第一篇：小學奧數學習資料(完整講義)

第一講 觀察法

————————————————姚老師數學樂園

廣安岳池 姚文國

在解答數學題時，第一步是觀察。觀察是基礎，是發現問題、解決問題的首要步驟。小學數學教材，特別重視培養觀察力，把培養觀察力作為開發與培養學生智力的第一步。

觀察法，是通過觀察題目中數字的變化規律及位置特點，條件與結論之間的關系，題目的結構特點及圖形的特征，從而發現題目中的數量關系，把題目解答出來的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規律。

*例1（適于一年級程度）此題是九年義務教育六年制小學教科書數學

第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導兒童觀察、思考，初步培養他們的觀察能力。這時兒童已經學過20以內的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內的小方格中填入數字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數字的和，都等于左邊小正方形中的數字18。實質上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。

解：現在通過觀察、思考，看小方格中應填入什么數字。從橫中行10+6+□=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+□=18（圖1-2）會想到，18-7-2=9，在豎右列下面的小方格中應填入9（圖1-3）。

從正方形對角線上的9+6+□=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應填入3（圖1-4）。

從正方形對角線上的7+6+□=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應填入5（圖1-4）。

從橫上行3+□+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應填入8（圖1-5）。

又從橫下行5+□+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應填入4（圖1-5）。

圖1-5是填完數字后的幻方。

例2 看每一行的前三個數，想一想接下去應該填什么數。（適于二年級程度）6、16、26、____、____、____、____。9、18、27、____、____、____、____。80、73、66、____、____、____、____。

解：觀察6、16、26這三個數可發現，6、16、26的排列規律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個數都比它前面的那個數大10。觀察9、18、27這三個數可發現，9、18、27的排列規律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個數都比它前面的那個數大9。觀察80、73、66這三個數可發現，80、73、66的排列規律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個數都比它前面的那個數小7。

這樣可得到本題的答案是： 6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。

例3 將1～9這九個數字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年級程度）

解：仔細觀察圖中不等號及方框的排列規律可發現：只有中心的那個方框中的數小于周圍的四個數，看來在中心的方框中應填入最小的數1。再看它周圍的方框和不等號，只有左下角的那個方框中的數大于相鄰的兩個方框中的數，其它方框中的數都是一個比一個大，而且方框中的數是按順時針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個方框中應填9，在它右鄰的方框中應填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。

圖1-7是填完數字的圖形。

例4 從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角？（適于三年級程度）解：此題不少學生不加思考就回答：“一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角。”

我們認真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么剪？都是什么情況？

（1）從一個角的頂點向對角的頂點剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。（2）從一個角的頂點向對邊上任意一點剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，剩下五個角（圖1-10）。

例5 甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數。這個三位數的每個數字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數比另一個人看到的這個數大一半，這個數是多少？（適于三年級程度）

解：首先要確定這個三位數一定是用阿拉伯數字表示的，不然就沒法考慮了。甲看到的數與乙看到的數不同，這就是說，這個三位數正看、倒看都表示數。在阿拉伯數字中，只有0、1、6、8、9這五個數字正看、倒看都表示數。這個三位數在正看、倒看時，表示的數值不同，顯然這個三位數不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。

如果這個數是666，當其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數的總和是多少？（適于三年級程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個數直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數字大，計算起來容易出錯。

如果仔細觀察這五個數可發現，第一個數是1966，第二個數比它大10，第三個數比它大20，第四個數比它大30，第五個數比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：

1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100 =9930 這五個數還有另一個特點：中間的數是1986，第一個數1966比中間的數1986小20，最后一個數2006比中間的數1986大20，1966和2006這兩個數的平均數是1986。1976和1996的平均數也是1986。這樣，中間的數1986是這五個數的平均數。所以，這道題還可以用下面的方法計算： 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930 例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數嗎？（適于四年級程度）

解：我們仔細觀察一下算式：

400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16

不難看出，原來的被除數和除數都乘以4，目的是將除數變成1后面帶有0的整百數。這樣做的根據是“被除數和除數都乘以一個相同的數（零除外），商不變”。

進行這種變化的好處就是當除數變成了1后面帶有0的整百數以后，就可以很快求出商。按照這個規律，可迅速算出下列除法的商。

（1）600÷25（2）900÷25

=（600×4）÷（25×4）=（900×4）÷（25×4）=600×4÷100 =900×4÷100 =24 =36（3）1400÷25（4）1800÷25 =（1400×4）÷（25×4）=（1800×4）÷（25×4）=1400×4÷100 =1800×4÷100 =56 =72（5）7250÷25

=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100 =290 *例8 把1～1000的數字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數，這六個數的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數，豎著兩個數）框出的六個數的和是837，這六個數都是多少？（適于五年級程度）解：（1）觀察框內的六個數可知：第二個數比第一個數大1，第三個數比第一個數大2，第四個數比第一個數大7，第五個數比第一個數大8，第六個數比第一個數大9。

假定不知道這幾個數，而知道上面觀察的結果，以及框內六個數的和是87，要求出這幾個數，就要先求出六個數中的第一個數：

（87-1-2-7-8-9）÷6 ＝60÷6 =10 求出第一個數是10，往下的各數也就不難求了。

因為用同樣的方法框出的六個數之和是837，這六個數之中后面的五個數也一定分別比第一個數大1、2、7、8、9，所以，這六個數中的第一個數是：

（837-1-2-7-8-9）÷6 ＝810÷6 =135 第二個數是：135+1=136 第三個數是：135+2=137 第四個數是：135+7=142 第五個數是：135+8=143 第六個數是：135+9=144 答略。

（2）觀察框內的六個數可知：①上、下兩數之差都是7；②方框中間堅行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個數的中間數。

11=（10+11+12）÷3 18=（17+18+19）÷3

所以上橫行與下橫行兩個中間數的和是：

87÷3＝29 由此可得，和是837的六個數中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數的和是：

837÷3＝279 因為上、下兩個數之差是7，所以假定上面的數是x，則下面的數是x+7。x+（x+7）=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143 因為上一橫行中間的數是136，所以，第一個數是：136-1=135 第三個數是：135+2=137 因為下一橫行中間的數是143，所以，第四個數是：143-1=142 第六個數是：142+2=144 答略。*例9 有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程度）

解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，8-1+3=10 即鋸去一個頂點后還有10個頂點。

（2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。

（3）如果鋸開的截面通過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（個）（圖1-14）。

（4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。

例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（適于六年級程度）

解：我們知道，底面半徑為γ，高為h的圓柱體的表面積是2πγ+2πγh。

2本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側面積。

（2π×1.5+2π×1.5×1）+（2π×1×1）+（2π×0.5×1）2=（4.5π+3π）+2π+π =7.5π+3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97（平方米）答略。

*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級程度）

解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細。

求表面積的方法1：

＝3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×（90+120）+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：

=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4（平方厘米）鑄件的體積：

=3.14×225×4 =3.14×900 =2826（立方厘米）答略。

第二講 嘗試法

解應用題時，按照自己認為可能的想法，通過嘗試，探索規律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。

一般來說，在嘗試時可以提出假設、猜想，無論是假設或猜想，都要目的明確，盡可能恰當、合理，都要知道在假設、猜想和嘗試過程中得到的結果是什么，從而減少嘗試的次數，提高解題的效率。

例1 把數字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅列三個數相加都等于14。（適于一年級程度）

解：七八歲的兒童，觀察、總結、發現規律的能力薄弱，做這種填空練習，一般都感到困難。可先啟發他們認識解此題的關鍵在于試填中間的一格。中間一格的數確定后，下面一格的數便可由豎列三個數之和等于14來確定，剩下的兩個數自然應填入左右兩格了。

中間一格應填什么數呢？

先看一個日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，??

這樣反復試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。

本題的試數范圍是3、4、6、7四個數，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數相加都得14”的要求來逐個嘗試。

如果中間的格中填3，則豎列下面的一格應填多少呢？因為14-5-3=6，所以豎列下面的一格中應填6（圖2-2）。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個數加起來，得14，合乎題目要求。

如果中間一格填

4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。

例2 把1、2、3??11各數填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度）

解：圖2-5中有11個格，正好每一格填寫一個數。

圖2-6中寫有A、B、C的三個格中的三個數，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個數是解此題的關鍵。

因為1～11之中中間的三個數是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試（圖2-7）。

以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應填什么數。因為18-6=12，所以6上、下兩格中數字的和應是12。

考慮6已是1～11之中中間的數，那么6上、下兩格中的數應是1～11之中兩頭的數。再考慮6上面的數還要與5相加，6下面的數還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖2-8）。

6+11+1=18 看圖2-8。6上面的數是11，11左鄰的數是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數是2（圖2-9）。

再看圖2-8。6下面的數是1，1右鄰的數是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數是10（圖2-9）。

現在1～11之中只剩下3、4、8、9這四個數，圖2-9中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應填什么數呢？

因為18-5=13，所以5上、下兩格中數字的和應是13，3、4、8、9這四個數中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應填9與4（圖2-10）。

看圖2-10。因為6左鄰的數是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數是8。因為18-7-8=3，并且1-11的數中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應填上3。

圖2-10是填完數字的圖形。

*例3 在9只規格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級程度）

解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。

①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。

②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號，使得下面的算式成立。（適于三年級程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解：先找一個接近1986的數，如：8888÷8+888=1999。

1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4個8經過怎樣的運算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式： 8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986

例5 三個連續自然數的積是120，求這三個數。（適于四年級程度）解：假設這三個數是2、3、4，則：

2×3×4=24

24＜120，這三個數不是2、3、4； 假設這三個數是3、4、5，則：

3×4×5＝60 60＜120，這三個數不是3、4、5； 假設這三個數是4、5、6，則：

4×5×6=120 4、5、6的積正好是120，這三個數是4、5、6。例6 在下面式子里的適當位置上加上括號，使它們的得數分別是47、75、23、35。（適于四年級程度）

（1）7×9+12÷3-2＝47（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35 解：本題按原式的計算順序是先做第二級運算，再做第一級運算，即先做乘除法而后做加減法，結果是： 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括號”的目的在于改變原來的計算順序。由于此題加中括號還是加小括號均未限制，因此解本題的關鍵在于加寫括號的位置。可以從加寫一個小括號想起，然后再考慮加寫中括號。如：

（1）7×7=49，再減2就是47。這里的第一個數7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號前的數，所以下面應考慮能否把9+12÷3通過加括號后改成得7的算式。經過加括號，（9+12）÷3=7，因此：

7×[（9+12）÷3]-2=47 因為一個數乘以兩個數的商，可以用這個數乘以被除數再除以除數，所以本題也可以寫成：

7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數，要減去的2是等號前面的數。下面要看9+12÷3能不能改寫成得11的算式。經嘗試9+12÷3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個數，所以只要把3-2用小括號括起來，使7×9+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：

（7×9+12）÷（3-2）=75 因為（3-2）的差是1，所以根據“兩個數的和除以一個數，可以先把兩個加數分別除以這個數，然后把兩個商相加”這一運算規則，上面的算式又可以寫成：

7×9+12÷（3-2）=75 在上面的這個算式中，本應在7×9的后面寫上“÷（3-2）”，因為任何數除以1等于這個數本身，為了適應題目的要求，不在7×9的后寫出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，這個算式中，只有2是原算式等號前的數，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號括起來，就得到題中所求了。

（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35，7是原算式中的第一個數，原算式中的 9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢？因為 7-2=5，要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經改寫為（9+12）÷3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：

7×[（9+12）÷3-2]=35 *例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天數是：

112÷14=8（天）

因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數多，所以假定李平剪了5天。則：

12×5+20×（8-5）=120（只）

120＞112，李平不是剪了5天，而是剪的天數多于5天。假定李平剪了6天，則：

12×6+20×（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。

*例8 一名學生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完。現在要使每天讀的頁數跟能讀完這本書的天數相等，每天應該讀多少頁？（適于五年級程度）

解：解這道題的關鍵是要求出一本書的總頁數。因為每天讀的頁數乘以讀的天數等于一本書的總頁數，又因為每天讀的頁數與讀完此書的天數相等，所以知道了總頁數就可以解題了。

根據“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認為總頁數就是 80×5=400（頁）呢？不能。

因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80×4=320（頁），最多不會超過：

90×4=360（頁）根據以上分析，可知這本書的頁數在321～360頁之間。知道總頁數在這個范圍之內，往下就不難想到什么數自身相乘，積在321～360之間。

因為17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321～360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。

答：每天應該讀18頁。

*例9 一個數是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數有許多約數是兩位數。這些兩位數的約數中，最大的是幾？（適于六年級程度）

解：兩位數按從大到小的順序排列為： 99、98、97、96??

11、10 以上兩位數分解后，它的質因數只能是2、3、5、7，并且在它的質因數分解中2的個數不超過5，3的個數不超過3，5的個數不超過2，7的個數不超過1。

經嘗試，99不符合要求，因為它有質因數11；98的分解式中有兩個7，也不符合要求；質數97當然更不會符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3

所以在這些兩位數的約數中，最大的是96。答略。

*例10 從一個油罐里要稱出6千克油來，但現在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級程度）

解：這道題單靠計算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒滿，再設法倒出9千克油中的3千克，為達到這一目的，我們應使小桶中正好有1千克油。

怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒滿油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒滿小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒滿小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶里有1千克油。

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒滿油。

（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒滿。（9）大桶里剩下6千克油。

第三講 列舉法

解應用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

用列舉法解應用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。

例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數字是6的鉛字？（適于三年級程度）

解：把個位是6和十位是6的數一個一個地列舉出來，數一數。

個位是6的數字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。

10+10=20（個）

答：在排頁碼時要用20個數字是6的鉛字。

*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）

解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。

第一種走法：A ① B ④ C 第二種走法：A ① B ⑤ C 第三種走法：A ② B ④ C 第四種走法：A ② B ⑤ C 第五種走法：A ③ B ④ C 第六種走法：A ③ B ⑤ C

答：從A市經過B市到C市共有6種走法。*例3 9○13○7=100 14○2○5=□

把+、-、×、÷四種運算符號分別填在適當的圓圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當的整數，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數是幾？（適于四年級程度）

解：把+、-、×、÷四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。

先看第一個式子：9○13○7=100

如果在兩個圓圈內填上“÷”號，等式右端就要出現小于100的分數；如果在兩個圓圈內僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數也小于100，所以在兩個圓圈內不能同時填“÷”號，也不能同時填“+”、“-”號。

要是在等式的一個圓圈中填入“×”號，另一個圓圈中填入適當的符號就容易使等式右端得出100。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“×”號，就會湊出100了。

9+13×7=100

再看第二個式子：14○2○5=□

上面已經用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內填上“÷”號，14÷2得到整數，所以：

14÷2-5=2 即長方形中的數是2。*例4 印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）

解：（1）數碼一共有10個：0、1、2??

8、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數的頁有9頁，用數碼9個。

（2）頁碼是兩位數的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數的頁有90頁，用數碼：

2×90=180（個）

（3）還剩下的數碼：

1890-9-180=1701（個）

（4）因為頁碼是三位數的頁，每頁用3個數碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數，不必考慮是4位數了。往下要看1701個數碼可以排多少頁。

1701÷3=567（頁）

（5）這本書的頁數：

9+90+567=666（頁）

答略。

*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）

解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

表3-1中，長、寬的數字都是5的倍數。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應舍去。

前三種圍法的長方形面積 分別是：

35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）

答：當長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數、兩位數、三位數。請將其中的質數都寫出來。（適于五年級程度）

解：任意抽一張，可得到三個一位數：1、2、3，其中2和3是質數； 任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質數；

三張卡片可排列成六個不同的三位數，但每個三位數數碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數，所以都不是質數。

綜上所說，所能得到的質數是2、3、13、23、31，共五個。

*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食。現在要把全部糧食集中放在一個糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少（圖3-3）？（適于五年級程度）

解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。（1）如果運到3號糧站，所用運費是：

0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+400 =600（元）

（2）如果運到4號糧站，所用運費是：

0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700（元）

（3）如果運到5號糧站，所用費用是：

0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300 =800（元）800＞700＞600 答：集中到第三號糧站所用運費最少。

*例8 小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達出來。（適于五年級程度）

解：（1）只拿出一種硬幣的方法： ①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法： ①拿8枚1分的，1枚2分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的：

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三種硬幣，有2種方法。共有：

3+5+2=10（種）

答：共有10種拿法。

*例9 甲、乙、丙、丁與小強五位同學一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（適于五年級程度）

解：作表3-2。表3-2

甲已經賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上√；乙賽的盤數，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上√；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上√；丁與甲賽的那一盤也打上√。

丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。根據條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。

答：小強賽了2盤。

*例10 商店出售餅干，現存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業員有多少種發貨方式？（適于五年級程度）

解：作表3-3列舉發貨方式。表3-3

答：不開箱有7種發貨方式。

*例11 運輸隊有30輛汽車，按1～30的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？（適于五年級程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4

從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。

答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。

*例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數相等？（適于五年級程度）

解：根據題意列表3-5。表3-5

從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數相等。40-32=8 32-24=8 24-16=8 ??

從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數的相差數就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數的差，除以每次運出的袋數差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數相等。

（90-50）÷（12-4）=5（次）

答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數相等。

*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數并入第一組。這時，三組的人數一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）

解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數并入第一組時，第一組應是24÷2=12（人），第三組應是（24+12）=36（人），第二組人數仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數并入第三組之前，第三組應為36÷2=18（人），第二組應為（24+18）=42（人），第一組人數仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數并入第二組之前，第二組的人數應為42÷2=21（人），第一組人數應為12+21=33（人），第三組應為18人。

這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數，列表3-6。表3-6

答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、18人

第四講 綜合法

從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法叫做綜合法。

以綜合法解應用題時，先選擇兩個已知數量，并通過這兩個已知數量解出一個問題，然后將這個解出的問題作為一個新的已知條件，與其它已知條件配合，再解出一個問題??一直到解出應用題所求解的未知數量。

運用綜合法解應用題時，應明確通過兩個已知條件可以解決什么問題，然后才能從已知逐步推到未知，使問題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數量關系比較簡單的應用題。

例1 甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務。甲隊每天挖40米，乙隊每天挖多少米？（適于三年級程度）

解：根據“甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務”這兩個已知條件，可以求出甲乙兩隊每天共挖水渠多少米（圖4-1）。

300÷4=75（米）

根據“甲、乙兩隊每天共挖水渠75米”和“甲隊每天挖40米”這兩個條件，可以求出乙隊每天挖多少米（圖4-1）。

75-40=35（米）綜合算式： 300÷4-40 =75-40 =35（米）

答：乙隊每天挖35米。

例2 兩個工人排一本39500字的書稿。甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，兩人合排5小時后，還有多少字沒有排？（適于四年級程度）

解：根據甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，可求出兩人每小時排多少字（圖4-2）。

3500+3000=6500（字）

根據兩個人每小時排6500字，兩人合排5小時，可求出兩人5小時已排多少字（圖4-2）。

6500×5=32500（字）

根據書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排（圖4-2）。

39500-32500=7000（字）

綜合算式：

39500-（3500+3000）×5

=39500-6500×5 =39500-32500 =7000（字）答略。

例3 客車、貨車同時由甲、乙兩地出發，相向而行。客車每小時行60千米，貨車每小時行40千米，5小時后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級程度）

解：根據“客車每小時行60千米”和“貨車每小時行40千米”這兩個條件，可求出兩車一小時共行多少千米（圖4-3）。

60+40=100（千米）

根據“兩車一小時共行100千米”和兩車5小時后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。

100×5=500（千米）

綜合算式：

（60+40）×5

=100×5 =500（千米）

答：甲、乙兩地間的路程是500千米。

例4 一個服裝廠計劃做660套衣服，已經做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問平均每天要做多少套？（適于四年級程度）

解：根據“已經做了5天，平均每天做75套”這兩個條件可求出已做了多少套（圖4-4）。

75×5=375（套）

根據“計劃做660套”和“已經做了375套”這兩個條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。

660-375=285（套）

再根據“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。

285÷3=95（套）

綜合算式：

（660-75×5）÷3

=285÷3 =95（套）答略。

例5 某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個零件。如果裝一臺機器需要12個零件，那么甲、乙兩班每天生產的零件可以裝多少臺機器？（適于四年級程度）

解：根據“甲班有20人，平均每人每天可做72個零件”這兩個條件可求出甲班一天生產多少個零件（圖4-5）。

72×20=1440（個）

根據“乙班有24人，平均每天每人可做68個零件”這兩個條件可求出乙班一天生產多少個零件（圖4-5）。

68×24=1632（個）

根據甲、乙兩個班每天分別生產1440個、1632個零件，可以求出甲、乙兩個班一天共生產多少個零件（圖4-5）。

1440+1632=3072（個）再根據兩個班一天共做零件3072個和裝一臺機器需要12個零件這兩條件，可求出兩個班一天生產的零件可以裝多少臺機器。

3072÷12=256（臺）

綜合算式：

（72×20+68×24）÷12

=（1440+1632）÷12 =3072÷12 =256（臺）答略。

例6 一個服裝廠計劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務？（適于四年級程度）

解：根據每天加工100套，加工20天，可求出已經加工多少套（圖4-6）。

100×20=2000（套）

根據計劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。

2480-2000=480（套）

根據原來每天加工100套，現在每天多加工20套，可求出現在每天加工多少套（圖4-6）。

100+20=120（套）

根據還要加工480套，現在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。

48O÷120=4（天）

綜合算式：

（2480-100×20）÷（100+20）

=480÷120 =4（天）答略。

剛開始學習以綜合法解應用題時，一定要畫思路圖，當對綜合法的解題方法已經很熟悉時，就可以不再畫思路圖，而直接解答應用題了。

解：此題先后出現了兩個標準量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

=49.5（千克）答略。

解：此題先后出現兩個標準量：“甲塊地產高粱的重量”和“乙塊地產高粱的重量”。

將題中已知條件的順序變更一下：丙塊地產高粱450千克，丙塊地比乙

條件，可求出乙塊地產高粱是：

（這里乙塊地的產量是標準量1）

（這里甲塊地的產量是標準量1）綜合算式：

=546（千克）答略。

第五講 分析法 從求解的問題出發，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導，一直到問題得到解決的解題方法叫分析法。

用分析法解應用題時，如果解題所需要的兩個條件，（或其中的一個條件）是未知的，就要分別求解找出這兩個（或一個）條件，一直到所需要的條件都是已知的為止。

分析法適于解答數量關系比較復雜的應用題。

例1 玩具廠計劃每天生產200件玩具，已經生產了6天，共生產1260件。問平均每天超過計劃多少件？（適于三年級程度）

解：這道題是求平均每天超過計劃多少件。要求平均每天超過計劃多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：①實際每天生產多少件；②計劃每天生產多少件。

計劃每天生產200件是已知條件。實際每天生產多少件，題中沒有直接告訴，需要求出來。

要求實際每天生產多少件，必須具備兩個條件（圖5-1）：①一共生產了多少件；②已經生產了多少天。這兩個條件都是已知的：①一共生產了1260件；②已經生產了6天。

分析到這里，問題就得到解決了。此題分步列式計算就是：（1）實際每天生產多少件？

1260÷6=210（件）

（2）平均每天超過計劃多少件？

210-200=10（件）

綜合算式：

1260÷6-200 =210-200

=10（件）例2 四月上旬，甲車間制造了257個機器零件，乙車間制造的機器零件是甲車間的2倍。四月上旬兩個車間共制造多少個機器零件？（適于三年級程度）

解：要求兩個車間共制造多少個機器零件，必須具備兩個條件（圖5-2）：①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造多少個零件。已知甲車間制造257個零件，乙車間制造多少個零件未知。

下面需要把“乙車間制造多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。

這兩個條件（圖5-2）是：①甲車間制造多少個零件；②乙車間制造的零件是甲車間的幾倍。這兩個條件都是已知的：①甲車間制造257個，乙車間制造的零件數是甲車間的2倍。

分析到此，問題就得到解決了。

此題分步列式計算就是：（1）乙車間制造零件多少個？

257×2=514（個）

（2）兩個車間共制造零件多少個？

257+514=771（個）

綜合算式：

257+257×2

=257+514 =771（個）答略。

例3 某車間要生產180個機器零件，已經工作了3天，平均每天生產20個。剩下的如果每天生產30個，還需要幾天才能完成？（適于四年級程度）解：要求還需要幾天才能完成，必須具備兩個條件（圖5-3）：①還剩下多少個零件；②每天生產多少個零件。在這兩個條件中，每天生產30個零件是已知條件，還剩多少個零件未知。

先把“還剩多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。

要算出還剩下多少個零件，必須具備的兩個條件（圖5-3）是：①要生產多少個零件；②已經生產了多少個零件。要生產180個零件是已知條件，已經生產多少個零件未知。

然后把“已經生產多少個零件”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。

要算出已生產多少個零件，必須知道的兩個條件（圖5-3）是：①每天生產多少個零件；②生產了幾天。這兩個條件題中都已經給出：每天生產20個零件，生產了3天。

分析到此，問題就得到解決。上面的思考過程，分步列式計算就是：（1）已經生產了多少個零件？

20×3=60（個）

（2）剩下多少個零件？

180-60=120（個）

（3）還要幾天才能完成？

120÷30=4（天）

綜合算式：

（180-20×3）÷30

=（180-60）÷30 =120÷30 =4（天）答略。

例4 王明買了24本筆記本和6支鉛筆，共花了9.60元錢。已知每支鉛筆0.08元，每本筆記本多少錢？（適于五年級程度）

解：要算出每本筆記本多少錢，必須具備兩個條件（圖5-4）：①買筆記本用了多少錢；②買了多少本筆記本。從題中已知買了24本筆記本，買筆記本用的錢數未知。

先把買筆記本用的錢數作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。

要算出買筆記本用多少錢，必須知道的兩個條件（圖5-4）是：①買筆記本、鉛筆共用多少錢；②買鉛筆用多少錢。已知買筆記本、鉛筆共用9.60元，買鉛筆用去多少錢未知。

然后找出“買鉛筆用多少錢”所需要的兩個條件。

要算出買鉛筆用多少錢，必須知道的兩個條件（圖5-4）是：①買多少支鉛筆；②每支鉛筆多少錢。這兩個條件在題中都是已知的：買6支鉛筆，每支0.08元。

分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是：（1）買鉛筆用去多少元？

0.08×6=0.48（元）

（2）買筆記本用去多少元？

9.60-0.48=9.12（元）

（3）每本筆記本多少元？

9.12÷24=0.38（元）

列綜合算式計算：

（9.60-0.08×6）÷24

＝（9.60-0.48）÷24 =9.12÷24 =0.38（元）

答：每本筆記本0.38元。

例5 倉庫里共有化肥2520袋，兩輛車同時往外運，共運30次，每次甲車運51袋。每次甲車比乙車多運多少袋？（適于五年級程度）

解：求每次甲車比乙車多運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①甲車每次運多少袋；②乙車每次運多少袋。甲車每次運51袋已知，乙車每次運多少袋未知。

先找出解答“乙車每次運多少袋”所需要的兩個條件。要算出乙車每次運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①兩車一次共運多少袋；②甲車一次運多少袋。甲車一次運51袋已知；兩車一次共運多少袋是未知條件。

然后把“兩車一次共運多少袋”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。

要算出兩車一次共運多少袋，必須具備兩個條件（圖5-5）：①一共有多少袋化肥；②兩車共運多少次。這兩個條件都是已知的：共有2520袋化肥，兩車共運30次。

分析到此，問題就得到解決。此題分步列式計算就是： ①兩車一次共運多少袋？

2520÷30=84（袋）

②乙車每次運多少袋？

84-51=33（袋）

③每次甲車比乙車多運多少袋？

51-33=18（袋）

綜合算式：

51-（2520÷30-51）

=51-33 =18（袋）答略。

*例6 把627.5千克梨裝在紙箱中，先裝7箱，每箱裝梨20千克，其余的梨每箱裝37.5千克。這些梨共裝多少箱？（適于五年級程度）

解：要算出共裝多少箱，必須具備兩個條件（圖5-6）：①先裝多少箱。②后裝多少箱。先裝7箱已知，后裝多少箱未知。

先把“后裝多少箱”作為一個問題，并找出解答這個問題所需要的兩個條件。要算出后裝多少箱，必須具備兩個條件（圖5-6）：①后來一共要裝多少千克；②后來每箱裝多少千克。后來每箱裝37.5千克已知，后來一共裝多少千克未知。

要把“后來一共要裝多少千克”作為一個問題提出，并找出回答這一問題所需要的兩個條件。要求后來一共要裝多少千克，必須具備兩個條件（圖5-6）：①梨的總重量；②先裝了多少千克。梨的總重量是627.5千克已知的；先裝了多少千克是未知的，要把它作為一個問題提出來，并找出回答這個問題所需要的兩個條件。

這兩個條件（圖5-6）是：①先裝的每箱裝梨多少千克；②裝了多少箱。這兩個條件都是已知的：先裝的每箱裝梨20千克，裝了7箱。

分析到此，問題就得到解決了。此題分步列式計算就是： ①先裝多少千克？

20×7=140（千克）

②后來共裝多少千克？

627.5-140=487.5（千克）

③后來裝了多少箱？

487.5÷37.5=13（箱）

④共裝多少箱？

7+13=20（箱）

綜合算式：

7+（627.5-20×7）÷37.5

=7+（627.5-140）÷37.5 =7+487.5÷37.5 =7+13 =20（箱）答略。

注意：開始學習用分析法解應用題時，一定要畫思路圖，當對分析法的解題方法已經很熟悉時，可不再畫思路圖，而直接分析解答應用題了。

節約了15％。問六月份比四月份少用煤多少噸？（適于六年級程度）

解：此題中出現兩個標準量：“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。四月份的用煤量和六月份的用煤量都與五月份的用煤量有直接聯系。

要算出六月份比四月份少用煤多少噸，必須知道六月份、四月份各用煤多少噸。

要算出六月份用煤多少噸，必須知道兩個條件：①五月份用煤多少噸；②六月份比五月份節約多少。這兩個條件都是已知的。六月份用煤的噸數是：

3200×（1-15％）=2720（噸）

要算出四月份用煤多少噸，必須知道兩個條件：①五月份用煤多少噸；②五月份比四月份節約多少。這兩個條件都是已知的。四月份用煤的噸數是：

知道了六月份、四月份用煤的噸數，就可以求出六月份比四月份少用煤多少噸。

3600-2720=880（噸）

綜合算式：

=3600-2720 =880（噸）答略。

答略。

第六講 分析-綜合法

綜合法和分析法是解應用題時常用的兩種基本方法。在解比較復雜的應用題時，由于單純用綜合法或分析法時，思維會出現障礙，所以要把綜合法和分析法結合起來使用。我們把分析法和綜合法結合起來解應用題的方法叫做分析-綜合法。*例1 運輸隊要把600噸化肥運到外地，計劃每天運22噸。運了15天以后，剩下的化肥要在10天內運完。這樣每天要比原計劃多運多少噸？（適于五年級程度）

解：解此題要運用分析法和綜合法去思考。

先用綜合法思考。根據“原計劃每天運22噸”和“運了15天”這兩個條件，可以求出已經運出的噸數（圖6-1）。

根據要“運600噸”和已經運出的噸數，可以求出剩下化肥的噸數（圖6-1）。接下去要用哪兩個數量求出什么數量呢？不好思考了。所以用綜合法分析到這兒，接著要用分析法思考了。

要求“每天比原計劃多運多少噸”，必須知道“后來每天運多少噸”和“原計劃每天運多少噸”。“原計劃每天運22噸”是已知條件，“后來每天運多少噸”不知道，這是此題的中間問題（圖6-2）。

要知道“后來每天運多少噸”，必須知道“剩下多少噸”和“要在多少天內運完”。這兩個條件中，第二個條件是已知的，“要在10天內運完”，“剩下多少噸”是未知的中間問題。

我們在前面用綜合法分析這道題時，已經得到求剩下噸數的方法了。所以本題分析到這里就可以解答了。

此題分步列式解答時，要從圖6-1的上面往下看，接著從圖6-2的下面往上看。

（1）已經運多少噸？

22×15=330（噸）

（2）剩下多少噸？

600-330=270（噸）

（3）后來每天運多少噸？

270÷10=27噸）

（4）每天比原計劃多運多少噸？

27-22=5（噸）

綜合算式：

（600-22×15）÷10-22

=（600-330）÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5（噸）答略。

*例2 某鞋廠原計劃30天做皮鞋13500雙，實際上每天比原計劃多做50雙。問這個鞋廠提前幾天完成原計劃的任務？（適于五年級程度）

解：解答此題一般要運用分析法和綜合法去思考。

先用分析法思考。要算出提前幾天完成計劃，必須知道“原計劃天數”和“實際做鞋數”（圖6-3）。“原計劃天數”是30

天，已經知道；“實際做鞋天數”不知道，是中間問題。

要知道“實際做鞋天數”必須知道“皮鞋總數”和“實際每天做的皮鞋數”（圖6-3）。

到此可以往下思考，要算出實際每天做的皮鞋數，必須具備哪兩個條件？但有的人覺得這樣思考時不順當，思路會“卡殼”，這時就要換用綜合法進行思考。由“原計劃30天做皮鞋13500雙”，可求出“原計劃每天做的皮鞋數”（圖6-4）。

由“原計劃每天做的皮鞋數”和“實際每天比原計劃多做50雙”，可用加法算出“實際每天做的皮鞋數”（圖6-4）。

分析到此，這道題的問題就得到解決了。此題用分步列式的方法計算時，得從圖6-4的上面往下面推想，然后從圖6-3的后面（下面）往前推想。（1）看圖6-4的思路圖。通過把原計劃做的13500雙除以計劃做的30天，可以得到原計劃每天做多少雙皮鞋。

13500÷30=450（雙）

（2）在計劃每天做的450雙皮鞋上，加上實際每天多做的50雙，得到實際每天做的皮鞋數。

450+50=500（雙）

（3）接著看圖6-3的思路圖。從思路圖的下面往上推想，皮鞋總數除以實際每天做的皮鞋數500雙，得到實際制做的天數。

13500÷500=27（天）

（4）接著往上看，從原計劃做的30天，減去實際做的天數27天，就得到提前完成計劃的天數。

30-27=3（天）

把上面分步計算的算式綜合為一個算式是：

30-13500÷（13500÷30+50）

=30-13500÷500 =30-27 =3（天）答略。

*例3甲、乙兩隊同時開鑿一條2160米長的隧道，甲隊從一端起，每天開鑿20米，乙隊從另一端起，每天比甲隊多開鑿5米。兩隊在離中點多遠的地方會合？（適于五年級程度）

解：看圖6-5。要求兩隊在離中點多遠的地方會合，需要知道隧道的中點及會合點離一端的距離（分析法）。

每天20米每天比甲隊多5米

隧道全長2160米，中點到一端的距離可以通過2160÷2求得（綜合法）。要求出會合點（在甲隊的一側）距離甲隊開鑿點的距離，實際就是求甲隊開鑿的米數。要求甲隊開鑿的米數，就要知道甲隊（或乙隊）每天開鑿的米數（已知）和開鑿的天數（分析法）。甲隊每天開鑿20米已知，開鑿的天數不知道。要求出開鑿的天數，需要知道隧道的全長（已知）和兩隊每天共開鑿多少米（分析法）。

已知甲隊每天開鑿20米，乙隊每天比甲隊多開鑿5米，這樣可以求出乙隊每天開鑿多少米，從而求出甲、乙兩隊一天共開鑿多少米（綜合法）。

分析到此，這道題的問題就得到解決了。

此題用分步列式的方法計算時，還得從上面分析過程的后面往前推理。（1）乙隊每天開鑿多少米？

20+5=25（米）

（2）甲乙兩隊一天共開鑿多少米？

20+25=45（米）

（3）甲乙兩隊共同開鑿這個隧道用多少天？

2160÷45=48（天）

（4）甲隊開鑿了多少米？（會合點與甲隊開鑿點的距離）

20×48=960（米）

（5）甲隊到中點的距離是多少米？

2160÷2=1080（米）

（6）會合點與中點間的距離是多少米？

1080-960=120（米）

綜合算式：

2160÷2-20×[2160÷（20+20+5）] =1080-20×48 =1080-960 =120（米）答略。

*例4某中隊三個小隊的少先隊員采集樹種。第一小隊8名隊員共采集11.6千克，第二小隊6名隊員比第一小隊少采集2.8千克，第三小隊10名

克？（適于五年級程度）

解：如果先用綜合法分析，雖然已知數量間存在著一定的關系，但不容易選擇出與所求數量有直接聯系的數量關系。而用分析法分析，能立即找到與所求數量有直接聯系的數量關系，找到解題所需要的數量后，再用綜合法分析。要求出三個小隊平均每名隊員采集多少千克，必需知道“三個小隊共采集樹種多少千克”和“全體隊員的人數”（圖6-6）。

要求“三個小隊共采集多少千克”，必須知道一、二、三這三個小隊各采集多少千克；要求“全體隊員人數”必須知道各小隊的人數（圖6-6）。三個小隊的人數都已經知道，第一小隊采集11.6千克也已知，只是第二、三小隊各采集多少還不知道。

往下可用綜合法得出二、三小隊各采集多少千克（圖6-6）。

由“第一小隊共采集11.6千克”和“第二小隊比第一小隊少采集2.8千克”，可求出第二小隊采集多少千克；由“第二小隊采集的重量”和“第

往下可由三個小隊各采集多少千克之和，求出三個小隊共采集多少千克；也可以由各小隊的人數之和求出“全體隊員的人數”。

到此本題就可以解出來了。本題分步列式解答的方法是：（1）第二小隊采集多少千克？

11.6-2.8=8.8（千克）

（2）第三小隊采集多少千克？

（3）三個小隊共采集多少千克？

11.6+8.8+13.2=33.6（千克）

（4）三個小隊有多少隊員？

8+6+10=24（人）

（5）平均每人采集多少千克？

33.6÷24=1.4（千克）

綜合算式：

=33.6÷24 =1.4（千克）答略。

*例5甲、乙兩城之間的路程是210千米，慢車以每小時40千米的速度由甲城開往乙城，行車15分鐘后，快車由乙城開往甲城，經過2小時兩車相遇。這時快車開到甲城還需要多少小時？（適于六年級程度）

解：運用分析法和綜合法，分析此題的思路是：

先用分析法來思考。要求出“快車開到甲城還需要多少小時”，必須知道兩個條件（圖6-7）：①相遇地點到甲城的距離；②快車每小時行多少千米。這兩個條件題目中都沒給出，應把它們分別作為中間問題。

接著思考，要求相遇地點到甲城的路程必須具備哪兩個條件？要求快車每小時行多少千米必須具備哪兩個條件？??如果思路不“卡殼”，就一直思考下去，直到解答出所求問題。如果思路“卡殼”了，就改用綜合法思考。另畫一個思路圖（圖6-8）。

圖6-8中慢車已行的路程，就是快車從相遇點到甲城的路程。這段路程是：

快車已行的路程是：

210-90=120（千米）

快車每小時所行的路程是：

120÷2=60（千米）

到此，我們可以把慢車走過的路程除以快車的速度，得到快車開到甲城還需要的時間是：

90÷60=1.5（小時）

綜合算式：

答略。

第七講 歸一法

先求出單位數量（如單價、工效、單位面積的產量等），再以單位數量為標準，計算出所求數量的解題方法叫做歸一法。

歸一法分為一次直進歸一法、一次逆反歸一法、二次直進歸一法、二次逆反歸一法。

用歸一法一般是解答整數、小數應用題，但也可以解答分數應用題。有些應用題用其它方法解答比較麻煩，不易懂，用歸一法解則簡單，容易懂。

（一）一次直進歸一法

通過一步運算求出單位數量之后，再求出若干個單位數量和的解題方法叫做一次直進歸一法。

1.解整數、小數應用題

例1某零件加工小組，5天加工零件1500個。照這樣計算，14天加工零件多少個？（適于三年級程度）

解：（1）一天加工零件多少個？

1500÷5=300（個）

（2）14天加工零件多少個？

300×14=4200（個）

綜合算式：

第二篇：小學三年級奧數學習計劃

小學三年級奧數學習計劃

三年級的奧數學習是小學奧數最重要的基礎階段，只有牢固掌握了三年級奧數最基本的知識技巧，才能有效的促進今后的數學學習。三年級是學習奧數至關重要的時期，三年級也是開拓思維的時間。孩子已經掌握了基本的計算能力，邏輯思維能力等，對圖形也有一定的認識。

從三年級起，大量的奧數專題便開始有所接觸，因此，在專題的學習初期一定要打下良好的基礎，好多五六年級專題知識學習比較差的學生正是因為三四年級基礎知識沒有學好的緣故。

三年級不可小視——小升初的序幕開始慢慢拉開!它是考證的前奏、能力培養的起點、重點校培訓班的開始，從三年級開始各個重點校開始通過培訓班的形式篩選精英，好多孩子就會選擇一些好的培訓學校像新東方優能中學，提前進行培養，并且為考進重點校做準備。

1、打好計算基礎

三年級奧數課本系統的介紹了四則運算及其巧算，關于數的計算是比較枯燥的內容，但它同時也是學好奧數的基礎，是歷次競賽或選拔比賽中都必不可少的組成部分。

就我校各位老師教學經驗表明，在二、三年級打下良好運算基礎的同學，一方面使得學生今后的數學學習更加輕松，另一方面，在高年級競賽或選拔中往往會有相當大的優勢。

2、重視應用題

從三年級起，奧數課本中介紹了大量的奧數專題知識，尤其是應用題部分，是所有年級所有競賽考試中必考的重點知識。學生一定要在各個應用題專題學習的初期打下良好的基礎。

現在許多五六年級同學奧數水平提高非常困難，就是因為他們三年級的奧數專題知識掌握的不牢靠。

3、掌握正確方法

在學習計算的基礎上，三年級逐步引入了基本應用題，簡單圖形問題等奧數知識，面對突然增大的奧數信息量，學生可以有意識的培養自己復習，總結等良好的學習習慣;

同時，三年級是學生培養自己的奧數學習方法的最好時間。在三年級接觸學習大量奧數知識的前提下，有意識地培養自己的學習方法對今后的奧數學習有非常重要的幫助.

第三篇：關于奧數學習

小學生學習奧數的幾點好處

對一個對于學校課堂內容學有余力的學生來講，適當學習小學奧數能夠有以下方面的好處

1、促進在校成績的全面提高，培養良好的思維習慣；

2、使學生獲得心理上的優勢，培養自信；

3、有利于學生智力的開發；

4、數學是理科的基礎，學習奧數對于這個學生進入初中后的學習物理化學都非常有好處（很多重點中學就是因為這個原因招奧數好的學生）。

5、很多重點中學招生要看學生的奧數成績是否優秀。

但是對于一個學習學校課本內容都很吃力的學生來講，不顧現狀的貪多求快，不僅學不好，可能反而因此帶來負面的心理壓力；如果明知不適合學習奧數而勉強為之，反而會因此喪失自信，最后甚至厭惡學習。奧數學習是一種智力游戲，要量力而行，千萬不要當成負擔。片面的說奧數不好也是不客觀的，奧數對于培養學生數學思維，開發智力，好處是非常明顯的，很多學生學習奧數后在學校里各科（而不只是數學）成績直線上升，并能一直遙遙領先。

四年級：

四年級：積累技巧階段

奧數的學習到了四年級，無論是題量還是難度都有所增加，而且奧數的專題又有所增加和深入。

因此，專題的知識學習更為重要，多掌握技巧和學習方法。四年級階段是積累學習技巧和方法的良好開始，在開始階段養成良好的習慣對以后的學習都將是受益匪淺的。這個年齡段的孩子一般具備了一定的奧數基礎。

因此，一定要引導他們多接觸一些難題，一來在心理上做好加深難度的準備，二來在在實踐中提升解題的能力。

專家的奧數學習建議：

1、加強整數和小數計算練習

計算能力要過關。四年級整數計算和小數計算必須非常熟練，保證準確率和速度，不然到了五年級就要重點學習分數，整數還不夠熟練，到時面臨的壓力會更大。建議每天堅持就5道計算題，提高做題速度和準確率。

2、培養孩子良好的學習習慣

四年級是學習習慣養成的好時間，及時養成好的習慣更有利于后期的學習。

具體包括：

a.課前做好預習，課后及時復習。課前預習，了解所要講的知識點，帶著問題來聽課效果會更好。所有的知識點是不可能在有限的課堂時間去完全掌握住的，家長要督促孩子做好課后復習，及時鞏固所學知識點。

b.規范孩子的書寫。隨著應用題的增多，一定要規范孩子的書寫，對步驟過程要到位，對于行程要養成畫圖的習慣，數論要思路嚴謹，書寫規范。

c.養成獨立思考和勇于思考的習慣。孩子現在最欠缺的就是獨立思考，依賴性較強，為難情緒較重，遇到問題就退縮，這時要多鼓勵孩子自己思考，養成愛思考的習慣。

3.在寒假開始適當的做一些歷年杯賽試題

寒假開始安排時間做一些歷年的杯賽真題，加強綜合訓練，為春季沖刺各種杯賽做準備。

4.學習是需要持之以恒的

對于新知識在掌握基本概念和思路的情況下要想做到舉一反三，離不了練習，適當的練習才能把知識點得到鞏固，常和家長說學習一定要堅持，可以每天練習一到兩道，根據時間合理安排保證不間斷的練習。

五年級：

五年級是接觸專題最多的時期，小學階段的重要知識點和難點也都集中在這個階段，專題的練習有助于知識點和難點的鞏固和加強;真題的練習可以為你積累豐富的實戰經驗。

五年級的孩子可以嘗試參加考試和比賽，獲獎對于孩子來說是一個莫大的激勵，能夠促使他們在奧數學習上興趣倍增，為以后取得更多的證書以及小升初，奠定堅實的基礎。

五年級：爬坡攻堅階段

五年級是一個奧數學習的爬坡階段。如果在這個階段對奧數進行系統學習，哪怕之前都沒怎么接觸奧數的孩子，其數學成績可能有很大幅度的提高。下面我就來說說剛剛接觸奧數的同學該怎么學。

由簡單入手

五年級是有余力進行額外學習的，但是如果之前沒接觸過奧數，那么還是從簡單入手比較好。一則讓孩子通過簡單問題逐漸熟悉奧數，一則培養孩子的奧數興趣，避免接觸難題打消學習積極性。

要迅速過渡

五年級的學生是屬于小學的高年級階段，雖然是最初接觸奧數，也不必按部就班的學。應該輔助一定的練習對幾種類型題和專題進行深入分析了理解，掌握專題的解題思路，做到以點概面，迅速過渡到高年級奧數的學習。制定學習計劃

所謂系統學習，決不是拿過哪塊來就學習哪塊，必須要有一個合理的學習計劃。通過一段時間簡單的學習，家長應注意了解孩子的學習進度，幫助孩子制定一份大體的學習計劃。然后嚴格按照計劃進行系統學習。

重視基礎

奧數是小升初的競爭資本之一。其中大部分重點中學的奧數測試比較重視奧數的基礎。而杯賽也基本都是在奧數基礎上進行的延伸。所以不論是從小升初的角度還是從提高自身能力的角度考慮，五年級學生都應該重視奧數基礎部分。

量變到質變

學習到一定階段之后，也要注重孩子思維方法的培養了，不能總是停留在解題這個階段。要綜合各個題型進行分析學習，通過知識的了解上升到方法的拓展，再到掌握方法舉一反三，實現一個質的飛躍!

六年級的奧數學習主要分為幾種一下三種情況，一一來分析：

一、奧數學的很扎實

這樣的學生奧數起步比較早而且一般對奧數有很大的興趣，自己會主動地去學習奧數，主動的作題。但是我們要取得更好的成績，那就需要我們更好的學習。

首先，看看自己那一部分的題目練習的不夠。奧數學習好的學生，一般都作了一本或者幾本題庫練習類的書，但是我這里要說的是，應該重視那些作錯的題目和那些沒有做出來的題目，因為那是我們的漏洞，我們一定要補上。對于自己不會的題目一定要弄懂！不但題目要弄懂，而且要看看這道題目涉及的知識是什么，這部分知識就是我們的弱點;除此之外，我們還要看看這道題目用什么方法解答的，在以后的練習中，要著重使用這種方法。其次，改掉自己的壞習慣。奧數學習好的學生，特別是男生，都有馬虎的毛病，他們不怕題目多難，而是怕題目簡單。對于這一問題，在我《致聰明人的一封信》一文中已經詳細講過了。

二、奧數學習不扎實的同學。

學習好的同學總是不多的，更多的，或者說是大多數同學的狀況是這樣的：他們四年級或五年級才開始學習奧數，有的甚至是六年級暑假剛開始學，我們稱這樣的同學是半路出家的學生;有的同學是從三年級開始學的奧數，但是學了3、4年，只是聽課，沒有做過系統的訓練,甚至是沒有做過訓練，有的同學家長就跟我抱怨說：以前，他們的孩子在某某學校學習奧數，學校的老師不負責任--只是講課，不留作業--這樣學過來的學生，我們只能說他聽過奧數課，但并沒有真正學到奧數。那我們應該采取怎樣的有效的措施呢?

首先，針對自己沒有學習的奧數內容，一定要想辦法補上，如果這個時候不補的話，那么到了六年級的下學期，根本沒有時間補。如果因為缺的東西太多，那就要把重要的內容補上，例如：三年級的和差倍問題、年齡問題、盈虧問題、五年級的整除問題等等，雖然簡單的問題考試時不會出現，但是他們經常融合到行程問題等同學們認為較難的題目中。對于補課的方法，可以請家教，也可以自己學。教材我們推薦《華羅庚數學課本》。

再次，作系統的訓練。在講課的時候，我經常對同學們講：“奧數，只看不練，等于白干”。學奧數，就像學自行車，你的理論知識再好，沒有足量的練習，你還是不能真正掌握奧數。

像速算、巧算的題目，這樣題目幾乎每次考試都會出現，但是這樣題目同學得分情況十分殘！究其原因：一是沒有對這類題目很好的總結學習，二是沒有對這類題目系統的訓練。

最后，同樣也要改掉自己的不好的習慣。有很多同學，只注重題目的結果，不寫題目的過程，甚至60%的同學不會寫解題過程。尤其是整除問題，當說明原因和證明的時候，有的同學寫的解題過程是前言不搭后語，更讓人傷心的是，有的同學寫錯別字--把“根據”寫成“跟居”。

這樣的錯誤出現，我們感到頭疼和傷心。當判試題的老師看到這樣的錯誤時，他們不認為學生的語文水平差，而是認為學生的整體水平很差，讓你自己想想，能不影響成績嗎?所以，我們一定要更正自己的壞習慣。

三、剛開始學習奧數

剛開始學習奧數，入門最重要。

第一，樹立起我一定能學好得信心。有的同學因為到了六年級才開始學習奧數，在心里不免就有一點拉在別人后面的陰影。

六年級開始學習奧數，最后進重點中學試驗班的同學比比皆是--這些同學都付出很大的努力!學習奧數比別人晚，還有一個優點呢!那就是你能得到老師的幫助，少走彎路!一定要對自己有信心!這是學好奧數的首要問題!

第二，我們的同學應以老師講的內容為主，因為老師講的題目，都是精心挑選的。上課時一定要弄懂每一道題目，這很重要。但更重要的是：下課后一定要把老師講過的題目重新作一遍!如果只是停留在上課聽懂的層面上，那考試時，即使遇到老師講過的題目，學生還是作不對。題目不大要弄懂，一定要會作!

第三，關于知識缺陷。有很多同學都說沒有時間補習，但是如果一些重點知識不會的話，在升學考試中遇到稍微綜合一些的題目還是不會作。所以，不管怎樣，重點的知識一定要弄懂!小學生如何學好奧數

經常有家長跟我溝通孩子的學習問題，比如學習奧數到底有什么用，奧數應該怎么學，上奧數班要不要預習和復習，特別是最近咨詢暑期班的家長特別多。上了很多課，也接觸了很多孩子和家長，我把我的一些心得在這里簡單總結一下，算是給家長和孩子們的幾點小建議，希望對大家有所幫助。

首先，我們要明確學奧數到底有什么用。

很多家長其實只是看到別人的孩子都在外面學，所以也跟著去報了個班，可能自己也不太清楚學習奧數到底有什么用。從應試升學的角度來看，奧數是目前長沙各重點中學選拔學生最主要的依據，雖然取消了小升初考試，但是重點中學仍然在通過杯賽和培訓班的測試成績來了解學生的奧數水平。在這兩年的小升初中，很多在學校里各方面都很優秀的學生因為沒學奧數而吃了大虧，與心儀的學校失之交臂。當然，學習奧數的作用也不僅僅只是在于升學，奧數的本質在于激發孩子的學習興趣，鍛煉孩子的接受理解能力，培養孩子的刻苦鉆研精神。

其次，低年級的孩子應該怎樣學習奧數?

一二年級在整個小學奧數學習體系中屬于興趣奧數階段，培養目標應該定位于激發孩子對于奧數的學習興趣，培養孩子的奧數思維習慣，通過一些趣味性的專題引領孩子走進美妙的奧數花園。在這個階段，由于孩子還沒有養成良好的學習習慣，也還沒什么知識儲備，所以孩子學習時家長要陪伴在旁邊，與孩子一起去學習奧數，當然不能只是簡單把答案告訴孩子，家長需要做的是在孩子走神時適時地提醒一下，在孩子迷惑時巧妙地引導一下。另外要提醒家長，千萬不要讓一二年級的孩子做過多或者過難的題目，報奧數班時也要注意選擇合適的難度層次，否則容易讓孩子失去興趣。

再次，家長應該怎樣幫助孩子復習和預習?

我一直這樣跟家長們說，學習奧數不要提前預習，但一定要好好復習。我說的不要預習是指不要預習奧數班講義，雖然一二年級內容簡單，家長自己輔導不成問題，但是大部分家長都沒有系統研究過奧數，而奧數有獨特的體系、思路和方法，所以家長提前給孩子預習不但費時費力，也不一定有好的效果。當然，奧數是超前學習的，在學校還沒學乘法除法時，有些奧數專題就要涉及乘法除法，所以對于計算能力家長需要幫助孩子提前練一練基本功。為什么要好好復習呢?從孩子的特點來看低年級的孩子學的快，忘得也快，需要多反復幾次才能達到比較好的學習效果。從學習的內容來看，雖然是學習趣味奧數，也是有一定的難度和深度的，課堂上孩子肯定不能完全消化，家長在旁聽時做好筆記，課后應幫助孩子好好復習。

所有的孩子都是有潛力的，只要有良好的教育環境，每一個孩子都能變得很優秀很棒。希望在孩子、家長及我們老師的共同努力下，所有的孩子都能有一個美好的未來!

小學數學奧數培訓方法介紹

米山國藏曾經說過：學生學過的數學知識，很快就會忘記，但銘記于頭腦中的數學思想方法卻長期在他們的學習中發揮著重要作用。為此，針對我校數學的奧數培訓將著重于數學思想方法的培訓。這里的思想方法是我們解答數學問題時一般的常見的方法，每種思想方法之間并不是孤立的，沒有聯系的。恰恰相反，它們之間緊密相連，互為補充。例如畫圖，在分類，假設，設數等常常用到。同樣在解決一些數學問題時，不能總想著一種方法和一個思路，要多種方法都用到。一朵兩朵不是春，萬紫千紅春滿園。這里一共有常見的十二種方法。只要學生能靈活運用，融會貫通，一定能張開想象的翅膀，推開探索之門。

一．有序思考。

無論用什么方法都離不開一定的順序來觀察，分析和推理。如果亂了思維的順序，就會東一下，西一下地瞎碰亂撞，肯定會會困難重重。

二．畫圖。

圖形具有直觀性，根據數學問題中隱蔽復雜的內涵條件以及復雜的數量關系畫出圖來，用幾何圖形的直觀形象地表示出來。這樣不僅簡單明了，而且便于思考和求解。俗話說“一圖頂千言”。

常見的圖有線段圖，長方形圖，樹形圖，運行圖，實物圖等。三．分類。

分類是按照一定的規則將事物劃分，使它們排列有序，有條有理。然后對各種情況逐一討論，最終得以解決整個問題。有時分類之后畫一個表格，會更加清晰明了。四．投石問路

愛迪生經過幾千次的試驗才發明了燈泡。同樣，試驗也是十分重要的思想之一。大膽地思考，大膽地想象，大膽地試驗，就一定能找到蘊含在深處的規律——這是一個顛撲不破的真理。

五．整體思維

我們在思考一些數學問題時，不要鼠目寸光，眼睛只盯著一樣小東西，死鉆牛角尖。學會象國家領導人一樣高瞻遠矚，宏觀調控。跳出來，排除一些細節的干擾，從整體和全局上觀察與分析，全面地看問題，這樣更能發現條件與條件之間的關系。

六．假設

改變某些條件，或者將未知設為已知，使問題朝著有得于解決的方向發展，然后進行合理地推測，你會發現事實與假設之間存在著差異，找出這個差異形成的原因，你會發現事實的真相。

七．設數

這是學生們最喜歡運用的方法之一，把問題中的求知數用一個具體的數值來代替，然后直接加以運用，會讓你解決問題時心里感到十分地踏實。設數的關鍵是認真分析題意，使你設的數便于解決問題，而且不影響結論。

八．極端思維

孫悟空的金箍棒小得可以放進耳朵里，大得可以頂破靈霄定殿，大有大的好，小有小的巧。當一個問題被推向極端之后，往往可以問題的本來面目顯現出來。

九．變換角度

橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。人不同的角度看同一個問題會有不同的看法。無論是解題時，還是看待一件事，不要只從一個方面去想，多個角度（正著，反著，中間，側面等等）支想，可以讓你更聰明看待事情更全面更準確。

十．整數化

整數計算總比分數或小數的計算簡捷。小學數學中的某些問題所給條件中的數常常是一些簡單的分數，稍作處理就可以轉化為整數之間的數量關系，由此就能產生簡單明了的解法。]整數化不僅能產生較好的解法，而且是一種很好的思維訓練。

十一．跟蹤法

有的問題，在題目中的某個已知條件肯有明顯的特點，這種特點，可以為我們提供一種解題的思考方法。即從某一個已知條件，某一個特點出發，作為解題的主要線索，去求得問題的解答。就好比一團亂棉紗線，要理清它，各種規格 想方設法去找互它的線頭一樣。這種解題方法，我們把它稱為跟蹤法。用跟蹤法解題，就是要抓住一條主要線索，通過逐步跟蹤推理，溝通條件和問題之間的聯系，進而達到理清思路，解決問題的目的。

十二．小雞啄米

最后給大家說的是小雞啄米。小雞每低一次頭，它總會啄到一粒米，從來不啄空。但學生們往往把能啄到的米粒啄空了，把會做的題做錯了。為什么？因為學生們容易著急，因為學生們的心態不穩定。所以我要求學生在做題時至始至終一定要沉著鎮定，不受外界的干擾，認真細心，隨時隨地注意檢查檢驗，同時放松自己，別緊張，輕輕松松地把屬于自己的每一粒米吃到肚子里面去。

第四篇：小學奧數教輔書推薦

小學奧數教輔書推薦

作為一名奧數老師，每次去西單都會去圖書大廈三樓的奧 數教輔專架看看，每次都會看到有小學生家長在專架上的一排排書之間感到茫然，不知道該買哪本好。確實，目前市場上的小學奧數教輔書種類繁多，良莠不齊，對于對小學奧數不太熟悉的家長們來說，如何進行選擇確實是個難題。尤其是目前又到了暑期，孩子們正好有空在家里看看書做做題，所以覺得有必要向家長們推薦一些有價值的、值得購買的奧數教輔書。

總的來說，小學奧數教輔書可以分為三類：教 材；習題集；競賽試題匯編。下面分別進行介紹。

（一）教材類

1、《明心數學zy教程》 劉嘉編著，湖北教育出版社出版

《明心數學zy教程》是目前最好的小學奧數 教材，由武漢的明心zy教育（武漢的一家培訓機構）的劉嘉老師主編，計劃出版八卷四冊，現已出版了3冊：第二卷上（2007年）、第三卷上（2007年）、第四卷上（又分第1、2分冊）（2008年），所以實際上是已經出了4本。

《明心數學zy教程》這套書最大優點有：① 每一講前面的數學經緯都非常的生動有趣而且富有知識性；②每一道例題的解答過程都非常詳細，很適合家長用來輔導學生及學生自學，另外對于新老師的教學其實也有指導幫助的作用。而且有些例題后面都有 關于例題的知識背景的介紹（這樣的往往是數學史上著名的問題），還有例題不同的表達形式（相當于變式），可起到舉一反三的作用；③每一講后面的練習題有些是與前面的例題相對應的，這樣學生在做練習題時可以回想前面的例題的解題思路，既是對前面例題的回顧又是對練習題的啟發（實際上大部分奧數教材都是這樣做的，比如后面要介紹的RH學校數學課本及《奧數教程》等，當然學而思講義也是如此）。

《明心數學zy教程》最大的缺點就是——出得太慢了~說是要出八卷，到目前為止還只出了三卷四本。

2、《RH學校奧林匹克數學課本》 中國大百科全書出版社，一至六年級都有

RH學校出的課本，因了RH的江湖地位，自 然是值得重視的。這套書知識面覆蓋的很全，小學奧數需要掌握的知識里面都會講到，題目難度比較適中，有基礎題，也有中等題，難題相對少一些。

RH學校這套書可以說是中規中矩，但六年級 那冊比較有特色，講了許多別的書不太重視的內容，比如小數中的進位制、以及用了四講來講棋盤上的數學，都是很值得一看的。

3、《小學奧數總復習教程》

學而思編著的第一本書，電子工業出版社

匯聚了學而思眾多奧數名師和教研高手編著而 成的，主要是為六年級面臨小升初的孩子們準備的，脫胎于學而思講義卻又不同于學而思講義，每道例題后面都有初級點撥、深度提示和全解過程，其中前兩部分都是對于解題思路的提示，對于學生做題富有啟發性。

下面copy一段當當網上用戶對這本書的評價：“通過知識地圖、基礎知識、經典透析和拓展訓練四個部分，構建 了完整的奧數知識體系，全面覆蓋小學奧數知識。可用來輔導孩子或孩子系統復習使用。”當然不足之處就是印刷錯誤有點多。

4、《奧數教程》

單墫、熊斌總主編，華東師范大學出版社

老牌的奧數教材，很全面，但題目比較基礎，練習題題量很大。

另外關于教材還要說的是：以上各類教材雖然 編排體系不同（比如劉嘉那套書、RH學校課本、學而思講義的編排體系和大綱就各不相同），但每套書合起來就構成了一套完備的小學奧數教材，覆蓋了小學奧數的方方面面。但是對于學而思學員來說，由于編排體系的不同，以上的教材都不適合于作為與學而思課程班同步的輔導教材，只能作為自己學習的輔助，主要還是在課堂上跟著老師學習。

（二）習題集類

5、《RH學校奧林匹克數學思維訓練導引》

中國大百科全書出版社出版，分為三、四年級分冊和五、六年級分冊，思維導引可以說是最知名的小學奧數教輔書了，有傳說說把思維導引做一遍就可以當一個優秀的奧數教練了。當然我本人不是很相信這種說法。思維導引每一章節的分類有自己的特色，但是它賴以成名的是它的題目的難度和經典性，因此很多競賽和學校的小升初考試試題都從里面尋找靈感。

思維訓練導引最大的缺憾在于只有題目和答案，沒有具體的解析過程，那么它那么多高難度的題對于學生來說實在是一個艱難的目標。好在已經有前輩把思維導引里面所有題的解析都給出來了。中國大百科全書出版的《RH學校奧林匹克數學思維訓練教程》給出了每一講的奇數號題目的解析，凌科編著的《思維訓練導引詳解》（中國石化出版社）則給出偶數號題目的解析，這兩套書合起來思維導引題目的解析就全了。

6、《奧林匹克訓練題庫》 劉京友主編，北京師范大學出版社

老牌的奧數題庫，題量很大，題目以基礎題和中等題為主，適合學生打基礎。

7、《小學數學競賽多功能題典》 朱華偉編著，華東師范大學出版社

作者搜集了近幾年各大競賽的題目并按照知識板塊進行歸類，將同一知識點的題目放在一起，就成了這本內容豐富的題典。里面的題目全是各類競賽的真題，簡單題、中等題、高難度的題都有，每道題都有詳細的解答過程，很好的一本教輔書。

8、《新概念數學思維訓練導引》

華東師范大學出版社，分為三、四、五、**個年級 RH學校的思維訓練導引出版得比較早，因此題目顯得有點老，雖然這不影響其題目的經典性，但是也有必要補充一些近年來的新題。這套《新概念數學思維訓練導引》相比于RH學校的思維訓練導引的優勢之處就在于此：它增添了許多近年來各類杯賽的考試題，另外相比于RH學校的思維訓練導引，這套書每一講都把題目根據難度分成興趣篇、拓展篇、超越篇，題量也更大。這套書目前也沒有題目的詳解。

（三）競賽試題匯編

競賽試題匯編可以分為兩大類：縱向的試題匯編指那些包含某一杯賽歷年試題的匯編，橫向的匯編指那些包含某一年份各類杯賽試題的匯編。下面分類做一介紹：

縱向的試題匯編：

9、《北京市數學解題能力展示讀者評選活動 試題匯編》（小學卷）北京教育出版社出版

這本書是學而思去年出的迎春杯試題匯編，從1984年到2009年的題都有，非常全，每一道題都有詳細解析。另外，在這本書的編委里面可以找到本人的名字~

10、《第1—8屆《華羅庚金杯》少年數學邀請賽賽題及題解匯編》 華杯賽組委會編，中國大百科全書出版社

這本書是華杯賽組織委員會和主試委員會編的，所以很有權威性，就推薦了這本。它只包括第1—8屆華杯賽的試題，每道題都有詳細解析。第9屆以后每年都有單行本出版，也都是華杯賽組委會編、中國大百科全書出版社出版的。這本書加上每年的單行本，就是關于華杯賽的完全的試題匯編了。

11、《“走進美妙的數學花園”歷屆試題及 優秀論文集萃》 北京師范大學《高中數理化》特刊

關于走美的試題匯編比較少，這一本書是北京師范大學《高中數理化》特刊出的，里面不僅有歷屆試題，還有一些優秀的數學建模論文。

12、《希望杯全國數學邀請賽試題.培訓題及解答》

關于希望杯的試題匯編就更少了，但是希望杯組委會每年也都會出版名為《希望杯全國數學邀請賽試題.培訓題及解答》的小冊子，把每年的小冊子合起來就是最完備的希望杯試題匯編了。

13、《日本算術奧林匹克1—10屆試題詳解》 開明出版社出版

這是關于日本算數奧林匹克的試題匯編，日本 算數奧林匹克是日本很普及的一個數學競賽，中國每年也都有代表團參加。日本的出題方式與中國不同，而且里面難題頗多，所以對于中國學生來說，多做這本書既可開開眼界，解題能力也能得到很好的提升。

14、《日本小學數學奧林匹克（6年級）》 華東師范大學出版社

也是關于日本算數奧林匹克的試題匯編，不過只選了六年級的試題，從時間上來說，包含了1992年到2007年的全部試題。近幾年的可以在下面推薦的書里面找到。

橫向的：

15、《小學數學ABC卷系列》

北京競賽數學技術研究所編，最早的橫向的試題匯編，從2003-2006年，每年出一本，每本都包含了當年各主要杯賽的考試題目，并有詳細解析，而且每本都附有模擬題若干套。不過2006年之后就沒有見到了。

16、《小學數學MO奧林匹克競賽試題》 劉嘉主編，湖北教育出版社出版

從2007年開始出版，正好接替了前面的小學數學ABC卷。武漢的劉嘉老師編著，因此質量可以保證，目前已經出了07年、08年和09年三本。

17、《2008全國數學競賽年鑒（小學卷）》

學而思上海分校主編，包含了08年各大杯賽的真題，后面部分還有國內主 要城市的一些小升初試題，體現了學而思一貫的競賽與小升初并重的傳統。另外，09年的年鑒學而思也已經編輯好了，也許不久就可以見到。

最后要說的是，推薦了這么多書，不是希望家長們把這些書都買全讓孩子們一本本做或者家長埋頭研究，這應該是奧數老師們做的事情。老師們研究得多了，把最精髓的東西傳遞給孩子們，孩子們學起來就輕松了。推薦的目的只是希望大家在有購買的需求時能夠心中有數，不因不熟悉而買一些比較差的、價值不大的書，浪費錢事小，學不到東西耽誤孩子時間事大。

第五篇：小學奧數招生簡章

奧數班招生簡章

——XXXX學校

學習奧數能夠鍛煉孩子的思維能力，三、四年級的奧數學習是小學奧數最重要的基礎階段，只有牢固掌握了三、四年級奧數最基本的知識技巧，才能有效的促進今后的數學學習，最終在小升初擇校中有所斬獲。鑒于學習奧數的重要性，我們藝文學校特開設了三、四年級奧數班，以下為詳細的招生簡章，廣大家長可以參考報名!● 學習分析

A、主要內容和知識重點

《找規律》、《速算與巧算》、《巧求周長》、《和差倍問題》、《植樹方陣問題》、《等差數列》、《行程問題》等。

B、普遍存在的學習問題

(1)很多例題在課堂上老師講解之前并不能很順利的做出來。

(2)例題聽懂了，但舉一反三或者題型有些變化，部分學員就束手無策。(3)低年級以計算為主，但三、四年級奧數以應用題為主，要求學員有較好的分析能力和嘗試用線段圖或者符號解題。

C、春季學習的重要性

(1)遺忘是記憶的大敵，大腦記憶規律要求知識要在不斷復習中吸收強化。(2)老師對不同類型的題目會在授課中補充相關知識點。

(3)針對性強。從時間上說，學習最具集中和針對性，我們的專題濃縮了該年段的重難點以及常見題型，幫助學生建立知識體系意識，在重點專題上進行更深層內容、更典型題型、更系統思想、更靈活技巧的全面知識滲透與挖掘!

● 課程說明

A、教學目標

以培養學生的數學興趣與提高數學思維為主要原則，在教師的指導下，通過學生的自主學習，以獲得有關數學解題的直接經驗，讓學生更大自由度地發揮自己，深化素質教育，營造誘發其潛能的氛圍。

B、知識要點

速算強化、等差數列、和差倍問題、行程問題等 C、課程特色

(1)在教學過程中，老師注重培養學生的自主思考能力，采取啟發和引導的方式，讓學生有興趣地主動投入到課堂中來。學生不再停留于“應該是怎樣，應該怎么做”的模仿式學習，而是在教師的啟發和引導下，逐步形成“為什么是這樣，怎樣能更好”的自主性思考。

(2)在小班課堂中，老師會充分鼓勵學生表達自己的想法，充分展示其思維和個性。

D、課程服務：

電話咨詢 答疑解惑 跟蹤服務 專題輔導

即日起報名，可享受優惠活動，早報早得，機會多多，不容錯過！

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