第一篇：數學學案 編號39 1.1.1 正弦定理

山西大學附中高一年級(下)數學學案編號39

1.1.1正弦定理

一、學習目標：1.能理解會證明正弦定理.2.會用正弦定理解決兩類解三角形問題.二、知識導學：自學教材P2---P3后完成：

1)首先來探討直角三角形中，角與邊的數量關系.如圖，在Rt?ABC中，設

BC?a,AC?b,AB?c, 據銳角三角函數中正弦函

數的定義，有ab?，?，cc

abc所以??c又sinc?1?,c

abc則.錯誤！未找到引用源。??sinAsinBsinC

對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？可分為銳角三角形和鈍角三角形

兩種情況來探究：

2)如圖，當?ABC是銳角三角形時，設邊AC上的高是BD，根據三角函數的定義，有BD==,則

a c 同理可得，,從而ac, ?sinAsinCabc.??sinAsinBsinC

錯誤！未找到引用源。

3)當?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？若成立寫出證明過程，否則說

明理由.綜上1)2)3)可得對于任意三角形ABC都有.我們把這個定理叫.正弦定理的探究過程體現了由到的數學思想?

通過查找資料，你還學會了哪些證明正弦定理的方法？請寫出一種來：

三、理解定理：

（1）適用范圍：正弦定理適用于三角形。

（2）正弦定理說明：同一三角形中，各邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正b

數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；k的幾何意義是.（3）公式abc實際上表示了三個等式： ??sinAsinBsinC

ab，.?sinAsinB

四、學以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作。

用正弦定理解三角形的方法體現了數學中的思想？

問題1： 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B.問題2 ：已知在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.歸納總結：根據正弦定理可以解哪兩類解三角形問題？

①.②.五、探究與發現：

已知三角形兩邊及一邊對角a,b,A,解三角形問題的探究：以下解三角形問題是否有解？若有解有幾個解?

若A是鈍角或直角，且a?b或a?b時.若A是鈍角或直角,且a?b時.若A是銳角，且a?b或a?b時.若A是銳角，且a?b時解的情況確定嗎？都有哪些類型？

六、提出問題：

（1）預習自學后你有什么疑惑？

（2）合作學習后解決了哪些問題？又產生了哪些新問題？

（3）通過正弦定理的學習你有哪些新的想法？猜想或質疑？。

七、達標檢測：

1.根據下列條件確定?ABC有兩個解的是（）

A.a?18,B?30,A?120B.a?60,c?48,C?120

C.a?3,b?6,A?30D.a?14,b?15,A?45

2.在?ABC中，b????????,B?60?,c?1,求a和A，C.

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學設計

龍游縣橫山中學 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內容,在已有知識的基礎上，進一步對三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中更準確的邊角關系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發現結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學情分析

學生在學習了基本初等函數和三角恒等變換的基礎上，探究三角形邊角的量化關系，得出正弦定理。學生對現實問題比較感興趣，用現實問題出發激起學生的學習興趣，驅使學生探索研究新知識的欲望。

? 教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養學生發現數學規律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應用，培養學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數形結合的思想方法.3.情感、態度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規律，培養探索精神和創新意識；

(2)通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養.? 教學重點、難點

? 教學重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學過程

一、結合實例，導入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠實現不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認識三角形中的6個元素，并復習“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數量關系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉化為直角三角形證明。

首先，證明當?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉化為直角三角形），根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立？（由學生課后自己推導）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數問題轉化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據正弦定理，b?

說明：

1、學生講出解題思路，老師板書以示解題規范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學生講解題思路，其他同學補充說明，目的是要求學生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學活用，當堂訓練

練習1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學生上黑板扮演或通過實物投影解題的規范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發現對岸發電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結

①本節課學習了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學有所成，課外續學

１、課本第10頁習題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關系？

3八、板書設計

第三篇：正弦定理導學案

§1.1.1正弦定理（導學案）

【使用說明】

1、預習教材P2-P4頁，在規定時間完成預習學案

【預習目標】1.明確在直角三角形中邊與角的正弦之間的關系，2.弄清楚正弦定理的表達形式，能對表達式做簡單的變形.3.通過自主學習、合作討論探究，體驗學習的快樂

.【重點難點】正弦定理的推導過程和定理的應用.一、知識鏈接

1.在Rt?ABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材導讀

1、從直角三角形中邊與角的正弦之間的關系可以得到

銳角三角形的證明在鈍角三角形中進行證明。

2、思考正弦定理的其他證明方法，可以借助向量來證明嗎？

3、從正弦定理的結構形式上看正弦定理可以解決哪些解三角形的問題？（教材第3頁）

4、嘗試完成例1和例2。注意：①例1和例2的條件有什么不同；②為什么例2會有兩種情況呢？是否已知兩邊及其一邊的對角就有兩種情況呢？可能還有哪些情況？（參考教材P8和P9）.asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC，仿照教材第2頁

三、預習自測

《點金訓練》P2自我評價和知識整合例1；

1.在?ABC中，(1)sinA=

012 ,則A=_______(2)cosA=012，則A=_______ 2.在?ABC中，若C=90，a=6，B=30，則c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.?23

3．在?ABC中，sinA?1

2，sinB?

0032，則?ABC對應三邊的比值為a︰b︰c=4．在?ABC中，已知A?45,C?30,c?10，求邊a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圓中正弦定理

可以得到哪些邊角關系？

asinA?bsinB?csinC和外接圓半徑R的關系，再對式子進行變形，看

第四篇：正弦定理2學案

【總02】必修5§1.1正弦定理（2）第2課時

一、學習目標1.熟練掌握正弦定理及其變式的結構特征和作用 2.探究三角形的面積公式

3.能根據條件判斷三角形的形狀

4.能根據條件判斷某些三角形解的個數

二、學法指導

1.利用正弦定理可以將三角形中的邊角關系互化，同時要注意互補角的正弦值相等這一關系的應用；

2.利用正弦定理判定三角形形狀，常運用變形形式，結合三角函數的有關公式，得出角的大小或邊的關系。

三、課前預習

1.正弦定理______?_______?_______=________ 2.正弦定理的幾個變形

(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________

(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3.在解三角形時，常用的結論

（1）在?ABC中，A>B?_________?_____________(2)sin(A+B)=sinC

四、課堂探究 1.正弦定理：（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）正弦定理的變形形式：

1）————————————————————； 2）————————————————————； 3）————————————————————．

（3）利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）____________________________________________________ 2）____________________________________________________ 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一(4)三角形的面積公式：

______________________________________________

例1仿照正弦定理的證法一，證明S1

?ABC?

absinC，并運用此結論解決下面問題：（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

五、數學運用

例2(2005年北京春季高考題)在?ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么?ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形

變式練習：?ABC中，已知abcosA?cosB?c

cosC，試判斷三角形的形狀.六、鞏固訓練

（一）當堂練習

1.在?ABC中，若a?3,A?60?,那么?ABC的外接圓的 周長為________ 2.在?ABC中,cb?cosCcosB,則?ABC的形狀為______ 3.在?ABC中，若A?600,a?3，則

a?b?c

sinA?sinB?sinC

?_______

4.?ABC中，tanA?sin2

B?tanB?sin2

A，那么?ABC一 定是_______

5.?ABC中，A為銳角，lgb?lg

c

?lgsinA??lg2，則 ?ABC形狀為_____

6?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦 定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____

第五篇：1正弦定理學案

1．1．1正弦定理學案

學習目標

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。用具：計算器 [探索研究]

首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,例2．在?ABC中，已知a=

2，b=3，A=45，解三角形

O

abc

根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有?sinA，?sinB，又siCn??1,c

c

c

A

則

a

b

c

sinA

?

sinB

?

sinC

?c從而在直角三角形ABC中，a

?

b

c

sinA

sinB

?

sinC

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？ 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

[理解定理]

正弦定理的基本作用為：

①；

②。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A=45O，B=30O，c=10cm，解三角形。解：

例3在三角形ABC中，若a2tanB=b2

tanA,判斷三角形形狀

[隨堂練習]

1三角形ABC中，a=4,A=450,B=60O,求b2在三角形ABC中A=60O,a=4,b=42求b

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

[課堂小結]

（1）定理的表示形式：（2）正弦定理的應用范圍：

①②