第一篇：代數(shù)學(xué)教案

活動名稱：

喂碗寶寶吃餅干活動

教學(xué)對象：小班幼兒

教師：代夢東

教學(xué)目的：

1.能按形狀給物體進(jìn)行分類。

2.會用視覺、觸覺等感官感知圓形、正方形。

3.愿意講述自己的發(fā)現(xiàn)給小朋友聽。教學(xué)內(nèi)容：

<<指南>>54頁3-4歲感知形狀與空間關(guān)系目標(biāo)一 教學(xué)準(zhǔn)備：

精神方面:已認(rèn)識圓形/正方形

物質(zhì)方面:餅干（圓形、正方形的圖片），紙盤子若干（每個(gè)盤子里有餅干卡片），碗寶寶（嘴巴分別是圓形和正方形）教學(xué)方法：

教學(xué)重點(diǎn):通過游戲的方式，引導(dǎo)幼兒按照形狀給物體進(jìn)行分類.教學(xué)難點(diǎn): 運(yùn)用視覺、觸覺、語言提示等方式，引導(dǎo)幼兒能夠按照正確的形狀送回碗寶寶中

教學(xué)過程：

一、開始部分

1.碗寶寶來作客，觀察碗寶寶嘴巴的形狀。用布遮住碗寶寶，提問引起幼兒的興趣：小朋友們猜猜看，這里面是什么好玩的東西？（幼兒自由猜），那我們來看看到底是什么呀？哦，是兩個(gè)可愛的碗寶寶，那小朋友看看這兩個(gè)碗寶寶有什么地方不一樣？（引導(dǎo)幼兒觀察碗寶寶，發(fā)現(xiàn)碗寶寶嘴巴的形狀有圓形的，還有正方形的。）

二、基本部分

1.碗寶寶吃“餅干”，按形狀分類。①觀察“餅干”。

教師出示圖形片：碗寶寶肚子餓了，它們想吃東西了，老師這里有許多的“餅干”，看看這些“餅干”是什么形狀的？（幼兒觀察、發(fā)現(xiàn)“餅干”有圓形的，還有正方形的。）②喂碗寶寶吃“餅干”。

教師：現(xiàn)在我們就來喂碗寶寶吃東西吧！這個(gè)碗寶寶應(yīng)該吃什么形狀的“餅干”呢？（幼兒根據(jù)碗寶寶的嘴巴形狀，喂相同形狀的“餅干”。幼兒邊喂邊說：碗寶寶，給你吃“XX餅干”。③幼兒操作：喂碗寶寶吃“餅干”。

要求：根據(jù)碗寶寶的嘴巴形狀，喂其吃相同形狀的“餅干”。2.幼兒自選餅干。

①教師出示有裝有卡片餅干的盤子：請每個(gè)小朋友自選餅干，看看你拿的餅干是什么形狀的？

②請幼兒說說自己的發(fā)現(xiàn)：餅干有圓形的，還有正方形的。

師：可以和旁邊的好朋友說一句話：我拿的是XX餅干。

三、結(jié)束部分

師：把你手里拿的餅干喂給碗寶寶吃吧！我們?nèi)ズ赛c(diǎn)水啦！

活動名稱：

區(qū)分上下活動

教學(xué)對象：小班幼兒

教師：代夢東

教學(xué)目的：

1.能區(qū)別兩個(gè)物體之間的上下關(guān)系。

2.在活動中能正確使用方位詞表達(dá)上下關(guān)系。

3.體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動的游戲快樂。教學(xué)內(nèi)容：

<<指南>>55頁3-4歲感知形狀與空間關(guān)系目標(biāo)二 教學(xué)準(zhǔn)備：

精神方面:熟悉黑貓警長動畫。

物質(zhì)方面:多媒體課件。黑貓警長和一只耳的頭飾、老鼠圖片若干。教學(xué)方法：

教學(xué)重點(diǎn):談話法、情境引入的方式，引導(dǎo)幼兒區(qū)別兩個(gè)物體之間的上下關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn):通過情境游戲的方式，引導(dǎo)幼兒正確使用方位詞表達(dá)上下關(guān)系。

教學(xué)過程：

一、基本部分

1.談話導(dǎo)入游戲：小朋友，你們聽過黑貓警長的故事嗎？你們喜歡誰？那今天老師來當(dāng)黑貓警長，小朋友們都是白貓警士。好了，今天天氣不錯(cuò)，我們一起去森林里轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，看看有什么新任務(wù)。

二、基本部分

1.播放課件，引導(dǎo)幼兒學(xué)習(xí)方位詞。

師：森林里有許多的動物，看看都有誰？（幼兒自由回答。）小鳥在哪里？還有誰在樹上？

那小朋友再看看小狗在哪里？還有誰在樹下呢？

小結(jié)：小猴、小鳥、小松鼠它們都在樹上，小狗、小豬、小貓咪它們都在樹下。

師：我們又來到了小河邊，看看都有誰？（幼兒自由回答。）小熊在哪里？誰在橋下？

2.在情境游戲中指導(dǎo)幼兒學(xué)習(xí)正確使用方位詞。

①“接電話”進(jìn)入情境，黑貓警長剛才接到兔媽媽打來的電話，說它們家有老鼠偷吃糧食，老鼠很狡猾，藏在兔媽媽家的各個(gè)地方，我們先偵察一下敵情。記住：大家輕輕地走過去仔細(xì)看老鼠藏在什么地方，然后回來向我報(bào)告你們在什么地方發(fā)現(xiàn)了老鼠？ ②白貓警士進(jìn)入創(chuàng)設(shè)的情境中，偵察后坐回椅子向警長報(bào)告敵情。

提問：你在什么地方發(fā)現(xiàn)了老鼠？（幼兒自由回答。）如：桌子下面（上面）有老鼠。椅子下面（上面）有老鼠。柜子下面（上面）有老鼠。

③黑貓警長：“竟然有那么多老鼠在搗亂，白貓警士們，我們快去抓老鼠吧！

（所有白貓警士聽到命令后立即到布置的場景中去抓老鼠。每位白貓警士抓住一只老鼠后回到座位上向警長報(bào)告，游戲在音樂背景下活動。

④老鼠抓到了，現(xiàn)在請告訴我自己是在什么地方抓到老鼠的？（提問個(gè)別小朋友，并要求幼兒用完整的話表達(dá)。）如：我在桌子上抓到一只老鼠。我在椅子下抓到一只老鼠。我在窗臺上抓到一只老鼠。

小結(jié)：我的白貓警士都很能干，都抓到了老鼠。

三、結(jié)束部分。

我們的白貓警士都很能干，晚上我們共度老鼠晚餐，let’s go。（警士們勝利完成任務(wù)，在音樂聲中走出活動室。）

第二篇：中國古代數(shù)學(xué)

引言

中國是四大文明古國之一，也是數(shù)學(xué)的發(fā)源地之一，由于地域、文化等特點(diǎn)，中國古代數(shù)學(xué)與歐洲數(shù)學(xué)存在著巨大的差別.這不僅表現(xiàn)在對理論與計(jì)算的偏重上，還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)與社會關(guān)系的處理上.歐洲數(shù)學(xué)注重理論的邏輯推演和系統(tǒng)的建立.而與之相對，中國數(shù)學(xué)注重算法的研究和知識的現(xiàn)實(shí)可用性.這些特點(diǎn)使得中國數(shù)學(xué)在很長一段時(shí)間里成就位居世界之首.尤其是在古希臘數(shù)學(xué)衰落之后，中國數(shù)學(xué)取得了許多舉世矚目的成就.當(dāng)西歐進(jìn)入黑暗時(shí)代時(shí)，中國數(shù)學(xué)卻在騰飛，許多成就比后來歐洲在文藝復(fù)興和文藝復(fù)興之后取得的同樣成就早得多.這些成就的取得固然令我們感到驕傲，但到了十四世紀(jì)以后中國數(shù)學(xué)卻開始走向了衰落.幾百年來，中國人在數(shù)學(xué)這片領(lǐng)域上幾乎找不到任何重大的發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新.這其中的原因不能不令我們深思.對歷史進(jìn)行研究能讓我們看到中國古代數(shù)學(xué)由興到衰的過程.對產(chǎn)生這種結(jié)果的諸多因數(shù)進(jìn)行分析就能讓我們深刻認(rèn)識到衰落的真正原因，從而棄其糟粕，取其精華.中國古代數(shù)學(xué)究竟取得了那些重要成就？中國古代數(shù)學(xué)又是怎樣走向衰落的？為弄清這些問題，首先讓我們來回顧一下中國的數(shù)學(xué)發(fā)展史.2 中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展簡史

數(shù)學(xué)在中國的歷史悠久綿長.在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數(shù)字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數(shù)字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具，而且知道“勾三股四弦五”；《易經(jīng)》中還包含有組合數(shù)學(xué)與二進(jìn)制思想.2002年在湖南發(fā)掘的秦代古墓中，考古人員發(fā)現(xiàn)了距今大約2200多年的九九乘法表，與現(xiàn)代小學(xué)生使用的乘法口訣“小九九”十分相似.算籌是中國古代的計(jì)算工具，它在春秋時(shí)期已經(jīng)很普遍；使用算籌進(jìn)行計(jì)算稱為籌算.中國古代數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的.但是，真正意義上的中國古代數(shù)學(xué)體系形成于自西漢至南北朝的三、四百年期間.《算數(shù)書》成書于西漢初年，是傳世的中國最早的數(shù)學(xué)專著，它是1984年由考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡中發(fā)現(xiàn)的.《周髀算經(jīng)》編纂于西漢末年，它雖然是一本關(guān)于“蓋天說”的天文學(xué)著作，但是包括兩項(xiàng)數(shù)學(xué)成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日.”——這是中國最早關(guān)于勾股定理的書面記載）；（2）測太陽高或遠(yuǎn)的“陳子測日法”.《九章算術(shù)》在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展過程中占有非常重要的地位.它經(jīng)過許多人整理而成，大約成書于東漢時(shí)期.全書共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問題并且提供其解法，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì)算等.在代數(shù)方面，《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則；現(xiàn)在中學(xué)講授的線性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同.注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn).該書的一些知識還傳播至印度和阿拉伯，甚至經(jīng)過這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲.《九章算術(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國古代數(shù)學(xué)體系的正式形成.中國古代數(shù)學(xué)在三國及兩晉時(shí)期側(cè)重于理論研究，其中以趙爽與劉徽為主要代表人物.趙爽是三國時(shí)期吳人，在中國歷史上他是最早對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)家之一，其學(xué)術(shù)成就體現(xiàn)于對《周髀算經(jīng)》的闡釋.在《勾股圓方圖注》中，他還用幾何方法證明了勾股定理，其實(shí)這已經(jīng)體現(xiàn)“割補(bǔ)原理”的方法.用幾何方法求解二次方程也是趙爽對中國古代數(shù)學(xué)的一大貢獻(xiàn).三國時(shí)期魏人劉徽則注釋了《九章算術(shù)》，其著作

《九章算術(shù)注》不僅對《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，并且多有創(chuàng)造.其發(fā)明的“割圓術(shù)”（圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積），為圓周率的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)劉徽還算出圓周率的近似值——“3927/1250（3.1416）”.他設(shè)計(jì)的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎(chǔ).在研究多面體體積過程中，劉徽運(yùn)用極限方法證明了“陽馬術(shù)”.另外，《海島算經(jīng)》也是劉徽編撰的一部數(shù)學(xué)論著.南北朝是中國古代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展時(shí)期，計(jì)有《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作問世.祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性.他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理，在前人劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步.根據(jù)史料記載，其著作《綴術(shù)》（已失傳）取得如下成就：①圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后 14世紀(jì)中、后葉明王朝建立以后，統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度，在國家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容，于是自此中國古代數(shù)學(xué)便開始呈現(xiàn)全面衰退之勢，到了近代已遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于西方國家的數(shù)學(xué)水平.在中國古代數(shù)學(xué)幾千年的發(fā)展歷程中，我們不難看出中國古代數(shù)學(xué)思想與西方數(shù)學(xué)思想的諸多不同點(diǎn)，也就是其獨(dú)具特色的一面.接下來讓我們來分析一下中國古代數(shù)學(xué)的思想特點(diǎn).3 中國古代數(shù)學(xué)思想特點(diǎn)（1）.（實(shí)用性）《九章算術(shù)》收集的每個(gè)問題都是與生產(chǎn)實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用題，以解決問題為目的.從《九章算術(shù)》開始，中國古典數(shù)學(xué)著作的內(nèi)容，幾乎都與當(dāng)時(shí)社會生活的實(shí)際需要有著密切的聯(lián)系.這不僅表現(xiàn)在中國的算學(xué)經(jīng)典基本上都遵從問題集解的體例編纂而成，而且它所涉及的內(nèi)容反映了當(dāng)時(shí)社會政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、文化等方面的某些實(shí)際情況和需要，以致史學(xué)家們常常把古代數(shù)學(xué)典籍作為研究中國古代社會經(jīng)濟(jì)生活、典章制度（特別是度量衡制度），以及工程技術(shù)（例如土木建筑、地圖測繪）等方面的珍貴史料.而明代中期以后興起的珠算著作，所論則更是直接應(yīng)用于商業(yè)等方面的計(jì)算技術(shù).中國古代數(shù)學(xué)典籍具有濃厚的應(yīng)用數(shù)學(xué)色彩，在中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的漫長歷史中，應(yīng)用始終是數(shù)學(xué)的主題，而且中國古代數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，著名的十大算經(jīng)清楚地表明了這一點(diǎn)，同時(shí)也表明“實(shí)用性”又是中國古代數(shù)學(xué)合理性的衡量標(biāo)準(zhǔn).這與古代希臘數(shù)學(xué)追求純粹“理性”形成強(qiáng)烈的對照.其實(shí)，中國古代數(shù)學(xué)一開始就同天文歷法結(jié)下了不解之緣.中算史上許多具有世界意義的杰出成就就是來自歷法推算的.例如，舉世聞名的“大衍求一術(shù)”（一次同余式組解法）產(chǎn)于歷法上元積年的推算，由于推算日、月、五星行度的需要中算家創(chuàng)立了“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）；而由于調(diào)整歷法數(shù)據(jù)的要求，歷算家發(fā)展了分?jǐn)?shù)近似法.所以，實(shí)用性是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一.（2）.（算法程序化）中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，決定了他以解決實(shí)際問題和提高計(jì)算技術(shù)為其主要目標(biāo).不管是解決問題的方式還是具體的算法，中國數(shù)學(xué)都具有程序性的特點(diǎn).中國古代的計(jì)算工具是算籌，籌算是以算籌為計(jì)算工具來記數(shù)，列式和進(jìn)行各種演算的方法.有人曾經(jīng)將中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與今天的計(jì)算技術(shù)對比，認(rèn)為算籌相應(yīng)于電子計(jì)算機(jī)可以看作“硬件”，那么中國古代的“算術(shù)”可以比做電子計(jì)算機(jī)計(jì)算的程序設(shè)計(jì)，是一種軟件的思想.這種看法是很有道理的.中國的籌算不用運(yùn)算符號，無須保留運(yùn)算的中間過程，只要求通過籌式的逐步變換而最終獲得問題的解答.因此，中國古代數(shù)學(xué)著作中的“術(shù)”，都是用一套一套的“程序語言”所描寫的程序化算法.各種不同的籌法都有其基本的變換法則和固定的演算程序.中算家善于運(yùn)用演算的對稱性、循環(huán)性等特點(diǎn)，將演算程序設(shè)計(jì)得十分簡捷而巧妙.如果說古希臘的數(shù)學(xué)家以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的定理為目標(biāo)，那么中算家則以創(chuàng)造精致的算法為已任.這種設(shè)計(jì)等式、算法之風(fēng)氣在中算史上長盛不衰，清代李銳所設(shè)計(jì)的“調(diào)日法術(shù)”和“求強(qiáng)弱術(shù)”等都可以說是我國古代傳統(tǒng)的遺風(fēng).古代數(shù)學(xué)大體可以分為兩種不同的類型：一種是長于邏輯推理，一種是發(fā)展計(jì)算方法.這也大致代表了西方數(shù)學(xué)和東方數(shù)學(xué)的不同特色.雖然以算為主的某些特點(diǎn)也為東方的古代印度數(shù)學(xué)和中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)所具有，但是，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在這方面更具有典型性.中算對于算具的依賴性和形成一整套程序化的特點(diǎn)尤為突出.例如，印度和阿拉伯在歷史上雖然也使用過土盤等算具，但都是輔助性的，主要還是使用筆算，與中國長期使用的算籌和珠算的情形大不相同，自然也沒有形成像中國這樣一貫的與“硬件”相對應(yīng)的整套“軟件”.（3）.（模型化）“數(shù)學(xué)模型”是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系，采用形式話數(shù)學(xué)語言，概括的近似地表達(dá)出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).古代的數(shù)學(xué)模型當(dāng)然沒有這樣嚴(yán)格，但如果不要求“形式化的數(shù)學(xué)語言”，對“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”也作簡單化的解釋，則仍

然可以應(yīng)用這個(gè)定義.按此定義，數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)世界的事物有著不可分割的關(guān)系，與之有關(guān)的現(xiàn)實(shí)事物叫做現(xiàn)實(shí)原形，是為解釋原型的問題才建立應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的.《九章算術(shù)》中大多數(shù)問題都具有一般性解法，是一類問題的模型，同類問題可以按同種方法解出.其實(shí)，以問題為中心、以算法為基礎(chǔ)，主要依靠歸納思維建立數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)基本法則及其推廣，是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精髓之一.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的實(shí)用性，要求數(shù)學(xué)研究的結(jié)果能對各種實(shí)際問題進(jìn)行分類，對每類問題給出統(tǒng)一的解法；以歸納為主的思維方式和以問題為中心的研究方式，傾向于建立基本問題的結(jié)構(gòu)與解題模式，一般問題則被化歸、分解為基本問題解決.由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)未能建立起一套抽象的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)，對一般原理、法則的敘述一方面是借助文辭，一方面是通過具體問題的解題過程加以演示，使具體問題成為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.這種模型雖然和現(xiàn)代的數(shù)學(xué)模型有一定的區(qū)別，但二者在本質(zhì)上是一樣的.（4）.（寓理于算）由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次上而無理論建樹.其實(shí)中國數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理，立體幾何中的“陽馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等.中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)雖然在一定的程度上促進(jìn)了其自身的發(fā)展，但正是因?yàn)檫@其中的某些特點(diǎn)，中國古代數(shù)學(xué)走向了低谷.4 中國古代數(shù)學(xué)由興轉(zhuǎn)衰的原因分析（1）．獨(dú)尊儒術(shù)，蔑視邏輯.漢武帝時(shí)，“罷黜百家，獨(dú)尊儒術(shù)”使得當(dāng)時(shí)注重形式邏輯的墨子思想未能得到繼承和發(fā)展.儒家思想講究簡約，而忽視了邏輯思維的過程.這一點(diǎn)從中國古代的典籍中能找到最準(zhǔn)確的說明.《周髀算經(jīng)》中雖然給出了勾股定理，但卻沒給出證明.《九章算術(shù)》同樣只在給出題目的同時(shí)，給出一個(gè)結(jié)果和計(jì)算的程式，對其中的邏輯思維卻沒有去說明.中國古代數(shù)學(xué)這種只注重計(jì)算形式（即古代數(shù)學(xué)家所謂的“術(shù)”）與過程，不注重邏輯思維的做法，在很長一段時(shí)間里禁錮了中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展.這種情況的出現(xiàn)當(dāng)然也有其原因，中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)主要是在算籌的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，后來發(fā)展到以算盤為工具的計(jì)算時(shí)代，但是這些工具的使用在另一方面為中國人提供了一種程式化的求解方法，從而忽視了其中的邏輯思維過程.此外，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)講究“寓理于算”.即使高度發(fā)達(dá)的宋元數(shù)學(xué)也是如此.數(shù)學(xué)書是由一系列的數(shù)學(xué)問題組成的.你也可以稱它們?yōu)椤傲?xí)題解集”.數(shù)學(xué)理論以‘術(shù)”的形式出現(xiàn).早期的“術(shù)”只有一個(gè)過程，后人就紛紛為它們作注，而這些注釋也很簡約.實(shí)際上就是舉例“說明”，至于說明了什么，條件變一下怎么辦，就要讀者自已去總結(jié)了，從來不會給你一套系統(tǒng)的理論.這是一種相對原始的做法.但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這種做法的局限性就表現(xiàn)出來了，它極不利于知識的總結(jié).如果只有很少一點(diǎn)數(shù)學(xué)知識，那么，問題還不嚴(yán)重，但隨著數(shù)學(xué)知識的增長，每個(gè)知識點(diǎn)都用一個(gè)題目來包裝，而不把它們總結(jié)出來就難以從整體上去把握這些知識.這無論對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還是研究，發(fā)展數(shù)學(xué)都是不利的.（2）． 崇尚玄學(xué)，迷信數(shù)術(shù)，歪曲數(shù)學(xué)思想.魏晉時(shí)期，儒學(xué)雖然受到一定的沖擊，但其統(tǒng)治地位并未受到動搖.老莊學(xué)說和儒家學(xué)說相反相成便形成了玄學(xué).玄學(xué)原本探究的是有關(guān)人生的哲學(xué)，但后來與數(shù)學(xué)混在了一起.古人曾就常常以玄術(shù)來解釋數(shù)學(xué)問題，使得數(shù)學(xué)概念和方法遭到歪曲.張衡是我國著名科學(xué)家.當(dāng)時(shí)他雖然已經(jīng)知道圓周率“周一徑三”不準(zhǔn)確，但由于他始終相信“周一徑三”來源于“參天兩地”的說法，一直沒深入探究，因而未能將圓周率推算到更精確的地步，這不能不說是一大遺憾.當(dāng)玄術(shù)和數(shù)術(shù)充塞數(shù)學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)已經(jīng)明顯存有落后的隱患.（3）． 故步自封，墨守成規(guī)，拒絕數(shù)學(xué)符號.中國古代數(shù)學(xué)是以漢語描述的，歷來不重視漢字以外的數(shù)學(xué)符號，給邏輯思維帶來很大的困難，使我國長期不能形成演繹推理的傳統(tǒng)，嚴(yán)重影響了我國數(shù)學(xué)的發(fā)展.從明朝開始，中國就走上了閉關(guān)鎖國的道路.這種行為與小農(nóng)思想相適應(yīng)，早在秦代就已經(jīng)出現(xiàn)端倪，建一條長城將自己圍起來，對外面的東西不聞不問.相比之下，西方在度過了中世紀(jì)的黑暗時(shí)期后，進(jìn)入了文藝復(fù)興時(shí)期.歐洲的擴(kuò)張、航海技術(shù)開闊了西方人的眼界，同時(shí)也大大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.在18世紀(jì)的改革和動蕩中，新出現(xiàn)的資產(chǎn)階級推翻了英、法的君主政治.封建的政治、社會和經(jīng)濟(jì)思想被經(jīng)典的自由主義哲學(xué)所取代，這種哲學(xué)促進(jìn)了19世紀(jì)的工業(yè)革命.社會生產(chǎn)力的提高成了西方數(shù)學(xué)發(fā)展的源源不斷的動力.最終，近代的數(shù)學(xué)在西方被建立起來，而曾是數(shù)學(xué)大國之一的中國，在其中卻無所作為.（4）.此外，中國長期處于封建社會，遲遲未能進(jìn)入資本主義階段，也是導(dǎo)致中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展停頓的直接原因.從整體上看，數(shù)學(xué)是與所處的社會生產(chǎn)力相適應(yīng)的.中國社會長期處于封閉的小農(nóng)經(jīng)濟(jì)環(huán)境，生產(chǎn)力低下，不僅沒有工業(yè)，商業(yè)也不發(fā)達(dá).整個(gè)社會對數(shù)學(xué)沒有太高的要求，自然研究數(shù)學(xué)的人也就少了.恩格斯說，天文學(xué)和力學(xué)是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，而在當(dāng)時(shí)的中國這種動力已趨近枯竭.5 我從中國古代數(shù)學(xué)的研究中得到的幾點(diǎn)啟示：

通過對中國古代數(shù)學(xué)史及數(shù)學(xué)思想史的研究，我們看到了中國古代數(shù)學(xué)由興到衰的歷史過程，并分析了其由興到衰的歷史原因.由此，針對中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特殊歷史背景，我對今后數(shù)學(xué)發(fā)展方向作出了以下意見：

（1）.繼承并創(chuàng)新中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華.數(shù)學(xué)應(yīng)服務(wù)于生產(chǎn)實(shí)踐，這是一個(gè)不爭的事實(shí).雖然很多理論都是在貫之以“純數(shù)學(xué)”，但是，我們應(yīng)該相信，這些理論只是數(shù)學(xué)上的一個(gè)過渡，它的引入是為了解決其他的問題而展開的.現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育中經(jīng)常會引入一些現(xiàn)實(shí)中的模型，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)方法加以解決，這就是很好的做法.一方面它讓學(xué)生認(rèn)識到了數(shù)學(xué)源于生活，服務(wù)于生活的理念；令一方面它有效得鍛煉了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想，并從真正意義上讓學(xué)生學(xué)懂學(xué)活了.很多人懷疑中國古代數(shù)學(xué)知識已經(jīng)過時(shí)，就在一些數(shù)學(xué)思想也與現(xiàn)代格格不入.其實(shí)這是不正確的.近年來，我國著名數(shù)學(xué)家吳文俊同志從中國古代數(shù)學(xué)擅長于算，習(xí)慣將算法程序化這一做法中得到了啟示，從而研究開辟了機(jī)器證明數(shù)學(xué)命題的新領(lǐng)域.這就是很好的例子，它說明中國古代數(shù)學(xué)思想并沒有過時(shí)，要想走出創(chuàng)新和成就的瓶頸，我們就必須認(rèn)真研究中國古代數(shù)學(xué)的歷史和世界數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀，并有效得將二者進(jìn)行結(jié)合.（2）.數(shù)學(xué)研究應(yīng)沿著注重邏輯思維的過程以及理論體系的建立這一路線發(fā)展，雖然當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展已經(jīng)相當(dāng)完備，但仍有大量的問題有待我們?nèi)ヅ鉀Q.就比如：如何將數(shù)學(xué)的各個(gè)分支用一中簡約的數(shù)學(xué)思想統(tǒng)一起來？這個(gè)難題有許許多多的數(shù)學(xué)工作者在為之奮斗，并取得了一的成績，群論的建立就是其中優(yōu)秀的范例.難以想像，如果對數(shù)學(xué)的理論體系沒有一定的了解，并且不注重邏輯思維的過程，而又試圖解決這一問題是多么困難的事.（3）.數(shù)學(xué)研究要以一種科學(xué)的態(tài)度去對待.就比如馬克思主義辯證思想，只要我們的數(shù)學(xué)研究秉承著這樣一種思想，就不會走太多的彎路，更不會走上歧途.中國古代數(shù)學(xué)是與玄術(shù)并行發(fā)展的，這難免阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展.而由于中國文化的特點(diǎn)，這種思想依然對一大批數(shù)學(xué)工作著有著較深的影響.我們的數(shù)學(xué)要發(fā)展和創(chuàng)新就不能不摒棄一切有礙數(shù)學(xué)發(fā)展的因素.（4）.我們的每個(gè)理論研究者都應(yīng)密切關(guān)注國內(nèi)國外的學(xué)術(shù)動態(tài)，吸收一切有用的、正確的、外來的文化與知識，而不能做一個(gè)閉門造車的數(shù)學(xué)工作者.數(shù)學(xué)發(fā)展至今，很多

分支都已經(jīng)發(fā)展地相當(dāng)完備了，一個(gè)研究者倘若對世界數(shù)學(xué)在本領(lǐng)域的現(xiàn)狀缺乏了解的情況下開展研究工作，必定會走彎路.多元化的信息時(shí)代為我們提供了便捷的世界文化知識交流渠道.網(wǎng)絡(luò)就是很好的例子，我們可以充分地加以應(yīng)用，從而共同推動數(shù)學(xué)的發(fā)展.（5）.建立健全的國家發(fā)展體制.只有在一種迫切的發(fā)展動力下，才能激發(fā)人的潛力，從而創(chuàng)造出成績.當(dāng)代中國經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛，生產(chǎn)力不斷發(fā)展壯大.這種狀況對我們的每個(gè)數(shù)學(xué)工作者提供了良好的契機(jī)，只要我們的數(shù)學(xué)工作者將目光更多地投入到生產(chǎn)實(shí)踐中去，讓科學(xué)服務(wù)于生產(chǎn)實(shí)踐，就能有所成就，有所創(chuàng)新.6 結(jié)束語

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想具有顯著的民族性特征.我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是沿著注重從實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中產(chǎn)生和發(fā)展數(shù)學(xué)的思維方式發(fā)展數(shù)學(xué)的，擅長于算，運(yùn)算主要以算籌作為工具.但同時(shí)卻又在邏輯思維上存有欠缺.這與西方許多國家發(fā)展數(shù)學(xué)的道路是不同的.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想有著自已的淵源和模式，有其長，也有其短.在初等數(shù)學(xué)領(lǐng)域之內(nèi)，正是這種傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想把我國數(shù)學(xué)推向世界的最高峰.許多國家與我國相比，望塵莫及.好的傳統(tǒng)我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會繼承和發(fā)展.我們應(yīng)當(dāng)好好研究中國古代數(shù)學(xué)的獨(dú)特之處，并將其加以應(yīng)用，以指導(dǎo)當(dāng)代的數(shù)學(xué)研究工作.對于落后不利于數(shù)學(xué)發(fā)展的思想我們又要學(xué)會放棄，就比如中國古代數(shù)學(xué)曾一度故步自封，這是極其不利于其自身發(fā)展的做法.我們要從中吸取教訓(xùn)，努力加強(qiáng)中西文化交流，盡可能多得吸取西方數(shù)學(xué)的精華與長處.這樣我們的數(shù)學(xué)才能在真正意義上走想成熟.繼承和發(fā)展中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想，“純粹的”民族傳統(tǒng)是不行的，要面向世界，面向現(xiàn)代化.我們應(yīng)該恰當(dāng)調(diào)節(jié)數(shù)學(xué)和環(huán)境的關(guān)系，為數(shù)學(xué)提供源源不斷的動力機(jī)制.并建立一套完善的理論體系，把應(yīng)用廣泛地拓展開來.另一方面我們要提高數(shù)學(xué)抽象結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)其內(nèi)在聯(lián)系，注重分析，全面把握，只有這樣才是真正意義上認(rèn)識了我國古代數(shù)學(xué)思想中體現(xiàn)出來的優(yōu)與劣，我們的數(shù)學(xué)也才能擁有一片光明的前景.致謝:本論文的順利完成主要得益于張正才教授和李圣國老師的辛勤指導(dǎo)和幫助.在此表示感謝！

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第三篇：代數(shù)學(xué)的發(fā)展

代數(shù)學(xué)的發(fā)展

初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進(jìn)而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù)。

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。

高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也由很大的不同了。

高等代數(shù)發(fā)展簡史

代數(shù)學(xué)的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數(shù)學(xué)家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動。

人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。到了十三世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家秦九韶再他所著的《數(shù)書九章》這部書的“正負(fù)開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時(shí)候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由有意大利的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當(dāng)公式。

在數(shù)學(xué)史上，相傳這個(gè)公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(1501～1576)騙到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。

三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個(gè)問題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的時(shí)間和精力，但一直持續(xù)了長達(dá)三個(gè)多世紀(jì)，都沒有解決。

到了十九世紀(jì)初，挪威的一位青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。既這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。阿貝爾的這個(gè)證明不但比較難，而且也沒有回答每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。

后來，五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國的一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時(shí)候，因?yàn)榉e極參加法國資產(chǎn)階級革命運(yùn)動，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。

伽羅華在臨死前預(yù)料自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于

整函數(shù)的??。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對它們是有益的?！?/p>

伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學(xué)界推薦。

隨著時(shí)間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認(rèn)識。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學(xué)史上做出的貢獻(xiàn)，不僅是解決了幾個(gè)世紀(jì)以來一直沒有解決的高次方程的代數(shù)解的問題，更重要的是他在解決這個(gè)問題中提出了“群”的概念，并由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。從此，代數(shù)學(xué)不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步的發(fā)展。在數(shù)學(xué)大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學(xué)思想?yún)s是光輝奪目的。高等代數(shù)的基本內(nèi)容

代數(shù)學(xué)從高等代數(shù)總的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨(dú)立分支的一個(gè)大的數(shù)學(xué)科目，比如：多項(xiàng)式代數(shù)、線性代數(shù)等。代數(shù)學(xué)研究的對象，也已不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進(jìn)行運(yùn)算。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括為研究帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。比如群、環(huán)、域等。

多項(xiàng)式是一類最常見、最簡單的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛。多項(xiàng)式理論是以代數(shù)方程的根的計(jì)算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項(xiàng)式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。

多項(xiàng)式代數(shù)所研究的內(nèi)容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項(xiàng)式的整除性質(zhì)對于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn)，零點(diǎn)不存在的時(shí)候，所對應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。

我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨。德國數(shù)學(xué)家雅可比于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。

行列式有一定的計(jì)算規(guī)則，利用行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個(gè)數(shù)。

因?yàn)樾辛惺揭笮袛?shù)等于列數(shù)，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表，可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等。

矩陣和行列式是兩個(gè)完全不同的概念，行列式代表著一個(gè)數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個(gè)工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量；這樣對于一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。

代數(shù)學(xué)研究的對象，不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性規(guī)律的有力工具?，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。

高等代數(shù)與其他學(xué)科的關(guān)系

代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的發(fā)生和發(fā)展，基本上都是圍繞著這三大學(xué)科進(jìn)行的。那么代數(shù)學(xué)與另兩門學(xué)科的區(qū)別在哪兒呢？

首先，代數(shù)運(yùn)算是有限次的，而且缺乏連續(xù)性的概念，也就是說，代數(shù)學(xué)主要是關(guān)于離散性的。盡管在現(xiàn)實(shí)中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證的統(tǒng)一的，但是為了認(rèn)識現(xiàn)實(shí)，有時(shí)候需要把它分成幾個(gè)部分，然后分別地研究認(rèn)識，在綜合起來，就得到對現(xiàn)實(shí)的總的認(rèn)識。這是我們認(rèn)識事物的簡單但是科學(xué)的重要手段，也是代數(shù)學(xué)的基本思想和方法。代數(shù)學(xué)注意到離散關(guān)系，并不能說明這時(shí)它的缺點(diǎn)，時(shí)間已經(jīng)多次、多方位的證明了代數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是有效的。

其次，代數(shù)學(xué)除了對物理、化學(xué)等科學(xué)有直接的實(shí)踐意義外，就數(shù)學(xué)本身來說，代數(shù)學(xué)也占有重要的地位。代數(shù)學(xué)中發(fā)生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數(shù)學(xué)的許多分支，成為眾多學(xué)科的共同基礎(chǔ)。

初等代數(shù)從最簡單的一元一次方程開始，一方面進(jìn)而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉(zhuǎn)化為二次的方程組。沿著這兩個(gè)方向繼續(xù)發(fā)展，代數(shù)在討論任意多個(gè)未知數(shù)的一次方程組，也叫線型方程組的同時(shí)還研究次數(shù)更高的一元方程組。發(fā)展到這個(gè)階段，就叫做高等代數(shù)。

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項(xiàng)式代數(shù)。

高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對象進(jìn)一步的擴(kuò)充，引進(jìn)了許多新的概念以及與通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運(yùn)算的特點(diǎn)，不過研究的方法和運(yùn)算的方法都更加繁復(fù)。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時(shí)具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運(yùn)算的規(guī)則的集合。向量空間中的運(yùn)算對象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運(yùn)算性質(zhì)也由很

大的不同了。

高等代數(shù)發(fā)展簡史

代數(shù)學(xué)的歷史告訴我們，在研究高次方程的求解問題上，許多數(shù)學(xué)家走過了一段頗不平坦的路途，付出了艱辛的勞動。

人們很早就已經(jīng)知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關(guān)于三次方程，我國在公元七世紀(jì)，也已經(jīng)得到了一般的近似解法，這在唐朝數(shù)學(xué)家王孝通所編的《緝古算經(jīng)》就有敘述。到了十三世紀(jì)，宋代數(shù)學(xué)家秦九韶再他所著的《數(shù)書九章》這部書的“正負(fù)開方術(shù)”里，充分研究了數(shù)字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時(shí)候以得到了高次方程的一般解法。

在西方，直到十六世紀(jì)初的文藝復(fù)興時(shí)期，才由有意大利的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一元三次方程解的公式——卡當(dāng)公式。

在數(shù)學(xué)史上，相傳這個(gè)公式是意大利數(shù)學(xué)家塔塔里亞首先得到的,后來被米蘭地區(qū)的數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾(1501～1576)騙到了這個(gè)三次方程的解的公式，并發(fā)表在自己的著作里。所以現(xiàn)在人們還是叫這個(gè)公式為卡爾達(dá)諾公式(或稱卡當(dāng)公式)，其實(shí)，它應(yīng)該叫塔塔里亞公式。

三次方程被解出來后，一般的四次方程很快就被意大利的費(fèi)拉里(1522～1560)解出。這就很自然的促使數(shù)學(xué)家們繼續(xù)努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個(gè)問題雖然耗費(fèi)了許多數(shù)學(xué)家的時(shí)間和精力，但一直持續(xù)了長達(dá)三個(gè)多世紀(jì)，都沒有解決。

到了十九世紀(jì)初，挪威的一位青年數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802～1829)證明了五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解。既這些方程的根不能用方程的系數(shù)通過加、減、乘、除、乘方、開方這些代數(shù)運(yùn)算表示出來。阿貝爾的這個(gè)證明不但比較難，而且也沒有回答每一個(gè)具體的方程是否可以用代數(shù)方法求解的問題。

后來，五次或五次以上的方程不可能有代數(shù)解的問題，由法國的一位青年數(shù)學(xué)家伽羅華徹底解決了。伽羅華20歲的時(shí)候，因?yàn)榉e極參加法國資產(chǎn)階級革命運(yùn)動，曾兩次被捕入獄，1832年4月，他出獄不久，便在一次私人決斗中死去，年僅21歲。

伽羅華在臨死前預(yù)料自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以曾連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的??。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)消除所有這些混亂對它們是有益的?！?/p>

伽羅華死后，按照他的遺愿，舍瓦利葉把他的信發(fā)表在《百科評論》中。他的論文手稿過了14年，才由劉維爾(1809～1882)編輯出版了他的部分文章，并向數(shù)學(xué)界推薦。

隨著時(shí)間的推移，伽羅華的研究成果的重要意義愈來愈為人們所認(rèn)識。伽羅華雖然十分年輕，但是他在數(shù)學(xué)史上做出的貢獻(xiàn)，不僅是解決了幾個(gè)世紀(jì)以來一直沒有解決的高次方程的代數(shù)解的問題，更重要的是他在解決這個(gè)問題中提出了“群”的概念，并由此發(fā)展了一整套關(guān)于群和域的理論，開辟了代數(shù)學(xué)的一個(gè)嶄新的天地，直接影響了代數(shù)學(xué)研究方法的變革。從此，代數(shù)學(xué)不再以方程理論為中心內(nèi)容，而轉(zhuǎn)向?qū)Υ鷶?shù)結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，促進(jìn)了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步的發(fā)展。在數(shù)學(xué)大師們的經(jīng)典著作中，伽羅華的論文是最薄的，但他的數(shù)學(xué)思想?yún)s是光輝奪目的。

高等代數(shù)的基本內(nèi)容

代數(shù)學(xué)從高等代數(shù)總的問題出發(fā)，又發(fā)展成為包括許多獨(dú)立分支的一個(gè)大的數(shù)學(xué)科目，比如：多項(xiàng)式代數(shù)、線性代數(shù)等。代數(shù)學(xué)研究的對象，也已不僅是數(shù)，還有矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進(jìn)行運(yùn)算。雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括為研究帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合叫做代數(shù)系統(tǒng)。比如群、環(huán)、域等。

多項(xiàng)式是一類最常見、最簡單的函數(shù)，它的應(yīng)用非常廣泛。多項(xiàng)式理論是以代數(shù)方程的根的計(jì)算和分布作為中心問題的，也叫做方程論。研究多項(xiàng)式理論，主要在于探討代數(shù)方程的性質(zhì)，從而尋找簡易的解方程的方法。

多項(xiàng)式代數(shù)所研究的內(nèi)容，包括整除性理論、最大公因式、重因式等。這些大體上和中學(xué)代數(shù)里的內(nèi)容相同。多項(xiàng)式的整除性質(zhì)對于解代數(shù)方程是很有用的。解代數(shù)方程無非就是求對應(yīng)多項(xiàng)式的零點(diǎn)，零點(diǎn)不存在的時(shí)候，所對應(yīng)的代數(shù)方程就沒有解。

我們知道一次方程叫做線性方程，討論線性方程的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。

行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在1683年寫了一部叫做《解伏題之法》的著作，標(biāo)題的意思是“解行列式問題的方法”，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。歐洲第一個(gè)提出行列式概念的是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨。德國數(shù)學(xué)家雅可比于1841年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。

行列式有一定的計(jì)算規(guī)則，利用行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，因此行列式是解線性方程組的工具。行列式可以把一個(gè)線性方程組的解表示成公式，也就是說行列式代表著一個(gè)數(shù)。

因?yàn)樾辛惺揭笮袛?shù)等于列數(shù)，排成的表總是正方形的，通過對它的研究又

發(fā)現(xiàn)了矩陣的理論。矩陣也是由數(shù)排成行和列的數(shù)表，可以行數(shù)和烈數(shù)相等也可以不等。

矩陣和行列式是兩個(gè)完全不同的概念，行列式代表著一個(gè)數(shù)，而矩陣僅僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣這個(gè)工具，可以把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量；這樣對于一個(gè)多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等等一系列理論上的問題，就都可以得到徹底的解決。矩陣的應(yīng)用是多方面的，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，而且在力學(xué)、物理、科技等方面都十分廣泛的應(yīng)用。

代數(shù)學(xué)研究的對象，不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進(jìn)行運(yùn)算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運(yùn)算定律，有時(shí)不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運(yùn)算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性規(guī)律的有力工具。現(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個(gè)數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。

高等代數(shù)與其他學(xué)科的關(guān)系

代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、分析數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的三大基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支的發(fā)生和發(fā)展，基本上都是圍繞著這三大學(xué)科進(jìn)行的。那么代數(shù)學(xué)與另兩門學(xué)科的區(qū)別在哪兒呢？

首先，代數(shù)運(yùn)算是有限次的，而且缺乏連續(xù)性的概念，也就是說，代數(shù)學(xué)主要是關(guān)于離散性的。盡管在現(xiàn)實(shí)中連續(xù)性和不連續(xù)性是辯證的統(tǒng)一的，但是為了認(rèn)識現(xiàn)實(shí)，有時(shí)候需要把它分成幾個(gè)部分，然后分別地研究認(rèn)識，在綜合起來，就得到對現(xiàn)實(shí)的總的認(rèn)識。這是我們認(rèn)識事物的簡單但是科學(xué)的重要手段，也是代數(shù)學(xué)的基本思想和方法。代數(shù)學(xué)注意到離散關(guān)系，并不能說明這時(shí)它的缺點(diǎn)，時(shí)間已經(jīng)多次、多方位的證明了代數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是有效的。

其次，代數(shù)學(xué)除了對物理、化學(xué)等科學(xué)有直接的實(shí)踐意義外，就數(shù)學(xué)本身來說，代數(shù)學(xué)也占有重要的地位。代數(shù)學(xué)中發(fā)生的許多新的思想和概念，大大地豐富了數(shù)學(xué)的許多分支，成為眾多學(xué)科的共同基礎(chǔ)。

第四篇：《中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例》教案

《中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例》教案

一、教案背景

1，面向?qū)W生：高中

2，學(xué)科：數(shù)學(xué)

3，課時(shí)：1 4，學(xué)生課前準(zhǔn)備：通過閱讀課本找出中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例，結(jié)合案例，了解一下中國古代主要的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。

二、教學(xué)課題 １． 知識與技能目標(biāo)：

（１）了解中國古代數(shù)學(xué)中求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法以及割圓術(shù)的算法；

（２）通過對“更相減損之術(shù)”及“割圓術(shù)”的學(xué)習(xí)，更好的理解將要解決的問題“算法化”的思維方法，并注意理解推導(dǎo)“割圓術(shù)”的操作步驟。２． 過程與方法目標(biāo)：

（１）改變解決問題的思路，要將抽象的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的步驟化的思維方法，提高邏輯思維能力；（２）學(xué)會借助實(shí)例分析，探究數(shù)學(xué)問題。３． 情感與價(jià)值目標(biāo)：

（１）通過學(xué)生的主動參與，師生，生生的合作交流，提高學(xué)生興趣，激發(fā)其求知欲，培養(yǎng)探索精神；（２）體會中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)愛國主義情懷。

三、教材分析

本節(jié)為為高中數(shù)學(xué)人教B版必修三中第一章第三節(jié)課，本節(jié)課的重點(diǎn)是理解書中介紹的中國古代的三個(gè)問題的算法，難點(diǎn)是為算法編寫程序。

求最大公約數(shù)的更相減損之術(shù)

教材對這個(gè)算法編好了程序，可讓學(xué)生通過執(zhí)行程序來學(xué)習(xí)體會此算法，注意讓學(xué)生自主解釋此算法的有窮性。歐幾里得的輾轉(zhuǎn)相除法也是求最大公約數(shù)的有效算法，在實(shí)際問題中和抽象代數(shù)理論上都有重要應(yīng)用，它的程序可參看本小節(jié)中的探索與研究，可鼓勵(lì)學(xué)生自主編寫程序。

割圓術(shù)

可以啟發(fā)學(xué)生自己編寫算法，和Scilab程序，試驗(yàn)證明，學(xué)生對此非常感興趣 秦九韶算法

一方面，這個(gè)算法是目前仍在廣泛使用（很多文獻(xiàn)中稱之為霍納法）；另一方面，秦九韶算法給我們提供了一個(gè)比較算法優(yōu)劣的機(jī)會，一般地說，在中學(xué)生的程度上比較分析算法的優(yōu)劣不是容易的事，所以要利用這個(gè)機(jī)會讓學(xué)生對算法的優(yōu)劣性有所體會。

四、教學(xué)方法

通過典型實(shí)例，使學(xué)生經(jīng)歷算法設(shè)計(jì)的全過程，在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會有條理地思考問題、表達(dá)算法，并能將解決問題的過程整理成程序框圖。

五、教學(xué)過程

說明如何導(dǎo)入該課程，主要教學(xué)點(diǎn)的設(shè)計(jì)，知識拓展等。

1、課前任務(wù)：

請同學(xué)們自己查一些資料或者上網(wǎng)搜索一些中國古代的數(shù)學(xué)家以及其主要成就： 【百度知道】中國古代數(shù)學(xué)家

（提前認(rèn)識一下中國古代的數(shù)學(xué)成就，激勵(lì)同學(xué)們需要繼續(xù)努力）

2、課上探討：

同學(xué)們是否知道，我們在小學(xué)、初中學(xué)到的算術(shù)、代數(shù)，從記數(shù)到多元一次聯(lián)立方程組以及方程的求根方法，都是我國古代數(shù)學(xué)家最先創(chuàng)造的，有的比其他國家早幾百年甚至上千年，我們?nèi)嗣裨陂L期的生活、生產(chǎn)和勞動過程中，創(chuàng)造了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、正負(fù)數(shù)及其計(jì)算，以及無限逼近任意實(shí)數(shù)的方法，在代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)方面，我國在宋、元之前也都處于世界前列，更為重要的是我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展有著自己鮮明的特色，走著與西方完全不同的道路，在今天看來這條道路仍然有很大的優(yōu)越性。這條道路的一個(gè)重要特色就是“寓理于算”，也就是本節(jié)中所講的要把解決問題“算法化”。下面我們舉一些我國古代數(shù)學(xué)中算法的例子，讓同學(xué)們更進(jìn)一步體會“算法”的概念，看一看中國古代數(shù)學(xué)家的偉大成就和顯著特色。

下面就中國古代的數(shù)學(xué)成就，結(jié)合算法的知識，主要了解一下下面三個(gè)方面的內(nèi)容：求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法、割圓術(shù)和秦九韶算法。

一、求兩個(gè)正整數(shù)最大公約數(shù)的算法：更相減損之術(shù)

我們知道，如果整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則b稱為a的一個(gè)約數(shù)，一個(gè)整數(shù)可能有好幾個(gè)約數(shù)。例如，12能被1,2,3,4,6,12整除，這6個(gè)數(shù)都是12的約數(shù)。16的有1,2,4,8,16這5個(gè)約數(shù)。我們看到2和4，既是12的約數(shù)，又是16的約數(shù)，2和4叫做12和16的公約數(shù)，公約數(shù)2和4中，4最大，4稱作12和16的最大公約數(shù)。如何找到一種算法，對任意兩個(gè)正整數(shù)都能求出它們的最大公約數(shù)呢？下面給出我國古代數(shù)學(xué)家的一個(gè)算法，這個(gè)算法被稱做“更相減損之術(shù)”。

【百度百科】更相減損之術(shù)

http://baike.baidu.com/view/1431259.htm（了解更相減損之術(shù)的出處，開拓知識容量）

我們以求16,12這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為例加以說明。用兩個(gè)數(shù)中較大的數(shù)減去較小的數(shù)，即16-12=4，用差數(shù)4和最小的數(shù)12構(gòu)成新的一對數(shù)，對這一對數(shù)再用大數(shù)減小數(shù)，以同樣的操作一直做下去，知道產(chǎn)生一對相等的數(shù)，這個(gè)數(shù)就是最大公約數(shù)。整個(gè)操作如下： 4是12和16的最大公約數(shù)。

這種算法的道理何在？不難看出，對任意兩個(gè)數(shù)，每次操作后所得的兩個(gè)數(shù)與前兩數(shù)具有相同的最大公約數(shù)，而兩數(shù)的值逐漸減少，經(jīng)過有限步地操作后，總能得到相等的兩個(gè)數(shù)，即求得兩數(shù)的最大公約數(shù)。例1：求78和36的最大公約數(shù)。解：

這種算法，只做簡單的減法，操作方便、易懂，也完全符合算法的要求，它完全是機(jī)械的運(yùn)算，據(jù)此很容易編出程序，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，把這個(gè)算法與我們下面探索與研究中介紹的歐幾里德算法比較，看看這個(gè)算法的優(yōu)越性。下面是我們用Scilab編出的程序，供大家參考。實(shí)際上，你可用你在信息技術(shù)課上學(xué)到的任一種程序設(shè)計(jì)語言編出程序，從中體會一下這個(gè)算法的優(yōu)越性。為了方便敘述，我們稱這種算法為“等值算法” 用等值算法求最大公約數(shù)的程序： a=input(“please give the first number”);b=input(“please give the second number”);while a<>b

if a>b

a=a-b

else

b=b-a

end end print(%io2(2),a,b)

把這個(gè)程序保存成文件，可隨時(shí)調(diào)入Scilab界面運(yùn)行，求任意兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。課后任務(wù)：

【百度百科】九章算術(shù)

【百度百科】劉徽

【百度百科】輾轉(zhuǎn)相除法

（增加知識容量）

二、割圓術(shù)

我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，他在注《九章算術(shù)》中采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的算法計(jì)算圓周率，用劉徽自己的原話就是“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！彼乃枷牒髞碛值玫阶鏇_之的推進(jìn)和發(fā)展，計(jì)算出圓周率的近似值在世界上很長時(shí)間里處于領(lǐng)先地位。

劉徽從圓內(nèi)接正六邊形開始，讓邊數(shù)逐次加倍，逐個(gè)算出這些圓內(nèi)接正多邊形的面積，從而得到一系列逐漸遞增的數(shù)值，來一步一步地逼近圓面積，最后求出圓周率的近似值?？梢韵胂笤诋?dāng)時(shí)需要付出多么艱辛的勞動，現(xiàn)在讓我們用劉徽的思想，使用計(jì)算機(jī)求圓周率的近似值，計(jì)算機(jī)最大的特點(diǎn)是運(yùn)算速度快，只要我們將運(yùn)算規(guī)律告訴計(jì)算機(jī)，計(jì)算機(jī)會迅速得到所求的答案。

我們先對單位圓內(nèi)接正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形??的面積之間的關(guān)系進(jìn)行分析，找出它們之間的遞增規(guī)律。

【百度圖片】劉徽割圓的弧田圖

如上圖所示，假設(shè)圓的半徑為1，面積為S，圓內(nèi)接正n邊形面積為，邊長為，邊心距為，根據(jù)勾股定理。

正2n邊形的面積為正n邊形的面積 再加上n個(gè)等腰三角形的面積和，即 ①

正2n邊形的邊長為。

劉徽割圓術(shù)還注意到，如果在內(nèi)接n邊形的每一邊上，做一高為CD的矩形，就可得到

這樣我們就不僅可計(jì)算出圓周率的不足近似值，還可計(jì)算出圓周率的過剩近似值。

正六邊形的面積開始計(jì)算，即n=6，則正六邊形的面積。用上面的公式①重復(fù)計(jì)算，就可得到正十二邊形、正二十四邊形??的面積。因?yàn)閳A的半徑為1，所以隨著n的增大，的值不斷趨近于圓周率，這樣不斷計(jì)算下去，就可以得到越來越精密的圓周率近似值。下面我們根據(jù)劉徽割圓術(shù)的算法思想，用Scilsb語言寫出求 的不足近似值程序： n=6 x=1 s=6*sqrt(3)/4 for i=1:1:5

h=sqrt(1-(x/2)^2)

s=s+n*x*(1-h)/2

n=2*n

x=sqrt((x/2)^2+(1-h)^2)end print(%io(2),n,s)

運(yùn)行程序，當(dāng)邊數(shù)為192時(shí)，就可以得到劉徽求的的圓周率的近似值3.14，當(dāng)邊數(shù)為24576時(shí)，就得到了祖沖之計(jì)算的結(jié)果3.1415926.由于是用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是小于 的實(shí)際值。作為練習(xí)，請同學(xué)們編出程序求 作為 的過剩近似值。課后任務(wù)

【百度文庫】祖沖之和圓周率 http://wenku.baidu.com/view/f5e8cfc789eb172ded63b7c7.html

三、秦九韶算法

【百度百科】秦九韶http://baike.baidu.com/view/18635.htm

已知一個(gè)一元n次多項(xiàng)式函數(shù)，當(dāng)，我們可按順序一項(xiàng)一項(xiàng)地計(jì)算，然后相加，求得。下面看看我們宋代（約13世紀(jì)）大數(shù)學(xué)家秦九韶是如何計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)值的。

讓我們以5次多項(xiàng)式函數(shù)為例加以說明。設(shè)

首先，我們把這個(gè)多項(xiàng)式一步一步的進(jìn)行改寫：

上面的分層計(jì)算，只用了小括號，計(jì)算時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層的括號，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算，知道最外層的一個(gè)括號，然后加上常數(shù)項(xiàng)。

這種算法與直接算法比較，有什么有什么優(yōu)越性呢？首先，這種算法一共做了5次乘法，5次加法，與直接計(jì)算相比較大大節(jié)省了乘法的次數(shù)，是計(jì)算量減少，并且邏輯結(jié)構(gòu)簡單。

對任意一元n次多項(xiàng)式，類似的敘述如下：

上面的方法，現(xiàn)在大家稱它為秦九韶方法。直到今天，這種算法仍是世界上多項(xiàng)式求值的最先進(jìn)的算法。

這種方法的計(jì)算量僅為：乘法n次，加法n次。我們看看其他算法的計(jì)算量。

用直接求和法，直接計(jì)算多項(xiàng)式 各項(xiàng)的值，然后把他們相加。可知乘法的次數(shù)為，加法次數(shù)為n。

逐項(xiàng)求和在直接求和法的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，先把多項(xiàng)式寫成 的形式，這樣多項(xiàng)式的每一含x的冪的項(xiàng)都是 與 的乘積（k=1,2,3，??，n），在計(jì)算

項(xiàng)時(shí)把 的值保存在變量c中，求 項(xiàng)時(shí)只須計(jì)算，同時(shí)把 的值存入c中，繼續(xù)下一項(xiàng)的運(yùn)算，然后把這n+1項(xiàng)的值相加。

容易看出逐項(xiàng)求和法所用乘法的次數(shù)為2n-1，加法次數(shù)為n，當(dāng) 時(shí)，通過上面的比較，我們可看到秦九韶算法比其他算法優(yōu)越得多。

3、課堂小結(jié)：

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了中國古代的三個(gè)算法問題：更相減損之術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)、割圓術(shù)求圓周率和秦九韶求一元n次多項(xiàng)式的值，重點(diǎn)在于這三種方法的應(yīng)用，難點(diǎn)就是如何去編制算法語言，主要以了解為主。

4、當(dāng)堂練習(xí)：

⑴.下面各組關(guān)于最大公約數(shù)的說法中不正確的是（C）

A.80與36的最大公約數(shù)是4

B.294與84的最大公約數(shù)是42 C.85與357的最大公約數(shù)是34

D.228與741的最大公約數(shù)是57 ⑵.我國數(shù)學(xué)家劉徽采用正多邊形面積逐漸逼近圓面積的計(jì)算方法來求圓周率，其算法的特點(diǎn)為（C）A.運(yùn)算速率快

B.能計(jì)算出 的精確值

C.“內(nèi)外夾逼”

D.無限次地分割 ⑶.用秦九韶算法求多項(xiàng)式 的值時(shí)，應(yīng)把 變形為（D）A.B.C.D.⑷.用更相減損之術(shù)求81與135的最大公約數(shù)時(shí)，要進(jìn)行

次減法運(yùn)算。

5、課后作業(yè)

⑴.145與232的最大公約數(shù)是（）A.145

B.19

C.29

D.32 ⑵.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式 在 時(shí)的值時(shí)，的值為（）A.-845

B.220

C.-57

D.34 ⑶.用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓，因而得到的圓周率總是（）的實(shí)際值 A.大于等于

B.小于等于

C.等于

D.小于

⑷.已知一個(gè)5次多項(xiàng)式，用秦九韶算法求當(dāng) 時(shí)，多項(xiàng)式的值，可把多項(xiàng)式寫成如下的形式

。⑸求兩個(gè)數(shù)51與85的最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)。

⑹（創(chuàng)新應(yīng)用）

《孫子算經(jīng)》有這樣一道題目：“今有百鹿入城，家取一鹿不盡，又三家共一鹿適盡，問城中家?guī)缀?？”你能設(shè)計(jì)一個(gè)程序解決這個(gè)問題嗎？

六、教學(xué)反思

算法是中國古代數(shù)學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng).《九章算術(shù)》及其劉徽開創(chuàng)了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)構(gòu)造性和機(jī)械化的算法模式.中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)以算為主、以術(shù)為法的算法體系,同古希臘以《幾何原本》為代表的邏輯演繹和公理化體系異其旨趣,在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的進(jìn)程中爭雄媲美,交相輝映.吳文俊先生提出,數(shù)學(xué)機(jī)械化思想貫穿于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)機(jī)械化思想是我國古代數(shù)學(xué)的精髓.他分析了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的光輝成就在數(shù)學(xué)科學(xué)進(jìn)步歷程中的地位和作用.明確指出,源于西方的公理化思想和源于中國的機(jī)械化思想,對于數(shù)學(xué)的發(fā)展都發(fā)揮了巨大作用,理應(yīng)兼收并蓄.現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)是算法的科學(xué),它所需的數(shù)學(xué)方法,與《九章算術(shù)》中傳統(tǒng)的方法體系若合符節(jié).吳文俊先生正是吸取了中國古代數(shù)學(xué)的思想精華,創(chuàng)立幾何定理的機(jī)器證明方法,用現(xiàn)代的算法理論,煥發(fā)了中國古代數(shù)學(xué)的算法傳統(tǒng),開創(chuàng)了數(shù)學(xué)機(jī)械化的新紀(jì)元。

通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，一方面了解中國古代數(shù)學(xué)的重要成就，另一方面，提高同學(xué)們學(xué)習(xí)的積極性，知道學(xué)習(xí)算法對平常的學(xué)習(xí)生活有總打的作用。

第五篇：代數(shù)學(xué)選講教學(xué)大綱

《代數(shù)學(xué)選講》教學(xué)大綱

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

執(zhí) 筆 人：王庚

審 定 人：王宏勇

系負(fù)責(zé)人：張從軍

南京財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系

144

《代數(shù)學(xué)選講》教學(xué)大綱

課程代碼：120010

英 文 名：Selected Topics in Advanced Algebra

課程類別：專業(yè)選修課

適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

前 置 課：數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)

后 置 課： 抽象代數(shù)（續(xù)），泛代數(shù)等

學(xué)分：3學(xué)分

課時(shí)：54課時(shí)

主講教師：周惠新等

選定教材：[1] 陳志杰, 陳咸平, 林磊, 瞿森榮, 韓士安，高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精解

[M].北京: 科學(xué)出版社, 2002.[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室小組，高等代數(shù)（第三版）[M].北京:高等教育出版社，2003.課程概述：

本課程主要講授高等代數(shù)(行列式及其計(jì)算、線性方程組理論、矩陣初步、二次型理論、線性空間和線性變換、Euclid空間)解題方法和內(nèi)容再認(rèn)識、專題選講（如線性代數(shù)應(yīng)用、用數(shù)學(xué)軟件做線性代數(shù)、從模的觀點(diǎn)來認(rèn)識線性代數(shù)、特殊矩陣的研究）。

高等代數(shù)選論課程是數(shù)學(xué)類專業(yè)及相關(guān)專業(yè)的主干基礎(chǔ)課高等代數(shù)的歸納整理、再認(rèn)識，以及某些專題的深入，使學(xué)生在更好的掌握線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)理論，并補(bǔ)充詳講多項(xiàng)式理論，了解高等代數(shù)的應(yīng)用、軟件實(shí)現(xiàn)、抽象代數(shù)中群、環(huán)、域的基本概念及線性代數(shù)的最新發(fā)展方向，進(jìn)一步熟悉和掌握抽象的、嚴(yán)格的代數(shù)解題方法。教學(xué)目的：

通過高等代數(shù)的教學(xué)，應(yīng)使學(xué)生系統(tǒng)掌握高等代數(shù)的知識和理論，深入理解具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關(guān)系，提高抽象思維、邏輯推理及運(yùn)算能力，提高分析問題和解決問題的能力。進(jìn)一步向?qū)W生滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究結(jié)構(gòu)和研究方式。同時(shí)，提高運(yùn)用代數(shù)方法解決實(shí)際問題的能力；能在較高的理論水平的基礎(chǔ)上，處理實(shí)際應(yīng)用的有關(guān)問題。作為代數(shù)選論課程，學(xué)習(xí)本課程，要求學(xué)生對其他代數(shù)能有一些了解。

教學(xué)方法：

高等代數(shù)選論主要為課堂教學(xué)，輔助以上機(jī)實(shí)踐和模擬測試，增強(qiáng)學(xué)生對有關(guān)內(nèi)容的理解和掌握。

各章教學(xué)要求及教學(xué)要點(diǎn)

第一章多項(xiàng)式內(nèi)容與解題方法

學(xué)時(shí)分配：8課時(shí)

教學(xué)要求：

1．理解數(shù)域上一元多項(xiàng)式環(huán)的概念及多項(xiàng)式和與積的性質(zhì)。

2．理解最大公因式概念、性質(zhì)及多項(xiàng)式互素的概念和性質(zhì)。

3．了解不可約多項(xiàng)式概念，理解多項(xiàng)式唯一因式分解定理。

4．理解重因式的概念和多項(xiàng)式根的概念。了解多元多項(xiàng)式和對稱多項(xiàng)式概念。教學(xué)內(nèi)容：

一、數(shù)域，一元多項(xiàng)式環(huán)的基本概念，二、整除概念，最大公因式，三、不可約多項(xiàng)式，因式分解定理，四、重因式，五、多項(xiàng)式的根，多項(xiàng)式函數(shù)，六、代數(shù)基本定理，七、實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，多元多項(xiàng)式環(huán)，對稱多項(xiàng)式。

第二章行列式及其計(jì)算

學(xué)時(shí)分配：6課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解和掌握n階行列式的概念與性質(zhì)。

2.熟練并掌握n階行列式的計(jì)算方法。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容。

二、基本題型與典型例題。

第三章線性方程組

學(xué)時(shí)分配：8課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解齊次線性方程組有非零解的充要條件。

2.理解非齊次線性方程組有解的充要條件。

3.掌握齊次方程組有解判別定理和基礎(chǔ)解系及通解的求法。

4.掌握非齊次線性方程組通解的求法。

5.熟練運(yùn)用矩陣的初等變換解一般線性方程組。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第四章矩陣

學(xué)時(shí)分配：6課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解矩陣的概念、性質(zhì)和相關(guān)的基礎(chǔ)知識。

2.會求逆矩陣和掌握矩陣的相關(guān)計(jì)算。

3.了解廣義逆矩陣概念，了解廣義逆矩陣與齊次方程組解的關(guān)系。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第五章二次型

學(xué)時(shí)分配：3課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解二次型概念及其相關(guān)理論，掌握合同變換與合同矩陣概念。

2.熟練運(yùn)用配方法和初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第六章線性空間

學(xué)時(shí)分配：4課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解線性空間概念及其相關(guān)理論。

2.熟練掌握相關(guān)的計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第七章線性變換

學(xué)時(shí)分配：3課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解線性變換概念及其相關(guān)理論。

2.熟練掌握相關(guān)的計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第八章?—矩陣

學(xué)時(shí)分配：3課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解?—矩陣概念及其相關(guān)理論。

2.熟練掌握相關(guān)的計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第九章歐幾里得空間

學(xué)時(shí)分配：3課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解歐幾里得空間概念及其相關(guān)理論。

2.熟練掌握相關(guān)的計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第十章雙線性函數(shù)

學(xué)時(shí)分配：3課時(shí)

教學(xué)要求：

1.理解雙線性函數(shù)概念及其相關(guān)理論，2.熟練掌握相關(guān)的計(jì)算。

教學(xué)內(nèi)容：

一、基本要求與主要內(nèi)容，二、基本題型與典型例題。

第十一章專題：應(yīng)用、軟件、代數(shù)結(jié)構(gòu)介紹

學(xué)時(shí)分配：7課時(shí)

教學(xué)要求：

了解有關(guān)概念、應(yīng)用，掌握軟件。

教學(xué)內(nèi)容：

高等代數(shù)的應(yīng)用、軟件實(shí)現(xiàn)、抽象代數(shù)中群、環(huán)、域的基本概念及線性代數(shù)的最新發(fā)展方向代數(shù)基本概念。

實(shí)驗(yàn)、作業(yè)、考核等

實(shí)驗(yàn)

高等代數(shù)及其應(yīng)用等內(nèi)容教學(xué)過程中，安排利用Mathematica軟件上機(jī)實(shí)驗(yàn)。

習(xí)題數(shù)量及要求：

為確保學(xué)生能達(dá)到大綱的教學(xué)要求，安排2-5次模擬測試，每次一套試卷。一次應(yīng)用習(xí)作，一次上機(jī)習(xí)作

教學(xué)方式與考核方式：

考核方式：以模擬測試、二次習(xí)作情況考核。

附錄：參考書目

1、劉劍平等,線性代數(shù)及其應(yīng)用[M],上海：華東理工大學(xué)出版社,2005.2、龔升,線性代數(shù)五講[M],北京：科學(xué)出版社,2005.3、李正元等,數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書[M],北京：國家行政學(xué)院出版社,2001.4、張禾瑞、郝炳新：高等代數(shù)（第四版）[M]，北京：高等教育出版社，1999.5、王心介：高等代數(shù)與解析幾何[M]，北京：科學(xué)出版社，2002.