第一篇：高等數學下冊考試提綱

高等數學下冊考試提綱一、二元函數求極限

二、求向量投影，已知一定條件求平面方程

三、求方向導數最大值（梯度的模），隱函數求一階偏導，多元抽象復合函數求二階偏導四、二元分段函數在分界點連續，偏導數、可微性判斷

五、交換二重積分次序；二重積分在直角坐標計算六、三重積分計算（球面坐標）

七、第一類曲線積分計算；第二類曲線積分計算（利用曲線積分與路徑無關或格林公式）

八、第一類曲面積分計算；第二類曲面積分計算（利用高斯公式）

九、求數項級數的和；求冪級數的收斂域與和函數

十、數項級數斂散性判斷；利用比較法證明數項級數收斂

十一、利用條件極值求最大、最小值在幾何上的應用題

第二篇：《高等數學》考試大綱

《高等數學》考試大綱

――各專業（工科及管理類專業）適用

1.極限與連續

數列極限和函數極限的概念和性質，函數的左、右極限概念，無窮小的概念及性質，無窮小與無窮大的關系，無窮小的比較，極限的四則運算，極限存在準則與兩個重要極限，利用存在準則1及兩個重要極限求極限。函數連續的概念及運算，函數間斷點及其分類，初等函數的連續性，利用初等函數的連續性求極限，閉區間上連續函數的性質。

2.導數與微分

導數的概念，幾何意義，可導與連續的關系，基本初等函數的導數公式，導數的四則運算，反函數的導數，復合函數的求導法則，隱函數的求導方法，對數求導法，高階導數及其計算。微分的概念，微分基本公式，微分運算法則，微分形式不變性，微分的計算。

3.中值定理及其導數應用

羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，利用洛必塔（羅彼塔）法則求極限。函數單調性的判別法，函數單調區間的求法及利用單調性證明不等式，函數取極值的判別法及極值求法，函數最大值與最小值的求法，最值應用。曲線的凹（上凹）、凸（下凹）的判別法，曲線凹（上凹）、凸（下凹）區間及拐點的求法。

4.不定積分

原函數和不定積分的概念，不定積分的基本性質，基本積分公式，不定積分的第一、第二換元積分法，分部積分法，簡單有理函數及無理函數的不定積分求法。

5.定積分

定積分概念和性質，變上限函數及其導數，牛頓－萊布尼茲公式，定積分的換元積分法，分部積分法。

6.定積分應用

平面圖形面積及旋轉體體積的求法。

教材：

1、高等數學上：第一章至第六章，第五版，同濟大學應用數學系編，高等教育出版社。

2、高等數學上：第一章至第六章，第六版，同濟大學應用數學系編，高等教育出版社。

3、經濟應用數學系列教材－微積分：第一章至第六章，修訂本，趙樹源主編，中國人民大學出版社。

第三篇：廣工高等數學A下冊考試大綱

高等數學A考試大綱

一、向量在另一向量上的投影，直線與平面關系。

二、二元函數極限計算

三、求方向導數，求偏導數，隱函數求二階偏導，求曲面的切平面或法線方

程，二元函數最大最小值應用題

四、交換二次積分次序，二重積分計算（直角坐標，極坐標）

五、傅里葉級數系數計算，數項級數斂散性判定，利用冪級數和函數求數項

級數和

六、曲線積分與路徑無關條件，格林公式計算曲線積分，高斯公式計算曲面

積分

第四篇：高等數學下冊總復習

高等數學下冊總復習資料

高等數學下冊總復習

〈一〉內容提要

第八章 空間解析幾何與向量代數

1．直角坐標系

（1）坐標軸、坐標面上點的特征；

（2）關于坐標平面、坐標軸、坐標原點的對稱點；（3）空間兩點間的距離公式 2．向量的概念：

?（1）即有大小又有方向的量叫做向量(或失量)，記為a或AB。

（2）向量的坐標表示：點P(x,y,z),則向量OP正向上的單位向量。

若A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，則AB={x2?????{x,y,z}?xi?yj?zk。其中i、j、k為三個坐標軸

????x1，y2?y1，z2?z1?}。

ax?ay?az222（3）向量a的長度叫向量的模，記為|a|：設a=?a?時，這個向量叫單位向量；與向量a???,a,a|a|=，則xyz?a=?|a|。當向量的模為

1?同方向的單位向量為a0。

（4）向量的方向余弦：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角的余弦叫該向量的方向余弦。設?a=?ax,ay,az?，則

?a?cos???x??|a|?ay?? ?cos????|a|??a?cos???z??|a|??axax?ay?azaya2x222

2y?aaz?a2zax?ay?az222且cos2??cos2??cos2??1，即由非零向量a的三個方向余弦構成的向量?cos??,cos?,cos??是與a?同方向的單位向量。

3．向量的運算

設a=?a???b,a,a，xyz=?bx,by,bz?，則

（1）數乘運算：ka???ka??x,kay,kaz?；

?；（2）加減運算：a?b?ax?bx,ay?by,az?bz?1

??（3）數量積：a?b?????=|a||b|cos(a,b)=axbx?ayby?azbz。

??（4）向量積： a?b?i?jayby?kazbz=axbx

兩個非零向量a與b相互垂直?a?b=0；兩個非零向量a、b平行?a?b=0?分量成比例）。

?兩個向量a?????????axbx?ayby?azbz（即對應?與b???的夾角：cos(a,b)??a?b=??|a||b|=

a2xaxbx?ayby?azbz?a2y。

?2bz?a2z2bx?b2y4．平面方程

（1）平面的點法式方程

?設平面過點M0(x0,y0,z0)，n（2）平面的一般方程

?{A,B,C}是平面的法向量，則平面的點法式方程為

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0。

Ax?By?Cz?D?0。

?在平面的一般式方程中，以x、y、z的系數A、B、C為分量的向量就是平面的法向量n；反之平面的?法向量n的三個分量就是三元一次方程中x、y、z的系數。

（3）特殊的平面方程 在平面的一般方程中，①若D=0，則平面過原點；

②缺少一個變量，則平面平行于所缺變量代表的坐標軸，如平面2x?3z?5?0平行于y軸； ③僅有一個變量，則平面垂直于這個變量代表的坐標軸，如平面3z?5?0垂直于z軸。5．直線的方程

?（1）直線的點向式方程：已知直線L過點M0(x0,y0,z0)，且方向向量為s={m,n,p}，則直線方程為：

x?x0m?y?y0n?z?z0p

（2）直線的一般式方程 ??A1x?B1y?C1z?D1?0?A2x?B2y?C2z?D2?0。

?i?jB1B2?kC1C2直線的一般式方程與直線的點向式方程可以互化，其中 s??A1A2。

6．常用二次曲面的方程及其圖形： 球面(x?橢球面 xax0)222?(y?y0)222?(z?z0)2?R2

?yb??x22zc?22?1 y22橢圓拋物面 zab(當a?b時為旋轉拋物面)2

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橢圓錐面 z2?xa22?yb22（當a?b時為圓錐面）

母線平行于坐標軸的柱面方程：方程中僅含二個變量的方程為母線平行于所缺變量代表的坐標軸的柱面方程。如f(x,z)?0為母線平行于y軸的柱面方程。

以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面方程：某坐標面上的曲線繞其中一個坐標軸旋轉時，所得旋轉面的方程是：將曲線方程中與旋轉軸相同的變量不變，而將另一變量變為其余兩個變量平方和的正負平方根。如：yoz面上的曲線f(y,z)?0繞z軸旋轉的曲面方程為

f(?x2?y,z)?02。

7．空間曲線在坐標面上的投影曲線 空間曲線??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0在xoy面上的投影曲線方程。將空間曲線??G(x,y)?0?z?0?F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0一般方程中的變量z消去所得的含x、y的方程G(x,y)?0，則 ??F1(x,y,z)?0?F2(x,y,z)?0

為空間曲線? 在xoy面上的投影曲線方程。在其它坐標面上的投影曲線方程可類似求得。

第九章 多元函數微分法及其應用

一、基本概念 1．多元函數

（1）知道多元函數的定義

n元函數：y?f(x1,x2,?,xn)

（2）會求二元函數的定義域

1°：分母不為0； 2°：真數大于0；

3°：開偶次方數不小于0；

4°：z?arcsinu或arccosu中|u|≤1（3）會對二元函數作幾何解釋 2．二重極限

limf(x,y)?Ax?x0y?y0這里動點(x,y)是沿任意路線趨于定點(x0,y0)的．，（1）理解二重極限的定義

（2）一元函數中極限的運算法則對二重極限也適用，會求二重極限；（3）會證二元函數的極限不存在（主要用沿不同路徑得不同結果的方法）． 3．多元函數的連續性

（1）理解定義：limf(P)?f(P0)．

P?P0（2）知道一切多元初等函數在其定義域內連續的結論；

（3）知道多元函數在閉區域上的最大最小值定理、介值定理。

二、偏導數與全微分 1．偏導數

（1）理解偏導數的定義（二元函數）

?z?x?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

?z?y?lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y

（2）知道偏導數的幾何意義以及偏導數存在與連續的關系．（3）求偏導數法則、公式同一元函數． 2．高階偏導數

（1）理解高階偏導數的定義．（2）注意記號與求導順序問題．

（3）二元函數有二階連續偏導數時，求導次序無關：3．全微分

（1）知道全微分的定義

若?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示成A??x?B??y?o(?)，則z?f(x,y)在點(x0,y0)處可微；稱A??x?B??y為此函數在點(x0,y0)處的全微分，記為dz?A??x?B??y．

?z?x?y2??z?y?x2．

（2）知道二元函數全微分存在的充分必要條件：

函數可微，偏導數必存在；（A??z?x，B??z?y；dz??z?xdx??z?ydy）

偏導數存在，不一定可微（?z?dz是否為o(?)）． 偏導數連續，全微分必存在．

三、多元復合函數與隱函數求導法則 1．多元復合函數的求導法則（1）?z?x??z?u??u?x??z??v?v?x

?z?y??z?u??u?y??z?v?y??v

（2）對于函數只有一個中間變量的二元函數或多個中間變量的一元函數（全導數）的求導法要熟練掌握．（3）快班學生要掌握多元復合函數（主要是兩個中間變量的二元函數）的二階偏導數的求法． 2．隱函數的求導公式（1）一個方程的情形

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若F(x,y)?0確定了y?y(x)，則

dydx??FxFy；

若F(x,y,z)?0確定了z?z(x,y)，則（2）方程組的情形

?z?x??FxFz，?z?y??FyFz．

?F?Fy?x?F(x,y,z)?0?y?y(x)若?能確定?，則由 ??G(x,y,z)?0?z?z(x)?Gx?Gy???dydxdydx?Fz??Gz?dzdxdzdx?0?0

可解出dydx與dzdx；

若??F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0確定了u?u(x,y)，v?v(x,y)，象上邊一樣，可以求出

?u?x，?v?x及

?u?y，?v?y．

四、多元函數微分法的應用

1．幾何應用

（1）空間曲線的切線與法平面方程

1°：曲線?：x??(t)，y??(t)，z??(t)，t?t0時，?上相應點(x0,y0,z0)處： 切線方程：x?x0?y?y0?z?z0??(t0)??(t0)??(t0)

法平面方程：??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0 2°：曲線?：??y??(x)?z??(x)，則點(x0,y0,z0)處

z?z0切線方程：x?x01?y?y0??(x0)???(x0)

法平面方程：(x?x0)???(x0)(y?y0)???(x0)(z?z0)?0 3°：曲線?：??F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0，則點P(x0,y0,z0)處

y?y0z?z0FxGxFyGyP切線方程為 x?x0FyGyFzGzP?FzGzFxGxP?

法平面方程：FyGyFzGzP?(x?x0)?FzGzFxGxP?(y?y0)?FxGxFyGyP?(z?z0)?0

（2）空間曲面的切平面與法線方程

1°：曲面?：F(x,y,z)?0，點(x0,y0,z0)處

切平面方程：Fx(x0,y0,z0)?(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)?(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)?(z?z0)?0 法線方程：x?x0Fx?y?y0Fy?z?z0Fz

2°：曲面?：z?f(x,y)，在點(x0,y0,z0)處

切平面方程：z?z0?fx(x0,y0)?(x?x0)?fy(x0,y0)?(y?y0)法線方程：2．極值應用

??z?0???x（1）求一個多元函數的極值（如z?f(x,y)）：先用必要條件?，求出全部駐點，再用充分條件求

?z?0????yx?x0fx?y?y0fy?z?z0?1

出駐點處的zxx，zyy與zxyAC?BAC?B2

；?0，A?0時有極大值，A?0時有極小值； ?0時無極值． 2（2）求最值

1°：純數學式子時，區域內駐點處的函數值與區域邊界上的最值比較； 2°：有實際意義的最值問題．（3）條件極值

求一個多元函數在一個或m個條件下的極值時，用拉格朗日乘數法．

如：u?f(x,y,z)在條件?1(x,y,z)?0與?2(x,y,z)?0下的極值時，取

F(x,y,z;?1,?2)?f(x,y,z)??1?1(x,y,z)??2?2(x,y,z)

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?Fx?F?y?解方程組?Fz???1???2?0?0?0，求出x，y，z ?0?0則(x,y,z)就是可能的極值點；再依具體問題就可判定(x,y,z)為極大（或極小）值點．

第十章

重積分一、二重積分

n1． 定義：??f(x,y)d??limD??0?f(?i,?i)???i

(n??)i?12． 幾何意義：當f(x,y)≥0時，??f(x,y)d?表示以曲面z?f(x,y)為頂，以D為底的曲頂柱體體積．

D物理意義：以f(x,y)為密度的平面薄片D的質量． 3． 性質

1°：??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?

DD2°：??[f(x,y)?g(x,y)]d??D??Df(x,y)d????Dg(x,y)d?

3°：若D?D1?D2，則??f(x,y)d??D??D1f(x,y)d????D2f(x,y)d?

4°：f(x,y)?1時，??f(x,y)d???D

D5°：若在D上?(x,y)≥?(x,y)，則

???(x,y)d?D≥???(x,y)d??D??Df(x,y)d?≥

??Df(x,y)d?

6°：若f(x,y)在閉區域D上連續，且m≤f(x,y)≤M，則

m??D≤??f(x,y)d?≤M??DD

7°：（中值定理）若f(x,y)在閉區域D上連續，則必有點(?,?)?D，使

??Df(x,y)d??f(?,?)??D

4． 二重積分的計算法（1）在直角坐標系中

1°：若積分區域D為X?型區域

a?x?b? D：??(x)?y??(x)2?1yy??2(x)y??1(x)OaXbx則化為先y后x的二次積分：

?型區域??Df(x,y)dxdy??badx???2(x)1(x)f(x,y)dyy

?c?y?ddx??1(y)x??2(y)2°：若積分區域D為Y?型區域D：?則化為先x后y的二次積分：

??1(y)?x??2(y)

cxY?型區域??Df(x,y)dxdy??dcdy???2(y)1(y)f(x,y)dx

（2）在極坐標系中

f(x,y)?f(rcos?,rsin?),d??rdrd?

??????1°：極點在D外：D：?

??1(?)?r??2(?)?O?極點在D外r則有??f(x,y)d??D???d????2(?)1(?)f(rcos?,rsin?)?rdr

???????2°：極點在D的邊界上：D：?

?0?r??(?)?O極點在D的邊界上r則有??f(x,y)d??D???d???(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

3°：極點在D內：D：??0???2??0?r??(?)d?

Or則有??f(x,y)d??D?2?0??(?)0f(rcos?,rsin?)?rdr

極點在D內在計算二重積分時要注意：

1°：選系：是直角坐標系還是極坐標系；若積分區域是圓域、環域或它們的一部分；被積式含有x?y或兩個積分變量之比yx22、xy時，一般可選擇極坐標系．

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2°：選序：當選用直角坐標系時，要考慮積分次序，選錯次序會出現復雜或根本積不出的情況（二次積分換次序）． 3°：積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合，如：D關于x軸（或y軸）對稱時，應配合被積函數對于y（或x）的奇偶性．

?a?x?b4°：若f(x,y)?f1(x)?f2(y)，積分區域D:?,則二重積分可化為兩個定積分的乘積．

c?y?d?二、三重積分

n1． 定義：???f(x,y,z)dv?lim???0?f(?i,?i,?i)??vi

(n??)i?12． 物理意義：以f(x,y,z)為密度的空間體?的質量． 3． 性質（與二重積分類同）．

4． 三重積分的計算法（1）在直角坐標系中 1°：若?為：??(x,y)?Dxyzz?z2(x,y)?z1(x,y)?z?z2(x,y)，此處Dxy為?在xOy面

z?z1(x,y)Oz?z1(x,y)與z?z2(x,y)分別為?的下界面和上界面方上的投影，yDxy程，則

????f(x,y,z)dxdydz???Dxy?z2(x,y)f(x,y,z)dz???z1(x,y)?dxdy

??x?C1?z0?C22°：若?為：?此處Dz0為用平面z?z0截?時(x,y,z0)?Dz0?，z所得的截面面積，則???f(x,y,z)dxdydz?C2??C2C1Dz0dz??Dz0f(x,y,z)dxdy

z0

（2）在柱面坐標系下

???????若?為：??1(?)?r??2(?)，則

?z(r,?)?z?z(r,?)2?1xC1Oy????f(x,y,z)dxdydz???d?????2(?)1(?)rdr?z2(r,?)z1(r,?)f(rcos?,rsin?,z)dz

（3）在球面坐標系中

?1????2???1????2若?為：?，則

??(?,?)?z??(?,?)2?1????f(x,y,z)dxdydz????21d????21d????2(?,?)1(?,?)f(?sin?cos?,?sin?sin?,?cos?)?sin?d?2

注：1°：柱面坐標、球面坐標對普通班不要求；

2°：三重積分的計算也有選系、選序的問題；

3°：積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性要正確配合；

?a?x?b?4°：若?是長方體：?c?y?d，而f(x,y,z)?f1(x)?f2(y)?f3(z)，則三重積分化為三個定積分?e?z?f?的乘積．

三、重積分的應用 1． 幾何應用（1）求面積：?D???d?D

（2）求體積：??f(x,y)d?，???dv

D?（3）求曲面面積：若?：z?f(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則?的面積為：??z???z???1??????dxdy

??x???y?22A???Dxy2． 物理應用（1）求質量：m????(x,y)d?D；m??????(x,y,z)dv 1m（2）求重心：x?1m??Dx?(x,y)d?；y???Dy?(x,y)d?

在均勻情況下，重心公式可變形為：x?同理，可得到空間體?的重心坐標．

（3）求轉動慣量：

Jx?1???Dxd?；y?1D???Dyd?

D??Dy?(x,y)d?；J2y???Dx?(x,y)d?；Jo?Jx?Jy

2同理可有空間體對坐標面、坐標軸的轉動慣量．

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第十一章

曲線積分與曲面積分

一、曲線積分 1．定義：

n（1）第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：?f(x,y)ds?limLn??0?i?1f(?i,?i)??si

（?f(x,y,z)ds?limL??0?i?1f(?i,?i,?i)??si）

物理意義：曲線的質量．

（2）第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy?lim??0??P(?i?1ni,?i)??xi?Q(?i,?i)??yi?

?P(x,y,z)dxL?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?lim??0??P(?i?1n

i,?i,?i)??xi?Q(?i,?i,?i)??yi?R(?i,?i,?i)??zi?物理意義：變力沿曲線所作的功． 2．性質：（1）?L??L1??L2（L?L1?L2）

f(x,y)ds（2）第一類：?f(x,y)ds?L??L?第二類：?L????L

?（3）兩類曲線積分的聯系：?Pdx?Qdy?L?(Pcos?L?Qcos?)ds

其中cos?，cos?是曲線上點(x,y)處切線的方向余弦．（?Pdx?Qdy?Rdz?L?(Pcos?L?Qcos??Rcos?)ds）

3．計算法（化線積分為定積分）

?x??(t)L：?，?≤t≤?，則?f(x,y)ds?y??(t)?L???22f??(t),?(t)???(t)???(t)dt

?P(x,y)dxL?Q(x,y)dy????P??(t),?(t)???(t)?Q??(t),?(t)???(t)?dt?x?x?

注意：L為y?f(x)時，取L為?

?y?f(x)，a≤x≤b

4．格林公式及其應用（1）格林公式：?Pdx?Qdy?L??D??Q?P????y??x???dxdy ?注意：1°：P，Q在D上具有一階連續偏導數；

2°：L是單連域D的正向邊界曲線；

3°：若D為多連域，先引輔助線，后再用格林公式．

（2）平面上曲線積分與路徑無關的條件

設P，Q在單連域G內有一階連續偏導數，A，B為G內任意兩點，則以下四個命題等價： 1°：?PdxLAB?Qdy與路徑L無關；

2°：對于G內任意閉曲線C有?Pdx?Qdy?0；

C3°：在G內，Pdx?Qdy為某函數u(x,y)的全微分；

?Q?x?P?y4°：?在G內處處成立．

(x,y)（3°中有：u(x,y)??P(x,y)dx(x0,y0)?Q(x,y)dy）

二、曲面積分 1．定義：

（1）第一類曲面積分（對面積的曲面積分）

n???f(x,y,z)dS?lim??0?i?1f(?i,?i,?i)??Si

物理意義：曲面?的質量。f(x,y,z)?1時，??dS?S?

?（2）第二類曲面積分（對坐標的曲面積分）

?????v?dS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?lim??0??P(?i?1ni,?i,?i)?(??i)yz?Q(?i,?i,?i)?(??i)xz?R(?i,?i,?i)?(??i)xy?

2．性質（1）???????1????2

（2）第一類：??fdS??????fdS

? 12

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第二類：?????????

?（3）兩類曲面積分的聯系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?????Pcos???Qcos??Rcos??dS

其中：cos?，cos?，cos?是曲面?上點(x,y,z)處法線的方向余弦． 3．計算法（化曲面積分為二重積分）

第一類：若曲面?：z?z(x,y)，?在xOy面上的投影為Dxy，則

??z???z???f?x,y,z(x,y)??1??????dxdy等等．

??x???y?22???f(x,y,z)dS???Dxy第二類：???前、后P(x,y,z)dydz????P?x(y,z),y,z?dydz

Dyz??Q(x,y,z)dzdx?右、左????Q?x,y(x,z),z?dzdx

Dxz???上、下R(x,y,z)dxdy????R?x,y,z(x,y)?dxdy

Dxy4．高斯公式及其應用

設空間區域?是由分片光滑的閉曲面?所圍成，函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在?上具有一階連續偏導數，則有

???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???????P?Q?R?????y?z??x???dxdydz?

注：1°：?是?的邊界曲面的外側；

2°：非封閉曲面，必須添加輔助曲面，先封閉后再用公式． 5．通量與散度、環流量與旋度（普通班不要求）

通量：????????v?ndS????Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

散度：divv??P?x??Q?y??R?z

環流量：?Pdx?Qdy?Qdz???A?ds?

?旋度：rotA??i??xP?j??yQ?k??zR

第十二章

無窮級數

一、常數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un?u1?u2???un??的無窮和式，其中每一項都是常數．

n?1n（2）部分和：Sn??ui?1i

（3）常數項級數收斂（發散）?limSn存在（不存在）．

n??（4）和S?limSn（存在時）．

n??注：發散級數無和．

?（5）余項：當limSn?S時，稱級數rn?n???ui?1n?i為原級數第n項后的余項．

2． 基本性質

????（1）?kun與?un斂散性相同，且若?un?S，則?kun?kS；

n?1n?1n?1n?1（2）若?un?S，?vn??，則??un?vn??s??

推論1：若?un收斂，?vn發散，則??un?vn?必發散； 推論2：若?un與?vn都發散，則??un?vn?不一定發散．

（3）在級數前面去掉或添加、或改變有限項后所得級數與原級數的斂散性相同（收斂級數的和改變）．（4）收斂級數加括號（按規則）所得級數仍收斂于原來的和；（收斂級數去括號不一定收斂）

?（5）若級數?un收斂，則必有limun?0．

n?1n???（若limun?0，則?un必發散）

n??n?13． 幾個重要的常數項級數

?（1）等比級數?aqn?1n?1?a???1?q?發散?|q|?1|q|?1；

?（2）調和級數?n?11n發散；

高等數學下冊總復習資料

?（3）p?級數?n?11n?p（p?0），p?1時收斂，0?p≤1時發散）；

（4）倒階乘級數?n?11n!收斂．

4． 常數項級數的審斂法

（1）正項級數的審斂法

??設?un與?vn均為正項級數

n?2n?1?1°：?un收斂?n?1?Sn?有界；

2°：比較法

??若?un收斂（發散），且un≥vn，（un≤vn），則?vn收斂（發散）．

n?1n?1推論1：若limn??unvn???l，0?l???，則?vn與?un具有相同的斂散性．

n?1n?1?推論2：若limn?un?l，則?un發散；

n??n?1?若limn?un?l（p?1），則?un收斂．

n??n?1p3°：比值法

????1時????，則有???1時????1時????un?1?n收斂若limn??un?1un?un?1?n發散

?un?1n待定4°：根值法

????1時????，則當???1時????1時????un?1?n收斂若limn??nun?un?1?n發散

?un?1n待定（2）交錯級數的審斂法

?萊布尼茲定理：若交錯級數?(?1)n?1n?1un（un?0）滿足：

1°：un≥un?1 2°：limun?0

n???則?(?1)n?1n?1un收斂，且其和S≤u1，|rn|≤un?1．

（3）任意項級數的審斂法

?1°：若limun?0，則?un發散；

n??n?1??2°：若?|un|收斂，則?un絕對收斂；

n?1n?1???3°：若?|un|發散，?un收斂，則?un條件收斂．

n?1n?1n?

1二、函數項級數 1． 基本概念

?（1）定義：形如?un(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)??；

n?1（2）收斂點、發散點、收斂域、發散域；

n（3）部分和：Sn(x)??ui?1i(x)；

?（4）和函數：在收斂域上S(x)?limSn(x)?n???un?1n(x)．

2． 冪級數

?n（1）定義：?an?x?x0?，當x0?0時有：?anx；

n?0n?0n?（2）性質

?n?n1°：若?anx在x0處收斂，則當|x|?|x0|時，?anx絕對收斂（發散）；

n?0n?0?n?n 若?anx在x0處發散，則當|x|?|x0|時，?anx發散．

n?0n?0 16

高等數學下冊總復習資料

?2°：冪級數?an?x?x0?的收斂域，除端點外是關于x0對稱的區間(x0?R,x0?R)，兩端點是n?0n否屬于收斂域要分別檢驗．

?3°：在?anx的收斂區間??R,R?內，此級數的和函數S(x)連續． nn?0（3）收斂區間的求法

1°：不缺項時，先求??liman?1ann??，得收斂半徑R?1?；

再驗證兩端點，則收斂域＝(x0?R,x0?R)∪收斂的端點． 2°：缺項時，先求limun?1(x)un(x)??(x)，解不等式?(x)?1得x的所屬區間x1?x?x2，再驗證n??端點x1，x2，則收斂域＝(x1,x2)∪收斂的端點．

3． 冪級數的運算

（1）冪級數在它們收斂區間的公共部分可以進行加、減、乘、除運算．（2）冪級數在其收斂區間內可以進行逐項微分與逐項積分運算，即

??an?0nxn?S(x)，|x|?R，則有：

????n??anx???n?0???an?0?nxn?????nan?0nxn?1?S?(x)，|x|?R；

?x0??n???anx?dx??n?0????n?0x0?anxdx?n?n?0ann?1xn?1??x0S(x)dx，|x|?R

4． 函數展開為冪級數

（1）充要條件：若函數f(x)在點x0的某鄰域內具有任意階導數，則

?f(x)??n?0f(n)(x0)n!(x?x0)n?limRn(x)?0．

n???（2）唯一性：若f(x)在某區間內能展開成冪級數f(x)??an?0n(x?x0)，則其系數

nan?1n!f(n)(x0)，（n?0,1,2,?）．

（3）展開法：

1°：直接法（見教材P279）

2°：間接法

利用幾個函數的展開式展開

?ex??n?0xnn!?，(??,??)

sinx??(?1)n?0?nx2n?1?(2n?1)!x2n或?(?1)n?1n?1x2n?1(2n?1)!，(??,??)

cosx??(?1)n?0?n(2n)!，(??,??)

11?x??n?0xn，(?1,1)

?ln?1?x???(?1)n?0?nxn?1(n?1)，(?1,1]

?1?x?m?1??n?1m(m?1)(m?2)?(m?n?1)n!xn，(?1,1)

5． 傅立葉級數

（此內容只適用于快班）（1）定義：如果三角級數出，即

an?1a02????an?1ncosnx?bnsinnx?中的系數an，bn是由尤拉——傅立葉公式給?1?????f(x)cosnxdx，n?0,1,2,?；

bn?????f(x)sinnxdx，n?1,2,?

則稱這樣的三角級數為f(x)的傅立葉級數．

（2）收斂定理

設f(x)是周期為2?的周期函數，如果它在一個周期內滿足：連續或只有有限個第一類間斷點；單調或只有有限個極值點，則f(x)的傅立葉級數

a02????an?1ncosnx?bnsinnx?收斂于f(x)???f(x?0)?f(x?0)?2?x為連續點x為間斷點．

（3）函數f(x)展開為傅立葉級數的方法：

高等數學下冊總復習資料

1°：求f(x)的傅立葉系數；

2°：將1°中的系數代入三角級數式； 3°：寫出上式成立的區間．

（4）正弦級數與余弦級數

?稱?bnsinnx（an?0）為正弦級數；稱n?1a02???an?1ncosnx（bn?0）為余弦級數．

若在???,??上，f(x)為奇函數，則有an?0，其正弦級數為?bnsinnx，n?1?bn?2???0f(x)sinnxdx，（n?1,2,?）；

若在???,??上，f(x)為偶函數，則有bn?0，其余弦級數為

a02???an?1ncosnx，an?2???0f(x)cosnxdx，（n?0,1,2,?）；

若f(x)是定義在?0,??上的函數，要求其正弦（余弦）級數，可先對f(x)進行奇（偶）延拓；

奇延拓：F(x)???f(x)x??0,????f(?x)x????,0?x?[0,?]x?[??,0)

?f(x)F(x)?偶延拓：??f(?x)

對于周期為2l的函數的展開情況與上邊類似（略）．

第五篇：高等數學下冊公式總結

高等數學(向量代數—>無窮級數)

向量與空間幾何

向量：向量表示((a^b));向量運算(向量積)；向量的方向和投影空間方程：曲面方程(旋轉曲面和垂直柱面)；直線方程(參數方程和投影方程)

平面方程：點法式(法向量)、一般式、截距式；平面夾角和距離直線方程：一般式、對稱式(方向向量)、參數式；直線夾角；平面交線(法向量積)

切平面和切線：切線與法平面；切平面與法線

多元函數微分學

多元函數極限：趨近方式，等階代換

偏微分和全微分：高階微分(連續則可等)；復合函數求導(Jacobi行列式)；

多元函數極值：偏導數判定；拉格朗日乘數法(條件極值)重積分

二重積分：直角坐標和極坐標；對稱性；換元法

三重積分：直角坐標、柱坐標和球坐標；對稱性

重積分的應用：曲面面積；質心；轉動慣量；引力

曲線與曲面積分

曲線積分：弧長積分；坐標曲線積分(參數方程)；格林公式面積積分：對面積積分；坐標面積積分；高斯公式

無窮級數

級數收斂：通項極限

正項級數：調和級數；比較法和比較極限法；根值法；極限法；絕對收斂和條件收斂

冪級數：收斂半徑和收斂域；和函數；麥克勞林級數(二次展開)Fourier級數：傅里葉系數(高次三角函數積分)；奇偶延拓；正弦和余弦級數；一般周期的傅里葉級數

矢量分析與場論(空間場基礎)

方向導數與梯度

方向導數：向量參數式；偏導數；方向余弦

梯度(grad)：方向導數的最值；梯度方向；物理意義(熱導方向與電場方向)

格林公式：曲線積分—>二重積分；曲線方向與曲面方向全微分原函數：場的還原；折線積分

通量與散度

高斯公式：閉合曲面—>三重積分；曲面外側定向；曲面補齊；向量表達(通量)

散度(div)：通量的體積元微分；物理意義(有源場(電場))環流量與旋度

斯托克斯公式：閉合曲線—>曲面積分；向量積定向；行列式表達；向量表達；物理意義(環通量)

旋度(rot)：行列式斯托克斯公式；物理意義(有旋場(磁場))