第一篇：最值證明不等式

最值證明不等式

ln x(2)證明：f(x)＝>x－1(x>0，x≠1)x

18．證：令g(x)＝x－1－f(x)，原不等式等價于 g(x)>0(x>0，x≠1)．

g(x)滿足g(1)＝0，且

x－1＋ln xg′(x)＝1x當0

2當x>1時，x－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調遞增．

所以g(x)>g(1)＝0(x>0，x≠1)．

ln x所以f(x)＝－1(x>0，x≠1)x

第二篇：不等式證明、最值求法

不等式的證明（論一個不等式的應用）

貴刊2004(11)發表李建新老師《巧用向量求值》一文（以下簡稱原文），經筆者研究發現，原文中的所有最值問題都可以用下面的一個不等式加以解決，而且相比之下比李老師的向量法在處理上更簡單一些，故寫此文和大家交流．

x2y222

2定理 若實數a,b,x,y滿足2?2?1，則a?b≥(x?y)．

abx2y2b2x2a2y2222222

證明：a?b?(a?b)(2?2)?x?y??2 2

abab

222

≥x?y?2xy?(x?y)，xy

由證明過程易知等號成立的條件是2?2．

ab

注 這個不等式的條件是一個橢圓方程，故稱此不等式為橢圓不等式．

１ 求滿足整式方程的未知數的代數式的最值

例１ 已知x,y滿足x?y?2x?4y?0，求x?2y的最值（1988年廣東高考題，原文例１）．

(x?1)24(?y?2)2

解：x?y?2x?4y?0???1，依定理有

520

5?20?[(x?1)?2(?y?2)]2，即(x?2y?5)，解得0?x?2y?10，當且僅當?2

5x?1?

?y?222

(x?2y)min?0，且x?y?2x?4y?0，即x?y?0時，當x?2,y?4?

時，(x?2y)max?10．

例２ 已知a,b?R，且a?b?1?0，求(a?2)?(b?3)的最小值（第10屆“希望杯”全國數學邀請賽高二培訓題）．

(a?2)2(b?3)2

??1，由定理得： 解：令(a?2)?(b?3)=t，則

tt

2t≥(a?b?5)2?(a?b?1?6)2?36，即t≥18，當且僅當a?2?b?3且a?b?1?0

時，即a??1,b?0時，tmin?18，從而(a?2)?(b?3)的最小值為18．

２ 求滿足三元一次方程及三元二次方程的未知數的最值

例３ 已知實數x1,x2,x3滿足方程x1?

111212x2?x3?1及x12?x2?x3?3，求x3的232

3最小值（1993年上海市高三數學競賽試題，原文例3）

(x2)2

x1212111

1解：x1?x2?x3?1?x1?x2?1?x3，x12?x2?x3?3???1

222323233?x3(3?x3)323

由定理得

111112112121

(3?x32)?(3?x32)?(x1?x2)2?3?x32?(x1?x2)2?3?x32?(1?x3)2???x3?3

323233233311

從而x3的最小值為?

21． 11

３ 求滿足整式方程的未知數的分式的最值

例４ 如果實數x,y滿足等式(x?2)?y?3，求題）．

y的最大值（1990年全國高考試x

y

?k，則y?kx，由已知等式(x?2)2?y2?3可得 x

(2k?kx)2(kx)2222，∴由定理得：≥，即≤3，∴?≤k≤3，??13?3kk4k2

33k

y

從而的最大值為3。

x

y22

例５ 若實數x,y適合方程x?y?2x?4y?1?0,那么代數式的取值范圍

x?2

解：令

是（第9屆“希望杯”全國數學邀請賽高二第1試）．

y

?t，則tx?y?2t?0，由已知方程得(x?1)2?(y?2)2?4，變形得：x?2

(tx?t)2(y?2)2

??1，∴由定理得：4t2?4≥(tx?y?2?t)2?(2?3t)2，解之得： 2

44t

12y120≤t≤，∴代數式的取值范圍是[0，]．

5x?25

y?122

例６ 已知實數x,y滿足方程(x?2)?y?1，求的最小值(第10屆＂希望杯＂

x?2

解：令

邀請賽數學競賽高二試題，原文例4)

(?kx?2k)2(kx?2k?1)2y?122

??1，解：設?k，則y?kx?2k?1，(x?2)?y?1?

k21x?2

由定理得k?1?[(?kx?2k)?(kx?2k?1)]?(1?4k)，解得0?k?４ 求滿足不等式的未知數的最值

例７ 若2x?y?1，u?y?2y?x?6x，則u的最小值等于（）A．?

y?18，即的最小值為０． 15x?2

77141

4B．?C．D． 5555

（2003年＂希望杯＂全國數學邀請賽高二試題）

4(x?3)2(y?1)2

??1，依定理及條件有 解：u?y?2y?x?6x?

4(u?10)u?10

36142(x?3)

當且僅當?10??，?y?1且2x?y?1

554

31114

時，即x??,y?時，umin??，故選(B)．

555

11n

例８ 設a?b?c，且≥恒成立，則n的最大值是（第11?

a?bb?ca?c

5(u?10)?(2x?y?5)2?36，即u?

屆“希望杯”全國數學邀請賽高二第1試，原文例１１）．

解：令

11112

=t，則=1，從而t(a?c)≥(1?1)?4，??

t(a?b)t(b?c)a?bb?c

由已知得a?c?0，故t≥５ 求無理函數的值域

4114，即≥，∴n的最大值是4． ?

a?bb?ca?ca?c

1994年上海市高三數學競賽題，原

例９

求函數y?文例５）．

解：由1994?x?0且x?1993?0得1993?x?1994，兩邊平方易得y?1，又

1?

1994?xx?1993，由定理得：2?2，?

1?y?

?

故函數y?６ 求滿足分式方程的未知數的代數式的最值

例１０ 設x,y,a,b?R，且

?

ab

??1，則x?y的最小值為（第11屆＂希望xy

杯＂全國數學邀請賽高二培訓題）．

解：

依定理有x?y?，ab

???1，即x?，xy

x?

時，(x?y)min?2．

例１１ 已知x,y?(0,??)，且數學競賽試題，原文例６）．

解：由已知條件和定理有：x?y??117?． 定理的推廣 若

1998

??1，求x?y的最小值（1998年湖南省高中xy

?a

i?1

n

bi

i

?1，則?ai≥（i?1

n

?b)

ii?1

2i

n，其中ai與bi同號（i=1，2，． ?,n）

證明：由Cauchy不等式及已知條件有：７ 求使多項式函數取最值的未知數的值

?a=?a.?a

i

i?1

i?1

nnn

bi

i

≥（i?1

?b)．

2ii?12

n

例１２ 求實數x,y的值，使得(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)達到最小值（2001年全國高中數學聯賽試題，原文例７）．

1(?)y2(22x?6y)?6(2?)x?y

?解：令(y?1)?(x?y?3)?(2x?y?6)?t，則t4tt

1，由定理的推廣得：6t?[(1?y)?(2x?2y?6)?(6?2x?y)]?1，即t?，當且僅當6

1?yx?y?36?2x?y55

(y?1)2?(x?y?3)2?(2x?y?6)2達，即x?,y?時，??

12126

到最小值．

6８ 求滿足分式方程的未知數的分式的最值

x2y2z2xyz

例１３ 已知x,y,z?R,，求的最???2??

1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

?

大值（1990年首屆＂希望杯＂全國數學邀請賽培訓題，原文例８）．

x2y2z2111

???2解：由易知???1，而 1?x21?y21?z21?x21?y21?z2

x2(y)2z2

()()222222xyz1?y???2????1，依定理的推廣可有222

1?x1?y1?z

1?x21?y21?z2222xyz2xyz2，即???(??)(???2，從222222222

1?x1?y1?z1?x1?y1?z1?x1?y1?z

而

xyz

． ??

1?x21?y21?

z2

９ 求無理式的最值

例１４ 如果a?b?c?1，（第８屆＂希望杯＂全國數學邀請賽高二試題，原文例９）．

解：由條件知(3a?1)?(3b?1)?(3c?1)?6，則

3a?13b?13c?1

???1，由定理

666

?的推廣得：18?，且僅當a?b?c?

時達到最大值）． 3

M

是多少？N

１０ 求三角函數的最值

例１５的最大值為M，最小值為N，則

（1999年＂希望杯＂數學邀請賽，山西、江西、天津賽區高二試題，原文例12）．

解：由1?tanx?

?

N?

tanx?13?tanx

??

1，由定理得4?22

?2，即M=2，故

M??． N１１ 求對數函數的最值

例１６ 已知ab?1000,a?1,b?

1，則的最大值是多少？（第13屆＂希望杯＂全國邀請賽高二培訓題，原文例13）．

解：由已知易得：(1?lga)?(1?lgb)?5，即

1?lga1?lgb

??1，由定理有

10?

2?

由上我們可以看出，用本文中的定理和定理的推廣要比文［１］中用向量解決這些問題

簡單的多．當然，這樣的例子很多的，這里不再贅述，請讀者自行研究，以下是幾個練習．

練習

１．設x,y,z?R?，且x?y?z?1，求隊第一輪選拔賽題）．（答案：３６）

２．已知x,y,z?R,x?y?z?1，求數學問題1504）．（答案：６４）

３．函數y?

?

149

??的最小值（1990年日本IMO代表xyz

118

《數學通報》2004（7），?2?2的最小值（2

xyz

3x??x2的最小值為12屆“希望杯”全國數學邀請賽高

參 考 文 獻

一培訓題）．（答案：－２）

１．李建新．巧用向量求值．數學教學，2004，1１．

第三篇：不等式證明與最值問題

不等式證明與最值問題

（一）均值不等式的運用(1)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

（1）注意“1”的代換：已知x＞0，y＞0，滿足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千萬不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 歸納： x,y a,b都是正數且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因為(a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)練習：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求證：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a2b2)]·2√(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實數，求證：a2+b2+c2＞1/3 解：a2+b2≥2ab, a2+ c2≥2ac, b2+c2≥2bc

因為a,b,c為不全相等的實數，故：上面三式不能同時取等號。故：2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=

1故：a2+b2+c2＞1/

3練習：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x2+y2/3=8，求x√(6+2y2)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y2)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求證：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 證明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因為x＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此時a=2,b=

12、若0＜x＜1,求證：a2/x+b2/(1-x)≥(a-b)2

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a2/x+b2/(1-x)=a2/x·[x+(1-x)]+b2/(1-x)[x+(1-x)]

=a2+a2(1-x)/x+b2+b2x/(1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2

當a2(1-x)/x=b2x/(1-x)時，取等號。

練習：當a＞1時，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的運用(2)

均值不等式的運用：a2 + b2≥ 2ab；當a＞0，b＞0時，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項補項；可以先假設成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

(8)已知二次函數f(x)=ax2-bx+c，且f(x)=0的兩根為x1，x2都在(0,1)內，求證：f(0)·f(1)≤a2/16

證明：因為f(x)=0的兩根為x1，x2，故：可設f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因為0＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a2·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a2·[(x1+1-x1)/2] 2 ·[(x2+1-x2)] 2= a2/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求證：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2證明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解： a2+b2≥2ab

故：a2-ab+b2≥ab

不等式兩邊同乘以a+b,不等號方向不變。

可得:a3+b3≥a2b+b2a(1)

同理可得:b3+c3≥b2c+c2b(2)

c3+a3≥c2a+a2c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a3+b3+c3)≥2(a2b+b2c+c2a)

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

（11）設a、b、c都是正數，求證1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）證明：因為(a-b)2≥0

故：a2-2ab+b2≥0

故：a2+2ab+b2≥4ab

故：(a+b)2≥4ab[兩邊同時除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代換：已知a+b=1,a,b∈R,求證：(a+2)2+(b+2)2≥25/2 解；∵a+b=1,設a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)2+(b+2)2=2t2+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求證：1/x+1/y≥3+2√2

證明：設2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程

1、若x2+xy+y2=1,且x，y為實數，則x2+y2的取值范圍？

解：令t=x2+y2＞0

故： y2=t-x2

故：y=±√(t-x2)

故：t±x√(t-x2)=

1故：x2(t-x2)=(1-t)2

故：x^4-tx2+(1-t)2=0

故：△=t2-4(1-t)2≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x2+y2≤22、設a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] 2，故：[(a+b)/2] 2-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此時a=b=√2+

1因為ab=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、設a+b+c=1, a2+b2+c2=1且a＞b＞c,求證：-1/3＜c＜0

證明：因為a+b+c=1，故：(a+b+c)2=1，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1 因為a2+b2+c2=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一個負數

因為a＞b＞c，故：c＜0

因為a+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個不相等的實數根

故：△=(c-1)2-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：設X+Y=t，因為X>0,Y>0

故：t>0

因為XY-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)＝0的兩個實數根

故：△=t2-4(1+t)≥0

故：t2-4t-4≥0

(t-2)2≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因為t>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此時X＝Y＝√2＋

15、.已知正數ab滿足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正數ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t2-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t2-4)]/2=0的兩根

故：△=1-4×[t±√(t2-4)]/2≥0

故：±√(t2-4)≥t-1/

2因為t-1/2＞0

故：√(t2-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此時a=b=1/2

（三）利用幾何意義求極值

1、求下面函數的極小值：y=√(x2+4)+√[(12-x)2+9]

解：√(x2+4)+√[(12-x)2+9]可以看作點(x,0)到點(0,2)和(12,3)的距離之和 而點(0,2)關于x軸的對稱點是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊，若（m,n)在直線ax+by+2c=0上，求m2+n2的最小值

解：因為a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊

故：a2+b2=c2

因為√(m2+n2)=√[(m-0)2+(n-0)2]，即：√(m2+n2)表示點（m,n)到原點距離，因為（m,n)在直線ax+by+2c=0上

而原點到直線的距離是∣a×0+b×0+2c∣/√(a2+b2)=2c/c=2

故：m2+n2的最小值是22=4，此時n=-2b/c，m=-2a/c

第四篇：不等式的應用——最值問題·教案

不等式的應用（2）——最值問題·教案

北京市五中 李欣

教學目標

1．深刻理解不等式中，兩個或三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數這一定理，即平均值定理．

2．熟練應用平均值定理，求某些問題的最值．

3．培養學生嚴謹的思維品質，以及對數學思想方法的理解和運用，提高學生靈活運用所學知識解決問題的能力．

教學重點與難點

平均值定理適用的條件，及其變形使用． 教學過程設計

（一）不等式平均值定理的功能

師：不等式平均值定理的內容是：若干個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．即：

如果a1，a2，a3，?，an∈R+且n∈N+，n＞1，那么

在高中階段，我們只要求同學掌握兩個或三個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．請同學用數學表達式表示上述定理．

（教師板書）

師：由兩個不等式的結構來看，它們的功能是：從左往右可以把和的形式縮小為積的形式；從右往左可以把積的形式擴大為和的形式．為了使用方便，通常把不等式變形為

由于平均值定理在特殊形式下，可以進行放縮變換，因而它在數學中，可以作為用綜合法證明不等式的依據，還可以作為求最值問題的工具．

今天，我們主要研究應用平均值定理求最值的問題．

（二）應用平均值定理求函數的最值

例1 當0＜x＜2時，求函數y=x（2-x）的最大值．

師：函數y=x（2-x）是積的形式，求最大值實質是要做什么樣的轉化？ 生：可以使用平均值定理把積的形式轉化成和的形式． 師：平均值定理是對正數而言的，由于x，2-x都是正數，所以

在什么條件下“≤”取“=”號？

生：當且僅當x=2-x，即x=1時，取等號．此時，y的最大值為1． 師：把積的形式化為和的形式，這個和應該為定值才行．

從而求出最小值．（教師板書）

解：由x＞1，知x-1＞0．則

中等號成立．

所以當x=2時，y的最小值為6． 師：運用平均值定理求函數的最值時，必須要有和的定值或積的定值出現．即

①，當且僅當a=b時．取“=”號．

（定值）②，當且僅當a=b=c時，取“=”號． 不等式①②可以在求函數的最大值時使用．

③，當且僅當a=b時，取“=”號．

值）④，當且僅當a=b=c時，取“=”號． 不等式③，④可以在求函數的最小值時使用．

例2 中對函數式的運算結構稍做變化，就可以使用定理了． 例3 填空題：

師：請同學來分析（1）． 生甲：由于x＞0，則

生乙：我的做法與甲同學不一樣． 由于x＞0，則

師：甲、乙兩位同學對函數式的變形采取了不同的方法，但都得到了定積，誰是誰非呢？

師：分析的很好！在拆、湊函數式的時候，除了要考慮能否得到“定積”或“定和”以外，還要顧及使用平均值定理后，能否取“=”號．這一條件如果思維不嚴密，就會出現錯誤．

由學生自己解（2）．（板書如下）

y=x2·（5-2x）=x·x·（5-2x）

如果學生的板書有漏洞或錯誤，教師可以邊糾正，邊總結應用平均值定理求函數最值的步驟．

如果學生板書沒有問題，教師可以請學生總結步驟．并進行適當的引導或補充．

應用平均值定理求函數的最值，要注意的問題有：（1）函數式中諸元素是否為正數；（2）諸元素的和或積是否為定值；（3）判斷“=”是否成立．

（三）靈活運用平均值定理求最值

師：此題為三角函數求最值的問題，應從何處入手？

用平均值定理求最大值，但sin x+cos2x不是定值，因此，應從配、湊和為定值入手．

師：函數式中涉及到正、余弦兩種三角函數，可以利用同角的平方關系進行轉化．

（2sin2x+cos2x+cos2x）為定值；即可求出y2的最大值．

師：對函數式的變形是靈活多樣的，但宗旨都是使和或積為定值． 例5 若正數x，y滿足6x+5y=36，求xy的最大值． 教師可以先讓學生進行討論，然后再請一位同學發言． 生：已知是兩正數和的等式．要求兩數積的最大值，可以由

（板書如下）

解：由于x，y為正數，則6x，5y也是正數，所以

當且僅當6x=5y時，取“=”號．

師：函數式中含有根式，不容易看出定積是否存在，用什么方法解決這個問題？

生：可以先用換元法把根式去掉，再把函數式進行轉化．

師：換元法是常用的數學思想方法，能幫助我們把復雜問題簡單化．

（四）不等式在應用問題中的應用

例7 已知：長方體的全面積為定值S，試問這個長方體的長、寬、高各是多少時，它的體積最大，求出這個最大值．

師：經過審題可以看出，長方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來表示．首要問題是列出函數關系式．

生：設長方體體積為y，其長、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c不是定值，所以肯定要對函數式進行變形． 生：我受例4的啟發，發現可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來了．

解法如下：

解：設長方體的體積為y，長、寬、高分別是為a，b，c，則

y=abc，2ab+2bc+2ac=S．

而

y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）

當且僅當ab=bc=ac，即a=b=c時，上式取“=”號，y2有最小值

師：對應用問題的處理，關鍵是把實際問題轉化成數學問題，列好函數關系式是求最值的基本保證。

（五）布置作業： 1．選擇題：

（1）設a，b為實數，且a+b=3，那么2a+2b的最小值是 [ ]。

（2）設a＞0，b＞0，且2a+5b=200，那么lg a+lg b滿足 [ ]。

A．當 a=50，b=20時，取最大值 5 B．當a=50，b=20時，取最大值3 C．當a=50，b=20時，取最小值 5 D．當 a=50，b=20時，取最小值 3（3）x，y是滿足2x+y-1=0的正實數，那么xy [ ]。

22．填空題：

3．當0＜x＜1時，求y=x2（1-x）的最大值。

5．用一塊正方形的白鐵片，在它的四個角各剪去一個相等的小正方形，制成一個無蓋的盒子，問當小正方形的邊長為多大時，制成的盒子才有最大的體積？并求出這個體積。

材料每平方米 3元，用作側面的材料每平方米2元，問怎樣設計容器的尺寸，才能使制作的成本最低（不計拼接時用料和其它損耗）。

作業答案或提示：

1．選擇題：（1）B；（2）B；（3）B。

5．設大正方形的邊長為a，小正方形的邊長為x，盒子的體積是

課堂教學設計說明

本課以平均值定理的應用為主線，例1，例2從抓典型思路入手，引導學生積極參與，使學生掌握求最值的一般方法，例3，例4則是通過對典型錯誤的辨析和糾正，加深了學生對定理條件的理解，進一步激發了學生的學習興趣，提高了思維的嚴謹性，在此基礎上，例5，例6則突出了化歸轉化和換元法在解題中的作用，使學生認識到數學思想方法就是運用數學知識分析問題和解決問題的觀點，方法、解題中的很多錯誤，都是因為對思想方法的認識膚淺造成的，只有領悟思想方法的實質，才能不斷提高解題能力和糾錯、防錯能力． 例7是為了提高學生解決實際問題的意識而設計的．但如果時間不夠，可以專門設計一節課，利用平均值定理解應用問題．

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。