第一篇：必修五1.1.1正弦定理導學案及課時作業

第一章 解三角形

§1．1．1 正弦定理

【情景激趣】

有一個旅游景點，為了吸引更多的游客，想在風景區兩座相鄰的山之間搭建一條觀光索道。已知一座山A到山腳C的上面斜距離是1500米，在山腳測得兩座山頂之間的夾角是450，在另一座山頂B測得山腳與A山頂之間的夾角是300。求需要建多長的索道？

【目標明晰】

1.知識與技能

通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題.2.過程與方法

讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作.3.情感態度與價值觀

培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一.二、教學重點、難點

1.重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用.2.難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數.學習過程

（一）自主探究

Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,，有abc?sinA，?sinB，又sinC?1?則ccc

以上關系式是否仍然成立？可分為?c那么對于任意的三角形，sinAsinBsinC

銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： a?b?c

1.敘述正弦定理的內容：

2.正弦定理的變形

①邊化角：a=，b=，c=；

②角化邊：sin??，sin??，sinC?；

3.正弦定理的推論： a:b:c?

從而知正弦定理的基本作用為：

①

②

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作_______

【交流釋疑】

（二）合作探討

類型一已知兩角及一邊解三角形

例1.在?ABC中，已知A?45?，B?60?，a?42cm，解三角形．

變式：在?ABC中，已知B?45?，C?60?，a?12cm，解三角形．

規律總結：

類型二已知兩邊及一邊的對角解三角形

例2.在?ABC中，c?A?45?,a?2,求b和B,C．

變式

：在?ABC中，bB?60?,c?1,求a和A,C．

規律總結：

類型三判斷三角形的形狀

例3在?ABC中，已知a2tanB?b2tanA，試判斷三角形的形狀。

變式：已知在?ABC中，bsinB?csinC，且sin2A?sin2B?sin2C，試判斷三角形的形狀。

規律總結：

類型四 三角形面積公式

1absinC，并運用此結論解決下面問題：

2（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；仿照正弦定理的證法一，證明S?ABC?

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

?

規律總結：

【反思回憶】

● 目標回憶

● 構建體系

● 總結規律

● 完善存疑

【課時練習】完成課時作業

（一）課時作業

（一）第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

1.正弦定理適用的范圍是（）Ａ．直角三角形Ｂ．銳角三角形Ｃ．鈍角三角形Ｄ．任意三角形

2.△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c?

等于 b?B?120?，則a（）

B．2C

D

A

3.在△ABC中，若A?2B，則a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，則a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶2在△ABC中，若sinA?sinB，則A與B的大小關系為（）.A.A?BB.A?BC.A≥BD.A、B的大小關系不能確定

6．在△ABC中，C?105，B?45，c?5，則b的值為（）

A5(3?1)B5(3?1)C10D5(6?

7．在△ABC中，已知a?3，b?4，sinB?

A002)2，則sinA=（）3311BCD 1 46

2?

8.在△ABC中，已知B?30，b?，c?150，那么這個三角形是（）

Ａ．等邊三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

9.根據下列條件，判斷三角形解的情況，其中正確的是（）

A、a?8,b?16,A?30，有兩解 B、b?18,c?20,B?60，有一解

C、a?5,b?2,A?90，無解

10.?ABC中，C=2B，則??? D、a?30,b?25,A?150，有一解 ?sni3B等于（）sniB

baacA、B、C、D、abca

311.三角形兩邊之差為2，夾角的余弦值為。該三角形的面積為14，則這兩邊分別為（）

5A、3和5B、4和6C、5和7D、6和8

a?4,b?42，12.在?ABC中，A=60°，則角B等于（）

A、45°或135° B、135°C、45°D、以上答案都不對

13.在?ABC中，已知(b?c):(c?a):(a?b)?4:5:6，則sinA:sinB:sinC等于

14.在?ABC中，a?3,b?1,B?30，則三角形的面積等于。

15.在?ABC中，若acosA?bcosB，則?ABC的形狀為16.在?ABC中，已知b?c?8，?B?30?，?C?45?，則b?c?．

17.在?ABC中，如果?A?30?，?B?120?，b?12，那么a??ABC的面積是．

18在?ABC中，bc?

30，S?ABC??，則?A?19.在△ABC中，三邊a、b、c所對的角分別為A、B、C，已知，b=2，△ABC的面積S=3，求角C

20.．在三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且A,B為銳角，sinA

=,sinB

=（1）求A+B的值：

（2）若

a-b=

-1，求a,b,c得值

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學設計

龍游縣橫山中學 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內容,在已有知識的基礎上，進一步對三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中更準確的邊角關系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發現結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學情分析

學生在學習了基本初等函數和三角恒等變換的基礎上，探究三角形邊角的量化關系，得出正弦定理。學生對現實問題比較感興趣，用現實問題出發激起學生的學習興趣，驅使學生探索研究新知識的欲望。

? 教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養學生發現數學規律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應用，培養學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數形結合的思想方法.3.情感、態度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規律，培養探索精神和創新意識；

(2)通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養.? 教學重點、難點

? 教學重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學過程

一、結合實例，導入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠實現不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認識三角形中的6個元素，并復習“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數量關系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉化為直角三角形證明。

首先，證明當?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉化為直角三角形），根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立？（由學生課后自己推導）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數問題轉化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據正弦定理，b?

說明：

1、學生講出解題思路，老師板書以示解題規范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學生講解題思路，其他同學補充說明，目的是要求學生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學活用，當堂訓練

練習1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學生上黑板扮演或通過實物投影解題的規范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發現對岸發電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結

①本節課學習了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學有所成，課外續學

１、課本第10頁習題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關系？

3八、板書設計

第三篇：正弦定理導學案

§1.1.1正弦定理（導學案）

【使用說明】

1、預習教材P2-P4頁，在規定時間完成預習學案

【預習目標】1.明確在直角三角形中邊與角的正弦之間的關系，2.弄清楚正弦定理的表達形式，能對表達式做簡單的變形.3.通過自主學習、合作討論探究，體驗學習的快樂

.【重點難點】正弦定理的推導過程和定理的應用.一、知識鏈接

1.在Rt?ABC中sinA=sinB=sinC=

2.正弦定理：

二、教材導讀

1、從直角三角形中邊與角的正弦之間的關系可以得到

銳角三角形的證明在鈍角三角形中進行證明。

2、思考正弦定理的其他證明方法，可以借助向量來證明嗎？

3、從正弦定理的結構形式上看正弦定理可以解決哪些解三角形的問題？（教材第3頁）

4、嘗試完成例1和例2。注意：①例1和例2的條件有什么不同；②為什么例2會有兩種情況呢？是否已知兩邊及其一邊的對角就有兩種情況呢？可能還有哪些情況？（參考教材P8和P9）.asinA?bsinB?csinCasinA?bsinB?csinC，仿照教材第2頁

三、預習自測

《點金訓練》P2自我評價和知識整合例1；

1.在?ABC中，(1)sinA=

012 ,則A=_______(2)cosA=012，則A=_______ 2.在?ABC中，若C=90，a=6，B=30，則c-b等于（）

A．1B.-1C.23D.?23

3．在?ABC中，sinA?1

2，sinB?

0032，則?ABC對應三邊的比值為a︰b︰c=4．在?ABC中，已知A?45,C?30,c?10，求邊a=。

四、探究、合作、展示 在三角形的外接圓中正弦定理

可以得到哪些邊角關系？

asinA?bsinB?csinC和外接圓半徑R的關系，再對式子進行變形，看

第四篇：正弦定理導學案

§1.1.1 正弦定理(一)導學案

學習目標:

1、通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；

2、會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題；

3、通過正弦定理的探究學習，培養學生探索數學規律的思維能力，培養學生用數學的方法解決實際問題的能力，激發學生對數學學習的熱情。

教學重點:正弦定理的證明及基本運用。

教學難點:正弦定理的探索和證明及靈活應用。

一、預習案: “我學習，我主動，我參與，我收獲！”

1、預習教材P45---482、基礎知識梳理：

(1)正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的_______________的比相等，即在?ABC中,___________=__________=____________=2R.，(其中2R 為外接圓直徑)

（2）由正弦定理

abc???2R可以得到哪些變形公式？ sinAsinBsinC

（3）三角形常用面積公式：

對于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三

邊的對角，則三角形的面積為：

①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC1211?absinC?acsinB?____________.223、預習自測：

（1）有關正弦定理的敘述：

①正弦定理只適用于銳角三角形；

②正弦定理不適用于直角三角形；

③在某一確定的三角形中，各邊與它的對角的正弦的比是定值；

④在?ABC中，sinA:sinB:sinC

其中正確的個數是（）

A、1B、2C、3D、4（2）在?ABC中，一定成立的等式是（）．

A． a sin A = b sin BB.a cos A = b cos B

C.a sin B = b sin AD.a cos B = b cos A

（3）在?ABC中,sinA?sinC,則?ABC是（）

A、直角三角形 B、等腰三角形C、銳角三角形 D、鈍角三角形

(4)在?ABC中，三個內角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知

A:B:C=1:2:3,則a：b：c=_____________________.?a:b:c。

我的疑惑:__________________________________________

二、探究案: “我探究，我分析，我思考，我提高！”

探究

一、敘述并證明正弦定理。

探究

二、在?

ABC中，已知?B?30?,AB?面積S?ABC試求BC。

探究

三、已知?ABC中，bsinB?csinC,且sin2A?sin2B?sin2C,試判斷?ABC的形狀。

合作探究后談談你的解題思路。

規律方法總結：_________________________________________

訓練案：“我實踐，我練習，我開竅，我聰慧！”

1、在?

ABC中，ABAC?1,且?B,?A,?C成等差數列，求?ABC的面積。

2、在?ABC中，角A,B,C的對邊分別為a，b，c，且

試判斷?ABC的形狀。

?cosAcosabBcos?cC，我的收獲

-----反思靜悟體驗成功

-----請寫出本堂課學習中，你認為感悟最深的一至兩條收獲。

第五篇：數學學案 編號39 1.1.1 正弦定理

山西大學附中高一年級(下)數學學案編號39

1.1.1正弦定理

一、學習目標：1.能理解會證明正弦定理.2.會用正弦定理解決兩類解三角形問題.二、知識導學：自學教材P2---P3后完成：

1)首先來探討直角三角形中，角與邊的數量關系.如圖，在Rt?ABC中，設

BC?a,AC?b,AB?c, 據銳角三角函數中正弦函

數的定義，有ab?，?，cc

abc所以??c又sinc?1?,c

abc則.錯誤！未找到引用源。??sinAsinBsinC

對于一般的三角形，以上關系式是否仍然成立呢？可分為銳角三角形和鈍角三角形

兩種情況來探究：

2)如圖，當?ABC是銳角三角形時，設邊AC上的高是BD，根據三角函數的定義，有BD==,則

a c 同理可得，,從而ac, ?sinAsinCabc.??sinAsinBsinC

錯誤！未找到引用源。

3)當?ABC是鈍角三角形時，以上等式仍然成立嗎？若成立寫出證明過程，否則說

明理由.綜上1)2)3)可得對于任意三角形ABC都有.我們把這個定理叫.正弦定理的探究過程體現了由到的數學思想?

通過查找資料，你還學會了哪些證明正弦定理的方法？請寫出一種來：

三、理解定理：

（1）適用范圍：正弦定理適用于三角形。

（2）正弦定理說明：同一三角形中，各邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正b

數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；k的幾何意義是.（3）公式abc實際上表示了三個等式： ??sinAsinBsinC

ab，.?sinAsinB

四、學以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作。

用正弦定理解三角形的方法體現了數學中的思想？

問題1： 已知在?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B.問題2 ：已知在?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.歸納總結：根據正弦定理可以解哪兩類解三角形問題？

①.②.五、探究與發現：

已知三角形兩邊及一邊對角a,b,A,解三角形問題的探究：以下解三角形問題是否有解？若有解有幾個解?

若A是鈍角或直角，且a?b或a?b時.若A是鈍角或直角,且a?b時.若A是銳角，且a?b或a?b時.若A是銳角，且a?b時解的情況確定嗎？都有哪些類型？

六、提出問題：

（1）預習自學后你有什么疑惑？

（2）合作學習后解決了哪些問題？又產生了哪些新問題？

（3）通過正弦定理的學習你有哪些新的想法？猜想或質疑？。

七、達標檢測：

1.根據下列條件確定?ABC有兩個解的是（）

A.a?18,B?30,A?120B.a?60,c?48,C?120

C.a?3,b?6,A?30D.a?14,b?15,A?45

2.在?ABC中，b????????,B?60?,c?1,求a和A，C.