第一篇：小學(xué)奧數(shù)之幾何五大定理(五六年級(jí)使用)

小學(xué)奧數(shù)之幾何五大定理 1：共高定理——這是最基本最重要最常用最簡(jiǎn)單的定理，要求熟練掌握，牢固記憶

S1a?或者S1:S2?a:b S2b（共高三角形面積比等于底的比。）

2：鳥(niǎo)頭定理——鳥(niǎo)頭定理又叫共角定理，是由共高定理推出來(lái)的。

如圖在ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)則證明：連DC，根據(jù)共高定理，則所以

S?ADEADAEAD?AE???S?ABCABACAB?AC。

SS?ADEAEAD，?ADC? ?S?ADCACS?ABCABS?ADES?ADCS?ADEADAEAD?AE。?????S?ADCS?ABCS?ABCABACAB?AC

3：沙漏定理（相似里的平行線截線段）

4：蝴蝶定理——這個(gè)也是由共高定理推出來(lái)的

S1S4OD ??S2S3OB也可以用外項(xiàng)之積等于內(nèi)項(xiàng)之積來(lái)寫(xiě)：S1?S3?S2?S4。

用文字?jǐn)⑹鰹椋禾菪蔚膶?duì)角線將梯形分成四個(gè)三角形，腰上兩個(gè)三角形面積的乘積等于上、下底兩個(gè)三角形面積之乘積。

S1×S3=S2×S4。5:燕尾定理

由共高定理得，所以，S?ABFAF?,S?BCFCFS?ADFAF?,S?DCFCFS?BCFBC?.S?DCFDCS?ABFAFS?ADF?=,S?BCFCFS?DCFS?ABFS?BCFBC??.S?ADFS?DCFDC

這里的最后一行就是燕尾定理，整個(gè)過(guò)程是燕尾定理怎么用共高定理推出來(lái)。

第二篇：小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法五大竅門(mén)

小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)方法五大竅門(mén)

學(xué)習(xí)小竅門(mén)一：記筆記

這方法其實(shí)很普遍也很簡(jiǎn)單，但恰恰是很多同學(xué)不容易做到的，記筆記有很多好處，一是可以把老師的精華記錄下來(lái)方便復(fù)習(xí)，二是練習(xí)學(xué)生的書(shū)寫(xiě)能力，三是可以讓學(xué)生養(yǎng)成邊聽(tīng)邊寫(xiě)的學(xué)習(xí)能力，這對(duì)于提高學(xué)習(xí)效率是非常有效的。

學(xué)習(xí)小竅門(mén)二：錯(cuò)題本

很多孩子都馬虎，但有些馬虎其實(shí)是同學(xué)對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解不清晰造成的，這類(lèi)的題目一定要記錄下來(lái)。還有的是出題者故意設(shè)計(jì)的陷阱，這也可以記錄下來(lái)，定時(shí)復(fù)習(xí)，久了之后很多馬虎自然而然地就避免了。

學(xué)習(xí)小竅門(mén)三：學(xué)習(xí)小組

定期地和小組成員分享好試題，好方法，好技巧，好經(jīng)驗(yàn)，即可以增加同學(xué)之間的情感，又可以在交朋友的過(guò)程學(xué)習(xí)到新的東西，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)合作精神，增強(qiáng)協(xié)調(diào)能力。

學(xué)習(xí)小竅門(mén)四：題目分類(lèi)本

和錯(cuò)題本一樣，專(zhuān)門(mén)記錄自己做過(guò)的試題，分類(lèi)指的是將自己做過(guò)的試題分為幾大類(lèi)，一類(lèi)是極其簡(jiǎn)單，自己一看就會(huì)的。一類(lèi)是有一定難度，需要思考找到突破口的，還有一類(lèi)就是難度很大，需要綜合運(yùn)用很多知識(shí)并進(jìn)行推理才能解答的，后兩類(lèi)都應(yīng)該是我們的記錄重點(diǎn)。在對(duì)試題分類(lèi)的過(guò)程中同學(xué)自然地就增強(qiáng)了對(duì)試題的進(jìn)一步理解。

學(xué)習(xí)小竅門(mén)五：舊題新解

不定時(shí)的翻翻原來(lái)做過(guò)的試題，但是重點(diǎn)是思考有沒(méi)有新的解題思路和解題技巧。這樣不斷地增加思考有利于形成學(xué)生思考習(xí)慣的形成，也有利于學(xué)生發(fā)散思維的形成，多角度考察問(wèn)題的思路，并隨時(shí)利用新學(xué)知識(shí)去解決問(wèn)題。

第三篇：小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案幾何類(lèi)

小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)教案：圖形面積

簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把

這些圖形畫(huà)在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 4×4= 16(格);右圖是 3×5的長(zhǎng)方形，它的面積是 3×5= 15(格).上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2= 10(格);右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2=8(格).這里特別說(shuō)明，這兩個(gè)三角

形的高線一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3= 15(格);右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：

三角形面積= 底×高÷2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1 右圖中BD長(zhǎng)是4，DC長(zhǎng)是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形 ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長(zhǎng)分別是2，4，2.F是線段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積= 8× 4÷2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長(zhǎng)是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 16÷4=4.例3 右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是

FE×BE÷2，它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，也就是

20×12÷2=120.通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABCD是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC.對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō)，AB是底邊，高是10，因此

面積=4×10÷2= 20.對(duì)三角形 ADC來(lái)說(shuō)，DC是底邊，高是 8，因此

面積=7×8÷2=28.四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積

三角形 ABE面積=3×6×2= 9.三角形 BCF面積= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面積=2×(6-3)÷2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：

三角形 BEF面積=6×6-9-12-3=12.例6 在右圖中，ABCD是長(zhǎng)方形，三條線段的長(zhǎng)度如圖所示，M是線段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來(lái)，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2=7.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2=3.5.因?yàn)?BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

3.5×4=14.長(zhǎng)方形 ABCD面積=7×(8+2)=70.四邊形 ABMD面積=70-7-14= 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題

先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角(90度)，還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖(a).四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖(b).一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖(a)知，它的面積是

直角邊長(zhǎng)的平方÷2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖(b)知，它的面積是

斜邊的平方÷4

例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8×8÷2=32.這一個(gè)圖形的面積是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?

解：為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2=4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積÷2=1.陰影部分的總面積是 4+1=5.例9 如右圖，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD=7，BC=3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個(gè)四邊形的面積.解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)?/p>

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10 在右圖 11×15的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形(標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì))，每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形(陰影部分)面積是多少?

解：長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-11=4

是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此

中間小正方形邊長(zhǎng)=11-4×2=3.中間小正方形面積=3×3= 9.如果把這一圖形，畫(huà)在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地(見(jiàn)圖)，剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道

長(zhǎng)-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢?

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)

大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的 長(zhǎng)+寬=8(米).因此 長(zhǎng)=(8+1)÷2= 4.5(米).寬=8-4.5=3.5(米).那么劃出的長(zhǎng)方形面積是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6，求三角形AEG(陰影部分)的面積.解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四邊形AECD面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))×大正方形邊長(zhǎng)÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)DG=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))，因此

三角形ADG面積=(小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng))×大正方形邊長(zhǎng)÷2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13 畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形(如右圖)，求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過(guò)扣除周?chē)叫魏椭苯侨切蝸?lái)計(jì)算.周?chē)≌叫斡?個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6與本題在解題思路上是完全類(lèi)同的.例14 下圖中 ABCD是 6×8的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 10×2的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 10×2的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁(yè)右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來(lái)一樣大小，因此

草地面積=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長(zhǎng)減去3，高就是DC的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于

梯形 ABCD面積=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面積=(4+4)× 3÷2=12.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF= FE= EC=3，所以 AGF，F(xiàn)GE，EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃B=BD=4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2×三角形DEC面積

= 2×2×(三角形 GBC面積)+2×(三角形 GCE面積).三角形ABC面積

=(三角形 GBC面積)+3×(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積

=(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求圖形面積=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下頁(yè)左圖，ABCG是4×7長(zhǎng)方形，DEFG是 2×10長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)

=(梯形ABEF面積)-(兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少?

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35)

=(長(zhǎng)方形面積)+(陰影部分面積).三角形ABC，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬;三角形CDE，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有

陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙兩地相距465千米，一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，以每小時(shí)60千米的速度行駛一段后，每小時(shí)加速15千米，共用了7小時(shí)到達(dá)乙地。每小時(shí)60千米的速度行駛了幾小時(shí)?

答案：1.解：設(shè)每小時(shí)60千米的速度行駛了x小時(shí)。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小時(shí)60千米的速度行駛了4小時(shí)。

某班42個(gè)同學(xué)參加植樹(shù)，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，已知男生比女生多種56棵，男、女生各有多少人？

解：設(shè)男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28

第四篇：奧數(shù)平面幾何幾個(gè)重要定理

平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明

一、塞瓦定理

1．塞瓦定理及其證明

定理：在?ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與?ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交?ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是?ABC的頂點(diǎn)，則有

D F P C A ADBE?

DB?ECCF?1． FAB E ADS?ADPS?ADC?證明：運(yùn)用面積比可得DB?S． S?BDP?BDC根據(jù)等比定理有

S?ADPS?ADCS?ADC?S?ADPS?APC???S?BDPS?BDCS?BDC?S?BDPS?BPC，ADS?APCBES?APBCFS?BPC??所以DB?S．同理可得，． ECS?APCFAS?APB?BPCADBECF???1． 三式相乘得DBECFA注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．

2．塞瓦定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，ADBECF???1，那么直且D、E、F均不是?ABC的頂點(diǎn)，若

DBECFA線CD、AE、BF三線共點(diǎn)．

證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有

AD/BECF???1． /DBECFA A D/ D B F P C E ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點(diǎn)D、D/都

因?yàn)?/p>

DBECFADBDB在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．

二、梅涅勞斯定理

3．梅涅勞斯定理及其證明 定理：一條直線與?ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、B E、F，且D、E、F均不是?ABC的頂點(diǎn)，則有

D E C G A F

ADBE??

DBECCF?1． FA證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G．

CGCF?因?yàn)镃G // AB，所以 ————（1）ADFACGEC?因?yàn)镃G // AB，所以 ————（2）DBBEADBECFDBBECF???1．??由（1）÷（2）可得，即得 DBECFAADECFA注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證．

4．梅涅勞斯定理的逆定理及其證明

定理：在?ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊ACADBECF???1，的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)F，若

DBECFA

那么，D、E、F三點(diǎn)共線．

證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有

AD/BECF???1． /DBECFA D/ D B E A C F ADBECFADAD/???1，所以有?/．由于點(diǎn)D、D/都因?yàn)?/p>

DBECFADBDB

在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．

三、托勒密定理

5．托勒密定理及其證明

定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有

AB·CD + BC·AD = AC·BD．

證明：設(shè)點(diǎn)M是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得?DAE =?BAM．

因?yàn)?ADB =?ACB，即?ADE =?ACB，所以?ADE∽?ACB，即得

D E A M B C ADDE?，即AD?BC?AC?DE ————（1）ACBC由于?DAE =?BAM，所以?DAM =?BAE，即?DAC =?BAE。而?ABD =?ACD，即?ABE =?ACD，所以?ABE∽?ACD．即得

ABBE??

，即AB?CDACCDA?C ————（B2）

由（1）+（2）得

?BC?

ADA?BC?DA?C?DE?AC?BE? ．所以AB·CD + BC·AD = AC·BD．

注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論．構(gòu)造有特點(diǎn)，不容易想到，要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試．

6．托勒密定理的逆定理及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD + BC×AD = AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

證法1（同一法）：

在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

A B 可得AB×CD = BE×AC ———（1）

AEAB且 AD?AC

———（2）

則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽

E D C ?CAB．于是有

AD×BC = DE×AC ———（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)． 據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn)E在線段BD上．則由?EBA??DCA，得?DBA??DCA，這說(shuō)明A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）

延長(zhǎng)DA到A/，延長(zhǎng)DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓．延長(zhǎng)DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓．（如果能證明A/、B/、C共線，則命題獲證）

那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓． A/B/?

因此，ABA/DB/C/?，BDBC/

A/ B/ A B C/D． BDD C C/ //AB?AD?BC?CD////

可得 AB?BC?.BDA/C/

另一方面，AC?/A/DAC?AD//AC?，即． CDCDAB?A/D?BC?C/DAC?A/D

欲證=，即證

CDBDAB?CD?A/D?BC?CD?C/D?AC?BD?A/D

//

即 BC?CD?CD?(AC?BD?AB?CD)AD．

據(jù)條件有 AC?BD?AB?CD?AD?BC，所以需證

BC?CD?C/D?AD?BC?A/D，//CD?CD?AD?AD，這是顯然的．所以，即證A/B/?B/C?//ACA/、B/、C/共線．所以?A/B/B與?BB/C/，即

////互補(bǔ)．由于?ABB??DAB，?BBC??DCB，所以?DAB與?DCB互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓．

7．托勒密定理的推廣及其證明

定理：如果凸四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有

AB×CD + BC×AD > AC×BD

A B E D C 證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得?EAB??DAC，?EBA??DCA，則?EAB∽?DAC．

可得AB×CD = BE×AC ————（1）

AEAB?且

————（2）ADAC則由?DAE??CAB及（2）可得?DAE∽?CAB．于是

AD×BC = DE×AC ————（3）

由（1）+（3）可得 AB×CD + BC×AD = AC×(BE + DE)因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知

AB×CD + BC×AD?AC×BD 所以BE + DE?BD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE > BD．

所以AB×CD + BC×AD > AC×BD．

四、西姆松定理

8．西姆松定理及其證明

定理：從?ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其

延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．

證明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/．

B F A D C E P 因?yàn)镻E?AE，PF?AF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得?FAE =?FEP．

因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以?BAC =?BCP，即?FAE =?BCP．

所以，?FEP =?BCP，即?D/EP =?D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓．

所以，?CD/P +?CEP = 1800。而?CEP = 900，所以?CD/P = 900，即PD/?BC．

由于過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線．

注：（1）采用同一法證明可以變被動(dòng)為主動(dòng)，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件．但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性．

（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法．

五、歐拉定理

9．歐拉定理及其證明

定理：設(shè)ΔABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示．則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足OH?3OG．

BOHADEC

證明（向量法）：連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC．則

OH?OA?AH ——— ①

因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

從而得AH?DC．而DC?2OE，所以AH?2OE．

???1????因?yàn)镺E?2??OB?OC??，所以AH?OB?OC ——— ②

????????????由①②得：OH?OA?OB?OC ———— ③ 另一方面，OG?OA?AG?OA?2GF?OA?GB?GC．

GC?GO?OC，所以 而GB?GO?OB，??????????????????

1?????OG?OA?2GO?OC?OB?OG??OA?OB?OC??? 3??????????—— ④

由③④得：OH?3OG．結(jié)論得證．

注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問(wèn)題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對(duì)幾何問(wèn)題的表現(xiàn)手法；

（2）此題也可用純幾何法給予證明． 又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；連BO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖．

因?yàn)?CD⊥BC，AH⊥BC，所以 AH // CD．同理CH // DA．

所以，AHCD為平行四邊形．

可得AH = CD．而CD = 2OE，所以AH = 2OE．

因?yàn)锳H // CD，CD // OE，所以AH // OE．可得?AHG/∽

BEOG ADHC?EOG/．所以

AHAG/HG/2?/?/?． OEGEGO1AG/2由/?，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G/就是?ABC的重心，即GE1G/與點(diǎn)G重合．

所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿足OH?3OG．

六、蝴蝶定理

10．蝴蝶定理及其證明

定理：如圖，過(guò)圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ．

證明：過(guò)點(diǎn)M作直線AB的垂線l，D / FF C/E C / A QQ M P B 作直線CF關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線交圓于點(diǎn)C/、F/，交線段AB于點(diǎn)Q/．連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/．據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對(duì)稱(chēng)性可知：

?MFQ =?MFP，?FQM =?FPM； //

//且FF/ // AB，PM = MQ/． 因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以

?CDF +?CFF = 180/

/

0，而由FF/ // AB可得?Q/PF +?CFF/ = 1800，所以

?CDF =?QPF，即?MDF =?QPF． /

/

/

/又因?yàn)?Q/PF =?PQ/F/，即?Q/PF =?MQ/F/．所以有

?MDF =?MQF． /

//這說(shuō)明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得?MF/Q/ =?Q/DM． 因?yàn)?MF/Q/ =?MFP，所以?MFP =?Q/DM．而?MFP =?EDM，所以?EDM =?Q/DM．這說(shuō)明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即

得PM = MQ．

此定理還可用解析法來(lái)證明： 想法：設(shè)法證明直線DE和CFx軸上的截距互為相反數(shù)．

證：以AB所在直線為x軸，段AB的垂直平分線為y軸建立直坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．

設(shè)直線DE、CF的方程分別為

x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；

直線CD、EF的方程分別為

y = k1 x，y = k2 x ．

則經(jīng)過(guò)C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為

(y –k1 x)(y –k2 x)+?(x –m1 y–n1)(x –m2 y –n2)=0．

整理得

(?+k1k2)x 2+(1+?m1m2)y 2–[(k1+k2)+?(m1+m2)]xy

–?(n1+n2)x+?(n1m2+n2m1)y+?n1n2=0． 由于C、D、E、F四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說(shuō)明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須

?+ k1 k2 = 1 +?m1 m2 ≠ 0，且

(k1+k2)+?(m1+m2)=0．

DFAQEMyCPBx在線角

若?=0，則k1k2=1，k1+k2=0，這是不可能的，故?≠0； 又y軸是弦AB的垂直平分線，則圓心應(yīng)落在y軸上，故有?(n1 + n2)= 0，從而得n1 + n2 = 0．

這說(shuō)明直線DE、CF在x軸上的截距互為相反數(shù)，即得PM = MQ．

注：利用曲線系方程解題是坐標(biāo)法的一大特點(diǎn)，它可以較好地解決直線與曲線混雜在一起的問(wèn)題．如本題，四條直線方程一經(jīng)組合就魔術(shù)般地變成了圓方程，問(wèn)題瞬息間得以解決，真是奇妙．運(yùn)用它解題，不拘泥于小處，能夠從整體上去考慮問(wèn)題．

另外，待定系數(shù)法在其中扮演了非常重要的角色，需注意掌握其用法．

第五篇：初中奧數(shù)題目_幾何不等式

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題 幾何不等式

一、選擇題

1．已知線段a,b,c的長(zhǎng)度滿足a < b < c，那么以a,b,c為邊組成三角形的條件是（）A．c – a < b;B．2b < a + c;C．c – b > a;D．b< ac 2．在△ABC中，若∠A=58°，AB>BC，則∠B的取值范圍是（）A．0°< ∠B < 64°;B．58°< ∠B < 64° C．58°< ∠B < 122°;D．64°< ∠B < 122°

3．在銳角三角形ABC中，a = 1, b = 3，那么第三邊c的變化范圍是（）A．2 < c < 4;B．2 < c < 3;C．2 < c < 10;D．22< c < 10 4．一個(gè)等腰三角形ABC，頂角為∠A，作∠A的三等分線AD、AE，即∠1 = ∠2 = ∠3（如圖），若BD=x, DE=y, CE=z，則有（）A．x > y > z;B．x = z > y C．x = z < y;D．x < y = z 5．已知三角形三邊長(zhǎng)a,b,c都是整數(shù)，并且a≤b

二、解答題

1．如圖，已知△ABC中，AB > AC，AD是中線，AE是角平分線。求證：（1）2AD < AB + AC；（2）∠BAD > ∠DAC；（3）AE < AD。

2．如圖，已知△ABC，AB=AC，AD是中線，E為∠ABD內(nèi)任一點(diǎn)。求證：∠AEB > ∠AEC。

6．如圖，已知△ABC中，AB > AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F。求證：AB + CF > AC + BE。

7．如圖，已知在凸四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，且AC⊥BD，OA > OC，OB > OD。求證： BC + AD > AB + CD。

8．如圖，已知在線段BC同側(cè)作兩個(gè)三角形△ABC和△DBC，使AB=AC，DB > DC且AB + AC = DB + DC，設(shè)AC與DB交于E。求證：AE > DE。

答案

一、1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 略解：

1．由A答案c – a < b及已條條件a < b < c可推出a + b > c，a + c > b, b + c > a，因此可以組成三角形，B、C、D答案均可舉出反例：

如a = 1, b = 3, c = 6時(shí)，滿足B和C，但不能組成三角形，當(dāng)a = 1, b = 2, c = 5時(shí)，滿足C，但不能組成三角形。2．因?yàn)锳B > BC 所以∠C > ∠A = 58°

所以∠B=180°-∠C-∠A=180°-58°-∠C < 180°-58°×2=64° 即∠B < 64°，排除C、D。

令∠B=40°，則∠C=82°，符合條件，故排除B。

3．若∠C是最大角，則∠C < 90°

所以c < a2?b2，即c <；若∠B是最大角，則∠B < 90° 所以b?a?c 所以9 < 1 + c 所以 c > 22 所以22 < c < 10

4．易證△ABD≌△ACE?BD=EC，即x = z 又因?yàn)椤螦EB=∠C+∠3=∠B+∠3 > ∠B 所以AB > AE 又∠1=∠2 所以BD > DE即x > y，所以x = z > y 選B

5．根據(jù)兩邊之和大于第三邊和條件a≤b < c，b = 7，有以下情況：

a 2 3 4 5 6 7 b 7 7 7 7 7 7 c 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 所以共有21個(gè)，選A 2222-5∠2即∠3 < ∠4 所以180°-∠BAE-∠3 > 180°-∠CAE-∠4 即∠AEB > ∠AEC

3．略證：

過(guò)E作ED平行且等于BC，連結(jié)DF，DC（如圖）所以BCDE是平行四邊行

所以DC平行且等于BE，所以∠1=∠A 因?yàn)锳B=AC，AE=FC 所以BE=AF=DC 所以△AEF≌△CFD 所以EF=DF 在△EFD中，EF+DF > DE 所以2EF > BC即EF >

1∠BAC 21BC 21BC 2當(dāng)E、F為AB、AC中點(diǎn)時(shí)，EF=所以EF≥1BC 2

4．略證：連結(jié)BE（如圖）

因?yàn)锽C > AB，BC > AC，易證△AOD≌△AOD，△COB≌△COD（SAS）所以AD=AD，CB= CB 在△CDE中，CE+DE > CD ① 在△ABE中，AE + BE > AB ② ①+②得 AE + DE + BE + CE > AB + CD 所以A D + BC > AB + CD 所以AD + BC > AB + CD

8．略證：由已知可得

2BD > BD + DC = AB + AC = 2AC, 所以BD > AC 在BD上截取DF=AC，連結(jié)AF、AD（如圖）因?yàn)锽D+DC=2AC，所以DC+BF=AC=AB，所以在△BAF中，AF> AB – BF = DC 在△BADC與△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF > CD，所以∠1 > ∠2 所以AE > DE

9．略證：延長(zhǎng)BA到D使AD=AC，連結(jié)DC，作∠DCE=∠ACP，且CE=CP，連結(jié)DE、EP（如圖）

易證△ADC是等邊三角形，△DCE≌△ACP 所以AC=CD=AD，所以∠ECP=∠DCA-∠DCE+∠ACP=60° 且DE=AP 所以△CEP是等邊三角形 所以CP=EP 所以PA+PB+PC=DE+PE+PB > DA + AB 所以PA+PB+PC > AC + AB

10．略證：這里只證明（1）

利用勾股定理可以證明

2b2?c2?2ma?''''''''''''''''12a] 2b2?c2a2(b?c)2a2a2???bc??bc?∴m? 242442ab2?c2a2?又m? 242a-89-