第一篇：三年級(jí)奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義(教師版)

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

三年級(jí)奧數(shù)暑假復(fù)習(xí)講義

【課程說明】

由于培優(yōu)大綱順序和本課程順序不同，所以在學(xué)習(xí)此課程時(shí)，有些講次安排打亂了，重新排序不會(huì)影響知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

【課程目標(biāo)】

提升興趣

※激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，樂于思考，樂于學(xué)習(xí)

培養(yǎng)習(xí)慣

※傳授給學(xué)生正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，解題習(xí)慣

收獲成績(jī)

※通過正確的引導(dǎo)幫助孩子提高成績(jī)，積累成就感和自信心

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目錄

第一講 高斯求和

{HYPERLINK “ada99:10937_SR.HTM”|第二講 找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律

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第一講 高斯求和

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時(shí)代聰明過人，上學(xué)時(shí)，有一天老師出了一道題讓同學(xué)們計(jì)算：

1＋2＋3＋4＋?＋99＋100＝？

老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計(jì)算，小高斯卻很快算出答案等于5050。高斯為什么算得又快又準(zhǔn)呢？原來小高斯通過細(xì)心觀察發(fā)現(xiàn)：

1＋100＝2＋99＝3＋98＝?＝49＋52＝50＋51。

1～100正好可以分成這樣的50對(duì)數(shù)，每對(duì)數(shù)的和都相等。于是，小高斯把這道題巧算為

（1+100）×100÷2＝5050。

小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡(jiǎn)單快捷，并且廣泛地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。

若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。后項(xiàng)與前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)之差稱為公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，?，100；

（2）1，3，5，7，9，?，99；（3）8，15，22，29，36，?，71。

其中（1）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為100，公差為1的等差數(shù)列；（2）是首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為99，公差為2的等差數(shù)列；（3）是首項(xiàng)為8，末項(xiàng)為71，公差為7的等差數(shù)列。

由高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：

和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2。

例1 1＋2＋3＋?＋1999＝？

分析與解：這串加數(shù)1，2，3，?，1999是等差數(shù)列，首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是1999，共有1999個(gè)數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得

原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。

注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個(gè)加數(shù)是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11＋12＋13＋?＋31＝？

分析與解：這串加數(shù)11，12，13，?，31是等差數(shù)列，首項(xiàng)是11，末項(xiàng)是31，共有31-11＋1＝21（項(xiàng)）。

原式=（11+31）×21÷2=441。

在利用等差數(shù)列求和公式時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)并不是一目了然的，這時(shí)就需要先求出項(xiàng)數(shù)。根據(jù)首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差的關(guān)系，可以得到

項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1，末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）。

例3、3＋7＋11＋?＋99＝？

分析與解：3，7，11，?，99是公差為4的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 求首項(xiàng)是25，公差是3的等差數(shù)列的前40項(xiàng)的和。解：末項(xiàng)=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340。

利用等差數(shù)列求和公式及求項(xiàng)數(shù)和末項(xiàng)的公式，可以解決各種與等差數(shù)列求和有關(guān)的問題。

例5 在下圖中，每個(gè)最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長(zhǎng)是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個(gè)圖形由多少根火柴棍擺成？

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分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時(shí)，每層的小三角形數(shù)目及所用火柴數(shù)目如下表：

由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等差數(shù)列。

解：（1）最大三角形面積為

（1＋3＋5＋?＋15）×12 ＝［（1＋15）×8÷2］×12 ＝768（厘米2）。

2）火柴棍的數(shù)目為

3＋6＋9+?+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）。

答：最大三角形的面積是768厘米2，整個(gè)圖形由108根火柴擺成。

例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里??第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多少只乒乓球？

分析與解：一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球??第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了

2×1＋2×2＋?＋2×10 ＝2×（1＋2＋?＋10）＝2×55＝110（只）。

加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。

綜合列式為：

（3-1）×（1＋2＋?＋10）＋3 ＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。

練習(xí)3

1.計(jì)算下列各題：

（1）2＋4＋6＋?＋200；（2）17＋19＋21＋?＋39；

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.（3）5＋8＋11＋14＋?＋50；（4）3＋10＋17＋24＋?＋101。2.求首項(xiàng)是5，末項(xiàng)是93，公差是4的等差數(shù)列的和。

3.求首項(xiàng)是13，公差是5的等差數(shù)列的前30項(xiàng)的和。

4.時(shí)鐘在每個(gè)整點(diǎn)敲打，敲打的次數(shù)等于該鐘點(diǎn)數(shù)，每半點(diǎn)鐘也敲一下。問：時(shí)鐘一晝夜敲打多少次？

5.求100以內(nèi)除以3余2的所有數(shù)的和。

6.在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)比個(gè)位數(shù)大的數(shù)共有多少個(gè)？

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練習(xí)

1.（1）10100；（2）336；（3）440；（4）780。

2.1127。提示：項(xiàng)數(shù)=（93-5）÷4+1=23。

3.2565。提示：末項(xiàng)=13+5×（30-1）=158。

4.180次。解：（1+2+?+12）×2+24=180（次）。

5.1650。解：2+5+8+?+98=1650。

6.45個(gè)。

提示：十位數(shù)為1，2，?，9的分別有1，2，?，9個(gè)。

這一講我們先介紹什么是“數(shù)列”，然后講如何發(fā)現(xiàn)和尋找“數(shù)列”的規(guī)律。

按一定次序排列的一列數(shù)就叫數(shù)列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，?(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，?(4)1，1，2，3，5，8，13。

一個(gè)數(shù)列中從左至右的第n個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。如，數(shù)列(1)的第3項(xiàng)是3，數(shù)列(2)的第3項(xiàng)是4。一般地，我們將數(shù)列的第n項(xiàng)記作an。

數(shù)列中的數(shù)可以是有限多個(gè)，如數(shù)列(2)(4)，也可以是無限多個(gè)，如數(shù)列(1)(3)。

許多數(shù)列中的數(shù)是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律。

數(shù)列(1)是按照自然數(shù)從小到大的次序排列的，也叫做自然數(shù)數(shù)列，其規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)+1，或第n項(xiàng)an＝n。

數(shù)列(2)的規(guī)律是：后項(xiàng)=前項(xiàng)×2，或第n項(xiàng)

數(shù)列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復(fù)始地出現(xiàn)。

數(shù)列(4)的規(guī)律是：從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和，即

a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常見的較簡(jiǎn)單的數(shù)列規(guī)律有這樣幾類：

第一類是數(shù)列各項(xiàng)只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，或只與它的前一項(xiàng)有關(guān)。例如數(shù)列(1)(2)。

第二類是前后幾項(xiàng)為一組，以組為單元找關(guān)系才可找到規(guī)律。例如數(shù)列(3)(4)。

第三類是數(shù)列本身要與其他數(shù)列對(duì)比才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律。這類情形稍為復(fù)雜些，我們用后面的例

3、例4來作一些說明。例1 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)4，7，10，13，()，?

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，?(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，?(6)2，6，12，20，()，()，?

解：通過對(duì)已知的幾個(gè)數(shù)的前后兩項(xiàng)的觀察、分析，可發(fā)現(xiàn)(1)的規(guī)律是：前項(xiàng)+3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填16。(2)的規(guī)律是：前項(xiàng)-12=后項(xiàng)。所以應(yīng)填48，36。(3)的規(guī)律是：前項(xiàng)×3=后項(xiàng)。所以應(yīng)填54，162。(4)的規(guī)律是：前項(xiàng)÷5=后項(xiàng)。所以應(yīng)填5，1。(5)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以應(yīng)填5×5=25。(6)的規(guī)律是：數(shù)列各項(xiàng)依次為

2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，應(yīng)填 5×6=30，6×7=42。

說明：本例中各數(shù)列的每一項(xiàng)都只與它的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此an可以用n來表示。各數(shù)列的第n項(xiàng)分別可以表示為(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；

(3)an＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。

這樣表示的好處在于，如果求第100項(xiàng)等于幾，那么不用一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，直接就可以算出來，比如數(shù)列(1)的第100項(xiàng)等于3×100+1=301。本例中，數(shù)列(2)(4)只有5項(xiàng)，當(dāng)然沒有必要計(jì)算大于5的項(xiàng)數(shù)了。例2 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。

解：通過對(duì)各數(shù)列已知的幾個(gè)數(shù)的觀察分析可得其規(guī)律。

(1)把數(shù)列每?jī)身?xiàng)分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是：前一組每個(gè)數(shù)加1得到后一組數(shù)，所以應(yīng)填4，5。(2)把后面已知的六個(gè)數(shù)分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數(shù)的商都是2，且由5，6，7的次序知，應(yīng)填8，4。(3)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的和等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(17+27=)44。(4)這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：前面兩項(xiàng)的乘積等于后面一項(xiàng)，故應(yīng)填(8×32=)256。例3 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)18，20，24，30，()；(2)11，12，14，18，26，()；(3)2，5，11，23，47，()，()。

解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項(xiàng)-前項(xiàng))組成一新數(shù)列2，4，6，?其規(guī)律是“依次加2”，因?yàn)?后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故

a5=8+30=38。

(2)12-11=1，14-12=2，18-14=4，26-18=8，組成一新數(shù)列1，2，4，8，?按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。

(3)觀察數(shù)列前、后項(xiàng)的關(guān)系，后項(xiàng)=前項(xiàng)×2+1，所以

a6=2a5+1＝2×47+1＝95，a7＝2a6+1＝2×95+1=191。

例4 找出下列各數(shù)列的規(guī)律，并按其規(guī)律在()內(nèi)填上合適的數(shù)：(1)12，15，17，30，22，45，()，()；(2)2，8，5，6，8，4，()，()。n-15-n

2學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：(1)數(shù)列的第1，3，5，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列12，17，22，?其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項(xiàng)就是27；數(shù)列的第2，4，6，?項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列15，30，45，?其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項(xiàng)就是60。故應(yīng)填27，60。

(2)如(1)分析，由奇數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列2，5，8，?中，8后面的數(shù)應(yīng)為11；由偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列8，6，4，? 中，4后面的數(shù)應(yīng)為2。故應(yīng)填11，2。

練習(xí)5

1、按其規(guī)律在下列各數(shù)列的()內(nèi)填數(shù)。

1.56，49，42，35，()。

2.11，15，19，23，()，?

3.3，6，12，24，()。

4.2，3，5，9，17，()，?

5.1，3，4，7，11，()。

6.1，3，7，13，21，()。

7.3，5，3，10，3，15，()，()。

8.8，3，9，4，10，5，()，()。

9.2，5，10，17，26，()。

10.15，21，18，19，21，17，()，()。

11.數(shù)列1，3，5，7，11，13，15，17。

(1)如果其中缺少一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？應(yīng)補(bǔ)在何處？(2)如果其中多了一個(gè)數(shù)，那么這個(gè)數(shù)是幾？為什么？ 答案與提示 練習(xí)

1.28。

2.27。

3.48。

4.33。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為1，2，4，8，16，?

5.18。提示：后項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。

6.31。提示：“后項(xiàng)-前項(xiàng)”依次為2，4，6，8，10。

7.3，20。

8.11，6。

9.37。提示：an=n+1。

10.24，15。提示：奇數(shù)項(xiàng)為15，18，21，24；偶數(shù)項(xiàng)為21，19，17，15。

11.(1)缺9，在7與11之間；(2)多15，因?yàn)槌?5以外都不是合數(shù)。

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2、觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20。

②19，17，15，13，（），9，7。

③1，3，9，27，（），243。

④64，32，16，8，（），2。

⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34?

⑥1，3，4，7，11，18，（），47?

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。

⑨1，1，3，7，13，（），31。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

(11)1，4，9，16，25，（），49，64。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答

①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。

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② 同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：13—2=11。

不妨把①與②聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，（），243。

此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填 81，即 81= 27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即 243＝81×3。

④64，32，16，8，（），2

與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：

因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。

⑤ 1，1，2，3，5，8，（），21，34?

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首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是 13，即 13=5+8，21=8+13，34=13+21。

這個(gè)以1，1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來源于一個(gè)有趣的問題：如果一對(duì)成熟的兔子一個(gè)月能生一對(duì)小兔，小兔一個(gè)月后就長(zhǎng)成了大兔子，于是，下一個(gè)月也能生一對(duì)小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對(duì)兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長(zhǎng)，按順序記錄每個(gè)月中所有兔子的數(shù)目（以對(duì)為單位，一月記一次），就得到了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是數(shù)列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級(jí)遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。

⑥1，3，4，7，11，18，（），47?

在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見了，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29，即 29=11＋18。

數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項(xiàng)為3，而數(shù)列⑤為1，數(shù)列⑥稱為魯卡斯數(shù)列。

⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。

方法1：繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：

因此，可以猜想，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的和，那么，第5項(xiàng)為15，即15=10+5，最后一項(xiàng)即第 9項(xiàng)為 45，即 45＝36＋9.代入驗(yàn)算，正確。

方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：

第1項(xiàng)：1=1

第2項(xiàng)：3=1＋2

第3項(xiàng)：6=1+2+3

第4項(xiàng)：10=1+2+3+4

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.第5項(xiàng)：（）

第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6

第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7

第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8

第9項(xiàng)：（）

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即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項(xiàng)為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；

第九項(xiàng)為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

⑧1，2，6，24，120，（），5040。

方法1：這個(gè)數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：

所以，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：除第1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的乘積.因此，括號(hào)中的數(shù)為第6項(xiàng)720，即 720=120×6。

方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：

第1項(xiàng) 1=1

第2項(xiàng) 2=1×第3項(xiàng) 6=1×2×第4項(xiàng) 24=1×2×3×第5項(xiàng) 120=1×2×3×4×第6項(xiàng)（）

第7項(xiàng) 5040=1×2×3×4×5×6×7

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.所以，第6項(xiàng)應(yīng)為 1×2×3×4×5×6=720

⑨1，1，3，7，13，（），31

與⑦類似：

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可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項(xiàng)=前項(xiàng)+2×（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那么，括號(hào)中應(yīng)填21，代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。

⑩1，3，7，15，31，（），127，255。

則：

因此，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填為63。

小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個(gè)方面來考慮：①尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的關(guān)系；②考慮相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。

事實(shí)上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個(gè)不同的角度來考慮問題的.但有時(shí)候，從兩個(gè)角度的綜合考慮會(huì)更有利于問題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑫?huì)使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。

在⑩題中，1=2-1

3=22-1

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.7=23-1

15=24-1

31=25-1

127=27-1

255=28-1

所以，括號(hào)中為26-1即63。

（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。

本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來考慮問題，勢(shì)必要走彎路。

(12)0，3，8，15，24，（），48，63。

仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)×項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號(hào)中填35，即 35= 6×6-1。

(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。

前面的方法均不適用于這個(gè)數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)（即第1，3，5，7，9項(xiàng)）和偶數(shù)項(xiàng)（即第2，4，6，8項(xiàng)）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如下：

奇數(shù)項(xiàng)：1，2，3，4，5

偶數(shù)項(xiàng)：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32（32=16×2）。

(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。

同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：

偶數(shù)項(xiàng)：2，4，6，8，10

奇數(shù)項(xiàng)：1，3，9，27，（）.所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，括號(hào)中應(yīng)填81（81=27×3）。

像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。

3、按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：

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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1.1，2，3，4，5，（），7?

2.100，95，90，85，80，（），70

3.1，2，4，8，16，（），64

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5.2，1，3，4，7，（），18，29，47

6.1，2，5，10，17，（），37，50

7.1，8，27，64，125，（），343

8.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那么從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那么你就錯(cuò)了.正確的答案應(yīng)該是3分鐘。

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為什么是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。

下面我們來看幾個(gè)類似的問題。

例1 裁縫有一段16米長(zhǎng)的呢子，每天剪去2米，第幾天剪去最后一段？

分析 如果呢子有2米，不需要剪；如果呢子有4米，第一天就可以剪去最后一段，4米里有2個(gè)2米，只用1天；如果呢子有6米，第一天剪去2米，還剩4米，第二天就可以剪去最后一段，6米里有3個(gè)2米，只用2天；如果呢子有8米，第一天剪去2米，還剩6米，第二天再剪2米，還剩4米，這樣第三天即可剪去最后一段，8米里有4個(gè)2米，用3天，??

我們可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：所用的天數(shù)比2米的個(gè)數(shù)少1.因此，只要看16米里有幾個(gè)2米，問題就可以解決了。

解：16米中包含2米的個(gè)數(shù)：16÷2=8（個(gè)）

剪去最后一段所用的天數(shù)：8-1=7（天）

答：第七天就可以剪去最后一段。

例2一根木料在24秒內(nèi)被切成了4段，用同樣的速度切成5段，需要多少秒？

可以從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：切的次數(shù)總比切的段數(shù)少1.因此，在24秒內(nèi)切了4段，實(shí)際只切了3次，這樣我們就可以求出切一次所用的時(shí)間了，又由于用同樣的速度切成5段；實(shí)際上切了4次，這樣切成5段所用的時(shí)間就可以求出來了。

解：切一次所用的時(shí)間：24÷（4-1）=8（秒）

切5段所用的時(shí)間：8×（5-1）=32（秒）

答：用同樣的速度切成5段，要用32秒。

例3三年級(jí)同學(xué)120人排成4路縱隊(duì)，也就是4個(gè)人一排，排成了許多排，現(xiàn)在知道每相鄰兩排之間相隔1米，這支隊(duì)伍長(zhǎng)多少米？

解：因?yàn)槊?人一排，所以共有：120÷4=30（排）

30排中間共有29個(gè)間隔，所以隊(duì)伍長(zhǎng)：1×29=29（米）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：這支隊(duì)伍長(zhǎng)29米。

例4 時(shí)鐘4點(diǎn)鐘敲4下，12秒鐘敲完，那么6點(diǎn)鐘敲6下，幾秒鐘敲完？

分析 如果盲目地計(jì)算：12÷4=3（秒），3×6=18（秒），認(rèn)為敲6下需要18秒鐘就錯(cuò)了.請(qǐng)看下圖：

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時(shí)鐘敲4下，其間有3個(gè)間隔，每個(gè)間隔是：12÷3=4（秒）；時(shí)鐘敲6下，其間共有5個(gè)間隔，所用時(shí)間為：

4×5=20（秒）。

解：每次間隔時(shí)間為：12÷（4-1）=4（秒）

敲 6下共用的時(shí)間為：4×（6-1）＝20（秒）

答：時(shí)鐘敲6下共用20秒。

例5.某人要到一座高層樓的第8層辦事，不巧停電，電梯停開，如從1層走到4層需要48秒，請(qǐng)問以同樣的速度走到八層，還需要多少秒？

分析 要求還需要多少秒才能到達(dá)，必須先求出上一層樓梯需要幾秒，還要知道從4樓走到8樓共走幾層樓梯.上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒），從4樓走到8樓共走8-4=4（層）樓梯。到這里問題就可以解決了。

解：上一層樓梯需要：48÷（4-1）=16（秒）

從4樓走到8樓共走：8-4=4（層）樓梯

還需要的時(shí)間：16×4=64（秒）

答：還需要64秒才能到達(dá)8層。

例6晶晶上樓，從1樓走到3樓需要走36級(jí)臺(tái)階，如果各層樓之間的臺(tái)階數(shù)相同，那么晶晶從第1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階？

分析 要求晶晶從第1層走到第6層需要走多少級(jí)臺(tái)階，必須先求出每一層樓梯有多少臺(tái)階，還要知道從一層走到6層需要走幾層樓梯。

從1樓到3樓有3-1=2層樓梯，那么每一層樓梯有36÷2=18（級(jí)）臺(tái)階，而從1層走到6層需要走6-1=5（層）樓梯，這樣問題就可以迎刃而解了。

解：每一層樓梯有：36÷（3-1）＝18（級(jí)臺(tái)階）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.晶晶從1層走到6層需要走：18×（6-1）=90（級(jí)）臺(tái)階。

答：晶晶從第1層走到第6層需要走90級(jí)臺(tái)階。

注：例1～例4所敘述的問題雖然不是上樓梯，但它和上樓梯有許多相似之處，請(qǐng)同學(xué)們自己去體會(huì).爬樓梯問題的解題規(guī)律是：所走的臺(tái)階數(shù)=每層樓梯的臺(tái)階數(shù)×（所到達(dá)的層數(shù)減起點(diǎn)的層數(shù)）。

習(xí)題

1.一根木料截成3段要6分鐘，如果每截一次的時(shí)間相等，那么截7段要幾分鐘？

2.有一幢樓房高17層，相鄰兩層之間都有17級(jí)臺(tái)階，某人從1層走到11層，一共要登多少級(jí)臺(tái)階？

3.從1樓走到4樓共要走48級(jí)臺(tái)階，如果每上一層樓的臺(tái)階數(shù)都相同，那么從1樓到6樓共要走多少級(jí)臺(tái)階？

4.一座樓房每上1層要走16級(jí)臺(tái)階，到小英家要走64級(jí)臺(tái)階，小英家住在幾樓？

5.一列火車共20節(jié)，每節(jié)長(zhǎng)5米，每?jī)晒?jié)之間相距1米，這列火車以每分鐘20米的速度通過81米長(zhǎng)的隧道，需要幾分鐘？

6.時(shí)鐘3點(diǎn)鐘敲3下，6秒鐘敲完，12點(diǎn)鐘敲12下，幾秒鐘敲完？

7.某人到高層建筑的10層去，他從1層走到5層用了100秒，如果用同樣的速度走到10層，還需要多少秒？

8.A、B二人比賽爬樓梯，A跑到4層樓時(shí)，B恰好跑到3層樓，照這樣計(jì)算，A跑到16層樓時(shí)，B跑到幾層樓？

9.鐵路旁每隔50米有一根電線桿，某旅客為了計(jì)算火車的速度，測(cè)量出從第一根電線桿起到經(jīng)過第37根電線桿共用了2分鐘，火車的速度是每秒多少米？

習(xí)題解答

1.解：每截一次需要：6÷（3-1）=3（分鐘），截成7段要3×（7-1）=18（分鐘）

答：截成7段要18分鐘。

2.解：從1層走到11層共走：11-1=10（個(gè)）樓梯，從1層走到11層一共要走：17×10=170（級(jí)）臺(tái)階。

答：從1層走到11層，一共要登170級(jí)臺(tái)階。

3.解：每一層樓梯的臺(tái)階數(shù)為：48÷（4-1）=16（級(jí)），從1樓到6樓共走：6-1=5（個(gè)）樓梯，從1樓到6樓共走：16×5=80（級(jí)）臺(tái)階。

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Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：從1樓到6樓共走80級(jí)臺(tái)階。

4.解：到小英家共經(jīng)過的樓梯層數(shù)為：64÷16=4（層），小英家住在：4＋1=5（樓）

答：小英家住在樓的第5層。

5.解：火車的總長(zhǎng)度為：5×20+1×（20-1）=119（米），火車所行的總路程：119＋81=200（米），所需要的時(shí)間：200÷20=10（分鐘）

答：需要10分鐘。

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6.解：每個(gè)間隔需要：6÷（3-1）=3（秒），12點(diǎn)鐘敲12下，需要3×（12-1）=33（秒）

答：33秒鐘敲完。

7.解：每上一層樓梯需要：100÷（5-1）=25（秒），還需要的時(shí)間：25×（10-5）=125（秒）

答：從5樓再走到10樓還需要125秒。

8.由A上到4層樓時(shí)，B上到3層樓知，A上3層樓梯，B上2層樓梯。那么，A上到16層時(shí)共上了15層樓梯，因此B上2×5=10個(gè)樓梯，所以B上到10＋1=11（層）。

答：A上到第16層時(shí)，B上到第11層樓。

9.解：火車2分鐘共行：50×（37-1）=1800（米）

2分鐘=120秒

火車的速度：1800÷120=15（米/秒）

答：火車每秒行15米。

第四講 植樹與方陣問題

一、植樹問題

要想了解植樹中的數(shù)學(xué)并學(xué)會(huì)怎樣解決植樹問題，首先要牢記三要素：①總路線長(zhǎng).②間距（棵距）長(zhǎng).③棵數(shù).只要知道這三個(gè)要素中任意兩個(gè)要素.就可以求出第三個(gè)。關(guān)于植樹的路線，有封閉與不封閉兩種路線。1.不封閉路線 例：如圖

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① 若題目中要求在植樹的線路兩端都植樹，則棵數(shù)比段數(shù)多1.如上圖把總長(zhǎng)平均分成5段，但植樹棵數(shù)是6棵。

全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是： 棵數(shù)=段數(shù)+1=全長(zhǎng)÷株距+1 全長(zhǎng)=株距×（棵數(shù)-1）株距=全長(zhǎng)÷（棵數(shù)-1）

② 如果題目中要求在路線的一端植樹，則棵數(shù)就比在兩端植樹時(shí)的棵數(shù)少1，即棵數(shù)與段數(shù)相等.全長(zhǎng)、棵數(shù)、株距之間的關(guān)系就為： 全長(zhǎng)=株距×棵數(shù)； 棵數(shù)=全長(zhǎng)÷株距； 株距=全長(zhǎng)÷棵數(shù)。

③ 如果植樹路線的兩端都不植樹，則棵數(shù)就比②中還少1棵。棵數(shù)=段數(shù)-1=全長(zhǎng)÷株距-1.如右圖所示.段數(shù)為5段，植樹棵數(shù)為4棵。株距=全長(zhǎng)÷（棵數(shù)+1）。2.封閉的植樹路線

例如：在圓、正方形、長(zhǎng)方形、閉合曲線等上面植樹，因?yàn)轭^尾兩端重合在一起，所以種樹的棵數(shù)等于分成的段數(shù)。如右圖所示。

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棵數(shù)=段數(shù)=周長(zhǎng)÷株距.二、方陣問題

學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列.如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。

方陣的基本特點(diǎn)是：

① 方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數(shù)量都相同.每向里一層，每邊上的人數(shù)就少2。

② 每邊人（或物）數(shù)和四周人（或物）數(shù)的關(guān)系： 四周人（或物）數(shù)=[每邊人（或物）數(shù)-1]×4； 每邊人（或物）數(shù)=四周人（或物）數(shù)÷4＋1。

③ 中實(shí)方陣總?cè)耍ɑ蛭铮?shù)=每邊人（或物）數(shù)×每邊人（或物）數(shù)。

例1 有一條公路長(zhǎng)900米，在公路的一側(cè)從頭到尾每隔10米栽一根電線桿，可栽多少根電線桿？ 分析 要以兩棵電線桿之間的距離作為分段標(biāo)準(zhǔn).公路全長(zhǎng)可分成若干段.由于公路的兩端都要求栽桿，所以電線桿的根數(shù)比分成的段數(shù)多1。

解：以10米為一段，公路全長(zhǎng)可以分成 900÷10＝90（段）

共需電線桿根數(shù)：90+1=91（根）

答：可栽電線桿91根。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 馬路的一邊每相隔9米栽有一棵柳樹.張軍乘汽車5分鐘共看到501棵樹.問汽車每小時(shí)走多少千米？

分析 張軍5分鐘看到501棵樹意味著在馬路的兩端都植樹了；只要求出這段路的長(zhǎng)度就容易求出汽車速度.解：5分鐘汽車共走了：

9×（501-1）=4500（米），汽車每分鐘走：4500÷5=900（米），汽車每小時(shí)走：

900×60=54000（米）=54（千米）

列綜合式：

9×（501-1）÷5×60÷1000=54（千米）

答：汽車每小時(shí)行54千米。

例3 某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？

分析 根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：

每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。

解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4＋1=16（人）

整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）

答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶擺這個(gè)方陣共用圍棋子多少個(gè)？

分析 方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。

解：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）×4=52（個(gè)）

第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）×4=44（個(gè)）

第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣共用棋子：

52+44＋36＝132（個(gè)）

還可以這樣想：

中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進(jìn)行計(jì)算。

解：（14-3）×3×4=132（個(gè)）

答：擺這個(gè)方陣共需132個(gè)圍棋子。

例5 一個(gè)圓形花壇，周長(zhǎng)是180米.每隔6米種一棵芍藥花，每相鄰的兩棵芍藥花之間均勻地栽兩棵月季花.問可栽多少棵芍藥？多少棵月季？?jī)煽迷录局g的株距是多少米？

分析 ①在圓形花壇上栽花，是封閉路線問題，其株數(shù)=段數(shù).② 由于相鄰的兩棵芍藥花之間等距的栽有兩棵月季，則每6米之中共有3棵花，且月季花棵數(shù)是芍藥的2倍。

解：共可栽芍藥花：180÷6＝30（棵）

共種月季花：2×30＝60（棵）

兩種花共：30+60=90（棵）

兩棵花之間距離：180÷90=2（米）

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

相鄰的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍藥花，所以月季花的株距是2米或4米。

答：種芍藥花30棵，月季花60棵，兩棵月季花之間距離為2米或4米。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

分析 ①從已知條件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍.又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為

9×2-1=17（棵）。

② 又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花

（17-1）×3=48（棵）。

③.再看圖中畫斜線的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.在計(jì)算大三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為9-2=7（棵）

解：大三角形三條邊上共栽花：

（9×2-1-1）×3=48（棵）

中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：

（9-2）×3=21（棵）

整個(gè)花壇共栽花：48+21=69（棵）

答：大三角形邊上共栽花48棵，整個(gè)花壇共栽花69棵。

習(xí)題四

1.一個(gè)圓形池塘，它的周長(zhǎng)是150米，每隔3米栽種一棵樹.問：共需樹苗多少株？

2.有一正方形操場(chǎng)，每邊都栽種17棵樹，四個(gè)角各種1棵，共種樹多少棵？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.3.在一條路上按相等的距離植樹.甲乙二人同時(shí)從路的一端的某一棵樹出發(fā).當(dāng)甲走到從自己這邊數(shù)的第22棵樹時(shí)，乙剛走到從乙那邊數(shù)的第10棵樹.已知乙每分鐘走36米.問：甲每分鐘走多少米？

4.在一根長(zhǎng)100厘米的木棍上，從左向右每隔6厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn).從右向左每隔5厘米點(diǎn)一個(gè)紅點(diǎn)，在兩個(gè)紅點(diǎn)之間長(zhǎng)為4厘米的間距有幾段？

題四解答

1.提示：由于是封閉路線栽樹，所以棵數(shù)=段數(shù)，150÷3=50（棵）。

2.提示：在正方形操場(chǎng)邊上栽樹.正方形邊長(zhǎng)都相等，四個(gè)角上栽的樹是相鄰的兩條邊公有的一棵，所以每邊栽樹的棵數(shù)為17-1=16（棵），共栽：（17-1）×4=64（棵）

答：共栽樹64棵。

3.解：甲走到第22棵樹時(shí)走過了22-1＝21（個(gè)）棵距.同樣乙走過了10-1＝9（個(gè)）棵距.乙走到第10棵樹，所用的時(shí)間為（9×棵距÷36），這個(gè)時(shí)間也是甲走過21個(gè)棵距的時(shí)間，甲的速度為：21×棵距÷（9×棵距÷36）=84米/分。

答：甲的速度是每分鐘84米。

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4.① 根據(jù)已知條件，從左至右每隔6厘米點(diǎn)一紅點(diǎn)，不難算出共有17個(gè)點(diǎn)（包括起點(diǎn)，終點(diǎn)）并余4厘米。②100厘米長(zhǎng)的棒從右到左共點(diǎn)21個(gè)點(diǎn)，可分為20段，而最后一點(diǎn)與端點(diǎn)重合，相當(dāng)于從左到右以5厘米的間距畫點(diǎn).③ 在5與6的公倍數(shù)30中，不難看出有2個(gè)4厘米的小段；同樣在第二個(gè)和第三個(gè)30厘米中也各有2個(gè)，剩下的10厘米只有一個(gè)4厘米的小段，所以在100厘米的木棍上只能有2×3+1=7（段）4厘米長(zhǎng)的間距.植樹問題

一、填空題

1.在相距100米的兩樓之間栽樹,每隔10米栽1棵,共栽了 棵樹.2.圓形滑冰場(chǎng)周長(zhǎng)400米,每隔20米裝一盞燈,共要裝 盞燈.3.一段公路長(zhǎng)3600米,在公路兩旁每隔9米栽一棵梧桐樹,兩端都栽,共栽梧桐樹 棵.4.在一個(gè)半徑是125米的圓形花園周圍以等距離種白楊樹157棵,則兩樹間的距離是 米.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

5.一個(gè)湖泊周長(zhǎng)1800米,沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹,每?jī)煽昧鴺渲虚g栽一棵桃樹,湖泊周圍栽柳樹 棵,栽桃樹 棵.6.一塊三角形地,三邊之長(zhǎng)分別為156米、234米、186米,要在三邊上植樹,株距6米,三個(gè)角上各有一棵,共植樹 棵.7.一條馬路長(zhǎng)440米,在路的兩旁每隔8米種一棵樹,兩邊都種,共種 棵樹.8.兩棵柳樹相距408米,計(jì)劃在這兩棵樹之間補(bǔ)栽小樹23棵,每?jī)煽脴溟g隔相等,則樹的間隔 米.9.公路的每邊相隔7米有一棵槐樹,芳芳乘電車3分鐘看到公路的一邊有槐樹151棵,電車的速度是每分鐘 米.10.國(guó)慶節(jié)接受檢閱的一列車隊(duì)共52輛,每輛車長(zhǎng)4米,前后每輛車相隔6米,車隊(duì)每分鐘行駛105米.這列車隊(duì)要通過536米長(zhǎng)的檢閱場(chǎng)地,要 分鐘.二、解答題

11.參加閱兵的戰(zhàn)士有1200人,平均分成5個(gè)大隊(duì),隊(duì)距是7.5米.每隊(duì)6人為一排,排距是2米.整個(gè)隊(duì)伍的總長(zhǎng)有多少米.12.鋸一條4米長(zhǎng)的圓柱形的鋼條,鋸5段耗時(shí)1小時(shí)20分.如果把這樣的鋼條鋸成半米長(zhǎng)的小段,需要多少分鐘.13.一人以相等的速度在小路上散步,從第一棵樹走到第12棵樹用了11分鐘,如果這個(gè)人走了25分鐘,應(yīng)走到的第幾棵樹.14.在一個(gè)正方形的場(chǎng)地四周種樹,四個(gè)頂點(diǎn)都有一棵,這樣每邊都種有24棵,四周共種多少棵樹.———————————————答 案——————————————————————

一、填空題

1． 因?yàn)閮啥瞬荒茉詷?所以: 棵數(shù)=間隔數(shù)-1=100÷10-1=9（棵）

2． 間隔數(shù)為:400÷20=20 因?yàn)槭黔h(huán)形問題,裝燈的盞數(shù)等于間隔數(shù),共要裝訂20盞.3.間隔數(shù)為:3600÷9=400 栽數(shù)棵數(shù)=(間隔數(shù)+1)×2=401×2=802(棵)

4.半徑為125米的圓周長(zhǎng)為:2×3.14×125=785(米)因?yàn)榄h(huán)形問題的棵數(shù)等于間隔數(shù),所以間隔數(shù)為157.間距=785÷157=5(米)

5.間隔數(shù)=1800÷3=600 因?yàn)槭黔h(huán)形問題,所以栽柳數(shù)為600棵.因?yàn)槊績(jī)煽昧鴺渲虚g栽一棵桃樹,即每個(gè)間隔內(nèi)栽一棵桃樹,所以栽桃樹600棵.Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.6.因?yàn)?56÷6=26 234÷6=39 186÷6=31 又因?yàn)槿齻€(gè)角上各有一棵,所以共植樹:(26+1)+(39+1)+(31+1)-3=27+40+32-3=96(棵)

7.間隔數(shù)=440÷8=55 因?yàn)閮蛇叾挤N樹,所以共種樹:(55+1)×2=112(棵)

8.間隔數(shù)=棵數(shù)-1=(23+2)-1=24 間距=路長(zhǎng)÷間隔數(shù)=408÷24=17(米)

9.路長(zhǎng)=間隔數(shù)×間距=(151-1)×7=1050(米)速度=路程÷時(shí)間=1050÷3=350(米)所以速度為每分鐘350米.10.因?yàn)檐囮?duì)行駛的路程等于檢閱場(chǎng)地的長(zhǎng)度與車隊(duì)長(zhǎng)度的和.所以所需時(shí)間為: [4×52+6×(52-1)+536]÷105 =[208+306+536]÷105 =1050÷105 =10(分鐘)

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二、解答題

11.由題意,隊(duì)伍總長(zhǎng)為: 7.5×(5-1)+2×(1200÷5÷6-1)×5 =7.5×4+2×39×5 =420(米)

12.由題意,所需時(shí)間為: 鋸一刀所需時(shí)間×要鋸的刀數(shù).=(60×1+20)÷(5-1)×(4÷0.5-1)=80÷4×7 =140(分鐘)

13.由從第1棵走到第12棵,共走了11個(gè)間隔,用了11分種,得出每分鐘走1個(gè)間隔.所以25分鐘,走了25個(gè)間隔,所以應(yīng)走到第25+1=26棵樹.14.由題意,四周共有:(24-1)×4=92(棵)

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和歸總問題

為什么把有的問題叫歸一問題？我國(guó)珠算除法中有一種方法，稱為歸除法.除數(shù)是幾，就稱幾歸；除數(shù)是8，就稱為8歸.而歸一的意思，就是用除法求出單一量，這大概就是歸一說法的來歷吧！

歸一問題有兩種基本類型.一種是正歸一，也稱為直進(jìn)歸一.如：一輛汽車3小時(shí)行150千米，照這樣，7小時(shí)行駛多少千米？另一種是反歸一，也稱為返回歸一.如：修路隊(duì)6小時(shí)修路180千米，照這樣，修路240千米需幾小時(shí)？

正、反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在第二步.正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。

例1 一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？

分析 為了求出蝸牛1小時(shí)爬多少米，必須先求出1分鐘爬多少分米，即蝸牛的速度，然后以這個(gè)數(shù)目為依據(jù)按要求算出結(jié)果。

解：①小蝸牛每分鐘爬行多少分米？ 12÷6=2（分米）

② 1小時(shí)爬幾米？1小時(shí)=60分。

2×60=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

還可以這樣想：先求出題目中的兩個(gè)同類量（如時(shí)間與時(shí)間）的倍數(shù)（即60分是6分的幾倍），然后用1倍數(shù)（6分鐘爬行12分米）乘以倍數(shù)，使問題得解。

解：1小時(shí)=60分鐘

12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）

或 12÷（6÷60）＝12÷0.1=120（分米）=12（米）

答：小蝸牛1小時(shí)爬行12米。

例2 一個(gè)糧食加工廠要磨面粉20000千克.3小時(shí)磨了6000千克.照這樣計(jì)算，磨完剩下的面粉還要幾小時(shí)？

方法1：

分析 通過3小時(shí)磨6000千克，可以求出1小時(shí)磨粉數(shù)量.問題求磨完剩下的要幾小時(shí)，所以剩下的量除以1小時(shí)磨的數(shù)量，得到問題所求。

解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

方法2：用比例關(guān)系解。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：設(shè)磨剩下的面粉還要x小時(shí)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

6000x＝3×14000

x=7（小時(shí)）

答：磨完剩下的面粉還要7小時(shí)。

例3 學(xué)校買來一些足球和籃球.已知買3個(gè)足球和5個(gè)籃球共花了281元；買3個(gè)足球和7個(gè)籃球共花了355元.現(xiàn)在要買5個(gè)足球、4個(gè)籃球共花多少元？

分析 要求5個(gè)足球和4個(gè)籃球共花多少元，關(guān)鍵在于先求出每個(gè)足球和每個(gè)籃球各多少元.根據(jù)已知條件分析出第一次和第二次買的足球個(gè)數(shù)相等，而籃球相差7-5＝2（個(gè)），總價(jià)差355-281＝74（元）.74元正好是兩個(gè)籃球的價(jià)錢，從而可以求出一個(gè)籃球的價(jià)錢，一個(gè)足球的價(jià)錢也可以隨之求出，使問題得解。

解：①一個(gè)籃球的價(jià)錢：（355-281）÷（7-5）

=37元

②一個(gè)足球的價(jià)錢：（281-37×5）÷3＝32（元）

③共花多少元？ 32×5＋37×4=308（元）

答：買5個(gè)足球，4個(gè)籃球共花308元。

例4 一個(gè)長(zhǎng)方體的水槽可容水480噸.水槽裝有一個(gè)進(jìn)水管和一個(gè)排水管.單開進(jìn)水管8小時(shí)可以把空池注滿；單開排水管6小時(shí)可把滿池水排空.兩管齊開需多少小時(shí)把滿池水排空？

分析 要求兩管齊開需要多少小時(shí)把滿池水排光，關(guān)鍵在于先求出進(jìn)水速度和排水速度.當(dāng)兩管齊開時(shí)要把滿池水排空，排水速度必須大于進(jìn)水速度，即單位時(shí)間內(nèi)排出的水等于進(jìn)水與排水速度差.解決了這個(gè)問題，又知道總水量，就可以求出排空滿池水所需時(shí)間。

解：①進(jìn)水速度：480÷8=60（噸/小時(shí)）

②排水速度：480÷6=80（噸/小時(shí)）

③排空全池水所需的時(shí)間：480÷（80-60）=24（小時(shí)）

列綜合算式：

480÷（480÷6-480÷8）=24（小時(shí)）

答：兩管齊開需24小時(shí)把滿池水排空。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例5 7輛“黃河牌”卡車6趟運(yùn)走336噸沙土.現(xiàn)有沙土560噸，要求5趟運(yùn)完，求需要增加同樣的卡車多少輛？

方法1：

分析 要想求增加同樣卡車多少輛，先要求出一共需要卡車多少輛；要求5趟運(yùn)完560噸沙土，每趟需多少輛卡車，應(yīng)該知道一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土。

解：①一輛卡車一次能運(yùn)多少噸沙土？

336÷6÷7=56÷7=8（噸）

②560噸沙土，5趟運(yùn)完，每趟必須運(yùn)走幾噸？

560÷5＝112（噸）

③需要增加同樣的卡車多少輛？

112÷8-7＝7（輛）

列綜合算式：

560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（輛）

答：需增加同樣的卡車7輛。

方法2：

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

在求一輛卡車一次能運(yùn)沙土的噸數(shù)時(shí)，可以列出兩種不同情況的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6.算式①先除以6，先求出7輛卡車1次運(yùn)的噸數(shù)，再除以7求出每輛卡車的載重量；算式②，先除以7，求出一輛卡車6次運(yùn)的噸數(shù)，再除以6，求出每輛卡車的載重量。

在求560噸沙土5次運(yùn)完需要多少輛卡車時(shí)，有以下幾種不同的計(jì)算方法：

求出一共用車14輛后，再求增加的輛數(shù)就容易了。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例6 某車間要加工一批零件，原計(jì)劃由18人，每天工作8小時(shí)，7.5天完成任務(wù).由于縮短工期，要求4天完成任務(wù)，可是又要增加6人.求每天加班工作幾小時(shí)？

分析 我們把1個(gè)工人工作1小時(shí)，作為1個(gè)工時(shí).根據(jù)已知條件，加工這批零件，原計(jì)劃需要多少“工時(shí)”呢？求出“工時(shí)”數(shù)，使我們知道了工作總量.有了工作總量，以它為標(biāo)準(zhǔn)，不管人數(shù)增加或減少，工期延長(zhǎng)或縮短，仍然按照原來的工作效率，只要能夠達(dá)到加工零件所需“工時(shí)”總數(shù)，再求出要加班的工時(shí)數(shù)，問題就解決了。

解：①原計(jì)劃加工這批零件需要的“工時(shí)”：

8×18×7.5=1080（工時(shí)）

②增加6人后每天工作幾小時(shí)？

1080÷（18+6）÷4=11.25（小時(shí)）

③每天加班工作幾小時(shí)？ 11.25-8=3.25（小時(shí)）

答：每天要加班工作3.25小時(shí)。

例7 甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè).現(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).求甲、乙二人每小時(shí)各打字多少個(gè)？

分析 已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).”既然知道了“時(shí)間相同”，問題就容易解決了.題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè).”這樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了.解：①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)？

3600÷4＝900（個(gè)）

②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

（2450＋2050）÷900＝5（小時(shí)）

③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2450÷5=490（個(gè)）

④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)。

還可以這樣想：這道題的已知條件可以分兩層.第一層，甲乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)；第二層，在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè).由這兩個(gè)條件可以求出在相同的時(shí)間內(nèi)，甲乙二人共打字 2450+2050=4500（個(gè)）；打字 3600個(gè)用4小時(shí)，打字4500個(gè)用幾小時(shí)呢？先求出4500是3600的幾倍，也一定是4小時(shí)的幾倍，即“相同時(shí)間”。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.解：①“相同時(shí)間”是幾小時(shí)？

4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小時(shí)）

②甲每小時(shí)打字多少個(gè)？

2450÷5=490（個(gè)）

③乙每小時(shí)打字多少個(gè)？

2050÷5=410（個(gè)）

答：甲每小時(shí)打字490個(gè)，乙每小時(shí)打字410個(gè).與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據(jù)其它條件求出結(jié)果。所謂“總量”是指總路程、總產(chǎn)量、工作總量、物品的總價(jià)等。例8 一項(xiàng)工程，8個(gè)人工作15時(shí)可以完成，如果12個(gè)人工作，那么多少小時(shí)可以完成？

分析：（1）工程總量相當(dāng)于1個(gè)人工作多少小時(shí)？

15×8＝120（時(shí)）。

（2）12個(gè)人完成這項(xiàng)工程需要多少小時(shí)？

120÷12＝10（時(shí)）。解：15×8÷12＝10（時(shí)）。

答：12人需10時(shí)完成。

例9 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時(shí)行60千米，5時(shí)到達(dá)。若要4時(shí)到達(dá)，則每小時(shí)需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時(shí)到達(dá)，每小時(shí)需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時(shí)多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.答：每小時(shí)需要多行15千米。

例10 修一條公路，原計(jì)劃60人工作，80天完成。現(xiàn)在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

分析：（1）修這條公路共需要多少個(gè)勞動(dòng)日（總量）？

60×80＝4800（勞動(dòng)日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動(dòng)日？

4800-60×20=3600（勞動(dòng)日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習(xí)11

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

1．2臺(tái)拖拉機(jī)4時(shí)耕地20公頃，照這樣速度，5臺(tái)拖拉機(jī)6時(shí)可耕地多少公頃？

2．4臺(tái)織布機(jī)5時(shí)可以織布2600米，24臺(tái)織布機(jī)幾小時(shí)才能織布24960米？

3．一種幻燈機(jī)，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？

4．3臺(tái)抽水機(jī)8時(shí)灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺(tái)同樣的抽水機(jī)6時(shí)可以灌溉水田多小公頃？

5．平整一塊土地，原計(jì)劃8人平整，每天工作7.5時(shí)，6天可以完成任務(wù)。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時(shí)？

6．食堂管理員去農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)買雞蛋，原計(jì)劃按每千克3.00元買35千克。結(jié)果雞蛋價(jià)格下調(diào)了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價(jià)格下調(diào)后是每千克多少元？

7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量?jī)?chǔ)備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進(jìn)行了技術(shù)改造，每天能節(jié)約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

1.75公頃。2.8時(shí)。3.768張。

4.60公頃。5.8時(shí)。6.2.80元。

7.140天。

8.花果山上桃樹多，6只小猴分180棵.現(xiàn)有小猴72只，如數(shù)分后還余90棵，請(qǐng)算出桃樹有幾棵？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.9.5箱蜜蜂一年可以釀75千克蜂蜜，照這樣計(jì)算，釀300千克蜂蜜要增加幾箱蜜蜂？

10.4輛汽車行駛300千米需要汽油240公升.現(xiàn)有5輛汽車同時(shí)運(yùn)貨到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，問是否夠用？

11.5臺(tái)拖拉機(jī)24天耕地12000公畝.要18天耕完54000公畝土地，需要增加同樣拖拉機(jī)多少臺(tái)？

習(xí)題8-11解答

8.180÷6×72+90=2250（棵）

或：180×（72÷6）+90=2250（棵）

答：桃樹共有2250棵。

9.300÷（75÷5）-5=15（箱）

或 5×[（300-75）÷75]=5×3=15（箱）

答：要增加 15箱蜜蜂。

10.提示：要想得知1000公升汽油是否夠用，先算一算行800千米需要的汽油，然后進(jìn)行比較.如果大于1000公升，說明不夠用；小于或等于 1000公升，說明夠用。

240÷4÷300×5×800=800（公升）

800公升＜1000公升，說明夠用.答：1000公升汽油夠用。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

11.提示：先求出1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地公畝數(shù)，然后求出18天耕54000公畝需要拖拉機(jī)臺(tái)數(shù)，再求增加臺(tái)數(shù)。

答：需要增加 25臺(tái)拖拉機(jī).Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

求平均數(shù)問題是小學(xué)學(xué)習(xí)階段經(jīng)常接觸的一類典型應(yīng)用題，如“求一個(gè)班級(jí)學(xué)生的平均年齡、平均身高、平均分?jǐn)?shù)??”。

平均數(shù)問題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù)。

解答這類應(yīng)用題時(shí)，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù)。

【典型例題】

一、算術(shù)平均數(shù)

例1 用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面高度分別是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，這4個(gè)杯子水面平均高度是多少厘米？

分析 求4個(gè)杯子水面的平均高度，就相當(dāng)于把4個(gè)杯子里的水合在一起，再平均倒入4個(gè)杯子里，看每個(gè)杯子里水面的高度。

解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）

答：這4個(gè)杯子水面平均高度是6厘米。【鞏固練習(xí)】

1、一小組六個(gè)同學(xué)在某次數(shù)學(xué)考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績(jī)是多少？

解：總成績(jī)=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。

這個(gè)小組有6個(gè)同學(xué)，平均成績(jī)是

546÷6＝91(分)。

答：平均成績(jī)是91分。

例2 蔡琛在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、生物五科的平均分是 89分.政治、數(shù)學(xué)兩科的平均分是91.5分.語文、英語兩科的平均分是84分.政治、英語兩科的平均分是86分，而且英語比語文多10分.問蔡琛這次考試的各科成績(jī)應(yīng)是多少分？

分析 解題關(guān)鍵是根據(jù)語文、英語兩科平均分是84分求出兩科的總分，又知道兩科的分?jǐn)?shù)差是10分，用和差問題的解法求出語文、英語各得多少分后，就可以求出其他各科成績(jī)。

解：①英語：（84×2+10）÷2=89（分）

②語文： 89-10=79（分）

③政治：86×2-89＝83（分）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.④數(shù)學(xué)： 91.5×2-83＝100（分）

⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）

答：蔡琛這次考試英語、語文、政治、數(shù)學(xué)、生物的成績(jī)分別是89分、79分、83分、100分、94分。

【鞏固練習(xí)】

1、小敏期末考試，數(shù)學(xué)92分，語文90分，英語成績(jī)比這三門的平均成績(jī)高4分。問：英語得了多少分？

分析：英語比平均成績(jī)高的這4分，是“補(bǔ)”給了數(shù)學(xué)和語文，所以三門功課的平均成績(jī)?yōu)?/p>

(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英語成績(jī)。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。

答：英語得了97分。

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二、加權(quán)平均數(shù)

例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什錦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.問：什錦糖每千克多少元？

分析 要求混合后的什錦糖每千克的價(jià)錢，必須知道混合后的總錢數(shù)和與總錢數(shù)相對(duì)應(yīng)的總千克數(shù)。

解：①什錦糖的總價(jià)：

4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）

②什錦糖的總千克數(shù)： 2＋3＋5＝10（千克）

③什錦糖的單價(jià)：57.4÷10=5.74（元）

答：混合后的什錦糖每千克5.74元。

我們把上述這種平均數(shù)問題叫做“加權(quán)平均數(shù)”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加權(quán)平均數(shù).2千克、3千克、5千克這三個(gè)數(shù)很重要，對(duì)什錦糖的單價(jià)產(chǎn)生不同影響，有權(quán)衡輕重的作用，所以這樣的數(shù)叫做“權(quán)數(shù)”。

【鞏固練習(xí)】

1、把40千克蘋果和80千克梨裝在6個(gè)筐內(nèi)(可以混裝)，使每個(gè)筐裝的重量一樣。每筐應(yīng)裝多少千克？ 解：蘋果和梨的總重量為

40＋80＝120(千克)。

因要裝成6筐，所以，每筐平均應(yīng)裝

120÷6＝20(千克)。

答：每筐應(yīng)裝20千克。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.2、小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養(yǎng)的豬平均多重？

解：兩批豬的總重量為

66×3＋42×5＝408(千克)。

兩批豬的頭數(shù)為3＋5＝8(頭)，故平均每頭豬重

408÷8＝51(千克)。

答：平均每頭豬重51千克。

注意，在上例中不能這樣來求每頭豬的平均重量：

(66＋42)÷2＝54(千克)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

例4 甲乙兩塊棉田，平均畝產(chǎn)籽棉185斤.甲棉田有5畝，平均畝產(chǎn)籽棉203斤；乙棉田平均畝產(chǎn)籽棉170斤，乙棉田有多少畝？

分析 此題是已知兩個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)、兩個(gè)數(shù)和其中一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)，求另一個(gè)數(shù)的權(quán)數(shù)的問題.甲棉田平均畝產(chǎn)籽棉203斤比甲乙棉田平均畝產(chǎn)多18斤，5畝共多出90斤.乙棉田平均畝產(chǎn)比甲乙棉田平均畝產(chǎn)少15斤，乙少的部分用甲多的部分補(bǔ)足，也就是看90斤里面包含幾個(gè)15斤，從而求出的是乙棉田的畝數(shù)，即“權(quán)數(shù)”。

解：①甲棉田5畝比甲乙平均畝產(chǎn)多多少斤？

（203-185）×5=90（斤）

②乙棉田有幾畝？

90÷（185-170）=6（畝）

答：乙棉田有6畝。【鞏固練習(xí)】

1、三年級(jí)二班共有42名同學(xué)，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的總數(shù)為

132×42＝5544(厘米)，女生身高總數(shù)為

136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高總數(shù)為

5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高為

3096÷24＝129(厘米)。

綜合列式：

(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。

答：男生平均身高為129厘米。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.三、連續(xù)數(shù)平均問題

我們學(xué)過的連續(xù)數(shù)有“連續(xù)自然數(shù)”、“連續(xù)奇數(shù)”、“連續(xù)偶數(shù)”.已知幾個(gè)連續(xù)數(shù)的和求出這幾個(gè)數(shù)，也叫平均問題。

例5 已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是144，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

分析 已知偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是144.連續(xù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它的特點(diǎn)是首項(xiàng)與末項(xiàng)之和等于第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)之和，等于第三項(xiàng)與倒數(shù)第三項(xiàng)之和??即每?jī)蓚€(gè)數(shù)分為一組，八個(gè)數(shù)分成4組，每一組兩個(gè)數(shù)的和是144÷4＝36.這樣可以確定出中間的兩個(gè)數(shù)，再依次求出其他各數(shù)。

解：①每組數(shù)之和：144÷4=36

②中間兩個(gè)數(shù)中較大的一個(gè)：（36＋2）÷2＝19

③中間兩個(gè)數(shù)中較小的一個(gè)：19-2=17

∴這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)為11、13、15、17、19、21、23和25。

答：這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為：11、13、15、17、19、21、23和25。【鞏固練習(xí)】

1、已知八個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是2016，求這八個(gè)連續(xù)奇數(shù)。

四、調(diào)和平均數(shù)

例6 一個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行爬山訓(xùn)練.從A地出發(fā)，上山路長(zhǎng)11千米，每小時(shí)行4.4千米.爬到山頂后，沿原路下山，下山每小時(shí)行5.5千米.求這位運(yùn)動(dòng)員上山、下山的平均速度。

分析 這道題目是行程問題中關(guān)于求上、下山平均速度的問題.解題時(shí)應(yīng)區(qū)分平均速度和速度的平均數(shù)這兩個(gè)不同的概念.速度的平均數(shù)=（上山速度+下山速度）÷2，而平均速度=上、下山的總路程÷上、下山所用的時(shí)間和。

解：①上山時(shí)間： 11÷4.4=2.5（小時(shí)）

②下山時(shí)間：11÷5.5=2（小時(shí)）

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、小胖爬山，上山的平均速度是每小時(shí)2千米，到達(dá)山頂后立即下山，下山的平均速度是每小時(shí)6千米，求小胖上、下山的平均速度．

2、一條山路全長(zhǎng)15千米，一名運(yùn)動(dòng)員以每小時(shí)3千米的速度上山，再以每小時(shí)5千米的速度下山，求這名運(yùn)動(dòng)員往返一趟的平均速度？

五、基準(zhǔn)數(shù)平均數(shù)

例7 中關(guān)村三小有15名同學(xué)參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)分別為93、94、85、92、86、88、94、91、88、89、92、86、93、90、89，求每個(gè)人平均每分鐘跳繩多少個(gè)？

分析 從他們每人跳繩的個(gè)數(shù)可以看出，每人跳繩的個(gè)數(shù)很接近，所以可以選擇其中一個(gè)數(shù)90做為基準(zhǔn)數(shù)，再找出每個(gè)加數(shù)與這個(gè)基準(zhǔn)數(shù)的差.大于基準(zhǔn)數(shù)的差作為加數(shù)，如93＝90+3，3作為加數(shù)；小于基準(zhǔn)數(shù)的差作為減數(shù)，如 87=90-3，3作為減數(shù).把這些差累計(jì)起來，用和數(shù)的項(xiàng)數(shù)乘以基準(zhǔn)數(shù)，加上累計(jì)差，再除以和數(shù)的個(gè)數(shù)就可以算出結(jié)果。

解：①跳繩總個(gè)數(shù)。

93+94+85+92+86+88+94+91+88+89+92+86+93+90+89

=90×15+（3+4+2+4+1+2+3）-（5+4+2+2+1+4+1）

=1350+19-19

=1350（個(gè)）

②每人平均每分鐘跳多少個(gè)？

1350÷15=90（個(gè)）

答：每人平均每分鐘跳90個(gè).Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.【鞏固練習(xí)】

1、同學(xué)們參加跳繩比賽，跳繩情況如下表：

序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 男生 84 78 69 80 92 91 87 女生 92 94 90 89 87 92 93

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

男生平均每人跳多少個(gè)？女生呢？

解：男生：（84+78+69+80+92+91+87）÷7，=581÷7，=83（個(gè)）；

女生：（92+94+90+89+87+92+93）÷7，=637÷7，=91（個(gè)）．

答：男生平均每人跳83個(gè)，女生平均每人跳91個(gè)．

習(xí)題

1.某次數(shù)學(xué)考試，甲乙的成績(jī)和是184分，乙丙的成績(jī)和是187分，丙丁的成績(jī)和是188分，甲比丁多1分，問甲、乙、丙、丁各多少分？

2.求1962、1973、1981、1994、2005的平均數(shù)。

3.縫紉機(jī)廠第一季度平均每月生產(chǎn)縫紉機(jī)750臺(tái)，第二季度生產(chǎn)的是第一季度生產(chǎn)的2倍多66臺(tái)，下半年平均月生產(chǎn)1200臺(tái)，求這個(gè)廠一年的平均月產(chǎn)量。

4.甲種糖每千克8.8元，乙種糖每千克7.2元，用甲種糖5千克和多少乙種糖混合，才能使每千克糖的價(jià)錢為8.2元？

5.7個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是1988，求這7個(gè)連續(xù)偶數(shù)。

6.6個(gè)學(xué)生的年齡正好是連續(xù)自然數(shù)，他們的年齡和與小明爸爸的年齡相同，7個(gè)人年齡一共是126歲，求這6個(gè)學(xué)生各幾歲？

7.食堂買來5只羊，每次取出兩只合稱一次重量，得到十種不同的重量（千克）：47、50、51、52、53、54、55、57、58、59.問這五只羊各重多少千克？

習(xí)題解答

1.∵甲+乙=184（1）

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.乙+丙=187（2）

丙+丁=188（3）

（2）-（1）丙-甲=3（4）

（3）-（4）丁+甲=185

∴甲=（185+1）÷2=93（分）

丁=93-1=92（分）

乙=184-93=91（分）

丙=187-91=96（分）

答：甲、乙、丙、丁的成績(jī)分別為93分、91分、96分、和92分。

2.1962+1973＋1981+1994+2005

=1981×5+（13+24）-（8＋19）

=9915。

9915÷5＝1983。

3.①上半年總產(chǎn)量：

750×3+750×3×2＋66=6816（臺(tái)）

②下半年總產(chǎn)量：1200×6=7200（臺(tái)）

③平均月產(chǎn)量：（6816＋7200）÷12=1168（臺(tái)）

答：平均月產(chǎn)量是1168臺(tái)。

4.（8.8-8.2）×5÷（8.2-7.2）=3（千克）

答：與乙種糖3千克混合。

5.分析 已知奇數(shù)個(gè)偶數(shù)的和，可以用和除以個(gè)數(shù)求出中間數(shù)，再求出其他各偶數(shù)。

中間數(shù)：1988÷7=284

其他六個(gè)數(shù)分別為278、280、282、284、286、288、290。

答：這7個(gè)偶數(shù)分別為：278、280、282、284、286、288、290。

6.分析 6個(gè)孩子年齡和與小明爸爸年齡相同，說明小明爸爸年齡是126歲的一半，是63歲.其他6個(gè)學(xué)生的年齡和也是63歲.63÷3＝21（歲），21=10＋11為中間兩個(gè)數(shù)，所以其他四人

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.年齡依次為8、9、12、13歲。

答：這六個(gè)學(xué)生的年齡分別為：8、9、10、11、12、13歲。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

7.解：設(shè)5只羊的重量從輕到重依次為A1、A2、A3、A4、A5.A1+A2=47，A1+A3=50??A3+A5=58，A4+A5=59.10次稱重5只羊各稱過4次，所以它們的重量和應(yīng)是：

A1＋A2＋A3＋A4＋A5

=（47+50+51＋52＋53+54+55+57+58+59）÷4=13A3=134-（A1+A2）-（A4+A5）=28

A1＝50-28＝22 A2＝47-22＝25

A5＝58-28=30 A4=59-30=29

答：這5只羊的重量分別為22千克、25千克、28千克、29千克、30千克.和倍應(yīng)用題

小學(xué)數(shù)學(xué)中有各種各樣的應(yīng)用題。根據(jù)它們的結(jié)構(gòu)形式和數(shù)量關(guān)系，形成了一些用特定方法解答的典型應(yīng)用題。比如，和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題、和差應(yīng)用題等等。

和倍應(yīng)用題的基本“數(shù)學(xué)格式”是：

已知大、小二數(shù)的“和”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。

上面的問題中有“和”，有“倍數(shù)”，所以叫做和倍應(yīng)用題。為了清楚地表示和倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖如下：

從線段圖知，“和”是小數(shù)的(倍數(shù)+1)倍，所以，小數(shù)=和÷(倍數(shù)+1)。

上式稱為和倍公式。由此得到

大數(shù)=和-小數(shù)，或 大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。

例如，大、小二數(shù)的和是265，大數(shù)是小數(shù)的4倍，則

小數(shù)=265÷(4＋1)=53，大數(shù)=265-53=212或53×4=212。

【典型例題】

例1 甲、乙兩倉庫共存糧264噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的10倍。甲、乙兩倉庫各存糧多少噸？

分析：把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”，此例則是典型的和倍應(yīng)用題。根據(jù)和倍公式即可求解。解：乙倉庫存糧 264÷(10＋1)＝24(噸)，甲倉庫存糧

264-24=240(噸)，或

24×10＝240(噸)。

答：乙倉庫存糧24噸，甲倉庫存糧240噸。

【鞏固練習(xí)】

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.1、甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？

可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。

驗(yàn)算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2 甲、乙兩輛汽車在相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，2時(shí)后兩車相遇。已知甲車的速度是乙車速度的2倍。甲、乙兩輛汽車每小時(shí)各行多少千米？

分析：已知甲車速度是乙車速度的2倍，所以“1倍”數(shù)是乙車的速度。現(xiàn)只需知道甲、乙汽車的速度和，就可用“和倍公式”了。由題意知兩輛車 2時(shí)共行 360千米，故1時(shí)共行 360÷2＝180(千米)，這就是兩輛車的速度和。解：乙車的速度為

(360÷2)÷(2＋1)= 60(千米/時(shí))，甲車的速度為

60×2=20(千米/時(shí))，或180-60=120(千米/時(shí))。

答：甲車每時(shí)行120千米，乙車每時(shí)行60千米。

從上面兩道例題看出，用“和倍公式”的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)(即小數(shù))是誰，“和”是誰。例

1、例2的“1倍”數(shù)與“和”極為明顯，其中例2中雖未直接給出“和”，但也很容易求出。下面我們講幾個(gè)“1倍”數(shù)不太明顯的例子。

例3 甲隊(duì)有45人，乙隊(duì)有75人。甲隊(duì)要調(diào)入乙隊(duì)多少人，乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍？

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.分析：容易求得“二數(shù)之和”為 45＋75=120(人)。如果從“乙隊(duì)人數(shù)才是甲隊(duì)人數(shù)的3倍”推出“1倍”數(shù)(即小數(shù))是“甲隊(duì)人數(shù)”那就錯(cuò)了，從75不是45的3倍也知是錯(cuò)的。這個(gè)“1倍”數(shù)是誰？根據(jù)題意，應(yīng)是調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)的剩余人數(shù)。倍數(shù)關(guān)系也是調(diào)動(dòng)后的人數(shù)關(guān)系，即“調(diào)入人后的乙隊(duì)人數(shù)”是“調(diào)走人后甲隊(duì)剩余的人數(shù)”的3倍。由此畫出線段圖如下：

從圖中看出，把甲隊(duì)中“？”人調(diào)入乙隊(duì)后，(45＋75)就是甲隊(duì)剩下人數(shù)的 3＋1＝4(倍)。從而，甲隊(duì)調(diào)走人后剩下的人數(shù)就是“1倍”數(shù)。由和倍公式可以求解。解：甲隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)為

(45＋75)÷(3＋1)＝ 30(人)，故甲隊(duì)調(diào)入乙隊(duì)的人數(shù)為45-30＝15(人)。

答：甲隊(duì)要調(diào)15人到乙隊(duì)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？

分析 解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。

解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：

30＋120=150（本）

②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：

2＋1＝3（倍）

③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150÷3=50（本）

④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）

綜合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。

驗(yàn)算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150（本）。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例4 妹妹有書24本，哥哥有書53本。要使哥哥的書是妹妹的書的6倍，妹妹應(yīng)給哥哥多少本書？

仿照例3的分析可得如下解法。

解：兄妹圖書總數(shù)是妹妹給哥哥一些書后剩下圖書的(6＋1)倍，根據(jù)和倍公式，妹妹剩下

(53＋24)÷(6＋1)＝11(本)。故妹妹給哥哥書24-11＝13(本)。

答：妹妹給哥哥書13本。

例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160個(gè)。后來大白兔把它的蘑菇給了其它白兔20個(gè)，而小灰兔自己又采了10個(gè)。這時(shí)，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。問：原來大白兔和小灰兔各采了多少個(gè)蘑菇？

分析與解：這道題仍是和倍應(yīng)用題，因?yàn)橛小昂汀薄⒂小氨稊?shù)”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數(shù)卻是“小灰兔又自己采了10個(gè)后的蘑菇數(shù)”。線段圖如下：

根據(jù)和倍公式，小灰兔現(xiàn)有蘑菇(即“1倍”數(shù))

(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(個(gè))，故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個(gè))，大白兔原有蘑菇

160-15＝145(個(gè))。

答：原來大白兔采蘑菇145個(gè)，小灰兔采15個(gè)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

例6 光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？

分析 把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。

解：①女生人數(shù)：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人數(shù)：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

驗(yàn)算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例7果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？

分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

解：①梨樹的棵數(shù)：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃樹的棵數(shù)：140×2＋12=292（棵）

③蘋果樹的棵數(shù)： 140-20=120（棵）

答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。

例8 549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2，乙數(shù)減少2，丙數(shù)乘以2，丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？

分析 上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。

解：①丙數(shù)是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）

=549÷9

=61

②甲數(shù)是：61×2-2=120

③乙數(shù)是：61×2＋2=124

④丁數(shù)是：61×4=24驗(yàn)算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.61×2＝122 244÷2＝122

答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.練習(xí)1

1.小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？

2.一肉店賣出豬肉和牛肉共560千克，賣出的豬肉是賣出的牛肉的4倍。豬、牛肉各賣了多少千克？

3.甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時(shí)甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油各多少千克？

4.甲、乙兩人共生產(chǎn)零件100個(gè)，其中甲有2個(gè)零件、乙有5個(gè)零件不合格。已知乙生產(chǎn)的合格零件是甲生產(chǎn)的合格零件的2倍。甲、乙各生產(chǎn)了多少個(gè)零件？

5.團(tuán)結(jié)村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數(shù)比旱田的公頃數(shù)多2倍？

6.紅星小學(xué)圖書館內(nèi)，科技書是故事書的3倍，連環(huán)畫書又是科技書的2倍。已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？ 答案與提示 練習(xí)

1.16歲，48歲。

2.448千克，112千克。

3.甲桶48千克，乙桶36千克。解：乙桶原有84÷(3＋1)＋15=36(千克)，甲桶原有84-36=48(千克)。

4.甲33個(gè)，乙67個(gè)。

解：甲=(100-2-5)÷(2＋1)＋2=33(個(gè))，乙=100-33=67(個(gè))。

5.55公頃。

解：170-(290＋170)÷(2＋1＋1)=55(公頃)。

6.故事書160本，科技書480本，連環(huán)畫960本。

解：以故事書為“1倍”數(shù)，則科技書為它的3倍，連環(huán)畫書為它的3×2=6(倍)。由和倍公式，得

故事書有1600÷(1＋3＋6)＝160(本)，科技書有160×3=480(本)，連環(huán)畫有160×6＝960(本)。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

習(xí)題2

1.小明和小強(qiáng)共有圖書120本，小強(qiáng)的圖書本數(shù)是小明的2倍，他們兩人各有圖書多少本？

2.果園里一共種340棵桃樹和杏樹，其中桃樹的棵數(shù)比杏樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？

3.一個(gè)長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)是30厘米，長(zhǎng)是寬的2倍，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分種23立方米的速度流入乙水池，那么多少分種后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

5.甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？

6.有3條繩子，共長(zhǎng)95米，第一條比第二條長(zhǎng)7米，第二條比第三條長(zhǎng)8米，問3條繩子各長(zhǎng)

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.多少米？習(xí)題2解答

1.①小明的本數(shù)：120÷（2＋1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40×2=80（本）。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

2.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）÷（3＋1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80×3＋20=260（棵）。

3.①長(zhǎng)方形的寬：（30÷2）÷（2＋1）=5（厘米）.②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)： 5×2=10（厘米）。

③長(zhǎng)方形的面積：10×5=50（平方厘米）。

4.①甲、乙兩水池共有水：

2600＋1200=3800（立方米）

②甲水池剩下的水：

3800÷（4+1）=760（立方米）

③甲水池流入乙水池中的水：

2600-760=1840（立方米）

④經(jīng)過的時(shí)間（分鐘）：1840÷23＝80（分鐘）。

5.①甲、乙兩桶油總重量：

470+190=660（千克）：

②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時(shí)，乙桶油是：

660÷（2+1）=220（千克）：

③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。

6.①變化后的繩子總長(zhǎng) 95-7＋8=96（米）.②第二條繩長(zhǎng)： 96÷（1＋1+1）=32（米）。

③第一條繩長(zhǎng)：32＋7=39（米）。④第三條繩長(zhǎng)：32-8=24（米）.與和倍應(yīng)用題相似的是差倍應(yīng)用題。它的“基本數(shù)學(xué)格式”是：

已知大、小二數(shù)之“差”，又知大數(shù)是小數(shù)的幾倍，求大、小二數(shù)各是多少。

上面的問題中，有“差”、有“倍數(shù)”，所以叫做差倍應(yīng)用題。差倍問題中大、小二數(shù)的數(shù)量關(guān)系可以用下面的線段圖表示：

從線段圖知，“差”是小數(shù)(即“1倍”數(shù))的(倍數(shù)-1)倍，所以，Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.小數(shù)=差÷(倍數(shù)-1)。

上式稱為差倍公式。由此得到

大數(shù)=小數(shù)+差，或

大數(shù)=小數(shù)×倍數(shù)。

例如，大、小數(shù)之差是152，大數(shù)是小數(shù)的5倍，則

小數(shù)=152÷(5-1)=38，大數(shù)=38＋152=190或38×5＝190。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【典型例題】

例1 王師傅一天生產(chǎn)的零件比他的徒弟一天生產(chǎn)的零件多128個(gè)，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產(chǎn)多少個(gè)零件？

分析：師徒二人一天生產(chǎn)的零件的“差”是128個(gè)。小數(shù)(即“1倍”數(shù))是徒弟一天生產(chǎn)的零件數(shù)，“倍數(shù)”為3。由差倍公式可以求解。

解：徒弟一天生產(chǎn)零件

128÷(3-1)=64(個(gè))，師傅一天生產(chǎn)零件

128＋64＝192(個(gè))或64×3＝192(個(gè))。

答：徒弟、師傅一天分別生產(chǎn)零件64個(gè)和192個(gè)。

【鞏固練習(xí)】

1、甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？

分析 上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍.又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。

解：①乙班的本數(shù)： 80÷（3-1）=40（本）

②甲班的本數(shù)： 40×3=120（本）

或40＋80=120（本）。

驗(yàn)算：120-40＝80（本）

120÷40=3（倍）

答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例2 兩根電線的長(zhǎng)相差30米，長(zhǎng)的那根的長(zhǎng)是短的那根的長(zhǎng)的4倍。這兩根電線各長(zhǎng)多少米？ 解：“差”＝30，倍數(shù)=4，由差倍公式得短的電線長(zhǎng)

30÷(4-1)＝10(米)，長(zhǎng)的電線長(zhǎng)

10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的電線長(zhǎng)10米，長(zhǎng)的電線長(zhǎng)40米。

解差倍應(yīng)用題的關(guān)鍵是確定“1倍”數(shù)是誰，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數(shù)及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個(gè)稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數(shù)的例子。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來各長(zhǎng)多少米？

分析 上圖，兩根繩子原來的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來了。

解：①第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：

（12+14）÷（3-1）＝13（米）

②兩根繩子原來的長(zhǎng)度：13＋12＝25（米）

答：兩根繩子原來各長(zhǎng)25米。

自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長(zhǎng).小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。

解題規(guī)律：

差÷倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）

1倍數(shù)×幾倍=幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）

或：較小的數(shù)+差=較大的數(shù)。

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.例3 甲、乙二工程隊(duì)，甲隊(duì)有56人，乙隊(duì)有34人。兩隊(duì)調(diào)走同樣多人后，甲隊(duì)人數(shù)是乙隊(duì)人數(shù)的3倍。問：調(diào)動(dòng)后兩隊(duì)各還有多少人？

分析：畫線段圖如下：

由上圖可知，“1倍”數(shù)是乙隊(duì)調(diào)動(dòng)后剩下的人數(shù)。因甲、乙隊(duì)調(diào)走的人數(shù)相同(不影響他們二隊(duì)人數(shù)之差)，所以，甲、乙兩隊(duì)人數(shù)之差仍是56-34=22(人)。解：由差倍公式得調(diào)動(dòng)后乙隊(duì)有

(56-34)÷(3-1)=11(人)。

調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有

11×3=33(人)或11＋(56-34)=33(人)。

答：調(diào)動(dòng)后甲隊(duì)有33人，乙隊(duì)有11人。

學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

【鞏固練習(xí)】

1、菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？

分析 這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運(yùn)來的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來的白菜是多少千克。

解：①運(yùn)來蘿卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）

②運(yùn)來白菜： 750×3=2250（千克）

驗(yàn)算：

2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）

750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）

答：菜站運(yùn)來白菜2250千克，蘿卜750千克。

例4 甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時(shí)，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？

分析與解：畫線段圖如下：

Beijing XueDa Century Education Technology Ltd.從上圖知，當(dāng)甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數(shù)是甲桶里剩下的學(xué)大教育個(gè)性化教學(xué)教案

油。“差”是什么呢？從圖中可知，“1倍”與“3倍”之間的差26＋14＝40(千克)就是我們要找的“差”。所以，由差倍公式知，“1倍”數(shù)=(26＋14)÷(3-1)＝20(千克)。

故甲、乙桶原來各有油

20＋26＝46(千克)，或 20×3-14＝46(千克)。

答：原來各有46千克。

【鞏固練習(xí)】

1、兩塊同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？

分析 已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見上圖）。

解：①第二塊布比第一塊布多剩多少米？

31-19＝12（米）

②第一塊布剩下多少米？

12÷（4-1）=4（米）

③第一塊布原有多少米？

4+31=35（米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）

綜合列式：

（31-19）÷（4-1）+31

=12÷3+31

=4＋31

=35（米）

驗(yàn)算：35-31=4（米）

第二篇：三年級(jí)奧數(shù)

發(fā)到

三年級(jí)奧數(shù)--年齡問題

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握用線段圖法來分析題中的年齡關(guān)系.2.利用已經(jīng)學(xué)習(xí)的和差、和倍、差倍的方法求解年齡問題．

知識(shí)點(diǎn)說明：

一、年齡問題變化關(guān)系的三個(gè)基本規(guī)律：

1.兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量.2.每個(gè)人的年齡隨著時(shí)間的增加都增加相等的量； 3.兩個(gè)人之間的年齡差不變

二、年齡問題的解題要點(diǎn)是：

1．入手：分析題意從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手理解數(shù)量關(guān)系． 2．關(guān)鍵：抓住“年齡差”不變．

3．解法：應(yīng)用“差倍”、“和倍”或“和差”問題數(shù)量關(guān)系式． 4．陷阱：求過去、現(xiàn)在、將來。

年齡問題變化關(guān)系的三個(gè)基本規(guī)律： 1．兩人年齡的差是不變的量； 2．兩人年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的量；

年齡問題的解題正確率保證：驗(yàn)算！

例題精講

【例 1】 小卉今年6歲，媽媽今年36歲，再過6年，小卉讀初中時(shí)，媽媽比小卉大多少歲？ 【解析】 這道題有兩種解答方法：

方法一：解答這道題，一般同學(xué)會(huì)想到，小卉今年6歲，再過6年6?6?12（歲）；媽媽今年36歲，再過6年是（36?6）歲，也就是42歲，那時(shí)，媽媽比小卉大42?12?30（歲）．

列式：（36?6）?（6?6）?42?1

2?30（歲）

方法二：聰明的同學(xué)會(huì)想，雖然小卉和媽媽的歲數(shù)都在不斷變大，但她們兩人相差的歲數(shù)永遠(yuǎn)不變．今年媽媽比小卉大（36?6）歲，不管過多少年，媽媽比小卉都大這么多歲．通過比較第二種方法更簡(jiǎn)便．

列式：36?6?30（歲）

答：再過6年，小卉讀初中時(shí)，媽媽比小卉大30歲．

【鞏固】 小英比小明小3歲，今年他們的年齡和是老師年齡的一半，再過15年，他們的年齡和就等于老師的年齡，今年小英的年齡是多少歲？

【解析】 經(jīng)過15年，小英和小明的年齡和比老師多增加15歲，所以老師今年年齡的一半是15歲，即小英和小明今年的年齡和是15歲，小英今年的年齡是（15-3）÷2=6（歲）.【鞏固】 爸爸媽媽現(xiàn)在的年齡和是72歲；五年后，爸爸比媽媽大6歲．今年爸爸媽媽二人各多少歲？

【解析】 五年后，爸爸比媽媽大6歲，即爸媽的年齡差是6歲．它是一個(gè)不變量．所以爸爸、媽媽現(xiàn)在的年齡差仍然是6歲．這樣原問題就歸結(jié)成“已知爸爸、媽媽的年齡和是72歲，他們的年齡差是6歲，求二人各是幾歲”發(fā)到 的和差問題．

爸爸的年齡：（72?6）?2?39(歲)媽媽的年齡：39?6?33(歲)【鞏固】 今年小寧9歲，媽媽33歲，那么再過多少年小寧的歲數(shù)是媽媽歲數(shù)的一半？

【解析】 今年小寧比媽媽小33?9?24（歲），那么小寧永遠(yuǎn)比媽媽小24歲．幾年后小寧是媽媽歲數(shù)的一半時(shí)，即媽媽年齡是小寧的2倍時(shí)，媽媽仍比小寧大24歲．這是個(gè)差倍問題．以小寧的年齡作為1倍量，媽媽年齡是2倍量，所以媽媽比小寧大的歲數(shù)也是1倍量，即1倍量代表著24歲．所以小寧24歲時(shí)是媽媽年齡的一半，因此再過24?9?15（年）．

【鞏固】 6年前，母親的年齡是兒子的5倍，6年后母子年齡和是78歲．問：母親今年多少歲? 【解析】 6年后母子年齡和是78歲，可以求出母子今年年齡和是78－6×2＝66(歲)．6年前母子年齡和是66－6×2＝54(歲)．又根據(jù)6年前母子年齡和與母親年齡是兒子的5倍，可以求出6年前母親年齡，再求出母親今年的年齡．

母子今年年齡和： 78－6×2＝66(歲)，母子6年前年齡和： 66－6×2＝54(歲)，母親6年前的年齡： 54÷(5＋1)×5＝45(歲)，母親今年的年齡： 45＋6＝51(歲)．

【鞏固】 學(xué)而思學(xué)校張老師和劉備、張飛、關(guān)羽三個(gè)學(xué)生，現(xiàn)在張老師的年齡剛好是這三個(gè)學(xué)生的年齡和；9年后，張老師年齡為劉備、張飛兩個(gè)學(xué)生的年齡和；又3年后，張老師年齡為劉備、關(guān)羽兩個(gè)學(xué)生的年齡和；再3年后，張老師年齡為張飛、關(guān)羽兩個(gè)學(xué)生的年齡和．求現(xiàn)在各人的年齡．

【解析】 張老師?劉備?張飛?關(guān)羽，張老師?9?劉備?9?張飛?9，比較一下這兩個(gè)條件，很快得到關(guān)羽的年齡是9歲；同理可以得到張飛是9?3?12（歲），劉備是9?3?3?15（歲），張老師是9?12?15?36（歲）．

【鞏固】 父親與兩個(gè)兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個(gè)兒子的年齡和，父親現(xiàn)在多少歲？ 【解析】 三人現(xiàn)在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時(shí)父親120?2?60（歲），父親現(xiàn)在60?12?48（歲）．

【例 2】 小明與爸爸的年齡和是53歲，小明年齡的4倍比爸爸的年齡多2歲，小明與爸爸的年齡相差幾歲？ 【解析】 把小明的年齡看成是一份，那么爸爸的年齡是四份少2，根據(jù)和倍關(guān)系：

小明的年齡是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（歲），爸爸的年齡是：53－11＝42（歲），小明與爸爸的年齡差是：42－11＝31（歲）．

【鞏固】 一家三口人，三人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍，三人各是多少歲？ 【解析】 媽媽的年齡是孩子的4倍，爸爸和媽媽同歲，那么爸爸的年齡也是孩子的4倍，把孩子的年齡作為1倍數(shù)，已知三口人年齡和是72歲，那么孩子的年齡為：72÷（1+4+4）=8（歲），媽媽的年齡是：8×4=32（歲），爸爸和媽媽同歲為32歲.【例 3】 姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當(dāng)姐弟倆歲數(shù)和是40歲時(shí)，兩人各應(yīng)該多少歲？

【分析】 用線段圖顯示數(shù)量關(guān)系，可以看出這道題實(shí)際上就是前面總結(jié)過的和差問題.姐弟倆的年齡差總是13?9?4（歲），不管經(jīng)過多少年，姐弟年齡的差仍是4歲，由圖可見，如果從40歲中減去姐弟年齡的差，再除以2就得到所求的弟弟的年齡，也就可以求出姐姐的年齡了.發(fā)到

弟弟的年齡：(40?4)?2?18（歲），姐姐的年齡：18?4?22（歲）．

【例 4】 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，東東3年后的年齡等于西西l年前的年齡，求東東、西西今年的年齡各是多少？

【分析】 東東3年后的年齡等于西西1年前的年齡，說明東東比西西小4歲； 東東3年前的年齡與西西4年后的年齡之和是25歲，所以今年東東和西西的年齡和是25?3?4?24(歲)，今年東東的年齡：(24?4)?2?10(歲)，今年西西的年齡：24?10?14(歲)．

【鞏固】 哥哥5年后的年齡與弟弟3年前的年齡和是29歲，弟弟現(xiàn)在的年齡是兩人年齡差的4倍．哥哥今年多少歲？

【解析】 兄弟二人現(xiàn)在的年齡和是27歲，兩人的年齡差是27?，哥哥現(xiàn)在3?5?15（歲）．（4?5）?3（歲）

【鞏固】 今年彬彬的年齡是表弟年齡的4倍，20年后，彬彬的年齡比表弟的年齡的2倍少l2歲，今年彬彬、表弟各多少歲？

【解析】 表弟今年年齡的4?1?2?2(倍)對(duì)應(yīng)的是：20?2?20?12?8(年)，由此可以求出表弟今年的年齡，使問題得解．8?2?4(歲)，4?4?16(歲)．所以表弟今年4歲，彬彬今年16歲．

【例 5】 父子年齡之和是45歲，再過5年，父親的年齡正好是兒子的4倍，父子今年各多少歲？

【解析】 再過5年，父子倆一共長(zhǎng)了10歲，那時(shí)他們的年齡之和是45?10=55(歲)，由于父親的年齡是兒子的4倍，因而55歲相當(dāng)于兒子年齡的4?1=5倍，可以先求出兒子5年后的年齡，再求出他們父子今年的年齡．

5年后的年齡和為：45?5?2?55(歲)5年后兒子的年齡：55?（4?1）?11(歲)兒子今年的年齡：11?5?6(歲)，父親今年的年齡：45?6?39(歲)【鞏固】 父子年齡之和是60歲，8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，問父子今年各多少歲？

【解析】 由已知條件可以得出，8年前父子年齡之和是60?8?2?44(歲)，又知道8年前父親的年齡正好是兒子的3倍，由此可得：

兒子：（60?8?2）?（3?1）?8?19(歲)父親：60?19?41(歲)【鞏固】 父親與兩個(gè)兒子的年齡和為84歲，12年后父親的年齡正好等于兩個(gè)兒子的年齡和，父親現(xiàn)在多少歲？ 【解析】 三人現(xiàn)在的年齡和是84歲，12年后的年齡和是84?12?3?120（歲），那時(shí)父親120?2?60（歲），父親現(xiàn)在60?12?48（歲）．

【鞏固】 王老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是20歲，李老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是

18歲．王老師今年32歲，李老師今年多少歲? 【解析】 王老師比李老師大20?3?18?3?6(歲)．故李老師今年的年齡為32?6?26(歲)．

第三篇：三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題差倍問題

三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題(5)差倍問題

（1）金魚缸里紅金魚的條數(shù)是黑金魚的3倍。紅金魚比黑金魚多12條。兩種金于各有多少條？

（2）.媽媽年齡比小剛大24歲,今年媽媽的年齡正好是小剛年齡的3倍,今年媽媽和,小剛各多少歲?

（3）科技小組的人數(shù)比體育興趣小組人數(shù)少60人，體育興趣小組人數(shù)是科技小組的人數(shù)的3倍，這兩個(gè)小組各有多少人？

（4）某校有排球的個(gè)數(shù)比足球多50個(gè),如果再買40個(gè)排球,排球的個(gè)數(shù)就是足球的3倍,足球、排球各有多少個(gè)?

（5）一車間原有男工人數(shù)比女工多55人,如果調(diào)走男工5人,那么男工人數(shù)正好是女工的3倍,原有男工多少人?

（6）學(xué)農(nóng)基地種的花生是白薯的16倍,現(xiàn)在已經(jīng)知道種的花生比白薯多105棵,種花生和白薯各多少棵？

（7）在一道減法算式里，差是18，被減數(shù)是減數(shù)的7倍，請(qǐng)寫出這道減法算式。

（8）大小兩個(gè)水桶里的水相差24千克，現(xiàn)在把小桶里的水倒入大桶15千克，這樣大桶里的水正好是小桶里水的4倍，現(xiàn)在大小桶里的水各有多少千克？

（9）甲書架上的書是乙書架的3倍，如果從甲書架取出620本，從乙書架上取出120本，兩個(gè)書架上書的本數(shù)正好相等，原來兩個(gè)書架各有多少本？

（10）甲廠人數(shù)比乙場(chǎng)人數(shù)少540人，如果從兩廠各調(diào)走200人，乙廠人數(shù)恰好是甲廠人數(shù)的4倍，那么甲廠原來有多少人？

第四篇：三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題(20)綜合1

三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題（20）綜合練習(xí)題姓名

（1）某年的9月有5個(gè)星期日，這一年的9月1日不是星期日，它是星期幾？

（2）如果每人的步行速度相同，3個(gè)人一起從甲地走到乙地，要2小時(shí)，那么，6個(gè)人一起從甲地走到乙地要幾小時(shí)？

（3）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，結(jié)果兩隊(duì)總分之和是100分，現(xiàn)在知道甲隊(duì)加上7分，就比乙隊(duì)多1分，那么甲隊(duì)、乙隊(duì)原來各多少分？

（4）小紅家養(yǎng)了一些雞，黃雞比黑雞多13只，比白雞少18只。白雞的只數(shù)是黃雞的2倍。白雞、黃雞、黑雞一共有多少只？

（5）三年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)的同學(xué)中，男同學(xué)獲獎(jiǎng)的人數(shù)比女同學(xué)多2人，女同學(xué)比男同學(xué)獲獎(jiǎng)人數(shù)的一半多2人。男、女同學(xué)各有幾人獲獎(jiǎng)？

（6）慶祝“六一”兒童節(jié)，5個(gè)女同學(xué)做紙花，平均每人做5朵，已知每個(gè)同學(xué)做的數(shù)量各不相同，其中有一個(gè)人做得最快，她最多做多少朵？

（7）運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上有一條長(zhǎng)100米的跑道，兩端已插了二面彩旗，體育老師要求在這條跑道上每隔5米再插一面彩旗，還需要彩旗多少面？

（8）同學(xué)們進(jìn)行廣播操比賽，全班正好排成相等的6行。小紅排在第二行，從頭數(shù)，她站在第4個(gè)位置，從后數(shù)她也站在第4個(gè)位置，這個(gè)班共有多少人？

（9）一根木頭長(zhǎng)36分米，要鋸成4分米長(zhǎng)的木棍，每鋸一次要3分鐘，全部鋸?fù)曜钌傩枰嗌俜昼姡?/p>

（10）一條毛毛蟲長(zhǎng)到成蟲，每天長(zhǎng)一倍，10天能長(zhǎng)到10毫米，長(zhǎng)到20毫米時(shí)要多少天？

（11）7年前，媽媽的年齡是兒子的6倍，兒子今年12歲，媽媽今年多少歲？

第五篇：三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題(17)還原問題

三年級(jí)暑假奧數(shù)練習(xí)題（17）還原問題

姓名

（1）某數(shù)減4，乘以4，加上4，除以4，結(jié)果仍為4，求這個(gè)數(shù)．

（2）一個(gè)數(shù)加上9，乘以9，減去9，除以9，結(jié)果還是9。這個(gè)數(shù)是多少？

（3）小明問哥哥今年多大，哥哥回答說：用我的年齡加上3，減去4，除以5，再乘以6是24，就是我今年的年齡。小明的哥哥今年的年齡是多少歲？

（4）小強(qiáng)看一本卡通書，第一天看了這本書的一半又5頁，第二天看了余下的一半又10頁，還有8頁沒看，問這本卡通書共有多少頁？

（5）芳芳、寧寧和玲玲三人分鉛筆，芳芳得的比總數(shù)的一半多1支，寧寧得的比剩下的一半多1支，玲玲得6支。問原來共有鉛筆多少支?

（6）猴子摘桃，第一天摘了樹上桃子的一半，第二天又摘上了余下桃子的一半，這時(shí)樹上還有15個(gè)桃子，原來樹上有多少個(gè)桃子？

（7）一條幼蟲長(zhǎng)成成蟲,每天長(zhǎng)大一倍,40天長(zhǎng)到20厘米,問第36天長(zhǎng)多少厘米?

（8）猴子摘桃，第一天摘了樹上桃子的一半多1個(gè)，第二天又摘上了余下桃子的一半少1個(gè)，這時(shí)樹上還有15個(gè)桃子，原來樹上有多少個(gè)桃子？

（9）張、王、李、趙4個(gè)小朋友共有課外讀物200本，為了廣泛閱讀，張給王13本，王給李18本，李給趙16本，趙給張2本。這時(shí)4個(gè)人的本數(shù)相等。他們?cè)瓉砀饔卸嗌俦?

（10）兔媽媽帶著小白兔和小黑兔去拔蘿卜，小白兔把全部的蘿卜平均分成三份，運(yùn)走了其中的一份；小黑兔又把余下的蘿卜平均分成三份，運(yùn)走了其中的一份；兔媽媽運(yùn)走了剩下的16個(gè)蘿卜。小白兔和小黑兔各運(yùn)走多少個(gè)蘿卜？