第一篇：信息論中有關信源熵的不等式

論文題目： 信息論中有關各種熵之間關系的證明 學院：數學科學學院 專業：信息與計算科學 姓名：周艷君 學號：20071115158

信息論中有關各種熵之間關系的證明

07信息班 周艷君 20071115158

指導老師 王桂霞

摘 要 根據信息量與熵的定義和重要定理以及主要公式，對各種熵之間的關系進行分析和證明.關鍵詞 無條件熵 條件熵 聯合熵 交互熵.⒈基本定義

1.1信息就是對事物動態（或它的存在方式）的不確定性的一種描述.不確定 性及隨機性，可以用研究隨機現象的數學教具—概率論與隨機過程來描述信息.1.2自信息量：一個隨機事件發生某一結果后所帶來的信息量稱為自信息量，簡稱自信息.用I(ai)來表示.1.3聯合自信息量：自信息量是二維聯合集XY上元素aibj的聯合概率

p(aibj)數的負值，稱為聯合自信息量.用I(aibj)來表示.1.4條件自信息量：為條件概率對數的負值.用I(ai/bj)來表示.1.5交互信息量：ai后驗概率與先驗概率比值的對數為bj對ai的互信息量, 也稱交互信息量(簡稱互信息).用I(ai;bj)來表示.1.6信源熵：信源各個離散消息的自信息量的數學期望（即概率加權的統計平均值）為信源的平均自信息量，一般稱為信源的信息熵，也叫信源熵或香農熵，記為H(X).1.7條件熵：在聯合符號集合XY上的條件自信息量的數學期望.可以用

H(X/Y)表示.1.8聯合熵：也叫共熵，是聯和離散符號XY上的每的元素aibj的聯合自信息量的數學期望，用H(XY)表示.2．基本公式

2.1 自信息量：I(ai)??log2p(ai)2.2 聯合的自信息量：I(aibj)??log2p(aibj)當X和Y相互獨立時，p(aibj)?p(ai)p(bj)；則有：

I(aibj)??log2p(aibj)??log2p(ai)p(bj)??log2p(ai)?log2p(bj)?I(ai)?I(bj)

2.3條件自信息量：I(ai/bj)??log2p(ai/bj)或 I(bj/ai)??log2p(bj/ai)

2.4互信息量：I(ai;bj)?log2p(ai/bj)p(ai)(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)

n12.5信源熵：H(X)?E[I(ai)]?E[log2]???p(ai)log2p(ai)

p(ai)i?12.6條件熵：ⅰ：在已知隨機變量Y的條件下，隨機變量X的條件熵H(X/Y)為：

H(X/Y)?E[I(ai/bj)]???p(aibj)I(ai/bj)

j?1i?1mn

????p(aibj)lo2gp(ai/bj).j?1i?1mn

ⅱ：在已知隨機變量X的條件下，隨機變量Y的條件熵H(Y/X)為：

H(Y/X)?E[I(bj/ai)]???p(aibj)I(bj/ai)

j?1i?1mmn

????p(aibj)lo2gp(bj/ai).j?1i?1n2.7聯合熵：H(XY)???p(aibj)I(aibj)????p(aibj)log2p(aibj).i?1j?1j?1i?1nmmn2.8有關概率的基本公式：?p(ai)?1，?p(bj)?1，?p(ai/bj)?1，i?1nmnj?1i?1?p(bj?1mj/ai)?1，??p(ab)?1，?p(ab)?p(b),?p(ab)?p(a)ijijjnmnmiji，i?1j?1i?1j?1p(aibj)?p(ai)p(bj/ai)?p(bj)p(ai/bj).3.各種熵之間的關系 3.1無條件熵 3.1.2 H(X)?H(X/Y)?I(X;Y)?H(X/Y).證明：①H(X)???p(ai)log2p(ai)

i?1n

????p(ab)logp(a/b)p(a/b)

ij2ijj?1i?1nijmnp(ai)

???p(aibj)lo2gj?1i?1mp(ai/bj)p(ai)???p(aibj)lo2gp(ai/bj)

j?1i?1mn

?I(X;Y)?H(X/Y).②H(X/Y)????p(bj)p(ai/bj)log2p(ai/bj)

ji

???p(bj)[?p(ai/bj)log2p(ai/bj)].ji

由熵的極值性知：

H(X/Y)???p(bj)[?p(ai/bj)lo2gp(ai)]

ji

???[?p(bj)p(ai/bj)]lo2gp(ai)

ij

?H(X)，其中 ?p(b)p(a/b)??p(ab)?p(a).jijijijj同理： H(Y)?H(Y/X)?I(X;Y)?H(Y/X).3.1.2.H(X)?H(XY)?H(Y/X).證明：H(X)???p(ai)log2p(ai)

i

???[?p(bj)p(ai/bj)]log2ijp(aibj)p(bj/ai)ij

????p(aibj)log2p(aibj)?[???p(aibj)log2p(bj/ai)]

ij

?H(XY)?H(Y/X), 同理：H(Y)?H(XY)?H(X/Y).3.2條件熵 H(X/Y)?H(XY)?H(Y)?H(X)?I(X;Y).3.2.1 H(X/Y)?H(XY)?H(Y).證明：H(X/Y)????p(ab)logiji?1j?1mnnm2p(ai/bj)

????p(aibj)log2p(aibj)?i?1j?1nm?[?p(ab)]logijj?1i?1mmn2p(bj)

????p(aibj)log2p(aibj)??p(bj)log2p(bj)

i?1j?1j?1?H(XY)?H(Y)，其中：?p(aibj)?p(bj).i?1n3.2.2 H(X/Y)?H(X)?I(X;Y).證明：H(X/Y)????p(aibj)log2p(ai/bj)

i?1j?1nm

????p(aibj)lo2gp(ai)i?1j?1nmnmp(aibj)p(ai)n

m

???[?p(aibj)]lo2gp(ai)??i?1j?1i?1m?p(aibj)lo2gj?1ijip(ai/bj)p(ai)

?H(X)?I(X;Y), 其中：

?p(ab)?p(a).j?1同理：H(Y/X)?H(XY)?H(X)?H(Y)?I(X;Y).3.3聯合熵 H(XY)?H(YX)

H(XY)?H(X)?H(Y/X)?H(Y)?H(X/Y)

?H(X)?H(Y)?I(X;Y)?H(X/Y)?H(Y/X)?I(X;Y).3.3.1H(XY)?H(X)?H(Y/X)?H(Y)?H(X/Y).證明：H(XY)????p(aibj)log2p(aibj)

i?1j?1nm

????p(aibj)lo2gp(ai)p(bj/ai)

i?1j?1nnm

???[?p(aibj)]lo2gp(ai)???p(aibj)p(bj/ai)

i?1j?1i?1j?1mmnm

?H(X)?H(Y/X)，其中：?p(aibj)?p(ai).j?1同理：

H(XY)?H(Y)?H(X/Y).3.3.2 H(XY)?H(X)?H(Y)?I(X;Y)

.證明：H(XY)????p(aibj)log2p(ai)p(bj/ai)

i?1j?1nm

????p(aibj)lo2gp(ai)p(bj)i?1j?1nmmnmp(bj/ai)p(bj)n

???[?p(aibj)]log 2p(ai)??[?p(aibj)]log2p(bj)i?1j?1j?1i?1

???p(aibj)log2i?1j?1nmp(bj/ai)p(bj)

?H(X)?H(Y)?I(X;Y).3.3.3 H(XY)?H(X/Y)?H(Y/X)?I(X;Y).證明：H(XY)????p(aibj)log2p(ai)p(bj/ai)

i?1j?1nm

????p(aibj)lo2gp(ai/bj)p(bj/ai)i?1j?1nmnmnmp(ai)

p(ai/bj)

????p(aibj)loggp(bj/ai)2p(ai/bj)???p(aibj)lo2i?1j?1i?1j?1

???p(aibj)lo2gi?1j?1nmp(ai/bj)p(ai)

?H(X/Y)?H(Y/X)?I(X;Y)3.4交互熵 I(X;Y)?I(Y;X)

I(X;Y)?H(X)?H(X/Y)?H(Y)?H(Y/X)

?H(XY)?H(X/Y)?H(Y/X)?H(X)?H(Y)?H(XY).3.4.1 I(X;Y)?H(X)?H(X/Y)?H(Y)?H(Y/X)證明：I(X;Y)???p(aibj)log2i?1j?1nmnmp(ai/bj)p(ai)

nm

???[?p(aibj)]lo2gp(ai)???p(aibj)lo2gp(ai/bj)

i?1j?1i?1j?1m

?H(X)?H(X/Y), 其中：?p(aibj)?p(ai).j?1同理：I(X;Y)?H(Y)?H(Y/X).3.4.2證明: I(X;Y)???p(aibj)log2i?1j?1nmp(ai/bj)p(ai)

???p(aibj)log2p(ai/bj)p(bj/ai)i?1j?1nmnmnm1

p(aibj)????p(aibj)log2p(aibj)???p(aibj)log2p(ai/bj)

i?1j?1mi?1j?1???p(aibj)log2p(bj/ai)

i?1j?1n?H(XY)?H(X/Y)?H(Y/X).3.4.3證明：I(X;Y)???p(aibj)log2i?1j?1nmp(ai/bj)p(ai)

???p(aibj)lo2gi?1j?1nmnmp(aibj)p(ai)p(bj)

mn

???[?p(aibj)]lo2gp(ai)??[?p(aibj)]lo2gp(bj)

i?1j?1mj?1i?1

???p(aibj)lo2gp(aibj)

i?1j?1n

?H(X)?H(Y)?H(XY).其中：?p(aibj)?p(ai)，?p(aibj)?p(bj).j?1i?1mn參考文獻

[1]傅祖蕓，趙建中.信息論與編碼.電子工業出版社,2006,4.[2]鄧稼先，康耀紅.信息論與編碼.西安電子科技大學出版社,2007,5.[3]陳運.信息論與編碼.電子工業出版社,2007,12.[4]賈世樓.信息論理論基礎.哈爾濱工業大學出版社,2002,6.

第二篇：信息論概述與機械工程中的信息論

信息論概述與機械工程中的信息論

摘要

信息論是一門新興學科，是在長期的通信工程實踐中，與通信技術、概率論、隨機過程和數理統計相結合逐步發展起來的一門學科。信息論中主要的概念包括信息，自信息，互信息和信息熵。本文介紹了信息論的產生和發展，簡要介紹了信息論幾個主要概念的定義和推導，重點介紹了信息熵，最后討論了信息論相關知識在機械工程專業的應用。

關鍵詞：信息論，信息熵，機械工程專業

第一章 緒論

§1-1 引言

人類的社會生活是不能離開信息的，人類不僅時刻需要從自然界獲得信息，而且人與人之間也需要進行通訊，交流信息，離開信息，人類就不能生存。人們獲得信息的方式有兩種；一種是直接的，即通過自己的感覺器官，耳聞、目睹、鼻嗅、口嘗、體觸等直接了解外界情況；一種是間接的，即通過語言、文字、信號??等等傳遞消息而獲得信息。在人類社會的早期，只應用語言手勢直接交流信息，但隨著社會的進步，尤其是科學水平的進步，傳統的信息獲取方式已經不能滿足人類的發展要求，人類開始探索快速有效地獲取信息的方法，從而導致了一門新的學科——信息論的誕生。

§1-2 信息論

信息論是關于信息的本質和傳輸規律的科學的理論，是研究信息的計量、發送、傳遞、交換、接收和儲存的一門學科。1-2-1 信息論的誕生和發展

信息論的創始人是美貝爾電話研究所的數學家香農（C.E.Shannon1916——），他為解決通訊技術中的信息編碼問題，把發射信息和接收信息作為一個整體的通訊過程來研究，提出通訊系統的一般模型；同時建立了信息量的統計公式，奠定了信息論的理論基礎。1948年香農發表的《通訊的數學理論》一文，成為信息論誕生的標志。

其實，1922年卡松就提出邊帶理論，指明信號在調制（編碼）與傳送過程中與頻譜寬度的關系。1922年哈特萊發表《信息傳輸》的文章，首先提出消息是代碼、符號而不是信息內容本身，使信息與消息區分開來，并提出用消息可能數目的對數來度量消息中所含有的信息量，為信息論的創立提供了思路。香農創立信息論，實際是在前人研究的基礎上完成的。

在信息論的發展中，還有許多科學家對它做出了卓越的貢獻。法國物理學家L.布里淵（L.Brillouin）1956年發表《科學與信息論》專著，從熱力學和生命等許多方面探討信息論，使熱力學中爭論了一個世紀之久的“麥克斯韋爾妖”的佯謬問題得到了滿意的解釋。英國神經生理學家（W.B.Ashby）1964年發表的《系統與信息》等文章，還把信息論推廣應用于生物學和神經生理學領域，也成為信息論的重要著作[1]。這些科學家們的研究，以及后來從經濟、管理和社會的各個部門對信息論的研究，使信息論遠遠地超越了通訊的范圍。1-2-2 信息論的發展現狀

信息論近期發展的主要特點是向多學科結合方向發展，其重要的發展方向有如下幾種：

（1）信息論與密碼學

通信中的安全與保密問題是通信編碼問題的又一種表示形式，由香農提出的保密系統模型仍然是近代密碼學的基本模型。

（2）算法信息論與分形數學

由于香農熵，柯爾莫哥洛夫與豪斯道夫位數的等價性在理論上已經得到證明，從而使信息論，計算機科學與分形理論都找到了他們的匯合點。

（3）信息論在統計與智能計算中的應用

信息論與統計理論的結合已經有許多突出的成果出現。其主要特點是統計理論正在從線性問題轉向非線性問題，信息的度量可以作為研究非線性問題的工具，如果用交互信息來取代統計中的相關系數，更能發現二維隨機變量的相互依賴程度。

智能計算中的信息統計問題，信息量與統計存在許多本質的聯系，在微分流形中，Fisher信息矩陣式Kullback-Laiber熵的偏微分，由此關系而引出的信息幾何理論是智能計算的基礎[2]。

§1-3 自信息與互信息

香農在《通信的數學理論》引言部分就提出“通信中的基本問題就是在某一點精確或近似的再生另一點選擇的信息”。未解決這一問題，他在這篇論文中開創性的利用概率論、數理統計、隨機過程建立了通信系統的數學模型，提出了自信息、互信息、信息熵等概念，這一部分我們將重點討論自信息與互信息，信息熵留待下一部分具體描述。1-3-1 自信息

用I（xi）=log（1/pi）表示信源發出的符號xi的自信息。自信息具有兩個含義：當符號xi輸出前，表示符號xi被輸出的不確定性；當符號xi輸出后，表示符號xi所含有的信息量[3]。1-3-2 互信息

互信息有三個不同角度的定義。

從信源出發的定義：站在信源一端，當信源沒有發送時，信息發送方對信宿收到符號yi的不確定度是I（yi）；而當信源發送符號xi后，信息發送方對信宿收到符號yi的不確定度是I（yi|xi），從這個意義上定義互信息。

從信宿出發對互信息的定義：站在信宿一端，當沒有接收時，信息接收方對信源發送符號xi的不確定度是I（yi）；而當信宿接收到符號yi，信息接收方對信源發送符號xi的不確定度是I（yi|xi），從這個意義上定義互信息。

從整個系統出發對互信息的定義：如果從整個系統的全局出發，通信前，信源發送隨機變量X和信宿接收隨機變量Y之間沒有任何關聯關系，即X，Y統計獨立：P（xi，yi）= P（xi）·P（yi）

此時，有關符號xi和符號yi的聯合自信息量： I’（xi yi）=log[1/ P（xi）P（yi）]=I（xi）+I（yi）

通信后，信源發送隨機變量X和信宿接收隨機變量Y之間由信道的統計性相聯系，其聯合概率密度：

P（xi，yi）= P（xi）·P（yi |xi）= P（yi）·P（xi |yi）此時有關于符號xi和符號yi的聯合自信息量： I（xi yi）=log[1/ P（xi）·P（yi |xi）]=log[1/ P（yi）·P（xi |yi）]

通信后的互信息量，等于前后不確定度的差。事實上，以上三種互信息的定義是一致的[3]。

§1-4 本文的主要內容

本文的大略概括了信息論的基本知識，介紹了信息論的發展過程，信息論中常見的名詞定義，重點介紹了信息熵的概念和推導公式（以離散信源模型為例），以及相關的條件熵，聯合熵等概念。并對信息論在機械工程領域的應用做了大概說明。

第二章 信息熵及相關概念推導公式

信息熵是1948年香農(Shannon)在論文“通信的數學理論”中引入的，解決了對信息的量化度量問題。他對信息的定義：事物運動狀態或存在方式的不確定性的描述。

在香農一開始尋找信息量定名稱時，數學家馮.諾依曼建議稱為熵，理由是不定性函數在統計力學中已經用在熵下面了。在熱力學中熵是物質系統狀態的一個函數，它表示微觀粒子之間無規則的排列程度，即表示系統的紊亂度，維納說：“信息量的概念非常自然地從屬于統計學的一個古典概念——熵。

§2-1 信息熵

基于Shannon 創立的信息熵理論,信息是不守恒的、無序的，它可以共享、傳遞、儲存、轉換,系統要向有序方向發展必須有負熵的輸入[4]。信息和熵有內在的聯系，一般地，信息量越大，熵就越小，系統就越有序,結構性就越強；反之，信息量越小，熵就越高，系統就越無序，結構性就越差[5]。信息與熵是一個相反的量，它表示系統獲得后無序狀態的減少或消除，即消除不定性的大小。

§2-2 信息熵公式推導

離散信源的模型：

定義1[6]：設某一概率系統X中有n個事件（X1，X2，??，Xi，??Xn），第i個事件Xi產生的概率為pi（i= 1，2，3，??n），當事件Xi產生后, 給出的信息量就稱為自信息：I（Xi）= log2（1/pi）單位為bit。自信息的數學期望即平均自信息量，它的值稱為信息熵，簡記為H(X)，則有如下公式：

由公式推導可以得知：（1）信息熵的大小可以用來描述信息系統的平均不確定程度。若某一信息系統中某一知識產生的概率為1，其他事件產生的概率為0，由上式計算后可知，該系統的信息熵H = 0，它就是一個確定系統，不確定度為0。（2）如果某一信息系統中，其等價類是均勻的則表示系統中每一知識產生的分類基數相等，該系統的信息熵具有最大值（在相同對象數的情況下）即該系統的不確定性最大。根據信息熵的定義可知熵值越大看，不確定性就越大。那么，搞清楚它所需要的信息量也就越大[7-8]。

§2-3 條件熵

在信源X輸出Xi的條件下，信源Y再輸出Yj所能提供的平均信息量[6]，稱為條件熵。記為H（Y | X)。條件熵有如下公式：

§2-4 聯合熵

兩個互相關聯的信源X和Y的聯合信源的信息熵為信源X的熵加上在X已知條件下信源Y的條件熵,稱為X Y的聯合熵[6]。符合記為H（X Y）或H（X∪Y）。

公式表達: H（X∪Y）= H（X）+ H（Y|X）

第三章 信息理論在機械工程方面的應用

目前，信息理論在機械工程方面的應用并不普遍，這個結果通過論文搜索就可以看出，大概每搜索6篇有關信息論的論文，只能找到一篇論文與機械工程專業相關。

從目前論文檢索情況來看，信息論的應用和它自身的特點有很密切的關系，常應用于信息量大，需要進行信息篩選整理，需要對信息數據進行數理統計工作的領域，土地和城市規劃常用到信息論的有關知識。

機械工程方面的應用，一是集中于傳感器的信息處理方面。例如視覺，聽覺，嗅覺等。這些傳感器研究的特點都是有大量信息需要接收，而接收之后必須篩選拋棄或放大部分數據。已經開始初步探索的是機器人的語音識別，主要研究方式依舊是模板匹配，音頻對比[9]。

二是在產品檢測，測量領域的應用，例如目前的表面粗糙度Ra（算術平均偏差）往往只出檢驗的結果，而沒有考慮檢驗結果的不確定因素。為了保證Ra測量結果的完整性和有效性，有論文提出了一種表面粗糙度Ra測量不確定度的計算方法。該方法依據表面粗糙度最小二乘檢驗的基本原理計算檢驗結果，并根據信息熵與不確定度的關系計算檢驗結果的不確定度，從而減少產品的誤收和誤廢[10]。

第四章 結論

物質、能量、信息是構成這個世界的三大要素，因此材料科學、能源科學和信息科學構成了世界發展的三大支柱。信息論是信息科學中最基礎的理論，由香農在1948年正式提出。信息論中最基礎的概念是信息，信息論是一門新興學科，其中重要的組成概念包括自信息，互信息，信息熵，在此基礎上，衍生出其他的相關概念。信息論目前在機械工程領域應用還不是特別普遍，因為信息論本身是基于數理統計的學科，它的研究目的是收集大量信息進行篩選甄別計算，得出整體結論而不是討論個體情況。信息論的這一特點意味著它將主要用于需接收大量數據的研究領域，包括機器人應用傳感器的研究領域，尤其是視覺圖像采集，嗅覺，聽覺語音辨識等，還有質量檢測領域。

參考文獻

[1]韓曉平.當能源充滿智慧——中國能源網首席信息官.中外企業家，2009（5）

[2]沈世鎰.信息論基礎與應用.北京，高等教育出版社，2004.15 [3]艾科拜爾.艾合麥提.信息論中關于互信息的三種不同理解的統一性.中小企業管理與科技，2009，（6）：225 [4]姬桂珍，吳承禎，洪偉，朱文華等.武夷山市土地利用結構信息熵動態研究[.安全與環境學報，2004，4(4)：41244.[5]嚴志強，路汝成.基于信息熵的小城鎮土地利用結構變化及其持續利用研究_以廣西北流市為例.廣西師范學院學報（自然科學版），2008，25（4）：70-74 [6]傅祖蕓.信息論基礎理論與應用.北京:電子工業出版社，2001 [7]Pawlak Z.Rough sets：probabilistic versus deterministic approach.International Journal of Man-Machine Studies，1998，29：81-95 [8]紀濱.信息熵在粗糙集中衍生的幾個概念.計算機技術與發展，2008，18（6）：73-75 [9]俞一彪.基于互信息理論的說話人識別研究.[博士學位論文]，上海大學，2004 [10]鐘艷如，郭德偉，黃美發.信息熵原理在表面粗糙度Ra不確定度計算中的應用.機械科學與技術，2009，28（6）：829-833

第三篇：關于大學物理中熵的教學探討與思考

龍源期刊網 http://.cn

關于大學物理中熵的教學探討與思考 作者：劉廣生 李新營 孫建敏 黃明舉 尹國盛

來源：《科技創新導報》2012年第04期引言

第四篇：大學中常用的不等式

大學中常用不等式,放縮技巧 一： 一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6 ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sina ⅳ: e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(別看簡單，常用)2：伯努利不等式（11）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符號相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ ai bi)2≤∑a2i∑b2i 4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱ 5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)(a+b)p≤ap+ bp(0

1)6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn ∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an, b1≥b2≥…≥bn ∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常見的放縮(√是根號)(均用數學歸納法證)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)； 2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)n n！≥2n-1 5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n 6：對數不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x 8：（1+1/n）n<4 3

第五篇：考研數學中的不等式證明

考研數學中的不等式證明

陳玉發

鄭州職業技術學院基礎教育處450121

摘要：在研究生入學考試中，中值定理是一項必考的內容，幾乎每年都有與中值定理相關的證明題．不等式的證明就是其中一項．在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可使一些不等式的證明簡化．

關鍵詞：考研數學不等式中值定理冪級數

（作者簡介：陳玉發，男，漢族，出生于1969年5月工作單位：鄭州職業技術學院，副教授，碩士，從事數學教育研究．郵編：450121）

微分中值定理是微積分學中的一個重要定理，在研究生入學考試中，幾乎每年都會有與中值定理相關的證明題．不等式就是其中一項。下面就考研數學中的不等式證明談一下中值定理的應用． 在不等式的證明中，利用函數的單調性，構造輔助函數是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過程得到簡化．下面就歷年考研數學中的不等式證明題談一下．

例1（1993年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

(2)設b?a?e，證明a?b ba

xa對此不等式的證明，一般我們會想到構造輔助函數，f(x)?a?x，f(a)?0，然后證明

在x?a時，f?(x)?0．這個想法看似簡單，而實際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個簡便的證明．

證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：ab?ba?b?alogab?b?alnb lna

lnb?lna lna

lnb?lnalna?? b?aa

1???lna，其中e?a???b?lna?b?a?a

?1

??1lna，其中e?a???b． a

原命題得證．

證：Ⅱ 利用微分中值定理，ab??e?blna?alnb

?

?

?

?

?blnb? alnablnb?lna?1? alnab1b?1?ln alnaab1b?1?(ln?ln1)alnaabln?ln1?lna（微分中值定理）?1a

?1

??lna，（1???b）a

原命題得證．

證明Ⅲ 利用冪級數展開：

設b?a?x，原不等式等價于

aa?xa ?(a?x)a?aa?ax?(a?)x

x?a?(1?

而 xa)，a

ln2a2a?1?lna?x?x?2!xlnnan?x?n!，xxa?(a?1)x2a?(a?1)(a?n?1)xn(1?)a?1?a??()??()?． aa2!an!a

a?(a?1)(a?n?1)n由于x?0，a?e，所以lna?1，lna?．通過比較以上兩個級數可知原na

不等式成立．

對于不等式a?(1?

一下．

例2（1992年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a

設f??(x)?0，f(0)?0，證明對任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)． 證：不妨設x1?x2，f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x1?x2)?f(x2)?f(x1)

f(x1?x2)?f(x2)f(x1)?f(0)?(x1?x2)?(x2)x1?0?

?f?(?1)?f?(?2)，x2??1?x1?x2，0??2?x1?x2，顯然?2??1，而f??(x)?0，所以f?(x)單調遞減．原不等式得證．

例3（1999年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第六題）

論證：當x?0時,(x2?1)lnx?(x?1)2 ．(x2?1)lnx

證：(x?1)lnx?(x?1)?(x?1)2?1 22

(x?1)lnx?1 x?1

(x?1)lnx?(1?1)ln1??1，（柯西中值定理）x?1?

?ln??(??1)

??1，（?介于1與x之間）

1ln???0． 當??1時，上式顯然成立；當0???1時，我們可以證明，?

命題得證．

例4（2004年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第三題）

(15)設e?a?b?e2，證明lnb?lna?

22224(b?a)． 2e4ln2b?ln2a4證：lnb?lna?2(b?a)??2 e(b?a)e

14?2ln??2，(e?a???b?e2)?e

?1

?ln??2，2e

因為e?a???b?e2，所以，?ln??eln?e2?2?2． e?ee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（17）題）

證明：當0?a?b??時，bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a．

證：令f(x)?xsinx?2cosx??x

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a

?f(b)?f(a)? 0

?f(b)?f(a)?0 b?a

?f?(?)??cos??sin????0，0?a???b??

令f?(x)?xcosx?sinx??，f?(?)?0，f??(x)?cosx?xsinx?cosx??xsinx?0，0?a?x?b??，所以在(0,?)內，f?(x)單調減少，即f?(x)?0．

原命題得證．

例6（2010年全國碩士研究生入學統一考試數學(一)試卷第(17)題

(1)比較?1

0lnt[ln(1?t)]ndt與?tnlnt的大小,說明理由。01

解：因為lnt[ln(1?t)]n

tnlnt[ln(1?t)]n ?tn

?[ln(1?t)nln(1?t)?ln(1?0)n]?[]（拉格朗日中值定理）tt?0

?()?1，0???t?1，1n

?

所以lnt[ln(1?t)]?tlnt。即nn?1

0lnt?t)]dt?n?10tnlnt。

例7（2012年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題第（18）題）

1?xx2

?cosx?1?，(?1?x?1)．證明：xln1?x2

證：原不等式等價于：

x2

x[ln(1?x)?ln(1?x)]?1?cosx? 2

xx2

?（僅當x?0時取等號）?x[ln(1?x)?ln(1?x)]?2sin222

?[ln(1?x)?ln(1?x)]1?（當x?0時）2xxx2sin2?22

11?1??1??1??，（柯西中值定理，其中0???x?1），sin???x

?21?，0???x?1 2(sin???)(1??)x

因為(sin???)(1??2)?2??2x，所以不等式成立．

利用同樣的方法可以證明當?1?x?0時，不等式成立．

綜上所述，原不等式成立．

xx例8 證明：當x?0時，x?e?1?xe．

證：當x?0時，ex?1xx?e?1?xe?1??e xxx

ex?e0

?1??ex，（利用柯西中值定理）x?0

?1?e??ex，其中0???x．

原不等式成立．

例9 證明：當0?x??

2時，sinx?tanx?2x．

證明：sinx?tanx?2x?sinx?tanx?2 x

?sinx?tanx?(sin0?tan0)?2 x?0

cos??sec2??2（柯西中值定理）?1

?cos??sec2??2，因為

cos??sec2???所以，原不等式成立．

中值定理是證明不等式時常用的一個非常有效的工具．我們習慣于構造輔助函數，利用單調性來證明不等式．而函數的單調性還是通過拉格朗日中值定理進行證明的．因此，利用單調性證明不等式的基礎還是微分中值定理．以上幾例體現了中值定理在證明不等式時的效果．

?2，