第一篇：10專升本《高等數學》高分實戰技術

專升本《高等數學》高分實戰技術

焦作大學 王 崗

沖刺：試卷分析第一階段

題目分類

一、已知知識點明確的題目；

二、有疑問的題目；

三、不會的；

四、錯題：（1）筆誤和審題錯誤；（2）原則錯誤。試卷分析第二階段：

一、分析試卷題目針對的各部分的知識點，突出重要點；

二、分析知識點的基本題型結構及解決方法；

三、題目結構變化、延伸。

試卷分析第三階段：重復以上工作形成基本成熟的知識體系和解答試題的方法思想。試卷分析第四階段：強化和提高競技狀態。試卷分析第五階段：回顧放松、培養自信心。基本中心：

四大運算結構：

1、函數結構運算；

2、極限運算；

3、導數、微分運算；

4、積分運算。

經典語言：對哪一個函數關于哪一個變量在做什么運算。概念題分析

一、函數與極限的考點

1、函數結構（定義域與函數值）

2、函數性質：主要奇偶性。

3、無窮小量：

4、常見極限結論：

5、極限存在的充要條件及函數的連續性。

6、間斷點：

一、函數與極限

1、函數結構（定義域與函數值）：

（1）具體解析式：以對數函數、無理根式、反三角函數為基礎組合題目；（2）抽象式：

1、已知f(x)求f[?(x)]的。

2、已知f[?(x)]求f(x)的。例、設f(1?x)的定義域為?1,5?，則f(x)的定義域為________（3）發展延伸：

1、積分函數?[?(x)]???(x)af(t)dt

x2、導函數若 例f?(e)?1?x,則 f(x)?

x令t?e,x?lnt?f?(t)?1?lnt，即f?(x)?1?lnx，故f(x)?xlnx?c

?(?1)n3、冪級數的和函數值 例??e2 nn?0n!2?

12、函數性質：主要奇偶性。

ax?a?x(a?0)偶 f(x)?ln(1?x?x)奇 f(x)?22ax?a?xf(x)?(a?0)奇 f(x)??(x)??(x)偶

2f(x)??(x)??(x)奇 f(x)?ln3、無窮小量：

（1）常見的等價無窮小量

a?x(a?0)奇 a?x1??(x))~?(x)當x?0時?(x)?0 當x?0時 ln(1?x)~x?ln(x當x?0時e?1~x;當x?0時1?cosx~12x.2當x?0時tanx?sinx~131x;當x?0時x?sinx~x3 26當x?0時1?x?1?x~x

?(x)ln(1?3x2)3x2（2）lim 例lim?lim2?3

x?0?(x)22x?0x?0x1?x?1?x注意：（1）有限個不同階的無窮小量之和取其弱。（2）有限個不同階的無窮大量之和取其強。例: 當x?0時,x?1?cosx與x是()A.等價無窮小 B.高階無窮小 C.同階無窮小 D.低階無窮小

4、常見極限結論：（要注意延伸變化）?sinx11?1 limxsin?1 limnsin?1

x?0x??n??xxnsinx1sinn?0 limxsin?0 lim?0 limx??x?0n??xxn（1）lim lim?(x)sinx?01?0 ?(x)bcbcbcx?db)?ea lim(1?)cn?d?ea

（2）lim(1?x??n??axan（3）lima，limx?01xx?ax?ax?a，limx?0sinxx，不存在；limax?0?1x2?0,(a?1)。

5、極限存在的充要條件及函數的連續性。

6、間斷點：

（1）間斷點分類；（2）幾個常利用的函數

f(x)?xx1x，f(x)?x?ax?a，f(x)?sinxx?1x2，f(x)?arctan(x?a)

x2?a2f(x)?a?1a?11x主要利用lima及limax?01xx?0(a?1)結論。

二、導數與微分的考點

1、定義式

2、可導與連續

3、導數的幾何意義：

4、參數方程與隱函數的導數

5、高階導數：

二、導數與微分

1、定義式 定義limh?0f(x0?ah)?f(x0?bh)a?b?f?(x0)

chc 定義limx?x0f(x)?f(x0)?f?(x0)

x?x0f(x)?x(x?a1)(x?a2)?(x?an)求f?(ai)?

2、可導與連續

常用的幾個函數結構

1?k?xsin（1）f(x)??x??0（3）f(x)??x?0x?0；（2）f(x)?x

?1?x?1?x?ln(1?x)?1?x?0x?0

??(x)x?0,其中當x?0時?(x)~?(x)則f(x)在x?0處連續且可導。f(x)???(x)x?0.?

3、導數的幾何意義：求切線方程和法線方程，確定一些函數值。（可導函數的極值點必為駐點?f?(x)?0）

4、參數方程與隱函數的導數（1）參數方程二階導

?x?x(t)?x?x(t)d2y?dyy?(t)????2 ?dx?y?y(t)??dxx?(x)要注意dydx還是 dxdy（2）冪指結構

y?u(x)v(x)dy?v(x)u(x)v(x)?1u?(x)?v?(x)u(x)v(x)lnu(x)dx5、高階導數：（1）常用的結論

注意f(n)(x)?[f(ax?b)](n)?anf(n)(ax?b)例(sin(3x?2))(n)?

三、中值定理與導數應用的考點

1、中值定理

2、函數的單調性、極值，凹凸、拐點。

3、漸近線

三、中值定理與導數應用

1、中值定理

（1）選定滿足定理條件的函數題型；

（2）求滿足定理條件的值的題型 即求f?(x)?0；及f?(x)?f(b)?f(a)的根。

b?a（3）零點定理及方程根的問題

2、函數的單調性、極值，凹凸、拐點。（1）、基本定理題目。（2）極限局部保號性

limx?af(x)?f(a)?b則有b?0?f(x)?f(a),x?a為極小值點f(a)為極小值，2(x?a)則有b?0?f(x)?f(a),x?a為極大值點f(a)為極大值。（3）類似結構可判定增減、凹凸

limf?(x)f??(x)?blim?b

x?a(x?a)2x?a(x?a)2（3）單調性應用

例 設f(a)?g(a)，且當x?a時，f?(x)?g?(x)，則當x?a必有（）

例 已知函數f?x?在區間?1??,1???內具有二階導數，f??x?嚴格單調減少，且 f?1??f??1??1，則 有(A)在?1??,1?和?1,1???內均有f?x??x(B)在?1??,1?和?1,1???內均有f?x??x(C)在?1??,1?內f?x??x，在?1,1???內f?x??x(D)在?1??,1?內f?x??x，在?1,1???內f?x??x

3、漸近線

水平漸近線limf(x)?A,y?A為水平漸近線；limf(x)??，x?x0為垂直漸近線

x??x?x0x?e曲線f(x)?既有水平又有垂直漸近線？ 曲線f(x)?ex(x?1)的水平及垂直漸近線

x?11x?21 曲線y?1x?x2的鉛錘漸近線是

四、不定積分與定積分的考點

1、被積函數與原函數的關系

2、定積分概念、性質

3、廣義積分

1、被積函數與原函數的關系即

F(x)??f(t)dt,F[?(x)],f(x),f?(x)

f?[?(x)]之間關系。既已知什么求什么。f[?(x)],例 設f(x)連續且不等于零，若

?f(x)dx?arctanx?c，dxx32則??(1?x)dx?x??c

f(x)?3注意已知?f(x)dx?F(x)?C求??(x)f[?(x)]dx?F[?(x)]?C題型

x例 若f(x)?e，則?f?(lnx)dx?f(lnx)?c?elnx?c?x?c x2、定積分概念、性質（1）對稱區間上的定積分 例?1?1x2ln(x2?1?x)dx?0； ?(x?9?x2)2dx?2?9dx

?2022（2）變上限積分

?(x)??f(t)dt是f(x)的一個原函數即??(x)?f(x)

ax?[?(x)]???(x)af(t)dt?(??(x)af(t)dt)??(?[?(x)])????[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)

5(??(x)h(x)f(t)dt)??f[?(x)]??(x)?f[h(x)]h?(x)

例已知?e?x2af(t)dt?tane?x?f(x)?

2積分上限函數構成的微分方程要注意內含的初始條件問題。例：已知連續函數f(x)滿足f(x)?e（3）定積分的幾何意義

2xt??f()dt，求f(x)033x?a?a?122sinxdx?na?xdx??a ? 0222n（4）積分性質：估值定理結合最值 M(b?a)??baf(x)dx?m(b?a)

?(5)平均值：

3、廣義積分

幾個重要結論（1）baf(x)dxb?a

???1?p?1時收斂1 dx??0?p?1時發散xp????p?1時收斂11。特別注意dx是發散的。dx??2?p2(lnx)x(lnx)?0?p?1時發散（2）???2（3）???1???p?1時收斂1 dx(a?0,b?0)??pa?bx?0?p?1時發散a?kxdx,(a?1)k?0時收斂（4）?0（5）?b0?p?1時發散1。dx??px?0?p?1時收斂（6）注意對應的級數有相同的斂散性。

五、空間解析幾何部分的考點

1、數量積、向量積概念、向量積幾何意義。

2、直線與直線、直線與平面等位置關系

?x?2y?z?5?0x?1y?0z?2直線?與直線的位置關系（）不平行也不垂直 ??3352x?y?z?6?0??4443、方程所表示的曲面：主要是二次曲面注意三個方向x0y，xoz，yoz

4、投影曲線方程

22??z?x?y空間曲線C：?在xoy平面上的投影曲線方程_______________ 22??z?2?(x?y)

六、偏導數與全微分的考點

1.偏導數概念

2、極限、連續、偏導與全微分的關系

3、求偏導數與全微分的值

注意利用偏導數幾何意義 即fx?(x,b)為??z?f(x,y)?z?f(x,y)關于x求導 ； fy?(a,y)為?關于y求導。

?y?b?x?a例設f(x,y)?2x?(y?3)arctanx?2則fx?(1,3)?_______ yf(x,3)?2x?fx?(x,3)?2?fx?(1,3)?2

4、二元極值部分（1）駐點（2）極值點 七、二重積分部分的考點 重在正確分析積分區域

即（1）正確讀出D的代數信息；（2）正確讀出D的幾何信息；

（3）正確讀出D的代數結構信息；（4）寫出累次積分；（5）計算結果。

1、交換積分次序

2、直角坐標與極坐標的相互轉化

（1）x2?y2?a2???0???2?

0?r?a?????????（2）x?y?2ax??22

??0?r?2acos?22（3）x2?y2?2ay????0????

0?r?2asin??例??20d??02sin?0f(rcos?,rsin?)rdr?

22y?y200?20d??2sin?f(rcos?,rsin?)rdr??dy?f(x,y)dx

2、曲線積分

（1）對弧長曲線積分

（2）.對坐標的曲線積分

與路徑無關的條件即

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy中有

?P?Q? ?y?x 7 ?(x2,y2)(x1,y1)P(x,y)dx?Q(x,y)dy??P(x,y1)dx??Q(x2,y)dy

x1y1x2y2（3）面積問題 s?

八、級數部分的考點

1、常數項級數（1）收斂定義 1xdy?ydx,L為正向一周 ?L2（2）收斂必要條件limun?0，一定要注意以limn??1?0為基礎的斂散性的劃分。n??n（3）一般級數：收+收=收； 收+散=散； 散+散=不一定

2、正項級數

（1）幾個常用結論

??p?1收斂?p?1收斂11 ?p??； ? ??p0?p?1發散0?p?1發散nn(lnn)n?1n?2????p?1收斂1。(a?0,b?0)???pn?1a?bn?0?p?1發散??11 發散ln(1?)??2n(lnn)n?1n?2?

（2）以nk,an(a?1),n!,nn組合為通項題型。

ann!(a?0),(1)0?a?e收斂(2)a?e發散 ?nn?1n?（3）非常規的要善于利用n??時通項an~?1的結論判斷。nk??1?11例?ln(1?2)?(1?cos)?(?sin)

nnnn?1n?1n?1n（4）絕對收斂、條件收斂

3、冪級數

（1）冪級數的收斂半徑、收斂區間 ?P(n)x?R?1,(?1,1)； ?nn?0??P(n)nx?R?a,(?a,a)。nn?0a??1P(n)n 例：(x?1)n(x?b)?R?a,(b?a,b?a)??n2nn?0an?0(3n?2n)5?P(n)anxn?R?n?0?111,(?,)aaa 8 ?P(n)an(x?b)n?R?n?0?111,(b?,b?)aaa（2）冪級數的展開式：

（3）冪級數的和函數

??1(?1)n2n3例?

?e?2n(lnn)n!3n?2n?0?

2九、微分方程部分的考點

1、方程類型

2、已知方程求通解或解。選擇以驗證為主。

3、已知通解或解求方程。

二階常系數線性齊次方程為例

（1）y?C1e?1x?C2e?2x?y???(?1??2)y???1?2y?0

（2）y?(C1?xC2)e?x?y???2?y???2y?0（3）y?e?x(Ccos?x?Csin?x)?y???2?y??(?2??2)y?0

4、二階常系數線性非齊次方程特解問題

例 通解為y?C1cos2x?C2sin2x?2x的二階常系數線性非齊次方程為

y???4y?8x將y?x代入y???4y?f(x)?f(x)?8x

3x例設y?y(x)是二階常系數線性非齊次方程y???2y??y?e滿足條件

?y(0)?0,y?(0)?0的解，則limx?0x?0x?02x0sintdty(x)?___

limy??(x)?lim(e3x?2y?(x)?y(x))?1

計算題分析

一、求極限：以冪指函數及洛必塔法則結合等價無窮小為主。

二、求導數與微分

三、求不定積分：以分部積分為主。

四、定積分：以換元和分區間題型為主。

五、多元復合偏導及全微分

例 若z?f(xy,)?g()且f,g可微，求xyyx?z?z,.?x?y解：令u?xy,v?xy,w?,則z?f(u,v)?g(w)yx9 ?z?f(u,v)?u?f(u,v)?vdg(w)?w1yy????yfu??fv??2g?()?x?u?x?v?xdw?xyxx 六、二重積分：

1、重在正確分析積分區域 即（1）正確讀出D的代數信息；

（2）正確讀出D的幾何信息；

（3）正確讀出D的代數結構信息；

（4）寫出累次積分；

（5）計算結果。

2、注意被積函數中出現

sinycosyy2?y2;;e;e;siny2;cosy2,一般采用y型積分函數。yy3、注意x型積分區域及y型積分區域的特點，既垂直線和水平線。

七、展開成冪級數、求收斂區間;方法以不變應萬變 ?an?0?nx??anxn,un?anxn nn?0?un?1an?1xn?1an?1lim?lim?limx??x n??un??axnn??annn??x?1收斂即x??1?，R?1?，(???11,)

???(2n)!2n?14n1n?1n2nn例

1、?nx2、?3、4、x(x?3)x??222(n!)3?n2?nn?1n?0n?0n?0幾個重要結論

??11n（1）??x,x?1;（2）??(?1)nxn,x?1;

1?xn?01?xn?0n?xn?1n?1x（3）ln(1?x)??(?1)??(?1),x?1;n?1nn?0n?1?n??1xnn2nx（4）??(?1)x,x?1;（5）e??,x?(??,??)21?xn?0n?0n!2n?x2n?1nx（5）sinx??(?1),x?(??,??)（7）cosx??(?1),x?(??,??)(2n?1)!(2n)!n?0n?0?n???xxn?1xnn（8）??nx,x?1;（9）ln(1?x)??????,x?1;2n(1?x)n?1n?0n?1n?1 10 注意F(x),f(x),f?(x)F[?(x)],f[?(x)],f?[?(x)]應用。例將函數f(x)?1展開成x的冪級數，并寫出收斂區間。21?2x?3x11313?nn1??(?)??3x??(?1)nxn 解：f(x)?241?3x1?x1?2x?3x4n?04n?03n?1?(?1)nn11 ??[]x;x?(?,)

433n?0?

八、求微分方程的通解：以一階線性非齊次方程為主。注意深度變形

1、常規的一階線性非齊次方程。

2、x,y角色互換類型。

3、積分變限函數類型（注意隱藏的初始條件）。

4、缺y的可降階為一階線性非齊次方程的。例y???y?1?xex降階?p??p?xex xx應用題分析

一、求面積及旋轉體的體積（幾何問題）二、一元函數求最值、多元函數求最值（幾何問題、簡單經濟問題）證明題分析：

等式、不等式、方程根、積分等式、變上限函數的奇偶性的討論、中值定理等。尤以中值定理要注意利用微分方程解構造輔助函數。

第二篇：專升本高等數學(二)

成人高考（專升本）高等數學二

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。

第二章一元函數微分學 第一節導數與微分

[復習考試要求]

1.理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

2.會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法。4.掌握隱函數的求導法與對數求導法。會求分段函數的導數。5.了解高階導數的概念。會求簡單函數的高階導數。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導的關系，會求函數的一階微分。

第二節導數的應用

[復習考試要求]

1.熟練掌握用洛必達法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法。會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

3.理解函數極值的概念，掌握求函數的駐點、極值點、極值、最大值與最小值的方法，會解簡單的應用題。

4.會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。5.會求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數積分學

第一節不定積分

[復習考試要求]

1.理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡單有理函數不定積分的計算。

第二節定積分及其應用

[復習考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數可積的條件 2.掌握定積分的基本性質

3.理解變上限積分是變上限的函數，掌握對變上限積分求導數的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無窮區間的廣義積分的概念，掌握其計算方法。

7.掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體的體積。

第四章多元函數微分學

[復習考試要求]

1.了解多元函數的概念，會求二元函數的定義域。了解二元函數的幾何意義。2.了解二元函數的極限與連續的概念。

3.理解二元函數一階偏導數和全微分的概念，掌握二元函數的一階偏導數的求法。掌握二元函數的二階偏導數的求法，掌握二元函數的全微分的求法。4.掌握復合函數與隱函數的一階偏導數的求法。5.會求二元函數的無條件極值和條件極值。

6.會用二元函數的無條件極值及條件極值解簡單的實際問題。

第五章概率論初步

[復習考試要求]

1.了解隨機現象、隨機試驗的基本特點；理解基本事件、樣本空間、隨機事件的概念。

2.掌握事件之間的關系：包含關系、相等關系、互不相容關系及對立關系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運算的意義，掌握其運算規律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質及事件概率的計算。5.會求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨立性。

6.了解隨機變量的概念及其分布函數。

7.理解離散性隨機變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計算方法。8.會求離散性隨機變量的數學期望、方差和標準差。

第一章極限和連續

第一節極限

[復習考試要求]

1.了解極限的概念（對極限定義等形式的描述不作要求）。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價）。會運用等價無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。[主要知識內容]

（一）數列的極限 1.數列

定義按一定順序排列的無窮多個數

稱為無窮數列，簡稱數列，記作{xn}，數列中每一個數稱為數列的項，第n項xn為數列的一般項或通項，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數列）（2）（3）（等比數列）（遞增數列），?（震蕩數列）（4）1，0，1，0，?都是數列。它們的一般項分別為（2n-1）,。

對于每一個正整數n，都有一個xn與之對應，所以說數列{xn}可看作自變量n的函數xn=f（n），它的定義域是全體正整數，當自變量n依次取1,2,3?一切正整

數時，對應的函數值就排列成數列。

在幾何上，數列{xn}可看作數軸上的一個動點，它依次取數軸上的點x1,x2,x3,...xn,?。2.數列的極限

定義對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn無限地趨于一個確定的常數A，則稱當n趨于無窮大時，數列{xn}以常數A為極限，或稱數列收斂于A，記作

比如：

無限的趨向0，無限的趨向1 否則，對于數列{xn}，如果當n→∞時，xn不是無限地趨于一個確定的常數，稱數列{xn}沒有極限，如果數列沒有極限，就稱數列是發散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數軸上的點表示，若數數列極限的幾何意義：將常數A及數列的項列{xn}以A為極限，就表示當n趨于無窮大時，點xn可以無限靠近點A，即點xn與點A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無限的趨向0 無限的趨向1

（二）數列極限的性質與運算法則 1.數列極限的性質

定理1.1（惟一性）若數列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個定理反過來不成立，也就是說，有界數列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數列極限的存在準則

定理1.3（兩面夾準則）若數列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數列{xn}單調有界，則它必有極限。3.數列極限的四則運算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當時，（三）函數極限的概念 1.當x→x0時函數f（x）的極限（1）當x→x0時f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→x0時）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當x→x0時f（x）的左極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的左邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當x→x0時，f（x）的右極限

定義對于函數y=f（x），如果當x從x0的右邊無限地趨于x0時，函數f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→x0時，函數f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數，求，解：當x從0的左邊無限地趨于0時f（x）無限地趨于一個常數1。我們稱當x→0時，f（x）的左極限是1，即有

當x從0的右邊無限地趨于0時，f（x）無限地趨于一個常數-1。我們稱當x→0時，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數的左極限系：

定理1.6當x→x0時，函數f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對于函數，當x→1時，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數的極限

之間有以下關

2.當x→∞時，函數f（x）的極限（1）當x→∞時，函數f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對于函數y=f（x），如果當x→∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱

當x→∞時，函數f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當x→∞時）

（2）當x→+∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→+∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→+∞時，函數f（x）的極限是A，記作

這個定義與數列極限的定義基本上一樣，數列極限的定義中n→+∞的n是正整數；而在這個定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數，而為任意實數。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數f（x）=2+e-x，當x→+∞時，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當x→-∞時，函數f（x）的極限

定義對于函數y=f（x），如果當x→-∞時，f（x）無限地趨于一個常數A，則稱當x→-∞時，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數，當x→-∞時，f（x）→？

解：當x→-∞時，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時，函數f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時f（x）的極限是A充分必要條件是當x→+∞以及x→-∞時，函數f（x）有相同的極限A。例如函數，當x→-∞時，f（x）無限地趨于常數1，當x→+∞時，f（x）的極限是1，記作 也無限地趨于同一個常數1，因此稱當x→∞時

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對函數y=arctanx來講，因為有

即雖然當x→-∞時，f（x）的極限存在，當x→+∞時，f（x）的極限也存在，但這兩個極限不相同，我們只能說，當x→∞時，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設函數滿足條件：（1），（2）

在點的某個鄰域內（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對也成立。下面我們給出函數極限的四則運算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當時，時，上述運算法則可推廣到有限多個函數的代數和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運算法則求極限時，必須注意：這些法則要求每個參與運算的函數的極限存在，且求商的極限時，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運算法則對于的情形也都成立。

（五）無窮小量和無窮大量 1.無窮小量（簡稱無窮小）定義對于函數常用希臘字母定理1.10函數，如果自變量x在某個變化過程中，函數

為無窮小量，一般記作，?來表示無窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過程中，可表示為A與一個無窮小量之和。

注意：（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數嚴格區分開，一個很小的數，無論它多么小也不是無窮小量。

（3）一個變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢緊密相關的。在不同的變化過程中，同一個變量可以有不同的變化趨勢，因此結論也不盡相同。例如：

振蕩型發散

（4）越變越小的變量也不一定是無窮小量，例如當x越變越大時，就越變越小，但它不是無窮小量。

（5）無窮小量不是一個常數，但數“0”是無窮小量中惟一的一個數，這是因為。

2.無窮大量（簡稱無窮大）定義；如果當自變量（或∞）時，的絕對值可以變得充分大（也即無。

或

。限地增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作注意：無窮大（∞）不是一個數值，“∞”是一個記號，絕不能寫成3.無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡單的關系，見以下的定理。

定理1.11在同一變化過程中，如果如果當當為無窮小量，且無窮大 無窮小 為無窮小，則

為無窮大量，則為無窮大量。

為無窮小量；反之，無窮大

4.無窮小量的基本性質

性質1有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；

性質2有界函數（變量）與無窮小量的乘積是無窮小量；特別地，常量與無窮小量的乘積是無窮小量。

性質3有限個無窮小量的乘積是無窮小量。

性質4無窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無窮小量。5.無窮小量的比較 定義設（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過程中的無窮小量，即則稱

是比較高階的無窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無窮小量； 則稱與則稱

為等價無窮小量，記為是比較低價的無窮小量。當

；

等價無窮小量代換定理：

如果當時存在，則又有。

均為無窮小

均為無窮小量，又有且

這個性質常常使用在極限運算中，它能起到簡化運算的作用。但是必須注意：等價無窮小量代換可以在極限的乘除運算中使用。常用的等價無窮小量代換有： 當時，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個公式很重要，應用它可以計算三角函數的其結構式為：

型的極限問題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個常數（銀行家常數），叫自然對數的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結構式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時，這兩個重要極限在極限計算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運算法則求極限； 2.利用兩個重要極限求極限； 3.利用無窮小量的性質求極限； 4.利用函數的連續性求極限；

5.利用洛必達法則求未定式的極限； 6.利用等價無窮小代換定理求極限。基本極限公式

（2）（3）

（4）例1.無窮小量的有關概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過程中為無窮小量的是 A.C.A.B.D.發散

[答]C

D.（2）[0202]當時，與x比較是 A.高階的無窮小量B.等價的無窮小量

C.非等價的同階無窮小量D.低階的無窮小量 [答]B 解:當,與x是

極限的運算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當時求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計算

[答]

解:

例7.用函數的連續性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價無窮小代換定理求極限 [0317]解:當 [答]0

例9.求分段函數在分段點處的極限（1）[0307]設則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達法則）

即（2）若[解析]型未定式.當時，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內容：

極限的概念；極限的性質；極限的運算法則；兩個重要極限；無窮小量、無窮大量的概念；無窮小量的性質以及無窮小量階的比較。

第二節函數的連續性

[復習考試要求]

1.理解函數在一點處連續與間斷的概念，理解函數在一點處連續與極限存在之間的關系，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續性的方法。2.會求函數的間斷點。

3.掌握在閉區間上連續函數的性質會用它們證明一些簡單命題。

4.理解初等函數在其定義區間上的連續性，會利用函數連續性求極限。[主要知識內容]

（一）函數連續的概念 1.函數在點x0處連續

定義1設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時，相應的函數的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數y=f（x）在點x0處連續。

函數y=f（x）在點x0連續也可作如下定義：

定義2設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義，如果當x→x0時，函數y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數值f（x0），即

定義3設函數y=f（x），如果，則稱函數f（x）在點x0處左連續；如果，則稱函數f（x）在點x0處右連續。由上述定義2可知如果函數y=f（x）在點x0處連續，則f（x）在點x0處左連續也右連續。2.函數在區間[a，b]上連續

定義如果函數f（x）在閉區間[a，b]上的每一點X處都連續，則稱f（x）在閉區間[a，b]上連續，并稱f（x）為[a，b]上的連續函數。這里，f（x）在左端點a連續，是指滿足關系：，在右端點b連續，是指滿足關系：，即f（x）在左端點a處是右連續，在右端點b處是左連續。

可以證明：初等函數在其定義的區間內都連續。3.函數的間斷點

定義如果函數f（x）在點x0處不連續則稱點x0為f（x）一個間斷點。由函數在某點連續的定義可知，若f（x）在點x0處有下列三種情況之一：（1）在點x0處，f（x）沒有定義；

（2）在點x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點x0處f（x）有定義，且，則點x0是f（x）一個間斷點。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續 C.x=0處間斷，x=1處連續 D.x=0處連續，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點 x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續 ［答案］C [9703]設A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續，則k等于

［答案］B 例3[0209]設解：f（0）=e0=1

在x=0處連續，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數在一點處連續的性質

由于函數的連續性是通過極限來定義的，因而由極限的運算法則，可以得到下列連續函數的性質。

定理1.12（四則運算）設函數f（x），g（x）在x0處均連續，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續（2）f（x）·g（x）在x0處連續（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續。

定理1.13（復合函數的連續性）設函數u=g（x）在x=x0處連續，y=f（u）在u0=g（x0）處連續，則復合函數y=f[g（x）]在x=x0處連續。

在求復合函數的極限時，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對應的

定理1.14（反函數的連續性）設函數y=f（x）在某區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少），則它的反函數x=f-1（y）也在對應區間上連續，且嚴格單調增加（或嚴格單調減少）。

（三）閉區間上連續函數的性質

在閉區間[a，b]上連續的函數f（x），有以下幾個基本性質，這些性質以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則在這個區間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且其最大值和最小值分別為M和m，則對于介于m和M之間的任何實數C，在[a，b]上至少存

處連續，則極限符號可以與函數符號交換。即

在一個ξ，使得

推論（零點定理）如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號，則在[a，b]內至少存在一個點ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數的連續性

由函數在一點處連續的定理知，連續函數經過有限次四則運算或復合運算而得的函數在其定義的區間內是連續函數。又由于基本初等函數在其定義區間內是連續的，可以得到下列重要結論。

定理1.18初等函數在其定義的區間內連續。

利用初等函數連續性的結論可知：如果f（x）是初等函數，且x0是定義區間內的點，則

f（x）在x0處連續

也就是說，求初等函數在定義區間內某點處的極限值，只要算出函數在該點的函數值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數方程x3-5x+1=0在區間（0,1）內至少有一個實根.證：設f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續 f（0）=1 f（1）=-3 由零點定理可知，至少存在一點ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內至少有一個實根。本章小結

函數、極限與連續是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運算又是微積分的三大運算中最基本的運算之一，必須熟練掌握，這會為以后的學習打下良好的基礎。

這一章的內容在考試中約占15%，約為22分左右。現將本章的主要內容總結歸納如下：

一、概念部分

重點：極限概念，無窮小量與等價無窮小量的概念，連續的概念。

極限概念應該明確極限是描述在給定變化過程中函數變化的性態，極限值是一個確定的常數。

函數在一點連續性的三個基本要素：（1）f（x）在點x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運算部分

重點：求極限，函數的點連續性的判定。1.求函數極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運算法則求極限；

對于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個重要極限求極限；

（3）利用無窮小量的性質求極限；（4）利用函數的連續性求極限； 若f（x）在x0處連續，則。

（5）利用等價無窮小代換定理求極限；（6）會求分段函數在分段點處的極限；（7）利用洛必達法則求未定式的極限。

2.判定函數的連續性，利用閉區間上連續函數的零點定理證明方程的根的存在性。

第三篇：專升本高等數學復習題15

數學分析3試卷（2）

一、（12%）判別下列級數的斂散性：

?

（1）?

n?1(n!)2?(2n)!（2）?

n?1nnn(2n?1)

二、（20%）證明

11?xsin?ysin?yx（1）f(x,y)??

?0?xy?0xy?0(x,y?)在原點(0,(0,0)的 極限是0.（2）g(x,y)??xy

x?y22在原點(0,0)不存在極限.??x?y

三、（10%）證明函數f(x,y)????0xy?0xy?0在(0,0)存在兩個偏導數，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求復合函數??f(x,y),x?2(s?t),y?st的二階偏導數.五、（12%）驗證方程x3?y3?z3?2xyz?6在點(1,1,2)的鄰域存在以x,y為自變量的隱函數并求?z

?x與?z

?y.六、（10%）求函數z?3x?3y?6xy的極值.七、（10%）求曲面z?x?y?1在點(1,1,1)的切平面方程與法線的方程.?2233

八、（10%）.設f(x)??1?nn?1

42x4x2(n?0)?（1）判定級數?

n?1x1?nx的一致收斂性.（2）證明和函數f(x)在(0,??)連續.

第四篇：2011高等數學模擬題專升本

山東省專升本《高等數學》模擬試題

（一）一、填空題 1.函數y?ln(3?x)|x|?1?x的定義域為_____________.?x?1?2.lim??x???x??____________.3.曲線y?(x?4)33?x在點（2，6）處的切線方程為__________.二、選擇題

1.設f(x)在點x0處可導，且f?(x0)??2,則lim(A).12f(x0?h)?f(x0)hh?0?()(B).2(C).?12(D).?2

2..當x?0時, x2與sinx比較是().(A).較高階的無窮小(B).較低階的無窮小(C).同階但不等價的無窮小(D).等價的無窮小

3.設曲線y?x2?x?2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標為()(A).(1,0)(B).(?1,0)(C).(2,4)(D).(-2,0)

(C).y?cos(arcsinx?C)(D).arcsinx?C

三、計算題 1.計算limx?arctanxln(1?x)3

dzdtx?02.設z?uv?sint,u?e,v?cost,求全導數3.求微分方程xy??y?xcosx的通解.?t.4.求冪級數?n?1(?1)n2n?1x的收斂域.n山東省專升本《高等數學》模擬試題

（一）解析

一、填空題： 1.函數y?ln(3?x)|x|?1的定義域為_____________.分析 初等函數的定義域，就是使函數表達式有意義的那些點的全體.解 由??3?x?0?|x|?1?0?x知，定義域為?x1?x?3或x??1?.?x?1?2.lim??x??x???__________?x?__.分析 屬1型,套用第二個重要極限.?x?1?解 lim??x???x?1???lim?1??x??x??x?(?1)?e?1.3.曲線y?(x?4)33?x在點（2，6）處的切線方程為__________.解 y??33?x?(x?4)?3?13(3?x)2,y?x?2??1，所求切線方程為:y?6??(x?2),即y??x?8.二、選擇題

1.設f(x)在點x0處可導，且f?(x0)??2,則lim(A).12f(x0?h)?f(x0)hh?0?()

(B).(C).?12

(D).?2

解 limf(x0?h)?f(x0)hh?0?limf(x0?h)?f(x0)?hh?0?(?1)??f?(x0)?2.選(B).22..當x?0時, x與sinx比較是（）.(A).較高階的無窮小

(B).較低階的無窮小

(C).同階但不等價的無窮小

(D).等價的無窮小

分析 先求兩個無窮小之比的極限,再做出正確選項.解 因lim2x2x?0sinx?limxsinxx?0?x?0,故選(A).3.設曲線y?x?x?2在點M處的切線斜率為3,則點M的坐標為()

(A).1(,0)

(B).?(1,0)

(C).2(,4)

(D).(-2,0)解 由y??2x?1?3知x?1, 又y

三、計算題 1.計算limx?arctanxln(1?x)3x?1?0,故選(A).分析 屬00型未定式,利用等價無窮小代換,洛必達法則等求之.x?0解 limx?arctanxln(1?x)x22x?03?limx?arctanxx31??limx?011?x23x2

x?0?limx?03x(1?x)2?lim13(1?x)2x?0?13.dzdt2.設z?uv?sint,u?et,v?cost,求全導數解 dzdt??z?ut.?dudt??z?v?dvdt??z?t

t?ve?u(?sint)?cost?e(cost?sint)?cost.3.求微分方程xy??y?xcosx的通解.分析 屬一階線性微分方程,先化成標準形,再套用通解公式.解 原方程化為: y??通解為: y?e??p(x)dx1xy?cosx,p(x)?1x,q(x)?cosx

11?dx?dx?p(x)dx?????xxq(x)edx?C?ecosxedx?C??? ?????????111?????xsinx?cosx?C?.xcosxdx?C?xdsinx?C???xxx4.求冪級數?n?1(?1)n2n?1x的收斂域.n分析 先求收斂半徑,收斂區間,再討論端點處的斂散性,從而確定收斂區域.解 收斂半徑:R?limanan?1n?1nn???lim(n?1)n22n???1, 收斂區間為(-1,1)?在x??1處,級數?n?1?(?1)n2?(?1)???n?11n2收斂;在x?1處,級數?n?1(?1)n2n?1收斂,所以收斂域為:[-1,1].山東考試書店是山東最大的專升本專業書店，下設山大店和山師店。主營專升本教材、公共課真題（2005-2011）包含聽力、專業課真題（2006-2011）專業課筆記、練習題、課件。贈送公共課課件、真題、練習題、資料。聯系QQ：187211979

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第五篇：高等數學專升本考試大綱

湖南工學院“專升本”基礎課考試大綱

《高等數學》考試大綱

總

要

求

考生應按本大綱的要求，了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續、一元函數微分學、一元函數積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。

內

容

一、函數、極限和連續

（一）函數 1.考試范圍

（1）函數的概念：函數的定義

函數的表示法

分段函數（2）函數的簡單性質：單調性

奇偶性

有界性

周期性（3）反函數：反函數的定義

反函數的圖象（4）函數的四則運算與復合運算

（5）基本初等函數：冪函數 指數函數 對數函數 三角函數

反三角函數（6）初等函數 2.要求

（1）理解函數的概念，會求函數的定義域、表達式及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，并會作出簡單的分段函數圖像。

（2）理解和掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數的類別。

（3）了解函數y=?（x）與其反函數y=?-1（x）之間的關系（定義域、值域、圖象），會求單調函數的反函數。

（4）理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。（5）掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象。（6）了解初等函數的概念。

（7）會建立簡單實際問題的函數關系式。

（二）極限 1.考試范圍

（1）數列極限的概念：數列

數列極限的定義

（2）數列極限的性質：唯一性

有界性

四則運算定理

夾逼定理

單調 1 有界數列

極限存在定理

（3）函數極限的概念

函數在一點處極限的定義

左、右極限及其與極限的關系

x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數的極限

函數極限的幾何意義

（4）函數極限的定理：唯一性定理

夾逼定理

四則運算定理（5）無窮小量和無窮大量

無窮小量與無窮大量的定義

無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量與無窮大量的性質

兩個無窮小量階的比較

（6）兩個重要極限

limsinxxx?0?lim（1?x??1x）?e

x2.要求

（1）理解極限的概念（對極限定義中“ε-N”、“ε-δ”、“ε-M”的描述不作要求），能根據極限概念分析函數的變化趨勢。會求函數在一點處的左極限與右極限，了解函數在一點處極限存在的充分必要條件。

（2）了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。會運用等價無窮小量代換求極限。

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續 1.考試范圍

（1）函數連續的概念

函數在一點連續的定義 左連續和右連續

函數在一點連續的充分必要條件

函數的間斷點及其分類

（2）函數在一點處連續的性質

連續函數的四則運算

復合函數的連續性

反函數的連續性（3）閉區間上連續函數的性質

有界性定理 最大值和最小值定理

介值定理（包括零點定理）（4）初等函數的連續性 2.要求

（1）理解函數在一點連續與間斷的概念，掌握判斷簡單函數（含分段函數）在一點的連續性，理解函數在一點連續與極限存在的關系。

（2）會求函數的間斷點及確定其類型。

（3）掌握在閉區間上連續函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題。（4）理解初等函數在其定義區間上連續，并會利用連續性求極限。二、一元函數微分學

（一）導數與微分 1.考試范圍（1）導數概念

導數的定義

左導數與右導數

導數的幾何意義與物理意義

可導與連續的關系

（2）求導法則與導數的基本公式

導數的四則運算

反函數的導數

導數的基本公式（3）求導方法

復合函數的求導法

隱函數的求導法

對數求導法

由參數方程確定的函數的求導法

求分段函數的導數

（4）高階導數的概念：高階導數的定義

高階導數的計算

（5）微分：微分的定義

微分與導數的關系

微分法則

一階微分形式不變性

2.要求

（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函數的求導方法，會求反函數的導數。

（4）掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數。

（5）理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

（6）理解函數的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

（二）中值定理及導數的應用 1.考試范圍

（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必達（L’Hospital）法則（3）函數增減性的判定法

（4）函數極值與極值點

最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點

（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線 2.要求

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式。

（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞”型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調增、減區間的方法，會利用函數的增減性證明簡單的不等式。

（4）理解函數極值的概念，掌握求函數的極值和最大（小）值的方法，并且會解簡單的應用問題。0（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。（7）會作出簡單函數的圖形。三、一元函數積分學

（一）不定積分 1.考試范圍

（1）不定積分的概念：原函數與不定積分的定義

原函數存在定理

不定積分的性質

（2）基本積分公式

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法）

第二換元法（4）分部積分法

（5）一些簡單有理函數的積分 2.要求

（1）理解原函數與不定積分概念及其關系，掌握不定積分性質，了解原函數存在定理。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（5）會求簡單有理函數的不定積分。

（二）定積分 1.考試范圍

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義

可積條件（2）定積分的性質（3）定積分的計算

變上限的定積分

牛頓一萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式

換元積分法

分部積分法

（4）無窮區間的廣義積分

（5）定積分的應用：平面圖形的面積

旋轉體的體積

2.要求

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。（2）掌握定積分的基本性質。

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（6）理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。

（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積。

四、多元函數的微積分學及應用

（一）多元函數的微分學 1.考試范圍

（1）多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限與連續的概念（2）多元函數偏導數的概念與幾何意義 全微分的概念（3）全微分存在的必要條件和充分條件

（4）多元復合函數 隱函數的求導方法 二階偏導數

2.要求

（1）理解多元函數的概念；了解二元函數的幾何意義； 了解二元函數的極限的連續的概念。

（2）理解多元函數偏導數和全微分的概念，知道全微分存在的必要條件和充分條件。（3）掌握偏導數與微分的四則運算法則，掌握復合函數的求導法則法，會求一些函數的二階偏導數。

（二）多元函數的微分學的應用 1.考試范圍

（1）多元函數極值和條件極值的概念

（2）多元函數極值的必要條件 二元函數極值的充分條件（3）多元函數極值和最值的求法及簡單應用 2.要求

（1）了解多元函數極值和條件極值的概念，知道多元函數極值存在的必要條件。（2）了解二元參數極值存在的必要條件和充分條件。

（3）掌握二元函數極值、最值問題的求法，會解簡單應用問題。

（三）二重積分 1．考試范圍

（1）二重積分的概念和性質（2）二重積分的計算和應用 2．要求

（1）了解二重積分的概念與性質，了解二重積分的中值定理。（2）掌握二重積分的計算方法，會用二重積分求一些簡單幾何量。

五、常微分方程

（一）一階微分方程 1.考試范圍

（1）微分方程的概念：微分方程的定義

階

解

通解

初始條件

特解（2）可分離變量的方程（3）一階線性方程 2.要求

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。

（二）可降價方程 1.考試范圍

（1）y（n）= ?（x）型方程

（2）y″= ?（x，y′）型方程 2.要求

（1）會用降價法解（1）y

（三）二階線性微分方程 1.考試范圍

（1）二階線性微分方程解的結構（2）二階常系數齊次線性微分方程（3）二階常系數非齊交線性微分方程 2.要求

（1）了解二階線性微分方程解的結構。

（2）掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

（3）掌握二階常系數非齊次線性微分方程的解法（自由項限定為?（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）為x的n次多項式。α為實常數）.（n）

= ?（x）型方程

（2）會用降價法解y″= ?（x，y′）型方程

試 卷 結 構

試卷總分：100分 考試時間：120分鐘 試卷題型比例：

選擇題

約15% 填空題

約25% 計算題

約40% 綜合題

約20% 試題難易比例：

容易題

約40% 中等難度題

約50% 較難題

約10% 章節比例：

一、函數、極限和連續

約25% 二、一元函數微分學

約25% 三、一元函數積分學

約25%

四、多元函數的微積分學及應用

約15%

五、常微分方程

約10% 指定教材：

《高等數學》（上、下冊）第五版，同濟大學應用數學系編 《高等數學》 王國政主編 復旦大學出版社

《高等數學學習指導》（上）黎國玲主編 復旦大學出版社

《高等數學學習指導》（下 練習冊）湖南工學院數學教研室編 復旦大學出版社