第一篇：考研高數證明題的解題方法

分析法，綜合法，反證法，都是歐氏分析方法。歐氏分析方法起自于歐氏幾何，早在公元前400年左右即為人類總結運用。

構造法是微積分學，代數學自身的方法。

分析法——盡可能由已知條件挖掘信息，并以此為起點作邏輯推理。

一元微積分講究條件分析。要用分析法，就需要對各個概念理解準確，強弱分明；推理有序，因果清晰。為了彌補非數學專業學生的“短板”，我建議大家把考研題目中出現頻率較高的典型條件，預先推個滾瓜爛熟。比如

已知條件“f（x）連續，且x趨于0時，lim(f（x）/x)= 1”的推理。

（見講座（9）基本推理先記熟。）

已知條件“f（x）在點x0可導，且f ′(x0)> 0 ”的推理。

（這是闡述“一點可導且導數大于0與一段可導且導數大0的差別；證明洛爾定理（費爾瑪引理），達布定理，……，等的關鍵。

見講座（11）洛爾定理做游戲；講座（17）論證不能憑感覺。）

已知條件“非零矩陣AB = 0”的推理。

（見講座（42）矩陣乘法很愜意。）

已知“含參的三階方陣A能與對角陣相似，且A有二重特征值。計算參數?！钡耐评?。

（見講座（48）中心定理路簡明。）

“已知連續型隨機變量X的分布函數或隨機向量（X，Y）的密度函數，求函數型隨機變量U = φ(x)或U =φ(x，y)”的推理計算

（見講座（78）分布函數是核心。）

一個嫻熟的推導就是一條高速路啊。你非常熟練了嗎？！

綜合法 —— 由題目要證明的結論出發，反向邏輯推理，觀察我們究竟需要做什么。

最典型的范例是考研數學題目“證明有點ξ，滿足某個含有函數及其導數的關系式”。

例設函數f(x)在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f(0)= 0，則區間（0，1）內至少有一點ξ，使得

f(ξ)f ′(1―ξ)= f ′(ξ)f(1―ξ)

分析（綜合法）即要證明

f(ξ)f ′(1―ξ)― f[b′(ξ)f(1―ξ)= 0

點ξ是運用某個定理而得到的客觀存在。用x替換ξ，就得到剛運用了定理，還沒有把點ξ代入前的表達式。即

f(x)f ′(1―x)― f′(x)f(1―x)= 0

（在點 x =ξ 成立）

聯想到積函數求導公式，即（f(x)f(1―x)）′= 0

（在點 x =ξ 成立）

這就表明應該作輔助函數F(x)= f(x)，證明其導數在（0，1）內至少有一零點。

易知F(0)= F(1)= 0，且F(x)在 [a, b] 連續，在（a, b）內可導，可以應用洛爾定理證得本題結論。當然，題型多種多樣，但這總是一條基本思路。如果關系式中有高階導數，那要考慮試用泰勒公式。反證法 —— ……。

這是大家都較為熟悉的方法。但是你也許沒有注意到，用反證法簡單可證的一個小結論，在微積分中有著很廣的應用。粗糙地說，這就是

“A極限存在（或連續，或可導）+ B極限不存在（或不連續，或連續不可導）= ？”

隨便選一說法用反證法，比如

如果，“連續A + 不連續B = 連續C”

則“ 連續C-連續A = 不連續B”

這與定理矛盾。所以有結論： 連續函數與不連續函數的和一定不連續。不過要注意，證明是在“同一個點”進行的。

作為簡單邏輯結論，自然類似有：

（同一過程中）A極限存在 + B極限不存在 = C極限一定不存在（同一個點處）A可導 + B連續不可導 = C一定連續不可導

還可以在級數部份有：

收斂 + 發散 = 發散，絕斂 + 條斂 = 條斂

對于乘法，由于分母為0時逆運算除法不能進行，必須首先限定以確保用反證法獲得結論。比如

“若f（x）在點x0可導，且f（x0）≠ 0，g（x）在點x0 連續不可導，則 積函數y = f（x）g（x）在點x0一定連續不可導?！?/p>

（見講座（8）求導熟練過大關。）

對于積函數y = f（x）g（x）求極限，我們由此得到了一個小技術。即

“非零極限因式可以先求極限?！保ㄒ娭v座（16）計算極限小總結。）

（畫外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要極限非0，就先給出極限，再“騎驢看唱本”……。）構造法 ——（難以“言傳”，請多意會。）

老老實實地寫，實實在在地描述，水到渠成有結論。這是微積分自家的方法 ——“構造法”。但是在構造法思維過程中，往往也綜合運用著分析法，綜合法，反證法。

“證明有界性”，也許最能顯示“構造”手段，即把變量的“界”給構造出來。*例

已知函數 f（x）在 x≥a 時連續，且當x → +∞ 時f（x）有極限A，試證明此函數有界。

分析本題即證，∣f（x）∣≤ C

討論有界性，我們只學了一個定理，在閉區間上連續的函數有界。本題中如何“管住”那個無窮的尾巴呢？那就看你能否體驗條件“x → +∞ 時f（x）有極限A”，即

“我們一定可以取充分大的一點x0，使得x > x0時，總有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”

把半直線x≥a分成 [a，x0] 與 x > x0兩部分，就能“構造”得∣f（x）∣≤ C

（（祥見講座（9）基本推理先記熟。）

在講座（11）“洛爾定理做游戲”中講的“壘寶塔”游戲，在講座（13）“圖形特征看單調”中講的“逐階說單調”，都是構造法的討論方式。

每完成一個題目，不妨想想用的什么方法。你也許提高得更快。

第二篇：考研數學證明題三大解題方法

考研數學證明題三大解題方法

縱觀近十年考研數學真題，大家會發現：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數學統一考試的同學所學專業要么是理工要么是經管，同學們在大學學習數學的時候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致數學考試中遇到證明推理題就發怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個別考研輔導書中有一些證明思路之外，大多數考研輔導書在這一方面沒有花太大力氣，本人自認為在推理證明方面有不凡的效績，在此給大家簡單介紹一些解決數學證明題的入手點，希望對有此隱患的同學有所幫助。

一、結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。

知道基本原理是證明的基礎，知道的程度（即就是對定理理解的深入程度）不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

二、借助幾何意義尋求證明思路

一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點（正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點）之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題（1）是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

三、逆推

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。

對于那些經常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

第三篇：考研數學證明題三大解題方法

考研數學證明題三大解題方法

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縱觀近十年考研數學真題，大家會發現：幾乎每一年的試題中都會有一個證明題，而且基本上都是應用中值定理來解決問題的。但是要參加碩士入學數學統一考試的同學所學專業要么是理工要么是經管，同學們在大學學習數學的時候對于邏輯推理方面的訓練大多是不夠的，這就導致數學考試中遇到證明推理題就發怵，以致簡單的證明題得分率卻極低。除了個望對有此隱患的同學有所幫助。

2006年數學一真題第16題（1）是證明極限的存在性并求極限。只要證明

2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系F（x）=f（x）-g（x）有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題（1）是關于零點存在y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

三、逆推

從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多（這里所舉出的例子就屬非正常情況），這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要證的不等式。對于那些經常使用如上方法的同學來說，利用三步走就能輕松收獲數學證明的12分，但對于從心理上就不自信能解決證明題的同學來說，卻常常輕易丟失12分，后一部分同學請按“證明三步走”來建立自信心，以阻止考試分數的白白流失。

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第四篇：數學證明題解題方法

數學證明題解題方法

第一步：結合幾何意義記住零點存在定理、中值定理、泰勒公式、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論。知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數學推理是環環相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調有界數列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數列來說，“單調性”與“有界性”都是很好驗證的。像這樣直接可以利用基本原理的證明題并不是很多，更多的是要用到第二步。

第二步：借助幾何意義尋求證明思路。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數草圖，再聯系結論能夠發現：兩個函數除兩個端點外還有一個函數值相等的點，那就是兩個函數分別取最大值的點(正確審題：兩個函數取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數y=f(x)及y=1-x在上的圖形就立刻能看到兩個函數圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區間內有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉第三步。

第三步：逆推。從結論出發尋求證明方法。如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發構造函數，利用函數的單調性推出結論。在判定函數的單調性時需借助導數符號與單調性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數的單調性，非正常情況卻出現的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數的符號判定一階導數的單調性，再用一階導的符號判定原來函數的單調性，從而得所要證的結果。該題中可設F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要證的不等式。

第五篇：離散數學證明題解題方法

離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學中基礎理論的核心課程。離散數學以研究離散量的結構和相互間的關系為主要目標，其研究對象一般地是有限個或可數個元素，因此他充分描述了計算機科學離散性的特點。

1、定義和定理多。

離散數學是建立在大量定義上面的邏輯推理學科。因而對概念的理解是我們學習這門學科的核心。在這些概念的基礎上，特別要注意概念之間的聯系，而描述這些聯系的實體則是大量的定理和性質。

●證明等價關系：即要證明關系有自反、對稱、傳遞的性質。

●證明偏序關系：即要證明關系有自反、反對稱、傳遞的性質。（特殊關系的證明就列出來兩種，要證明剩下的幾種只需要結合定義來進行）。

●證明滿射：函數f：XY，即要證明對于任意的yY，都有x

或者對于任意的f(x1)=f(x2)，則有x1=x2。

●證明集合等勢：即證明兩個集合中存在雙射。有三種情況：第一、證明兩個具體的集合等勢，用構造法，或者直接構造一個雙射，或者構造兩個集合相互間的入射；第二、已知某個集合的基數，如果為?，就設它和R之間存在雙射f，然后通過f的性質推出另外的雙射，因此等勢；如果為?0，則設和N之間存在雙射；第三、已知兩個集合等勢，然后再證明另外的兩個集合等勢，這時，先設已知的兩個集合存在雙射，然后根據剩下題設條件證明要證的兩個集合存在雙射。

●證明群：即要證明代數系統封閉、可結合、有幺元和逆元。（同樣，這一部分能夠作為證明題的概念更多，要結合定義把它們全部搞透徹）。

●證明子群：雖然子群的證明定理有兩個，但如果考證明子群的話，通常是第二個定理，即設是群，S是G的非空子集，如果對于S中的任意元素a和b有a*b-

1是的子群。對于有限子群，則可考慮第一個定理。

●證明正規子群：若是一個子群，H是G的一個子集，即要證明對于任意的aG，有aH=Ha，或者對于任意的hH，有a-1 *h*aH。這是最常見的題目中所使用的方法。●證明格和子格：子格沒有條件，因此和證明格一樣，證明集合中任意兩個元素的最大元和最小元都在集合中。

圖論雖然方法性沒有前幾部分的強，但是也有一定的方法，如最長路徑法、構造法等等 下面講一下離散證明題的證明方法：

1、直接證明法

直接證明法是最常見的一種證明的方法，它通常用作證明某一類東西具有相同的性質，或者符合某一些性質必定是某一類東西。

直接證明法有兩種思路，第一種是從已知的條件來推出結論，即看到條件的時候，并不知道它怎么可以推出結論，則可以先從已知條件按照定理推出一些中間的條件（這一步可能是沒有目的的，要看看從已知的條件中能夠推出些什么），接著，選擇可以推出結論的那個條件繼續往下推演；另外一種是從結論反推回條件，即看到結論的時候，首先要反推一下，看看S,則X，使得f(x)=y。●證明入射：函數f：XY，即要證明對于任意的x1、x2X，且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

從哪些條件可以得出這個結論（這一步也可能是沒有目的的，因為并不知道要用到哪個條件），以此類推一直到已知的條件。通常這兩種思路是同時進行的。

2、反證法

反證法是證明那些“存在某一個例子或性質”，“不具有某一種的性質”，“僅存在唯一”等的題目。

它的方法是首先假設出所求命題的否命題，接著根據這個否命題和已知條件進行推演，直至推出與已知條件或定理相矛盾，則認為假設是不成立的，因此，命題得證。

3、構造法

證明“存在某一個例子或性質”的題目，我們可以用反證法，假設不存在這樣的例子和性質，然后推出矛盾，也可以直接構造出這么一個例子就可以了。這就是構造法，通常這樣的題目在圖論中多見。值得注意的是，有一些題目其實也是本類型的題目，只不過比較隱蔽罷了，像證明兩個集合等勢，實際上就是證明“兩個集合中存在一個雙射”，我們即可以假設不存在，用反證法，也可以直接構造出這個雙射。

4、數學歸納法

數學歸納法是證明與自然數有關的題目，而且這一類型的題目可以遞推。作這一類型題目的時候，要注意一點就是所要歸納內容的選擇。

學習離散數學的最大困難是它的抽象性和邏輯推理的嚴密性。在離散數學中，假設讓你解一道題或證明一個命題，你應首先讀懂題意，然后尋找解題或證明的思路和方法，當你相信已找到了解題或證明的思路和方法，你必須把它嚴格地寫出來。一個寫得很好的解題過程或證明是一系列的陳述，其中每一條陳述都是前面的陳述經過簡單的推理而得到的。仔細地寫解題過程或證明是很重要的，既能讓讀者理解它，又能保證解題過程或證明準確無誤。一個好的解題過程或證明應該是條理清楚、論據充分、表述簡潔的。針對這一要求，在講課中老師會提供大量的典型例題供同學們參考和學習。

在學習離散數學中所遇到的這些困難，可以通過多學、多看、認真分析講課中所給出的典型例題的解題過程，再加上多練，從而逐步得到解決。在此特別強調一點：深入地理解和掌握離散數學的基本概念、基本定理和結論，是學好離散數學的重要前提之一。所以，同學們要準確、全面、完整地記憶和理解所有這些基本定義和定理。

學好高數＝基本概念透＋基本定理牢＋基本網絡有＋基本常識記＋基本題型熟。數學就是一個概念＋定理體系(還有推理)，對概念的理解至關重要，比如說極限、導數等

再快樂的單身漢遲早也會結婚,幸福不是永久的嘛！

愛就像坐旋轉木馬，雖然永遠在你愛人的身后，但隔著永恒的距離。

相互牽著的手,永不放開,直到他的出現,你離開了我.時光就這樣靜靜的流淌,那些在躺在草地上曬太陽的時光,那些拂面吹來的風.明知道是讓對方痛苦的愛就不要讓它繼續下去，割舍掉。如果不行就將它凍結在自己內心最深的角落。