第一篇：構造向量巧解不等式問題

構造向量巧解有關不等式問題

新教材中新增了向量的內(nèi)容，其中兩個向量的數(shù)量積有一個性質：a?b??|a||b|cos?（其中θ為向量a與b的夾角），則|，又?，則易得到以1?cos?1a?b|??||a|||bcos|

下推論：

（1）ab??|ab|?||；

（2）|ab?|?|a|?|b|；

（3）當a與b同向時，ab??|ab|?||；當a與b反向時，a?b???|a||b|；

（4）當a與b共線時，|ab?|?|a|?|b|。

下面例析以上推論在解不等式問題中的應用。

一、證明不等式

例1已知a。、b?R，a?b?12證明：設m=（1，1），n，則 2a?2b?1)???

?ab?

1||2||a?1?2b?1?

2ab?12由性質m ?n?|m|?|n|，得?y?z?1，求證：x?y?z例2已知x。

證明：設m=（1，1，1），n=（x，y，z），則 2221

3m?n????xyz1

||3，|n|x?y?z

222222 m?nm|?||||n，得x?y?z由性質|

?22213a2b2c2a?b?cR，求證：???例3已知a，b，c?。b?cc?aa?b2

222abc)證明：設m，??a?b)bc?ca?ab?

則m ??na?b?c

222abc||||2(a?b?c)b?ca?ca?b

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a2b2c2a?b?c由性質| ???m?n|?|m||n|，得b?cc?aa?b2222例4已知a,b為正數(shù)，求證：(。a?b)(a?b)?(a?b)

證明：設m ?(a，b)，n?(a，b)，則

33m?n?a?b

224442233222||a?b，|n|a?b

由性質|m?n|?|m||n|，得 222

44422332(a?b)(a?b)?(a?b)

d?a?cd?。,b,c,d?R例5設a，求證：a

證明：設m=（a,b），n=（c,d），則

m?n??adbc

2222 ||a?b||c?d222

由性質ab??|ab|?||，得

222ad?a?cd?

二、比較大小

Rda?例6已知m,n,a,b,c,d?

p，q的大小關系為（）

A.p?qB.p?qC.p

hk?abcd

bd |h|ma?nc，|k|mn

hk?|??|hk|||得 由性質|

bcdman?即p?q，故選（A）

bd mn

三、求最值

例7已知m,n,x,y?，且m，那么mx+ny的最大值為??na，x??ybR

（）A.2222abB.a?b

2C.a2?b2

2D.a2?b2

解：設p=（m,n），q=（x,y），則

由數(shù)量積的坐標運算，得p ?q?mx?ny

而|| m?n||x?y

從而有m xnmx?y

當p與q同向時，mx+ny取最大值m，故選（A）。?nx?yb

例8求函數(shù)的最大值。x??)

解：設，則 x?2x)，n?(1，1)***2

m?n2x?1?2x

|m|?2，|n|2

由性質m?n?|m|?|n|，得

x?2x2

當

四、求參數(shù)的取值范圍 113 時時，y?2max22x??2x

y?y例9設x,y為正數(shù)，不等式x恒成立，求a的取值范圍。

yn)，?（1，1）解：設，則

||x?y||2

由性質m?n?|m|?|n|，得

xyx?y y?y又不等式x恒成立

故有a?2

黑龍江省大慶市66中學（163000）

第二篇：構造函數(shù)巧解不等式

構造函數(shù)巧解不等式

湖南 黃愛民

函數(shù)與方程，不等式等聯(lián)系比較緊密，如果從方程，不等式等問題中所提供的信息得知其本質與函數(shù)有關，該題就可考慮運用構造函數(shù)的方法求解。構造函數(shù)，直接把握問題中的整體性運用函數(shù)的性質來解題，是一種制造性的思維活動。因此要求同學們多分析數(shù)學題中的條件和結論的結構特征及內(nèi)在聯(lián)系，能合理準確地構建相關函數(shù)模型。

一、構造函數(shù)解不等式

例

1、解不等式 810??x3?5x?0 3(x?1)x?

1分析；本題直接將左邊通分采用解高次不等式的思維來做運算較煩。但注意到8102323x?5x , 啟示我們構造函數(shù)且題中出現(xiàn)??()?5()3x?1x?1x?1(x?1)

f(x)=x3+5x去投石問路。解：將原不等式化為(232)?5()?x3?5x，令f(x)=x3+5x，則不等式變?yōu)閤?1x?1

22f()?f(x)，∵f(x)=x3+5x在R上為增函數(shù)∴原不等式等價于?x，解x?1x?1之得：－1＜x＜2或x＜－2。

例

2、解不等式

1?x

2?2?0 x?11?x21?tan2??cos2?于是可構造三分析：由x?R及的特征聯(lián)想到萬能公式1?x21?tan2?

角函數(shù)，令x=tanα(??

2????

2)求解。

1?tan2?解：令x=tanα(????)?0，從 222tan??1??

1??3而2sin2??sin??1?0???sin??1∴????∴tanα＞?,∴x＞262

3?3。3

二、構造函數(shù)求解含參不等式問題。

例3已知不等式11112??????????loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)nn?1n?22n12

3恒成立，試確定參數(shù)a的取值范圍。解：設f(n)?

∵f(n+1)-f(n)111?????????，n?1n?22n1111????0,∴f(n)是關于n 的增函2n?12n?2n?1(2n?1)(2n?2)

712∴f(n)?loga(a?1)?對大于1的一切自然數(shù)n恒12123

7121成立,必須有?loga(a?1)?∴l(xiāng)oga(a?1)??1，而a＞1，∴a-1＜12123a數(shù)。又n≥2∴f(n)≥f(2)=

∴1＜a＜1?1?5∴a的取值范圍為（1，）。2

2三、構造函數(shù)證明不等式。

例

4、已知 |a|＜1,|b|＜1,|c|＜1，求證：ab+bc+ca＞-

1證：把a看成自變量x，作一次函數(shù)f(x)=bx+bc+cx+1=(b+c)x+bc+1, ∵|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1∴－1＜x＜1

又∵f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>1

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0，又一次函數(shù)具有嚴格的單調(diào)性。∴f(x)=(b+c)x+bc+1在x∈（-1，1）的圖象位于x的上方，∴(b+c)x+bc+1>0,從而：(b+c)a+bc+1>0,即證：ab+bc+ca＞-1 例

5、已知???????，求證：x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos? 證明：考慮函數(shù)f(x)=x2?y2?z2?(2xycos??2yzcos??2zxcos?)=2

x2?2x(ycos??zcos?)?y2?z2?2yzcos?,其中??4(ycos??zcos?)2?4(y2?z2?2yzcos?)??4(ysin??zsin?)2?0 又x2的系數(shù)大于0，∴f(x)的值恒大于或等于0，∴x2?y2?z2?2xycos??2yzcos??2zxcos?。

第三篇：巧用構造法解不等式問題

巧用構造法解不等式問題

湖州中學黃淑紅

數(shù)學中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結論的相似等，利用這些相似性，通過構造輔助模型，促進轉化，以期不等式得到證明。可以構造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復數(shù)和圖形等數(shù)學模型，針對欲證不等式的結構特點，選擇恰當?shù)哪Ｐ停瑢⒉坏仁絾栴}轉化為上述數(shù)學模型問題，順利解決不等式的有關問題。

一、根據(jù)不等式特征，構造恰當?shù)某醯群瘮?shù)，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等特征來證明不等式。

例1證明：對于任意的x,y,z?(0,1),不等式x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1成立。

證明設f(x)?(1?y?z)?x?y?(1?z)?z,顯然該函數(shù)是以x為主元的一次函數(shù)。當x?(0,1)時，f(x)是單調(diào)函數(shù)，且f(0)?y?y?z?z?(y?1)?(1?z)?1?1, f(1)?1?y?z?1.所以，當x?(0,1)時，f(x)的最大值小于1，即x?(1?y)?y?(1?z)?z?(1?x)?1 例

2如果(x?y??1，那么x?y?0

證明

構造函數(shù)f(x)?lg(x單調(diào)遞增。

?

(x?x?R).可以證明函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)且 y??1,?f(x)?f(y)?lg(x?lg(y

?lg?(xy?=lg1=0 ???f(x)??f(y),即f(x)?f(?y)所以x??y,即x?y?0

通過構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，把一些看似與函數(shù)無緣的問題轉化為函數(shù)問題來解決，思路靈活新穎，簡潔巧妙，可出奇制勝。

二、有些不等式分析可知它與數(shù)列有關，可構造出相應的數(shù)列，再利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

n(n?1)(n?1)

2?????例

3證明不等式對所有正 22

整數(shù)n成立。

分析：

??是一個與n無關的量，將它與左右兩端作差 構造出相應的數(shù)列，在利用數(shù)列的單調(diào)性來研究。

解：

設an3???，1?n)(N?構)造數(shù)列?xn?，令

xn?an?n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)??(n?1)?0,，則xn?1?xn?an?1?an?222

(n?N)，所以xn?1?xn，?x

n?為單調(diào)數(shù)列，首相x11為最小值。

n(n?1)(n?1)2

所以xn?x1?1?0，即an?，又令yn?an?，22

(n?1)2(n?2)22n?3??則yn?1?yn?an?1?an?，222

所以yn?1?yn，?y

n?為單調(diào)遞減數(shù)列，首相y12為最大項，(n?1)2

所以yn?y12?0，即an?.2

n(n?1)(n?1)2

?an?(n?N)綜上所述，22

用構造單調(diào)數(shù)列證明不等式，若不等式的一邊為和（積）式，則構造數(shù)列?an?，使其通項等于和（積）式與另一端的差（商），然后通過比較法確定數(shù)列?an?的單調(diào)性，利用數(shù)列的單調(diào)性即可使不等式獲證。

三、對某些不等式，根據(jù)條件和結論，可將其轉化為向量形式，利用向量數(shù)量積及不等??????關系m?n?mn，使問題得到解決。

a2b2c2a?b?c???例4已知a,b,c?R，求證：a,b,c?R b?cc?aa?b2??

?

??證明

設m?n?，則 ???2222??2abc(m?n)(a?b?c)2a?b?c???m?2? ?b?cc?aa?b2(a?b?c)2n利用向量雖是一種構造性的證明方法，但它與傳統(tǒng)的綜合法有很大不同，能避免繁雜的湊配技巧，使證明過程既直觀又容易接受。

四、有些不等式若采用通法解很繁瑣，用變量替換法又不可行，利用數(shù)形結合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題中的各變量關系更具體明確，使問題簡明直觀。

例

5?1x

2析本題若轉化為不等式組來解很繁瑣，利用數(shù)形結合的思想方法將抽象的式用形表示，則使問題變得簡明直觀

解：令y?y?1x，2

x，問題轉化

為它們對應的圖象為半圓(x?1)2?y2?1(y?0)與直線y?

(x?1)2?y2?1(y?0)的圖象在y?

?1x上方時x的范圍，如圖 218x得x0? 25

故原不等式的解為：?x0?x?? ?

?8?5?五、一類屬函數(shù)圖象的問題，與求最值結合，利用數(shù)形結合是基本的指導思想，但還需結合復合函數(shù)求導，使不等式的證明水到渠成。

例6 如圖，設曲線y?e?x(x?0)在點M(t,e?t)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面 積為S(t)，求（1）切線l的方程；2）求證S(t)?2 e

?t（1）解： ?f'(x)?(e?x)'??e?x，?切線l的斜率為?e

故切線l的方程為y?e?t??e?t(x?t)，即e?tx?y?e?t(t?1)?0

（2）證明：令y?0得x?t?1，又令x?0得y?e(t?1)，?t

?S(t)?11(t?1)?e?t(t?1)?(t?1)2e?t 2

21?t'從而S(t)?e(1?t)(1?t).2?當t?(0,1)時,S'(t)?0,當t?(1,??)時,S'(t)?0,?S(t)的最大值為S(1)?22，即S(t)? ee

應用導數(shù)法求函數(shù)的最值，并結合函數(shù)圖象，可快速獲解，也充分體現(xiàn)了求導法在證明 不等式中的優(yōu)越性。

證明不等式不但用到不等式的性質，不等式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結合內(nèi)容的方方面面.如與數(shù)列的結合，與“二次曲線”的結合，與“三角函數(shù)”的結合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點.

第四篇：構造函數(shù),妙解不等式

構

不等式與函數(shù)是高中數(shù)學最重要的兩部分內(nèi)容。把作為高中數(shù)學重要工具的不等式與作為高中數(shù)學主線的函數(shù)聯(lián)合起來，這樣資源的優(yōu)化配置將使學習內(nèi)容在函數(shù)思想的指導下得到重組，優(yōu)勢互補必將提升學習效率.例1:已知a2+ab+ac<0證明b2-4ac>0

分析：有所證形式為二次函數(shù)的判別式（△）的格式。故試圖構造二次函數(shù)使思路峰回路轉。

證明：令f(x)=cx2+bx+a。由a2+ab+ac=a(a+b+c)<0得a與 a+b+c異號。

F(0)=a，f(1)= a+b+c。所以，f(x)圖像與x軸有兩個交點.。所以判別式（△）大于0。即b2-4ac>0。

x?111< ln

本題與2005年全國卷Ⅱ中函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x 沒有什么區(qū)別，有著高等數(shù)學的背景，且是近幾年高考命題不等式證明題中新的開挖點。構造函數(shù)和用求導數(shù)法來研究其單調(diào)性，進而再利用單調(diào)性可快捷證得，往往別開生面。

11證明：設1+= t ,由x∈(0,+∞)則t > 1 ,∴x =xt?1

1原不等式

< lnt

1令f(t)=t-1-lnt 則 f ‘(t)=1-當 t∈(1,+∞)，有f‘(t)>0 t

從而 f(t)在t∈(1,+∞)單調(diào)遞增，所以 f(t)>f(1)=0 即t-1>lnt

1t?1同理 令g(t)=lnt-1+。則g’(t)= 2 當t∈(1,+∞)，有 g’(t)>0 tt

1所以 g(t)在t∈(1,+∞)單調(diào)遞增，g(t)>g(1)=0即lnt>1-t

x?111綜上 < ln

有些不等式，利用函數(shù)的性質（如單調(diào)性，奇偶性等）來解證，往往要比常規(guī)的方法容易找到證題途徑，下面看一個例題：

例3：設a，b，c∈R+，且a＋b＞c．

在課堂上可先讓學生用常規(guī)方法思考試證后啟發(fā)學生用構造函數(shù)法來證，最后比較證法。

（x∈R+），先證單調(diào)性。

∴f（x）在x∈R+上單調(diào)遞增。

∵a+b＞c（已知）∴f（a+b）＞f（c），利用構造法也可解關于x的不等式

例4:已知關于x的不等式｜x-4｜＋｜x-3｜＜a的解集為非空集合，求實數(shù)a的取值范圍。

對于討論這類含參數(shù)的不等式，先讓學生按常規(guī)方法解：用數(shù)軸法，分別在三個區(qū)間內(nèi)討論解集為非空集合時a的取值范圍，然后求它的交集得a＜1。

后來又啟發(fā)學生用構造函數(shù)方法來解，學生們思考很積極，有一個學生解道：

作出分段函數(shù)的圖象（如上圖所示）

通過以上對構造函數(shù)發(fā)典例的分析，可以看出構造函數(shù)法確實是一種解題的好途徑。將證明或求解的不等式地為轉化為函數(shù)的問題，關鍵在于轉化為什么樣的函數(shù).這就要求從被證（解）的不等式的形狀，特點入手，發(fā)生聯(lián)想。本著“縱向深入，橫向聯(lián)系”的原則，合理的構造函數(shù)模型。達到啟發(fā)學生思維，開拓解題途徑的效果。

第五篇：構造直線巧破不等式恒成立問題

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構造直線巧破不等式恒成立問題

作者：蘇文云

來源：《學習與研究》2013年第05期

不等式恒成立，求解參變量取值范圍的問題，由于集不等式、方程、函數(shù)知識于一身，可以較好地考查學生的綜合素質與能力，因而，在高考中備受青睞，本文從構造直線人手，給出破解不等式恒成立問題的幾種簡便且有效的思維策略，用以拋磚引玉。