第一篇：初中奧數(shù)題目_幾何不等式

九年級數(shù)學競賽專題 幾何不等式

一、選擇題

1．已知線段a,b,c的長度滿足a < b < c，那么以a,b,c為邊組成三角形的條件是（）A．c – a < b;B．2b < a + c;C．c – b > a;D．b< ac 2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，則∠B的取值范圍是（）A．0°< ∠B < 64°;B．58°< ∠B < 64° C．58°< ∠B < 122°;D．64°< ∠B < 122°

3．在銳角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三邊c的變化范圍是（）A．2 < c < 4;B．2 < c < 3;C．2 < c < 10;D．22< c < 10 4．一個等腰三角形ABC，頂角為∠A，作∠A的三等分線AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如圖），若BD=x, DE=y, CE=z，則有（）A．x > y > z;B．x = z > y C．x = z < y;D．x < y = z 5．已知三角形三邊長a,b,c都是整數(shù)，并且a≤b

二、解答題

1．如圖，已知△ABC中，AB > AC，AD是中線，AE是角平分線。求證：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

2．如圖，已知△ABC，AB=AC，AD是中線，E為∠ABD內(nèi)任一點。求證：∠AEB > ∠AEC。

6．如圖，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求證：AB + CF > AC + BE。

7．如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求證： BC + AD > AB + CD。

8．如圖，已知在線段BC同側(cè)作兩個三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，設(shè)AC與DB交于E。求證：AE > DE。

答案

一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A答案c – a < b及已條條件a < b < c可推出a + b > c，a + c > b, b + c > a，因此可以組成三角形，B、C、D答案均可舉出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6時，滿足B和C，但不能組成三角形，當a = 1, b = 2, c = 5時，滿足C，但不能組成三角形。2．因為AB > BC 所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°-58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C、D。

令∠B=40°，則∠C=82°，符合條件，故排除B。

3．若∠C是最大角，則∠C < 90°

所以c < a2?b2，即c <；若∠B是最大角，則∠B < 90° 所以b?a?c 所以9 < 1 + c 所以 c > 22 所以22 < c < 10

4．易證△ABD≌△ACE?BD=EC，即x = z 又因為∠AEB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2 所以BD > DE即x > y，所以x = z > y 選B

5．根據(jù)兩邊之和大于第三邊和條件a≤b < c，b = 7，有以下情況：

a 2 3 4 5 6 7 b 7 7 7 7 7 7 c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21個，選A 2222-5∠2即∠3 < ∠4 所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略證：

過E作ED平行且等于BC，連結(jié)DF，DC（如圖）所以BCDE是平行四邊行

所以DC平行且等于BE，所以∠1=∠A 因為AB=AC，AE=FC 所以BE=AF=DC 所以△AEF≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD中，EF+DF > DE 所以2EF > BC即EF >

1∠BAC 21BC 21BC 2當E、F為AB、AC中點時，EF=所以EF≥1BC 2

4．略證：連結(jié)BE（如圖）

因為BC > AB，BC > AC，易證△AOD≌△AOD，△COB≌△COD（SAS）所以AD=AD，CB= CB 在△CDE中，CE+DE > CD ① 在△ABE中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + DE + BE + CE > AB + CD 所以A D + BC > AB + CD 所以AD + BC > AB + CD

8．略證：由已知可得

2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC 在BD上截取DF=AC，連結(jié)AF、AD（如圖）因為BD+DC=2AC，所以DC+BF=AC=AB，所以在△BAF中，AF> AB – BF = DC 在△BADC與△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF > CD，所以∠1 > ∠2 所以AE > DE

9．略證：延長BA到D使AD=AC，連結(jié)DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，連結(jié)DE、EP（如圖）

易證△ADC是等邊三角形，△DCE≌△ACP 所以AC=CD=AD，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60° 且DE=AP 所以△CEP是等邊三角形 所以CP=EP 所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB

10．略證：這里只證明（1）

利用勾股定理可以證明

2b2?c2?2ma?''''''''''''''''12a] 2b2?c2a2(b?c)2a2a2???bc??bc?∴m? 242442ab2?c2a2?又m? 242a-89-

第二篇：初中奧數(shù)題

初中奧數(shù)題

1.水果超市運來蘋果2500千克，比運來的梨的2倍少250千克。這個超市運來梨多少千克？

2.A、B兩地相距300千米，甲車從A地出發(fā)24千米后，乙車才從B地相向而行。已知甲車每小時行40千米，乙車每小時行52千米，若甲車是上午8時出發(fā)，兩車相遇 時是幾時幾分？

3.家店商場運來一批洗衣機和彩電，彩電的臺數(shù)是洗衣機的3倍，現(xiàn)在每天平均售出10臺洗衣機和15臺彩電，洗衣機售完后，彩電還剩下120臺沒有售出，運來洗

衣機、彩電各多少臺？

4.小民以每小時20千米的速度行使一。段路程后，立即沿原路以每小時30千的速度返回原出發(fā)地，這樣往返一次的平均速度是多少？

5.糧店運來大米，面粉共3700千克，已知運來的面粉比大米的2倍多100千克，運來大米、面粉各多少千克?

6.一隊少先隊員乘船過河，如果每船坐15人，還剩9人，如果每船坐18人，則剩余1只船，求有多少只船?

7.學校舉辦的美術(shù)展覽中，有50幅水彩畫、80畫幅蠟筆畫。蠟筆畫比水彩畫多幾分之幾?水彩畫比蠟筆畫少幾分之幾?

8.某校航空模型小組在飛機模型比賽中,第一架模型飛機比第二架模型飛機少飛行480米.已知第一架模型飛機的速度比第二架模型飛機的速度快1米/秒,兩架模型

飛機在空中飛行的時間分別為12分和16分,這兩架模型飛機各飛行了多少距離?

9.一條環(huán)形跑道長400米,甲每分鐘行80米,乙每分鐘行120米.甲乙兩人同時同地通向出發(fā),多少分鐘后他們第一次相遇?若反向出發(fā),多少時間后相遇?

10.甲乙兩人同時從A,B兩地出發(fā),相向而行,3小時后兩人在途中相遇已知A,B兩地相距24千米,甲乙兩人的行進速度之比是2:3.問甲乙兩人每小時各行多少千米.11.已知甲,乙兩地相距290千米,現(xiàn)有一汽車以每小時40千米的速度從甲地開往乙地,出發(fā)30分鐘后,另有一輛摩托車以每小時50千米的速度從乙地開往甲地.問摩托

車出發(fā)后幾小時與汽車相遇?

12.小東到水果店買了3千克的蘋果和2千克的梨共付15元，1千克蘋果比1千克梨貴0.5元，蘋果和梨每千克各多少元？

13.甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，甲每小時行50千米，乙每小時行40千米，甲比乙早1小時到達中點。甲幾小時到達中點？

14.甲、乙兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，2小時相遇。如果甲從A地，乙從B地同時出發(fā)，同向而行，那么4小時后甲追上乙。已知甲速度是15千米/時，求乙的速度。

15.一個三角形的底邊長4.3厘米，面積是17.2厘米。它的高是多少厘米？

16.去年小明比他爸爸小28歲，今年爸爸的年齡是小明的8倍。小明今年多少歲？

17.果園里梨樹和桃樹共有365棵，桃樹的棵樹比梨樹的2倍多5棵。果園里梨樹和桃樹各有多少棵？

18.一輛汽車第一天行了3小時，第二天行了5小時，第一天比第二天少行90千米。平均每小時行多少千米？

19.甲、乙兩地相距1000米，小華從甲地、小明從乙地同時相向而行，小華每分鐘走80米，小明每分鐘走45米。兩人幾分相遇？

20.兩地間的路程是210千米，甲、乙兩輛汽車同時從兩地相向開出，3.5小時相遇，甲車每小時行28千米。乙車每小時行多少千米？

21.甲、乙兩地相距189千米，一列快車從甲地開往乙地每小時行72千米，一列慢車從乙地去甲地每小時行54千米。若兩車同時發(fā)車，幾小時后兩車相距31.5千米？

22.一個筑路隊要筑1680米長的路。已經(jīng)筑了15天，平均每天筑60米。其余的12天筑完，平均每天筑多少米？

23.學校買來6張桌子和12把椅子，共付215.40元，每把椅子7.5元。每張桌子多少元？

24.菜場運來蘿卜25筐，黃瓜32筐，共重1870千克。已知每筐蘿卜重30千克，黃瓜每筐重多少千克？

25.用兩段布做相同的套裝，第一段布長75米，第二段長100米，第一段布比第二段布少做10套。每套服裝用布多少米？

26.紅光農(nóng)具廠五月份生產(chǎn)農(nóng)具600件，比四月份多生產(chǎn)25％，四月份生產(chǎn)農(nóng)具多少件？

27.紅星紡織廠有女職工174人，比男職工人數(shù)的3倍少6人，全廠共有職工多少人？

28.蓓蕾小學三年級有學生86人，比二年級學生人數(shù)的2倍少4人，二年級有學生多少人？

29.某校有男生630人，男、女生人數(shù)的比是7∶8，這個學校女生有多少人？

30.張華看一本故事書，第一天看了全書的15％少4頁，這時已看的頁數(shù)與剩下頁數(shù)的比是1∶7。這本故事書共有多少頁？

31.一個書架有兩層，上層放書的本數(shù)是下層的3倍；如果把上層的書取30本放到下層，那么兩層書的本數(shù)正好相等。原來兩層書架上各有書多少本？

32.第一層書架放有89本書，比第二層少放了16本，第三層書架上放有的書是一、二兩層和的1.5倍，第三層放有多少本書？

藝書的本數(shù)與其他兩種書的本數(shù)的比是1∶5，工具書和文藝書共有180本。圖書箱里共有圖書多少本？

33.有甲、乙兩個同學，甲同學積蓄了27元錢，兩人各為災(zāi)區(qū)人民捐款15元后，甲、乙兩個同學剩下的錢的數(shù)量比是3∶4，乙同學原來有積蓄多少元？

34.小紅和小芳都積攢了一些零用錢。她們所攢錢的比是5∶3，在“支援災(zāi)區(qū)”捐款活動中小紅捐26元，小芳捐10元，這時她們剩下的錢數(shù)相等。小紅原來有多少

錢？ 35.學校買回315棵樹苗，計劃按3∶4分給中、高年級種植，高年級比中年級多植樹多少棵？

36.三、四、五年級共植樹180棵，三、四、五年級植樹的棵樹比是3∶5∶7。那么三個年級各植樹多少棵？

37.學校計劃把植樹任務(wù)按5∶3分給六年級和其它年級。結(jié)果六年級植樹的棵數(shù)占全校的75％，比計劃多栽了20棵。學校原計劃栽樹多少棵？

38.一杯80克的鹽水中，有鹽4克，現(xiàn)在要使這杯鹽水中鹽與水的比變?yōu)?∶9，需加多少克鹽或蒸發(fā)多少克水？

39.水果店運來蘋果和梨共540千克，蘋果和梨重量的比是12∶15。運來梨多少千克？

40.水果店運來橘子300千克，運來的葡萄比橘子多50千克，運來蘋果的重量是葡萄的2倍，蘋果比橘子多運來多少千克？

41.把960千克的飼料按7∶5分給甲、乙兩個養(yǎng)雞專業(yè)戶。甲專業(yè)戶比乙專業(yè)戶多分得飼料多少千克？

42.甲、乙兩個倉庫原存放的稻谷相等。現(xiàn)在甲倉運出稻谷14噸，乙倉運出稻谷26噸，這時甲倉剩下的稻谷比乙倉剩下的稻谷多40％。甲、乙兩個倉庫原來各存放

稻谷多少噸？

43.學校操場是一個長方形，周長是280米，長、寬的比是4∶3，這個操場的長、寬各是多少米？

44.碧波幼兒園內(nèi)有一塊巧而美的長方形花壇，周長是64米，長與寬的比是5∶3，這塊花壇占地多少平方米？

45.在一幅比例尺是 的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是5厘米，甲、乙兩地的實際距離是多少千米？

46.某玩具廠生產(chǎn)一批兒童玩具，原計劃每天生產(chǎn)120件，75天完成。為了迎接“六一”兒童節(jié)，實際只用60天就完成了任務(wù)。實際每天生產(chǎn)玩具多少件？

47.甲、乙兩個家具廠生產(chǎn)同一規(guī)格的單人課桌、椅,甲可以生產(chǎn)1800張桌子，乙可以生產(chǎn)1500個椅子一共可生產(chǎn)1500套課桌椅。現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，經(jīng)過合理安 排，盡量發(fā)揮各自特長。現(xiàn)在兩廠每月比過去可多生產(chǎn)課桌椅多少套？

48.建筑工地要運122噸水泥，用一輛載重4噸的汽車運了18次后，余下的用一輛載重2.5噸的汽車運，還要運多少次？

49.空調(diào)機廠四月份生產(chǎn)空調(diào)機1800臺，五月份比四月份增產(chǎn)10％。

四、五月份共生產(chǎn)空調(diào)機多少臺？

50.師徒兩人合作生產(chǎn)一批零件，師傅每小時生產(chǎn)40個，徒弟每小時生產(chǎn)30個，如完成任務(wù)時徒弟正好生產(chǎn)了450個，這批零件共幾個？

51.甲每小時加工48個零件，乙每小時加工 36個零件，兩人共同工作 8小時后，檢驗出64個廢品。兩人平均每小時共加工多少個合格的零件？

弟生產(chǎn)了540個，這批零件有多少個？

52.某化肥廠第一季度平均每月生產(chǎn)化肥2.4萬噸，前兩個月生產(chǎn)化肥的總量比三月份多0.8萬噸，三月份生產(chǎn)化肥多少萬噸？

這批水泥共有多少噸？

53.紅星鄉(xiāng)今年收玉米3600噸，比去年增產(chǎn)二成，去年收玉米多少噸？

54.買6個排球和8個籃球共用去249.6元。已知排球的單價是15.6元。籃球的單價是多少元？的和沒修的就同樣多。這段公路長多少米？

55.筑路隊第一天筑路55米，第二天筑的路是第一天的3倍，第三天筑的比前兩天的總數(shù)少30米，第三天筑路多少米？

4700米沒有鋪。這條公路全長多少米？

56.工程隊鋪運動場，4天鋪了200平方米。照這樣的進度，32天鋪好了運動場，求這運動場的面積。

57.時新手表廠原計劃每天生產(chǎn)75塊手表，12天完成任務(wù)。實際比計劃每天多生產(chǎn)15塊，實際多少天完成任務(wù)？

第三篇：小學生奧數(shù)題目四

地不耕種，再肥沃也長不出果實；人不學習，再聰明也目不識丁.—— 西塞羅

聯(lián)系電話：62164116

1.用12根火柴，擺四個大小一樣的正方形，怎么擺？

【答案】

2.如右圖所示，用火柴棒擺了五個三角形.(1)拿掉哪三根，就可以變成一個三角形?(2)拿掉哪兩根，就可變成兩個三角形?(3)拿掉哪一根，就可變成三個三角形?

【答案】

3.下面是用火柴棒擺成的小豬圖形.請你移動一根火柴棒，使小豬的頭朝向相反的方向.【答案】方法如下圖：

4、下圖是一只頭朝前的牛。只許移動2根火柴棍，讓它回頭。你行嗎? 學而思教育

07年秋季

一年級

實驗班

第十四講

答案

Page 1 of 2

地不耕種，再肥沃也長不出果實；人不學習，再聰明也目不識丁.—— 西塞羅

聯(lián)系電話：62164116

【答案】

5.用火柴棒擺成頭朝上的龍蝦，移動三根火柴，使它頭朝下.方法：

【答案】如右上圖：

學而思教育

07年秋季

一年級

實驗班

第十四講

答案

Page 2 of 2

第四篇：幾何不等式測試題

幾何不等式測試題

1．在△ABC中，M為BC邊的中點，∠B=2∠C，∠C的平分線交AM于D。

證明：∠MDC≤45°。

2．設(shè)NS是圓O的直徑，弦AB⊥NS于M，P為弧

R，PM的延長線交圓O于Q，求證：RS＞MQ。

3．在△ABC中，設(shè)∠A，∠B，∠C的平分線交外接圓于P、Q、R。

證明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。

4．過△ABC內(nèi)一點O引三邊的平行線，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,點D、E、F、G、I都在△ABC的邊上，求證：表示六邊形DGHEFI的面積。表示△ABC的面積。上異與N的任一點，PS交AB于

5．求證：△ABC的內(nèi)心I到各頂點的距離之和不小于重心G到各邊距離之和的2倍。

6．凸四邊形ABCD具有性質(zhì)：（1）AB=AD+BC，（2）在其內(nèi)部有點P，P點到CD的距離為h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求證：。

7．設(shè)H為銳角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分別為AH，BH，CH與△ABC外接圓的交點。求證：

成立。

8．一凸四邊形內(nèi)接于半徑為1的圓。證明：四邊形周長與其對角線之和的差值u,滿足0

9.已知過銳角△ABC頂點A、B、C的垂線分別交對邊于D、E、F，AB>AC，直線EF交BC于P，過點D且平行于EF的直線分別交AC、AB于Q、R。N是BC上的一點，且∠NQP+∠NRP＜180°，求證：BN>CN。

參考答案

【同步達綱練習】

1．設(shè)∠B的平分線交AC于E，易證EM⊥BC作EF⊥AB于F，則有EF=EM，∴AE≥EF=EM，從而∠EMA≥∠EAM,即90°-∠AMB≥∠EAM。又

2∠MDC=2（∠MAC+∠ACD）=2∠MAC+∠ACM=∠MAC+∠AMB，∴90°≥∠AMD+∠MAC=2∠MDC，∴∠MDC≤45°。

2．連結(jié)NQ交AB于C，連結(jié)SC、SQ。易知C、Q、S、M四點共圓，且CS是該圓的直徑，于是CS>MQ。再證Rt△SMC≌Rt△SMR，從而CS=RS，故有RS>MQ.3．設(shè)的內(nèi)心為I，由IA+IB>AB,IB+IC>BC,即2（AP-IP+BQ-IQ+CR-IR）＞AB+BC+CA

連AR，∵∠AIR=∠IAR，∴IR=AR，又AR=BR。其中等號當且僅當△ABC為正三角形時（1）

同理

4．如圖8。

（2）

由（1）、（2）即得AP+BQ+CR>AB+BC+CA。

設(shè)∽同理，三邊長分別為a、b、c，IF=x，EH=y，DG=z，則依題意有，（易知OE=CF），所以，從而

由

由柯西不等式

于是

5．設(shè)G到各邊距離為

（r為內(nèi)切圓半徑），得

（艾爾多斯——莫德爾不等式）。故

即AI+BI+CI≥2(r1+r2+r3)

又

6．分別以A、B、P為圓心，AD、BC、h為半徑作圓，三圓兩兩外切，EF為⊙A、⊙B外公切線，⊙P與EF相切時h最大，此時設(shè)AD=r,BC=R,⊙P半徑為m，則

化簡得

由，即

知命題成立。

7．由外接圓心O向BC作垂線OD于D，則AH=2·OD，∠DOC=∠A，故

HA=2OD=2RcosA。同理HB=2RcosB,HC=2RcosC,由BC是，得

同理

而

∴2(cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB)

故

。于是原不等式等價于的垂直平分線，8．如圖，引進有關(guān)邊長、對角線、角的記號，則a+d>e,d+c>f,c+b>e,b+a>f,四式相加得a+b+c+d>e+f,即u=(a+b+c+d)-(e+f)>0.又四邊形至少有一角

.于是u<2等價于證明：

下面證明更強的結(jié)論：，不妨設(shè)，則

且，同樣可設(shè)，由圓的半徑為1及正弦定理得

由于

故結(jié)論成立。

9．取BC中點M，只需證∠MRP+∠MQP=180°，即R、M、Q、P四點共圓。

如圖，連結(jié)ED，易知∠PEC=∠DEC，∠DEB=∠FEB，有∠EMC=180°-2∠ACB，∠EDP=180°-∠ACB-∠CED。∴∠MED=∠ACB-∠CED=∠EPC

∴△MDE∽△MEP，從而ME=MD·MP=MC又∵RQ∥FP，∴∠BRD=∠BFE=∠DCQ∴B、R、C、Q四點共圓。

RD·DQ=BD·CD=（BM+MD）（CM-MD）=MC-MD=MD·MP-MD=MD·PD∴R、M、Q、P四點共圓。

即∠MRP+∠MQP=180°，當N∈BC，且∠NQP+∠NRP＜180°時，N必在M右側(cè)，故BN>CN。

連結(jié)ME。

第五篇：小學六年級奧數(shù)教案幾何類

小學六年級奧數(shù)教案：圖形面積

簡單的面積計算是小學數(shù)學的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把

這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4×4= 16(格);右圖是 3×5的長方形，它的面積是 3×5= 15(格).上面左圖是一個銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2= 10(格);右圖是一個鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2=8(格).這里特別說明，這兩個三角

形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3= 15(格);右圖是一個梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是：

三角形面積= 底×高÷2.這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形 ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積= 8× 4÷2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 16÷4=4.例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是

FE×BE÷2，它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是

20×12÷2=120.通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當我們畫出中間兩個三角形的高線，把每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此

面積=4×10÷2= 20.對三角形 ADC來說，DC是底邊，高是 8，因此

面積=7×8÷2=28.四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF，線段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的面積

三角形 ABE面積=3×6×2= 9.三角形 BCF面積= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面積=2×(6-3)÷2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：

三角形 BEF面積=6×6-9-12-3=12.例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2=7.因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2=3.5.因為 BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

3.5×4=14.長方形 ABCD面積=7×(8+2)=70.四邊形 ABMD面積=70-7-14= 49.二、有關(guān)正方形的問題

先從等腰直角三角形講起.一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個直角(90度)，還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角三角形.兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖(a).四個一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個正方形，如圖(b).一個等腰直角三角形，當知道它的直角邊長，從圖(a)知，它的面積是

直角邊長的平方÷2.當知道它的斜邊長，從圖(b)知，它的面積是

斜邊的平方÷4

例7 右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，第一個等腰直角三角形的面積是8×8÷2=32.這一個圖形的面積是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點是大長方形一邊的中點，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?

解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2=4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積÷2=1.陰影部分的總面積是 4+1=5.例9 如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7，BC=3，三個角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個四邊形的面積.解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE，切掉一個等腰直角三角形BCE.因為

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.這是1994小學數(shù)學奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯特錯了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等，兩個三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學上找出根據(jù)，小學同學尚未學過幾何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10 在右圖 11×15的長方形內(nèi)，有四對正方形(標號相同的兩個正方形為一對)，每一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形(陰影部分)面積是多少?

解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個正方形的邊長之和.長-寬 =15-11=4

是“三”正方形的邊長.寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此

中間小正方形邊長=11-4×2=3.中間小正方形面積=3×3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地(見圖)，剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地，我們已知道

長-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢?

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個

大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的 長+寬=8(米).因此 長=(8+1)÷2= 4.5(米).寬=8-4.5=3.5(米).那么劃出的長方形面積是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG(陰影部分)的面積.解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四邊形AECD面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=(小正方形邊長+大正方形邊長)，因此

三角形ADG面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.例13 畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形(如右圖)，求它的面積.解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計算.周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍成面積是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 6×8的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當然擴大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與 10×2的長方形面積相等.可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成 10×2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小，因此

草地面積=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于

梯形 ABCD面積=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求這個圖形的面積.解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面積=(4+4)× 3÷2=12.這兩個直角三角形有一個重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因為 AF= FE= EC=3，所以 AGF，F(xiàn)GE，EGC是三個面積相等的三角形.因為CB=BD=4，所以CGB，BGD是兩個面積相等的三角形.2×三角形DEC面積

= 2×2×(三角形 GBC面積)+2×(三角形 GCE面積).三角形ABC面積

=(三角形 GBC面積)+3×(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積

=(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求圖形面積=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下頁左圖，ABCG是4×7長方形，DEFG是 2×10長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個長方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)

=(梯形ABEF面積)-(兩個長方形面積之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少?

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35)

=(長方形面積)+(陰影部分面積).三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬;三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有

陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙兩地相距465千米，一輛汽車從甲地開往乙地，以每小時60千米的速度行駛一段后，每小時加速15千米，共用了7小時到達乙地。每小時60千米的速度行駛了幾小時?

答案：1.解：設(shè)每小時60千米的速度行駛了x小時。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小時60千米的速度行駛了4小時。

某班42個同學參加植樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，已知男生比女生多種56棵，男、女生各有多少人？

解：設(shè)男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28