第一篇：中國古代數學的成就

中國古代數學的成就

中國是世界文明古國之一。數學是中國古代科學中一門重要學科，其發展源遠流長，成就輝煌，其中包括圓周率、割圓術、十進位制計數法、算經十書、勾股定理、楊輝三角和剁積術、珠算等。我想就著這幾項談談我國古代數學的成就。

一：圓周率。古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計算。為了計算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數學家為這個神秘的數貢獻了無數的時間與心血。十九世紀前，圓周率的計算進展相當緩慢。中國古算書《周髀算經》中有“徑一而周三”的記載，認為圓周率是常數。

我國數學家劉徽在注釋《九章算術》時只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數的π值，他的方法被后人稱為割圓術。他用割圓術一直算到圓內接正192邊形，得出π≈根號10。

漢朝時，張衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的開方。雖然這個值不太準確，但它簡單易理解，所以也在亞洲風行了一陣。王蕃發現了另一個圓周率值，這就是3.156，但沒有人知道他是如何求出來的

南北朝時代著名數學家祖沖之進一步得出精確到小數點后7位的π值，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率355/113和約率22/7。他的輝煌成就比歐洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲不知道是祖沖之先知道密率的，將密率錯誤的稱之為安托尼斯率。

二、割圓術。3世紀中期，魏晉時期的數學家劉徽首創割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數求出圓周長的方法。中國古代從先秦時期開始，一直是取“周三徑一”（即圓周周長與直徑的比率為三比一）的數值來進行有關圓的計算。但用這個數值進行計算的結果，往往誤差很大。正如劉徽所說，用“周三徑一”計算出來的圓周長，實際上不是圓的周長而是圓內接正六邊形的周長，其數值要比實際的圓周長小得多。東漢的張衡不滿足于這個結果，他從研究圓與它的外切正方形的關系著手得到圓周率。這個數值比“周三徑一”要好些，但劉徽認為其計算出來的圓周長必然要大于實際的圓周長，也不精確。劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路。三、十進位制計數法。十進位制記數法在我國原始社會就已經形成，完成于奴隸社會初期的商代，到商代已發展為完整的十進制系統，并且有了“十”、“百”、“千”、“萬”等專用的大數名稱。1899年從河南安陽發掘出來的象形文字，是大約3000多年前的殷代甲骨文。其中載有許多數字記錄，最大的數目字是3萬。如有一片甲骨上刻著“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”(八日辛亥那天的戰爭中，消滅了敵方2656人)。這段文字說明我國在公元前1600年，已經采用了十進位值制記數法。這種記數法中，沒有形成零的概念和零號，但由于引入了幾個表示數位的特殊的數字如

十、百、千、萬等．能確切地表示出任何自然數，因而也是相當成功的十進位值制記數法，歷代稍有變革，但基本框架則一直延用至今。

四、《算經十書》。《算經十書》是指漢、唐一千多年間的十部著名的數學著作，他們曾經是隋唐時代國子監算學科的教科書。十部書的名稱是：《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《五經算術》、《輯古算經》、《綴術》。其中闡明“蓋天說”的《周髀算經》，被人們認為是流傳下來的中國最古老的既談天體又談數學的天文歷著作。其中提到大禹治水時所應用的數學知識，成為現存文獻中提到最早使用勾股定理的例子。

五、勾股定理。勾股定理勾股定理是余弦定理的一個特例。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（畢達哥拉斯發現了這個定理后，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”），法國、比利時人又稱這個定理為“驢橋定理”。他們發現勾股定理的時間都比我國晚，我國是最早發現這一幾何寶藏的國家。

六、楊輝三角和剁積術。揚輝對籌算乘除捷算法進行了總結和發展，創“縱橫圖”之名．繼沈括“隙積術”之后，關于高階等差級數的研究創“垛積術”。

七、珠算。珠算是以算盤為工具進行數字計算的一種方法。“珠算”一詞﹐最早見于漢代徐岳撰的《數術記遺》，其中有云:“珠算﹐控帶四時﹐經緯三才。”北周甄鸞為此作注﹐大意是﹕把木板刻為三部分﹐上下兩部分是停游珠用的﹐中間一部分是作定位用的。每位各有五顆珠﹐上面一顆珠與下面四顆珠用顏色來區別。上面一珠當五﹐下面四顆﹐每珠當一。可見當時“珠算”與現今通行的珠算有所不同。中國珠算﹐從明代以來﹐極為盛行﹐先后傳到日本﹑朝鮮﹑東南亞各國﹐近年在美洲也漸流行。由于算盤不但是一種極簡便的計算工具﹐而且具有獨特的教育職能﹐所以到現在仍盛行不衰。

中國古代數學憑借這些輝煌成就在16世紀左右都處于領先地位，是名副其實的數學強國。這些數學成就對中華民族以及世界文明都做出了重大的貢獻，是值得炎黃子孫珍視的驕傲。希望中國的當代數學家們能夠繼承古代數學家的精神，樹立促進中國數學發展的長遠目標，不懈努力，爭取使中國在世界上早日成為數學大國。

第二篇：中國古代數學

引言

中國是四大文明古國之一，也是數學的發源地之一，由于地域、文化等特點，中國古代數學與歐洲數學存在著巨大的差別.這不僅表現在對理論與計算的偏重上，還表現在數學與社會關系的處理上.歐洲數學注重理論的邏輯推演和系統的建立.而與之相對，中國數學注重算法的研究和知識的現實可用性.這些特點使得中國數學在很長一段時間里成就位居世界之首.尤其是在古希臘數學衰落之后，中國數學取得了許多舉世矚目的成就.當西歐進入黑暗時代時，中國數學卻在騰飛，許多成就比后來歐洲在文藝復興和文藝復興之后取得的同樣成就早得多.這些成就的取得固然令我們感到驕傲，但到了十四世紀以后中國數學卻開始走向了衰落.幾百年來，中國人在數學這片領域上幾乎找不到任何重大的發現與創新.這其中的原因不能不令我們深思.對歷史進行研究能讓我們看到中國古代數學由興到衰的過程.對產生這種結果的諸多因數進行分析就能讓我們深刻認識到衰落的真正原因，從而棄其糟粕，取其精華.中國古代數學究竟取得了那些重要成就？中國古代數學又是怎樣走向衰落的？為弄清這些問題，首先讓我們來回顧一下中國的數學發展史.2 中國古代數學發展簡史

數學在中國的歷史悠久綿長.在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”；《易經》中還包含有組合數學與二進制思想.2002年在湖南發掘的秦代古墓中，考古人員發現了距今大約2200多年的九九乘法表，與現代小學生使用的乘法口訣“小九九”十分相似.算籌是中國古代的計算工具，它在春秋時期已經很普遍；使用算籌進行計算稱為籌算.中國古代數學的最大特點是建立在籌算基礎之上，這與西方及阿拉伯數學是明顯不同的.但是，真正意義上的中國古代數學體系形成于自西漢至南北朝的三、四百年期間.《算數書》成書于西漢初年，是傳世的中國最早的數學專著，它是1984年由考古學家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發現的.《周髀算經》編纂于西漢末年，它雖然是一本關于“蓋天說”的天文學著作，但是包括兩項數學成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”——這是中國最早關于勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠的“陳子測日法”.《九章算術》在中國古代數學發展過程中占有非常重要的地位.它經過許多人整理而成，大約成書于東漢時期.全書共收集了246個數學問題并且提供其解法，主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等.在代數方面，《九章算術》在世界數學史上最早提出負數概念及正負數加減法法則；現在中學講授的線性方程組的解法和《九章算術》介紹的方法大體相同.注重實際應用是《九章算術》的一個顯著特點.該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經過這些地區遠至歐洲.《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系的正式形成.中國古代數學在三國及兩晉時期側重于理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物.趙爽是三國時期吳人，在中國歷史上他是最早對數學定理和公式進行證明的數學家之一，其學術成就體現于對《周髀算經》的闡釋.在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實這已經體現“割補原理”的方法.用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數學的一大貢獻.三國時期魏人劉徽則注釋了《九章算術》，其著作

《九章算術注》不僅對《九章算術》的方法、公式和定理進行一般的解釋和推導，而且系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，并且多有創造.其發明的“割圓術”（圓內接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計算奠定了基礎，同時劉徽還算出圓周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”.他設計的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎.在研究多面體體積過程中，劉徽運用極限方法證明了“陽馬術”.另外，《海島算經》也是劉徽編撰的一部數學論著.南北朝是中國古代數學的蓬勃發展時期，計有《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學著作問世.祖沖之、祖暅父子的工作在這一時期最具代表性.他們著重進行數學思維和數學推理，在前人劉徽《九章算術注》的基礎上前進了一步.根據史料記載，其著作《綴術》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數點后 14世紀中、后葉明王朝建立以后，統治者奉行以八股文為特征的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數學內容，于是自此中國古代數學便開始呈現全面衰退之勢，到了近代已遠遠落后于西方國家的數學水平.在中國古代數學幾千年的發展歷程中，我們不難看出中國古代數學思想與西方數學思想的諸多不同點，也就是其獨具特色的一面.接下來讓我們來分析一下中國古代數學的思想特點.3 中國古代數學思想特點（1）.（實用性）《九章算術》收集的每個問題都是與生產實踐有聯系的應用題，以解決問題為目的.從《九章算術》開始，中國古典數學著作的內容，幾乎都與當時社會生活的實際需要有著密切的聯系.這不僅表現在中國的算學經典基本上都遵從問題集解的體例編纂而成，而且它所涉及的內容反映了當時社會政治、經濟、軍事、文化等方面的某些實際情況和需要，以致史學家們常常把古代數學典籍作為研究中國古代社會經濟生活、典章制度（特別是度量衡制度），以及工程技術（例如土木建筑、地圖測繪）等方面的珍貴史料.而明代中期以后興起的珠算著作，所論則更是直接應用于商業等方面的計算技術.中國古代數學典籍具有濃厚的應用數學色彩，在中國古代數學發展的漫長歷史中，應用始終是數學的主題，而且中國古代數學的應用領域十分廣泛，著名的十大算經清楚地表明了這一點，同時也表明“實用性”又是中國古代數學合理性的衡量標準.這與古代希臘數學追求純粹“理性”形成強烈的對照.其實，中國古代數學一開始就同天文歷法結下了不解之緣.中算史上許多具有世界意義的杰出成就就是來自歷法推算的.例如，舉世聞名的“大衍求一術”（一次同余式組解法）產于歷法上元積年的推算，由于推算日、月、五星行度的需要中算家創立了“招差術”（高次內插法）；而由于調整歷法數據的要求，歷算家發展了分數近似法.所以，實用性是中國傳統數學的特點之一.（2）.（算法程序化）中國傳統數學的實用性，決定了他以解決實際問題和提高計算技術為其主要目標.不管是解決問題的方式還是具體的算法，中國數學都具有程序性的特點.中國古代的計算工具是算籌，籌算是以算籌為計算工具來記數，列式和進行各種演算的方法.有人曾經將中國傳統數學與今天的計算技術對比，認為算籌相應于電子計算機可以看作“硬件”，那么中國古代的“算術”可以比做電子計算機計算的程序設計，是一種軟件的思想.這種看法是很有道理的.中國的籌算不用運算符號，無須保留運算的中間過程，只要求通過籌式的逐步變換而最終獲得問題的解答.因此，中國古代數學著作中的“術”，都是用一套一套的“程序語言”所描寫的程序化算法.各種不同的籌法都有其基本的變換法則和固定的演算程序.中算家善于運用演算的對稱性、循環性等特點，將演算程序設計得十分簡捷而巧妙.如果說古希臘的數學家以發現數學的定理為目標，那么中算家則以創造精致的算法為已任.這種設計等式、算法之風氣在中算史上長盛不衰，清代李銳所設計的“調日法術”和“求強弱術”等都可以說是我國古代傳統的遺風.古代數學大體可以分為兩種不同的類型：一種是長于邏輯推理，一種是發展計算方法.這也大致代表了西方數學和東方數學的不同特色.雖然以算為主的某些特點也為東方的古代印度數學和中世紀的阿拉伯數學所具有，但是，中國傳統數學在這方面更具有典型性.中算對于算具的依賴性和形成一整套程序化的特點尤為突出.例如，印度和阿拉伯在歷史上雖然也使用過土盤等算具，但都是輔助性的，主要還是使用筆算，與中國長期使用的算籌和珠算的情形大不相同，自然也沒有形成像中國這樣一貫的與“硬件”相對應的整套“軟件”.（3）.（模型化）“數學模型”是針對或參照某種事物系統的特征或數量關系，采用形式話數學語言，概括的近似地表達出來的一種數學結構.古代的數學模型當然沒有這樣嚴格，但如果不要求“形式化的數學語言”，對“數學結構”也作簡單化的解釋，則仍

然可以應用這個定義.按此定義，數學模型與現實世界的事物有著不可分割的關系，與之有關的現實事物叫做現實原形，是為解釋原型的問題才建立應用數學模型的.《九章算術》中大多數問題都具有一般性解法，是一類問題的模型，同類問題可以按同種方法解出.其實，以問題為中心、以算法為基礎，主要依靠歸納思維建立數學模型，強調基本法則及其推廣，是中國傳統數學思想的精髓之一.中國傳統數學的實用性，要求數學研究的結果能對各種實際問題進行分類，對每類問題給出統一的解法；以歸納為主的思維方式和以問題為中心的研究方式，傾向于建立基本問題的結構與解題模式，一般問題則被化歸、分解為基本問題解決.由于中國傳統數學未能建立起一套抽象的數學符號系統，對一般原理、法則的敘述一方面是借助文辭，一方面是通過具體問題的解題過程加以演示，使具體問題成為相應的數學模型.這種模型雖然和現代的數學模型有一定的區別，但二者在本質上是一樣的.（4）.（寓理于算）由于中國傳統數學注重解決實際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統數學不關心數學理論的形式化，但這并不意味中國傳統僅停留在經驗層次上而無理論建樹.其實中國數學的算法中蘊涵著建立這些算法的理論基礎，中國數學家習慣把數學概念與方法建立在少數幾個不證自明、形象直觀的數學原理之上，如代數中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補”原理，立體幾何中的“陽馬術”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等.中國古代數學的特點雖然在一定的程度上促進了其自身的發展，但正是因為這其中的某些特點，中國古代數學走向了低谷.4 中國古代數學由興轉衰的原因分析（1）．獨尊儒術，蔑視邏輯.漢武帝時，“罷黜百家，獨尊儒術”使得當時注重形式邏輯的墨子思想未能得到繼承和發展.儒家思想講究簡約，而忽視了邏輯思維的過程.這一點從中國古代的典籍中能找到最準確的說明.《周髀算經》中雖然給出了勾股定理，但卻沒給出證明.《九章算術》同樣只在給出題目的同時，給出一個結果和計算的程式，對其中的邏輯思維卻沒有去說明.中國古代數學這種只注重計算形式（即古代數學家所謂的“術”）與過程，不注重邏輯思維的做法，在很長一段時間里禁錮了中國古代數學發展.這種情況的出現當然也有其原因，中國古代傳統數學主要是在算籌的基礎上發展起來的，后來發展到以算盤為工具的計算時代，但是這些工具的使用在另一方面為中國人提供了一種程式化的求解方法，從而忽視了其中的邏輯思維過程.此外，中國傳統數學講究“寓理于算”.即使高度發達的宋元數學也是如此.數學書是由一系列的數學問題組成的.你也可以稱它們為“習題解集”.數學理論以‘術”的形式出現.早期的“術”只有一個過程，后人就紛紛為它們作注，而這些注釋也很簡約.實際上就是舉例“說明”，至于說明了什么，條件變一下怎么辦，就要讀者自已去總結了，從來不會給你一套系統的理論.這是一種相對原始的做法.但隨著數學的發展，這種做法的局限性就表現出來了，它極不利于知識的總結.如果只有很少一點數學知識，那么，問題還不嚴重，但隨著數學知識的增長，每個知識點都用一個題目來包裝，而不把它們總結出來就難以從整體上去把握這些知識.這無論對學習數學還是研究，發展數學都是不利的.（2）． 崇尚玄學，迷信數術，歪曲數學思想.魏晉時期，儒學雖然受到一定的沖擊，但其統治地位并未受到動搖.老莊學說和儒家學說相反相成便形成了玄學.玄學原本探究的是有關人生的哲學，但后來與數學混在了一起.古人曾就常常以玄術來解釋數學問題，使得數學概念和方法遭到歪曲.張衡是我國著名科學家.當時他雖然已經知道圓周率“周一徑三”不準確，但由于他始終相信“周一徑三”來源于“參天兩地”的說法，一直沒深入探究，因而未能將圓周率推算到更精確的地步，這不能不說是一大遺憾.當玄術和數術充塞數學時，數學已經明顯存有落后的隱患.（3）． 故步自封，墨守成規，拒絕數學符號.中國古代數學是以漢語描述的，歷來不重視漢字以外的數學符號，給邏輯思維帶來很大的困難，使我國長期不能形成演繹推理的傳統，嚴重影響了我國數學的發展.從明朝開始，中國就走上了閉關鎖國的道路.這種行為與小農思想相適應，早在秦代就已經出現端倪，建一條長城將自己圍起來，對外面的東西不聞不問.相比之下，西方在度過了中世紀的黑暗時期后，進入了文藝復興時期.歐洲的擴張、航海技術開闊了西方人的眼界，同時也大大推動了數學的發展.在18世紀的改革和動蕩中，新出現的資產階級推翻了英、法的君主政治.封建的政治、社會和經濟思想被經典的自由主義哲學所取代，這種哲學促進了19世紀的工業革命.社會生產力的提高成了西方數學發展的源源不斷的動力.最終，近代的數學在西方被建立起來，而曾是數學大國之一的中國，在其中卻無所作為.（4）.此外，中國長期處于封建社會，遲遲未能進入資本主義階段，也是導致中國古代數學發展停頓的直接原因.從整體上看，數學是與所處的社會生產力相適應的.中國社會長期處于封閉的小農經濟環境，生產力低下，不僅沒有工業，商業也不發達.整個社會對數學沒有太高的要求，自然研究數學的人也就少了.恩格斯說，天文學和力學是推動數學發展的動力，而在當時的中國這種動力已趨近枯竭.5 我從中國古代數學的研究中得到的幾點啟示：

通過對中國古代數學史及數學思想史的研究，我們看到了中國古代數學由興到衰的歷史過程，并分析了其由興到衰的歷史原因.由此，針對中國古代數學發展的特殊歷史背景，我對今后數學發展方向作出了以下意見：

（1）.繼承并創新中國古代傳統數學思想的精華.數學應服務于生產實踐，這是一個不爭的事實.雖然很多理論都是在貫之以“純數學”，但是，我們應該相信，這些理論只是數學上的一個過渡，它的引入是為了解決其他的問題而展開的.現代數學教育中經常會引入一些現實中的模型，讓學生用數學方法加以解決，這就是很好的做法.一方面它讓學生認識到了數學源于生活，服務于生活的理念；令一方面它有效得鍛煉了學生數學建模的思想，并從真正意義上讓學生學懂學活了.很多人懷疑中國古代數學知識已經過時，就在一些數學思想也與現代格格不入.其實這是不正確的.近年來，我國著名數學家吳文俊同志從中國古代數學擅長于算，習慣將算法程序化這一做法中得到了啟示，從而研究開辟了機器證明數學命題的新領域.這就是很好的例子，它說明中國古代數學思想并沒有過時，要想走出創新和成就的瓶頸，我們就必須認真研究中國古代數學的歷史和世界數學的現狀，并有效得將二者進行結合.（2）.數學研究應沿著注重邏輯思維的過程以及理論體系的建立這一路線發展，雖然當今數學發展已經相當完備，但仍有大量的問題有待我們去努力解決.就比如：如何將數學的各個分支用一中簡約的數學思想統一起來？這個難題有許許多多的數學工作者在為之奮斗，并取得了一的成績，群論的建立就是其中優秀的范例.難以想像，如果對數學的理論體系沒有一定的了解，并且不注重邏輯思維的過程，而又試圖解決這一問題是多么困難的事.（3）.數學研究要以一種科學的態度去對待.就比如馬克思主義辯證思想，只要我們的數學研究秉承著這樣一種思想，就不會走太多的彎路，更不會走上歧途.中國古代數學是與玄術并行發展的，這難免阻礙了數學的發展.而由于中國文化的特點，這種思想依然對一大批數學工作著有著較深的影響.我們的數學要發展和創新就不能不摒棄一切有礙數學發展的因素.（4）.我們的每個理論研究者都應密切關注國內國外的學術動態，吸收一切有用的、正確的、外來的文化與知識，而不能做一個閉門造車的數學工作者.數學發展至今，很多

分支都已經發展地相當完備了，一個研究者倘若對世界數學在本領域的現狀缺乏了解的情況下開展研究工作，必定會走彎路.多元化的信息時代為我們提供了便捷的世界文化知識交流渠道.網絡就是很好的例子，我們可以充分地加以應用，從而共同推動數學的發展.（5）.建立健全的國家發展體制.只有在一種迫切的發展動力下，才能激發人的潛力，從而創造出成績.當代中國經濟發展迅猛，生產力不斷發展壯大.這種狀況對我們的每個數學工作者提供了良好的契機，只要我們的數學工作者將目光更多地投入到生產實踐中去，讓科學服務于生產實踐，就能有所成就，有所創新.6 結束語

中國傳統數學思想具有顯著的民族性特征.我國傳統數學是沿著注重從實踐經驗中產生和發展數學的思維方式發展數學的，擅長于算，運算主要以算籌作為工具.但同時卻又在邏輯思維上存有欠缺.這與西方許多國家發展數學的道路是不同的.中國傳統數學思想有著自已的淵源和模式，有其長，也有其短.在初等數學領域之內，正是這種傳統數學思想把我國數學推向世界的最高峰.許多國家與我國相比，望塵莫及.好的傳統我們應當學會繼承和發展.我們應當好好研究中國古代數學的獨特之處，并將其加以應用，以指導當代的數學研究工作.對于落后不利于數學發展的思想我們又要學會放棄，就比如中國古代數學曾一度故步自封，這是極其不利于其自身發展的做法.我們要從中吸取教訓，努力加強中西文化交流，盡可能多得吸取西方數學的精華與長處.這樣我們的數學才能在真正意義上走想成熟.繼承和發展中國傳統數學思想，“純粹的”民族傳統是不行的，要面向世界，面向現代化.我們應該恰當調節數學和環境的關系，為數學提供源源不斷的動力機制.并建立一套完善的理論體系，把應用廣泛地拓展開來.另一方面我們要提高數學抽象結構，加強其內在聯系，注重分析，全面把握，只有這樣才是真正意義上認識了我國古代數學思想中體現出來的優與劣，我們的數學也才能擁有一片光明的前景.致謝:本論文的順利完成主要得益于張正才教授和李圣國老師的辛勤指導和幫助.在此表示感謝！

參考文獻

文獻資料

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第三篇：中國古代數學專著

讓更多的孩子得到更好的教育

中國古代數學專著——《九章算術》

《九章算術》是中國古代數學專著，承先秦數學發展的源流，進入漢朝后又經許多學者的刪補才最后成書，這大約是公元一世紀的下半葉。它的出現，標志著中國古代數學體系的形成。

后世的數學家，大都是從《九章算術》開始學習和研究數學知識的。唐宋兩代都由國家明令規定為教科書。1084年由當時的北宋朝廷進行刊刻，這是世界上最早的印刷本數學書。

《九章算術》共收有 246個數學問題，分為九章。分別是：方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作；其中盈不足的算法更是一項令人驚奇的創造；“方程”章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。

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第四篇：數學史論文‘’論中國古代數學的特點‘’

論中國古代數學的特點

摘要：世界上各種文化都會深深的打上地理環境的烙印，數學也不例外。數學的產生和發展是通過數學家個人來實現的, 因此數學的發展就不能不受到不同地域、不同哲學思想等方面的影響, 形成具有民族或時代特點的數學。中國古代數學與西方數學都是世界數學史上兩顆璀璨的明珠，都有著各自的特點，但是毋庸置疑都為世界數學的發展做出了突出貢獻，促進了數學的發展。

關鍵詞：中國古代數學、實用性、西方數學、共同發展

數學，作為人類文明的重要組成部門，有著非常悠久的歷史，與其他文化一樣，數學科學也是幾千年來人類智慧的結晶。從遠古時期的結繩記事、屈指計數到借助于現代點電子計算機進行計算、證明與科學管理，從利用規矩等工具進行的勾股測量等具體操作到抽象的公理化體系的產生??

中國是一個有著悠久歷史和燦爛文化的文明古國, 數學是中國古代最為發達的學科之一，據出土的文物考證, 在中國數概念的形成不晚于7000 年前, 數概念的產生標志著中國數學的起源。此后, 在古代中國智慧的結晶——十進制記數法的推動下, 中國數學經歷了三次發展高潮: 分別是兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期, 其中宋元時期達到了中國傳統數學的頂峰,誕生了劉徽、賈憲、沈括、祖沖之父子等數學家。在秦漢時期也出現了《周髀算經》、《九章算術》、《數書九章》、《緝古算經》和《五經算術》等數學著作, 其中《九章算術》代表中國傳統數學的最高成就, 它的完成標志著中國數學體系的建立。以《九章算術》為代表的中國傳統數學具有以下兩個特點:

1、以計算為中心。

演算在中國傳統數學里占有重要的地位, 幾乎每一部中國古代數學著作都是以“問題—解答”的形式存在。以計算為主的中國傳統數學, 還導致了算籌和算盤等計算工具的發明。但中國傳統數學把計算發展到淋漓盡致的地步, 不僅有精妙的迭代和高超的技巧, 還從中歸納出分數四則運算理論、比例計算理論、正負數運算理論、方程理論、勾股理論、割圓術、體積理論、同余理論等舉世公認的成就。另外, 它的計算方法往往從一整類問題中概括出來, 具有一般性, 對現在的數學機器證明具有參考價值。、社會性

以帝王君主為主的政治體制對中國傳統數學的影響。首先，中國是一個相對來說比較安定的國家，各地文化差異不大，沒有刺激文化發展的因素；其次，中國是一個專制型非常強的國家，哪怕有著“百家爭鳴”的景象但是也沒維持多久，而且在這樣的嚴苛制度下，人民的思想相對鈍化，沒有學術意識，只能聽從帝王的話，這也是影響中國古代數學的一大原因；最后，在古代大多數文化人便是朝中的官員，在這種制度下，他們有著絕對的權威，下面的人也只能言聽計從，這也導致了中國古代數學的形式較為單一。

3、實用性強。

首先，中國文明史大河背景下的農耕文明，農業經濟成為發展的關鍵，農業的發展離不開統籌和規劃，學術要為這些現實服務，于是造就了中國傳統數學的實用性；其次，儒家思想在中國古代有著領導性的地位，它重視實用, 追求功利性。如中國古代數學家在著書立說時, 或多或少都會談到數學的實用價值。社會實踐成了衡量數學好壞的標準, 如果數學適合生活需要, 能夠解決實際問題就是好數學, 會得到發展,否則得不到重視甚至被拋棄。這種思想幾千年來一直以來都影響著中國古代的數學家。這也導致了中國古代數學具有濃厚的實用性。

如春秋時期齊國的官書《考工記》，它展現的就是當時手工生產設計的規范、制作工藝等問題，其中就涉及到了眾多數學知識，但是該書的目的是為了使群眾更好更熟練的運用其技能，制作出精良的工藝品，還有現在人們日產生活中所不可或缺的十進位值制、干支紀日法、天文歷法等等。這些無一不體現了中國古代數學的實用性。

而西方數學誕生了歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯等數學巨匠, 也出現了《幾何原本》、《圓的度量》、《論球和圓柱》、《圓錐曲線論》和《數學匯編》等對后來影響深遠的數學著作,在西方人的世界里數學是是純粹的、抽象的、在邏輯上互相聯系的, 并且它們之間的內在聯系被揭示出來之后才有價值。亞里士多德崇尚推理和證明, 并把數學推理規律規范化和系統化, 創立了獨立的邏輯學, 其中的基本邏輯原理矛盾律和排中律成為數學中間接證明的核心。這些哲學思想使西方傳統數學走上了理性的道路；另外, 西方的數學家大多是一些哲學家和學者, 他們研究數學是為了追求真理或探索自然, 基本上不會考慮數學的應用性, 因此西方傳統數學基本上都是純數學, 抽象度高、應用性低。

從上面分析可以看出中國傳統數學以算法為中心、以解決社會實際問題為目的, 優點是實踐性強, 缺點是缺乏概念的科學建設和命題的邏輯證明;西方傳統數學以邏輯證明為重點, 強調演繹推理, 但脫離了社會實踐。分析從前、感受現在，我們也能發現，任何一種單一的數學模式都不是現今人類數學的唯一發展模式。中國古代數學和西方數學作為世界數學史上兩顆璀璨的明珠，都有著各自的特點，但是毋庸置疑都為世界數學的發展做出了突出貢獻，促進了數學的發展。

數學是一門博大精深的科學，生活中處處都有數學思想的體現，將數學應用于生活，能為我們解決很多問題。只有深刻了解數學的歷史，才能學好數學，將數學知識轉化從而運用到生活中。中國古代數學和西方數學的歷史尤為重要。通過兩種數學歷史的對比，我們對數學有了更深的了解，對數學的熱情度也大大提升！參考文獻：

1、朱家生.數學史.高等教育出版社.2011.5

2、李文林.數學史概論.高等教育出版社.2002.1

3、克萊因.古今數學思想.上海科技出版社.1979.1

4、王玉啟.數學思想史.吉林大學出版社.1990.5、中國知網

6、百度百科

第五篇：《中國古代數學中的算法案例》教案

《中國古代數學中的算法案例》教案

一、教案背景

1，面向學生：高中

2，學科：數學

3，課時：1 4，學生課前準備：通過閱讀課本找出中國古代數學中的算法案例，結合案例，了解一下中國古代主要的數學家和數學著作。

二、教學課題 １． 知識與技能目標：

（１）了解中國古代數學中求兩個正整數最大公約數的算法以及割圓術的算法；

（２）通過對“更相減損之術”及“割圓術”的學習，更好的理解將要解決的問題“算法化”的思維方法，并注意理解推導“割圓術”的操作步驟。２． 過程與方法目標：

（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數學思維轉變為具體的步驟化的思維方法，提高邏輯思維能力；（２）學會借助實例分析，探究數學問題。３． 情感與價值目標：

（１）通過學生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學生興趣，激發其求知欲，培養探索精神；（２）體會中國古代數學對世界數學發展的貢獻，增強愛國主義情懷。

三、教材分析

本節為為高中數學人教B版必修三中第一章第三節課，本節課的重點是理解書中介紹的中國古代的三個問題的算法，難點是為算法編寫程序。

求最大公約數的更相減損之術

教材對這個算法編好了程序，可讓學生通過執行程序來學習體會此算法，注意讓學生自主解釋此算法的有窮性。歐幾里得的輾轉相除法也是求最大公約數的有效算法，在實際問題中和抽象代數理論上都有重要應用，它的程序可參看本小節中的探索與研究，可鼓勵學生自主編寫程序。

割圓術

可以啟發學生自己編寫算法，和Scilab程序，試驗證明，學生對此非常感興趣 秦九韶算法

一方面，這個算法是目前仍在廣泛使用（很多文獻中稱之為霍納法）；另一方面，秦九韶算法給我們提供了一個比較算法優劣的機會，一般地說，在中學生的程度上比較分析算法的優劣不是容易的事，所以要利用這個機會讓學生對算法的優劣性有所體會。

四、教學方法

通過典型實例，使學生經歷算法設計的全過程，在解決具體問題的過程中學習一些基本邏輯結構，學會有條理地思考問題、表達算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。

五、教學過程

說明如何導入該課程，主要教學點的設計，知識拓展等。

1、課前任務：

請同學們自己查一些資料或者上網搜索一些中國古代的數學家以及其主要成就： 【百度知道】中國古代數學家

（提前認識一下中國古代的數學成就，激勵同學們需要繼續努力）

2、課上探討：

同學們是否知道，我們在小學、初中學到的算術、代數，從記數到多元一次聯立方程組以及方程的求根方法，都是我國古代數學家最先創造的，有的比其他國家早幾百年甚至上千年，我們人民在長期的生活、生產和勞動過程中，創造了整數、分數、小數、正負數及其計算，以及無限逼近任意實數的方法，在代數學、幾何學方面，我國在宋、元之前也都處于世界前列，更為重要的是我國古代數學的發展有著自己鮮明的特色，走著與西方完全不同的道路，在今天看來這條道路仍然有很大的優越性。這條道路的一個重要特色就是“寓理于算”，也就是本節中所講的要把解決問題“算法化”。下面我們舉一些我國古代數學中算法的例子，讓同學們更進一步體會“算法”的概念，看一看中國古代數學家的偉大成就和顯著特色。

下面就中國古代的數學成就，結合算法的知識，主要了解一下下面三個方面的內容：求兩個正整數最大公約數的算法、割圓術和秦九韶算法。

一、求兩個正整數最大公約數的算法：更相減損之術

我們知道，如果整數a能被整數b整除，則b稱為a的一個約數，一個整數可能有好幾個約數。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，這6個數都是12的約數。16的有1,2,4,8,16這5個約數。我們看到2和4，既是12的約數，又是16的約數，2和4叫做12和16的公約數，公約數2和4中，4最大，4稱作12和16的最大公約數。如何找到一種算法，對任意兩個正整數都能求出它們的最大公約數呢？下面給出我國古代數學家的一個算法，這個算法被稱做“更相減損之術”。

【百度百科】更相減損之術

http://baike.baidu.com/view/1431259.htm（了解更相減損之術的出處，開拓知識容量）

我們以求16,12這兩個數的最大公約數為例加以說明。用兩個數中較大的數減去較小的數，即16-12=4，用差數4和最小的數12構成新的一對數，對這一對數再用大數減小數，以同樣的操作一直做下去，知道產生一對相等的數，這個數就是最大公約數。整個操作如下： 4是12和16的最大公約數。

這種算法的道理何在？不難看出，對任意兩個數，每次操作后所得的兩個數與前兩數具有相同的最大公約數，而兩數的值逐漸減少，經過有限步地操作后，總能得到相等的兩個數，即求得兩數的最大公約數。例1：求78和36的最大公約數。解：

這種算法，只做簡單的減法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是機械的運算，據此很容易編出程序，在計算機上運算，把這個算法與我們下面探索與研究中介紹的歐幾里德算法比較，看看這個算法的優越性。下面是我們用Scilab編出的程序，供大家參考。實際上，你可用你在信息技術課上學到的任一種程序設計語言編出程序，從中體會一下這個算法的優越性。為了方便敘述，我們稱這種算法為“等值算法” 用等值算法求最大公約數的程序： a=input(“please give the first number”);b=input(“please give the second number”);while a<>b

if a>b

a=a-b

else

b=b-a

end end print(%io2(2),a,b)

把這個程序保存成文件，可隨時調入Scilab界面運行，求任意兩個正整數的最大公約數。課后任務：

【百度百科】九章算術

【百度百科】劉徽

【百度百科】輾轉相除法

（增加知識容量）

二、割圓術

我國魏晉時期的數學家劉徽，他在注《九章算術》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”他的思想后來又得到祖沖之的推進和發展，計算出圓周率的近似值在世界上很長時間里處于領先地位。

劉徽從圓內接正六邊形開始，讓邊數逐次加倍，逐個算出這些圓內接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值。可以想象在當時需要付出多么艱辛的勞動，現在讓我們用劉徽的思想，使用計算機求圓周率的近似值，計算機最大的特點是運算速度快，只要我們將運算規律告訴計算機，計算機會迅速得到所求的答案。

我們先對單位圓內接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形??的面積之間的關系進行分析，找出它們之間的遞增規律。

【百度圖片】劉徽割圓的弧田圖

如上圖所示，假設圓的半徑為1，面積為S，圓內接正n邊形面積為，邊長為，邊心距為，根據勾股定理。

正2n邊形的面積為正n邊形的面積 再加上n個等腰三角形的面積和，即 ①

正2n邊形的邊長為。

劉徽割圓術還注意到，如果在內接n邊形的每一邊上，做一高為CD的矩形，就可得到

這樣我們就不僅可計算出圓周率的不足近似值，還可計算出圓周率的過剩近似值。

正六邊形的面積開始計算，即n=6，則正六邊形的面積。用上面的公式①重復計算，就可得到正十二邊形、正二十四邊形??的面積。因為圓的半徑為1，所以隨著n的增大，的值不斷趨近于圓周率，這樣不斷計算下去，就可以得到越來越精密的圓周率近似值。下面我們根據劉徽割圓術的算法思想，用Scilsb語言寫出求 的不足近似值程序： n=6 x=1 s=6*sqrt(3)/4 for i=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)end print(%io(2),n,s)

運行程序，當邊數為192時，就可以得到劉徽求的的圓周率的近似值3.14，當邊數為24576時，就得到了祖沖之計算的結果3.1415926.由于是用圓內接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是小于 的實際值。作為練習，請同學們編出程序求 作為 的過剩近似值。課后任務

【百度文庫】祖沖之和圓周率 http://wenku.baidu.com/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html

三、秦九韶算法

【百度百科】秦九韶http://baike.baidu.com/view/18635.htm

已知一個一元n次多項式函數，當，我們可按順序一項一項地計算，然后相加，求得。下面看看我們宋代（約13世紀）大數學家秦九韶是如何計算多項式函數值的。

讓我們以5次多項式函數為例加以說明。設

首先，我們把這個多項式一步一步的進行改寫：

上面的分層計算，只用了小括號，計算時，首先計算最內層的括號，然后由內向外逐層計算，知道最外層的一個括號，然后加上常數項。

這種算法與直接算法比較，有什么有什么優越性呢？首先，這種算法一共做了5次乘法，5次加法，與直接計算相比較大大節省了乘法的次數，是計算量減少，并且邏輯結構簡單。

對任意一元n次多項式，類似的敘述如下：

上面的方法，現在大家稱它為秦九韶方法。直到今天，這種算法仍是世界上多項式求值的最先進的算法。

這種方法的計算量僅為：乘法n次，加法n次。我們看看其他算法的計算量。

用直接求和法，直接計算多項式 各項的值，然后把他們相加。可知乘法的次數為，加法次數為n。

逐項求和在直接求和法的基礎上做了改進，先把多項式寫成 的形式，這樣多項式的每一含x的冪的項都是 與 的乘積（k=1,2,3，??，n），在計算

項時把 的值保存在變量c中，求 項時只須計算，同時把 的值存入c中，繼續下一項的運算，然后把這n+1項的值相加。

容易看出逐項求和法所用乘法的次數為2n-1，加法次數為n，當 時，通過上面的比較，我們可看到秦九韶算法比其他算法優越得多。

3、課堂小結：

本節主要學習了中國古代的三個算法問題：更相減損之術求兩個正整數的最大公約數、割圓術求圓周率和秦九韶求一元n次多項式的值，重點在于這三種方法的應用，難點就是如何去編制算法語言，主要以了解為主。

4、當堂練習：

⑴.下面各組關于最大公約數的說法中不正確的是（C）

A.80與36的最大公約數是4

B.294與84的最大公約數是42 C.85與357的最大公約數是34

D.228與741的最大公約數是57 ⑵.我國數學家劉徽采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的計算方法來求圓周率，其算法的特點為（C）A.運算速率快

B.能計算出 的精確值

C.“內外夾逼”

D.無限次地分割 ⑶.用秦九韶算法求多項式 的值時，應把 變形為（D）A.B.C.D.⑷.用更相減損之術求81與135的最大公約數時，要進行

次減法運算。

5、課后作業

⑴.145與232的最大公約數是（）A.145

B.19

C.29

D.32 ⑵.用秦九韶算法計算多項式 在 時的值時，的值為（）A.-845

B.220

C.-57

D.34 ⑶.用圓內接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是（）的實際值 A.大于等于

B.小于等于

C.等于

D.小于

⑷.已知一個5次多項式，用秦九韶算法求當 時，多項式的值，可把多項式寫成如下的形式

。⑸求兩個數51與85的最大公約數及最小公倍數。

⑹（創新應用）

《孫子算經》有這樣一道題目：“今有百鹿入城，家取一鹿不盡，又三家共一鹿適盡，問城中家幾何？”你能設計一個程序解決這個問題嗎？

六、教學反思

算法是中國古代數學的優良傳統.《九章算術》及其劉徽開創了中國傳統數學構造性和機械化的算法模式.中國傳統數學以算為主、以術為法的算法體系,同古希臘以《幾何原本》為代表的邏輯演繹和公理化體系異其旨趣,在數學歷史發展的進程中爭雄媲美,交相輝映.吳文俊先生提出,數學機械化思想貫穿于中國傳統數學,數學機械化思想是我國古代數學的精髓.他分析了中國傳統數學的光輝成就在數學科學進步歷程中的地位和作用.明確指出,源于西方的公理化思想和源于中國的機械化思想,對于數學的發展都發揮了巨大作用,理應兼收并蓄.現代計算機科學是算法的科學,它所需的數學方法,與《九章算術》中傳統的方法體系若合符節.吳文俊先生正是吸取了中國古代數學的思想精華,創立幾何定理的機器證明方法,用現代的算法理論,煥發了中國古代數學的算法傳統,開創了數學機械化的新紀元。

通過學習本節課，一方面了解中國古代數學的重要成就，另一方面，提高同學們學習的積極性，知道學習算法對平常的學習生活有總打的作用。