第一篇：專升本高等數學復習題8

數學分析1試卷(5)

一、（15%）求下列極限

（1）lim(?n??1232n?1tgx?sinx?1?x????)limlim（2）（3）??3n?0n?01?x222nx??1x

二、（20%）求下列函數的導數

（1）y?x3log3x（2）y?ln(sinx)（3）y?e?xsin2x

（4）y?(arcsinx)2（5）y?xsinx

三、（10%）用極限的“??N”定義證明limsinn???n?0.四、（14%）求下列函數的間斷點，并說明其類型

（1）f(x)?x1（2）f(x)?arctg sinxx

五、（13%）敘述函數f(x)在點x0連續的定義.設函數f(x)，g(x)在點x0連續且存在某點U0(x0)內有f(x)>g(x)，證明f(x0)?g(x0).六、（13%）敘述函數f(x)在區間I非一致連續的定義.證明函數f(x)?xsinx在[0,??)非一致連續.f(x)???，證明f(x)在[a,b)能達到

七、（15%）設函數f(x)在區間[a,b)連續，且lim?x?b

最小值.

第二篇：專升本高等數學復習題15

數學分析3試卷（2）

一、（12%）判別下列級數的斂散性：

?

（1）?

n?1(n!)2?(2n)!（2）?

n?1nnn(2n?1)

二、（20%）證明

11?xsin?ysin?yx（1）f(x,y)??

?0?xy?0xy?0(x,y?)在原點(0,(0,0)的 極限是0.（2）g(x,y)??xy

x?y22在原點(0,0)不存在極限.??x?y

三、（10%）證明函數f(x,y)????0xy?0xy?0在(0,0)存在兩個偏導數，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求復合函數??f(x,y),x?2(s?t),y?st的二階偏導數.五、（12%）驗證方程x3?y3?z3?2xyz?6在點(1,1,2)的鄰域存在以x,y為自變量的隱函數并求?z

?x與?z

?y.六、（10%）求函數z?3x?3y?6xy的極值.七、（10%）求曲面z?x?y?1在點(1,1,1)的切平面方程與法線的方程.?2233

八、（10%）.設f(x)??1?nn?1

42x4x2(n?0)?（1）判定級數?

n?1x1?nx的一致收斂性.（2）證明和函數f(x)在(0,??)連續.

第三篇：2014年專升本春季入學測試《高等數學》復習題

2014年春季招生入學測試

《高等數學》專科起點本科復習題

一、單選題

1、函數 y??x?ln(x?1)的定義域是（）

A、(??,?1)?(1,??)B、(?1,1)

C、(?1,1]D、[?1,1)

【C】

2、若 y?f(x)的定義域是(0,1),y?f(x?1)定義域（A、(1,2]B、(0,2]

C、(1,2)D、(0,1]

【C】

3、下面運算正確的是（）

A、lim(1?1

x?0x)x?eB、lim1

x??(1?x)x?e

C、lim1x?x1x

x?0(1?x)?eD、limx??(1?x)?e

【B】

4、下面運算正確的是（）

A、limsinx

x??x?1B、limsinx

x?0x?1

C、limsin2x

x??x?1D、limsin2x

x?0x?1

【B】

5、設 f(x)?x2?sinx?e2(e為常數)則f'(x)?（）

A、2x?sinxB、2x?cosx

C、2x?cosxD、2x?cosx?2e

【B】

6、設 f(x)?x3?cosx?a3(a為常數)則f'(x)?（）。）

A、3x2?sinxB、3x2?sinx

x2C、?cosxD、3x2?sinx?3a2

3【A】

7、求極限 lim

x?sinx

0x

?（）

x?A、1B、?1

C、0D、不存在 【C】

8、lim

lnx

x??x

?（）

A、1B、0

C、2D、不存在 【B】

9、函數 y?x3

?

x2

?1 的單調減區間是（）

。A、[??,0)B、(0,1)C、(1,??)D、(??,??)

【B】

10、下列函數在其定義域內沿x軸正向單調減的是（A、y?ex

B、y?e

?x

C、y?x2

D、y?x3

【B】

11、函數 y?x3

?

x2

?1的極小值是（）A、0B、?1 C、1D、12

【D】

12、函數 y?2lnx?x的極大值是（）

A、0B、1 C、2D、?1 【D】

13、?

xex2

dx?（）。A、e

x2

?cB、2ex2

?c）

C、12

x2

D、1x22e?c

【D】

14、?

(x2

?4)dx?（）。

A、x3

3?4x?cB、2x?4x?c、x3C3

?4xD、2x?c

【A】

?

15、?

sinxdx?（）。

A、?cosx?cB、1C、?1D、0 【B】 216、?1

dx?（）。0

x?1A、ln(x?1)?cB、?ln3 C、ln3D、0 【C】

17、?

(ex

?1)dx?（）。

A、0B、e?2C、e?2D、e 【D】 218、?dx

?（）。1

x(x?1)A、?ln3B、ln

4C、ln34D、ln

32【B】

19、由 y?

x,x?1,x?2圍成的圖形繞x軸旋轉得的體積是（A、?

?

B、12C、?2D、32

?

【C】）

20、由 y?x,y?0,x?1圍成的面積繞x軸旋轉得的體積是（）

A、C、【C】

11B、54

??D、54

二、判斷題

21、f(x)?x?

(x?0)則f(x)?f()（）xx

【對】

22、兩個奇函數之和仍是奇函數。（）【對】

23、若f(x)在[a,b]上連續，且f(a)?f(b)?0則在(a,b)內至少有一個點?,使得f(?)?0 【對】

24、函數y?f(x),當x?x0時，極限存在，則f(x)在x0處連續（）【錯】

25、函數y?f(x)的一階導數是【錯】

26、y?e【對】

27、對【錯】

28、曲線y?xlnx在點（1，0）處的切線與直線y?1?x的相互關系是垂直的（）【對】

29、函數y?f(x)在其定義域內二階導數連續則當對應的曲線是凸弧．（）

x2

（）f'(x)?3,則f(x)一定是常數。

則y'?2xe

x2

（）

0?,型的未定式求極限時，都可以用洛必達法則（）0?

f''(x)?0時，則y?f(x)

【錯】

30、函數y?f(x)在(a,b)內

f'(x)?0,f''(x)?0,則f(x)在(a,b)內

單調增，且對應曲線在(a,b)內是凸弧。（）【錯】

31、函數y?f(x)在x?處取得極值的必要條件是f'(x0)?0。（）【對】

32、函數y?f(x)在[x?,f(x?)]處是拐點,它的充要條件是f''(x0)?0。（【錯】

33、(?f(x)dx)'??f'(x)dx（）

【錯】

34、(?

f'(x)dx)'?f(x)（）【錯】

b

c

b35、設f(x)連續則函數?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx（）

a

a

c

【對】

a

a36、如果f(x)為連續偶函數時，則

??f(x)dx?2f(x)dx（）a

?0

【對】

a37、[f(x)?f(?x)]dx?0（）

??

a

【對】 a38、x

sinxdx?0（）

??a

【對】

39、由曲線y?ex,y?x,x?0,x?1 圍成的面積可表為 s??

(ex

?x)dx（0

【對】

40、?

?x2dx?

?）

（【對】））

第四篇：2011高等數學模擬題專升本

山東省專升本《高等數學》模擬試題

（一）一、填空題 1.函數y?ln(3?x)|x|?1?x的定義域為_____________.?x?1?2.lim??x???x??____________.3.曲線y?(x?4)33?x在點（2，6）處的切線方程為__________.二、選擇題

1.設f(x)在點x0處可導，且f?(x0)??2,則lim(A).12f(x0?h)?f(x0)hh?0?()(B).2(C).?12(D).?2

2..當x?0時, x2與sinx比較是().(A).較高階的無窮小(B).較低階的無窮小(C).同階但不等價的無窮小(D).等價的無窮小

3.設曲線y?x2?x?2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標為()(A).(1,0)(B).(?1,0)(C).(2,4)(D).(-2,0)

(C).y?cos(arcsinx?C)(D).arcsinx?C

三、計算題 1.計算limx?arctanxln(1?x)3

dzdtx?02.設z?uv?sint,u?e,v?cost,求全導數3.求微分方程xy??y?xcosx的通解.?t.4.求冪級數?n?1(?1)n2n?1x的收斂域.n山東省專升本《高等數學》模擬試題

（一）解析

一、填空題： 1.函數y?ln(3?x)|x|?1的定義域為_____________.分析 初等函數的定義域，就是使函數表達式有意義的那些點的全體.解 由??3?x?0?|x|?1?0?x知，定義域為?x1?x?3或x??1?.?x?1?2.lim??x??x???__________?x?__.分析 屬1型,套用第二個重要極限.?x?1?解 lim??x???x?1???lim?1??x??x??x?(?1)?e?1.3.曲線y?(x?4)33?x在點（2，6）處的切線方程為__________.解 y??33?x?(x?4)?3?13(3?x)2,y?x?2??1，所求切線方程為:y?6??(x?2),即y??x?8.二、選擇題

1.設f(x)在點x0處可導，且f?(x0)??2,則lim(A).12f(x0?h)?f(x0)hh?0?()

(B).(C).?12

(D).?2

解 limf(x0?h)?f(x0)hh?0?limf(x0?h)?f(x0)?hh?0?(?1)??f?(x0)?2.選(B).22..當x?0時, x與sinx比較是（）.(A).較高階的無窮小

(B).較低階的無窮小

(C).同階但不等價的無窮小

(D).等價的無窮小

分析 先求兩個無窮小之比的極限,再做出正確選項.解 因lim2x2x?0sinx?limxsinxx?0?x?0,故選(A).3.設曲線y?x?x?2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標為()

(A).1(,0)

(B).?(1,0)

(C).2(,4)

(D).(-2,0)解 由y??2x?1?3知x?1, 又y

三、計算題 1.計算limx?arctanxln(1?x)3x?1?0,故選(A).分析 屬00型未定式,利用等價無窮小代換,洛必達法則等求之.x?0解 limx?arctanxln(1?x)x22x?03?limx?arctanxx31??limx?011?x23x2

x?0?limx?03x(1?x)2?lim13(1?x)2x?0?13.dzdt2.設z?uv?sint,u?et,v?cost,求全導數解 dzdt??z?ut.?dudt??z?v?dvdt??z?t

t?ve?u(?sint)?cost?e(cost?sint)?cost.3.求微分方程xy??y?xcosx的通解.分析 屬一階線性微分方程,先化成標準形,再套用通解公式.解 原方程化為: y??通解為: y?e??p(x)dx1xy?cosx,p(x)?1x,q(x)?cosx

11?dx?dx?p(x)dx?????xxq(x)edx?C?ecosxedx?C??? ?????????111?????xsinx?cosx?C?.xcosxdx?C?xdsinx?C???xxx4.求冪級數?n?1(?1)n2n?1x的收斂域.n分析 先求收斂半徑,收斂區間,再討論端點處的斂散性,從而確定收斂區域.解 收斂半徑:R?limanan?1n?1nn???lim(n?1)n22n???1, 收斂區間為(-1,1)?在x??1處,級數?n?1?(?1)n2?(?1)???n?11n2收斂;在x?1處,級數?n?1(?1)n2n?1收斂,所以收斂域為:[-1,1].山東考試書店是山東最大的專升本專業書店，下設山大店和山師店。主營專升本教材、公共課真題（2005-2011）包含聽力、專業課真題（2006-2011）專業課筆記、練習題、課件。贈送公共課課件、真題、練習題、資料。聯系QQ：187211979

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第五篇：專升本高等數學(二)

成人高考（專升本）高等數學二

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。

第二章一元函數微分學 第一節導數與微分

[復習考試要求]

1.理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。4.掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。5.了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。

第二節導數的應用

[復習考試要求]

1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法。會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

3.理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數積分學

第一節不定積分

[復習考試要求]

1.理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數不定積分的計算。

第二節定積分及其應用

[復習考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件 2.掌握定積分的基本性質

3.理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

7.掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。

第四章多元函數微分學

[復習考試要求]

1.了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。2.了解二元函數的極限與連續的概念。

3.理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。4.掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。5.會求二元函數的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。

第五章概率論初步

[復習考試要求]

1.了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

2.掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

6.了解隨機變量的概念及其分布函數。

7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8.會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內容]

（一）數列的極限 1.數列

定義按一定順序排列的無窮多個數

稱為無窮數列，簡稱數列，記作{xn}，數列中每一個數稱為數列的項，第n項xn為數列的一般項或通項，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數列）（2）（3）（等比數列）（遞增數列），?（震蕩數列）（4）1，0，1，0，?都是數列。它們的一般項分別為（2n-1）,。

對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列{xn}可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3?一切正整

數時，對應的函數值就排列成數列。

在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,?。2.數列的極限

定義對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列{xn}以常數A為極限，或稱數列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列{xn}沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數軸上的點表示，若數數列極限的幾何意義：將常數A及數列的項列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數列極限的性質與運算法則 1.數列極限的性質

定理1.1（惟一性）若數列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數列{xn}單調有界，則它必有極限。3.數列極限的四則運算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當時，（三）函數極限的概念 1.當x→x0時函數f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→x0時）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當x→x0時f（x）的左極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當x→x0時，f（x）的右極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有

當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數的左極限系：

定理1.6當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對于函數，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數的極限

之間有以下關

2.當x→∞時，函數f（x）的極限（1）當x→∞時，函數f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對于函數y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱

當x→∞時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→∞時）

（2）當x→+∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→+∞時，函數f（x）的極限是A，記作

這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當x→-∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數，當x→-∞時，f（x）→？

解：當x→-∞時，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函數f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數f（x）有相同的極限A。例如函數，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數1，當x→+∞時，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x→∞時

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數滿足條件：（1），（2）

在點的某個鄰域內（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數極限的四則運算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數常用希臘字母定理1.10函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：

振蕩型發散

（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為。

2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個數值，“∞”是一個記號，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當當為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質

性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價無窮小量，記為是比較低價的無窮小量。當

；

等價無窮小量代換定理：

如果當時存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有： 當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的其結構式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結構式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質求極限； 4.利用函數的連續性求極限；

5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限。基本極限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發散

[答]C

D.（2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量

C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是

極限的運算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當時求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計算

[答]

解:

例7.用函數的連續性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317]解:當 [答]0

例9.求分段函數在分段點處的極限（1）[0307]設則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達法則）

即（2）若[解析]型未定式.當時，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內容：

極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。[主要知識內容]

（一）函數連續的概念 1.函數在點x0處連續

定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數y=f（x）在點x0處連續。

函數y=f（x）在點x0連續也可作如下定義：

定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即

定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續，則f（x）在點x0處左連續也右連續。2.函數在區間[a，b]上連續

定義如果函數f（x）在閉區間[a，b]上的每一點X處都連續，則稱f（x）在閉區間[a，b]上連續，并稱f（x）為[a，b]上的連續函數。這里，f（x）在左端點a連續，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。

可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3.函數的間斷點

定義如果函數f（x）在點x0處不連續則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且，則點x0是f（x）一個間斷點。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續 C.x=0處間斷，x=1處連續 D.x=0處連續，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續 ［答案］C [9703]設A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續，則k等于

［答案］B 例3[0209]設解：f（0）=e0=1

在x=0處連續，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續（2）f（x）·g（x）在x0處連續（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=x0處連續。

在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。

（三）閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存

處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即

在一個ξ，使得

推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數的連續性

由函數在一點處連續的定理知，連續函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區間內是連續函數。又由于基本初等函數在其定義區間內是連續的，可以得到下列重要結論。

定理1.18初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區間（0,1）內至少有一個實根.證：設f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續 f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內至少有一個實根。本章小結

函數、極限與連續是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。

這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下：

一、概念部分

重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續的概念。

極限概念應該明確極限是描述在給定變化過程中函數變化的性態，極限值是一個確定的常數。

函數在一點連續性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運算部分

重點：求極限，函數的點連續性的判定。1.求函數極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；

對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質求極限；（4）利用函數的連續性求極限； 若f（x）在x0處連續，則。

（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。

2.判定函數的連續性，利用閉區間上連續函數的零點定理證明方程的根的存在性。