第一篇：分段函數復習學案

專題

二、分段函數

題型

一、求分段函數的函數值

??lgx，x＞0，例1（2011·陜西卷）設f(x)＝?x??10，x≤0，則f(f(－2))＝________.??－x，x≤0，例2.（2011·浙江卷）設函數f(x)＝?2若f(a)＝4，則實數a＝()

??x，x>0.A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2

例3.(2009遼寧)已知函數f(x)滿足：x≥4,則f(x)＝()x；當x＜4時f(x)＝f(x?1)，則

121311＝()

（A）（B）（C）（D）f(2?log3)2882412鞏固練習

?|x?1|?2,(|x|?1)?1（05年浙江）已知函數f(x)??1求f[f(1.2)],(|x|?1)??1?x2?3x?2,x?1,2（2010陜西文數）已知函數f（x）＝?2若f（f（0））＝4a，則實數a＝.x?ax,x?1,?

??2，x>0，3.（2011·福建卷）已知函數f(x)＝?

?x＋1，x≤0.?

x

若f(a)＋f(1)＝0，則實數a的值等于()A．－3 B．－1 C．1 D．3

??2x＋a，x<1，4.（2011·江蘇卷）已知實數a≠0，函數f(x)＝?

??－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，則a的值為________．

5.(2009山東卷文)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= ?則f（3）的值為

x?0?log2(4?x),，?f(x?1)?f(x?2),x?0

（）A.-1

B.-2

C.1

D.2 題型

二、分段函數的圖像與性質應用 例4.已知函數f(x)???(3a?1)x?4a,(x?1)是R上的減函數，那么a的取值范圍是（）

logx,(|x?1)?a13117317A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1)

?x2?4x,例5.（2009天津卷）已知函數f(x)??2?4x?x,的取值范圍是

x?0x?0

若f(2?a)?f(a),則實數a

()A(??,?1)?(2,??)B(?1,2)C(?2,1)D(??,?2)?(1,??)例6.(2010課標全國卷)已知函數f(x)=錯誤！未找到引用源。若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，則abc的取值范圍是()

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20,24)例7.（2011天津）對實數a和b，定義運算“?”：a?b???a,a?b?1,設函數

?b,a?b?1.f(x)?(2x?2?)x(?取值范圍是

y?f(x)?c的圖象與x軸恰有兩個公共點，則實數c的。若函數1x)?,R

（）

A．(?1,1]?(2,??)

B．(?2,?1]?(1,2]

C．(??,?2)?(1,2]

D．[-2，-1] 鞏固練習

?log2x,x?0,?1（2010天津）若函數f(x)=?log(?x),x?0,若f(a)?f(?a),則實數a的取值范圍是（）

1??2（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）

?x2?4x?6,x?02（2009天津卷文）設函數f(x)??則不等式f(x)?f(1)的解集是（）

?x?6,x?0A.(?3,1)?(3,??)B.(?3,1)?(2,??)C.(?1,1)?(3,??)D.(??,?3)?(1,3)?23（2010江蘇卷）已知函數f(x)??x?1,x?0,則滿足不等式f(1?x2)?f(2x)的x的范圍是_____。

x?0?1,?1,x?0?1?x4（2009北京）若函數f(x)?? 則不等式|f(x)|?的解集為____________.3?(1)x,x?0??3?x2+2x-3,x?05（2010福建文）函數（的零點個數為()fx)=??-2+lnx,x>0A．3 B．2 C．1 D．0

26(2011新課標）已知函數y?f(x)的周期為2，當x?[?1,1]時，f(x)?x，那么函數y?f(x)的圖像與函數y?lgx的圖像的交點共有（）A.10個 B.9個 C.8個 D.1個

第二篇：分段函數（范文模版）

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主題一 函數

分段函數專篇

在新課標中，對分段函數的要求有了進一步的提高，在近幾年的高考試題中，考察分段函數的題目頻頻出現，分段函數已經成為高考的必考內容。

一.分段函數的定義

在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值區間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。

例：1.已知函數y?f(x)的定義域為區間?0,2?，當x??0,1?時，對應法則為y?x，當x??1,2]時，對應法則為y?2?x，試用解析式法與圖像法分別表示這個函數。

2.寫出下列函數的解析表達式，并作出函數的圖像：

（1）設函數y?f(x)，當x?0時，f(x)?0；當x?0時，f(x)?

2（2）設函數y?f(x)，當x??1時，f(x)?x?1；當?1?x?1時，f(x)?0；當x?1時，f(x)?x?

1-1RD輔導

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三、分段函數的應用

例：1.在某地投寄外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封xg?0?x?100?的信應付多少分郵資（單位：分）？寫出函數的表達式，作出函數的圖像，并求出函數的值域。

2.某市的空調公共汽車的票價制定的規則是：

（1）乘坐5km以內，票價2元；

（2）乘坐5km以上，每增加5km，票價增加1元（不足5km的按5km計算）。

已知兩個相鄰的公共汽車站之間相距約1km，如果在某條路線上（包括起點站和終點站）設21個汽車站，請根據題意寫出這條路線的票價與里程之間的函數解析式，并作出函數的圖像。

3.如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點P，沿著折線BCDA由B點（起點）向A點（終點）移動，設P點移動的路程為x，?ABP的面積為y?f(x)。（1）求y與x的函數關系式 D

C（2）作出函數的圖像

5）y??5?x3）y?x?1

（（RD輔導

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2.把下列函數分區間表達，并作出函數的圖像

（1）y?x?1?x?（2）y?2x?1?3x

??x,?1?x?0(3)f(x)???x2,0?x?1

??x,1?x?2

五、分段函數題型分類解析

1、求分段函數的函數值

?2,x??2例1：已知函數

f(x)???0,?2?x?2 ???2,x?2f(?3),f(2),f(?1),f(1),f(100)。）RD輔導

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例2：設???x???，求函數y?2x?1?3x的最大值。

例3：解不等式2x?1?x?2。

4、解與分段函數有關的方程或不等式

例1：已知f(x)???x?1,x?0?，則不等式x?(x?1)f(x?1)?1的解集是（?x?1,x?0A、{x|?1?x?2?1}

B、{x|x?1}

C、{x|x?2?1}

D、{x|?2?1?x?2?1}

例2：設函數f(x)???21?x,x?11?log，則滿足f(x)?2的x的取值范圍是（?2x,x?1A、[?1,2]

B、[0,2]

C、[1,??)

D、[0,??)））RD輔導

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第三篇：第9課 分段函數

第9課

分段函數

?|x?1|?2,|x|?11?

1、設f(x)=?1，則f[f()]=（）

2，|x|?1?21?x?A.1

2B.4 1

3C.－5 D.25 41?x2(x?0)?x(x?0)?(x)??22、若f(x)=?，則當x<0時，f[?(x)]=（）?x(x?0)??x(x?0)A.－x B.－x C.x

D.x2

?x?2(x??1)?2.3、已知，若f(x)=?x(?1?x?2)則x的取值范圍是______?2x(x?2)?

4、下列各組函數表示同一函數的是（）?x(x?0)x2?4①f(x)=|x|，g(x)=?②f(x)=，g(x)=x+2

x?2??x(x?0)③f(x)=x2，g(x)=x+2

④f(x)=1?x2?A.①③ B.①

C.②④

x2?1g(x)=0 x∈{－1，1}

D.①④

25、某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式為y=3000+20x－0.1x，x∈(0，240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本的最低產量為()A.100臺

6、f(x)=? B.120臺

C.150臺

D.180臺

1]?1，x?[0，使等式f[f(x)]=1成立的x值的范圍是_________.1]?x?3,x?[0，7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一個正根，則實數k的取值范圍是__________.拓展延伸

8、某商品在近30天內每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數關系式為P=??t?20(0?t?25,t?N*)，該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數關系式為??t?100(25?t?30,t?N*)Q=－t+40，(0

第9課分段函數

1、（B）

2、（B）

3、R

4、（D）

5、（C）

6、[0，1]∪[3，4]∪{7}

7、（－∞，－2）∪{0}∪[2，＋∞]

8、解：設日銷售額為y元，則y=P·Q 2*???t?20t?800(0?t?25,t?N)

當y=?2 *?(25?t?30,t?N)?t?140t?4000當0900,所以ymax=1125（元）

故所求日銷售額的最大值為1125元，是在最近30天中的第25天實現的

第四篇：高中常見分段函數題型歸納

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分段函數常見題型及解法

分段函數是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內，有不同的對應法則的函數，它是一個函數，非幾個函數；它的定義域是各段函數定義域的并集，其值域也是各段函數值域的并集.與分段函數有關的類型題的求解，在教材中只出現了由分段函數作出其圖象的題型，并未作深入說明，因此，對于分段函數類型的求解不少同學感到困難較多，現舉例說明其求解方法．

1．求分段函數的定義域和值域

例1.求函數?2x?2x?[?1,0];?f(x)???1x?(0,2);2x?3x?[2,??);?的定義域、值域.解析：作圖, 利用“數形結合”易知f(x)的定義域為[?1,??), 值域為（-1，2]U｛3｝.例2.求函數的值域.解析：因為當x≥0時，x2+1≥1；當x<0時，-x2<0.所以，原函數的值域是[1,+∞)∪(-∞,0).2．求分段函數的函數值

?|x?1|?2,(|x|?1)?f(x)??1,(|x|?1)1?2f[f(1?x?2)].例1.已知函數求

311f()?|?1|?2??222解析：因為, 所以

3f[f(12)]?f(?2)?14?21?(?313.2)例2.已知函數，求f{f[f(a)]}(a<0)的值., 分析: 求此函數值關鍵是由內到外逐一求值，即由 a<0, f(a)=2a，又0<2a<1,，所以，.注：求分段函數值的關鍵是根據自變量的取值代入相應的函數段．

?ex,x?0.1g(x)??g(g())?lnx,x?0.?2練1.設則__________ ?2x?1(x?2),?ef(x)??2(?1)log?3x?練2.設

(x?2).則f[f(2)]?__________ 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

3．求分段函數的最值

例1.求函數?4x?3(x?0)?f(x)??x?3(0?x?1)??x?5(x?1)?的最大值.f(x)?f(0)?3, 當0?x?1時, fmax(x)?f(1)?4, 當x?1時, 解析：當x?0時, max?x?5??1?5?4, 綜上有fmax(x)?4.例2.設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.分析：因為原函數可化為

所以，只要分別求出其最小值，再取兩者較小者即可.解：當x

1，所以若，則函數f(x)在(-∞,a]上單調遞減，從而f(x)在(-∞,a]上的最小值為f(a)=a2+1.若，則函數f(x)在(-∞,a]上的最小值為，且；

當x≥a時，函數；

若，則函數f(x)在[a,+∞)上的最小值為，且.若，則函數f(x)在[a,+∞)上的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當時，函數f(x)的最小值是；

當時，函數f(x)的最小值是a2+1；

當時，函數f(x)的最小值是.注：分段函數最值求解方法是先分別求出各段函數的最值，再進行大小比較，從而達到求解的目的.4．求分段函數的解析式

例1.在同一平面直角坐標系中, 函數y?f(x)和y?g(x)的圖象關于直線y?x對稱, 現將 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

y?g(x)的圖象沿x軸向左平移2個單位, 再沿y軸向上平移1個單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數f(x)的表達式為（）

?2x?2(?1?x?0)A.f(x)??x?2?2(0?x?2)?2x?2(?1?x?0)B.f(x)??x?2?2(0?x?2)?2x?2(1?x?2)C.f(x)??x?2?1(2?x?4)?2x?6(1?x?2)D.f(x)??x?2?3(2?x?4)

1y?x?[?2,0]2x?1, 將其圖象沿x軸向右平移2個單位, 再沿y軸向下平移1個解析：當時, 11y?(x?2)?1?1?22x?1, 所以f(x)?2x?2(x?[?1,0]), 當x?[0,1]時, 單位, 得解析式為y?2x?1, 將其圖象沿x軸向右平移2個單位, 再沿y軸向下平移1個單位, 得解析式y?2(x?2)?1?1?2x?4, 所以f(x)?12x?2(x?[0,2]), 綜上可得?2x?2(?1?x?0)f(x)??x?2?2(0?x?2), 故選A.例2.某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿售價與上市時間的關系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線段表示：

(I)寫出圖l表示的市場售價與時間的函數關系式P=f(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市時間的函數關系式Q=g(t)；(II)認定市面上售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?

解析：

(I)由圖l可得市場售價與時間的關系為

由圖2可得種植成本與時間的函數關系為 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

（0≤t≤300）。

(II)設t時間的純收益為h(t)，由題意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h(t)的最大值即可。

注：觀察圖1，知f(t)應是一個關于t的一次分段函數，觀察圖2可知g(t)是關于t的二次函數，可設為頂點式，即設g(t)=a(t-150)2+100。

5．作分段函數的圖像

例1.函數y?e|lnx|?|x?1|的圖像大致是（）

y1Ox1

yyB

1xO1C1xOD1

2例2.已知函數f(x)=|x-2x-3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|，所以

由圖象易知a=4.注：此題可以根據函數圖像的對稱性直接畫出函數圖像，再根據數形結合的方法求出，不用寫出函數解析式，更簡單.例3.已知函數f(x)=|x2-2x-3|的圖象與直線y=a有且僅有3個交點，求a的值.解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

∴

由圖象易知a=4.注：此題可以根據函數圖像的對稱性直接畫出函數圖像，再根據數形結合的方法求出，不用寫出函數解析式，更簡單.6．求分段函數得反函數

例1.求函數解：∵ f(x)在R上是單調減函數，∴ f(x)在R上有反函數.∵ y=x2+1(x≤0)的反函數是的反函數.(x≥1)，y=1-x(x>0)的反函數是y=1-x(x<1)，∴ 函數f(x)的反函數是

注 ：求分段函數的反函數只要分別求出其反函數即可.xy?f(x)f(x)?3?1, 設f(x)得反函數為x?0R例2.已知是定義在上的奇函數, 且當時，y?g(x), 求g(x)的表達式.?xf(?x)?3?1, 又因為f(x)是定義在R上的奇函數, 所以x?0?x?0解析：設, 則, 所以f(?x)??f(x), 且f(0)?0, 所以f(x)?1?3?x, 因此

?3x?1(x?0)?f(x)??0(x?0)?1?3?x(x?0)?, 從而可得

?log3(x?1)(x?0)?g(x)??0(x?0)??log(1?x)(x?0)3??1.? －log3(x + 1)(x>6)例3.已知f(x)? ?，若記f? 3x－6(x≤6)

(x)為f(x)的反函數，且

a?f?11(),9則f(a?4)?__________.7．判斷分段函數的奇偶性

?x2(x?1)(x?0)?f(x)??2???x(x?1)(x?0)的奇偶性.例1.判斷函數

22f(?x)??(?x)(?x?1)?x(x?1)?f(x), 當x?0時, x?0?x?0解析：當時, , 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

f(?0)?f(0)?0, 當x?0, ?x?0, f(?x)?(?x)2(?x?1)??x2(x?1)?f(x)因此, 對于任意x?R都有f(?x)?f(x), 所以f(x)為偶函數.注：分段函數奇偶性必須對x值分類，從而比較f(-x)與f(x)的關系，得出f(x)是否是奇偶函數結論.8．判斷分段函數的單調性

3??x?x(x?0)f(x)??2(x?0)???x例1.判斷函數的單調性.解一：

分析：由于x∈R，所以對于設x1>x2必須分成三類：

1.當x1>x2>0時，則f(x1)-f(x2)=

2.當0>x1>x2時，則

3.當x1>0>x2時，則

綜上所述：x∈R，且x1>x2時，有f(x1)-f(x2)>0。

所以函數f(x)是增函數.注：分段函數的單調性的討論必須對自變量的值分類討論.解二：顯然f(x)連續.當x?0時, f(x)?3x?1?1恒成立, 所以f(x)是單調遞增函數, 當'x?0時, f(x)??2x?0恒成立, f(x)也是單調遞增函數, 所以f(x)在R上是單調遞增函數;

'2=(x1-x2)(x1+x2)>0； ；

或畫圖易知f(x)在R上是單調遞增函數.例2.寫出函數f(x)?|1?2x|?|2?x|的單調減區間.解析：9．解分段函數的方程 ??3x?1(x??12)?f(x)??3?x(?12?x?2)?3x?1(x?2)?, 畫圖知單調減區間為

(??,?12].?2?xx?(??,1]1f(x)??f(x)?4的x的值為__________

?log81xx?(1,??), 則滿足方程例1.設函數?x11?x?2logx?2?x?2?(??,1]x?2814, 則42?2解析：若, 則, 得, 所以（舍去）, 若x?81, 解得x?3?(1,??), 所以x?3即為所求.14?2?xx?(??,1]1f(x)??f(x)?4的x的值為__________ ?log81xx?(1,??), 則滿足方程例2.設函數?x11?x?2logx?2?x?2?(??,1]x?2814, 則42?2解析：若, 則, 得, 所以（舍去）, 若 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

x?81, 解得x?3?(1,??), 所以x?3即為所求.??1?x2(|x|?1)??|x|(|x|?1)練1：函數f(x)=?，如果方程f(x)=a有且只有一個實根，那么a滿足

A.a<0 B.0≤a<1

C.a=1

D.a>1 14??lgx?1,x?1,f(x)??2x?0.??0,練2：設定義為R的函數則關于x的方程f(x)?bf(x)?c?0

有7個不同的實數解的充要條件是（）

A.b?0且c?0

B.b?0且c?0

C.b?0且c?0

D.b?0且c?0

練3：設函數f(x)在(??,??)上滿足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在閉區間[0,7]上，只有f(1)?f(3)?0.（Ⅰ）試判斷函數

（Ⅱ）試求方程y?f(x)的奇偶性；

f(x)?0在閉區間[?2005,2005]上的根的個數，并證明你的結論.10．解分段函數的不等式

?2?x?1(x?0)?f(x)??1?x2(x?0)f(x0)?1, 則x0得取值范圍是（）?例1：設函數, 若A.(?1,1)

B.(?1,??)

C.(??,?2)?(0,??)

D.(??,?1)?(1,??)

解一：首先畫出y?f(x)和y?1的大致圖像, 易

知f(x0)?1時, 所對應的x0的取值范圍是(??,?1)?(1,??).解二：因為f(x0)?1, 當x0?0時, 2?x0?1?1, 解得x0??1, 當x0?0時, x0?1, 解得

12x0?1, 綜上x0的取值范圍是(??,?1)?(1,??).故選D.2?(x?1)?(x?1)f(x)????4?x?1(x?1), 則使得f(x)?1的自變量x的取值范圍為（）例2：設函數A．(??,?2]?[0,10]

B.(??,?2]?[0,1]

C.(??,?2]?[1,10]

D.[?2,0]?[1,10] 提高興趣 增強自信 對接高考 分層教學 總結規律 規范答題

解析：當x?1時, f(x)?1?(x?1)?1?x??2或x?0, 所以x??2或0?x?1, 當x?1時，2f(x)?1?4?x?1?1?x?1?3?x?10, 所以1?x?10, 綜上所述, x??2或0?x?10, 故選A項.2?(x?1)?(x?1)f(x)????4?x?1(x?1), 則使得f(x)?1的自變量x的取值范圍為（）例3：設函數A．(??,?2]?[0,10]

B.(??,?2]?[0,1]

C.(??,?2]?[1,10]

D.[?2,0]?[1,10]

解析：當x?1時, f(x)?1?(x?1)?1?x??2或x?0, 所以x??2或0?x?1, 當x?1時，2f(x)?1?4?x?1?1?x?1?3?x?10, 所以1?x?10, 綜上所述, x??2或0?x?10, 故選A項.(x?0)?1 f(x)??(x?0)，則不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________ ??1 練1：已知x?1??2e,x?2,?log3(x2?1),x?2,??練2：設f(x)= 則不等式f(x)>2的解集為________(A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）?（10，+∞）(D)（1，2）

?1(x為有理數)?0(x為無理數)f練3：設(x)=?，使所有x均滿足x·f(x)≤g(x)的函數g(x)是（）

A．g(x)=sinx

B．g(x)=x

C．g(x)=x2

D．g(x)=|x| 點評：以上分段函數性質的考查中，不難得到一種解題的重要途徑，若能畫出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調性、奇偶性等問題就會迎刃而解，方程、不等式等可用數形結合思想、等價轉化思想、分類討論思想及函數思想來解，使問題得到大大簡化，效果明顯.

第五篇：分段函數的教學反思

分段函數的教學反思

本節課能基本完成教學任務。

教學目標基本實現，在教學引導、自學、歸納、探究以及數學思想方法等方面都進行了積極的構思設計，學生能夠在教師指導下進行類比自學，大膽探索。教學實踐與教學設計基本符合。

應用是最好的學習，每個數學知識都有它的應用價值，只有讓學生真切地體會到生活中處處都有數學，才會有生活中處處用數學的可能．本節課我設計了“王師傅一家洛陽一日游”的活動，再精心設計了“旅游全程中的數學”問題，并且層層遞進，注重知識的連貫性和章節銜接，學生通過身邊鮮活生動、富有內涵的實例，感受到數學的價值．有效地激發了學生進一步探究的強烈愿望。

新課程理念強調“經歷過程與獲取結論同樣重要”，而且我覺得有時過程比結論更重要。因此我讓學生充分投入到獲取知識的過程中去，在過程中激發學習興趣和動機，展現思路和方法，學會學習；從過程中培養進取型人格，通過過程中的“成功感”來完善自我。給學生提供探索和交流的時空，鼓勵學生大膽發表自己的見解與想法，充分調動學生的積極性，多一些啟發，少一些限制，發展學生的創新能力，張揚學生的個性發展，并通過開展“互改互評”的活動，激發學生積極思考，引導學生自主探究與合作交流，讓學生人人參與，在快樂中學習。

在與他人的交流合作中，學生充分感受數學活動充滿探索的樂趣，提高學生的學習熱情和學習的積極性，培養學生合作交流的意識和大膽猜想、樂于探究的良好的品質以及發現問題、探究問題的能力。發展學生的主動探索和獨立思考的習慣。