第一篇：2014年河南專升本《高等數(shù)學(xué)》教材大全

2014年河南專升本高數(shù)教材

2014年考試專用教材，由葛云飛教授主編的一本為大學(xué)專科層次的學(xué)生和讀者編寫的高等數(shù)學(xué)教材。

全書共分三部分：第一部分是河南專升本高等數(shù)學(xué)考試基礎(chǔ)知識(shí)及重難點(diǎn)（共十二章，三十節(jié)），其中包含了課后習(xí)題，題型點(diǎn)撥等內(nèi)容；第二部分是真題聚焦，包含了自河南專升本以來(lái)的歷年真題；第三部分是模擬試卷，是由河南專升本命題研究組根據(jù)歷年河南專升本命題趨向編制的針對(duì)2014年河南專升本考生的模擬試題。

本書內(nèi)容通俗淺顯，融復(fù)習(xí)內(nèi)容與考試內(nèi)容與一體，不僅有助于考生系統(tǒng)地復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，更有助于考生準(zhǔn)確掌握考試的重點(diǎn)、難點(diǎn)，提高應(yīng)試能力。同時(shí)，本書試題涵蓋不同層面的知識(shí)，能夠滿足不同程度學(xué)生的要求，適應(yīng)面廣，可伸縮性強(qiáng)。對(duì)參加河南專升本的考生來(lái)說(shuō)本書會(huì)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

第二篇：2014年河南專升本《高等數(shù)學(xué)》教材

2014年河南專升本高數(shù)教材

2014年河南專升本考試專用教材，由河南省專升本命題研究中心組編，葛云飛教授主編的一本為大學(xué)專科層次的學(xué)生和讀者編寫的高等數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)類教材。

全書共分三部分：第一部分包括第一章至第十二章，主要內(nèi)容有函數(shù)、極限與連續(xù)，一元函數(shù)微分學(xué)，一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用，不定積分，定積分，定積分的應(yīng)用，常微分方程，向量代數(shù)與空間解析幾何，多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，曲線積分，無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中包含了課后習(xí)題，題型點(diǎn)撥等；第二部分是真題聚焦，包含了自河南專升本以來(lái)的歷年所有真題；第三部分是模擬試卷，是由河南專升本命題研究組根據(jù)歷年河南專升本命題趨向編制的針對(duì)2013年河南專升本考生的模擬試題。

本書內(nèi)容通俗淺顯，各章配有基本要求、基本知識(shí)、典型例題、同步練習(xí)和綜合測(cè)試題，模擬試題，能夠滿足不同程度學(xué)生的要求，適應(yīng)面廣，可伸縮性強(qiáng)。本書可作為高等職業(yè)院校、高等專科院校、成人高等院校、本科院校舉辦的二級(jí)職業(yè)技術(shù)學(xué)院相關(guān)專業(yè)的教學(xué)用書，也可供五年制高職院校、中等職業(yè)學(xué)校及其他有關(guān)人員使用，對(duì)于從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)工作的高職高專院校的老師也是一本內(nèi)容詳實(shí)的參考書。

自此教材出版以來(lái)，每年均有90%以上的考高數(shù)的河南專升本考生選用此教材。這本教材對(duì)參加河南專升本的考生會(huì)是一個(gè)不錯(cuò)的選擇

第三篇：專升本高等數(shù)學(xué)(二)

成人高考（專升本）高等數(shù)學(xué)二

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。

第二章一元函數(shù)微分學(xué) 第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

2.會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

3.熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4.掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

6.理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.熟練掌握用洛必達(dá)法則求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的極限的方法。

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。

3.理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法，會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。

4.會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。5.會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線

第三章一元函數(shù)積分學(xué)

第一節(jié)不定積分

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2.熟練掌握不定積分的基本公式。

3.熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

4.熟練掌握不定積分的分部積分法。5.掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。

第二節(jié)定積分及其應(yīng)用

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件 2.掌握定積分的基本性質(zhì)

3.理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4.熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

5.掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

6.理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

7.掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積。

第四章多元函數(shù)微分學(xué)

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函數(shù)的幾何意義。2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

3.理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4.掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5.會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。

6.會(huì)用二元函數(shù)的無(wú)條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

第五章概率論初步

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。

2.掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3.理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4.理解概率的古典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5.會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。

6.了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。

7.理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8.會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。[主要知識(shí)內(nèi)容]

（一）數(shù)列的極限 1.數(shù)列

定義按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)

稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作{xn}，數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)xn為數(shù)列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如

（1）1，3，5，?，（2n-1），?（等差數(shù)列）（2）（3）（等比數(shù)列）（遞增數(shù)列），?（震蕩數(shù)列）（4）1，0，1，0，?都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為（2n-1）,。

對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n，都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)數(shù)列{xn}可看作自變量n的函數(shù)xn=f（n），它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3?一切正整

數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。

在幾何上，數(shù)列{xn}可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3,...xn,?。2.數(shù)列的極限

定義對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列{xn}以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A，記作

比如：

無(wú)限的趨向0，無(wú)限的趨向1 否則，對(duì)于數(shù)列{xn}，如果當(dāng)n→∞時(shí)，xn不是無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱數(shù)列{xn}沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。比如：1，3，5，?，（2n-1），? 1，0，1，0，?

依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)列{xn}以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A，即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之間的距離|xn-A|趨于0。比如：

無(wú)限的趨向0 無(wú)限的趨向1

（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則 1.數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1.1（惟一性）若數(shù)列{xn}收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數(shù)列{xn}收斂，則它必定有界。

注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如： 1，0，1，0，?

有界：0，1 2.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列{xn},{yn},{zn}滿足以下條件：（1）（2），則，定理1.4若數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則它必有極限。3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5

（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，（三）函數(shù)極限的概念 1.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當(dāng)x→x0時(shí)）

例y=f（x）=2x+1 x→1,f（x）→? x<1x→1

x>1x→1

（2）左極限

當(dāng)x→x0時(shí)f（x）的左極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的左邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的左極限是A，記作

或f（x0-0）=A（3）右極限

當(dāng)x→x0時(shí)，f（x）的右極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x從x0的右邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的右極限是A，記作

或f（x0+0）=A 例子：分段函數(shù)，求，解：當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的左極限是1，即有

當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x→0時(shí)，f（x）的右極限是-1，即有

顯然，函數(shù)的左極限系：

定理1.6當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)f（x）的極限等于A的必要充分條件是

反之，如果左、右極限都等于A，則必有

x→1時(shí)f(x)→? x≠1x→1f(x)→2

對(duì)于函數(shù)，當(dāng)x→1時(shí)，f（x）的左極限是2，右極限也是2。

右極限

與函數(shù)的極限

之間有以下關(guān)

2.當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限（1）當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+ x→∞f(x)=1+→1

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱

當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

或f（x）→A（當(dāng)x→∞時(shí)）

（2）當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A，記作

這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n→+∞的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫出x→+∞，且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。

y=f(x)x→+∞f(x)x→？

x→+∞，f(x)=2+→2

例：函數(shù)f（x）=2+e-x，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→？ 解：f（x）=2+e-x=2+，x→+∞，f（x）=2+→2 所以

（3）當(dāng)x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）的極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f（x），如果當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限是A，記作

x→-∞f(x)→？ 則f(x)=2+(x＜0)x→-∞,-x→+∞

f(x)=2+→2

例：函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→？

解：當(dāng)x→-∞時(shí)，-x→+∞

→2，即有

由上述x→∞，x→+∞，x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）極限的定義，不難看出：x→∞時(shí)f（x）的極限是A充分必要條件是當(dāng)x→+∞以及x→-∞時(shí)，函數(shù)f（x）有相同的極限A。例如函數(shù)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）無(wú)限地趨于常數(shù)1，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限是1，記作 也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1，因此稱當(dāng)x→∞時(shí)

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛?/p>

即雖然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1+

y=arctanx

不存在。

但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛?/p>

即雖然當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）的極限存在，當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x→∞時(shí)，y=arctanx的極限不存在。

（四）函數(shù)極限的定理

定理1.7（惟一性定理）如果存在，則極限值必定惟一。定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù)滿足條件：（1），（2）

在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)（可除外）則有。

注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)也成立。下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理1.9如果（1）（2）

則

（3）當(dāng)時(shí)，時(shí)，上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：

（1）（2）

（3）

用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于的情形也都成立。

（五）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量 1.無(wú)窮小量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮小）定義對(duì)于函數(shù)常用希臘字母定理1.10函數(shù)，如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)

為無(wú)窮小量，一般記作，?來(lái)表示無(wú)窮小量。以A為極限的必要充分條件是： 的極限為零，則稱在該變化過(guò)程中，可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。

注意：（1）無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨于為零。

（2）要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮小量。

（3）一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：

振蕩型發(fā)散

（4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫。皇菬o(wú)窮小量。

（5）無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無(wú)窮小量中惟一的一個(gè)數(shù)，這是因?yàn)椤?/p>

2.無(wú)窮大量（簡(jiǎn)稱無(wú)窮大）定義；如果當(dāng)自變量（或∞）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無(wú)。

或

。限地增大），則稱在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作注意：無(wú)窮大（∞）不是一個(gè)數(shù)值，“∞”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。

定理1.11在同一變化過(guò)程中，如果如果當(dāng)當(dāng)為無(wú)窮小量，且無(wú)窮大 無(wú)窮小 為無(wú)窮小，則

為無(wú)窮大量，則為無(wú)窮大量。

為無(wú)窮小量；反之，無(wú)窮大

4.無(wú)窮小量的基本性質(zhì)

性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；

性質(zhì)2有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。

性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。

性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。5.無(wú)窮小量的比較 定義設(shè)（1）如果（2）如果（3）如果（4）如果是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即則稱

是比較高階的無(wú)窮小量，記作

。；

則稱與為同階的無(wú)窮小量； 則稱與則稱

為等價(jià)無(wú)窮小量，記為是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng)

；

等價(jià)無(wú)窮小量代換定理：

如果當(dāng)時(shí)存在，則又有。

均為無(wú)窮小

均為無(wú)窮小量，又有且

這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有： 當(dāng)時(shí)，sinx～x;tan～x;arctanx～x;arcsinx～x;

（六）兩個(gè)重要極限 1.重要極限Ⅰ

重要極限Ⅰ是指下面的求極限公式

令

這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的其結(jié)構(gòu)式為：

型的極限問(wèn)題。

2.重要極限Ⅱ

重要極限Ⅱ是指下面的公式：

其中e是個(gè)常數(shù)（銀行家常數(shù)），叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為 e=2.7***045?? 其結(jié)構(gòu)式為：

重要極限Ⅰ是屬于型的未定型式，重要極限Ⅱ是屬于“”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。

（七）求極限的方法：

1.利用極限的四則運(yùn)算法則求極限； 2.利用兩個(gè)重要極限求極限； 3.利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限； 4.利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；

5.利用洛必達(dá)法則求未定式的極限； 6.利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限。基本極限公式

（2）（3）

（4）例1.無(wú)窮小量的有關(guān)概念

（1）[9601]下列變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是 A.C.A.B.D.發(fā)散

[答]C

D.（2）[0202]當(dāng)時(shí)，與x比較是 A.高階的無(wú)窮小量B.等價(jià)的無(wú)窮小量

C.非等價(jià)的同階無(wú)窮小量D.低階的無(wú)窮小量 [答]B 解:當(dāng),與x是

極限的運(yùn)算： [0611]解：[答案]-1 例2.型因式分解約分求極限（1）[0208]解:

[答]

（2）[0621]計(jì)算解: 例3.型有理化約分求極限（1）[0316]計(jì)算解:

[答]

[答]

（2）[9516]解:

[答]

例4.當(dāng)時(shí)求

型的極限 [答]

（1）[0308]

一般地，有

例5.用重要極限Ⅰ求極限

（1）[9603]下列極限中，成立的是A.B.C.D.[答]B（2）[0006]解:

例6.用重要極限Ⅱ求極限

（1）[0416]計(jì)算 [答]

[解析]解一：令

答]

[

解二：

[0306][0601]（2）[0118]計(jì)算

[答]

解:

例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限 [0407]解:，[答]0

例8.用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限 [0317]解:當(dāng) [答]0

例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限（1）[0307]設(shè)則在的左極限[答]1 [解析]

（2）[0406]設(shè)[解析] ,則

[答]1

例10.求極限的反問(wèn)題（1）已知[解析]解法一：解法二：令得，解得.解法三：（洛必達(dá)法則）

即（2）若[解析]型未定式.當(dāng)時(shí)，令 于是即所以[0402][0017][解析]，得

.則常數(shù)

，即，得，.求a,b的值..，得，..，則k=_____.（答:ln2）

前面我們講的內(nèi)容：

極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念；無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量階的比較。

第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

[復(fù)習(xí)考試要求]

1.理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2.會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。

3.掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。

4.理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。[主要知識(shí)內(nèi)容]

（一）函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)

定義1設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量△x（初值為x0）趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量△y也趨近于0，即

則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)。

函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：

定義2設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f（x0），即

定義3設(shè)函數(shù)y=f（x），如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處連續(xù)，則f（x）在點(diǎn)x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)

定義如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的每一點(diǎn)X處都連續(xù)，則稱f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，并稱f（x）為[a，b]上的連續(xù)函數(shù)。這里，f（x）在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān)系：，即f（x）在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。

可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3.函數(shù)的間斷點(diǎn)

定義如果函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處不連續(xù)則稱點(diǎn)x0為f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若f（x）在點(diǎn)x0處有下列三種情況之一：（1）在點(diǎn)x0處，f（x）沒(méi)有定義；

（2）在點(diǎn)x0處，f（x）的極限不存在；（3）雖然在點(diǎn)x0處f（x）有定義，且，則點(diǎn)x0是f（x）一個(gè)間斷點(diǎn)。

存在，但，則f（x）在

A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù) C.x=0處間斷，x=1處連續(xù) D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷

解：x=0處，f（0）=0

∵f（0-0）≠f（0+0）x=0為f（x）的間斷點(diǎn) x=1處，f（1）=1

f（1-0）=f（1+0）=f（1）∴f（x）在x=1處連續(xù) ［答案］C [9703]設(shè)A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k，在x=0處連續(xù)，則k等于

［答案］B 例3[0209]設(shè)解：f（0）=e0=1

在x=0處連續(xù)，則a=

∵f（0）=f（0-0）=f（0+0）∴a=1 ［答案］1

（二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)

由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

定理1.12（四則運(yùn)算）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0處均連續(xù)，則（1）f（x）±g（x）在x0處連續(xù)（2）f（x）·g（x）在x0處連續(xù)（3）若g（x0）≠0，則在x0處連續(xù)。

定理1.13（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)u=g（x）在x=x0處連續(xù)，y=f（u）在u0=g（x0）處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處連續(xù)。

在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g（x），在x0處極限存在，又y=f（u）在對(duì)應(yīng)的

定理1.14（反函數(shù)的連續(xù)性）設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少），則它的反函數(shù)x=f-1（y）也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）。

（三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。

定理1.15（有界性定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f（x）必在[a，b]上有界。

定理1.16（最大值和最小值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上一定存在最大值和最小值。

定理1.17（介值定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為M和m，則對(duì)于介于m和M之間的任何實(shí)數(shù)C，在[a，b]上至少存

處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即

在一個(gè)ξ，使得

推論（零點(diǎn)定理）如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則在[a，b]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)ξ，使得 f（ξ）=0

（四）初等函數(shù)的連續(xù)性

由函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定理知，連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算而得的函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)。又由于基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，可以得到下列重要結(jié)論。

定理1.18初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

利用初等函數(shù)連續(xù)性的結(jié)論可知：如果f（x）是初等函數(shù)，且x0是定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則

f（x）在x0處連續(xù)

也就是說(shuō)，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的極限值，只要算出函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。［0407］

[0611]

例1.證明三次代數(shù)方程x3-5x+1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證：設(shè)f（x）=x3-5x+1 f（x）在［0，1］上連續(xù) f（0）=1 f（1）=-3 由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1）使得f（ξ）=0，ξ3-5ξ+1=0 即方程在（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。本章小結(jié)

函數(shù)、極限與連續(xù)是微積分中最基本、最重要的概念之一，而極限運(yùn)算又是微積分的三大運(yùn)算中最基本的運(yùn)算之一，必須熟練掌握，這會(huì)為以后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

這一章的內(nèi)容在考試中約占15%，約為22分左右。現(xiàn)將本章的主要內(nèi)容總結(jié)歸納如下：

一、概念部分

重點(diǎn)：極限概念，無(wú)窮小量與等價(jià)無(wú)窮小量的概念，連續(xù)的概念。

極限概念應(yīng)該明確極限是描述在給定變化過(guò)程中函數(shù)變化的性態(tài)，極限值是一個(gè)確定的常數(shù)。

函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)性的三個(gè)基本要素：（1）f（x）在點(diǎn)x0有定義。（2）（3）存在。

常用的是f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。

二、運(yùn)算部分

重點(diǎn)：求極限，函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性的判定。1.求函數(shù)極限的常用方法主要有：（1）利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；

對(duì)于“”型不定式，可考慮用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用兩個(gè)重要極限求極限；

（3）利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；（4）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限； 若f（x）在x0處連續(xù)，則。

（5）利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限；（6）會(huì)求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限；（7）利用洛必達(dá)法則求未定式的極限。

2.判定函數(shù)的連續(xù)性，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理證明方程的根的存在性。

第四篇：高等數(shù)學(xué)教材 2

目錄

一、函數(shù)與極限 ·························································································································· 21、集合的概念 ···················································································································· 22、常量與變量 ···················································································································· 32、函數(shù) ······························································································································· 33、函數(shù)的簡(jiǎn)單性態(tài) ············································································································ 44、反函數(shù)···························································································································· 55、復(fù)合函數(shù) ························································································································ 56、初等函數(shù) ························································································································ 67、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù) ································································································· 78、數(shù)列的極限 ···················································································································· 89、函數(shù)的極限 ···················································································································· 910、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則 ································································································· 11

第五篇：專升本高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題15

數(shù)學(xué)分析3試卷（2）

一、（12%）判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：

?

（1）?

n?1(n!)2?(2n)!（2）?

n?1nnn(2n?1)

二、（20%）證明

11?xsin?ysin?yx（1）f(x,y)??

?0?xy?0xy?0(x,y?)在原點(diǎn)(0,(0,0)的 極限是0.（2）g(x,y)??xy

x?y22在原點(diǎn)(0,0)不存在極限.??x?y

三、（10%）證明函數(shù)f(x,y)????0xy?0xy?0在(0,0)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，但是在(0,0)

不可微.四、（10%）求復(fù)合函數(shù)??f(x,y),x?2(s?t),y?st的二階偏導(dǎo)數(shù).五、（12%）驗(yàn)證方程x3?y3?z3?2xyz?6在點(diǎn)(1,1,2)的鄰域存在以x,y為自變量的隱函數(shù)并求?z

?x與?z

?y.六、（10%）求函數(shù)z?3x?3y?6xy的極值.七、（10%）求曲面z?x?y?1在點(diǎn)(1,1,1)的切平面方程與法線的方程.?2233

八、（10%）.設(shè)f(x)??1?nn?1

42x4x2(n?0)?（1）判定級(jí)數(shù)?

n?1x1?nx的一致收斂性.（2）證明和函數(shù)f(x)在(0,??)連續(xù).