第一篇：Excel條件格式公式應用四例

Excel條件格式公式應用四例

(2009-05-11 15:50:32)轉(zhuǎn)載 標簽：

excel 條件格式 雜談

－－－－－本文乃轉(zhuǎn)載，純作學習之用。

我們知道，Excel“條件格式”功能可以根據(jù)單元格內(nèi)容有選擇地自動應用格式，它為Excel增色不少的同時，還為我們帶來很多方便。如果讓“條件格式”和公式結合使用，則可以發(fā)揮更大的威力，下面提供幾個在“條件格式”中使用公式的應用實例，希望能給讀者朋友帶來一些啟發(fā)。

一、判別輸入是否正確

在輸入如身份證等有固定位數(shù)的號碼，出現(xiàn)位數(shù)不正確的情形時，我們希望Excel能夠給出提示。雖然可以使用“數(shù)據(jù)有效性”設置實現(xiàn)，但是當輸入出錯時，Excel總會彈出一個提示的對話框，有朋友可能覺得這樣“唐突”的提醒有點影響心情，那就讓“條件格式”來“溫和”的提醒吧。

1、創(chuàng)建“條件格式”的公式

假設我們通過“條件格式”，把符合位數(shù)(15位或18位)的號碼所在單元格的填充色設置為綠色，輸入完成后，通過查看單元格的填充色是否變?yōu)榫G色，就可以知道輸入的正確性了。由于身份證號碼數(shù)據(jù)是屬于“文本”類型的，先選中需要存放身份證號碼的A2:A52單元格區(qū)域，將它們的數(shù)字格式設置為“文本”。然后在A2:A52單元格區(qū)域處于被選中的狀態(tài)下，選擇菜單“格式→條件格式”命令，打開“條件格式”對話框，單擊“條件1”下方的下拉箭頭，在彈出的下拉列表中選擇“公式”接著在其右邊的文本框中輸入公式“=OR(LEN(A2)=15,LEN(A2)=18)”，然后單擊“格式”按鈕，在打開的“單元格格式”對話框中選擇“圖案”選項卡，選擇綠色作為符合條件的單元格的填充色，設置好后單擊“確定”按鈕，返回“條件格式”對話框，檢查無誤再次單擊“確定”就完成了條件格式的設置，小提示：上面的操作，先選中了一個單元格范圍A2:A52，然后為這個單元格范圍設置條件格式的公式。在這種情況下，公式中應使用選擇范圍中左上單元格的引用，此例中為A2。公式輸入完成后，可以查看一下這個范圍中的其它單元格的條件格式公式，如A8單元格，為“=OR(LEN(A8)=15,LEN(A8)=18)”，這是由于上面的引用為相對應用，它會根據(jù)單元格的實際偏移量自動改變，從而得到適合其它單元格的公式。

2、實現(xiàn)的具體效果

現(xiàn)在來測試一下上面設置可以實現(xiàn)的效果，在A2：A52區(qū)域的單元格中輸入一些身份證號碼，當位數(shù)是18位或15位時，所在單元格的填充色自動變?yōu)椤熬G色”，而位數(shù)不對的身份證號碼，所在單元格的填充色不發(fā)生任何改變，從是否變色我們就可以判斷輸入的正確性了，全部輸入并確認正確后，如果需要刪除單元格條件格式，則先選中A2:A52單元格區(qū)域，然后打開“條件格式”對話框，單擊如圖3中的“刪除”按鈕，在打開的“刪除條件格式”對話框中勾選“條件1”復選框，單擊確定即可。

二、找出銷售額的前三名

如圖6中的B2:B12單元格中存放著銷售額數(shù)據(jù)，要找出其中的前三名，讓它們以藍色字體顯示。

先選中B2:B12單元格，打開如圖1所示的對話框，輸入公式“=B2>LARGE($B$2:$B$12,4)”然后將符合條件的字體格式設置為藍色即可。說明：雖然可以對“銷售額”數(shù)據(jù)列排序找出前三名，但是，可能我們希望以日期為順序排列，這時“條件格式”就可以做到“兩全其美”了。

三、讓符合特殊條件的日期突出顯示

有時，我們可能希望符合特殊條件的日期所在的單元格突出顯示，比如星期六或星期天。這時我們可以先選中日期所在的單元格，如圖6中的A2:A12，然后打開如圖1所示的單元格，輸入公式“=OR(WEEKDAY(A2,2)=6,WEEKDAY(A2,2)=7)”，然后設置符合條件的單元格填充色為陰影即可。

小提示：函數(shù)WEEKDAY(serial_number,return_type)的功能為返回某日期為星期幾，Serial_number??表示一個順序的序列號，代表要查找的那一天的日期。當參數(shù)return_type為2時，函數(shù)返回數(shù)字 1（星期一）到數(shù)字 7（星期日）之間的整數(shù)。

四、讓工作表間隔固定行顯示陰影

當單元格數(shù)據(jù)行較多，我們?yōu)榱俗岋@示效果更加醒目，可以讓工作表間隔固定行顯示陰影。

上面的效果是使用了公式“=MOD(ROW(),2)=0”，如果要間隔兩行顯示陰影則用公式“=MOD(ROW(),3)=0”，其余依次類推。

小提示：函數(shù)MOD(number,divisor)返回兩數(shù)相除的余數(shù)，其中Number為被除數(shù)，Divisor為除數(shù)。函數(shù)ROW(reference)返回引用的行號。其中Reference??為需要得到其行號的單元格或單元格區(qū)域，如果省略 reference，則假定是對函數(shù) ROW 所在單元格的引用。

第二篇：泰勒公式及其應用

泰勒公式及其應用

數(shù)學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2009級 楊立

指導教師 吳春

摘要:泰勒公式以一種逼近的思想成為數(shù)學分析中的一個重要知識，在分析和研究數(shù)學問題中有著重要的作用。本文研究了利用泰勒公式證明微分中值定理，求函數(shù)的極限，進行近似計算，求函數(shù)的高階導數(shù)和偏導數(shù)等方面的應用，恰當?shù)倪\用泰勒公式能夠給我們的解題帶來極大的方便。

關鍵詞：泰勒公式；微分中值定理；極限；高階導數(shù)；偏導數(shù)

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula;approximate calculation;limit;higher derivative;partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒級數(shù)的形式出現(xiàn)在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在該書中卻沒有給出具體的證明，直到19世紀由柯西給出了現(xiàn)在的形式及其嚴格的證明。泰勒公式是一種逼近的思想，集中體現(xiàn)了逼近法的精髓，可以將有理分式函數(shù)﹑無理函數(shù)和初等超越函數(shù)等復雜函數(shù)用簡單的多項式函

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數(shù)來近似代替，而誤差又能滿足要求。這種化復雜為簡單的功能，使其成為分析和研究數(shù)學其他問題的有力工具。也對函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計算帶來了極大的方便。本文主要是通過給出實際例子體現(xiàn)其應用，并對這些方法做了歸納和總結。泰勒公式及其證明

1.1 帶佩亞諾余項的泰勒公式

若f(x)在x?x0點有直到n階連續(xù)導數(shù)，那么就有：

f“(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?

2!'f(n)?x0?????(x?x0)n?Rn(x)(1.1)

n!n其中Rn?x??o?x?x0?是余項，這就是f?x?在x?x0點的帶佩亞諾余項的泰勒公??式[1]。說明：

①此公式對函數(shù)f?x?的展開要求較低，只要求其在x?x0點處n階可導即可，展開的形式也比較簡單。

②這種泰勒公式的實質(zhì)是局部增量公式的升華，即可以把此函數(shù)局部地用線性函數(shù)代替改為用多項式代替，當x?x0時用多項式代替這個函數(shù)所產(chǎn)生的誤差?x?x0?n是一個無窮小量。

③它難以說明誤差范圍，因此不適合對余項作定量估算，只能是一個定性估目的。

④特別地當x0?0時，有：

f”(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x?????x?Rn(x)(1.2)

2!n!'這種佩亞諾項的泰勒公式也被稱為麥克勞林公式。

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1.2 帶拉格朗日余項的泰勒公式

若函數(shù)f?x?在x??a,b?上有直到n階連續(xù)導數(shù)，并且f?n?1??x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)存在，那么就有：

f"?x0?2f(x)?f?x0??f?x0?(x?x0)??x?x0??

2!'f(n)?x0?n?????x?x0??Rn?x?(1.3)

n!f?n?1????其中Rn?x???x?x0?n?1被稱為余項，此時?介于x與x0之間，這就是函數(shù)?n?1?!f?x?在x?x0點的帶拉格朗日余項的泰勒公式。

[2]說明：

①它對函數(shù)f?x?的展開要求較高，因為它要求對任意的x??a,b?都要成立，其形式也相對復雜。

②這種泰勒公式的實質(zhì)是對拉格朗日微分中值定理的升華，它是一個定量估計值。

③運用這種泰勒公式逼近f?x?時，可以確定其大致的誤差范圍，但其誤差是由f?x?的?n?1?階導數(shù)決定的，若a越接近于b，即區(qū)間?a,b?越小，那么誤差就會越小，這種泰勒公式適合處理f?x?在區(qū)間上的問題，特別是在不等式的證明中應用起來比較方便。1.3 簡單的證明

我們知道f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??，根據(jù)拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，其中誤差?是在??x?0?即?x?x0?的前提下才趨向于0，所以在近似計算中往往不夠精確，于是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

P(x)?A0?A1(x?x0)?A2(x?x0)2???An(x?x0)n

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來近似地表示函數(shù)f?x?且要寫出其誤差f?x??P?x?的具體表達式。

設函數(shù)P?x?滿足：

P(x0)?f(x0),P?(x0)?f?(x0),P??(x0)?f??(x0),??,P?n?(x0)?f?n?(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,?,An.顯然，P(x0)?A0，所以A0?P(x0);

P?(x0)?A1,A1?P?(x0)

P??(x0)?2!A2,A2?P??(x0)2!??

P?n?(x0)P(x0)?n!An,An?.n!?n?至此，多項的各項系數(shù)都已求出，得：

f??(x0)f?n?(x0)2P(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n.2!n!接下來就要求誤差的具體表達式了。

設Rn?x??f?x??P?x?，于是有：

Rn(x0)?f(x0)?P(x0)?0.n所以可以得出：Rn(x0)?Rn??(x0)???Rn??(x0)?0.根據(jù)柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)?Rn(x0)Rn?(?1)??（其中：(x?x0)n?1?0），n?1nn?1(x?x0)(n?1)(??x)(x?x)?0?0?10這里?1在x和x0之間； 繼續(xù)使用柯西中值定理得：

??n?1????x?10Rn???1??Rn??x0?n?1?0??Rn????2?n?n?1???2?x0?n?1，第4頁（共12頁）

這里?2在?1與x0之間； 連續(xù)使用n?1次后得出：

Rn?x??x?x0?這里?在x0和x之間。

n?1Rn?n?1?????，?n?1?!但Rn?n?1??x??f?n?1??x??P?n?1??x?，由于P?n?1??x??(n?1)!An?1，(n?1)!An?1是一個常數(shù)，故P?n?1??x??0，于是得Rn?n?1??x??f?n?1??x?。

f?n?1?(?)綜上可得，余項Rn?x??。n?1(n?1)!(x?x0)一般來說展開函數(shù)時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn?x?寫為Rn。泰勒公式的應用

2.1 利用泰勒公式進行近似計算和誤差估計

根據(jù)泰勒展開式的余項可以把握函數(shù)用泰勒公式近似的程度，但需要估計誤差的范圍，關鍵就在于對f?n?1????值的估計。

如果存在M?0，有f?n?1?????M，x??x0??,x0???，那么我們就可以估計Rn(x)?Mn?1x?x0，x??x0??,x0???，從而當我們期望近似值的誤差不超(n?1)!Mn?1x?x0??中解出n是多少就可以知道運用泰勒公

(n?1)!過?時，只需在不等式式應計算多少項即可，由此我們就可以近似地計算出某些復雜數(shù)的具體值。

例1 求?e?xdx的近似值，精確到10?5。

012解 由于該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無法用牛頓-萊布尼茨公式來計算，因此我們要用泰勒公式來計算它的近似值。

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因為e?x22nx4nx?1?x????(?1)?? 2!n!2將兩邊逐項積分，有

?e01?x2dx=?1dx??xdx??00112102n1xx4dx????dx??

02!n!11111?? =1??????(?1)n?32!5n!2n?11111111????? =1????31042216***001?1.3?10?5 7560012111111???0.746836。所以?e?xdx?1????***60又因為總結：通過以上我們可以知道：只要給出一個數(shù)，知道它的誤差范圍，我們就可以利用泰勒公式較為簡單的求出它的近似值。

例2 計算e的值，當n?9時，誤差不超過多少？ 解 在ex的麥克勞林展開式中，令x?1可得：

11e?e?1?1?????,（0???1）

2!n!(n?1)!33??0.000001 10!3628800111也就是說e?1?1??+???2.718281?，2!3!9!當n?9時，有：R9(1)?其誤差不超過10?6。

總結：利用泰勒公式我們可以輕易地判斷出一個函數(shù)公式的誤差范圍。2.2 利用泰勒公式證明中值問題

如果要證明的結論是至少存在一點c??a,?b，使得關于然后驗證輔助函數(shù)滿足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f?(c),?,f(n)(c)代數(shù)式的證明。羅爾定理條件，由定理的結論即得命題的證明。

例2

設f?x?在?a,b?上三次可導，試證明：?c??a,b?，使得：

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1?a?b?3???

(2.1)f(b)?f(a)?f??(b?a)?f(c)(b?a)?24?2?證明 設k為使得下式成立的實數(shù)：

1?a?b?f(b)?f(a)?f??(b?a)?k(b?a)3?0

(2.2)?24?2?此時，問題可變?yōu)樽C明：?c??a,b?，使得k?f????c?。

設

1?a?x?g(x)?f(x)?f(a)?f??(x?a)?k(x?a)3?0

(2.3)?24?2?則g(x)?g(b)?0。

根據(jù)羅爾定理，????a,b?，使得g?(?)?0。由(2.3)式，即：

?a????a???(??a)k2??f?(?)?f???f?(??a)?0

(2.4)???8?2??2?2這是關于k的方程，注意f?(?)到在點

a??處的泰勒公式： 22?a????a???(??a)1??????a???f?(?)?f???f?f(c)??????0,c??a,b?

(2.5)

2?2??2?2?2?由(2.4)(2.5)兩式可得：

k1???a?1???2(??a)2?f????c????f(?)(??a)82?2?8則有：k?f???(c)，命題得證。

總結：解此類題最重要的就是輔助函數(shù)的確定，上面的例題使用的是原函數(shù)法，即通過恒等變形將結論化為以消除導數(shù)符號的形式或易積分的形式，用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡便積分常數(shù)取作零，移項使等式一邊為零，則另一邊將結論中的c換成x即為所需的輔助函數(shù)。

例4設函數(shù)f?x?在閉區(qū)間??1,1?上具有三階連續(xù)導數(shù)，且f(?1)?1，f(1)?1，f?(0)?0，證明：在開區(qū)間??1,1?內(nèi)至少存在一點?，使得f???(?)?3

2第7頁（共12頁）

證明 由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間??1,1?上具有三階連續(xù)導數(shù)，因此可以寫出f(x)的二階泰勒公式：

f??(0)2f???(?x)x? 2!3!f??(0)2f????(x)?x?(?0?? 1)

?f(0)2!3!f(x)?f(0)?f?(0)x?將x?1,x??1分別帶入得：

f(1)?f(0)?f??(0)f???(?1)f??(0)f???(??2)??，f(?1)?f(0)? 2626其中0??1,?2?1 兩式相減可得：

f(1)?f(?1)?f???(?1)?f???(??2)

6由于f????x?在閉區(qū)間??1,1?上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在區(qū)間???2,?1????1,1?內(nèi)至少存在一點?使得f???(?1)?f???(??2)?2f???(?)，代入等式1?f???(?1)?f???(??2)f???(?)1?可得，即f???(?)?3。

63總結：例4用泰勒公式進行證明的優(yōu)勢是顯而易見的，條件中函數(shù)為三階可導的抽象函數(shù)，如果不用泰勒公式，條件和結論似乎風牛馬不相及，證明難度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應用

ex?cosx?2例５ 求lim的極限.x?0x42分析：當x?0時為求

?型函數(shù)的極限，滿足洛必達法則，若直接用洛必達?法則求極限我們發(fā)現(xiàn)會有多次求導且計算過程也十分復雜，稍不注意就會出錯。我們可以先用泰勒公式將分子展開，再求極限，這樣就會簡單許多。

解 在x0?0處，由佩亞諾余項的泰勒公式展開得：

x4e?1?x??o(x4)

2!x22第8頁（共12頁）

x2x4cosx?1???o(x4)

2!4!因此 ex?cosx?2?故 274x?o(x4)12744x?o(x)e?cosx?2lim ?lim1244x?0x?0xx7

?

12x2?1???例6 求lim?x?x2In?x???

x??x????分析：當x??時，此函數(shù)為???型未定式。雖然可以通過變換把其化為

001??型，再用洛必達法則，但計算量較大。所以我們先將In?x??展開，再求其極

x??限。

2??1?2??1?11?1?解 因為ln?1???????o????

??x???x?x2?x????1???所以lim?x?x2ln?x???

x??x?????11?1?2??1?2??

?lim?????o?????

??x???x??x2?x??????1? 2通過以上兩個例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，在求一些未定型的極限時，如果用洛必達法則求導次數(shù)較多或化簡過程較復雜時，不妨利用泰勒公式來求。在使用泰勒公式求極限時并不需要把各函數(shù)展開到n階，那么函數(shù)到底應該展開到幾階，就成為了求解極限的關鍵。回顧上面兩個例子我們可以發(fā)現(xiàn)：

當極限為分式時，若分子或分母中只需要展開一個，那么只需要將其展到另一個的同階無窮小的階數(shù)；若分子和分母都需要展開，可分別展到其同階無窮小的階數(shù)，即合并后的首個非零項的冪次的次數(shù)。

第9頁（共12頁）

當極限不為分式時，展開的階數(shù)應與函數(shù)最高次冪相同。2.4 泰勒公式在高階導數(shù)方面的應用

例7 已知f(x)?x3ln(1?x)，求f?n?(0)(n?4)。

解 ln(1?x)的n?3階泰勒公式為：

n?3x2n?2xln(1?x)?x????(?1)?o(xn?2)

(2.6)2n?3則

nx5n?2xf(x)?x????(?1)?o(xn).(2.7)2n?34由于f?x?的n階泰勒公式為：

f??(0)2f??(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn)

(2.8)

2!n!nf??(0)(?1)n?2比較(2.7)(2.8)兩式可知，?n!n?3n所以

f?n?n!(?1)n?2(n?4)?0??n?3例8 設函數(shù)f(x)在上???,???有三階導數(shù)，并且f(x)和f???(x)在???,???上有界，證明：f?(x)和f??(x)在???,???上也有界。

證明 設M0,M3?R,f(x)?M0，f???(x)?M3，則由泰勒公式可得：

f??(x)f???(?1)?,?1??x,x?1? 26f??(x)f???(?2)f(x?1)?f(x)?f?(x)??,?1??x,x?1?

26f(x?1)?f(x)?f?(x)?兩式相加得：

f(x?1)?f(x?1)?2f(x)?f??(x)?f???(?1)?f???(?2)

6第10頁（共12頁）

故有f??(x)?4M0?兩式相減得： M3,?x????,??? 3f???(?1)?f???(?2)

6f(x?1)?f(x?1)?2f?(x)?故有f?(x)?M0?M3,?x????,???。6綜上可知，f?(x)和f??(x)在???,???上也有界。總結

對于泰勒公式，我們已經(jīng)非常熟悉，它的應用在當今數(shù)學研究發(fā)展的過程中起到了重要的作用。通過以上幾個方面的研究，讓我們知道泰勒公式是函數(shù)展開的一種形式，使我們對泰勒公式及其應用有了一個總體上得認識，也使我們在特定的題設條件下形成特定的解題思路，使解題達到事半功倍的效果，只有了解了這些知識，并在此基礎上不斷加強訓練，不斷行進總結，才能使我們牢固掌握泰勒公式，進而才能善于熟練運用。可以說這樣的學習能使我們養(yǎng)成良好的數(shù)學思維習慣，靈活的從不同角度尋找解題途徑，進而形成獨特的解題技巧。在數(shù)學研究中，泰勒公式幾乎是開辟計算捷徑道路的基礎，同時，也為今后進行泰勒公式的深入研究打下基礎。泰勒公式在數(shù)學中的應用多種多樣，恰當?shù)倪\用泰勒公式能給我們解題帶來很大的方便，想要掌握好泰勒公式的應用，需要綜合各方面的知識，從題設和結論出發(fā)，找出能應用泰勒公式的條件，這樣才能好的運用泰勒公式解決數(shù)學和生活中的問題，發(fā)揮它的優(yōu)越性。

通過幾個月的努力，我的論文基本完成了。在此，特別向吳老師表示崇高的敬意和衷心的感謝，是您不厭其煩的幫助我糾正和改進論文，才使我的論文得以完成，吳老師您嚴謹細致和一絲不茍的作風是我以后學習工作的榜樣，您無私的教導給予了我無盡的啟迪，您的鼓勵和寬容讓我擁有了面對挫折的信心，為我以后的學習工作埋下了一筆巨大的財富。感謝我的同學借電腦給我使用，還幫我找了不少素材。也感謝幫我修改英文翻譯的同學。最后，在此感謝給我?guī)椭凸膭?/p>

第11頁（共12頁）的老師﹑朋友﹑同學，正是有了你們的幫助和鼓勵，才使得我的大學生活畫上了一個圓滿的句號，才有了如今我的成就。

參考文獻：

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第三篇：均值不等式公式總結及應用

均值不等式應用

a2?b21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?

2a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當且僅當a（當且僅當a?b時取“=”）?b時取“=”）

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x?0，則x?1?2(當且僅當x?1時取“=”）x

1若x?0，則x???2(當且僅當x??1時取“=”）x

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）xxx

ab）??2(當且僅當a?b時取“=”ba4.若ab?0，則

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

『ps.(1)當兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所

謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用』 應用一：求最值

例1：求下列函數(shù)的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域為[6，+∞）1(2)當x＞0時，y＝x＋≥2x

11當x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x?

54，求函數(shù)y?4x?

2?

1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)?

不是常數(shù)，所以對4x?2要進行拆、湊項，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當且僅當5?4x

?，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。

5?4x

評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù) 例1.當解析：由

時，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數(shù)即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?

x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0

?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當且僅當2x技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。y?mg(x)?

例：求函數(shù)y?

2的值域。

t(t

?

2)，則y

?1

?t?(t?2)

t11

?0,t??1，但t?解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。

tt15

因為y?t?在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y?。

t2

因t

所以，所求函數(shù)的值域為

?5?,???。??2?

練習．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實數(shù)滿足a

x?

1，求函數(shù)y.；3．0?x?，求函數(shù)y?

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3解： 當3

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數(shù)，3a?3b≥23a?3b?3a?b?6

?3b時等號成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當a?b?1時，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y錯解：?．．

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y?????

x?y???12故 ?x?y?min?12。?xyxy??

在1?9y?x?y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

?xy19

?xy

即

y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x

?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。?時，上式等號成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實數(shù)，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同時還應化簡1＋y 2 中y2前面的系數(shù)為

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面將x，12

＋

y 2

分別看成兩個因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab

分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab則u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

點評：①本題考查不等式

a?b

?（a,b?R?）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發(fā)求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡單

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

變式

: 求函數(shù)y?

解析：注意到2x?

1與5?

2x的和為定值。

?x?)的最大值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?

2x)?8

又

y?0，所以0?y??

時取等號。故ymax? 2

當且僅當2x?1=5?2x，即x

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?

c

?

?1。?

11?ab?

c?1???aaa。同理

?1?b，1?1?

c

述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當時取等號。?1?1?1??8??????3abc?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數(shù)m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是.22

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?a?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

第四篇：泰勒公式的應用論文

麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文

目 錄

引言..................................................................................................................................................2 1．泰勒公式.....................................................................................................................................3

1.1 泰勒多項式.......................................................................................................................3 1.2 兩種類型的泰勒公式.......................................................................................................4 2．泰勒公式的應用.........................................................................................................................6

2.1 利用泰勒公式求極限.......................................................................................................6 2.2 利用泰勒公式證明不等式.............................................................................................11 2.3 利用泰勒公式進行近似計算和誤差估計.....................................................................15 結束語............................................................................................................................................17 參考文獻.........................................................................................................................................17 致 謝...........................................................................................................................................18

麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文

泰勒公式及其應用

理學院

數(shù)學082

陳培賢

指導教師：盧曉忠

摘要：泰勒公式是數(shù)學分析中重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。運用泰勒公式可以有效地解決某些問題，在微積分的各個方面都有重要的應用。本文將介紹泰勒公式及其在求極限、不等式的證明、近似計算三方面的應用，從而能夠?qū)μ├展接懈钊氲牧私猓J識到泰勒公式的重要性。關鍵詞：泰勒公式;佩亞諾余項;拉格朗日余項;應用

引言

不論是進行近似計算還是理論分析，我們總希望用一些簡單的函數(shù)來近似表示比較復雜的函數(shù)。多項式是比較簡單的一種函數(shù)，它只包含加、乘兩種運算，最適于使用計算機計算。因此，我們常用多項式來近似表示函數(shù)。泰勒公式是18世紀早期英國牛頓學派最優(yōu)秀代表人物之一的英國數(shù)學家泰勒，在微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)而定義出來的，泰勒將函數(shù)展開成級數(shù)從而得到泰勒公式。

泰勒公式是數(shù)學分析中一個非常重要的內(nèi)容，微分學理論中最一般的情形是泰勒公式。它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導數(shù)的關系，將一些復雜的函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，在近似計算上有著獨特的優(yōu)勢，利用它可以將非線性問題化為線性問題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個方面都有重要的應用。這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿。

用泰勒公式可以很好的解決某些問題，如求極限、不等式證明、近似計算、判斷函數(shù)極值、求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性等方面。比如在求某一初等函數(shù)的定積分時，由于此函數(shù)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，考慮到一般初等函數(shù)都可以近似地用泰勒公式表示，故可運用泰勒公式進行近似計算，并能滿足一定的精確度。因此泰勒公式在數(shù)學實際應用中是一種重要的應用工具，用泰勒公式這一有力的工具能解決更多的數(shù)學實際問題。

在高等數(shù)學教材中，一般只講泰勒公式及幾個常用函數(shù)的麥克勞林公式，對其在解題中的應用介紹很少。但泰勒公式在解決一些問題中確實有十分重要的作用，因此在泰勒公式

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及其應用方面我們有必要進行歸納總結，并且有很大的空間。本文將從求極限、不等式的證明、近似計算三個方面介紹泰勒公式的應用。

1．泰勒公式

1.1 泰勒多項式

當f?(x0)?0，并且?x很小時，有如下的近似等式

?y?dy?f?(x0)?x

或

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

上式就是用一次多項式來近似表達一個函數(shù).在x?x0處，這個一次多項式及其導數(shù)的值分別等于被近似表達的函數(shù)及其導數(shù)的值.但是，這種近似表達式存在不足之處.它所產(chǎn)生的誤差僅是關于(x?x0)的高階無窮小，精確度不高.為了提高近似程度，其可能的途徑是提高多項式的次數(shù).因此，可設想用高次多項式來近似表達函數(shù).于是提出如下的問題：設函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到n階的導數(shù)，試找出一個關于(x?x0)的n次多項式

2n

(1)P(x)?a?a(x?x)?a(x?x)???a(x?x)n01020n0

用它來近似表達f(x)，要求它與f(x)之差是關于(x?x0)n高階的無窮小.為了使求得的近似多項式與f(x)在數(shù)值與性質(zhì)方面吻合得更好，如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性等.于是可進一步要求Pn(x)在x0處的函數(shù)值以及它的直到n階的導數(shù)值與f(x)在x0處的函數(shù)值以及它的直到n階的導數(shù)值分別相等，即要求

Pn(k)(x0)?f(k)(x0)

(k?0，1，?，n)

(2)

按此要求，可求得(1)式中多項式的各個系數(shù)為

a0?f(x0),a1?f?(x0),a2?于是

11f??(x0),?,an?f(n)(x0)2!n!3

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Pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?11f??(x0)(x?x0)2???f2!n!(n)(x)(x?x0)n

(3)

(3)式中的Pn(x)稱為f(x)在x0處的泰勒多項式.那么Pn(x)與f(x)的吻合程度如何？是否是我們要找的多項式呢？即是否有

f(x)?Pn(x)?o((x?x0)n)成立，這將從下文給出證明.1.2 兩種類型的泰勒公式

1.2.1 帶有佩亞諾型余項的泰勒公式

定理1.1 若函數(shù)f在點x0存在直至n階導數(shù)，則有f(x)?Pn(x)?o((x?x0)n)，即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

??1f??(x0)(x?x0)2? 2!1(n)f(x0)(x?x0)n?o((x?x0)n)

(4)n!證明： 設 Rn(x)?f(x)?Pn(x)，Qn(x)?(x?x0)n，現(xiàn)在只要證

limRn(x)?0

x?x0Q(x)n(n)?(x0)???Rn 由關系式(2)可知

Rn(x0)?Rn(x0)?0

(n?1)(n)?(x0)???Qn并易知

Qn(x0)?Qn(x0)?0，Qn(x0)?n!

因為f(n)(x0)存在，所以在點x0的某鄰域U(x0)內(nèi)f(x)存在n?1階導函數(shù).于是

當x?U?(x0)且x?x0時，允許接連使用洛必達法則n?1次，得到

(n?1)?(x)Rn(x)RnRn(x)

lim ?lim???lim(n?1)x?x0Q(x)x?x0Q?(x)x?x0Q(x)nnnf(n?1)(x)?f(x?1)(x0)?f(n)(x0)(x?x0)?limx?x0n(n?1)?2(x?x0)?f(n?1)(x)?f(n?1)(x0)?1?f(n)(x0)? ?lim?n!x?x0?x?x0??0證畢.麗水學院2012屆學生畢業(yè)論文

定理所證的(4)式稱為函數(shù)f(x)在點x0處的泰勒公式，Rn(x)?f(x)?Pn(x)稱為泰勒公式的余項，形如o((x?x0)n)的余項稱為佩亞諾型余項.所以(4)式又稱為帶有佩亞諾型余項的泰勒公式.泰勒公式(4)在x0?0時的特殊形式：

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn).稱為（帶有佩亞諾余項

2!n!的）麥克勞林公式.1.2.2 帶有拉格朗日型余項的泰勒公式

上面我們從微分近似出發(fā)，推廣得到用n次多項式逼近函數(shù)的泰勒公式(4).它的佩亞諾型余項只是定性地告訴我們：當x?x0時，逼近誤差是較(x?x0)n高階無窮小.現(xiàn)在將泰勒公式構造一個定量形式的余項，以便于對逼近誤差進行具體的計算或估計.定理1.2（泰勒中值定理）

若函數(shù)f(x)在?a，b?上存在直至n階的連續(xù)導函數(shù)，在?a，b?內(nèi)存在(n?1)階導函數(shù)，則對任意給定的x，x0??a，b?，至少存在一點ξ??a，b?，使得

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)f(n?1)(ξ)n ?(x?x0)?(x?x0)n?(5)

n!(n?1)!證明： 作輔助函數(shù)

??f(n)(t)F(t)?f(x)??f(t)?f?(t)(x?t)???(x?t)n?，G(t)?(x?t)n?1.n!??所要證明的(5)式即為

F(x0)f(n?1)(f(n?1)(ξ)ξ)

F(x0)?G(x0)或?（n?1）!G(x0)(n?1)!

不妨設x0＜x，則F(t)與G(t)在?x0，x?上連續(xù)，在?x0，x?內(nèi)可導，且

f(n?1)(t)F?(t)??(x?t)n

n!5

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G?(t)??(n?1)(x?t)n?0

又因F(x)?G(x)?0，所以由柯西中值定理證得

F(x0)F(x0)?F(x)F?(ξ)f(n?1)(ξ)???G(x0)G(x0)?G(x)G?(ξ)(n?1)!其中ξ??x0，x???a，b? 證畢.(5)式同樣稱為泰勒公式，它的余項為

f(n?1)(ξ)

Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(x?x0)n?1，ξ?x0??(x?x0)?0＜?＜1?

(n?1)!

稱為拉格朗日型余項.所以(5)式又稱為帶有拉格朗日型余項的泰勒公式.注意到n?0時，(5)式即為拉格朗日種植公式

f(x)?f(x0)?f?(ξ)(x?x0)

所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推廣

當x0?0時，得到泰勒公式

f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?x ?0＜?＜1?(6)

2!n!(n?1)!(6)式也稱為（帶有拉格朗日余項的）麥克勞林公式

2．泰勒公式的應用

2.1 利用泰勒公式求極限

極限是微積分的基礎，極限運算是學習微積分的基本功。求極限有許多方法，其中用等價無窮小量替換求極限是一種常用、方便、有效的方法。但尋求等價無窮小量并非易事，在替換過程中也容易出錯。對于未定式的極限問題，一般可以采用洛必達法則來求。但是，對于一些求導比較繁瑣，特別是要多次使用洛必達法則的情況，泰勒公式往往是比洛必達法則更為有效的求極限工具。利用泰勒公式求極限，一般用麥克勞林公式形式，并采用佩亞諾型余項。當極限式為分式時，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，通過比較求出極限

2.1.1用泰勒公式尋求等價無窮小量及用等價無窮小量替換求極限

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命題：f(x)?P(x)?o((x?x0)n)，P(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2 2!???1fn!(n)(x0)(x?x0)n，若f(i)(x0)(i?1，2，?，n)不全為零，且當x?x0時，f(x)?0.則當x?x0時，P(x)與f(x)為等價無窮小.證明：因為f(i)(x0)(i?1，2，?，n)不全為零，設f(k)(x0)?0，且f(j)(x0)?0

o((x?x0)n)(j?1，2，?，k?1)，則有l(wèi)imx?x0P(x)?limx?x0o((x?x0)n)1(k)11f(x0)(x?x0)k?f(k?1)(x0)(x?x0)k?1???f(n)(x0)(x?x0)nk!(k?1)!n!o((x?x0)n)(x?x0)k1(k)11f(x0)?f(k?1)(x0)(x?x0)???f(n)(x0)(x?x0)n?kk!(k?1)!n!

?limx?x0?0，所以

P(x)?o((x?x0)n)o((x?x0)n)f(x)lim?lim?lim(1?)?1.因此，當x?x0時，x?x0P(x)x?x0x?x0P(x)P(x)P(x)與f(x)為等價無窮小.證畢.由此命題可以看出，可以用泰勒公式求某一無窮小量，從而利用等價無窮小量替換求極限

例1 試說明求極限limx?0tanx?sinx時，為什么不能用tanx與sinx的等價無窮小xx3分別替換它們？

解： 我們用三階的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式分別將tanx與sinx表示為

x3x33tanx?x??o(x)，sinx?x??o(x3)

33!x3x3x33?o(x)，這說明函數(shù)tanx?sinx與于是tanx?sinx?是等價無窮小（即是 222x3tanx?sinx的主要部分）.因此只能用來替代tanx?sinx，而不能用(x?x)來替代它.2例

2利用帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，求極限lim2cosxln(1?x)?x

x?0x2解： 因為分式函數(shù)的分母是x，我們只需將分子中的cosx與ln(1?x)分別用二階的

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麥克勞林公式表示：cosx?1?121x?o(x2)，ln(1?x)?x?x2?o(x2)于是 2!21?1???cosxln(1?x)?x??1?x2?o(x2)???x?x2?o(x2)??x

2?2!???對上式作運算是把所有比x2高階的無窮小的代數(shù)和仍記為o(x2)，就得

121x?o(x2)?x??x2?o(x2)故 221?x2cosxln(1?x)?x12 lim?lim??22x?0x?02xxarcsin2x?2arcsinx 例3 求極限lim

x?0x39535 解： arcsin2x?2arcsinx的泰勒展開式為x?x?o(x)

49x3?x54則原式?lim?1 3x?0x cosxln(1?x)?x?x?2.1.2 泰勒公式代換求極限應至少取到第幾項

在高等數(shù)學中，有時求極限,用帶佩亞諾余項的泰勒公式代換的方法求，許多高等教學教材中都有例子，但都沒有說明取到哪一項才合適。因此，這一點必須弄清楚，否則在解題 過程中可能會出現(xiàn)錯誤以及一些不必要的麻煩，故給出以下定理。定理2.1 設?1??2及?是x?x0時的無窮小量，?2?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

f(n)(x0)???(x?x0)n?o((x?x0)n)?Pn(x)?o((x?x0)n).如果lim?

x?x(x?x)kn!00c?0（c是常數(shù)，k是正整數(shù)），limx?x0?1?Pn(x)??Pn(x)???2存在，則lim1 ?lim1x?xx?x???00的充要條件是n≥k.證明：必要性 若limx?x0??Pn(x)???2???1?Pn(x)??1??2，則lim1?lim1?lim

x?xx?xx?x???000???2?Pn(x)??故?2?Pn(x)?o(?)，即o((x?x0)n)?o(?).因lim?0，x?x0?(x?x0)k，故?與(x?x0)k是同階無窮小(x?x0)，所以n≥k.?c?0（c是常數(shù)）充分性 因?與(x?x0)k是同階無窮小(x?x0)，故當n≥k時，可以得到

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o((x?x0)n)?o(?)，又?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，所以limx?x0?1??2?lim x?x?0?1?[Pn(x)?o((x?x0)n)]??Pn(x)??Pn(x)o(?)?lim1?lim?lim1 x?xx?xx?x????000 證畢.推論1 設?1及?1??2是x?x0時的無窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，如果

x?x0lim?(x?x0)k（c是常數(shù)），lim?c?0，x?x0??1?Pn(x)存在且不等于零，則lim??1??2x?x0

?limx?x0??1?Pn(x)的充要條件是n≥k.證明：由定理2.1知limx?x0??Pn(x)?1??2?lim1的充要條件n≥k，也就是x?x??01x?x0lim?1??2??x?x0lim1??的充要條件.即lim的充要條?limx?x0???x?x0??P(x)?1?Pn(x)121n?件.證畢.定理2.2 設?1，?2，?均為x?x0時的無窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，x?x0lim?1Pn(x)?1Pn(x)?1?2?存在，如果lim（是常數(shù)），則 ?c?0lim?limckx?xx?xx?x???(x?x0)000的充分條件是n≥k? 證明：因limx?x0?(x?x0)k?c?0，故?與(x?x0)k是同階無窮小.當n≥k?1時，o((x?x0)n)?O(?)(x?x0).即有界.又?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，所以limx?x0?1?2 ??1[Pn(x)?o((x?x0)n)]?1Pn(x)o((x?x0)n)?1?lim?lim?lim，又?1是無窮小量，x?xx?xx?x???000所以limx?x0o((x?x0)n)?1??0，即limx?x0?P(x)?1?2.證畢.?lim1nx?x??0推論2 ?，?1，?2均為x?x0時的無窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，如果

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x?x0lim?(x?x0)k，lim?c?0（c是常數(shù)）

??1Pn(x)x?x0存在且不等于零，則limx?x0??lim ?1?2x?x0??1Pn(x)的充分條件是n≥k?1.證明：由定理2.2知，limx?x0?P(x)?1?2?lim1n的充分條件是n≥k?1.也就是 x?x??01x?x0lim?1?2??x?x0lim1??的充分條件.即lim的充分條件.?limx?x0??x?x0?P(x)?1Pn(x)121n?1(x?1)3?x?1?sin(x?1)例1 求lim6

x?1tan5(x?1)解：這里x0?1，?1?1(x?1)3?x?1，?2?sin(x?1)，??tan5(x?1).因為 6tan5(x?1)即k?5.故由定理2.1知sin(x?1)的帶有佩亞諾余項的泰勒公式lim?1?0，5x?1(x?1)只要取到含(x?1)5項即可.所以取

sin(x?1)?(x?1)?11(x?1)3?(x?1)5?o((x?1)5)即 3!5!11Pn(x)?(x?1)?(x?1)3?(x?1)5 因此,原式

3!5!1111Pn(x)?(x?1)3?x?1x?1?(x?1)3?(x?1)5?(x?1)3?x?163!5!6?lim?lim 55x?1x?1tan(x?1)(x?1)1(x?1)51?lim5!? x?1(x?1)5120(ex?1?x)lnx例2 求lim

x?1sin3(x?1)解：這里x0?1，?1?lnx，?2?ex?1sin3(x?1)?x，??sin(x?1).由于limx?1(x?1)33?1?0，即k?3.故由定理2.2知ex?1的泰勒公式取到含(x?1)3?1?(x?1)2項即可.取

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Pn(x)?1?(x?1)?1(x?1)2，所以原式 2!1??211?(x?1)?(x?1)?xlnx3(x?1)2lnx????1lnx(x?1)2!?2!lim??lim?lim??33x?1x?1x?12(x?1)?sin(x?1)?sin(x?1)sin(x?1)?12

2.2 利用泰勒公式證明不等式

關于不等式的證明，我們以前學過了多種方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凹凸性來證明不等式，以及通過討論導數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法.下面我們舉例說明，泰勒公式也是證明不等式的一個重要方法.定理2.3 設函數(shù)y?f(x)在x0點附近二階可導，則

(1)若f??(x)＞0，則有f(x)≥f(x0)?f?(x0)(x?x0)

(2)若f??(x)＜0，則有f(x)≤f(x0)?f?(x0)(x?x0)等號當x?x0是成立.2.2.1 證明代數(shù)不等式

例1 證明設n?N，則nn?nn?nn?nn≤2nn，n≥2

1證明：設f(x)?x ?x＞0?，則f?(x)?xnn1?nn11?n，f??(x)??xnn1?2nn＜0

由定理3.3得 f(n?nn)≤f(n)?f?(n)(nn)，f(n?nn)≤f(n)?f?(n)(?nn)兩式相加即得結論.例2 設xi?R，i?1，2，?，n.??xi?1ni?a，?≥2,求證

????x3xnx1x2a??1≥ ???????2a?x1a?x2a?x3a?xn(n?1)nx??x??1(a?x)?x?證明：作函數(shù)f(x)?，?0＜x＜a?，則f?(x)? 2a?x(a?x)f??(x)??(??1)x??2(a?x)2?2?x??1(a?x)?2x?(a?x)2.注意到?0＜x＜a?，則

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nx1?x2???xna，因為?xi?a，有x0?，則可f??(x)＞0.利用定理2.3，取x0?nni?1得

a??a??a??f(x1)≥f???f?????x1??

n??n??n??a??a??a??f(x2)≥f???f?????x2??

n??n??n???

a??a??a??f(xn)≥f???f?????xn??

n??n??n??n式相加得f(x1)?f(x2)???f(xn)≥nf???f????x1?x2???xn?a?

?a???????x3xnx1x2a??1n??即≥n ????????2a(n?1)na?x1a?x2a?x3a?xna?n原結論得證.2.2.2 證明含導函數(shù)不等式

??a??n??a??n??p1x1?p2x2???pnxn??f0b?內(nèi)二階可導，例3 設f(x)在區(qū)間?a，且f(x)≥，則??p1?p2???pn?≤

??? ?p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)，其中p1，p2，?，pn均為正數(shù)，x1，x2，?，p1?p2???pnxn??a，b?.證明： 記x0?p1x1?p2x2???pnxn，則x0??a，b?，由于f(x)在?a，b?內(nèi)

p1?p2???pnf??(ξ)2！二階可導，故f(x)在點x0處一階泰勒公式成立.f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2，ξ在x0與x之間.因為f??(x)≥0，x??a，b?，所以f(x)≥f(x0)?

f?(x0)(x?x0).分別取x?x1，x2，?，xn，則有

f(x1)≥f(x0)?f?(x0)(x1?x0)

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f(x2)≥f(x0)?f?(x0)(x2?x0)

?

f(xn)≥f(x0)?f?(x0)(xn?x0)

以上各不等式分別乘以p1，p2，?，pn得

p1f(x1)≥p1f(x0)?p1f?(x0)(x1?x0)p2f(x2)≥p2f(x0)?p2f?(x0)(x2?x0)

?

pnf(xn)≥pnf(x0)?pnf?(x0)(xn?x0)

將上面n個不等式相加得

p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)≥(p1?p2???pn)f(x0)?

f?(x0)[p1x1?p2x2???pnxn?(p1?p2???pn)x0] 因為x0?p1x1?p2x2???pnxn，所以

p1?p2???pnp1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)≥(p1?p2???pn)f(x0)則

f(x0)≤p1f(x1)?p2f(x2)??pnf(xn)，從而得

p1?p2???pn?p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)?.結論得證.?≤p1?p2???pn??p1x1?p2x2???pnxnf??p1?p2???pn?例4 若函數(shù)f(x)在區(qū)間?a，b?上具有二階導數(shù)，且f?(a)?f?(b)?0，則在?a，b? 內(nèi)至少存在一點?，使f??(?)≥

4f(b)?f(a)(b?a)2成立.證明：因為f(x)在?a，b?上具有二階導數(shù)，所以f(x)在x0處一階泰勒公式成立

f??(ξ)(x?x0)2(1)2！a?b其中ξ在x與x0之間，x0??a，b?，在(1)式中取x0?a，x?，則有

2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?13

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ξ1)?a?ba?b?a?b?f??(?f()?f(a)?f?(a)??a???a?，因為f?(a)?0，所以 ?22！?2?2??a?bf??(ξ1)?b?a?a?b(2)f()?f(a)???，a＜ξ1＜222！?2?在(2)式中取x0?b，x?22a?b，又因為f?(b)?0，所以 22a?bf??(ξ2)?b?a?a?b＜ξ2＜b(3)f()?f(b)???，222！?2?(3)式減去(2)式并取絕對值得

11f(b)?f(a)?(b?a)2f??(ξ2)?f??(ξ1)≤(b?a)2?f??(ξ2)?f??(ξ1)?

88取f??(?)?Maxf??(ξ1)，f??(ξ2)，???a，b?，則

??f(b)?f(a)≤(b?a)2?2f??(?)?即f??(?)≥

181(b?a)2f??(?)44f(b)?f(a)(b?a)2

證畢.2.2.3 證明含定積分不等式

例5 設函數(shù)f(x)在區(qū)間?a，b?上二階連續(xù)可導，且f??a?b???0，證明 2???baM(b?a)3f(x)dx≤，其中M?maxf??(x).a?x?b24a?b處展開，得 2f??(ξ)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2，其中ξ是x0與x之間的某個值.2！證明： 將f(x)在x0?因為f?f??(ξ)?a?b??f(x)?f(x)(x?x)?(x?x0)2，所以有?0?002！?2?上式在?a，b?作定積分，然后取絕對值

?baf(x)dx??f??(ξ)?2??f(x)(x?x)?(x?x)dx 000?a??2!??b12?baf??(ξ)(x?x0)2dx≤

M2?ba(x?x0)2dx?M(b?a)3 2414

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即?baM(b?a)3f(x)dx≤ 證畢.242.3 利用泰勒公式進行近似計算和誤差估計

根據(jù)泰勒展開式的余項可以具體地估計出用泰勒公式近似地表示一個函數(shù)所產(chǎn)生的誤

f(n?1)(ξ)差.由拉格朗日型余項Rn(x)?(x?x0)n?1，如果f(n?1)(x)≤M，M為一定數(shù)，(n?1)!則其余項不會超過Mx?x0(n?1)!n?1.由此可以近似地計算某些數(shù)值并估計它們的誤差.正弦函數(shù)及其近似多項式Pn(x)(n?1，3，?，19)通過計算機作出的圖象如下圖所示，可以看到sinx與其近似多項式Pn(x)的圖形隨著n的增大而變得貼近起來，也就是說，誤差Rn(x)隨著n的增大而變小.特別當x偏離原點較遠時，選取階數(shù)較高的麥克勞林多項式Pn(x)來近似表示sinx時，其精度就較高.例1 求101的近似值 解： 101?100?1?101?1 1007?11135由1?x?1?x?x2?x?(1??x)2x4，?0＜?＜1?

281612815

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可得到101?10?1???111111? ??????10.04987562523?2100810016100?此時誤差R?10R3?51?1???3.90625?10?5 ?＜10?4128100?100?由此可見，精確度很高.例2 求定積分sinx?0xdx的近似值.1解： 該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故用牛頓—萊布尼茨公式是無法求出其精確解的.考慮sinx的泰勒展開，能方便地求出其近似數(shù).1315cos?x7x?x?x，?0＜?＜1? 3!5!7!sinx11cos?x6?1?x2?x4?x，?0＜?＜1? 則 x3!5!7!11sinx1cos?x1135dx?(x?x?x)??x6dx 所以?000x3?3!5?5!7!1sinx11dx?1???0.9461 可得?0x3?3!5?5!sinx?x?此時誤差R?R6(x)?0xdx?1111cos?x66?5xdx?3?10≤＜.xdx?07!?07!7?7!1例3(1)計算e的值，使其誤差不超過10；

?6(2)證明數(shù)e為無理數(shù).111e?解：(1)當x?1時有e?1?1?????? ?0＜?＜1?.(?)

2!3!n!(n?1)!e?3故Rn(1)?＜，當n?9時，便有

(n?1)!(n?1)!R9(1)＜

33?6?＜10.10!3628800從而略去R9(1)而求得e的近似值為 e?1?1?111?????2.718285.2!3!9!(2)由(?)式得

e?n!e?(n!?n!?3?4?n???n?1)?.n?116

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倘若e?p（p，q為正整數(shù)），則當n＞q時，n!e為正整數(shù)，從而上式左邊為整數(shù).因qe?e3為＜＜，所以當n≥2時右邊為非整數(shù)，矛盾.從而e只能是無理數(shù).n?1n?1n?1

結束語

本文主要介紹了泰勒公式在求極限、不等式的證明、近似計算三方面的應用。在求極限方面，用泰勒公式求等價無窮小量并且討論了替換求極限時應取到哪一項。不等式證明主要從三類不等式入手，用典型的例題加以闡述泰勒公式在這方面的應用。近似計算應該是泰勒公式最貼近實際的應用了，并能滿足很高的精確度。但并不是所有的近似問題都可以用泰勒公式，它的限制條件比較多，必須是n階連續(xù)可微函數(shù)，如果近似的階數(shù)越小，則求出的誤差也就會越大。

由于自己的水平能力有限，雖然已經(jīng)學習了一些有關方面的知識，但在寫論文的過程中還是碰到了許許多多的困難，所寫的論文難免有不足之處。正是有了這些困難，才給自己解決問題的機會，才能鍛煉自己的思維，培養(yǎng)自己的能力。

參考文獻

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Faculty of science

Mathematics 082

Chen pei-xian

Director: Lu xiao-zhong

Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”.Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus.This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula.Keyword: Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications

致 謝

本論文自始至終在指導教師盧曉忠老師的親切關懷和悉心指導下完成的，盧老師嚴謹?shù)膶W習與工作態(tài)度使我受益匪淺，也感染著每一位他所指導的學生。在本論文的撰寫過程中給與我大量的指導和幫助。真摯地感謝盧曉忠老師對本論文的精心指導。

同時也感謝家人和同學在學習生活中對我的關懷和支持。

第五篇：泰勒公式及其應用的提綱

目錄

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意義...........（2）

1.3 不同類型的泰勒公式的余項的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 帶有皮亞諾余項的泰勒公式...............（6）

2.2帶有拉格朗日型余項的泰勒公式...............（6）

3.二元函數(shù)的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的應用................（10）

4.1 泰勒公式對于某些函數(shù)的應用................（10）

4.2用泰勒公式求極限...................（11）

4.3用泰勒公式求高階導數(shù)...............（11）

4.4泰勒公式在證明不等式中的應用.........（12）