第一篇：高等數(shù)學(xué)公式總結(jié)、概率論、線性代數(shù)考點(diǎn)總結(jié)

決定考研了，暑假開始復(fù)習(xí)，沒有報任何輔導(dǎo)班，先從數(shù)學(xué)開始（PS：我是理工科，數(shù)學(xué)

一）。

7月中旬開始胡亂看書，高數(shù)、線代、概論每天輪著看，看了兩個多星期，一頭霧水！每天悶在家里扛不住了！

和一個學(xué)姐聊天，她告訴我，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的時候不能一起復(fù)習(xí)，應(yīng)該分開看：高數(shù)---線性代數(shù)---概率論！我嘗試了一下，還真有用！自己把書上的知識點(diǎn)總結(jié)了一下，現(xiàn)在復(fù)習(xí)效果很好！

搜集1000份資料，報再多的輔導(dǎo)班都不如自己總結(jié)！跟大家分享一下我整理的數(shù)學(xué)資料，2011的研友們，堅持就是勝利！

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高等數(shù)學(xué)：

考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)歸納輔導(dǎo)筆記（主要知識點(diǎn)的概括包括經(jīng)典例題）

考研高等數(shù)學(xué)公式(數(shù)3專用）（這個對我們數(shù)一來說就太Easy了）

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2011考研數(shù)學(xué)大綱（不知道2011是否出大綱了，不過還是很有幫助）

考研高等數(shù)學(xué)易混淆概念（從極限開始，例題+概念，很有幫助）

新東方2010考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義：高數(shù)、概論、線代（可以看看，參考）

考研數(shù)學(xué)真題近十年考題路線分析(高數(shù)部分)（這個比較狠！）

2011考研數(shù)學(xué)全程五輪四階復(fù)習(xí)規(guī)劃（看來我復(fù)習(xí)晚了）

考研數(shù)學(xué)公式最新總結(jié)大全高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率統(tǒng)計(比較綜合)

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線性代數(shù)：

線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料（基本知識點(diǎn)總結(jié)）

2011年新東方考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義（確實(shí)不錯）

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概率論：

概率論易錯知識點(diǎn)總結(jié)（經(jīng)常看看）

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【2011考研精華資料】概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式（打印出來方便記憶）

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近5年真題（2005-2010）：

2010年數(shù)學(xué)真題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題

2009年數(shù)學(xué)真題

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2008年數(shù)學(xué)真題

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2007年數(shù)學(xué)真題

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2006年數(shù)學(xué)真題

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2005年數(shù)學(xué)真題

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

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考研經(jīng)驗(yàn)（常看看，給自己鼓勵！）：

怎樣合理規(guī)劃考研復(fù)習(xí)（好的方法，事半功倍）

學(xué)習(xí)計劃的制定：考研復(fù)習(xí)階段分析（計劃+執(zhí)行+堅持=考研成功）

跨校考研注意事項(xiàng)（跨校的同學(xué)一定看看）

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導(dǎo)師信息庫：

211高校研究生導(dǎo)師信息庫（了解自己未來的導(dǎo)師的研究方向！）

全國各高校研招辦聯(lián)系方式匯總（可以打電話到學(xué)校研招辦咨詢）

還有很多，聽學(xué)姐說10月之前都是混戰(zhàn)，大家都在搜集資料，包括政治、數(shù)學(xué)、英語、專業(yè)課的資料，還有自己想報考的學(xué)校的資料等等。

報考本校的話還算容易，報考外校的話比較困難，自己如果信息閉塞的話會吃虧！所以大家晚上上完自習(xí)回來有時間的話還是要經(jīng)常上網(wǎng)看看，及時了解各方面的信息，千萬不要悶著頭復(fù)習(xí)！

第二篇：【2011考研數(shù)學(xué)寶典】高等數(shù)學(xué)公式總結(jié)、概率論、線性代數(shù)考點(diǎn)總結(jié)結(jié)!!數(shù)學(xué)目標(biāo)140!!

決定考研了，暑假開始復(fù)習(xí)，沒有報任何輔導(dǎo)班，先從數(shù)學(xué)開始（PS：我是理工科，數(shù)學(xué)一）。

7月中旬開始胡亂看書，高數(shù)、線代、概論每天輪著看，看了兩個多星期，一頭霧水！每天悶在家里扛不住了！

和一個學(xué)姐聊天，她告訴我，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的時候不能一起復(fù)習(xí)，應(yīng)該分開看：高數(shù)---線性代數(shù)---概率論！我嘗試了一下，還真有用！自己把書上的知識點(diǎn)總結(jié)了一下，現(xiàn)在復(fù)習(xí)效果很好！

搜集1000份資料，報再多的輔導(dǎo)班都不如自己總結(jié)！跟大家分享一下我整理的數(shù)學(xué)資料，2011的研友們，堅持就是勝利！

------------------------高等數(shù)學(xué)：

考研數(shù)學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)歸納輔導(dǎo)筆記（主要知識點(diǎn)的概括包括經(jīng)典例題）考研高等數(shù)學(xué)公式(數(shù)3專用）（這個對我們數(shù)一來說就太Easy了）高等數(shù)學(xué)考研公式（非常經(jīng)典、很全面）

2011考研數(shù)學(xué)大綱（不知道2011是否出大綱了，不過還是很有幫助）考研高等數(shù)學(xué)易混淆概念（從極限開始，例題+概念，很有幫助）新東方2010考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義：高數(shù)、概論、線代（可以看看，參考）考研數(shù)學(xué)真題近十年考題路線分析(高數(shù)部分)（這個比較狠！）2011考研數(shù)學(xué)全程五輪四階復(fù)習(xí)規(guī)劃（看來我復(fù)習(xí)晚了）

考研數(shù)學(xué)公式最新總結(jié)大全高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率統(tǒng)計(比較綜合)------------------------線性代數(shù)：

線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料（基本知識點(diǎn)總結(jié)）

2011年新東方考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義（確實(shí)不錯）------------------------概率論：

概率論易錯知識點(diǎn)總結(jié)（經(jīng)常看看）

考研概率論必備兇器經(jīng)典歸納（的確兇悍！總結(jié)徹底！）

【2011考研精華資料】概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式（打印出來方便記憶）新東方考研概率論講義（可以參考，看書是關(guān)鍵）

------------------------近5年真題（2005-2010）： 2010年數(shù)學(xué)真題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題 2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題 2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題 2009年數(shù)學(xué)真題

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學(xué)習(xí)計劃的制定：考研復(fù)習(xí)階段分析（計劃+執(zhí)行+堅持=考研成功）跨校考研注意事項(xiàng)（跨校的同學(xué)一定看看）考研第一考上清華研究生的經(jīng)歷（堅持就是勝利）

------------------------導(dǎo)師信息庫：

211高校研究生導(dǎo)師信息庫（了解自己未來的導(dǎo)師的研究方向！）全國各高校研招辦聯(lián)系方式匯總（可以打電話到學(xué)校研招辦咨詢）

還有很多，聽學(xué)姐說10月之前都是混戰(zhàn)，大家都在搜集資料，包括政治、數(shù)學(xué)、英語、專業(yè)課的資料，還有自己想報考的學(xué)校的資料等等。

報考本校的話還算容易，報考外校的話比較困難，自己如果信息閉塞的話會吃虧！所以大家晚上上完自習(xí)回來有時間的話還是要經(jīng)常上網(wǎng)看看，及時了解各方面的信息，千萬不要悶著頭復(fù)習(xí)！

另外，復(fù)習(xí)的時候一定要找到幾個研友，彼此鼓勵堅持下去！堅持就是勝利!

第三篇：高等數(shù)學(xué)公式

高等數(shù)學(xué)公式

導(dǎo)數(shù)公式：

基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分：

一些初等函數(shù)：

兩個重要極限：

三角函數(shù)公式：

·誘導(dǎo)公式：

函數(shù)

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化積公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理：

·余弦定理：

·反三角函數(shù)性質(zhì)：

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

曲率：

定積分的近似計算：

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

空間解析幾何和向量代數(shù)：

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

微分法在幾何上的應(yīng)用：

方向?qū)?shù)與梯度：

多元函數(shù)的極值及其求法：

重積分及其應(yīng)用：

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

曲線積分：

曲面積分：

高斯公式：

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

常數(shù)項(xiàng)級數(shù)：

級數(shù)審斂法：

絕對收斂與條件收斂：

冪級數(shù)：

函數(shù)展開成冪級數(shù)：

一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：

歐拉公式：

三角級數(shù)：

傅立葉級數(shù)：

周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：

微分方程的相關(guān)概念：

一階線性微分方程：

全微分方程：

二階微分方程：

二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：

(*)式的通解

兩個不相等實(shí)根

兩個相等實(shí)根

一對共軛復(fù)根

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

第四篇：高等教育學(xué)考點(diǎn)總結(jié)

高等教育學(xué)考點(diǎn)總結(jié)

考試題型：

一、單項(xiàng)選擇（10題，每題1分）（書上的知識點(diǎn)，一目了然，例如，某一具體的教學(xué)原則來源于古代哪一個文獻(xiàn)，4選一，例如，教學(xué)相長來自于（）文獻(xiàn)。選項(xiàng)：A《論語》、B《大學(xué)》、C《中庸》、D《學(xué)記》）

二、判斷（10題，每題1分）（只需答勾或x，不要改錯。注意審題，例如，“就是”、“僅僅是”等極端的語句。例如，學(xué)歷，是在教育機(jī)構(gòu)中的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。錯，是在法定教育機(jī)構(gòu)中的。）

三、簡答（4題，每題8分）（簡要回答，答出要點(diǎn)，需要解釋性的拓展語句。例如，備課的基本要求：三點(diǎn)，備教材、備學(xué)生、備方法，還要加以解釋。）

四、論述（2題，每題15分）

五、案例（分析）題（1題，18分）（重點(diǎn)：教學(xué)論中的內(nèi)容，有話說，圍繞主題說）

第二章高等教育發(fā)展簡史 第三章 高等教育發(fā)展的社會基礎(chǔ) 第四章：高等教育的價值與功能

第五章 高等教育目標(biāo) 第六章 高等學(xué)校專業(yè)與課程 第七章 高等學(xué)校教學(xué)過程與原則

第八章 高等學(xué)校教學(xué)形式 第九章 高等學(xué)校的科學(xué)研究

第十章 高等學(xué)校教師

第十三章

當(dāng)代國際高等教育發(fā)展趨勢

第二章高等教育發(fā)展簡史

小點(diǎn)一：在西方文明古國，“博物館”和“圖書館”是古代從事高等教育活動的重要場所。P14 小點(diǎn)二：中國古代高等教育早在3000年前就出現(xiàn)。（P15）小點(diǎn)三：大學(xué)要學(xué)六藝：禮、樂、射、御、書、數(shù)（P15）小點(diǎn)四：高等教育私學(xué)：齊國的，稷下學(xué)宮（P15）小點(diǎn)五：太學(xué)的建立，標(biāo)志著中國封建社會官立大學(xué)制度的確立。（P16）

小點(diǎn)六：中世紀(jì)大學(xué)的特點(diǎn)：行會性、自治性、國際性（P18）小點(diǎn)七：中世紀(jì)大學(xué)實(shí)行的是專業(yè)教育：文學(xué)、法學(xué)、醫(yī)學(xué)、神學(xué)（P19）

小點(diǎn)八：19世紀(jì)，洪堡開創(chuàng)了高等教育史上的“洪堡時代”（P24）

洪堡提出了高等教育的兩條最基本的原則：教學(xué)與科研相統(tǒng)一的原則；學(xué)術(shù)自由的原則。（P24）

小點(diǎn)九：贈地學(xué)院：康乃爾大學(xué)、威斯康辛大學(xué)（P29）威斯康辛思想：（P29）

①把學(xué)生培養(yǎng)成有知識能工作的公民； ②進(jìn)行科學(xué)研究，發(fā)展科學(xué)與文化；

③把知識傳播給廣大民眾，直接為全州社會與經(jīng)濟(jì)服務(wù)。與“洪堡時代”相比，多了為社會服務(wù)的思想。

小點(diǎn)十：1862年成立的京師同文館是中國近代第一所具有高等性質(zhì)與功能的學(xué)校，也是中國最早采用班級授課制的學(xué)校。（單選）（P32）

第三章 高等教育發(fā)展的社會基礎(chǔ)

第一題：高等教育發(fā)展的政治基礎(chǔ)（小題）（P44-48）第一，政治制度的發(fā)展方向規(guī)定高等教育發(fā)展方向。第二，階級關(guān)系規(guī)定高等教育發(fā)展的利益追求。第三，政治任務(wù)影響高等教育的發(fā)展重點(diǎn)。

第四，主流意識形態(tài)影響高等教育發(fā)展的主要環(huán)節(jié)。第五，教育民主化運(yùn)動促進(jìn)了高等教育機(jī)會的擴(kuò)展。第六，建立國家高等教育體制。

第二題：經(jīng)濟(jì)制約著高等教育發(fā)展的幾個方面：（大題，簡答題）（P53-54）

第一，經(jīng)濟(jì)制約著高等教育發(fā)展規(guī)模。第二，經(jīng)濟(jì)發(fā)展制約高等教育發(fā)展決策。第三，經(jīng)濟(jì)制約高等教育結(jié)構(gòu)的完善程度。第四，經(jīng)濟(jì)促進(jìn)高等教育終身體系的形成。

第三題：基礎(chǔ)教育（中小學(xué)教育）與高等教育的關(guān)系。（判斷題）（P65-66）

①基礎(chǔ)教育質(zhì)量制約高等教育質(zhì)量。②基礎(chǔ)教育規(guī)模影響高等教育規(guī)模。

第四章：高等教育的價值與功能

第一題：小題：高等教育表現(xiàn)出獨(dú)特的社會價值和個人價值。（P68）

高等教育是再生產(chǎn)社會政治關(guān)系。（P69）

第二題：高等教育的經(jīng)濟(jì)價值（P71-72）１）作為經(jīng)濟(jì)增長的動力和源泉。（美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家，舒爾茨提出人力資本理論：認(rèn)為美國1929~1957年間國民經(jīng)濟(jì)增長額中，有33%應(yīng)歸因于教育。他因此，在1979年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎）

２）有助于個人收入分配趨于平等，促進(jìn)社會公平。

第三題：高等教育對文化的發(fā)展作用主要表現(xiàn)在傳承、改造和創(chuàng)新方面。（小題P75）

第四題：高等教育的個人價值（大題，P77-79）

第一章不要

１）提高個人的知識與能力水平。

２）養(yǎng)成良好的綜合素質(zhì)。

３）提高個人勞動效率，增加個人收入。４）提升個人社會地位。

第五題：高等學(xué)校的職能（大題，P79-81）①高等學(xué)校的職能主要表現(xiàn)為三大方面： １）培養(yǎng)高級專門人才（基本職能）。２）發(fā)展科學(xué)（主要職能）。

３）直接為社會服務(wù)的職能（高效職能的延伸）。

②三項(xiàng)職能的關(guān)系：這三項(xiàng)職能是相互聯(lián)系、相互滲透的。其中，（P82）１）培養(yǎng)人才是高等學(xué)校的基本職能和中心任務(wù)，是高等學(xué)校之所以是高等學(xué)校的根本理由； ２）發(fā)展科學(xué)是高等學(xué)校的重要職能，它既是高等學(xué)校培養(yǎng)高水平人才的保障，又是高等學(xué)校不同于其他層次學(xué)校的本質(zhì)要求； ３）社會服務(wù)是高等學(xué)校前兩項(xiàng)職能在當(dāng)?shù)厣鐣暮侠硌由炫c實(shí)際應(yīng)用，既是高效應(yīng)對當(dāng)?shù)厣鐣?yīng)盡的義務(wù)，也是高效本身發(fā)展的內(nèi)在需要。在辦學(xué)實(shí)踐中，我們應(yīng)以培養(yǎng)高級專門人才為中心，處理好三項(xiàng)職能之間的關(guān)系。

第五章 高等教育目標(biāo)

第一題：教育目標(biāo)

高等教育目標(biāo)是高等教育教學(xué)活動的總方向，也是高等教育工作的出發(fā)點(diǎn)和歸宿。（P87）①定義：教育目標(biāo)是指培養(yǎng)人的質(zhì)量和規(guī)格。廣義是指教育目的，狹義上是指培養(yǎng)目標(biāo)。（補(bǔ)充）②特征（小題）：１）高等教育目標(biāo)具有主觀性質(zhì)。（P87）

２）高等教育目標(biāo)還有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜性。(P88)③高等教育目標(biāo)的意義（作用）。（大題）(P89)１）高等教育目標(biāo)是高等教育活動的總方向，對高等教育活動的結(jié)果起著規(guī)范的作用。——導(dǎo)向作用 ２）高等教育目標(biāo)是高等教育活動的依據(jù)，是一切高等教育工作的出發(fā)點(diǎn)。——調(diào)控作用 ３）高等教育目標(biāo)還是高等教育活動的歸宿，具有檢驗(yàn)高等教育效果的標(biāo)準(zhǔn)作用。（教育目標(biāo)不僅是教育活動的指南，而且是教育評價的依據(jù)。）——評價和激勵作用 教育目標(biāo)是教育評價的依據(jù)。（小題）(P89)

第二題：高等學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)是高等教育目標(biāo)在不同的高等學(xué)校的具體化。（即細(xì)化了的教育目標(biāo)。）(P93)

第三題：通才和專才(P98)

通才：知識面和職業(yè)應(yīng)用面寬廣的是通才。專才：知識面和職業(yè)適應(yīng)面單一的是專才。

第四題：高等教育的任務(wù)（P102）

是培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的高級專門人才，發(fā)展科學(xué)技術(shù)文化，促進(jìn)社會主義現(xiàn)代化建設(shè)。

第六章 高等學(xué)校專業(yè)與課程

第一題：高等學(xué)校課程的特征（P114）（大題，簡答題）答題要點(diǎn)：專業(yè)性、探究性、前沿性 第一，高等學(xué)校課程具有專業(yè)性。第二，高等學(xué)校課程具有探究性。第三，高等學(xué)校課程具有前沿性。

第七章 高等學(xué)校教學(xué)過程與原則

第一題：怎樣理解教學(xué)過程的特點(diǎn)（大題，P125-128）（答題要點(diǎn)：三性）教學(xué)過程：學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，對人類已有經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)識活動和改造主觀世界，形成和發(fā)展個性時間活動的統(tǒng)一過程。（1）特殊性 首先，教學(xué)過程的認(rèn)識對象與一般認(rèn)識活動的對象不同，它不是以尚未發(fā)現(xiàn)的事物或真理為對象，而是以他人或者前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的系統(tǒng)的學(xué)科知識為對象，主要是以教材為中介的間接經(jīng)驗(yàn)，也可以說是書本知識。

其次，教學(xué)認(rèn)識的條件和形式與一般的認(rèn)識活動也有所不同（即，條件不同）。教學(xué)認(rèn)識活動不是學(xué)生獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)活動，而是在教師指導(dǎo)下學(xué)習(xí)和掌握知識的過程，亦即再發(fā)現(xiàn)的過

程。第三，科學(xué)家和人類的認(rèn)識活動是無限的，而教學(xué)認(rèn)識過程是有時限的（時間有限性）。（2）雙向性

首先，教師在教學(xué)過程中起著主導(dǎo)的作用。同時，學(xué)生又是學(xué)習(xí)的主體。再者，師生雙方雙邊活動的過程不僅體現(xiàn)在認(rèn)識方面的交流和分享，還有著情感方面的交流和影響。（3）發(fā)展性

第一，學(xué)生在掌握和運(yùn)用知識的過程中，不僅記憶力、思考力得到了發(fā)展，形成技能技巧，而且逐步深入對事物的理解，為進(jìn)一步發(fā)展解決問題的能力準(zhǔn)備了條件。第二，教學(xué)活動作為年輕一代成長過程中的主要途徑，對他們的人生觀和世界觀形成具有至關(guān)重要的作用，實(shí)質(zhì)上影響和決定著一個人基本素質(zhì)的形成和發(fā)展。

第三，不同的教學(xué)活動對學(xué)生有不同影響。

小題：

判斷題：教學(xué)認(rèn)識活動不是學(xué)生獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)活動。（正確）（P125）

單項(xiàng)選擇：智力的核心就是思維力。（P127）

第二題：高等學(xué)校教學(xué)過程的特點(diǎn)（四點(diǎn)，P129-130）專業(yè)性 獨(dú)立性 創(chuàng)造性 實(shí)踐性

第三題：教學(xué)原則的特點(diǎn)（補(bǔ)充）實(shí)踐性

科學(xué)性（客觀性）

第四題：誰提出什么樣的教學(xué)思想。（記住，小題）孔子提出：啟發(fā)教學(xué)，因材施教（P131）《學(xué)記》總結(jié)出：教學(xué)相長，長善救失 朱熹提出：循序漸進(jìn)原則 孔子提出：啟發(fā)式教學(xué)方式 不憤不啟，不悱不發(fā)

悱：學(xué)生想說心里話，表達(dá)不出來； 發(fā)：教師指導(dǎo)學(xué)生把心理話說出來（P133）《學(xué)記》：道而弗牽：教師要誘導(dǎo)，而不是牽著學(xué)生走（P133）

強(qiáng)而弗抑：要強(qiáng)迫學(xué)生順從（P133）

開而弗達(dá)：學(xué)生在思考階段，老師要給予啟發(fā)，又

要有保留（P133）

思想性：文以載道：寓理想性于教學(xué)中（P132）判斷題：知識與能力成不成正比？（不成正比）（補(bǔ)充）判斷題：直觀不是目的，僅僅是一種手段。（正確）（補(bǔ)充）貫徹博與專相結(jié)合的原則：“對專業(yè)中的某一點(diǎn)懂一切，對專業(yè)外的一切懂一點(diǎn)”。（P138）

第五題：你能否結(jié)合你所任教的專業(yè)課，對教學(xué)原則體系進(jìn)行一番評述。（P131-138）

要點(diǎn)三個方面：①教學(xué)原則的概念

②教學(xué)原則的體系

③能否選取其中兩條進(jìn)行闡述。

①教學(xué)原則是根據(jù)教學(xué)的目的和教學(xué)規(guī)律，在總結(jié)教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上制定出來的對教學(xué)的基本要求。它是成功地進(jìn)行教學(xué)活動所必須依據(jù)的準(zhǔn)則。②教學(xué)原則體系包括：

1）科學(xué)性與思想性統(tǒng)一的原則。

2）教師主導(dǎo)作用與學(xué)生主體性相結(jié)合的原則。3）傳授知識與發(fā)展能力相統(tǒng)一的原則。4）理論聯(lián)系實(shí)際的原則。

5）直觀性與抽象性相統(tǒng)一的原則。

6）統(tǒng)一要求和因材施教相結(jié)合的原則。7）博與專相結(jié)合的原則。

8）教學(xué)與科研相統(tǒng)一的原則。

以上八條是一個相互聯(lián)系、相輔相成的整體。

③選取其中兩條進(jìn)行闡述（您還可以選擇別的原則進(jìn)行闡述，并且要結(jié)合自己的所講的課）博與專相結(jié)合的原則： 博與專相結(jié)合的原則，是高等教育專業(yè)性的內(nèi)在要求，是科學(xué)技術(shù)在高度分化基礎(chǔ)上高度綜合發(fā)展趨勢的客觀反映。高等教育是培養(yǎng)高級專門人才的專業(yè)教育，專業(yè)性是高等教育的本質(zhì)特征之一。

貫徹這一教學(xué)原則的基本要求是：

1）首先要明確專業(yè)教學(xué)目標(biāo)和計劃，使每門課程、每種教學(xué)活動，都要直接或間接地圍繞著專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)來組織。

2）在專業(yè)教育的前提下，拓寬專業(yè)口徑，拓展學(xué)生的知識面。3）貫徹博與專相結(jié)合的原則，對于教師同樣提出很高的要求。教師須既有專業(yè)所長，又要有廣博的知識面。“對專業(yè)中的某一點(diǎn)懂一切，對專業(yè)外的一切懂一點(diǎn)”。教學(xué)與科研相統(tǒng)一的原則： 教學(xué)與科研相統(tǒng)一的原則，是高等學(xué)校教學(xué)過程獨(dú)立性、創(chuàng)造性特點(diǎn)的反映，也是高等學(xué)校一條特殊的教學(xué)原則。這一原則的基本含義是，將科學(xué)研究引入教學(xué)過程，使教學(xué)過程科研化，同時將教學(xué)活動體現(xiàn)于科研過程，使科研活動教學(xué)化，從而將高等學(xué)校的這兩種主要的活動，有機(jī)地統(tǒng)一為一體，共同實(shí)現(xiàn)高等學(xué)校的職能。

貫徹這一教學(xué)原則的基本要求是： 1）用過程教育代替結(jié)論教育。2）為學(xué)生參與科研提供環(huán)境。

3）把研究列為考核學(xué)生學(xué)業(yè)的重要指標(biāo)。

第八章 高等學(xué)校教學(xué)形式

第一題：班級授課制（P141）

是在17世紀(jì)由捷克教育學(xué)家——夸美紐斯創(chuàng)立，后經(jīng)德國教育學(xué)家——赫爾巴赫進(jìn)一步完善得以推廣。我國首次使用：1861年，京師同文館

第二題：班級授課制的優(yōu)缺點(diǎn)（考點(diǎn)：年年都考，出大題）（P141）

班級授課制是將學(xué)生按年級、學(xué)業(yè)程度等因素編成班級，教師面對班級里的全體學(xué)生，根據(jù)教學(xué)計劃和大綱的統(tǒng)一要求進(jìn)行教學(xué)的組織形式。優(yōu)點(diǎn)：

1．有利于提高教學(xué)的效率、擴(kuò)大教育對象。2．有利于教師作用的充分發(fā)揮。

3．有利于發(fā)揮集體的教育作用，使班級內(nèi)的學(xué)生有更多“相觀而善”的機(jī)會。缺點(diǎn)：由于對班級進(jìn)行的是統(tǒng)一的教學(xué)，因而不能很充分地兼顧學(xué)生的個別差異，難以針對學(xué)生的個人愛好與特長充分體現(xiàn)因材施教。（即不利于因材施教，不利于兼顧個別差異。）因此，要求在教學(xué)過程中，要處理好統(tǒng)一要求和個別差異的關(guān)系，同時注意班級授課制與其他教學(xué)組織形式的配合。

第三題：教學(xué)組織形式的發(fā)展趨勢（小題）（P143）1）教學(xué)活動的小規(guī)模化 2）教學(xué)活動的短學(xué)程化 3）教學(xué)活動場所多樣化

第四題：備課（P144）

答題要點(diǎn)：備教材、備學(xué)生、備方法。首先，教師備課要鉆研教學(xué)大綱和教材，透徹領(lǐng)會教學(xué)目的和具體章節(jié)的具體要求，對教材體系和基本內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、重點(diǎn)章節(jié)以及各章節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)等了然于胸。其次，教師備課還要備學(xué)生，教師要通過各種途徑去了解自己的學(xué)生，了解他們原有的知識基礎(chǔ)、知識結(jié)構(gòu)、理解能力和接受能力、興趣愛好、社會特征等，乃至還要了解他們的個別差異和個性特點(diǎn)。

第三，備方法，在吃透內(nèi)容并了解到學(xué)生的實(shí)際情況后，尋求最適宜的教學(xué)方法，寫出具體的教案。

第五題：大學(xué)上課不用講究？或上好一堂課的基本要求（即，評價一堂好課的基本標(biāo)準(zhǔn)。）（補(bǔ)充）第一，目標(biāo)明確

第二，內(nèi)容正確（懂，透，化）第三，方法得當(dāng) 第四，表達(dá)清晰 第五，氣氛活躍

第六題：教學(xué)方法（重要內(nèi)容）（Ｐ148）

教學(xué)方法包括：教師教的方法和學(xué)生學(xué)的方法。小題：教學(xué)方法是教師施教活動方式的綜合。（×錯誤，解析：是傳統(tǒng)觀點(diǎn)，是不對的。）

第七題：講授法（要求新教師掌握的內(nèi)容）（Ｐ150）運(yùn)用最為廣泛，最基本的方法。①明確的目的性 ②內(nèi)容的科學(xué)性 ③內(nèi)容的邏輯性 ④語言的感染性

此外，教學(xué)方法還包括：問答法、討論法、試驗(yàn)實(shí)習(xí)法、演示法、參觀法、自學(xué)指導(dǎo)法、練習(xí)法。（能判斷，哪種具體的教學(xué)行為歸屬于這里何種方法。）（P150-154）

演示法：是教師配合講授或談話，把實(shí)物、教具呈現(xiàn)給學(xué)生，或者向?qū)W生作示范，以說明或印證所教知識的一種方法。（重要）（P152）

啟發(fā)式不是一種具體的教學(xué)方法。（正確，補(bǔ)充）教學(xué)有法，但無定法。（正確）（P159）

第八題：教學(xué)方法選擇依據(jù)（補(bǔ)充）①要依據(jù)教學(xué)的具體目的和任務(wù) ②要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn) ③要依據(jù)學(xué)生的具體情況 ④要依據(jù)教師自身的素養(yǎng)條件

⑤要依據(jù)各種教學(xué)方法的效果及適用范圍 ⑥要依據(jù)教學(xué)的時間和效率的要求

第九題：教學(xué)評估（P163）高等學(xué)校教學(xué)評估，是對教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量的一種價值判斷活動。（判斷題，正確）

第九章 高等學(xué)校的科學(xué)研究

第一題：小題目

科學(xué)研究是衡量高等學(xué)校水平的重要標(biāo)志。（P166）真正具有科學(xué)性質(zhì)的高校科研，從19世紀(jì)開始。（P167）科研作為高校職能的提出者：德國人

洪堡（重復(fù)前面內(nèi)容）

第二題：高等學(xué)校的教育研究（即教育科學(xué)的研究）的內(nèi)容（簡答）（P176-177）

①教育教學(xué)研究是高等學(xué)校科學(xué)研究體系中的特色內(nèi)容。②含義：高校教師通過對自己教學(xué)活動的研究，通過對自己的教育對象的研究，才能真正了解學(xué)生，用正確的教育理論武裝自己，改進(jìn)教學(xué)方法，更新教學(xué)手段，從而有效地提高教學(xué)質(zhì)量。

③內(nèi)容：

1）研究教育對象。2）研究教學(xué)內(nèi)容。3）研究教學(xué)方法。

小題：科學(xué)研究的起點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)并提出有價值的問題。（P178）

第十章 高等學(xué)校教師

第一題：與教師相關(guān)的幾個法律法規(guī)（P188-189，以及補(bǔ)充）1985年2月12日

五屆人大常委會十三次會議，《學(xué)會條例》 1993年10月31日

第八屆人大常委會 四次

《教師法》 1995年3月18日

八屆人大會議，三次

《教育法》 1996年5月15日

八屆人大常委會

十九次會議

《職業(yè)教育法》

1998年8月29日

九屆人大常委會

四次會議

《高等教育法》

第二題：教師的含義（P189）

教師是履行教育教學(xué)職責(zé)的專業(yè)人員。

第三題：高等學(xué)校教師的價值（即教師的三大基本任務(wù)或三項(xiàng)重要職能）（P192-193）

要點(diǎn)：教學(xué)、科研、為社會服務(wù)

1）培養(yǎng)高級專門人才的重要承擔(dān)者：通過對教材的加工，創(chuàng)造性地傳播文化科學(xué)知識；開啟學(xué)生智慧，培養(yǎng)學(xué)生能力；教書育人，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展（即，思想品德教育）。2）發(fā)展和創(chuàng)新科學(xué)技術(shù)的重要實(shí)現(xiàn)者 3）通過知識傳播及運(yùn)用直接為社會服務(wù)

第四題：高等學(xué)校教師的勞動特點(diǎn)（大題，記住，P194-195）1）教師勞動的復(fù)雜性——決定了教師具有持久、穩(wěn)定性 2）教師勞動的創(chuàng)造性——決定了教師具有強(qiáng)烈的成就感 3）教師勞動的示范性——決定了教師應(yīng)有強(qiáng)烈的自警自省意識

4）教師勞動的群體性——決定了其高度的協(xié)作意識 小題：教學(xué)有法而無定法體現(xiàn)了教師勞動的什么性？（創(chuàng)造性）小題：向師性體現(xiàn)了教師勞動的什么性？（示范性）

小題：身教重于言教體現(xiàn)了教師勞動的什么性？（示范性）

第五題：高等學(xué)校教師的素質(zhì)（補(bǔ)充）高等學(xué)校教師的素質(zhì)，是高校教師在教育教學(xué)活動中表現(xiàn)出來的心理品質(zhì)的總和。

對高校教師素質(zhì)的要求，是由教師的地位、性質(zhì)、勞動特點(diǎn)及高校教師的特殊性決定的。一般分為如下幾個方面：

①政治思想素質(zhì)（堅定的共產(chǎn)主義信念，強(qiáng)烈的愛國之情，用于堅持真理）②職業(yè)道德素質(zhì)（熱愛學(xué)生，教書育人，以身作則，為人師表，團(tuán)結(jié)協(xié)作，尊重集體）

③文化知識素質(zhì)（基礎(chǔ)知識，專業(yè)知識，教育理論知識，相關(guān)學(xué)科知識）

④能力素質(zhì)（駕馭教學(xué)內(nèi)容的能力，多渠道獲取信息的能力，組織和管理的能力，教學(xué)實(shí)驗(yàn)和研究能力）⑤身心素質(zhì)（一是身體素質(zhì)：體制健康，耐受力強(qiáng)，反映敏捷，精力充沛；二是心理素質(zhì)：愉快的心境，開朗的心胸，幽默地情緒，頑強(qiáng)的毅力）

第六題：教師的教育情意（P198）①教育理想 ②教育情操 ③教育性向 ④教師自我

第七題：教師的權(quán)利（6點(diǎn)，P201-202）①教育教學(xué)權(quán) ②科學(xué)研究權(quán) ③管理學(xué)生權(quán) ④獲取報酬權(quán) ⑤民主管理權(quán) ⑥進(jìn)修培訓(xùn)權(quán)

第十三章

當(dāng)代國際高等教育發(fā)展趨勢

當(dāng)代國際高等教育發(fā)展趨勢（每節(jié)標(biāo)題，記住即可）①高等教育大眾化 ②高等教育國際化 ③高等教育多樣化 ④高等教育綜合化 ⑤高等教育私營化

第一題：有人認(rèn)為高等教育的目的在于培養(yǎng)全面和諧的人，也有人認(rèn)為高教的目的是直接滿足社會的現(xiàn)實(shí)需要，請對這些觀點(diǎn)加以闡述。（補(bǔ)充）答：①這是高等教育的兩種基本價值觀，前者稱為個人本位價值觀，后者為社會本位價值觀。②個人本位價值觀（含義）：個人本位價值觀從個人需要，個體發(fā)展角度出發(fā)涉及高等教育的目的，強(qiáng)調(diào)教育要為人本身的需要服務(wù)。

③社會本位價值觀（含義）：從社會發(fā)展需要出發(fā)，涉及高等教育目的，強(qiáng)調(diào)個人只是教育加工的原料，個人發(fā)展必須服從社會需要。

④兩種價值觀都有其合理性，同時也各有其片面性和局限性。1）個人價值觀確認(rèn)個人價值高于社會價值，提出了尊重人性以人為本的自由發(fā)展思想，但把社會視作個體的簡單結(jié)合，使得教育面對復(fù)雜的個體需要無所適從，導(dǎo)致教育中的極端個人主義、自由化傾向、個體社會責(zé)任感下降。

2）社會本位價值觀肯定教育的價值在于促進(jìn)國家和社會的發(fā)展，對于教育密切與社會的聯(lián)系起到了積極的推動作用，但也容易導(dǎo)致教育的某種被動性，助長了高等教育的短視行為，影響了社會的長遠(yuǎn)利益，導(dǎo)致對學(xué)生個性的抹殺。

⑤在現(xiàn)實(shí)社會背景下要尋求兩種價值選擇之間的協(xié)調(diào)與整合，歷史上出現(xiàn)的高等教育在個人與社會之間的單項(xiàng)選擇已被視作為一種教訓(xùn)，要針對我國高等教育的世紀(jì)做出積極的動態(tài)調(diào)整。

第二題：大學(xué)生素質(zhì)教育（增加補(bǔ)充的內(nèi)容）

①概念：所謂素質(zhì)教育，著眼于人的全面、和諧、長遠(yuǎn)、健康的發(fā)展，而不是片面的、急功近利的甚至畸形的發(fā)展。素質(zhì)教育強(qiáng)調(diào)知識的內(nèi)化和人的潛能的發(fā)展，強(qiáng)調(diào)人的素養(yǎng)和品質(zhì)的全面提高。

素質(zhì)教育與單純的應(yīng)試教育相對應(yīng)。

②素質(zhì)教育興起的背景（四大發(fā)展趨勢、潮流）

1972年 法國的報告、學(xué)會生存——教育世界的今天和明天 1979年 羅馬俱樂部、學(xué)無止境：創(chuàng)新性學(xué)習(xí)（終生教育）代替維持性學(xué)習(xí)

1989年 北京面向二十一世紀(jì)教育國際研究會 學(xué)會關(guān)心：關(guān)心自己、關(guān)心他人、關(guān)心社會、關(guān)心環(huán)境 二十一世紀(jì)最成功的人：全面發(fā)展

1996年 國際二十一世紀(jì)教育委員會：教育——財富蘊(yùn)藏其中 知識經(jīng)濟(jì) 未來教育四大支柱：學(xué)會認(rèn)識、學(xué)會動手、學(xué)會與人相處（合作）、學(xué)會發(fā)展

我國素質(zhì)教育發(fā)展的幾個階段： 1949—1978（30年）“雙基”教育階段：基礎(chǔ)知識、基本技能 1979—1982（4年）發(fā)展智力

1983—1989（7年）學(xué)生非智力因素的培養(yǎng) 1990—至今素質(zhì)教育，其核心是創(chuàng)新教育 ③國際上教育的行情 經(jīng)濟(jì)發(fā)展的社會化、全球化使職業(yè)的變動、崗位的轉(zhuǎn)化成為常態(tài)，對人的可遷移性要求更突出。

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展對人的素質(zhì)內(nèi)涵提出新的要求——對責(zé)任感、道德倫理提出新的要求。人的發(fā)展要求：身心、知識、能力素質(zhì)的和諧發(fā)展，這是人的發(fā)展的基本要求。④大學(xué)素質(zhì)教育的定位：

大學(xué)素質(zhì)教育是一種指導(dǎo)思想。

大學(xué)素質(zhì)教育必須貫穿于高等學(xué)校教育活動的全過程。⑤大學(xué)素質(zhì)教育實(shí)施的重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：科學(xué)和人文（大學(xué)素質(zhì)教育的兩翼）難點(diǎn)：發(fā)展情感

第三題：掃尾知識點(diǎn)： 小點(diǎn)十一：高等學(xué)校組織具有“二重性”，即高等學(xué)校兼有“教育性”“學(xué)術(shù)性”的組織屬性。（P208）小點(diǎn)十二：國家舉辦的高等學(xué)校實(shí)行中國共產(chǎn)黨高等學(xué)校基層委員會領(lǐng)導(dǎo)下的校長負(fù)責(zé)制。（P216）小點(diǎn)十三：高等教育管理制度大致上分為三種模式：集權(quán)模式（我國屬此）、分權(quán)模式、并重模式（P232-233）小點(diǎn)十四：高等學(xué)校享有辦學(xué)自主權(quán)和法人資格。（P234）小點(diǎn)十五：學(xué)歷，使指受教育者在具備法定條件的教育機(jī)構(gòu)中的學(xué)歷經(jīng)歷。（P237）

小點(diǎn)十六：我國學(xué)位制度分為三級，包括學(xué)士、碩士和博士學(xué)位。（P239）

小點(diǎn)十七：分段標(biāo)準(zhǔn)（P248）精英教育階段：15%以下

大眾化高等教育階段：15%~50%，我國已屬此階段，在18%左右

普及高等教育階段：超過50% 標(biāo)準(zhǔn)：國家適齡青年（18~22歲）中接受高等教育人數(shù)的比例，又稱高等教育毛入學(xué)率。

第五篇：線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 2008-05-04 13:04:49]

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線性代數(shù)總結(jié)

一、課程特點(diǎn)

特點(diǎn)一：知識點(diǎn)比較細(xì)碎。

如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點(diǎn)二：知識點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。

這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時，要做到“融會貫通”。

“融會”——設(shè)法找到不同知識點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處； “貫通”——掌握前后知識點(diǎn)之間的順承關(guān)系。

二、行列式與矩陣

第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。

行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。

對于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、、、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。

三、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對獨(dú)立，可以看作是對核心內(nèi)容的擴(kuò)展。

向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。

1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系

齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無關(guān)的定義也正是由這個等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)。可以設(shè)想線性相關(guān)無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關(guān)組的聯(lián)系

同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關(guān)組中有 個向量，即 線性無關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過

“秩 → 線性相關(guān)無關(guān) → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時，的列向量組 線性相關(guān)，此時齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。

3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系

非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當(dāng)非齊次線性方程組 滿足 時，它有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個重要定理：“若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。性質(zhì)1.對于方陣 有：

方陣 可逆ó

ó 的行列向量組均線性無關(guān)ó ó 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： ó 的列向量組線性無關(guān)

ó 僅有零解，有唯一解（如果有解）

性質(zhì)2．齊次線性方程組 是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 是否有解對應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。

以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁。

應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：

1）向量組 線性相關(guān)ó向量組中至少存在一個向量可由其余 個向量線性表出。2）向量組線性無關(guān)ó向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。

3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。

2．向量組線性表示與等價的有關(guān)結(jié)論：

1）一個線性無關(guān)的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。2）如果向量組 可由向量組 線性表示，則有

3）等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量； 4）任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。3．常見的線性無關(guān)組：

1）齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系； 2）、、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對應(yīng)的特征向量。4．關(guān)于秩的一些結(jié)論： 1）； 2）； 3）； 4）；

5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。

4．線性方程組的解：

1）非齊次線性方程組 有唯一解則對應(yīng)齊次方程組 僅有零解；

2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個不同的解則 有非零解；

4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時有唯一解，當(dāng) 時有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。

四、特征值與特征向量

相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量內(nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動全身”。本章知識要點(diǎn)如下： 1．特征值和特征向量的定義及計算方法 就是記牢一系列公式如、、和。常用到下列性質(zhì)：

若 階矩陣 有 個特征值，則有 ；

若矩陣 有特征值，則、、、、、分別有特征值、、、、、，且對應(yīng)特征向量等于 所對應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)

定義式為，此時滿足、、，并且、有相同的特征值。

需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣 與矩陣 等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣 可通過初等變換化為矩陣，并有 ；當(dāng) 中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是，其中 為可逆矩陣。

由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。3．矩陣可相似對角化的條件

包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應(yīng)有 個線性無關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個互不相同的特征值；充分條件2是 為實(shí)對稱矩陣。4．實(shí)對稱矩陣及其相似對角化

階實(shí)對稱矩陣 必可正交相似于對角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對應(yīng)的 個正交的單位特征向量組成。

可以認(rèn)為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對角矩陣）的話就簡單多了，因?yàn)榇藭r

而對角陣 的冪 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因?yàn)椋坏袛嗑仃嚨南嗨茖腔瘯r要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。

五、二次型

本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識為“對于實(shí)對稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在 為實(shí)對稱矩陣時的應(yīng)用。本章知識要點(diǎn)如下：

1．二次型及其矩陣表示。2．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。3．正負(fù)定二次型的判斷與證明。

標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié)

.學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。這門課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識；另一方面還對提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時隨著計算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，為解決實(shí)際問題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。

我總結(jié)了《線性代數(shù)》的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會認(rèn)為這已經(jīng)為時過晚，但我不這么認(rèn)為。從這門課程中，我們學(xué)會的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識），更重要的是，從這門課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個工具狹隘的講是線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)知識，但從廣義地說：這個工具應(yīng)該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等）。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識的方法。

我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門知識的方法是：

一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識或者要掌握哪些方面的技能。

只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會有動力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識沒有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒有貶低任何人的意思）。不過我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識，掌握專業(yè)技能是每個大學(xué)生的天職。

二、知道知識是什么，了解相關(guān)知識的概念和定義。

這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動才能得以開展，知識是人類高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說話那么通俗易懂。所以我們要想把知識學(xué)好，就得在概念上下功夫。例《線性代數(shù)》這門課程中的實(shí)二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實(shí)二次型。否則這一塊的知識沒有辦法開展。

三、要知到我們學(xué)的知識可以用到何處，或者能幫我們解決什么問題。

其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。但是對于我們的課本知識非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識。說句實(shí)在話，我們確實(shí)不知到能為我們生活中能解決什么問題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來一定會有用。有一句話說得好，書到用時方恨少，說得是這個道理。總之，我們現(xiàn)在要為以后遇到問題而積累解決問題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。

四、學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會如何去操作。

像《線性代數(shù)》這門課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個概念后，我們得要學(xué)會如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn)識了矩陣的對角化定義之后，我們得掌握如何去將一個矩陣對角化。其

實(shí)，就是學(xué)會如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。只有掌握了這部分，我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問題，就有了這個工具去為我們解決實(shí)際的問題。

五、將所學(xué)習(xí)的知識反作用于生活（即將所學(xué)的知識用到實(shí)處）。

這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。一個人的解決問題的能力應(yīng)該和他所掌握的知識成正比。學(xué)之所用才叫學(xué)到實(shí)處，才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。記得這個給我印象最深的是：在我們學(xué)C++編程時，有一道題是講的是用一百元錢去買母雞、公雞、小雞。母雞5元錢一只，公雞3元錢一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可能。

這其實(shí)就是一道最簡單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組

x3+3y+5z=100

x+y+z=100

解此線性方程組得

x=3z/4+75

y=-7z/4+25 z=z

用z作為循環(huán)變量控制，這個程序不到十行就可以編出來。這就說明學(xué)習(xí)知識總會有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問題的方法多了，大腦用活了，我們的競爭力就強(qiáng)了，自然在社會上有一席之地。

總之：我個人覺得學(xué)習(xí)知識很有用處。雖然就業(yè)壓力在壓著大家，大家為就業(yè)而奔波，但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點(diǎn)。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個“胖胖”所說的話：“一個蘿卜，一個坑”，一步一個腳印，腳踏實(shí)地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔(dān)任起國家建設(shè)的重任和使命。

樓主 大 中 小 發(fā)表于 2008-10-10 23:50 只看該作者

線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).√ 關(guān)于 ：

①稱為 的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；

② 線性無關(guān)；

③ ； ④ ；

⑤任意一個 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計算：

① 若 都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關(guān)于副對角線：

√ 逆矩陣的求法:

① ②

③

④

⑤

√ 方陣的冪的性質(zhì)：

√ 設(shè)，對 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個多項(xiàng)式.√ 設(shè)的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對角矩陣 左乘一個矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對角矩陣 右乘一個矩陣,相當(dāng)于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘，與分塊對角陣相乘類似,即：

√ 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng) 時，√

和 同解（列向量個數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無關(guān)組相對應(yīng),從而秩相等；

② 它們對應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；

③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√ 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：

①

線性無關(guān)；

②

是 的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②

單個零向量線性相關(guān)；單個非零向量線性無關(guān).③

部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無關(guān),部分必?zé)o關(guān).④

原向量組無關(guān),接長向量組無關(guān)；接長向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤

兩個向量線性相關(guān) 對應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關(guān).⑥

向量組 中任一向量

≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦

向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個向量可由其余 個向量線性表示.向量組 線性無關(guān) 向量組中每一個向量 都不能由其余 個向量線性表示.⑧

維列向量組 線性相關(guān) ；

維列向量組 線性無關(guān).⑨

.⑩

若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價

和 可以相互線性表示.記作： 矩陣等價

經(jīng)過有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣 與 等價

作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣 與 作為向量組等價

矩陣 與 等價.?

向量組 可由向量組 線性表示

≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性相關(guān).向量組 線性無關(guān),且可由 線性表示,則 ≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價；

?

任一向量組和它的極大無關(guān)組等價.?

向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價,且這兩個組所含向量的個數(shù)相等.?

若兩個線性無關(guān)的向量組等價,則它們包含的向量個數(shù)相等.?

若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無關(guān)；

若，的列向量線性

無關(guān),即： 線性無關(guān).線性方程組的矩陣式

向量

式

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：

伴隨矩陣的性質(zhì)：

線性方程組解的性質(zhì)：

√ 設(shè) 為 矩陣,若 ,則 ,從而 一定有解.當(dāng) 時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān).是 的上限.√ 矩陣的秩的性質(zhì)：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥ ≥ ⑦

≤ ⑧

⑨

⑩

且 在矩陣乘法中有左消去律:

標(biāo)準(zhǔn)正交基

個 維線性無關(guān)的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量

.√ 內(nèi)積的性質(zhì)：

① 正定性：

② 對稱性：

③ 雙線性：

施密特

線性無關(guān)，單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件： 的 個行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√ 正交矩陣的性質(zhì)：①

；

②

；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④ 兩個正交陣之積仍是正交陣； ⑤ 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項(xiàng)式

.的特征方程

.√ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無關(guān)的特征向量.√

√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:

①的全部特征值為 ；

② 當(dāng) 可逆時, 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√

√

與 相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對角陣的充要條件： 恰有 個線性無關(guān)的特征向量.這時, 為 的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為 的特征值.√

可對角化的充要條件：

為 的重數(shù).√ 若 階矩陣 有 個互異的特征值,則 與對角陣相似.與 正交相似

（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質(zhì)：①

若 均可逆

②

③

（為整數(shù)）

④,從而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)

于 的特征向量.⑤

從而 同時可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 數(shù)量矩陣只與自己相似.√ 對稱矩陣的性質(zhì)：

① 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；

② 與對角矩陣合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 個線性無關(guān)的特征向量；

⑤ 必可用正交矩陣相似對角化（一定有 個線性無關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重

數(shù)=）.可以相似對角化

與對角陣 相似.記為：

（稱 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型）

√ 若 為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數(shù)（重數(shù)重復(fù)計算）.√ 設(shè) 為對應(yīng)于 的線性無關(guān)的特征向量,則有：

.√ 若 , ,則：.√ 若 ,則 ,.二次型

為對稱矩陣

與 合同

.記作：

（）

√ 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√ 兩個矩陣合同的充分條件是：

√ 兩個矩陣合同的必要條件是： √

經(jīng)過

化為 標(biāo)準(zhǔn)型.√ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個數(shù)是由

惟

一確定的.√ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù) 為1，-1或0時,則為規(guī)范形.√ 實(shí)對稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個數(shù).√ 任一實(shí)對稱矩陣 與惟一對角陣 合同.√ 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

對 個特征向量單位化、正交化；

③

構(gòu)造（正交矩陣）, ；

④

作變換 ,新的二次型為 , 的主對角上的元素 即為 的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對應(yīng)的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數(shù)為 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有順序主子式全大于 ； ④

合同于，即存在可逆矩陣 使 ； ⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）； ⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件：；

.b

b s

.k ao

y a n.c o m

內(nèi)容相互縱橫交錯 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

概念多、定理多、符號多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計算方法，并及時進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識能融會貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點(diǎn)是計算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個層次，一是矩陣的符號運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是常考的內(nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無關(guān)），線性表出等問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無關(guān)）的概念及幾個相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無關(guān)組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在 Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計算熟練，當(dāng)然在計算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行變換

I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。

關(guān)于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實(shí)對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對稱陣，利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應(yīng)的特征向量，從而確定出A。三是相似對角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來計算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

往年常有考生沒有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時出現(xiàn)錯誤。

例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價，意味著經(jīng)過初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。

又如，實(shí)對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP＝B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對稱矩陣A～BAB，即相似是合同的充分條件。

線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

行列式(數(shù)字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

二、注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有

r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n

進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)

再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP＝∧可知A有n個線性無關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x＝0的基礎(chǔ)解系由ni個解向量組成，進(jìn)而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是實(shí)對稱矩陣，則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實(shí)現(xiàn)相似對角化。

又比如，對于n階行列式我們知道：

若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當(dāng)｜A｜≠0時，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時通過伴隨矩陣來求A-1；

對于n個n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性；

矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；

求矩陣A的特征值，可以通過計算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E-A｜＝0；

判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

凡此種種，正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識點(diǎn)之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。

線性代數(shù)中常見的證明題型有：

證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對給出的兩個方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。

《線性代數(shù)》是一門研究線性問題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)實(shí)質(zhì)上是提供了自己獨(dú)特的語言和方法，將那些涉及多變量的問題組織起來并進(jìn)行分析研究，是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理

大的數(shù)組的一門代數(shù)。

線性代數(shù)有兩類基本數(shù)學(xué)構(gòu)件.一類是對象：數(shù)組；一類是這些對象進(jìn)行的運(yùn)算。在此基礎(chǔ)之上可以對一系列涉及數(shù)組的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探討和研究，從而解決實(shí)際問題.既然線性代數(shù)有自己獨(dú)特的內(nèi)容，我們就要用適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法面對。這里給出五點(diǎn)建議：

一、線性代數(shù)如果注意以下幾點(diǎn)是有益的.由易而難 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；

由低而高 運(yùn)用技巧，省時不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；

由簡而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；

由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地。

二、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

1、線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

2、線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：

行列式（數(shù)字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

三、注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識融會貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

四、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解學(xué)生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家學(xué)習(xí)整理時，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應(yīng)注意語言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。

總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過程中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會貫通。