第一篇：隱含在不等式中的最值問題

隱含在不等式中的最值問題

這是求函數(shù)最值中比較復(fù)雜的一類問題，它往往與恒成立問題有聯(lián)系，換元與整體思維在解決問題的過程中起主導(dǎo)作用，通過對以下兩個問題的探討，我們可以從中發(fā)現(xiàn)解決這類題目的方法規(guī)律。

例1.若不等式22x?2x?1?t?1?0對一切實數(shù)x都成立，求實數(shù)t的最大值。解：原不等式可化為t?(2?1)?2

令a?2，f(a)?(a?1)?2(a?0)

則f(a)的值域為(?1，??)

?t??1時原不等式對x?R都成立，故t的最大值是?1

注：t?f(x)恒成立，應(yīng)考慮f(x)的最小值，而t?f(x)恒成立應(yīng)考慮f(x)的最大值。

x2x2

11m ???0總能成立。a?bb?cc?a

a?ca?c解：將m與a，b，c分離并整理得m?。?a?bb?c例2.已知a?b?c，求實數(shù)m的最大值，使不等式

要使此不等式成立，只需m不大于右邊式子的最小值。

?a?b?0，b?c?0

a?b?b?ca?b?b?c?a?bb?c

b?ca?bb?ca?b?2???2?2·?4 a?bb?ca?bb?c

?m?4可使原不等式當(dāng)a?b?c時恒成立右邊?

m的最大值是4

練一練

已知對任意實數(shù)x，二次函數(shù)f(x)?ax?bx?c恒非負，且a?b，求

小值。2a?b?c的最b?a

b?t?1 a

t2

a?b?ca?at?a4?4t?t21?9?則????(t?1)??6??3 b?aat?a4(t?1)4?t?1?答案與提示：令

第二篇：不等式證明與最值問題

不等式證明與最值問題

（一）均值不等式的運用(1)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

（1）注意“1”的代換：已知x＞0，y＞0，滿足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千萬不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 歸納： x,y a,b都是正數(shù)且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因為(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)練習(xí)：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求證：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a2b2)]·2√(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2＞1/3 解：a2+b2≥2ab, a2+ c2≥2ac, b2+c2≥2bc

因為a,b,c為不全相等的實數(shù)，故：上面三式不能同時取等號。故：2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=

1故：a2+b2+c2＞1/

3練習(xí)：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x2+y2/3=8，求x√(6+2y2)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y2)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求證：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 證明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因為x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此時a=2,b=

12、若0＜x＜1,求證：a2/x+b2/(1-x)≥(a-b)2

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a2/x+b2/(1-x)=a2/x·[x+(1-x)]+b2/(1-x)[x+(1-x)]

=a2+a2(1-x)/x+b2+b2x/(1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2

當(dāng)a2(1-x)/x=b2x/(1-x)時，取等號。

練習(xí)：當(dāng)a＞1時，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的運用(2)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

(8)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c，且f(x)=0的兩根為x1，x2都在(0,1)內(nèi)，求證：f(0)·f(1)≤a2/16

證明：因為f(x)=0的兩根為x1，x2，故：可設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因為0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a2·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a2·[(x1+1-x1)/2] 2 ·[(x2+1-x2)] 2= a2/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求證：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2證明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解： a2+b2≥2ab

故：a2-ab+b2≥ab

不等式兩邊同乘以a+b,不等號方向不變。

可得:a3+b3≥a2b+b2a(1)

同理可得:b3+c3≥b2c+c2b(2)

c3+a3≥c2a+a2c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a3+b3+c3)≥2(a2b+b2c+c2a)

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

（11）設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）證明：因為(a-b)2≥0

故：a2-2ab+b2≥0

故：a2+2ab+b2≥4ab

故：(a+b)2≥4ab[兩邊同時除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代換：已知a+b=1,a,b∈R,求證：(a+2)2+(b+2)2≥25/2 解；∵a+b=1,設(shè)a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)2+(b+2)2=2t2+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求證：1/x+1/y≥3+2√2

證明：設(shè)2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程

1、若x2+xy+y2=1,且x，y為實數(shù)，則x2+y2的取值范圍？

解：令t=x2+y2＞0

故： y2=t-x2

故：y=±√(t-x2)

故：t±x√(t-x2)=

1故：x2(t-x2)=(1-t)2

故：x^4-tx2+(1-t)2=0

故：△=t2-4(1-t)2≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x2+y2≤22、設(shè)a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] 2，故：[(a+b)/2] 2-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此時a=b=√2+

1因為ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、設(shè)a+b+c=1, a2+b2+c2=1且a＞b＞c,求證：-1/3＜c＜0

證明：因為a+b+c=1，故：(a+b+c)2=1，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1 因為a2+b2+c2=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一個負數(shù)

因為a＞b＞c，故：c＜0

因為a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個不相等的實數(shù)根

故：△=(c-1)2-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：設(shè)X+Y=t，因為X>0,Y>0

故：t>0

因為XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)＝0的兩個實數(shù)根

故：△=t2-4(1+t)≥0

故：t2-4t-4≥0

(t-2)2≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因為t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此時X＝Y(jié)＝√2＋

15、.已知正數(shù)ab滿足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正數(shù)ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t2-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t2-4)]/2=0的兩根

故：△=1-4×[t±√(t2-4)]/2≥0

故：±√(t2-4)≥t-1/

2因為t-1/2＞0

故：√(t2-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此時a=b=1/2

（三）利用幾何意義求極值

1、求下面函數(shù)的極小值：y=√(x2+4)+√[(12-x)2+9]

解：√(x2+4)+√[(12-x)2+9]可以看作點(x,0)到點(0,2)和(12,3)的距離之和 而點(0,2)關(guān)于x軸的對稱點是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊，若（m,n)在直線ax+by+2c=0上，求m2+n2的最小值

解：因為a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊

故：a2+b2=c2

因為√(m2+n2)=√[(m-0)2+(n-0)2]，即：√(m2+n2)表示點（m,n)到原點距離，因為（m,n)在直線ax+by+2c=0上

而原點到直線的距離是∣a×0+b×0+2c∣/√(a2+b2)=2c/c=2

故：m2+n2的最小值是22=4，此時n=-2b/c，m=-2a/c

第三篇：不等式的應(yīng)用——最值問題·教案

不等式的應(yīng)用（2）——最值問題·教案

北京市五中 李欣

教學(xué)目標(biāo)

1．深刻理解不等式中，兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一定理，即平均值定理．

2．熟練應(yīng)用平均值定理，求某些問題的最值．

3．培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，以及對數(shù)學(xué)思想方法的理解和運用，提高學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決問題的能力．

教學(xué)重點與難點

平均值定理適用的條件，及其變形使用． 教學(xué)過程設(shè)計

（一）不等式平均值定理的功能

師：不等式平均值定理的內(nèi)容是：若干個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．即：

如果a1，a2，a3，?，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中階段，我們只要求同學(xué)掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．請同學(xué)用數(shù)學(xué)表達式表示上述定理．

（教師板書）

師：由兩個不等式的結(jié)構(gòu)來看，它們的功能是：從左往右可以把和的形式縮小為積的形式；從右往左可以把積的形式擴大為和的形式．為了使用方便，通常把不等式變形為

由于平均值定理在特殊形式下，可以進行放縮變換，因而它在數(shù)學(xué)中，可以作為用綜合法證明不等式的依據(jù)，還可以作為求最值問題的工具．

今天，我們主要研究應(yīng)用平均值定理求最值的問題．

（二）應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值

例1 當(dāng)0＜x＜2時，求函數(shù)y=x（2-x）的最大值．

師：函數(shù)y=x（2-x）是積的形式，求最大值實質(zhì)是要做什么樣的轉(zhuǎn)化？ 生：可以使用平均值定理把積的形式轉(zhuǎn)化成和的形式． 師：平均值定理是對正數(shù)而言的，由于x，2-x都是正數(shù)，所以

在什么條件下“≤”取“=”號？

生：當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x，即x=1時，取等號．此時，y的最大值為1． 師：把積的形式化為和的形式，這個和應(yīng)該為定值才行．

從而求出最小值．（教師板書）

解：由x＞1，知x-1＞0．則

中等號成立．

所以當(dāng)x=2時，y的最小值為6． 師：運用平均值定理求函數(shù)的最值時，必須要有和的定值或積的定值出現(xiàn)．即

①，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時．取“=”號．

（定值）②，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取“=”號． 不等式①②可以在求函數(shù)的最大值時使用．

③，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取“=”號．

值）④，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，取“=”號． 不等式③，④可以在求函數(shù)的最小值時使用．

例2 中對函數(shù)式的運算結(jié)構(gòu)稍做變化，就可以使用定理了． 例3 填空題：

師：請同學(xué)來分析（1）． 生甲：由于x＞0，則

生乙：我的做法與甲同學(xué)不一樣． 由于x＞0，則

師：甲、乙兩位同學(xué)對函數(shù)式的變形采取了不同的方法，但都得到了定積，誰是誰非呢？

師：分析的很好！在拆、湊函數(shù)式的時候，除了要考慮能否得到“定積”或“定和”以外，還要顧及使用平均值定理后，能否取“=”號．這一條件如果思維不嚴(yán)密，就會出現(xiàn)錯誤．

由學(xué)生自己解（2）．（板書如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果學(xué)生的板書有漏洞或錯誤，教師可以邊糾正，邊總結(jié)應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的步驟．

如果學(xué)生板書沒有問題，教師可以請學(xué)生總結(jié)步驟．并進行適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)或補充．

應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值，要注意的問題有：（1）函數(shù)式中諸元素是否為正數(shù)；（2）諸元素的和或積是否為定值；（3）判斷“=”是否成立．

（三）靈活運用平均值定理求最值

師：此題為三角函數(shù)求最值的問題，應(yīng)從何處入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，應(yīng)從配、湊和為定值入手．

師：函數(shù)式中涉及到正、余弦兩種三角函數(shù)，可以利用同角的平方關(guān)系進行轉(zhuǎn)化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）為定值；即可求出y2的最大值．

師：對函數(shù)式的變形是靈活多樣的，但宗旨都是使和或積為定值． 例5 若正數(shù)x，y滿足6x+5y=36，求xy的最大值． 教師可以先讓學(xué)生進行討論，然后再請一位同學(xué)發(fā)言． 生：已知是兩正數(shù)和的等式．要求兩數(shù)積的最大值，可以由

（板書如下）

解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以

當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時，取“=”號．

師：函數(shù)式中含有根式，不容易看出定積是否存在，用什么方法解決這個問題？

生：可以先用換元法把根式去掉，再把函數(shù)式進行轉(zhuǎn)化．

師：換元法是常用的數(shù)學(xué)思想方法，能幫助我們把復(fù)雜問題簡單化．

（四）不等式在應(yīng)用問題中的應(yīng)用

例7 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．

師：經(jīng)過審題可以看出，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數(shù)關(guān)系式．

生：設(shè)長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數(shù)式進行變形． 生：我受例4的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解法如下：

解：設(shè)長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值

師：對應(yīng)用問題的處理，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，列好函數(shù)關(guān)系式是求最值的基本保證。

（五）布置作業(yè)： 1．選擇題：

（1）設(shè)a，b為實數(shù)，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）設(shè)a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b滿足 [ ]。

A．當(dāng) a=50，b=20時，取最大值 5 B．當(dāng)a=50，b=20時，取最大值3 C．當(dāng)a=50，b=20時，取最小值 5 D．當(dāng) a=50，b=20時，取最小值 3（3）x，y是滿足2x+y-1=0的正實數(shù)，那么xy [ ]。

22．填空題：

3．當(dāng)0＜x＜1時，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一塊正方形的白鐵片，在它的四個角各剪去一個相等的小正方形，制成一個無蓋的盒子，問當(dāng)小正方形的邊長為多大時，制成的盒子才有最大的體積？并求出這個體積。

材料每平方米 3元，用作側(cè)面的材料每平方米2元，問怎樣設(shè)計容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不計拼接時用料和其它損耗）。

作業(yè)答案或提示：

1．選擇題：（1）B；（2）B；（3）B。

5．設(shè)大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為x，盒子的體積是

課堂教學(xué)設(shè)計說明

本課以平均值定理的應(yīng)用為主線，例1，例2從抓典型思路入手，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，使學(xué)生掌握求最值的一般方法，例3，例4則是通過對典型錯誤的辨析和糾正，加深了學(xué)生對定理條件的理解，進一步激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，在此基礎(chǔ)上，例5，例6則突出了化歸轉(zhuǎn)化和換元法在解題中的作用，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)思想方法就是運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的觀點，方法、解題中的很多錯誤，都是因為對思想方法的認識膚淺造成的，只有領(lǐng)悟思想方法的實質(zhì)，才能不斷提高解題能力和糾錯、防錯能力． 例7是為了提高學(xué)生解決實際問題的意識而設(shè)計的．但如果時間不夠，可以專門設(shè)計一節(jié)課，利用平均值定理解應(yīng)用問題．

第四篇：最值證明不等式

最值證明不等式

ln x(2)證明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．證：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等價于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)滿足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x當(dāng)0

2當(dāng)x>1時，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第五篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個不等式的應(yīng)用）

貴刊2004(11)發(fā)表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡稱原文），經(jīng)筆者研究發(fā)現(xiàn)，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實數(shù)a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號成立的條件是2?2．

ab

注 這個不等式的條件是一個橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當(dāng)且僅當(dāng)?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時，當(dāng)x?2,y?4?

時，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二培訓(xùn)題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當(dāng)且僅當(dāng)a?2?b?3且a?b?1?0

時，即a??1,b?0時，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數(shù)的最值

例３ 已知實數(shù)x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數(shù)學(xué)競賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數(shù)的分式的最值

例４ 如果實數(shù)x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實數(shù)x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數(shù)式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數(shù)式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實數(shù)x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請賽數(shù)學(xué)競賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設(shè)?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數(shù)的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當(dāng)且僅當(dāng)?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時，即x??,y?時，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設(shè)a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數(shù)的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數(shù)學(xué)競賽題，原

例９

求函數(shù)y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數(shù)y?６ 求滿足分式方程的未知數(shù)的代數(shù)式的最值

例１０ 設(shè)x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二培訓(xùn)題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數(shù)學(xué)競賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項式函數(shù)取最值的未知數(shù)的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實數(shù)x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達到最小值（2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當(dāng)且僅當(dāng)6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達，即x?,y?時，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數(shù)的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽培訓(xùn)題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當(dāng)a?b?c?

時達到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數(shù)的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數(shù)學(xué)邀請賽，山西、江西、天津賽區(qū)高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對數(shù)函數(shù)的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國邀請賽高二培訓(xùn)題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡單的多．當(dāng)然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請讀者自行研究，以下是幾個練習(xí)．

練習(xí)

１．設(shè)x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數(shù)學(xué)問題1504）．（答案：６４）

３．函數(shù)y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數(shù)學(xué)通報》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高

參 考 文 獻

一培訓(xùn)題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2004，1１．