第一篇：泰勒公式在極限求解中的應(yīng)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

泰勒公式在極限求解中的應(yīng)用

作者：劉靖 江飛

來(lái)源：《考試周刊》2013年第08期

摘 要： 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，我們可以借助它解決很多問(wèn)題.本文簡(jiǎn)述了泰勒公式在求解函數(shù)的極限中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞： 泰勒公式 極限 應(yīng)用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求極限中的應(yīng)用

用泰勒公式計(jì)算函數(shù)極限的實(shí)質(zhì)是計(jì)算極限時(shí)忽略較高階的無(wú)窮小，當(dāng)在求函極限的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)用其他方法較難時(shí)，可以考慮利用泰勒公式進(jìn)行求解，尤其是■型極限的求解，此時(shí)只需把分子、分母展開(kāi)到同階的無(wú)窮小即可.通過(guò)上面的幾個(gè)例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函數(shù)的極限很簡(jiǎn)潔、方便，從而能準(zhǔn)確、高效地解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題.參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2002.[3]南京大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

第二篇：泰勒公式及其應(yīng)用

泰勒公式及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2009級(jí) 楊立

指導(dǎo)教師 吳春

摘要:泰勒公式以一種逼近的思想成為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要知識(shí)，在分析和研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著重要的作用。本文研究了利用泰勒公式證明微分中值定理，求函數(shù)的極限，進(jìn)行近似計(jì)算，求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)等方面的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用泰勒公式能夠給我們的解題帶來(lái)極大的方便。

關(guān)鍵詞：泰勒公式；微分中值定理；極限；高階導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula;approximate calculation;limit;higher derivative;partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒級(jí)數(shù)的形式出現(xiàn)在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在該書(shū)中卻沒(méi)有給出具體的證明，直到19世紀(jì)由柯西給出了現(xiàn)在的形式及其嚴(yán)格的證明。泰勒公式是一種逼近的思想，集中體現(xiàn)了逼近法的精髓，可以將有理分式函數(shù)﹑無(wú)理函數(shù)和初等超越函數(shù)等復(fù)雜函數(shù)用簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函

第1頁(yè)（共12頁(yè)）

數(shù)來(lái)近似代替，而誤差又能滿足要求。這種化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的功能，使其成為分析和研究數(shù)學(xué)其他問(wèn)題的有力工具。也對(duì)函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計(jì)算帶來(lái)了極大的方便。本文主要是通過(guò)給出實(shí)際例子體現(xiàn)其應(yīng)用，并對(duì)這些方法做了歸納和總結(jié)。泰勒公式及其證明

1.1 帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式

若f(x)在x?x0點(diǎn)有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么就有：

f“(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?

2!'f(n)?x0?????(x?x0)n?Rn(x)(1.1)

n!n其中Rn?x??o?x?x0?是余項(xiàng)，這就是f?x?在x?x0點(diǎn)的帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公??式[1]。說(shuō)明：

①此公式對(duì)函數(shù)f?x?的展開(kāi)要求較低，只要求其在x?x0點(diǎn)處n階可導(dǎo)即可，展開(kāi)的形式也比較簡(jiǎn)單。

②這種泰勒公式的實(shí)質(zhì)是局部增量公式的升華，即可以把此函數(shù)局部地用線性函數(shù)代替改為用多項(xiàng)式代替，當(dāng)x?x0時(shí)用多項(xiàng)式代替這個(gè)函數(shù)所產(chǎn)生的誤差?x?x0?n是一個(gè)無(wú)窮小量。

③它難以說(shuō)明誤差范圍，因此不適合對(duì)余項(xiàng)作定量估算，只能是一個(gè)定性估目的。

④特別地當(dāng)x0?0時(shí)，有：

f”(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f(0)x?x?????x?Rn(x)(1.2)

2!n!'這種佩亞諾項(xiàng)的泰勒公式也被稱為麥克勞林公式。

第2頁(yè)（共12頁(yè)）

1.2 帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式

若函數(shù)f?x?在x??a,b?上有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且f?n?1??x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)存在，那么就有：

f"?x0?2f(x)?f?x0??f?x0?(x?x0)??x?x0??

2!'f(n)?x0?n?????x?x0??Rn?x?(1.3)

n!f?n?1????其中Rn?x???x?x0?n?1被稱為余項(xiàng)，此時(shí)?介于x與x0之間，這就是函數(shù)?n?1?!f?x?在x?x0點(diǎn)的帶拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式。

[2]說(shuō)明：

①它對(duì)函數(shù)f?x?的展開(kāi)要求較高，因?yàn)樗髮?duì)任意的x??a,b?都要成立，其形式也相對(duì)復(fù)雜。

②這種泰勒公式的實(shí)質(zhì)是對(duì)拉格朗日微分中值定理的升華，它是一個(gè)定量估計(jì)值。

③運(yùn)用這種泰勒公式逼近f?x?時(shí)，可以確定其大致的誤差范圍，但其誤差是由f?x?的?n?1?階導(dǎo)數(shù)決定的，若a越接近于b，即區(qū)間?a,b?越小，那么誤差就會(huì)越小，這種泰勒公式適合處理f?x?在區(qū)間上的問(wèn)題，特別是在不等式的證明中應(yīng)用起來(lái)比較方便。1.3 簡(jiǎn)單的證明

我們知道f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??，根據(jù)拉格朗日中值定理導(dǎo)出的有限增量定理有：

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x，其中誤差?是在??x?0?即?x?x0?的前提下才趨向于0，所以在近似計(jì)算中往往不夠精確，于是我們需要一個(gè)能夠足夠精確的且能估計(jì)出誤差的多項(xiàng)式：

P(x)?A0?A1(x?x0)?A2(x?x0)2???An(x?x0)n

第3頁(yè)（共12頁(yè)）

來(lái)近似地表示函數(shù)f?x?且要寫(xiě)出其誤差f?x??P?x?的具體表達(dá)式。

設(shè)函數(shù)P?x?滿足：

P(x0)?f(x0),P?(x0)?f?(x0),P??(x0)?f??(x0),??,P?n?(x0)?f?n?(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,?,An.顯然，P(x0)?A0，所以A0?P(x0);

P?(x0)?A1,A1?P?(x0)

P??(x0)?2!A2,A2?P??(x0)2!??

P?n?(x0)P(x0)?n!An,An?.n!?n?至此，多項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)都已求出，得：

f??(x0)f?n?(x0)2P(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n.2!n!接下來(lái)就要求誤差的具體表達(dá)式了。

設(shè)Rn?x??f?x??P?x?，于是有：

Rn(x0)?f(x0)?P(x0)?0.n所以可以得出：Rn(x0)?Rn??(x0)???Rn??(x0)?0.根據(jù)柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)?Rn(x0)Rn?(?1)??（其中：(x?x0)n?1?0），n?1nn?1(x?x0)(n?1)(??x)(x?x)?0?0?10這里?1在x和x0之間； 繼續(xù)使用柯西中值定理得：

??n?1????x?10Rn???1??Rn??x0?n?1?0??Rn????2?n?n?1???2?x0?n?1，第4頁(yè)（共12頁(yè)）

這里?2在?1與x0之間； 連續(xù)使用n?1次后得出：

Rn?x??x?x0?這里?在x0和x之間。

n?1Rn?n?1?????，?n?1?!但Rn?n?1??x??f?n?1??x??P?n?1??x?，由于P?n?1??x??(n?1)!An?1，(n?1)!An?1是一個(gè)常數(shù)，故P?n?1??x??0，于是得Rn?n?1??x??f?n?1??x?。

f?n?1?(?)綜上可得，余項(xiàng)Rn?x??。n?1(n?1)!(x?x0)一般來(lái)說(shuō)展開(kāi)函數(shù)時(shí)都是為了計(jì)算的需要，故x往往要取一個(gè)定值，此時(shí)也可把Rn?x?寫(xiě)為Rn。泰勒公式的應(yīng)用

2.1 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算和誤差估計(jì)

根據(jù)泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)可以把握函數(shù)用泰勒公式近似的程度，但需要估計(jì)誤差的范圍，關(guān)鍵就在于對(duì)f?n?1????值的估計(jì)。

如果存在M?0，有f?n?1?????M，x??x0??,x0???，那么我們就可以估計(jì)Rn(x)?Mn?1x?x0，x??x0??,x0???，從而當(dāng)我們期望近似值的誤差不超(n?1)!Mn?1x?x0??中解出n是多少就可以知道運(yùn)用泰勒公

(n?1)!過(guò)?時(shí)，只需在不等式式應(yīng)計(jì)算多少項(xiàng)即可，由此我們就可以近似地計(jì)算出某些復(fù)雜數(shù)的具體值。

例1 求?e?xdx的近似值，精確到10?5。

012解 由于該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無(wú)法用牛頓-萊布尼茨公式來(lái)計(jì)算，因此我們要用泰勒公式來(lái)計(jì)算它的近似值。

第5頁(yè)（共12頁(yè)）

因?yàn)閑?x22nx4nx?1?x????(?1)?? 2!n!2將兩邊逐項(xiàng)積分，有

?e01?x2dx=?1dx??xdx??00112102n1xx4dx????dx??

02!n!11111?? =1??????(?1)n?32!5n!2n?11111111????? =1????31042216***001?1.3?10?5 7560012111111???0.746836。所以?e?xdx?1????***60又因?yàn)榭偨Y(jié)：通過(guò)以上我們可以知道：只要給出一個(gè)數(shù)，知道它的誤差范圍，我們就可以利用泰勒公式較為簡(jiǎn)單的求出它的近似值。

例2 計(jì)算e的值，當(dāng)n?9時(shí)，誤差不超過(guò)多少？ 解 在ex的麥克勞林展開(kāi)式中，令x?1可得：

11e?e?1?1?????,（0???1）

2!n!(n?1)!33??0.000001 10!3628800111也就是說(shuō)e?1?1??+???2.718281?，2!3!9!當(dāng)n?9時(shí)，有：R9(1)?其誤差不超過(guò)10?6。

總結(jié)：利用泰勒公式我們可以輕易地判斷出一個(gè)函數(shù)公式的誤差范圍。2.2 利用泰勒公式證明中值問(wèn)題

如果要證明的結(jié)論是至少存在一點(diǎn)c??a,?b，使得關(guān)于然后驗(yàn)證輔助函數(shù)滿足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f?(c),?,f(n)(c)代數(shù)式的證明。羅爾定理?xiàng)l件，由定理的結(jié)論即得命題的證明。

例2

設(shè)f?x?在?a,b?上三次可導(dǎo)，試證明：?c??a,b?，使得：

第6頁(yè)（共12頁(yè)）

1?a?b?3???

(2.1)f(b)?f(a)?f??(b?a)?f(c)(b?a)?24?2?證明 設(shè)k為使得下式成立的實(shí)數(shù)：

1?a?b?f(b)?f(a)?f??(b?a)?k(b?a)3?0

(2.2)?24?2?此時(shí)，問(wèn)題可變?yōu)樽C明：?c??a,b?，使得k?f????c?。

設(shè)

1?a?x?g(x)?f(x)?f(a)?f??(x?a)?k(x?a)3?0

(2.3)?24?2?則g(x)?g(b)?0。

根據(jù)羅爾定理，????a,b?，使得g?(?)?0。由(2.3)式，即：

?a????a???(??a)k2??f?(?)?f???f?(??a)?0

(2.4)???8?2??2?2這是關(guān)于k的方程，注意f?(?)到在點(diǎn)

a??處的泰勒公式： 22?a????a???(??a)1??????a???f?(?)?f???f?f(c)??????0,c??a,b?

(2.5)

2?2??2?2?2?由(2.4)(2.5)兩式可得：

k1???a?1???2(??a)2?f????c????f(?)(??a)82?2?8則有：k?f???(c)，命題得證。

總結(jié)：解此類題最重要的就是輔助函數(shù)的確定，上面的例題使用的是原函數(shù)法，即通過(guò)恒等變形將結(jié)論化為以消除導(dǎo)數(shù)符號(hào)的形式或易積分的形式，用觀察法或積分法求出原函數(shù)，為簡(jiǎn)便積分常數(shù)取作零，移項(xiàng)使等式一邊為零，則另一邊將結(jié)論中的c換成x即為所需的輔助函數(shù)。

例4設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間??1,1?上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(?1)?1，f(1)?1，f?(0)?0，證明：在開(kāi)區(qū)間??1,1?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得f???(?)?3

2第7頁(yè)（共12頁(yè)）

證明 由于函數(shù)f(x)在閉區(qū)間??1,1?上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，因此可以寫(xiě)出f(x)的二階泰勒公式：

f??(0)2f???(?x)x? 2!3!f??(0)2f????(x)?x?(?0?? 1)

?f(0)2!3!f(x)?f(0)?f?(0)x?將x?1,x??1分別帶入得：

f(1)?f(0)?f??(0)f???(?1)f??(0)f???(??2)??，f(?1)?f(0)? 2626其中0??1,?2?1 兩式相減可得：

f(1)?f(?1)?f???(?1)?f???(??2)

6由于f????x?在閉區(qū)間??1,1?上連續(xù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知，在區(qū)間???2,?1????1,1?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得f???(?1)?f???(??2)?2f???(?)，代入等式1?f???(?1)?f???(??2)f???(?)1?可得，即f???(?)?3。

63總結(jié)：例4用泰勒公式進(jìn)行證明的優(yōu)勢(shì)是顯而易見(jiàn)的，條件中函數(shù)為三階可導(dǎo)的抽象函數(shù)，如果不用泰勒公式，條件和結(jié)論似乎風(fēng)牛馬不相及，證明難度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用

ex?cosx?2例５ 求lim的極限.x?0x42分析：當(dāng)x?0時(shí)為求

?型函數(shù)的極限，滿足洛必達(dá)法則，若直接用洛必達(dá)?法則求極限我們發(fā)現(xiàn)會(huì)有多次求導(dǎo)且計(jì)算過(guò)程也十分復(fù)雜，稍不注意就會(huì)出錯(cuò)。我們可以先用泰勒公式將分子展開(kāi)，再求極限，這樣就會(huì)簡(jiǎn)單許多。

解 在x0?0處，由佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式展開(kāi)得：

x4e?1?x??o(x4)

2!x22第8頁(yè)（共12頁(yè)）

x2x4cosx?1???o(x4)

2!4!因此 ex?cosx?2?故 274x?o(x4)12744x?o(x)e?cosx?2lim ?lim1244x?0x?0xx7

?

12x2?1???例6 求lim?x?x2In?x???

x??x????分析：當(dāng)x??時(shí)，此函數(shù)為???型未定式。雖然可以通過(guò)變換把其化為

001??型，再用洛必達(dá)法則，但計(jì)算量較大。所以我們先將In?x??展開(kāi)，再求其極

x??限。

2??1?2??1?11?1?解 因?yàn)閘n?1???????o????

??x???x?x2?x????1???所以lim?x?x2ln?x???

x??x?????11?1?2??1?2??

?lim?????o?????

??x???x??x2?x??????1? 2通過(guò)以上兩個(gè)例子，我們不難發(fā)現(xiàn)，在求一些未定型的極限時(shí)，如果用洛必達(dá)法則求導(dǎo)次數(shù)較多或化簡(jiǎn)過(guò)程較復(fù)雜時(shí)，不妨利用泰勒公式來(lái)求。在使用泰勒公式求極限時(shí)并不需要把各函數(shù)展開(kāi)到n階，那么函數(shù)到底應(yīng)該展開(kāi)到幾階，就成為了求解極限的關(guān)鍵?；仡櫳厦鎯蓚€(gè)例子我們可以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)極限為分式時(shí)，若分子或分母中只需要展開(kāi)一個(gè)，那么只需要將其展到另一個(gè)的同階無(wú)窮小的階數(shù)；若分子和分母都需要展開(kāi)，可分別展到其同階無(wú)窮小的階數(shù)，即合并后的首個(gè)非零項(xiàng)的冪次的次數(shù)。

第9頁(yè)（共12頁(yè)）

當(dāng)極限不為分式時(shí)，展開(kāi)的階數(shù)應(yīng)與函數(shù)最高次冪相同。2.4 泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用

例7 已知f(x)?x3ln(1?x)，求f?n?(0)(n?4)。

解 ln(1?x)的n?3階泰勒公式為：

n?3x2n?2xln(1?x)?x????(?1)?o(xn?2)

(2.6)2n?3則

nx5n?2xf(x)?x????(?1)?o(xn).(2.7)2n?34由于f?x?的n階泰勒公式為：

f??(0)2f??(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn)

(2.8)

2!n!nf??(0)(?1)n?2比較(2.7)(2.8)兩式可知，?n!n?3n所以

f?n?n!(?1)n?2(n?4)?0??n?3例8 設(shè)函數(shù)f(x)在上???,???有三階導(dǎo)數(shù)，并且f(x)和f???(x)在???,???上有界，證明：f?(x)和f??(x)在???,???上也有界。

證明 設(shè)M0,M3?R,f(x)?M0，f???(x)?M3，則由泰勒公式可得：

f??(x)f???(?1)?,?1??x,x?1? 26f??(x)f???(?2)f(x?1)?f(x)?f?(x)??,?1??x,x?1?

26f(x?1)?f(x)?f?(x)?兩式相加得：

f(x?1)?f(x?1)?2f(x)?f??(x)?f???(?1)?f???(?2)

6第10頁(yè)（共12頁(yè)）

故有f??(x)?4M0?兩式相減得： M3,?x????,??? 3f???(?1)?f???(?2)

6f(x?1)?f(x?1)?2f?(x)?故有f?(x)?M0?M3,?x????,???。6綜上可知，f?(x)和f??(x)在???,???上也有界?？偨Y(jié)

對(duì)于泰勒公式，我們已經(jīng)非常熟悉，它的應(yīng)用在當(dāng)今數(shù)學(xué)研究發(fā)展的過(guò)程中起到了重要的作用。通過(guò)以上幾個(gè)方面的研究，讓我們知道泰勒公式是函數(shù)展開(kāi)的一種形式，使我們對(duì)泰勒公式及其應(yīng)用有了一個(gè)總體上得認(rèn)識(shí)，也使我們?cè)谔囟ǖ念}設(shè)條件下形成特定的解題思路，使解題達(dá)到事半功倍的效果，只有了解了這些知識(shí)，并在此基礎(chǔ)上不斷加強(qiáng)訓(xùn)練，不斷行進(jìn)總結(jié)，才能使我們牢固掌握泰勒公式，進(jìn)而才能善于熟練運(yùn)用?？梢哉f(shuō)這樣的學(xué)習(xí)能使我們養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，靈活的從不同角度尋找解題途徑，進(jìn)而形成獨(dú)特的解題技巧。在數(shù)學(xué)研究中，泰勒公式幾乎是開(kāi)辟計(jì)算捷徑道路的基礎(chǔ)，同時(shí)，也為今后進(jìn)行泰勒公式的深入研究打下基礎(chǔ)。泰勒公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用多種多樣，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用泰勒公式能給我們解題帶來(lái)很大的方便，想要掌握好泰勒公式的應(yīng)用，需要綜合各方面的知識(shí)，從題設(shè)和結(jié)論出發(fā)，找出能應(yīng)用泰勒公式的條件，這樣才能好的運(yùn)用泰勒公式解決數(shù)學(xué)和生活中的問(wèn)題，發(fā)揮它的優(yōu)越性。

通過(guò)幾個(gè)月的努力，我的論文基本完成了。在此，特別向吳老師表示崇高的敬意和衷心的感謝，是您不厭其煩的幫助我糾正和改進(jìn)論文，才使我的論文得以完成，吳老師您嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致和一絲不茍的作風(fēng)是我以后學(xué)習(xí)工作的榜樣，您無(wú)私的教導(dǎo)給予了我無(wú)盡的啟迪，您的鼓勵(lì)和寬容讓我擁有了面對(duì)挫折的信心，為我以后的學(xué)習(xí)工作埋下了一筆巨大的財(cái)富。感謝我的同學(xué)借電腦給我使用，還幫我找了不少素材。也感謝幫我修改英文翻譯的同學(xué)。最后，在此感謝給我?guī)椭凸膭?lì)

第11頁(yè)（共12頁(yè)）的老師﹑朋友﹑同學(xué)，正是有了你們的幫助和鼓勵(lì)，才使得我的大學(xué)生活畫(huà)上了一個(gè)圓滿的句號(hào)，才有了如今我的成就。

參考文獻(xiàn)：

[1] 裘姚泰,王承國(guó),章仰文.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.[2] 趙煥光,林長(zhǎng)勝.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M].四川大學(xué)出版社,2006.[3] 胡國(guó)專.泰勒公式在微分學(xué)中的應(yīng)用[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào).2012.8，28(8):12-13.[4] 牛旭.泰勒公式在求函數(shù)極限中的應(yīng)用[J].大眾科技.2011，146(10):69-70.[5] 杜道淵.泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中的若干應(yīng)用.北京電力高等專科學(xué)校學(xué)報(bào)[J].2012.11，383.[6] 趙中，張秀全.泰勒公式在高階導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)方面的應(yīng)用[J].天中學(xué)刊.2011.4，26(2):81-82.[7] 張智云.淺析泰勒公式的應(yīng)用[J].課例研究.2011,10(5):79-80.[8] 楊鏞.泰勒公式的應(yīng)用[J].學(xué)科研究.2012.8.18:143.第12頁(yè)（共12頁(yè)）

第三篇：泰勒公式的應(yīng)用論文

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

目 錄

引言..................................................................................................................................................2 1．泰勒公式.....................................................................................................................................3

1.1 泰勒多項(xiàng)式.......................................................................................................................3 1.2 兩種類型的泰勒公式.......................................................................................................4 2．泰勒公式的應(yīng)用.........................................................................................................................6

2.1 利用泰勒公式求極限.......................................................................................................6 2.2 利用泰勒公式證明不等式.............................................................................................11 2.3 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算和誤差估計(jì).....................................................................15 結(jié)束語(yǔ)............................................................................................................................................17 參考文獻(xiàn).........................................................................................................................................17 致 謝...........................................................................................................................................18

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

泰勒公式及其應(yīng)用

理學(xué)院

數(shù)學(xué)082

陳培賢

指導(dǎo)教師：盧曉忠

摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中重要的內(nèi)容，它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。運(yùn)用泰勒公式可以有效地解決某些問(wèn)題，在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。本文將介紹泰勒公式及其在求極限、不等式的證明、近似計(jì)算三方面的應(yīng)用，從而能夠?qū)μ├展接懈钊氲牧私?，認(rèn)識(shí)到泰勒公式的重要性。關(guān)鍵詞：泰勒公式;佩亞諾余項(xiàng);拉格朗日余項(xiàng);應(yīng)用

引言

不論是進(jìn)行近似計(jì)算還是理論分析，我們總希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表示比較復(fù)雜的函數(shù)。多項(xiàng)式是比較簡(jiǎn)單的一種函數(shù)，它只包含加、乘兩種運(yùn)算，最適于使用計(jì)算機(jī)計(jì)算。因此，我們常用多項(xiàng)式來(lái)近似表示函數(shù)。泰勒公式是18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒，在微積分學(xué)中將函數(shù)展開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)而定義出來(lái)的，泰勒將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)從而得到泰勒公式。

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，微分學(xué)理論中最一般的情形是泰勒公式。它的理論方法已經(jīng)成為研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓。它建立了函數(shù)的增量，自變量增量與一階及高階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用它可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題，并能滿足很高的精確度要求，在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿。

用泰勒公式可以很好的解決某些問(wèn)題，如求極限、不等式證明、近似計(jì)算、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性等方面。比如在求某一初等函數(shù)的定積分時(shí)，由于此函數(shù)的原函數(shù)無(wú)法用初等函數(shù)表示，考慮到一般初等函數(shù)都可以近似地用泰勒公式表示，故可運(yùn)用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算，并能滿足一定的精確度。因此泰勒公式在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具，用泰勒公式這一有力的工具能解決更多的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題。

在高等數(shù)學(xué)教材中，一般只講泰勒公式及幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林公式，對(duì)其在解題中的應(yīng)用介紹很少。但泰勒公式在解決一些問(wèn)題中確實(shí)有十分重要的作用，因此在泰勒公式

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

及其應(yīng)用方面我們有必要進(jìn)行歸納總結(jié)，并且有很大的空間。本文將從求極限、不等式的證明、近似計(jì)算三個(gè)方面介紹泰勒公式的應(yīng)用。

1．泰勒公式

1.1 泰勒多項(xiàng)式

當(dāng)f?(x0)?0，并且?x很小時(shí)，有如下的近似等式

?y?dy?f?(x0)?x

或

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

上式就是用一次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)一個(gè)函數(shù).在x?x0處，這個(gè)一次多項(xiàng)式及其導(dǎo)數(shù)的值分別等于被近似表達(dá)的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的值.但是，這種近似表達(dá)式存在不足之處.它所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于(x?x0)的高階無(wú)窮小，精確度不高.為了提高近似程度，其可能的途徑是提高多項(xiàng)式的次數(shù).因此，可設(shè)想用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù).于是提出如下的問(wèn)題：設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有直到n階的導(dǎo)數(shù)，試找出一個(gè)關(guān)于(x?x0)的n次多項(xiàng)式

2n

(1)P(x)?a?a(x?x)?a(x?x)???a(x?x)n01020n0

用它來(lái)近似表達(dá)f(x)，要求它與f(x)之差是關(guān)于(x?x0)n高階的無(wú)窮小.為了使求得的近似多項(xiàng)式與f(x)在數(shù)值與性質(zhì)方面吻合得更好，如函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性等.于是可進(jìn)一步要求Pn(x)在x0處的函數(shù)值以及它的直到n階的導(dǎo)數(shù)值與f(x)在x0處的函數(shù)值以及它的直到n階的導(dǎo)數(shù)值分別相等，即要求

Pn(k)(x0)?f(k)(x0)

(k?0，1，?，n)

(2)

按此要求，可求得(1)式中多項(xiàng)式的各個(gè)系數(shù)為

a0?f(x0),a1?f?(x0),a2?于是

11f??(x0),?,an?f(n)(x0)2!n!3

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

Pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?11f??(x0)(x?x0)2???f2!n!(n)(x)(x?x0)n

(3)

(3)式中的Pn(x)稱為f(x)在x0處的泰勒多項(xiàng)式.那么Pn(x)與f(x)的吻合程度如何？是否是我們要找的多項(xiàng)式呢？即是否有

f(x)?Pn(x)?o((x?x0)n)成立，這將從下文給出證明.1.2 兩種類型的泰勒公式

1.2.1 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式

定理1.1 若函數(shù)f在點(diǎn)x0存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f(x)?Pn(x)?o((x?x0)n)，即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

??1f??(x0)(x?x0)2? 2!1(n)f(x0)(x?x0)n?o((x?x0)n)

(4)n!證明： 設(shè) Rn(x)?f(x)?Pn(x)，Qn(x)?(x?x0)n，現(xiàn)在只要證

limRn(x)?0

x?x0Q(x)n(n)?(x0)???Rn 由關(guān)系式(2)可知

Rn(x0)?Rn(x0)?0

(n?1)(n)?(x0)???Qn并易知

Qn(x0)?Qn(x0)?0，Qn(x0)?n!

因?yàn)閒(n)(x0)存在，所以在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)f(x)存在n?1階導(dǎo)函數(shù).于是

當(dāng)x?U?(x0)且x?x0時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)法則n?1次，得到

(n?1)?(x)Rn(x)RnRn(x)

lim ?lim???lim(n?1)x?x0Q(x)x?x0Q?(x)x?x0Q(x)nnnf(n?1)(x)?f(x?1)(x0)?f(n)(x0)(x?x0)?limx?x0n(n?1)?2(x?x0)?f(n?1)(x)?f(n?1)(x0)?1?f(n)(x0)? ?lim?n!x?x0?x?x0??0證畢.麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

定理所證的(4)式稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒公式，Rn(x)?f(x)?Pn(x)稱為泰勒公式的余項(xiàng)，形如o((x?x0)n)的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng).所以(4)式又稱為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式.泰勒公式(4)在x0?0時(shí)的特殊形式：

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn).稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)

2!n!的）麥克勞林公式.1.2.2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式

上面我們從微分近似出發(fā)，推廣得到用n次多項(xiàng)式逼近函數(shù)的泰勒公式(4).它的佩亞諾型余項(xiàng)只是定性地告訴我們：當(dāng)x?x0時(shí)，逼近誤差是較(x?x0)n高階無(wú)窮小.現(xiàn)在將泰勒公式構(gòu)造一個(gè)定量形式的余項(xiàng)，以便于對(duì)逼近誤差進(jìn)行具體的計(jì)算或估計(jì).定理1.2（泰勒中值定理）

若函數(shù)f(x)在?a，b?上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在?a，b?內(nèi)存在(n?1)階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的x，x0??a，b?，至少存在一點(diǎn)ξ??a，b?，使得

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)(x?x0)2?? 2!f(n)(x0)f(n?1)(ξ)n ?(x?x0)?(x?x0)n?(5)

n!(n?1)!證明： 作輔助函數(shù)

??f(n)(t)F(t)?f(x)??f(t)?f?(t)(x?t)???(x?t)n?，G(t)?(x?t)n?1.n!??所要證明的(5)式即為

F(x0)f(n?1)(f(n?1)(ξ)ξ)

F(x0)?G(x0)或?（n?1）!G(x0)(n?1)!

不妨設(shè)x0＜x，則F(t)與G(t)在?x0，x?上連續(xù)，在?x0，x?內(nèi)可導(dǎo)，且

f(n?1)(t)F?(t)??(x?t)n

n!5

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

G?(t)??(n?1)(x?t)n?0

又因F(x)?G(x)?0，所以由柯西中值定理證得

F(x0)F(x0)?F(x)F?(ξ)f(n?1)(ξ)???G(x0)G(x0)?G(x)G?(ξ)(n?1)!其中ξ??x0，x???a，b? 證畢.(5)式同樣稱為泰勒公式，它的余項(xiàng)為

f(n?1)(ξ)

Rn(x)?f(x)?Pn(x)?(x?x0)n?1，ξ?x0??(x?x0)?0＜?＜1?

(n?1)!

稱為拉格朗日型余項(xiàng).所以(5)式又稱為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式.注意到n?0時(shí)，(5)式即為拉格朗日種植公式

f(x)?f(x0)?f?(ξ)(x?x0)

所以，泰勒中值定理可以看作拉格朗日中值定理的推廣

當(dāng)x0?0時(shí)，得到泰勒公式

f??(0)2f(n)(0)nf(n?1)(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?x ?0＜?＜1?(6)

2!n!(n?1)!(6)式也稱為（帶有拉格朗日余項(xiàng)的）麥克勞林公式

2．泰勒公式的應(yīng)用

2.1 利用泰勒公式求極限

極限是微積分的基礎(chǔ)，極限運(yùn)算是學(xué)習(xí)微積分的基本功。求極限有許多方法，其中用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限是一種常用、方便、有效的方法。但尋求等價(jià)無(wú)窮小量并非易事，在替換過(guò)程中也容易出錯(cuò)。對(duì)于未定式的極限問(wèn)題，一般可以采用洛必達(dá)法則來(lái)求。但是，對(duì)于一些求導(dǎo)比較繁瑣，特別是要多次使用洛必達(dá)法則的情況，泰勒公式往往是比洛必達(dá)法則更為有效的求極限工具。利用泰勒公式求極限，一般用麥克勞林公式形式，并采用佩亞諾型余項(xiàng)。當(dāng)極限式為分式時(shí)，一般要求分子分母展成同一階的麥克勞林公式，通過(guò)比較求出極限

2.1.1用泰勒公式尋求等價(jià)無(wú)窮小量及用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

命題：f(x)?P(x)?o((x?x0)n)，P(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?1f??(x0)(x?x0)2 2!???1fn!(n)(x0)(x?x0)n，若f(i)(x0)(i?1，2，?，n)不全為零，且當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?0.則當(dāng)x?x0時(shí)，P(x)與f(x)為等價(jià)無(wú)窮小.證明：因?yàn)閒(i)(x0)(i?1，2，?，n)不全為零，設(shè)f(k)(x0)?0，且f(j)(x0)?0

o((x?x0)n)(j?1，2，?，k?1)，則有l(wèi)imx?x0P(x)?limx?x0o((x?x0)n)1(k)11f(x0)(x?x0)k?f(k?1)(x0)(x?x0)k?1???f(n)(x0)(x?x0)nk!(k?1)!n!o((x?x0)n)(x?x0)k1(k)11f(x0)?f(k?1)(x0)(x?x0)???f(n)(x0)(x?x0)n?kk!(k?1)!n!

?limx?x0?0，所以

P(x)?o((x?x0)n)o((x?x0)n)f(x)lim?lim?lim(1?)?1.因此，當(dāng)x?x0時(shí)，x?x0P(x)x?x0x?x0P(x)P(x)P(x)與f(x)為等價(jià)無(wú)窮小.證畢.由此命題可以看出，可以用泰勒公式求某一無(wú)窮小量，從而利用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限

例1 試說(shuō)明求極限limx?0tanx?sinx時(shí)，為什么不能用tanx與sinx的等價(jià)無(wú)窮小xx3分別替換它們？

解： 我們用三階的帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式分別將tanx與sinx表示為

x3x33tanx?x??o(x)，sinx?x??o(x3)

33!x3x3x33?o(x)，這說(shuō)明函數(shù)tanx?sinx與于是tanx?sinx?是等價(jià)無(wú)窮?。词?222x3tanx?sinx的主要部分）.因此只能用來(lái)替代tanx?sinx，而不能用(x?x)來(lái)替代它.2例

2利用帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式，求極限lim2cosxln(1?x)?x

x?0x2解： 因?yàn)榉质胶瘮?shù)的分母是x，我們只需將分子中的cosx與ln(1?x)分別用二階的

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

麥克勞林公式表示：cosx?1?121x?o(x2)，ln(1?x)?x?x2?o(x2)于是 2!21?1???cosxln(1?x)?x??1?x2?o(x2)???x?x2?o(x2)??x

2?2!???對(duì)上式作運(yùn)算是把所有比x2高階的無(wú)窮小的代數(shù)和仍記為o(x2)，就得

121x?o(x2)?x??x2?o(x2)故 221?x2cosxln(1?x)?x12 lim?lim??22x?0x?02xxarcsin2x?2arcsinx 例3 求極限lim

x?0x39535 解： arcsin2x?2arcsinx的泰勒展開(kāi)式為x?x?o(x)

49x3?x54則原式?lim?1 3x?0x cosxln(1?x)?x?x?2.1.2 泰勒公式代換求極限應(yīng)至少取到第幾項(xiàng)

在高等數(shù)學(xué)中，有時(shí)求極限,用帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式代換的方法求，許多高等教學(xué)教材中都有例子，但都沒(méi)有說(shuō)明取到哪一項(xiàng)才合適。因此，這一點(diǎn)必須弄清楚，否則在解題 過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤以及一些不必要的麻煩，故給出以下定理。定理2.1 設(shè)?1??2及?是x?x0時(shí)的無(wú)窮小量，?2?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

f(n)(x0)???(x?x0)n?o((x?x0)n)?Pn(x)?o((x?x0)n).如果lim?

x?x(x?x)kn!00c?0（c是常數(shù)，k是正整數(shù)），limx?x0?1?Pn(x)??Pn(x)???2存在，則lim1 ?lim1x?xx?x???00的充要條件是n≥k.證明：必要性 若limx?x0??Pn(x)???2???1?Pn(x)??1??2，則lim1?lim1?lim

x?xx?xx?x???000???2?Pn(x)??故?2?Pn(x)?o(?)，即o((x?x0)n)?o(?).因lim?0，x?x0?(x?x0)k，故?與(x?x0)k是同階無(wú)窮小(x?x0)，所以n≥k.?c?0（c是常數(shù)）充分性 因?與(x?x0)k是同階無(wú)窮小(x?x0)，故當(dāng)n≥k時(shí)，可以得到

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

o((x?x0)n)?o(?)，又?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，所以limx?x0?1??2?lim x?x?0?1?[Pn(x)?o((x?x0)n)]??Pn(x)??Pn(x)o(?)?lim1?lim?lim1 x?xx?xx?x????000 證畢.推論1 設(shè)?1及?1??2是x?x0時(shí)的無(wú)窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，如果

x?x0lim?(x?x0)k（c是常數(shù)），lim?c?0，x?x0??1?Pn(x)存在且不等于零，則lim??1??2x?x0

?limx?x0??1?Pn(x)的充要條件是n≥k.證明：由定理2.1知limx?x0??Pn(x)?1??2?lim1的充要條件n≥k，也就是x?x??01x?x0lim?1??2??x?x0lim1??的充要條件.即lim的充要條?limx?x0???x?x0??P(x)?1?Pn(x)121n?件.證畢.定理2.2 設(shè)?1，?2，?均為x?x0時(shí)的無(wú)窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，x?x0lim?1Pn(x)?1Pn(x)?1?2?存在，如果lim（是常數(shù)），則 ?c?0lim?limckx?xx?xx?x???(x?x0)000的充分條件是n≥k? 證明：因limx?x0?(x?x0)k?c?0，故?與(x?x0)k是同階無(wú)窮小.當(dāng)n≥k?1時(shí)，o((x?x0)n)?O(?)(x?x0).即有界.又?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，所以limx?x0?1?2 ??1[Pn(x)?o((x?x0)n)]?1Pn(x)o((x?x0)n)?1?lim?lim?lim，又?1是無(wú)窮小量，x?xx?xx?x???000所以limx?x0o((x?x0)n)?1??0，即limx?x0?P(x)?1?2.證畢.?lim1nx?x??0推論2 ?，?1，?2均為x?x0時(shí)的無(wú)窮小量，?2?Pn(x)?o((x?x0)n)，如果

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

x?x0lim?(x?x0)k，lim?c?0（c是常數(shù)）

??1Pn(x)x?x0存在且不等于零，則limx?x0??lim ?1?2x?x0??1Pn(x)的充分條件是n≥k?1.證明：由定理2.2知，limx?x0?P(x)?1?2?lim1n的充分條件是n≥k?1.也就是 x?x??01x?x0lim?1?2??x?x0lim1??的充分條件.即lim的充分條件.?limx?x0??x?x0?P(x)?1Pn(x)121n?1(x?1)3?x?1?sin(x?1)例1 求lim6

x?1tan5(x?1)解：這里x0?1，?1?1(x?1)3?x?1，?2?sin(x?1)，??tan5(x?1).因?yàn)?6tan5(x?1)即k?5.故由定理2.1知sin(x?1)的帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式lim?1?0，5x?1(x?1)只要取到含(x?1)5項(xiàng)即可.所以取

sin(x?1)?(x?1)?11(x?1)3?(x?1)5?o((x?1)5)即 3!5!11Pn(x)?(x?1)?(x?1)3?(x?1)5 因此,原式

3!5!1111Pn(x)?(x?1)3?x?1x?1?(x?1)3?(x?1)5?(x?1)3?x?163!5!6?lim?lim 55x?1x?1tan(x?1)(x?1)1(x?1)51?lim5!? x?1(x?1)5120(ex?1?x)lnx例2 求lim

x?1sin3(x?1)解：這里x0?1，?1?lnx，?2?ex?1sin3(x?1)?x，??sin(x?1).由于limx?1(x?1)33?1?0，即k?3.故由定理2.2知ex?1的泰勒公式取到含(x?1)3?1?(x?1)2項(xiàng)即可.取

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

Pn(x)?1?(x?1)?1(x?1)2，所以原式 2!1??211?(x?1)?(x?1)?xlnx3(x?1)2lnx????1lnx(x?1)2!?2!lim??lim?lim??33x?1x?1x?12(x?1)?sin(x?1)?sin(x?1)sin(x?1)?12

2.2 利用泰勒公式證明不等式

關(guān)于不等式的證明，我們以前學(xué)過(guò)了多種方法，如利用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式，利用函數(shù)的凹凸性來(lái)證明不等式，以及通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法.下面我們舉例說(shuō)明，泰勒公式也是證明不等式的一個(gè)重要方法.定理2.3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0點(diǎn)附近二階可導(dǎo)，則

(1)若f??(x)＞0，則有f(x)≥f(x0)?f?(x0)(x?x0)

(2)若f??(x)＜0，則有f(x)≤f(x0)?f?(x0)(x?x0)等號(hào)當(dāng)x?x0是成立.2.2.1 證明代數(shù)不等式

例1 證明設(shè)n?N，則nn?nn?nn?nn≤2nn，n≥2

1證明：設(shè)f(x)?x ?x＞0?，則f?(x)?xnn1?nn11?n，f??(x)??xnn1?2nn＜0

由定理3.3得 f(n?nn)≤f(n)?f?(n)(nn)，f(n?nn)≤f(n)?f?(n)(?nn)兩式相加即得結(jié)論.例2 設(shè)xi?R，i?1，2，?，n.??xi?1ni?a，?≥2,求證

????x3xnx1x2a??1≥ ???????2a?x1a?x2a?x3a?xn(n?1)nx??x??1(a?x)?x?證明：作函數(shù)f(x)?，?0＜x＜a?，則f?(x)? 2a?x(a?x)f??(x)??(??1)x??2(a?x)2?2?x??1(a?x)?2x?(a?x)2.注意到?0＜x＜a?，則

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

nx1?x2???xna，因?yàn)?xi?a，有x0?，則可f??(x)＞0.利用定理2.3，取x0?nni?1得

a??a??a??f(x1)≥f???f?????x1??

n??n??n??a??a??a??f(x2)≥f???f?????x2??

n??n??n???

a??a??a??f(xn)≥f???f?????xn??

n??n??n??n式相加得f(x1)?f(x2)???f(xn)≥nf???f????x1?x2???xn?a?

?a???????x3xnx1x2a??1n??即≥n ????????2a(n?1)na?x1a?x2a?x3a?xna?n原結(jié)論得證.2.2.2 證明含導(dǎo)函數(shù)不等式

??a??n??a??n??p1x1?p2x2???pnxn??f0b?內(nèi)二階可導(dǎo)，例3 設(shè)f(x)在區(qū)間?a，且f(x)≥，則??p1?p2???pn?≤

??? ?p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)，其中p1，p2，?，pn均為正數(shù)，x1，x2，?，p1?p2???pnxn??a，b?.證明： 記x0?p1x1?p2x2???pnxn，則x0??a，b?，由于f(x)在?a，b?內(nèi)

p1?p2???pnf??(ξ)2！二階可導(dǎo)，故f(x)在點(diǎn)x0處一階泰勒公式成立.f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2，ξ在x0與x之間.因?yàn)閒??(x)≥0，x??a，b?，所以f(x)≥f(x0)?

f?(x0)(x?x0).分別取x?x1，x2，?，xn，則有

f(x1)≥f(x0)?f?(x0)(x1?x0)

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

f(x2)≥f(x0)?f?(x0)(x2?x0)

?

f(xn)≥f(x0)?f?(x0)(xn?x0)

以上各不等式分別乘以p1，p2，?，pn得

p1f(x1)≥p1f(x0)?p1f?(x0)(x1?x0)p2f(x2)≥p2f(x0)?p2f?(x0)(x2?x0)

?

pnf(xn)≥pnf(x0)?pnf?(x0)(xn?x0)

將上面n個(gè)不等式相加得

p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)≥(p1?p2???pn)f(x0)?

f?(x0)[p1x1?p2x2???pnxn?(p1?p2???pn)x0] 因?yàn)閤0?p1x1?p2x2???pnxn，所以

p1?p2???pnp1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)≥(p1?p2???pn)f(x0)則

f(x0)≤p1f(x1)?p2f(x2)??pnf(xn)，從而得

p1?p2???pn?p1f(x1)?p2f(x2)???pnf(xn)?.結(jié)論得證.?≤p1?p2???pn??p1x1?p2x2???pnxnf??p1?p2???pn?例4 若函數(shù)f(x)在區(qū)間?a，b?上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f?(a)?f?(b)?0，則在?a，b? 內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使f??(?)≥

4f(b)?f(a)(b?a)2成立.證明：因?yàn)閒(x)在?a，b?上具有二階導(dǎo)數(shù)，所以f(x)在x0處一階泰勒公式成立

f??(ξ)(x?x0)2(1)2！a?b其中ξ在x與x0之間，x0??a，b?，在(1)式中取x0?a，x?，則有

2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?13

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

ξ1)?a?ba?b?a?b?f??(?f()?f(a)?f?(a)??a???a?，因?yàn)閒?(a)?0，所以 ?22！?2?2??a?bf??(ξ1)?b?a?a?b(2)f()?f(a)???，a＜ξ1＜222！?2?在(2)式中取x0?b，x?22a?b，又因?yàn)閒?(b)?0，所以 22a?bf??(ξ2)?b?a?a?b＜ξ2＜b(3)f()?f(b)???，222！?2?(3)式減去(2)式并取絕對(duì)值得

11f(b)?f(a)?(b?a)2f??(ξ2)?f??(ξ1)≤(b?a)2?f??(ξ2)?f??(ξ1)?

88取f??(?)?Maxf??(ξ1)，f??(ξ2)，???a，b?，則

??f(b)?f(a)≤(b?a)2?2f??(?)?即f??(?)≥

181(b?a)2f??(?)44f(b)?f(a)(b?a)2

證畢.2.2.3 證明含定積分不等式

例5 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間?a，b?上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f??a?b???0，證明 2???baM(b?a)3f(x)dx≤，其中M?maxf??(x).a?x?b24a?b處展開(kāi)，得 2f??(ξ)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)2，其中ξ是x0與x之間的某個(gè)值.2！證明： 將f(x)在x0?因?yàn)閒?f??(ξ)?a?b??f(x)?f(x)(x?x)?(x?x0)2，所以有?0?002！?2?上式在?a，b?作定積分，然后取絕對(duì)值

?baf(x)dx??f??(ξ)?2??f(x)(x?x)?(x?x)dx 000?a??2!??b12?baf??(ξ)(x?x0)2dx≤

M2?ba(x?x0)2dx?M(b?a)3 2414

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

即?baM(b?a)3f(x)dx≤ 證畢.242.3 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算和誤差估計(jì)

根據(jù)泰勒展開(kāi)式的余項(xiàng)可以具體地估計(jì)出用泰勒公式近似地表示一個(gè)函數(shù)所產(chǎn)生的誤

f(n?1)(ξ)差.由拉格朗日型余項(xiàng)Rn(x)?(x?x0)n?1，如果f(n?1)(x)≤M，M為一定數(shù)，(n?1)!則其余項(xiàng)不會(huì)超過(guò)Mx?x0(n?1)!n?1.由此可以近似地計(jì)算某些數(shù)值并估計(jì)它們的誤差.正弦函數(shù)及其近似多項(xiàng)式Pn(x)(n?1，3，?，19)通過(guò)計(jì)算機(jī)作出的圖象如下圖所示，可以看到sinx與其近似多項(xiàng)式Pn(x)的圖形隨著n的增大而變得貼近起來(lái)，也就是說(shuō)，誤差Rn(x)隨著n的增大而變小.特別當(dāng)x偏離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，選取階數(shù)較高的麥克勞林多項(xiàng)式Pn(x)來(lái)近似表示sinx時(shí)，其精度就較高.例1 求101的近似值 解： 101?100?1?101?1 1007?11135由1?x?1?x?x2?x?(1??x)2x4，?0＜?＜1?

281612815

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

可得到101?10?1???111111? ??????10.04987562523?2100810016100?此時(shí)誤差R?10R3?51?1???3.90625?10?5 ?＜10?4128100?100?由此可見(jiàn)，精確度很高.例2 求定積分sinx?0xdx的近似值.1解： 該被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故用牛頓—萊布尼茨公式是無(wú)法求出其精確解的.考慮sinx的泰勒展開(kāi)，能方便地求出其近似數(shù).1315cos?x7x?x?x，?0＜?＜1? 3!5!7!sinx11cos?x6?1?x2?x4?x，?0＜?＜1? 則 x3!5!7!11sinx1cos?x1135dx?(x?x?x)??x6dx 所以?000x3?3!5?5!7!1sinx11dx?1???0.9461 可得?0x3?3!5?5!sinx?x?此時(shí)誤差R?R6(x)?0xdx?1111cos?x66?5xdx?3?10≤＜.xdx?07!?07!7?7!1例3(1)計(jì)算e的值，使其誤差不超過(guò)10；

?6(2)證明數(shù)e為無(wú)理數(shù).111e?解：(1)當(dāng)x?1時(shí)有e?1?1?????? ?0＜?＜1?.(?)

2!3!n!(n?1)!e?3故Rn(1)?＜，當(dāng)n?9時(shí)，便有

(n?1)!(n?1)!R9(1)＜

33?6?＜10.10!3628800從而略去R9(1)而求得e的近似值為 e?1?1?111?????2.718285.2!3!9!(2)由(?)式得

e?n!e?(n!?n!?3?4?n???n?1)?.n?116

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

倘若e?p（p，q為正整數(shù)），則當(dāng)n＞q時(shí)，n!e為正整數(shù)，從而上式左邊為整數(shù).因qe?e3為＜＜，所以當(dāng)n≥2時(shí)右邊為非整數(shù)，矛盾.從而e只能是無(wú)理數(shù).n?1n?1n?1

結(jié)束語(yǔ)

本文主要介紹了泰勒公式在求極限、不等式的證明、近似計(jì)算三方面的應(yīng)用。在求極限方面，用泰勒公式求等價(jià)無(wú)窮小量并且討論了替換求極限時(shí)應(yīng)取到哪一項(xiàng)。不等式證明主要從三類不等式入手，用典型的例題加以闡述泰勒公式在這方面的應(yīng)用。近似計(jì)算應(yīng)該是泰勒公式最貼近實(shí)際的應(yīng)用了，并能滿足很高的精確度。但并不是所有的近似問(wèn)題都可以用泰勒公式，它的限制條件比較多，必須是n階連續(xù)可微函數(shù)，如果近似的階數(shù)越小，則求出的誤差也就會(huì)越大。

由于自己的水平能力有限，雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些有關(guān)方面的知識(shí)，但在寫(xiě)論文的過(guò)程中還是碰到了許許多多的困難，所寫(xiě)的論文難免有不足之處。正是有了這些困難，才給自己解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)，才能鍛煉自己的思維，培養(yǎng)自己的能力。

參考文獻(xiàn)

[1] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1999.141-149 [2] 鄭瑞根.泰勒公式在等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限中的應(yīng)用[J].南平師專學(xué)報(bào)，2005，（24）:8 [3] 丁殿坤，鄧薇，李淑英.用帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式代換求極限應(yīng)取到哪一項(xiàng)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，8（5）：13—14 [4] 劉璟忠，王國(guó)政.Taylor公式在證明不等式方面的幾個(gè)應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究，2006，9（2）：18 [5] 陳妙琴.泰勒公式在證明不等式的應(yīng)用[J].寧德師專學(xué)報(bào)，2007，（19）：154-155 [6] 嚴(yán)永仙.泰勒中值定理在不等式證明中的應(yīng)用[J].浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，（22）：165-166 [7] 陳傳璋.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1983.188 [8] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2001.140-141

麗水學(xué)院2012屆學(xué)生畢業(yè)論文

[9] 安麗微.泰勒公式及其應(yīng)用[J].素質(zhì)教育論壇,2009,(03).[10] 陳曉萌.泰勒公式在不等式中的應(yīng)用[J].昌濰師專學(xué)報(bào),2000,(02).[11] 潘勁松.泰勒公式的證明及應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,(04).[12] 趙小樣.泰勒公式的證明及其應(yīng)用推廣[J].科技風(fēng),2008,(03).Taylor formula and its application

Faculty of science

Mathematics 082

Chen pei-xian

Director: Lu xiao-zhong

Abstract: The Taylor formula is important in mathematical analysis , the theory has become an indispensable mathematical tool by the research function limits and estimation error , embodies the essence of the calculus “approximation method”.Use the Taylor formula can effectively solve some problems , have important applications in various aspects of the calculus.This article will introduce Taylor formula and its applications in three aspects of asks the limit，proof of inequalities and approximate calculation , allowing a deeper understanding in the Taylor formula , understanding the importance of the Taylor formula.Keyword: Taylor formula Peano remainder Lagrange remainder applications

致 謝

本論文自始至終在指導(dǎo)教師盧曉忠老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的，盧老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)與工作態(tài)度使我受益匪淺，也感染著每一位他所指導(dǎo)的學(xué)生。在本論文的撰寫(xiě)過(guò)程中給與我大量的指導(dǎo)和幫助。真摯地感謝盧曉忠老師對(duì)本論文的精心指導(dǎo)。

同時(shí)也感謝家人和同學(xué)在學(xué)習(xí)生活中對(duì)我的關(guān)懷和支持。

第四篇：泰勒公式及其應(yīng)用的提綱

目錄

1.1泰勒公式的背景............（1）

1.2泰勒公式的意義...........（2）

1.3 不同類型的泰勒公式的余項(xiàng)的作用..........（5）

2.泰勒公式.......................（5）

2.1 帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式...............（6）

2.2帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式...............（6）

3.二元函數(shù)的泰勒公式.................（8）

4.泰勒公式的應(yīng)用................（10）

4.1 泰勒公式對(duì)于某些函數(shù)的應(yīng)用................（10）

4.2用泰勒公式求極限...................（11）

4.3用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)...............（11）

4.4泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用.........（12）

第五篇：多元函數(shù)的泰勒公式

第九節(jié)多元函數(shù)的泰勒公式

內(nèi)容分布圖示

★ 二元函數(shù)的泰勒公式

★ 例1

★ 關(guān)于極值充分條件的證明

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題8—9

★ 返回

內(nèi)容要點(diǎn)：

一、二元函數(shù)的泰勒公式

我們知道用一個(gè)一元函數(shù)的泰勒公式可以按任意給定的精度要求來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).對(duì)多元函數(shù)也有類似的結(jié)果，即可以用一個(gè)多元多項(xiàng)式按任意給定的精度要求來(lái)近似表達(dá)一個(gè)多元函數(shù).現(xiàn)以二元函數(shù)為例敘述如下：

定理1 設(shè)z?f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到n?1階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(x0?h,y0?k)為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn), 則有

????1???????f(x0?h,y0?h)?f(x0,y0)??h?kf(x,y)?h?k00??x???x?f(x0,y0)?y2!?y????2

1????1???????????h?kf(x,y)?h?k00??x??(n?1)!?yn!??x?y????nn?1f(x0??h,y0??k)

(0???1).這個(gè)公式稱為二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的n階泰勒公式.推論1 設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且在區(qū)域D內(nèi)，有fx(x,y)?0,fy(x,y)?0，則函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)為一常數(shù).二、極值充分條件的證明

例題選講：

例1（講義例1）求函數(shù)f(x,y)?ln(1?x?y)的三階麥克勞林公式.