第一篇：北師大版高二數學《正弦定理》教案

高中數學輔導網 http:///

第二章 解三角形

課標要求:本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的生活實際問題。

編寫意圖與特色

1．數學思想方法的重要性

數學思想方法的教學是中學數學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數學知識的理解和掌握。

本章重視與內容密切相關的數學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數學結論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結論。在初中，學生已經學習了相關邊角關系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！痹O置這些問題，都是為了加強數學思想方法的教學。

2．注意加強前后知識的聯系

加強與前后各章教學內容的聯系，注意復習和應用已學內容，并為后續章節教學內容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數學知識的學習和鞏固。

本章內容處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯系。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從聯系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構。

《課程標準》和教科書把“解三角形”這部分內容安排在數學五的第一部分內容，位置相對靠后，在此內容之前學生已經學習了三角函數、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯系密切的內容，這使這部分內容的處理有了比較多的工具，某些內容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量京翰教育1對1家教 http:///的方法，發揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3．重視加強意識和數學實踐能力

學數學的最終目的是應用數學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數學的意識不強，創造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數學問題，不能把所學的數學知識應用到實際問題中去，對所學數學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發現問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發，引入數學課題，最后把數學知識應用于實際問題。

教學內容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應用舉例（約4課時）1.3實習作業（約1課時）

評價建議

1．要在本章的教學中，應該根據教學實際，啟發學生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據具體教學過程中學生思考問題的方向來啟發學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發得到有應用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。

2．適當安排一些實習作業，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數學語言表達實習過程和實習結果能力，增強學生應用數學的意識和數學實踐能力。教師要注意對于學生實習作業的指導，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現的一些問題。

1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向

量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

abc學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：，接著就??sinAsinBsinC

一般斜三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

教學設想

[創設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。A 思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？[探索研究]圖1．1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角

abc三角函數中正弦函數的定義，有?sinA，?sinB，又sinC?1?, ccc

A

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三

ab角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則，?sinAsinB

C

cb同理可得，?sinCsinB

abc從而??sinAsinBsinC

AcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，???????由向量的加法可得AB?AC?CB ?????????

??????????????則j?AB?j?(AC?CB)AB

??????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????ac ?jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?∴csinA?asinC，即?????bc同理，過點C作j?BC，可得?從而a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc ??sinAsinBsinC

[理解定理]:（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

abcabcbac（2）等價于，?????sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBsinAsinC

從而知正弦定理的基本作用為： bsinA①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]:

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20； asinB42.9sin81.80

??80.1(cm)； 根據正弦定理，b?sin32.0asinC42.9sin66.20

??74.1(cm).根據正弦定理，c?sin32.0評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。bsinA28sin400解：根據正弦定理，sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.asinC20sin760

??30(cm).⑴ 當B?64時，C?180?(A?B)?180?(40?64)?76，c?sin40000000

asinC20sin240

??13(cm).⑵ 當B?116時，C?180?(A?B)?180?(40?116)?24，c?sin40000000

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第47頁練習1、2題。

a?b?c sinA?sinB?sinC

abc分析：可通過設一參數k(k>0)使???k, sinAsinBsinC

abca?b?c證明出 ???sinAsinBsinsin?sin?sinabc解：設???k(k>o)則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC sinsinsina?b?cksinA?ksinB?ksinC從而==k sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

aa?b?c?2?k又，所以=2 ?sinA

sinA?sinB?sinC

abca?b?c評述： ?ABC中，等式 ????k?k?0?恒成立。sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）

abca?b?c（1）定理的表示形式：????k?k?0?； sinsinsinsin?sin?sin例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

abc

（五）:①課后思考題：在?ABC中，???k(k>o)，這個k與?ABCsinAsinBsinC

有什么關系？

作業：第52頁[習題2.1]A組第7、4題。

第二篇：高一數學《正弦定理》教案

湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第五章平面向量

正弦定理

教學目標

（一）知識與技能目標

(1)掌握正弦定理及其推導過程．

(2)會利用正弦定理求解簡單的斜三角形邊角問題．

(3)能利用計算器進行計算．

（二）過程與能力目標

(1)通過用向量的方法證明正弦定理，體現向量的工具性，加深對向量知識應用的認識．

(2)通過啟發、誘導學生發現和證明正弦定理的過程，培養學生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．

（三）情感與態度目標

通過三角函數、正弦定理、向量數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一． 教學重點

正弦定理的證明及應用．

教學難點

(1)用向量知識證明正弦定理時的思路分析與探索．(2)正弦定理在解三角形時的應用思路．

教學過程

一、引入

解直角三角形需要用到的知識：

①三角形內角和定理： A?B?C?180? ②銳角三角函數：

ababsinA? ,cosA? ,tanA? ,cotA?;

ccbababasinB? ,cosB? ,tanB? ,cotB?.ccab③勾股定理：a?b?c 22

2二、新課

在直角三角形ABC中找出a, b,c與sinA, sinB, sinC之間的關系：

sinA?acsinB?c?bsinBbcsinC?1 c?csinC即：c?asinA

?asinA?bsinB?csinC 湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第五章平面向量

證明：

證法一:

(傳 統 證 法)在任意斜?ABC中：S?ABC?12absinC?1212acsinB?12bcsinABc

abC兩邊同除以asinA?bsinBabc,即得：csinCA?證法二:

(將角轉化到直角三角形中)作?ABC的外接圓O，作直徑BC',連接AC'，則?C??C'，設圓O半徑R，cc則：??2R;sinCsinC'同理可得：asinA?asinA?2R,?bsinBbsinB??2RcsinC?2RBcabC'C

A這里涉及到三角形中的邊角關系，而向量中的數量積則反應了邊角關系.證法三:

(向量知識來證明)?過A作單位向量 j 垂直于AC

AC?CB?AB，兩邊同乘以向量??j?(AC?CB)?j?AB???則：j?AC?j?CB?j?AB? j，B?cj ???j?ACcos90??j?CBcos(90??C)? ?j?ABcos(90??A)?asinC?csinA?asinA?csinCabAC同理：若過?C作j垂直于CB得： cb?，sinCsinBasinA?bsinB?csinCBc?Aa?jbC 當?ABC為鈍角三角形時，設??A?90?，過A作單位向量j垂直于AC可證明.湖南省長沙市第一中學 數學教案 高一（下）第五章平面向量

正 弦 定 理 ：

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦csinC比相等，即：.asinA?bsinB?

?2R(R為?ABC外接圓半徑)它適合于任何三角形變 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S? ABC?12absinC?12bcsinA ?12acsinB

正弦定理可以解決三角形問題：

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2.兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.三、應用

例 1.在?ABC中，已知c?10,A?45?, C?30?, 求a、b和B.例 2.已知?ABC中三內角的正弦之比為 4 ： 5 ： 6 ,又周長為2152,求三邊長.例 3.在?ABC中，已知sin2A? sinB?sinC,求證?ABC為直角三角形2.練習

教材第144頁第1題． 課堂小結：

1.正弦定理及其變形公式2.利用正弦定理解決三角;

形的兩類問題;

作業：

1.閱讀教材139頁至 144 頁；

2.教材第144頁習題5.9第1(1)(3)、2、5題．

第三篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學設計

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關系的探索，發現正弦定理；掌握正弦定理的內容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發，結合以前學習過的直角三角形中的邊角關系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發現并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應用；讓學生在應用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態度與價值觀：面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，發現并證明正弦定理。從發現與證明的過程中體驗數學的探索性與創造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生的好奇心與求知欲。培養學生處理解三角形問題的運算能力和探索數學規律的推理能力，并培養學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態度和樂于探索、勇于創新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對銳角三角形邊與角關系的探索，發現、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：①正弦定理的發現與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數的判斷。

三、教法與學法分析

本節課是教材第一章《解三角形》的第一節，所需主要基礎知識有直角三角形的邊角關系，三角函數相關知識。在教法上，根據教材的內容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設計恰當的問題情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯系，通過學生自己的親身體驗，使學生經歷正弦定理的發現過程，激發學生的求知欲，調動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環節逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應用，引導學生主動思考、總結、歸納解答過程中的內在規律，形成一般結論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結合的方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數學知識的內在聯系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數學思維能力，形成實事求是的科學態度和嚴謹求真的學習習慣。

四、學情分析

對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯系、理解、應用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習習近平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法——向量法，本節課沒有涉及到。根據以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯系，帶領學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。

五、教學工具

多媒體課件

六、教學過程 創設情境，導入新課

興趣是最好的老師。如果一節課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長

是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？ 教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決

這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發言）學生活動一:

（教師提示）把這個實際問題抽象為數學模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數據求出角C的大小,接著把題目中的相關數據和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才

（同時再一次回顧該同學具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？ 學生：可以

教師：那么具體應該怎么做呢？

學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關的數據代入即可求出BC的長度 教師：總結學生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關數據代入，本題便迎刃而解。定理的發現：

oo教師：如果把本題目中的有關數據變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學生1：同樣的做法（仍得作高）

學生2：只需將已知數據代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用

教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問

題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以

教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應用這兩個等式 并進行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？ 學生：不容易

教師：能否美化這個形式呢？

學生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個結論，到底表達的是什么意思呢？ 學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。

學生活動二：驗證

教師（提示）：要出現sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉化為）

學生：學生可分小組進行完成，最終可由各小組組長

匯報本小組的思路和做法。（結論成立）

教師：我們在銳角三角形中發現有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結果發現，這個等式對于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這

個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以

教師：這就是我們這節課要學習的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當三角形是直角三角形時；

在直角三角形ABC中：若 因為：

所以：

故：

即：

（3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）

過點A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對于任意的三角形都有

教師：這就是本節課我們學習的正弦定理（給出定理的內容）

（解釋定理的結構特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓練

學生：獨立完成后匯報結果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現了正弦定理的應用，其實正弦定理的應用相

當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測

高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應用推向高潮）

課堂小結：

1、知識方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發現

推廣

猜想

驗證

證明

（這是一種常用的科學研究問題的思路與方法，希望同學們在今

后的學習中一定要注意這樣的一個過程）

數學思想：轉化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業布置： ①書面作業：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓練中的已知條件改為以下幾種情況，結果如何？

板書設計：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應用：

檢測評估：

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情感目標：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

教學過程：

一、復習引入

創設情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數測出高度。

【創設情境總結】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉化為角，進而轉化為三角函數的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯系，邊和角甚至可以互相轉化，這節課我們就要從正弦這個側面來研究三角形邊角的關系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數量積呢？還

有數量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉化？（啟發學生得出通過做點A的垂線根據誘導公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結論。

【師】：經過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據比例的運算性質得到第四項。因此正弦定理的應用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯系三角形的內角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應用。

三、例題解析

【例1】優化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結

【師】：本節課的主要內容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數學式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。

五、作業布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設計：

六、教學反思

第五篇：高二數學正弦定理強化訓練

高二數學正弦定理強化訓練 9.3王平

1.在△ABC 中，b = 8，c =8，S△ABC =3，則∠A 等于()

A.30 oB.60oC.30o 或 150oD.60o 或120o 2.在△ABC中，若a = 2b sin A，則∠B為()

A.π3B.π

6C.π6或5π

D.π2π

3或33、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，則∠B等于()

A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°

4、已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，則△ABC的面積為()A．9B．18C．9D．185、在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c＝()A．52B．102C.63D．66、△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積等于

()

A.3

323

C.33D.2或347、若△ABC滿足下列條件：

① a = 4，b ? 10，?A ? 30?；② a ? 6，b ? 10，?A ? 30?； ③ a ? 6，b ? 10，?A ? 150?；④ a ? 12，b ? 10，?A ? 30?； 則△ABC存在且恰有一個的是()

A.①④B.③④C.④D.②④

8、已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，則求sin A9、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，則

求角A的大小

10、銳角△ABC中，若A＝2B，則求a

b