第一篇：2013江蘇高一數(shù)學(xué)增效減負(fù)學(xué)案：2：正弦定理(必修1)

正弦定理

一、設(shè)計(jì)思想：

定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上，努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。

二、教學(xué)目標(biāo)：

讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù)量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量，探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力，探索的精神與創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)幫助學(xué)生初步樹(shù)立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物主義觀點(diǎn)。

三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn)是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，判斷解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。

四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)：

（一）創(chuàng)設(shè)情境:

如圖，現(xiàn)在河岸兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間建一座

橋，需要知道A，B間的距離．由于環(huán)境因素不能

直接測(cè)量A，B間的距離．你有辦法間接測(cè)量A，B

兩點(diǎn)間的距離嗎？

引出：解三角形——已知三角形的某些邊和

角，求其他的邊和角的過(guò)程。C A [設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題。]

師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形中的邊角知識(shí)知多少？

生：······，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角”

師：“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形中的邊角關(guān)系？

引出課題：“正弦定理

[設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。]

（二）猜想、實(shí)驗(yàn)：

1、發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？

[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“a＞b＞c←→ A＞B＞C”，可能出現(xiàn)以

下答案情形。如

a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC,a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC，〃〃〃〃〃〃等等。]

[設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力]

2、研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三角形的邊角關(guān)系，提煉出asinA=bsinB=csinC。

3、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是否成立呢？

請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫(huà)板演示。在此基礎(chǔ)上，師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有asinA=bsinB=csinC。

[設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能力]

（三）證明探究：

對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正弦定理呢？

1、特殊入手，探究證明 ：在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，角與邊的等式關(guān)系。在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,?C?900，根據(jù)銳角

abc?sinA?sinBsiCn??c,則的正弦函數(shù)的定義，有c，c，又

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?c

a，從而在直角三角形ABC中，sinA

?

b

sinB

?

c

sinC。

2、推廣拓展，探究證明 ：

問(wèn)題2：在銳角三角形ABC中，如何構(gòu)造、表示 “a與sinA、b與sinB”的關(guān)系呢？

探究1：能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？

[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì)直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下三種方法構(gòu)造直角三角形。

生1：如圖1，過(guò) C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng)線于D，得到直角三角形DBC。

生2：如圖2，過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直角三角形問(wèn)題。生3：如圖3，分別過(guò)B、C作AB、AC邊上的垂線，交于D，連接AD，也得到兩個(gè)直角三角形〃〃〃〃〃〃] 經(jīng)過(guò)師生討論指出：方法2，簡(jiǎn)單明了，容易得到“c與sinC、b與sinB”的關(guān)系式。

[知識(shí)鏈接：根據(jù)化歸——這一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問(wèn)題是自然不過(guò)的。而方法3將把問(wèn)題

a

延伸到四點(diǎn)共圓，深究下去，可得sinA思考解決

]

?

b

sinB

?

c

sinC=2R，對(duì)此，可留做課后

圖

1圖

圖3圖

4探究2：能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？（1）圖2中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？

學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得

?

AB?BC?AC,AB?BC?CA?0,AB?CB?CA,（這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同的）, ??0等,（2）如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？(施以什么運(yùn)算?)生：施以數(shù)量積運(yùn)算

（3）可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？

[學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會(huì)做如下種種嘗試，如兩邊自乘平方、兩邊）同時(shí)點(diǎn)乘向量（或、，均無(wú)法如愿。此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量,并說(shuō)出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生余弦，垂直則實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。]

?

[知識(shí)鏈接：過(guò)渡教材中，證明方法所引用的單位向量j就是與向量AD 共

線的單位向量。過(guò)去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解，經(jīng)如此鋪墊方顯自然]

探究3：能否引入向量的坐標(biāo)形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算？

（1）如圖4，建立直角坐標(biāo)系，可得：A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA),（2）向量BC的坐標(biāo)=？（bcosA-c，bsinA）

（3）哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定義，該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？

根據(jù)平行四邊形法則，D（acos(1800?B),asin(1800?B)），從而建立等量關(guān)系：bcosA－c=acos(bcosA+ 1800?B), bsinA= asin(1800?B), 整理，得c= acosB（這其實(shí)是射影定理），a/sinA=b/sinB，同理可得a/sinA=c/sinC。

[知識(shí)鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具，我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決定是否采用探究2與3]

問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)）

（四）理解定理、基本應(yīng)用：

1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

abc

??

sinAsinBsinC

問(wèn)題

4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？

（1）從結(jié)構(gòu)看：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。

（2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求一。從而知正弦定理的基本作用為：

bsinA

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?；

sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如

sinA?sinB

a。

2、例題分析

例1．在?ABC中，已知A?450，C?300，c?10cm，解三角形。評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。

例2．在?ABC

中，已知a?2,c?A?450，解三角形

評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？為什么？

3、課堂練習(xí)：（1）、引題（問(wèn)題1）（2）、在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

[設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1）目的是首尾呼應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。]

（五）課堂小結(jié)：

問(wèn)題5：請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。生1：原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形了 師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。

生2：原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書(shū)上一種方法，今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。

師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。

生3：公式很美。師：美在哪里？

生3：體現(xiàn)了公式的對(duì)稱美，和諧美······

在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)：

1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù)學(xué)工具的多樣性。

2、正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律,據(jù)此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，具有美學(xué)價(jià)值

3、利用正弦定理解決三類三角形問(wèn)題：

（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。

（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊 的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角。

（3）實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。

[設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤托出，學(xué)生接受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆。]

（六）分層作業(yè)：

1、書(shū)面作業(yè)：課時(shí)訓(xùn)練對(duì)應(yīng)內(nèi)容

2、研究類作業(yè)：

1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。

abc

???ksinAsinBsinC2）在△ABC中，研究k的幾何意義

3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一確定嗎？ [設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則，在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述。]

已知邊a,b 和A

Ha

無(wú)解

Ha = CH = bsinA僅有一個(gè)解

CH = bsinA

僅有一個(gè)解

第二篇：正弦定理2學(xué)案

【總02】必修5§1.1正弦定理（2）第2課時(shí)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握正弦定理及其變式的結(jié)構(gòu)特征和作用 2.探究三角形的面積公式

3.能根據(jù)條件判斷三角形的形狀

4.能根據(jù)條件判斷某些三角形解的個(gè)數(shù)

二、學(xué)法指導(dǎo)

1.利用正弦定理可以將三角形中的邊角關(guān)系互化，同時(shí)要注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一關(guān)系的應(yīng)用；

2.利用正弦定理判定三角形形狀，常運(yùn)用變形形式，結(jié)合三角函數(shù)的有關(guān)公式，得出角的大小或邊的關(guān)系。

三、課前預(yù)習(xí)

1.正弦定理______?_______?_______=________ 2.正弦定理的幾個(gè)變形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形時(shí)，常用的結(jié)論

（1）在?ABC中，A>B?_________?_____________(2)sin(A+B)=sinC

四、課堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理說(shuō)明同一三角形中，邊與其對(duì)角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）正弦定理的變形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問(wèn)題：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一(4)三角形的面積公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的證法一，證明S1

?ABC?

absinC，并運(yùn)用此結(jié)論解決下面問(wèn)題：（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

五、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例2(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

變式練習(xí)：?ABC中，已知abcosA?cosB?c

cosC，試判斷三角形的形狀.六、鞏固訓(xùn)練

（一）當(dāng)堂練習(xí)

1.在?ABC中，若a?3,A?60?,那么?ABC的外接圓的 周長(zhǎng)為_(kāi)_______ 2.在?ABC中,cb?cosCcosB,則?ABC的形狀為_(kāi)_____ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

a?b?c

sinA?sinB?sinC

?_______

4.?ABC中，tanA?sin2

B?tanB?sin2

A，那么?ABC一 定是_______

5.?ABC中，A為銳角，lgb?lg

c

?lgsinA??lg2，則 ?ABC形狀為_(kāi)____

6?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦 定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____

第三篇：1正弦定理學(xué)案

1．1．1正弦定理學(xué)案

學(xué)習(xí)目標(biāo)

通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。用具：計(jì)算器 [探索研究]

首先來(lái)探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,例2．在?ABC中，已知a=

2，b=3，A=45，解三角形

O

abc

根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有?sinA，?sinB，又siCn??1,c

c

c

A

則

a

b

c

sinA

?

sinB

?

sinC

?c從而在直角三角形ABC中，a

?

b

c

sinA

sinB

?

sinC

(圖1．1-2)

思考：那么對(duì)于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？ 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

從上面的研探過(guò)程，可得以下定理

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

[理解定理]

正弦定理的基本作用為：

①；

②。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過(guò)程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A=45O，B=30O，c=10cm，解三角形。解：

例3在三角形ABC中，若a2tanB=b2

tanA,判斷三角形形狀

[隨堂練習(xí)]

1三角形ABC中，a=4,A=450,B=60O,求b2在三角形ABC中A=60O,a=4,b=42求b

[補(bǔ)充練習(xí)]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

[課堂小結(jié)]

（1）定理的表示形式：（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：

①②

第四篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學(xué)案）

【學(xué)習(xí)要求】

1．發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及證明方法。

2．會(huì)初步應(yīng)用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等，都

等于這個(gè)三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質(zhì)是三個(gè)恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問(wèn)題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和兩角．（常見(jiàn)：大一小二）

5.常用面積公式：

對(duì)于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對(duì)角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結(jié)：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時(shí)，注意結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求出已知邊的對(duì)角；應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性

（2）應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性;注意由sinC求角C時(shí)，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習(xí)：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00

第五篇：高一數(shù)學(xué)《正弦定理》教案

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正弦定理

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)掌握正弦定理及其推導(dǎo)過(guò)程．

(2)會(huì)利用正弦定理求解簡(jiǎn)單的斜三角形邊角問(wèn)題．

(3)能利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算．

（二）過(guò)程與能力目標(biāo)

(1)通過(guò)用向量的方法證明正弦定理，體現(xiàn)向量的工具性，加深對(duì)向量知識(shí)應(yīng)用的認(rèn)識(shí)．

(2)通過(guò)啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．

（三）情感與態(tài)度目標(biāo)

通過(guò)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學(xué)重點(diǎn)

正弦定理的證明及應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn)

(1)用向量知識(shí)證明正弦定理時(shí)的思路分析與探索．(2)正弦定理在解三角形時(shí)的應(yīng)用思路．

教學(xué)過(guò)程

一、引入

解直角三角形需要用到的知識(shí)：

①三角形內(nèi)角和定理： A?B?C?180? ②銳角三角函數(shù)：

ababsinA? ,cosA? ,tanA? ,cotA?;

ccbababasinB? ,cosB? ,tanB? ,cotB?.ccab③勾股定理：a?b?c 22

2二、新課

在直角三角形ABC中找出a, b,c與sinA, sinB, sinC之間的關(guān)系：

sinA?acsinB?c?bsinBbcsinC?1 c?csinC即：c?asinA

?asinA?bsinB?csinC 湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

證明：

證法一:

(傳 統(tǒng) 證 法)在任意斜?ABC中：S?ABC?12absinC?1212acsinB?12bcsinABc

abC兩邊同除以asinA?bsinBabc,即得：csinCA?證法二:

(將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中)作?ABC的外接圓O，作直徑BC',連接AC'，則?C??C'，設(shè)圓O半徑R，cc則：??2R;sinCsinC'同理可得：asinA?asinA?2R,?bsinBbsinB??2RcsinC?2RBcabC'C

A這里涉及到三角形中的邊角關(guān)系，而向量中的數(shù)量積則反應(yīng)了邊角關(guān)系.證法三:

(向量知識(shí)來(lái)證明)?過(guò)A作單位向量 j 垂直于AC

AC?CB?AB，兩邊同乘以向量??j?(AC?CB)?j?AB???則：j?AC?j?CB?j?AB? j，B?cj ???j?ACcos90??j?CBcos(90??C)? ?j?ABcos(90??A)?asinC?csinA?asinA?csinCabAC同理：若過(guò)?C作j垂直于CB得： cb?，sinCsinBasinA?bsinB?csinCBc?Aa?jbC 當(dāng)?ABC為鈍角三角形時(shí)，設(shè)??A?90?，過(guò)A作單位向量j垂直于AC可證明.湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正 弦 定 理 ：

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦csinC比相等，即：.asinA?bsinB?

?2R(R為?ABC外接圓半徑)它適合于任何三角形變 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S? ABC?12absinC?12bcsinA ?12acsinB

正弦定理可以解決三角形問(wèn)題：

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2.兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角.三、應(yīng)用

例 1.在?ABC中，已知c?10,A?45?, C?30?, 求a、b和B.例 2.已知?ABC中三內(nèi)角的正弦之比為 4 ： 5 ： 6 ,又周長(zhǎng)為2152,求三邊長(zhǎng).例 3.在?ABC中，已知sin2A? sinB?sinC,求證?ABC為直角三角形2.練習(xí)

教材第144頁(yè)第1題． 課堂小結(jié)：

1.正弦定理及其變形公式2.利用正弦定理解決三角;

形的兩類問(wèn)題;

作業(yè)：

1.閱讀教材139頁(yè)至 144 頁(yè)；

2.教材第144頁(yè)習(xí)題5.9第1(1)(3)、2、5題．