第一篇：復雜最值問題剖析

復雜最值問題剖析

華圖教育 王小歡

行測中有題目是一類常見的題目是最值問題，這類題目一般情況下包括三種：第一種為最不利構造，題目特征是至少??保證??，做題方法是找出最不利的情形然后再加1；第二種為多集合反向構造，題目特征是至少??都??，做題方法三步走：反向，求和，做差；第三種題目是構造數列，題目特征是最??最??，做題方法是構造出一個滿足題目的數列。如果在平時練習或考試的過程中，遇到了這三種題目，可直接按照相應的方法進行求解。但是，還有一些最值問題并不像上面三種問題敘述的那么簡單，往往涉及的項目還比較多，需要先進行分析討論。遇到這樣的題目怎么分析，舉兩個例子剖析一下。

【例1】一個20人的班級舉行百分制測驗，平均分為79分，所有人得分都是整數且任意兩人得分不同。班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。則班級第6名和第15名之間的分差最大為多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績，且前5名的成績差距要盡可能的小，即前6名成績是連續(xù)的自然數，第15名的成績要盡可能的接近第16名的成績，且后5名的成績差距要盡可能的小，即后6名的成績是連續(xù)的自然數。又由于班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，則前5名的成績決定了后5名的成績。而同時滿足這些條件的數列有多組，則可以使前5名的成績?yōu)?00、99、98、97、96，則第6名的成績?yōu)?5，由此，后5名得成績?yōu)?1、50、49、48、47，則第15名得成績?yōu)?2，此時與平均分為79分不矛盾，所以第6名和第15名之間的分差最大為95-52=43。因此，本題答案選擇D選項。

【例2】有20人測驗及格率是95%，平均分88，得分都是整數并且每人得分都不相同，問排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】為了使得排名第十的人的分數盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數盡可能高。根據及格率為95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分數最高為59分。因此19名及格的考生總成績?yōu)?8×20－59＝1701分。

前九人的分數最高分別為100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分數總和為1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假設這十個人的分數分別為91分至82分，那么這十個分數的和為865分，比實際分數多了865－837＝28分。如果第十個人的分數減去1分，那么其余九個人的分數依次減去1分，這樣他們的總分就要減去10分。由此可見第十個人的分數只能減去2分達到89分，這樣才使得十個人的分數總和可能為837分。如果第十個人的分數為88分，那么這十個人的分數總和最多為835分。因此第十個人的分數最低只能是89分。

通過這兩個例子，大家會發(fā)現，這樣的最值問題也不過是“紙老虎”，看起來題目比較長，跟問題直接相關的信息又比較少，一般思路是考慮問題的反面作為出發(fā)點，如“求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績”，再如“為了使得排名第十的人的分數盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數盡可能高”，一步步，抽絲剝繭般形成習慣性的套路，這樣的問題自然就迎刃而解了。

第二篇：初一數學 最值問題

專題19

最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產中，人們總想節(jié)省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數學問題上，就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現階段，解這類問題的相關知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.2、利用完全平方式性質.3、運用不等式（組）逼近求解.4、借用幾何中的不等量性質、定理等.解答這類問題應當包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更小），另一方面要舉例說明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構造一個合適的例子.例題與求解

【例1】

若c為正整數，且，，則（）（）（）（）的最小值是

.（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關于C的信息量最多，應突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數式表示.【例2】

已知實數a，b滿足，則的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全國初中數學競賽試題)

解題思路：對進行變形，利用完全平方公式的性質進行解題.【例3】

如果正整數滿足=，求的最大值.解題思路：不妨設，由題中條件可知=1.結合題意進行分析.【例4】

已知都為非負數，滿足，記，求的最大值與最小值.（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關鍵是用含一個字母的代數式表示.【例5】

某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的任務，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關，其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務最低的耗油費用.（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應當使運送次數盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.【例6】

直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內或邊界上的一點，P到三邊的距離分別為，，求++的最大值和最小值，并求當++取最大值和最小值時，P點的位置.（“創(chuàng)新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.能力訓練

A

級

1.社a，b，c滿足，那么代數式的最大值是

.（全國初中數學聯賽試題）

2.在滿足的條件下，能達到的最大值是

.（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，則的最大值是

.（全國初中數學聯賽試題）

4.已知有理數a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是

.（數學夏令營競賽試題）

5.在式子中，代入不同的x值，得到對應的值，在這些對應的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整數，b是正整數，且滿足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全國初中數學聯賽試題)

7.已知則代數式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知，均為非負數，且滿足=30，又設，則M的最小值與最大值分別為（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非負實數，滿足，記.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現計劃用這兩種布料生產L，M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問該廠生產的這批童裝，當L型號的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？

（江西省無錫市中考試題）

第三篇：二次函數最值問題

《二次函數最值問題》的教學反思

大河鎮(zhèn) 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據a>0時，當x=－，y最小＝；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節(jié)課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現不了學生是學習的主人這一關鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現實問題，讓學生“從問題的背景出發(fā)，建立數學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（小）＝→解決問題”，讓學生在實踐中發(fā)現數2a4a學，掌握數學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現象。傳統的教學“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第四篇：剖析與二次函數圖象有關的最值問題

剖析與二次函數圖象有關的最值問題

摘要：對于二次函數的最值問題，我們在初中就開始接觸，而且也是初中的重要教學內容，但也只是注重基礎，涉及的也是簡單的二次函數。隨著知識的加深，二次函數的最值問題涉及的內容越發(fā)的廣泛與深奧。作為二次函數中最基本的問題――最值問題，本文將從簡易到復雜的知識進行剖析。

關鍵詞：二次函數；最值

對于二次函數圖象的最值問題，重點關注的主要是圖象的對稱軸和所給自變量的區(qū)間（即定義域）的界定。而且掌握二次函數的最值問題，首先需要將二次函數的圖象形象的畫出來。然后根據圖象以及問題的條件界定來進行最值問題的求解。一、二次函數的圖象

對于二次函數的圖象，我們需要找到二次函數的對稱軸，頂點以及開口方向，有時還需要界定某一到兩個特殊的線與x-y軸的交點，才能較為準確的描繪出圖象。

二次函數的的表達式有頂點式，交點式以及三點式，其一般的表達式為y=ax?+bx+c（a≠0），此圖象的對稱軸，開口方向以及頂點都取決于這一般表達式中的a、b、c三個系數。最重要的是求解對稱軸，對稱軸的計算公式為x=-b/2a。

其一般圖形為： 二、二次函數圖象的最值

1、二次函數在界定區(qū)間上的最值問題（最簡單，直接的最值問題）

此類問題基本就是明確給定二次函數以及定義域區(qū)間的情況下，求最值的。解決方案就是找到此函數的對稱軸，看其與定義區(qū)間的關系，在判斷在此區(qū)間上函數的增減性，進而求出答案。

例如：已知二次函數y=x2-2x，求在區(qū)間[0，4]上的最值。

根據二次函數可以畫出圖象，對稱軸為x=1，草圖如下：

從圖中可以看出在區(qū)間[0，4]上，y值先遞減后遞增，在對稱軸x=1處取得最小值y=-1，在x=4處取得最大值y=8.2、二次函數在不定區(qū)間上的最值問題（相對上一個，有些復雜，需要分類）

此類問題是在明確給定二次函數，但是其自變量的定義區(qū)間是變動的（存在未知數）情況下求解最值的。然而此類問題的解決方法就是通過明確給定的二次函數畫出圖象，再根據對稱軸與自變量的關系界定進行分類討論，最后分別判斷在此區(qū)間上的增減性，求得最值。

例如：已知二次函數y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根據二次函數y=x2/2-x-5/2可以得出對稱軸x=1，圖象開口向上，再分類，畫草圖。

第一類：當對稱軸x=1在所給區(qū)間的左側，即t?R1，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數遞增，最小值為x=t時，y=t2/2-t-5/2。

第二類：當對稱軸x=1在所給區(qū)間的右側，即t+1?Q1→t?Q0，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上，函數遞減，最小值為x=t+1時，y=t2/2-3。

第三類：當對稱軸x=1在所給區(qū)間的內，即t<1

從圖中可以看出，在區(qū)間[t，t+1]上函數先減后增，最小值為x=1時，y=-3。

若是還需求最大值，前兩種可以直觀的看出，而最后一種需要對比在x=t以及x=t+1時y值得大小。此時t的范圍還需劃分。

當x1=t時，y1=t2/2-t-5/2，當x2=t+1時，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，從式子中可以看出當0

3、不確定的二次函數在固定區(qū)間下的最值問題

此問題是在明確給出定義域而二次函數存在未知系數（圖象不確定）的情況下，求最值的問題。此類問題可以先將二次函數有一般形式轉換為頂點式，找出其對稱軸，開口方向以及區(qū)間位置。最重要的是找到其對稱軸，然后根據未知系數分類進行求解，最后判斷增減性，求最值。

例如：已知二次函數y=bx2+4bx+b2-1，求在區(qū)間[-4，1]上的最大值。

根據二次函數y=bx2+4bx+b2-1，寫成頂點式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出對稱軸為x=-2，在區(qū)間[-4，1]上，只需根據圖象開口方向來判斷區(qū)間的最大值。

第一類：當b=0時，y=-1，無最大最小值之說

第二類：當b<0時，圖象開口向下，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數先增后減，最大值為當x=-2時，y=b2-4b-1。

第三類：當b>0時，圖象開口向上，草圖如下：

從圖中可以看出，在區(qū)間[-4，1]上函數先減后增，最大值為區(qū)間的臨界點，需要判定。

當x1=-4時，y1=b2-1

當x2=1時，y2=b2+5b-1

因為b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函數已知區(qū)間和最值求未知函數的系數（此類最為復雜，分類情況較多）

此類函數是在明確給出自變量區(qū)間，以及在區(qū)間內最值得一個（最大或最小），求解未知函數的系數。此類問題通常不會給定對稱軸，因此需要進行分情況進行判定來求解，再根據其給出的最值來求出位置系數，此類問題通常的解有時會與條件分類的情況不相符，因此不要因為求出一個就大意，要注意情況與解的一致性。

例如：已知二次函數y=x2-2ax-1，已知函數在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

根據二次函數y=x2-2ax-1，寫成頂點式y=（x-a）2-a2-1，對稱軸為x=a，圖象開口向上，然后進行分類

第一類：當a?Q0時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數在區(qū)間[0，2]上是遞增的，最小值為當x=0時，y=-1，與題中最小值為-2不相符。此分類舍棄。

第二類：當a?R2時，畫出草圖如下：

從圖中可以看出，函數在區(qū)間[0，2]上是遞減的，最小值為當x=2時，y=3-4a，因為題中給出最小值為-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2與條件不符的，舍棄。

第三類：當0

從圖中可以看出，函數在區(qū)間[0，2]上是先減后增的，最小值為當x=a時，y=-a2-1因為題中給出最小值為-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根據分類條件0

綜上得出a=1。

還存在第二種情況，圖象的開口方向與未知參數有關，則劃分情況求解釋更需注意。

例如：二次函數y=ax2-2ax-1，已知函數在區(qū)間[0，2]上的最小值為-2，求a的值。

先根據二次函數y=ax2-2ax-1，將其換算成頂點式為y=a（x-1）2-a-1，可以得知對稱軸為x=1，但開口方向不確定，需要分類進行求解。

第一類：當a=0時，y=-1與已知條件不相符，舍棄。

第二類：當a>0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]函數先減后增，最小值為對稱軸即x=1時的y=-a-1，由已知條件最小值為-2，得出a的值為1，符合條件a>0。

第三類：當a<0時，可以畫出草圖：

從圖中可以看出，在區(qū)間[0，2]上函數先增后減，最小值為區(qū)間端點值，需要進行比較。當x=0時，y=-1；當x=2時，y=-1，而此種情況下，最小值只能是-1，與已知條件相違背，舍棄。

所以綜上得出a=1。

對于這兩道題相對來說簡單，要么給定了開口方向，要么給定了對稱軸而且區(qū)間端點關于對稱軸對稱。但是有時題中既不會給定對稱軸也不給定開口方向，就需要結合這兩道題綜合考慮未知系數的值，題目就會相對復雜。你只需要找準全部的區(qū)間，并且針對分類情況，將所有的值求出即可。

通過剖析二次函數圖象的最值問題，可以看出關鍵點在于圖象的對稱軸以及區(qū)間的界定，以及在分情況求解中條件的限定。其實對于二次函數圖象的最值問題，能畫出大概的草圖會有利于對于最值的把握，但是也不能一概而論，畢竟是草圖，不能主觀判斷。記住這幾點，然后在求解二次函數的圖象的最值問題時就會顯得游刃有余。

參考文獻：

[1]黃庭柏.淺談如何引導學生學好二次函數[A].國家教師科研專項基金科研成果（華聲卷2）[C].2015

[2]馮法.淺談二次函數在高中數學中的重要作用[A].2015年9月現代教育教學探索學術交流會論文集[C].2015

[3]吳選根.26.3實際問題與二次函數（4）[A].2012年河北省教師教育學會教學設計主題論壇論文集[C].2012

[4] 史建軍.一道最值問題的推廣、完善與另解[J].中學數學研究.2016

[5] 施倫.軌跡法求一類線段的最值[J].中小學數學（初中版）.2016

[6] 蔣飛.二次函數常見錯誤剖析[J].數學大世界（初中版）2014年

第五篇：二次函數的最值問題

二次函數的最值問題

雷州市第一中學 徐曉冬

一、知識要點

對于函數f?x??ax2?bx?c?a?0?，當a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。當a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。

二、典例講解

例

1、已知函數f?x??x2?x?2，（1）、若x???2,0?，求函數f?x?的最大值和最小值。（2）、若x???1,1?，求函數f?x?的最大值和最小值。（3）、若x??0,1?，求函數f?x?的最大值和最小值。

例

2、已知函數f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數f?x?的最小值。

變式

1、已知函數f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數f?x?的最大值。

點評：本題屬于二次函數在動區(qū)間上的最值問題，由于二次函數的對稱軸是固定的，區(qū)間是變動的，屬于“軸定區(qū)間動”，由于圖象開口向上，所以求最小值1要根據對稱軸x??與區(qū)間?t,t?1?的位置關系，分三種情況討論；最大值在端2點取得時，只須比較f?t?與f?t?1?的大小，按兩種情況討論即可，實質上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、右兩種情況.例

3、已知函數f?x??x2?2mx?2，x??1,2?，求函數f?x?的最小值和最大值。

例

4、已知函數f?x??mx2?x?2，x??1,2?，求函數f?x?的最小值和最大值。點評：二次函數最值與拋物線開口方向，對稱軸位置，閉區(qū)間三個要素有關。求最值常結合二次函數在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數圖象的頂點處取得最值。

三、練習

1、已知函數f?x??x2?6x?8，x∈[1，a]的最小值為f(a)，則實數a的取值范圍是______________。

2、已知二次函數f?x???x2?2ax?1?a在區(qū)間[0,1]上有最大值為2，求實數a的值．

3、已知函數y?4x2?4ax?a2?2a在區(qū)間?0,2?上有最小值3，求a的值。

4、若f?x??1?2a?2acosx?2sin2x的最小值為g?a?。（1）、求g?a?的表達表；（2）、求能使g?a??

5、已知f?x???4?3a?x2?2x?a?a?R?，求f(x)在[0,1]上的最大值．

1的a的值，并求出當a取此值時，f?x?的最大值。2