lim

f(x)1?cosx

??3，則f(x)在x?0處（）。

x?0

（A）不可導（B）可導，且f?(0)?0（C）取極大（D）取極小

3．設f(x)??f(?x)對一切x恒成立，且當x?(0,??)時，有f?(x)?0,f??(x)?0，則f(x)在(??,0)內一定有（）。

（A）f?(x)?0,f??(x)?0（B）f?(x)?0,f??(x)?0（C）f?(x)?0,f??(x)?0（D）f?(x)?0,f??(x)?0 4．雙紐線(x?y)?x?y所圍成的區域面積可用定積分表示為（）。

?40

?0

（A）2?cos2?d?（B）4?4cos2?d?

?

（C）2?

cos2?d?（D）

x?52

y?3?2

z?

43?40

?2

(cos2?)d?

5．（不做）設直線L為：??，平面?為：x?2y?5z?11?0，則直線L

與平面?的相互關系是（）。

（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L與π斜交

三、計算題（每小題7分，滿分49分）1． 求極限lim

x?0

x?sinxxtanx。

2． 設f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?2004)，求f?(0)?f(2004)。

?x?ln(1?t2)dydy,3． 設?，求。2dxdx?y?t?arctant

4． 求不定積分?xlnxdx。

5． 求定積分?

x1?

x

dx。

x4

y?33

z?2?2

6． 求過點(1,?2,3)的直線L，使L與z軸相交且與已知直線l1：

??垂直。

7． 曲線y?x與y?x所圍圖形繞y軸旋轉，求旋轉體的體積。

四、應用題（每小題8分，滿分16分）

1． 求曲線y?lnx在區間（2，6）內的一條切線，使得該切線與直線x?2,x?6和曲線y?lnx所圍成的圖形面積最小。

2． 一正圓錐的半徑以5cm/s的速率增加，而它的高以24cm/s的速率減少，求該圓錐在半徑

為30cm，高為70cm時的體積變化率。

五、證明題（5分）

設在[a,b]上，f(x)?0且可導，證明存在??(a,b)，設

f(b)f(a)

f?(?)f(?)

ln?(b?a)。

自我檢查試題三

一、填空（每小題3分，滿分18分）1． 函數y?ln（x?3?

5?x)的定義域為__________________。

2． 若limxn?2，則lim

n??

n??

(xn?xn?1)?__________

_____。

3． 如果連續函數在區間的內部只有一個極大值點，沒有極小值點，那么函數的最______值與

極______值相同。4．

ddx(log

a

x)

?_____________。______

5． ?

1?cosxx?sinx

2-2

dx?__________

?x。

6． ?(x?x)e

dx?_______________。

二、單項選擇（每小題2分，滿分12分）1．（不做）下列陳述中錯誤的是（）。（A）x?y?2z?1圖形是橢球面

（B）(x?1)?(y?1)?4的圖形是母線平行于z軸的圓柱面（C）(x?y)?(y?z)?0的圖形是直線（D）在空間直角坐標系中，x?y

?0的圖形是原點

2．下列各極限中極限值為e的是（）。（A）lim(1?x)

x?0

1?1x

（B）lim((1?

x??

1x)

?x

（C）lim(1?x)

x?0

?x

（D）lim(1?x)

x?0

?x

?1

?sinx,3．設函數f(x)??x

??a,x?0x?0

在(??,??)處處連續，則a?（）。

（A）0（B）1（C）?1（D）

24．在區間[?1,1]上滿足拉格朗日中值定理條件的函數是（）。

（A）y?ln(x?1)（B）y?

sinxx

（C）y?x

?1（D）y?x

5．設在區間I上g(x)?G?(x)，則在I上?g(x)dx?（）。

（A）G(x)（B）G(Cx)（C）G(x)?C（D）CG(x)

sinx

6．設f(x)是連續函數，且

?

f(t)dt?x,x?(0,?2)，則f（22)?（）。

（A）1（B）

（C）2（D）22

三、計算題（每小題7分，滿分49分）1． 求lim

e

x

?e

?x

x?0

xsinxxx?

1。

1lnx

2． 求lim（x?1

?

?)。

3． 設x?1?t,y?t?t，求

?x

dydx。

4． 求曲線y?xe在其拐點處的曲率。

?xe?x,?

5． 設函數f(x)??1,?1?cosx?

x?0?1?x?0

z1，計算?f(x?2)dx。

6． 求過兩平行直線7． 設f(x)?

x?33

?

y?2?2

?和

x?33

?

y?4?2

?

z?11的平面方程。

?

x

11?t

dt，求?f?(x)dx。

四、應用題（每小題8分，滿分16分）

1． 一位飛機觀察員觀察到一架飛機正在1143m的高度向他飛來，仰角為30，并以3/s的速

度增加，問飛機的地面速度是多少？

2． 設圖形由y?x?3x?3與y?1圍成，求面積S，并求其繞y軸旋轉一周所形成的封閉立體的體積。

五、證明題（5分）

設f(x)在[0，1]上連續，且f(0)?0,使得?f(x)dx???f(?)。

?

?

?

f(x)dx?0。證明在（0，1）內至少存在一點?，?

第四篇：高等數學上冊總結

《工程應用數學A》課程總結

無論我們做什么事都要不斷地思考，不斷地總結，學習也是這樣，所以這次就借此機會對于這一學期所學內容進行一次總結，也算是對自我的一次思考。

一、課程主要知識

本課程主要以函數為起始，然后引出極限的定義以及極限的應用。然后以極限為基礎介紹導數，微分。在微分中主要講了一些求微分的定理，例如拉格朗日中值定理，柯西中值定理等等。其次講了函數微積分，重點講了一些求積分的方法，例如換元積分法，分部積分法。最后學習微分方程，這一塊可以說是比較難的一章，什么一階微分方程，二階微分方程，二階常系數齊次線性微分方程等等，計算量也比較大。所以總的來說全書的知識點都是相連起來的。后面知識總是以前面所學知識為基礎，一層一層展開的。

二、個人學習心得體會

其實不瞞老師，我高中的時候數學不是太好，平時考試數學有就有點拖后腿，而且我高考數學只考了70多分。有一天老師說，高考沒及格的同學數學一定要好好學，否則極有可能掛科。當時，我還不相信，至少認為這種事不會發生在我身上。自己平時在數學上多少也花了點功夫。可以說做的準備工作比高中還多。基本上在每次上課前

都能預習，課上也認真聽，而且課也差不多都能聽懂，作業也都是自己獨立完成的。我想及格應該不是問題，但后來的第一次過程考核，我才發現差距在哪，題目基本上不怎么會寫，而且后來成績出來，剛好考了60分。當時心就碎了。感覺落差好大。于是感嘆“高樹”太高了！我想是不是我題目做少了，難道說大學學數學也要用題海戰術嗎？可是我看班里有些同學平時上課也不聽，作業基本靠抄，有事沒事就拿著手機看電子書，但是考試卻比我高，我就很郁悶，難道是他們比我聰明還是他們另有技巧？

經過一段時間的學習之后，我發現課前預習很重要。課前預習能夠讓你上課更有效率，也不會那么累。老師上課在黑板上的板書很多都是書上的。如果你課前預習了，就會知道老師說的在哪，書上有沒有，記筆記的時候就可以抓住重點。不用完整地抄下來。但是你不預習的話，因為不知道書上有沒有或是哪里是重點就得全部抄下來，很浪費時間，這樣一來一節課就全部用在記筆記上了，根本沒什么時間去聽課，上課也就不會有效率。所以課前預習很重要。其次必要的練習也不可缺少。比如說上課老師說的定理不太懂，這時候就需要用練習來加強對知識的理解。

三、本課程對個人的影響

高等數學在整個大學的學習過程中占有一定的重要地位，它不僅對以后將會學到的線性代數和概率統計有影響，而且還是考研必考的科目。對于我們網絡工程專業準備考研的同學來說，這絕對是一個重

頭戲。對于不準備考研的同學來說，也有一定的影響，它可以培養我們的邏輯思維能力、計算能力，使我們的思維更縝密。數學是科學之母，任何學科的發展都離不開它。所以高數一定要學好。

四、總結

學習如逆水行舟不進則退，對于高數這門課程尤其是這樣。因為只要你一節課沒跟上就會步步跟不上，所以高數的學習不能放松，必須抓緊。相信我能學好！一定可以的！

第五篇：高等數學上冊復習

第一章復習提要 第一節 映射與函數

1、注意幾個特殊函數：符號函數，取整函數，狄利克雷函數；這些函數通常用于判斷題中的反例

2、注意無界函數的概念

3、了解常用函數的圖像和基本性質（特別是大家不太熟悉的反三角函數）第二節 數列的極限 會判斷數列的斂散性 第三節 函數的極限

1、函數極限存在的充要條件：左右極限存在并相等。（重要）

2、水平漸近線的概念，會求函數的水平漸近線（p37）。（重要）

3、了解函數極限的局部有界性、局部保號性。第四節 無窮大和無窮小

1、無窮小和函數極限的關系：limf(x)?A?f(x)?A??，其中?是無窮小。

x?x0x??

2、無窮大和無窮小是倒數關系

3、鉛直漸近線的概念（p41）, 會求函數的鉛直漸近線

4、無界與無窮大的關系：無窮大一定無界，反之不對。

5、極限為無窮大事實上意味著極限不存在，我們把它記作無窮大只是為了描述函數增大的這種狀態 第五節 極限的運算法則

1、極限的四則運算法則：兩個函數的極限都存在時才能用。以乘法為例比如f(x)?x,g(x)?但是limf(x)?g(x)?1

x?01。limf(x)?0，limg(x)??。xx?0x?02、會求有理分式函數

p(x)的極限（P47 例3-例7）（重要）q(x)x?x0時:若分母q(x0)?0，則極限為函數值

0型極限，約去公因子 0 若只是分母為零，則極限為無窮大。（p75頁9（1））

x??時，用抓大頭法，分子、分母同時約去x的最高次冪。第六節 極限存在的準則，兩個重要極限（重要）

1、利用夾逼準則求極限： 例 p56也習題4（1）（2），及其中考試題（B）卷第三題（1）

2、利用兩個重要極限求其他的極限（p56習題2）

1sinxsinx?0；lim?1 3 注意下面幾個極限：limxsin?0；limx?0x??x?0xxx第七節 無窮小的比較（重要）

1、會比較兩個無窮之間的關系（高階、低階、同階，k 階還是等價窮小）若分子和分母同時為零，則為

x22、常見的等價無窮小：sinx,tanx,arcsinx~x；1?cosx~

2ex?1~x；(1?x)~1nx n13、若?(x)為無窮小，則sin?(x)~?(x)，(1??(x))n~?(x)n，ln(1??(x))~?(x)，e?(x)?1~?(x)。

4、替換無窮小時必須是因式

x?0limtanx?sinxx3?limx?x3x?0x?0

應該

x2xtanx?sinxtanx(1?cosx)1lim?lim?lim2?

2x?0x?0x?0x3x3x35、會利用等價無窮小計算極限（p60頁習題4）

第八節 函數的連續性與間斷點（重要）

1、函數在點x0連續 ?limf(x)?f(x0)

x?x0?左連續limf(x)?f(x0)且

x?x?0f(x)?f(x0)

右連續lim?x?x02、會判斷間斷點及其類型。討論分段函數的連續性。

3、f(x)在點a連續?f(x)在點a連續；但反之不對。

第九節 連續函數的運算與初等函數的連續性

初等函數在其定義域上都是連續的，因而求某點處極限時可以直接把點代入求值。

4.注意三個例題：例6-例8（重要）

5、冪指函數u(x)v(x)求極限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)來求。（重要）

6、若含有根式，則分子或者分母有理化（p75頁9（2））是求極限的一種重要方法。（重要）

7、利用分段函數的連續性求未知數的值（如p70頁 6）（重要）第十節 閉區間上連續函數的性質

最大值最小值定理、零點定理、介值定理的內容 會零點定理證明方程根的存在性。（重要）補充說明 請熟悉函數e當x?0?,x?0?,x??時的極限。第二章復習提要

1、導數的定義

（1）利用導數的定義求一些極限的值：例如P86頁第6題 例

1、設f(0)?0,f?(0)?k0,則limf(x)?____.x?0x1x例

2、設f?(x0)存在，則limf(x0?h)?f(x0)?________.（重要）

hh?0（2）利用左右導數討論函數的可導性：P125頁第7題

?sinx,x?0例

3、已知f(x)??，求f?(x)

?x,x?0注意分點處的導數應該用定義來求。（重要）

（3）利用左右導數求未知數的值：P87頁第17題（重要）

?sinx,x?0例

4、設f(x)??為可導的，求a的值

ax,x?0?（4）利用導數幾何意義求切線和法線方程（重要）

（5）可導?連續，反之不成立！

2、求導法則

（1）復合函數求導不要掉項；

（2）冪指函數u(x)v(x)?ev(x)lnu(x)轉化成指數來求導

3、高階導數

（1）一般的函數求到2階即可；（2）幾個初等函數的n階導數：

??(eax)(n)?aneax；y(n)?sin(x?n)；(cosx)(n)?cos(x?n)

22[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(n?1)!(1?x)n，(n?1)!(1?x)n[ln(1?x)](n)?(?1)n?1(?1)n(n?1)!(1?x)n??

由上面的求導公式我們容易推出下列求導公式：

1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?(?1)nn?11?x(1?x)1(n)n!()?[ln(1?x)](n?1)?n?11?x(1?x)(1(n)n!)?[ln(a?x)](n?1)?(?1)nn?1a?x(a?x)1(n)n!)?[ln(1?x)](n?1)?n?1a?x(a?x)((3)二項式定理

(uv)(n)(n?k)(k)??Ckuv nk?0n（4）間接法求高階導數：

1?x2例

5、求y?的n階導數：提示y??1?。

1?x1?x（5）注意下列函數的求導

例

6、求下列函數的二階導數：P103頁第3題（重要）（1）y?f(x2)；（2）y?ln[f(x)]

4、隱函數及參數方程求導（重要）（1）一般方法，兩邊對x球到后解出

dy。dx（2）會求二階導數

（3）對數求導法適用于冪指函數和連乘或連除的函數（4）注意參數方程二階導數的公式

dydyd()2()?tdydtdx。（重要）??dxdx2dtdxdxdt（5）相關變化率問題：

根據題意給出變量x和y之間的關系；

?

兩邊對t（或者是其他變量）求導

?

dydx和之間的關系，已知其中一個求另外一個。dtdt5、函數的微分

（1）微分與可導的關系：可微?可導且dy?f?(x)dx（2）利用微分的形式不變性求隱函數或顯函數的微分： 顯函數的例子見課本的例題；下面給出隱函數的例子 例

7、設ysinx?cos(x?y)?0,求dy。解: 利用一階微分形式不變性 , 有

d(ysinx)?d(cos(x?y))?0

sinxdy?ycosxdx?sin(x?y)(dx?dy)?0

dy?ycosx?sin(x?y)dx。

sin(x?y)?sinx（3）近似計算公式：注意x0的選取原則。(一般不會考)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

第三章：微分中值定理與導數的應用復習提要 3.1 微分中值定理（重要）

羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理應用： 證明等式，一般通過證明導數為零

證明不等式：若不等式中不含x，則取x作為輔助函數的自變量；若含有x，則取t作為輔助函數的自變量。（重要）

判斷方程的根（存在性用零點定理，唯一性或判斷根的個數用中值定理，有時還要結合單調性，見153也習題6）（重要）

利用輔助函數和中值定理證明等式（一個函數用拉格朗日，二個用柯西）例1 設函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，且f(1)?0，證明至少存在一點??(0,1)使得f?(?)??2f(?)?。

證明：上述問題等價于?f?(?)?2f(?)?0。

令f(x)?x2f(x)，則f(x)在[0,1]上滿足羅爾定理條件，于是少存在一點??(0,1)使得

??(?)?2?f(?)??2f?(?)?0 即有?f?(?)?2f(?)?0。

（5）請熟悉132頁例1.3.2 洛必達法則（重要）

（1）(其他類型的未定式)最終轉化成0?型和型未定式 0?（2）每次用前需判斷

（3）結合等價無窮小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各階導數代入公式即可；

（2）常見函數ex,ln(1?x)，sinx,cosx的麥克勞林公式 3.4 函數的單調性和凹凸性（1）會用列表法求函數的單調區間和凹凸區間（注意一般是閉區間），拐點。注意不要漏掉導數不存在的點也可能是單調區間的分點； 二階導數不存在的點也可能是拐點。（2）利用單調性證明不等式（重要）（3）利用單調性判斷方程的根（重要）3.5 極值和最值（重要）

（1）列表法求極值（極值可能點為駐點或不可導點）（2）最值（找出極值可能點再與端點比較）

（3）對于時間問題，若極值點唯一，則也為最值點。3.6 函數圖形的描繪 注意漸近線 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半徑的計算公式（重要）第四章復習提要

4.1 不定積分的概念和性質

1、基本積分表

?

2、公式?f(x)dx?f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C ??

3、注意如下問題：（填空、選擇、判斷）若e?x是f(x)的原函數，則?x2f(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函數，則?12x?C 2f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的導數為sinx，則f(x)的一個原函數是（B）。A 1?sinx;B 1?sinx;C 1?cosx;D 1?cosx

4.2 換元積分法（重要）

1、第一換元法的原理：?g(x)dx

把被積函數g(x)湊成g(x)?f(?(x))??(x)的形式，因而這種方法也稱為湊微分法。

2、一些規律： ①?f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b)

a?a?②?f(ax?b)dx?1③?f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x④?sin(2k?1)xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx ⑤?cos(2k?1)kxsinxdx??cosxsinxcosxdx??(1?sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：?sin(2k?1)xdx和?cos(2k?1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥?sin2kxcos2nxdx用公式sin2x?⑦?tanxsecn2k?2n2k1?cos2x1?cos2x和cos2x?降次。22n2kxdx??tanxsecxdtanx??tanx(1?tanx)dtanx

注?sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧?csc2k?2xdx??csc2kxcsc2xdx???(1?cot2x)dcotx

⑨?tan(2k?1)xsecnxdx??tan2kxsecn?1xdsecx??(sec2x?1)secn?1xdsecx ⑩利用積化和差公式：

1cosAcosB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

21sinAcosB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21cosAsinB?[sin(A?B)?sin(A?B)]

21sinAsinB?[cos(A?B)?cos(A?B)]

2第二換元法

被積函數中含有a2?x2，利用代換x?asint,t?(?被積函數中含有a2?x2，利用代換x?atant,t?(?kk??,)22,)22??被積函數中含有x2?a2，利用代換x?asect,t?(0,?)（一般要分情況討論）被積函數為分式，分母次數比分子次數高，到代換 利用下列積分公式：

⒃?tanxdx??ln|cosx|?C；⒄?cotxdx?ln|sinx|?C

⒅?secxdx?ln|secx?tanx|?C；⒆?cscxdx?ln|cscx?cotx|?C ⒇?dx1xdx1x?a?arctan?C；（21）?ln?x2?a22ax?a?C aa2?x2a（22）?xdx?arcsin?C；?ln(x?a2?x2)?C（23）?ax2?a2a2?x2dx（24）?dxx2?a2?lnx?x2?a2?C

4.3 分部積分法（重要）

1、分部積分公式：?udv?uv??vdu

2、u的選取原則：反?對?冪?指?三。

這個原則不是絕對的，如通常?exsinxdx??sinxdex。

3、如果遇到反三角函數和對數函數的高次冪，通常先換元更容易算。如?(arcsinx)2dxarcsinx?t?t2dsint；

ln2x2?ttdxlnx?t?edt ?x2遇到根式ax?b，先令t?ax?b去根號。會做形如例7、8那樣具有典型特點的題目。

4.4 有理函數的積分（重要）

1、P(x)，先用多項式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、對Q(x)分解因式，根據分解結果用待定系數法確定x?1x?1AB??：應設

(x?2)(x?3)(x?2)(x?3)x?2x?3 ?x?2x?2ABx?C：應設 ???(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)(2x?1)(x2?x?1)x?2x?2ABx3?Cx2?Dx?E?(2x?1)(x2?x?1)2：應設(2x?1)(x2?x?1)?(2x?1)?(x2?x?1)2

原則就是分子的次數總是要比分母低一次。

3、三角函數可以通過如下換元法轉化為有理函數的積分

xxx2tan1?tan22tan2；cosx?2；tanx?2 sinx?xxx1?tan21?tan21?tan2222x令tan?t，則三角函數就轉化成為有理函數

24.被積函數含有nax?b或nax?bcx?d，則令t?nax?b或t?nax?bcx?d 幾個典型題目 P207頁（42）?x?1dxdx，（43）?x?1?x2P211頁例7、8 x2?2x?3補充說明：這一章的內容需要大家在掌握一定規律的前提下多做練習，方能取得比較好的效果 第五章：定積分

5.1 定積分的概念和性質

1、定積分的定義：?f(x)dx?lim?f(?i)?xi

abni??02、定積分的幾何意義：曲邊梯形的面積

3、定積分的性質：利用定積分的性質判斷積分的取值范圍或比較兩個積分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微積分基本公式

1、y?f(x),a?x?b的積分上限的函數（重要）

?(x)??xaf(t)dt,a?x?b

及其導數：（如p243,5題）（1）??(x)?f(x)

d?(x)f(t)dt?f(?(x))??(x)?adxda（3）?f(t)dt??f(?(x))??(x)

dx?(x)d?(x)（4）?f(t)dt?f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)

dx?(x)

2、利用上面的公式計算極限、判斷函數單調性等： 相應例題（p242,例7，8），相應習題（p243-244:習題9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛頓-萊布尼茨公式：函數F(x)為函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則

?baf(x)dx?F(b)?F(a)，記作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函數(或者帶絕對值的函數)的積分應為分段積分的和：典型題目p244，習題10.5.3 定積分的換元法和分布積分法（重要）

1、第一換元公式：?f[?(x)]??(x)dt??f(t)dt

ab??

2、第二還原公式：?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt

ab??注意：一般來說應用第一換元公式，我們一般不需要把新變量寫出來，因而也就

?cos?2不需要寫出新變量的積分限，如?cossinxdx??? 但是應用第二換元?。

3??0公式，一般要寫出新變量及其積分限，如

202??3?a??asinta2?x2dx(a?0)?x???a2?2cos2tdt

003、分布積分公式：?u(x)dv(x)??u(x)v(x)?a??v(x)du(x)

baabb說明：無論是還原法還是分布積分法，定積分和不定積分的計算過程都是相似的。

4、利用下面的公式能幫助我們簡化計算：（重要）（1）偶倍寄零

?0?0（2）?2f(sinx)dx??2f(cosx)dx（3）?xf(sinx)dx?0??2??0f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）設f(x)是周期為T的連續函數：則

?a?Taf(x)dx??f(x)dx；?0Ta?nTaf(x)dx?n?f(x)dx(n?N).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9這樣的積分。5.4 反常積分

1、無窮限的反常積分：設F(x)是f(x)的原函數，引入記號

F(??)?limF(x);F(??)?limF(x)

x???x???則

????a???f(x)dx?F(x)|?a??F(??)?F(a)；??f(x)dx?F(x)|?????F(??)?F(??).b??f(x)dx?F(x)|b????F(b)?F(??)；

??反常積分收斂意味著相應的F(??),F(??)存在；特別的積分?F(??),F(??)同時存在。

????f(x)dx收斂必須注意：對于無窮限積分來說，偶倍寄零原則不在成立！

2、無界函數的反常積分（瑕積分）：設F(x)是f(x)的原函數，則 若b為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a)；

bab若a為瑕點，則?f(x)dx??F(x)?a?F(b)?F(a?)；

bab若a,b都為瑕點，?f(x)dx ??F(x)?a?F(b?)?F(a?)；

bab則c?(a,b)為瑕點，則?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??F(x)?c。a??F(x)?caacbcbb反常積分收斂意味著相應的F(a?),F(b?)存在；特別的積分?f(x)dx（c?(a,b)ab為瑕點）收斂必須F(c?),F(c?)同時存在。

說明：由上面的公式看出，反常積分與定積分的計算方法是一樣的。都是先求原函數然后代入兩個端點，只是對于非正常點（如?和瑕點）算的是函數的極限。

3、換元法也適用于反常積分

4、會利用下面的兩個重要反常積分來討論一些函數的收斂性（重要）

???ap?1???,dx???(a?0)1,p?1xp?p?1?(p?1)a?(b?a)1?qb,q?1dx?? 1?q?a(x?a)q????,q?1?練習：p260,2題；求積分?bdx的收斂性。

b(x?b)qa5、遇到形如?f(x)dx積分時，注意[a,b]是否含有瑕點。否則會得到錯誤的結果：

adx。?1x第六章 定積分的應用

6.2 定積分在幾何學上的應用

1、平面圖形的面積（直角坐標系和極坐標下）（重要）

2、體積（特別是旋轉體的體積）（重要）

3、三個弧長公式（重要）

6.3 定積分在物理學上的應用（做功、水壓力重要，引力了解）如?1