第一篇：2.7 角的和與差教案（最終版）

2.7角的和與差

數(shù)學(xué)備課組

主備人

李瑛

2014.10.20 知識、能力目標：

（1）結(jié)合具體圖形，了解可以用一個角表示兩個角的和或差，會用等式表示角的和、差關(guān)系。

（2）會進行較的和、差運算，能用角描述物體相對于某點的方向。（3）了解余角與補角的概念，理解互余、互補反映的是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系。

（4）懂得等角的余角相等，等角的補角相等．并能運用這些性質(zhì)解決一些簡單的實際問題。學(xué)習重點、難點

重點：1．進行角度和、差運算。

2．余角與補角的性質(zhì)A 難點：1.進行角的和、差運算時，進行進位和借位。

2.余角與補角的性質(zhì)的應(yīng)用 節(jié)前預(yù)習：

如圖：∠AOB=∠

+∠，∠AOC=∠

-∠

∠COB=∠

-∠

教學(xué)過程： 一.學(xué)習新知:

O C B

1、角的平分線

1）、如圖，如果∠AOC=∠BOC，那么射線OC是∠AOB的角平分線。角平

分

線的定

義

：_______________________________________________ 符號語言：∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC(∠AOB=2∠

或∠AOB =2∠

;或∠AOC=∠

，∠BOC =∠_____)2）、請畫出下面兩個角的角平分線，AA1212OBO B

3）鞏 固 新 知

a、如圖⑴所示：⑴∠DAB =∠DAC+

⑵∠ACB =∠DCB –

b、如圖⑵若∠AOB =∠BOC =∠COD，則OB 是

的平分線，= 111∠AOC，∠BOC = =

=

= 22

213想一想：（1）時鐘由２點３０分走到２點５５分，時針、分針各轉(zhuǎn)過多大的角度？

（2）鐘表上2時15分時，時針與分針所成的銳角是多少度？ 1）.角的加減運算：

如圖，∠AOC=45°35′, ∠BOC=30°15 ′

∠AOB=∠

+∠

=

+

=

O

3、例題分析：

例1 如圖，已知∠1=103°24′28″，∠2=30°54″ 求∠1+ ∠2和∠1-∠2的度數(shù)。

請你通過預(yù)習和合作學(xué)習，完成下面的填空：

解：∠1+ ∠2=（）+（）

103°24′28″

+（）

（=）

（）A C B

所以，∠1+ ∠2=（）。

∠1-∠2=（）-（）

()

（=)

30°

54″

（）

所以，∠1-∠2=（）角的互余和互補：

O(1)A C B F

D S(2)

E 在圖（1）中，∠AOB=90°;在圖（2）中，∠DSF=180°,顯然有

∠

+∠

=∠AOB=90°;

∠

+∠

=∠DSF=180°.①如果兩個角

，我們就稱這兩個角互為余角，簡稱

。其中一個角叫另一個角的。

②如果兩個角

，我們就稱這兩個角互為補角，簡稱

。其中一個角叫另一個角的。大家談?wù)劊?/p>

1在圖（1）和圖（2）中，哪兩個角互余？哪兩個角互補？∠COB的余角是哪個角？∠DSF的補角是哪個角

2如果一個角是46°,那么它的余角是

度，它的補角是 度。例3 已知∠α=63°18′, ∠β是∠α的余角。

（1）求∠β的度數(shù)。

（2）求∠β的補角的度數(shù)。

通過合作交流、學(xué)習，相信你一定會完成得很好： 解：

2．同角（或等角）的有關(guān)結(jié)論：

一起探究：①如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等嗎？試著說明理由。

解：因為∠1和∠2都是∠α的余角

所以∠1+∠α=

°，∠2+∠α=

°

所以∠

+∠

=∠

+∠

所以∠

=∠

.②如果∠3和∠4都是∠β的補角，那么∠3和∠4相等嗎？試說明理由。由此得出結(jié)論：

。數(shù)學(xué)語言表示為：因為∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°

所以∠1=∠3

。三．課堂訓(xùn)練：

1．計算：（1）90°-78°19′40″（2）18°46′55″+27°17′24″

D C B

O A

2.如圖，填出符合下列等式的角：（1）∠AOB+∠BOC=

;(2)∠BOC=∠BOD-

;(3)∠AOD=∠AOB+∠COD+

;(4)∠BOD=∠DOA-∠COA+

.3.如圖，OC和OE分別是∠AOD、∠BOD 的平分線，且∠BOD=72°，求∠COD、∠DOE、∠COE的度數(shù)，并比較大小 C D

C

E

A O B 4.若∠A=34°,則∠A的余角的度數(shù)是（）。

A．54°

B.56°

C.146°

D.66° 5.已知∠A=72°34′，那么∠A的補角=

。6.已知∠α的補角是131°32′33″，那么∠α=

。7．一個角的余角加上90°，就等于（）。

A.這個銳角的兩倍

B.這個銳角的余角

C.這個銳角的補角

D.這個銳角加上90°

8．如果∠AOB+∠BOC=90°, ∠BOC與∠COD互余，那么∠AOB和 ∠COD的關(guān)系是（）。

A.互余

B.互補

C.相等

D.不能確定 9.一個角的余角比這個角的補角的少20°，則這個角為（）。

A.30°

B.40°

C.60°

D.75°

10.若∠A有余角，則∠A一定是

角;若∠A有補角，則∠A的范圍是。

11.已知一個角的補角是128°37′，那么這個角的余角是（）

12、如圖，OB是平角∠AOC的角平分線，OD平分∠BOC，求∠AOD的度數(shù)。

AOBD12C13、如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線。⑴如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？ ⑵如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？

拓 展 題

14、如圖，∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，⑴求∠MON的度數(shù)，⑵若∠AOB=∠α，若∠BOC=∠β（∠β為銳角）其他條件不變，求∠MON的度數(shù)。（用含α、β的式子表示）⑶探究：從⑴⑵中你發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？

四．小結(jié)：

1.知識方面：

；

2．方法、技巧方面：

。五．作業(yè)布置：

第二篇：2017兩角和與差的正切教案

課題：探究兩角和與差的正切 教學(xué)設(shè)計

課標分析

①理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；

②能運用上述公式進行簡單的恒等變換，使學(xué)生進一步提高運用轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想，換元的思想，方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的應(yīng)用．

教材分析

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是高一（下）第四章4.6節(jié)第二課時（兩角和與差的正切）。本節(jié)內(nèi)容是三角恒等變形的基礎(chǔ)，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，同時，它又是兩角和、差、倍、半角等公式的“源頭”,起著重要的承前啟后的作用。

兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有著重要的支撐作用。本課題是在學(xué)習完兩角和與差的正弦、余弦公式之后，是三角恒等變形重要組成部分，教材把兩角和與差的正切公式從正弦、余弦中分離出來,單獨作為一節(jié),這對學(xué)生的自主探究學(xué)習提供了平臺.因為前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了兩角和與差的正弦、余弦公式,對其應(yīng)用學(xué)生有了一定的理解,同時對于三角函數(shù)變形中,角的變換也有了一定的掌握,因此在本節(jié)課的教學(xué)中可以充分利用學(xué)生的知識遷移,更多地讓學(xué)生自主學(xué)習,獨立地推導(dǎo)兩角和與差的正切公式，為學(xué)生提供進一步實踐的機會.也可以說本節(jié)并不是什么新的內(nèi)容,而是對前面所學(xué)知識的整合而已.在探究中讓學(xué)生體驗自身探索成功的喜悅感,培養(yǎng)學(xué)生的自信心,培養(yǎng)學(xué)生形成實事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神.對于公式成立的條件,可以在學(xué)生自主推導(dǎo)公式中通過觀察、比較、分析、討論,在掌握公式結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上加以討論解決.在學(xué)習兩角和與差的正切公式中,要注意公式形式上的特點,引導(dǎo)學(xué)生欣賞其結(jié)構(gòu)、變形之美.本節(jié)作為兩角和與差的三角函數(shù)的最后一節(jié)內(nèi)容,教學(xué)時可以將兩角和與差的三角函數(shù)公式作一個小結(jié),從分析公式的推導(dǎo)過程入手,探究問題解決的來龍去脈,揭示它們的邏輯關(guān)系,使學(xué)生更好地用分析的方法尋求解題思路.學(xué)情分析

本節(jié)課面對的是高一年級學(xué)生，他們的數(shù)學(xué)表達能力和邏輯推理能力正處于高度發(fā)展的時期，學(xué)生對探索未知世界有主動意識，對新知識充滿探求的渴望。在學(xué)習本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了任意角三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，兩角和差的正余弦公式等相關(guān)知識，這為他們探究兩角和的正弦公式建立了良好的知識基礎(chǔ)。

本節(jié)課教學(xué)時可以通過對兩角和與差的三角函數(shù)做一個小結(jié)，從分析公式的推導(dǎo)過程入手，探究問題的解決的來龍去脈，揭示三角很

等變形的本質(zhì)，使學(xué)生更好地利用分析的方法尋求解決問題的思路，我認為這節(jié)課的學(xué)習盡可能充分的發(fā)生學(xué)生的主觀能動性。

二、教學(xué)重點、難點

兩角和與差的正切公式推導(dǎo)及其運用，公式的逆用。

三、課時安排 1課時

四、教學(xué)流程

1、復(fù)習回顧：

cos(???)?cos?cos??sin?sin? C??? cos(???)?cos?cos??sin?sin? C??? sin(???)?sin?cos??cos?sin? S??? sin(???)?sin?cos??cos?sin? S???

可用多種形式讓學(xué)生回顧(提問,默寫,填空等形式)

2、講解新課： 在兩角和與差的正弦,余弦公式的基礎(chǔ)上,你能用tan?，tan?表示出tan?(??)和tan(???)嗎？

?????如tan15?tan(45?30)，它的值能否用tan45，tan30去計算？

（讓學(xué)生帶著問題展開后面的討論）

探究一 公式推導(dǎo)及成立條件

利用所學(xué)的兩角和與差的正弦,余弦公式，對比分析公式C???C???S???S???，， ???)和tan(???)？ 能否推導(dǎo)出tan(其中?,?應(yīng)該滿足什么條件？（讓同學(xué)們帶著問題展開后面的討論）

交流、展示 當cos(???)?0時，tan(???)?sin(???)sin?cos??cos?sin??cos(???)cos?cos??sin?sin?

若cos?cos??0，即cos??0且cos???時，分子分母同除以cos?cos?

tan(???)?tan??tan?1?tan?tan? 得根據(jù)角?，?的任意性，在上面的式子中，用??代替?，則有

tan(???)?tan??tan(??)tan??tan??1?tan?tan(??)1?tan?tan?

由此推得兩角和與差的正切公式。簡記為“tan(???)?T???，T???”

tan??tan?tan??tan?tan(???)?1?tan?tan? 1?tan?tan?

其中?,?應(yīng)該滿足什么條件？還依然是任意角嗎？

??k????k??由推導(dǎo)過程可以知道：

?2(k?Z)(k?Z)?2????k???2(k?Z)

???)都有意義。這樣才能保證tan?，tan?及tan(探究二 公式結(jié)構(gòu)特征 分析觀察公式T???，T???的結(jié)構(gòu)特征與正、余弦公式有什么不同？

1???)3，（1）求tan(13，3、例題講解 例1 已知tan??2，tan??? 解: 因為tan??2，tan???

1tan??tan?3?7tan(???)??21?tan?tan?1?3所以

2?(考察公式正用，關(guān)鍵根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征記準)

2、計算

tan23??tan22?①1?tan23?tan22?

1?tan75?②1?tan75?

分析：①解決本題的關(guān)鍵在于將算式與正切聯(lián)系起來，逆向應(yīng)用公式Tα+β

②應(yīng)能把分子1-tan75°看作為tan45°-tan75°,而把分母1+tan75°

tan45??tan75?看作為1+tan45°·tan75°,于是原式便可化作1?tan45?tan75?，逆向應(yīng)用公式，問題便迎刃而解。

解： ①原式=tan(23°+ tan22°)=tan45°=1 tan45??tan75?②原式=1?tan45?tan75?

=tan(45°-75°)=tan(-30°)?33

2?1?tan(??)?tan(??)5，44，求4 =（備用例題）

1、若tan(???)?解 因為(???)?(???4，所以)

tan(???4)?tan[(???)?(???4)]tan(???)?tan(??)4??1?tan(???)tan(??)421?54?211??543?222、設(shè)?,??(??

??,),tan?,tan?是一元二次方程x2?33x?4?0的兩個根,求22???

4、課堂小結(jié)

（1）兩角和與差的正切公式推導(dǎo)及其運用。（2）六個三角和差公式的邏輯關(guān)系。

5、作業(yè)

課本習題3-1 A組6、7 效果分析

本課教學(xué)應(yīng)用多媒體教學(xué)和學(xué)案教學(xué), 有效地增大堂課的課容量，減輕板書的工作量，有更多精力講深講透所舉例子，提高講解效率；直觀性強，容易激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習興趣，有利于提高學(xué)生的學(xué)習主動性；有利于對整堂課所學(xué)內(nèi)容進行回顧和小結(jié)。在課堂教學(xué)結(jié)束時，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本堂課的內(nèi)容學(xué)習的重點和難點。同時通過投影儀，同步地將內(nèi)容在瞬間躍然“幕”上，使學(xué)生進一步理解和掌握本堂課的內(nèi)容。

本課教學(xué)中以講練結(jié)合為主，同時配合使用問題探究式，討論交流展示、導(dǎo)思點撥等教學(xué)方法。極大的提高了學(xué)習的主動性和有效性。課堂上還將采用多媒體展示、學(xué)生獨立回答和集體回答、學(xué)生

板演等多種手段，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，提高課堂復(fù)習效率。當然，在學(xué)生回答之后，老師要及時給學(xué)生一個鼓勵性的評價，以增強學(xué)生回答的信心，使課堂始終保持一種熱烈、積極、主動的學(xué)習氣氛.本節(jié)課的宗旨是著眼于學(xué)生的發(fā)展。對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，及時加以總結(jié)，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發(fā)事件，及時調(diào)整課堂教學(xué)。充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習積極性.學(xué)生是學(xué)習的主體，教師要圍繞著學(xué)生展開教學(xué)。在教學(xué)過程中，自始至終讓學(xué)生唱主角，使學(xué)生變被動學(xué)習為主動學(xué)習，讓學(xué)生成為學(xué)習的主人，教師成為學(xué)習的領(lǐng)路人.觀評記錄

課題：兩角和與差的正切 主講人：臨朐一中

劉金艷 時間：2015年3月23日星期一

一、自評

本節(jié)課課標要求理解以兩角差的余弦公式導(dǎo)出的兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；并能運用上述公式進行簡單的恒等變換.課本內(nèi)容只有兩個公式和兩道例題，課后配了少量習題。但這部分內(nèi)容在高考中有較高的要求，特別對公式的靈活運用考查力度比較大，另外，本節(jié)課的學(xué)習對后續(xù)兩角和、差、倍、半角等公式的學(xué)習有很大的幫助。我在課堂設(shè)計時充分考慮學(xué)生的認

知特點，從公式推到、公式變形、習題設(shè)置等環(huán)節(jié)，都是層層遞進，由易到難逐步深入。在公式變形時，讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象力，大膽說出自己的想法，我只是做了必要的啟發(fā)和引導(dǎo)，學(xué)生表現(xiàn)不錯。上課前根據(jù)學(xué)生的認知特點，給了學(xué)生充分的展示空間和時間，事實證明這樣的調(diào)整比較到位。在學(xué)生的思維處于興奮狀態(tài)時，千萬不要扼殺他們的興趣。我的想法是，學(xué)習數(shù)學(xué)不一定要做多少道題，而是要在做題和思考的過程中不斷優(yōu)化自己的思維品質(zhì)，提升自己的解題能力，豐富自己的解題經(jīng)驗。

由于課堂時間只有四十分鐘，所以感覺時間特別緊，還有幾類題型沒有涉及到，比較遺憾。通過學(xué)生作業(yè)反饋，大部分同學(xué)掌握比較好，有三位同學(xué)兩道題沒記牢公式，導(dǎo)致計算錯誤。一節(jié)課難免會出現(xiàn)不盡人意的地方，希望各位老師給與批評指正。謝謝！

二、評課 維度一：課程 教學(xué)觀察人：連瑞成

觀察內(nèi)容：課程中的課程目標與內(nèi)容 觀察總結(jié)：

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為：①會由兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)其正切公式，并運用其解決簡單的化簡問題。②通過公式的推導(dǎo)，提高學(xué)生恒等變形能力和邏輯推理能力； 通過公式的靈活運用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.本節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習了課題是在學(xué)習完兩角和與差的正弦、余

弦公式之后，的基礎(chǔ)上，通過復(fù)習兩角和與差的正弦、余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的一節(jié)課，它即是對和差角的深層認識，更是后期學(xué)習三角函數(shù)化簡及計算等問題的基礎(chǔ)與鋪墊，因此，不論是內(nèi)容本身，還是學(xué)習方法，都將對今后學(xué)生的學(xué)習起到重要的基礎(chǔ)作用。因此，結(jié)合課程標準要求和學(xué)生的實際情況，確定的本節(jié)課的教學(xué)目標是：通過本節(jié)課的學(xué)習，學(xué)生應(yīng)明確如何由兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)其正切公式，并運用其解決簡單的化簡問題；使學(xué)生養(yǎng)成探究、分析的學(xué)習習慣，提高三角恒等變形的能力，樹立轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法；本節(jié)課的主要內(nèi)容就是兩個公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，重點也在于此。

教學(xué)預(yù)設(shè)方面：由于高一（9）班學(xué)生的程度相對好，結(jié)合課程標準，本節(jié)課教師預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容多，題量大，題型多。

內(nèi)容的展示上：教師緊扣定義，按照一切從實際出發(fā)的原則，通過對基本關(guān)系的推導(dǎo)，注重了學(xué)生對基本概念學(xué)習的良好習慣。教師對問題進行了歸納，分為3個題型，減輕了學(xué)生學(xué)習的負擔，符合學(xué)生認知層次，體現(xiàn)了一切從學(xué)生實際出發(fā)的教學(xué)原則。同時，教師在教學(xué)過程中也很好地展示了因材施教的教學(xué)原則但是在教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生能充分地展示學(xué)生的思維形成過程與思維的多樣性，教學(xué)效果好。

課堂觀察記錄人：李愛玲 指標1：方法

預(yù)設(shè)的教學(xué)方法：本節(jié)課是發(fā)現(xiàn)結(jié)論并活用公式一節(jié)課，教學(xué)

前預(yù)設(shè)了啟發(fā)式、發(fā)現(xiàn)法、探究式等方法，基本達到了預(yù)設(shè)的結(jié)果。依據(jù)是本節(jié)課首先是由圖形進一步啟發(fā)學(xué)生研究正、余弦函數(shù)，讓學(xué)生從圖形中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，接著在公式的變形中采用探究式，引導(dǎo)學(xué)生一邊觀察，一邊同伴合作。即前一個同學(xué)對公式的變形發(fā)散了其他同學(xué)的思維，為后面活用公式解題作鋪墊，在探究例4時，由于前面的鋪墊，以及題目的條件和式子的結(jié)構(gòu)變換，使得同學(xué)應(yīng)用公式解題方法靈活，同時提高了解題能力，思維更加敏捷，達到了活用的目的。（這是本節(jié)課的重、難點，同時也是最精彩的一部分）

預(yù)設(shè)的教學(xué)方法體現(xiàn)本學(xué)科的特點：本節(jié)課的設(shè)計注重了數(shù)形結(jié)合、化歸思想、分類討論的思想 指標2：資源

本節(jié)課預(yù)設(shè)了多媒體課件及相關(guān)練習題。

預(yù)設(shè)多媒體的出發(fā)點在于：多媒體的應(yīng)用不僅節(jié)約時間，容量大，更主要的在于能夠通過多媒體的動態(tài)演示，使學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的更多內(nèi)容，從而比較容易總結(jié)出公式，另一方面，也能夠提高學(xué)生學(xué)習的興趣和學(xué)習積極性。相關(guān)練習的設(shè)計從易到難，有梯度，有層次，不僅能夠檢驗學(xué)生的認知情況，也能為學(xué)有余力的學(xué)生提供了學(xué)習的方向，效果好。

課后反思

兩角和與差的正切公式是兩角和與差公式的最后一節(jié),所以本節(jié)

教案的設(shè)計目的既是兩角和與差正弦余弦公式的繼續(xù),也是兩角和差正弦余弦公式的復(fù)習鞏固。之前我在新舊教材中都講過這個內(nèi)容，在這次評優(yōu)活動中，我又對這一內(nèi)容進行了設(shè)計，重新備課。就之前與之后的教學(xué)，我進行了反思。

一、反思教學(xué)理念：

新課程理念的靈魂是三個教學(xué)目標的整合，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。知識可以通過傳授獲得，技能可以通過訓(xùn)練掌握。態(tài)度和情感價值觀需要學(xué)生參與獲得。這樣，課堂教學(xué)中，應(yīng)該本著以學(xué)生為主體的原則,讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的學(xué)習智能,由學(xué)生唱好本節(jié)的主角.在設(shè)計習題上,也是先讓學(xué)生審題、獨立思考、合作探究解法,然后展示，教師在其中只進行必要的點評.重在理清思路,糾正錯誤,點撥解法,拓展思路,通過訓(xùn)練再進行方法提升,開拓題型.總之,本設(shè)計的主旨思想是把本節(jié)的學(xué)習過程當作提升學(xué)生思維、運算能力的極佳載體.二、反思教學(xué)過程

一）引課：因為前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了兩角和與差的正弦、余弦公式，所以今天學(xué)習兩角和與差的正切公式學(xué)生不會感到突然，因而開門見山的引課方式是比較好的；

二）兩角和與差的正切公式的探究過程：因為前面我們推出了公式Cα-β、Cα+β、Sα+β、Sα-β, 所以可以完全讓學(xué)生自己進行推導(dǎo)Tα-β、Tα+β,教師只是適時地點撥就行了.通過前面的學(xué)習學(xué)生自然會想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化切為弦,通過除以cosαcosβ即可得到,在這一過程中學(xué)生很可能想不到討論cosαcosβ等于零的情況,這時教師不

要直接提醒,讓學(xué)生通過觀察驗證自己悟出來才有好效果

三)兩角和與差的正切公式的簡單應(yīng)用。除了仿照課本上的例題、習題改編的試一試外，我還補充了合作探究、課堂練習、及課后作業(yè)，針對性較強。其中，合作探究是很重要的環(huán)節(jié)兩角和與差的正切公式的變形式在化簡求值中經(jīng)常用到,使解題過程大大簡化,同時也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美及數(shù)學(xué)公式的魅力。但課本并沒有提及這方面例題，所以讓學(xué)生探究正切公式的變形使用有助于加深學(xué)生對這部分知識的掌握，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習積極性.

第三篇：和差問題教案

和差問題教案

教學(xué)目標

1.會判斷什么樣的應(yīng)用題屬于和差問題．已知兩個數(shù)的和以及兩個數(shù)的差，要分別求這兩個數(shù)就屬和差問題，并掌握和差問題的特性，為以后繼續(xù)學(xué)習和倍、差倍問題做準備．

2.總結(jié)歸納出解決和差問題的方法，并解決一些實際問題． 知識點撥：

和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

知道兩個數(shù)的和，以及它們的差，要求這兩個數(shù)，解決和差問題需要我們畫線段圖來分析，方法如下： 方法一：(和+差)÷2=大數(shù) 和-大數(shù)=小數(shù) 方法二：(和-差)÷2=小數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù) 例題精講

板塊

一、基本的和差問題

【例1】兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，兩筐水果各多少千克？

【解析】本題也是和差問題的基本題型，借助線段圖來分析如下：

方法一：把第二筐多的10千克減掉，看成兩個第一筐的重量來計算． 列式：第一筐：，第二筐：70?10?80（千克）．（150?10）?2?70（千克）方法二：把第一筐少的10千克補上，看成兩個第二筐的重量來計算． 列式：第二筐：，第一筐：80?10?70（千克）（150?10）?2?80（千克）【鞏固】甲、乙兩人同時以相同的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字．問甲、乙兩人每分鐘各打多少個？

【解析】首先要理解2分鐘共打了240個字，那么甲、乙兩人一分鐘就打了240?2?120（個）．這樣就轉(zhuǎn)換成典型和差問題了． 方法一：甲：（240?2?10）?2?65(個)乙：65?10?55(個)方法二：乙：（240?2?10）?2?55(個)甲：55?10?65（個）

在研究完這兩種方法以后，老師要注意引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)和差問題的解決方法．解答和差問題的應(yīng)用題，可以先畫出線段圖，從線段圖上找到大數(shù)和小數(shù)，并找到解決方法．(兩數(shù)的和－兩數(shù)的差)÷2=較小的數(shù) 較小的數(shù)+兩數(shù)的差=較大的數(shù)(兩數(shù)的和+兩數(shù)的差)÷2=較大的數(shù) 較大的數(shù)－兩數(shù)的差=較小的數(shù)

【鞏固】果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數(shù)比梨樹多20棵．桃樹和梨樹各有多少棵？ 【解析】方法一：桃樹：（260?20）?2?140（棵）梨樹：140?20?120（棵）

方法二：梨樹：（260?20）?2?120（棵）桃樹：120?20?140（棵）

答：桃樹有140棵，梨樹有120棵．

【鞏固】有一根鋼管長12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2米．每段各長多少米？ 【解析】第一段：（12?2）?2?5(米)第二段：12?5?7(米)答：第一段長5米，第二段長7米．

【鞏固】陳紅和李玲平均身高為130厘米，陳紅比李玲高8厘米，陳紅和李玲身高各是多少厘米？ 【解析】陳紅和李玲平均身高為130厘米，她們身高的和為：130?2?260(厘米)方法一：陳紅：（260?8）?2 ?134(厘米)李玲：134?8?126(厘米)方法二：李玲：（260?8）?2 ?126(厘米)陳紅：126?8?134（厘米）

【例2】文具王國的尺子點點和跳跳是一對好朋友，他們一會兒高興地把自己綁在一起，一會兒又鬧起小別扭，豎起小腦袋比比誰長的高，每天他們總是有使不完的勁兒．同學(xué)們！你能根據(jù)下面的圖，算出點點和跳跳各有多長嗎？

【解析】解決和差問題的應(yīng)用題，首先學(xué)會畫線段圖是關(guān)鍵，在這里借助兩把尺子來進行比較分析，比較直觀和形象，然后再從直觀的實物圖過渡到抽象的線段圖學(xué)生比較容易理解．此處是本節(jié)課的難點突破所在，對于方法的研究老師要引導(dǎo)學(xué)生來思考．

方法一：假設(shè)跳跳多4厘米，那么就和點點一樣長，這時總長增長到了16?4?20（厘米），2個點點的長是20厘米，那么點點的長就是20?2?10（厘米），跳跳就是10?4?6（厘米）． 列式：點點（大數(shù)）：；跳跳（小數(shù)）：10?4?6（16?4）?2?10（厘米）（厘米）．

方法二：假設(shè)點點少4厘米，那么就和跳跳一樣長，這時總長就減少到了，2個跳跳的長是12厘米，那么跳跳的長就是16?4?12（厘米），點點就是6?4?10（厘米）． 12?2?6（厘米）列式：跳跳（小數(shù)）：；點點（大數(shù)）：6?4?10（16?4）?2?6（厘米）（厘米）

【鞏固】二年級一班和二班共有85人，一班比二班多3人．問一班、二班各有多少人？

【解析】本題是和差問題的基本題型，已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，然后求大小兩個數(shù)各是多少．和差問題一般可以借助線段圖來進行分析． 方法一：一班人數(shù)：（85?3）?2?44(人)，二班人數(shù)：44?3?41（人）方法二：二班人數(shù)：（85?3）?2?41(人)，一班人數(shù)：41?3?44（人）

【鞏固】兩個連續(xù)奇數(shù)的和是36，這兩個數(shù)分別是多少？ 【解析】兩個連續(xù)奇數(shù)的差是2,利用和差公式解答如下．

較小數(shù)：（36-2）?2?17 較大數(shù)：36?17?19

【鞏固】一輛公交車里有30位乘客，到大橋站有17人下車，又上來19人，現(xiàn)在車上和原來比，人多了還是少了，多（或少）幾個人？

【解析】這道題有兩種不同的思維方法．

方法一：先求出現(xiàn)在車上有多少人，再和原來車上30人進行比較，就知道人多了還是人少了，再用減法計算，就能求出多或少了幾個人． 列式：現(xiàn)在車上人數(shù)：30?17?19?32（人）現(xiàn)在車上比原來多幾人？32?30?2（人）

方法二：聰明的學(xué)生會想到只要把下車和上車的人數(shù)進行比較，就知道答案了，因為下車17人，上車19人，上車的人比下車的多2人．這樣原來車上的“30人”就是多余條件了． 列式：19?17?2（人）

答：現(xiàn)在車上人多了，多2人．

【例3】長方形操場的長與寬相差80米，沿操場跑一周是400米，求這個操場的長與寬是多少米？

【解析】長方形一周的長是指兩條長和兩條寬的和，由條件可知一條長與一條寬的和為400?2?200(米)，由此我們就知道了長和寬之和是200米，又知道長和寬之差是80米，根據(jù)和差問題來解答： 方法一：長：（200?80）?2?140(米)寬：140?80?60（米）方法二：寬：（200?80）?2?60(米)長：60?80?140（米）

【鞏固】丁丁在期中考試時，語文、數(shù)學(xué)兩科平均分是91分，數(shù)學(xué)比語文多2分，那么丁丁語文和數(shù)學(xué)各得了多少分？

【解析】在這道題中，我們已知丁丁數(shù)學(xué)成績比語文成績多2分，也就是知道了數(shù)學(xué)成績和語文成績之差，如果找到數(shù)學(xué)成績和語文成績之和，就轉(zhuǎn)換成和差問題來解答了．又因為知道了語文和數(shù)學(xué)的平均分是91分，那么兩科成績之和就是91?2?182（分）． 方法一：數(shù)學(xué)：（182?2）?2?92（分）語文：92?2?90（分）方法二：語文：（182?2）?2?90（分）語文：90?2?92（分）

【例4】學(xué)校水果店運來蘋果和梨共40千克，蘋果比梨多2袋，蘋果和梨每袋都重5千克，則水果店運來蘋果和梨各多少袋？

【解析】方法一：題目中知道了蘋果比梨多2袋，如果能求出蘋果和梨一共的袋數(shù)，就可以用和差問題來解決了．而題目中只告訴我們蘋果和梨共40千克，不過還告訴我們蘋果和梨每袋都重5千克，那么就可以求出蘋果和梨一共有40?5?8（袋），現(xiàn)在就可以求出梨有，蘋果有（8?2）?2?3（袋）．（8?2）?2?5（袋）方法二：部分學(xué)生可能根據(jù)題目中告訴的蘋果和梨的總千克數(shù)，然后求出蘋果比梨多2?5?10（千克），算出蘋果和梨各多少千克，最后再算出各多少袋．解答如下：

蘋果比梨多：2?5?10（千克）蘋果的重量：（40?10）?2?25（千克）梨的重量：25?10?15（千克）蘋果的袋數(shù)：25?5?5（袋）梨的袋數(shù)：15?5?3（袋）

兩種方法相比較，第一種方法更簡便、直觀．

【鞏固】有一種小蟲，每隔2秒鐘分裂一次．分裂后的2只新的小蟲經(jīng)過2秒鐘后又會分裂．如果最初瓶中只有1只小蟲，那么2秒后變2只，再過2秒后就變4只??2分鐘后，正好滿滿一瓶小蟲．現(xiàn)在這個瓶內(nèi)最初放入2只這樣的小蟲．經(jīng)過多長時間，正巧也是滿滿一瓶小蟲? 【解析】如果剛開始瓶里有1只小蟲，每隔2秒鐘分裂一次，第一次就分裂成2個，第二次就分裂成4個??這樣2分鐘就正好有了滿滿一瓶小蟲．如果瓶里開始就放有2只小蟲，那么第一次就分裂成4個，和原來比少了1個分裂成兩個的2秒，直接已經(jīng)有了2個．這樣如果瓶里有2只小蟲，就會原來的時間少2秒，需要1分鐘58秒就分裂成了滿滿一瓶小蟲．

【例5】小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔一共有22只，如果再買4只白兔，白兔和黑兔的只數(shù)一樣多．小勇家養(yǎng)的白兔和黑兔各多少只？

【解析】解決這道題的關(guān)鍵就是理解“如果再買4只白兔，白兔和黑兔的只數(shù)一樣多”，這句話的意思也就是白兔的只數(shù)比黑兔的只數(shù)少4只，或黑兔的只數(shù)比白兔多4只．只要理解了這個已知條件，我們就可以把這個題轉(zhuǎn)換成典型和差問題來解決了．

方法一：把黑兔多的4只減掉，看成兩個白兔的數(shù)量來計算． 列式：白兔：，黑兔：22?9?13(只)或9?4?13(只)（22?4）?2?9（只）方法二：把白兔少的4只加上，看成兩個黑兔的數(shù)量來計算． 列式：黑兔：（22?4）?2?13(只)，白兔：22?13?9(只)或 13?4?9(只)【鞏固】圖書館的書架上、下兩層共存書220本，如果從上層拿出10本放入下層，則兩層書架上書數(shù)相等．求原來上、下層各存書多少本？

【解析】根據(jù)從上層拿出10本放入下層后兩層書架上的書同樣多，可以知道上層書架上的書比下層書架上的書多2個10本，如果從上層書架中減去10?2?20（本)，就和下層書架上的書同樣多，那么上、下兩層書架上書的總數(shù)減少了20本，這時上、下兩層書架上的書的總數(shù)就相當于下層書架上書的2倍． 方法一：下層：（220?20）?2?100(本)上層：220?100?120(本)方法二：上層：（220?20）?2?120（本）下層：220?120?100（本）【例6】小華每天寫8個大字，比小軍每天多寫2個．小華和小軍一星期一共寫多少個大字？ 【解析】方法一：要知道小華和小軍一星期一共寫多少個大字，就要先求出小華和小軍每天共寫幾個大字．小華每天寫8個大字，比小軍每天多寫2個，可以算出小軍每天寫6個大字，他倆每天共寫14個大字．“一星期有7天”這是個隱藏條件，這個條件也是解決問題的關(guān)鍵，因此要認真讀題才能找到這個已知條件．最后我們就可以用乘法計算出小華和小軍一星期一共寫多少個大字． 列式：小華和小軍每天共寫多少個大字？ 8?2?8?14（個）小華和小軍一星期一共寫多少個大字？14?7?98（個）

方法二：可以先分別求出小華一個星期寫了多少個大字和小軍一個星期寫了多少個大字，然后把他們一共寫的個數(shù)加起來．

列式：小華一星期寫了多少個大字？8?7?56（個）小軍一星期一共寫多少個大字？（8?2）?7?42（個）

小華和小軍一星期一共寫多少個大字？ 56?42?98（個）

答：小華和小軍一星期一共寫98個大字．

【鞏固】商店里每天賣出電腦10臺，賣出的彩電比電腦多5臺，一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？ 【解析】方法一：每天賣出電腦和彩電多少臺？10?5?10?25（臺）

一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？25?7?175（臺）

方法二：電腦一個星期共賣出多少臺？10?7?70（臺）

彩電一個星期共賣出多少臺？（10?5）?7?105（臺）

一個星期商店賣出電腦和彩電一共多少臺？70?105?175（臺）

答：一個星期商店賣出電腦和彩電一共175臺．

【例7】甲、乙兩校共有學(xué)生1050人，部分學(xué)生因搬家需要轉(zhuǎn)學(xué)，已知由甲校轉(zhuǎn)入乙校20人，這樣甲校比乙校還多10人，求兩校原來有學(xué)生多少人？

【解析】這道題雖然只告訴了我們兩個數(shù)的和，但是兩數(shù)的差屬于隱藏條件．由甲校轉(zhuǎn)入乙校20人，這樣甲校比乙校還多10人，實際上甲校比乙校多20?2?10?50(人)，找到了隱藏的差，就轉(zhuǎn)變成了典型的和差問題． 列式：乙：（1050?50）?2?500(人)甲：1050?500?550(人)【鞏固】小華和小敏共有鉛筆25枝，如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，小華和小敏原來各有多少枝鉛筆？

【解析】如果小華用去4枝，小敏用去3枝，那么小華還比小敏多2枝，這就說明原來小華的鉛筆比小敏的鉛筆多3枝．找到了這個暗差，這道題就簡單了． 方法一：小華：（25?3）?2?14（枝）小敏：14?3?11（枝）方法二：小敏：（25?3）?2?11（枝）小華：11?3?14（枝）

【例8】周明和王剛兩人數(shù)學(xué)成績的和是182分．周明如果多考5分，就比王剛多3分．周明和王剛的數(shù)學(xué)各考了多少分？

【解析】已知周明和王剛兩人數(shù)學(xué)成績的和是182分，根據(jù)條件“周明如果多考5分，就比王剛多3分“可知，王剛的數(shù)學(xué)成績比周明多5?3?2（分）．轉(zhuǎn)換成和差問題解答如下： 方法一：王剛：（182?2）?2?92（分）周明：92?2?90（分）方法二：周明：（182?2）?2?90（分）王剛：90?2?92（分）

【鞏固】有大、小兩個油桶，一共裝油24千克，兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克．問：原來大、小兩個油桶各裝油多少千克？

【解析】兩個油桶都倒出同樣多的油后分別還剩9千克和5千克，那么也就是說大桶比小桶多4千克的油，知道這兩桶油的和，又找到了這兩桶油的差，這道題就變成了典型的和差問題的應(yīng)用題了． 方法一：大桶：（24?4）?2?14（千克）小桶：14?4?10（千克）方法二：小桶：（24?4）?2?10（千克）大桶：10?4?14（千克）

【例9】兔媽媽拔了29個蘿卜分給了小白兔和小黑兔，因為分的蘿卜不一樣多，兔媽媽讓小白兔給了小黑兔5個，這時再來數(shù)發(fā)現(xiàn)小黑兔比小白兔多出1個蘿卜，你知道原來小白兔和小黑兔各分到了多少個蘿卜嗎？

【解析】這道題關(guān)鍵也是要找到暗差，小白兔給了小黑兔5個后，小黑兔又比小白兔多出1個蘿卜，畫圖來分析，可以得出原來小白兔比小黑兔多5?2?1?9個蘿卜．這時就可以根據(jù)和差問題問題來解決了．

方法一：小白兔：，小黑兔：29?19?10（個）（29?9）?2?19（個）方法二：小黑兔：，小白兔：29?10?19（個）．（29?9）?2?10（個）【鞏固】甲乙兩個倉庫共存大米56包，從乙倉庫調(diào)8包到甲倉庫，兩個倉庫大米的包數(shù)就同樣多了，甲、乙兩個倉庫原有大米各多少包？

【解析】乙比甲多8?2?16（包）

甲：（56?16）?2?20（包）乙：56?20?36（包）答：甲倉庫有大米20包，乙倉庫有大米36包．

【例10】甲校原來比乙校多48人，為方便就近入學(xué)，甲校有若干人轉(zhuǎn)入乙校，這時甲校反而比乙校少12人．甲校有多少人轉(zhuǎn)入乙校？

【解析】利用移多補少思想思考，48?2?24（人），當甲校轉(zhuǎn)入乙校24人時，那么甲乙兩校的人數(shù)就一樣多，當甲校繼續(xù)有同學(xué)轉(zhuǎn)入到乙校時，每轉(zhuǎn)入一個同學(xué)，甲校就比乙校少2人，12?2?6，當再從甲校轉(zhuǎn)入6人到乙校時，甲校就比乙校少12人，所以甲校一共轉(zhuǎn)入乙校24?6?30（人）時，甲校就比乙校少12人．

【鞏固】兩箱圖書共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙兩箱原有圖書各多少本？ 【解析】已知甲箱借出10本圖書后，比乙箱少4本，可知甲箱原來比乙箱多10?4?6（本）圖書．

方法一：甲箱：（66?6）?2?36（本）乙箱：36?6?30（本）方法二：乙箱：（66?6）?2?30（本）甲箱：30?6?36（本）

【鞏固】方方和圓圓共有圖書70本，如果方方給圓圓5本，那么圓圓就比方方多4本．問：方方和圓圓原來各有圖書多少本？

【解析】方方給圓圓5本后，圓圓比方方多4本．，那么芳芳比圓圓多5?2?4?6（本）圖書．原來圓圓有：，圓圓有：38?6?32（本）．（70?6）?2?38（本）【例11】有三塊布料一共190米，第二塊比第一塊長20米，第三塊比第二塊長30米．每塊布料各長多少米？

【解析】先畫線段圖，從線段圖可以看出，以第一塊為標準，第二塊減少20米，第三塊減少20?30?50(米)，總和減少20?50?70(米)，即190?70?120(米)．120米相當于第一塊布料長的3倍，求出第一塊布料的長度，第二塊、第三塊就可以求出． ⑴ 第一塊布料長度的3倍是：190?（20?20?30）?120(米)⑵ 第一塊布料的長度是： 120?3?40(米)⑶ 第二塊布料的長度是： 40?20?60(米)⑷ 第三塊布料的長度是： 60?30?90(米)【鞏固】甲、乙、丙三個數(shù)的和是105，甲數(shù)比乙數(shù)多4，乙數(shù)比丙數(shù)多4，求丙數(shù)． 【解析】已知甲數(shù)比乙數(shù)多4，乙數(shù)比丙數(shù)多4，可求出甲數(shù)比丙數(shù)多4?4?8．如果甲數(shù)少8，乙數(shù)少4，則甲、乙、丙三數(shù)相等，105?，差正好是丙的3倍，除以3便可求出丙數(shù)． ’（8?4）105?（8?4）?93 93?3?31??丙數(shù) 答：丙數(shù)是31。

【鞏固】有3條繩子，共長95米，第一條比第二條長7米，第二條比第三條長8米，問3條繩子各長多少米？

【解析】以第一條繩子為標準，變化后的繩子總長 95-7＋8=96（米）

第二條繩長： 96÷（1＋1+1）=32（米）。第一條繩長：32＋7=39（米）。第三條繩長：32-8=24（米）.【鞏固】甲、乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？

【解析】甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48＝112（人）.112是兩校人數(shù)差。①乙校原有的學(xué)生：（864-32×2-48）÷2＝376（人）②甲校原有學(xué)生：864-376=488（人）

答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。

【鞏固】小猴和小熊到動物商店一共買了30塊糖，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊．小熊比小猴少買幾塊糖？

【解析】一共買了30塊糖是一個多余的條件，小猴把買的糖給了小熊10塊，還比小熊多2塊，說明小猴的糖比小熊一共多22塊，可畫圖分析． 列式：10?10?2?22（塊）答：小熊比小猴少買22塊糖．

【鞏固】學(xué)而思學(xué)校新進99本書，分給三、四、五三個年級，三年級比四年級多分了2本，四年級比五年級多分了5本，三個年級各分得多少本書? 【解析】我們用圖來表示題意：

此題從兩個數(shù)量擴展到三個數(shù)量．已知三年級比四 年級 多分了2本，四年級比五年級多分了5本，從線段圖上可以清楚地看出：三年級比五年級多分了2＋5＝7(本)．如果三年級少拿7本，四年級少拿5本，那么書的總數(shù)就要減少7＋5＝12(本)，總共就是99－12＝87(本)．87本相當于五年級所有的書本數(shù)的3倍，由此可以算出三年級四年級五年級三人各自書本的數(shù)量． 五年級：[99－(2＋5)－5]÷3＝29(本)四年級：29＋5＝34(本)三年級：34＋2＝36(本)【鞏固】甲的書比乙多9本，比丙多2本，乙、丙共有書47本．問：甲、乙、丙各有多少本書？

【解析】和差問題是指兩個數(shù)的和與差，現(xiàn)在出現(xiàn)了三個數(shù)，需要化為兩個數(shù)的和差問題．因為“甲的書比乙多9本，比丙多2本”，說明乙的書比丙少9?2?7(本)．由“乙、丙共有書47本”，乙比丙少7本，可用和差公式求解． 乙有書（47?7）?2?20(本)，丙有書 47?20?27(本)，甲有書 20?9?29(本)．

答：甲有29本，乙有20本，丙有27本．

【鞏固】二年級原來女同學(xué)比男同學(xué)多25人，今年二年級又增加了80個男同學(xué)和65個女同學(xué)，請問：現(xiàn)在是男同學(xué)多還是女同學(xué)多？多幾人？

【解析】這道題有兩種思維方法：

方法一：如果原來女同學(xué)與男同學(xué)人數(shù)同樣多，那么增加后的人數(shù)男同學(xué)比女同學(xué)多80?65?15(人)，實際上“原來女同學(xué)比男同學(xué)多25人”，盡管男同學(xué)人數(shù)比女同學(xué)多增加了15人，結(jié)果還是女同學(xué)人數(shù)多，多25?15?10(人)．

說明： 我們也可以這樣思考：如果今年二年級增加的男同學(xué)人數(shù)和女同學(xué)人數(shù)同樣多，都增加65人，那么女同學(xué)仍比男同學(xué)多25人，實際上男同學(xué)比女同學(xué)多增加了80?65?15(人)，由于“原來女同學(xué)比男同學(xué)多25人”，所以，增加后的人數(shù)女同學(xué)仍比男同學(xué)多，多25?15?10(人)． 列式：80?65?15（人）

25?15?10（人）

方法二：我們先不看男同學(xué)的變化，先觀察女同學(xué)的變化，二年級原來女同學(xué)比男同學(xué)多25人，今年二年級又增加了65個女同學(xué)，如果男同學(xué)人數(shù)不增加，女同學(xué)就要比男同學(xué)增加25?65?90（人）．而男同學(xué)又增加了80人，現(xiàn)在女同學(xué)就比男同學(xué)多90?10?10人． 列式：25?65?90（人）

90?80?10（人）

答：現(xiàn)在女同學(xué)多，多10人．

【鞏固】草地上有黑兔、白兔、灰兔共27只，黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只．黑兔、白兔、灰兔各有多少只？

【解析】畫圖分析：黑兔比白兔多2只，灰兔比白免少2只，把黑兔比白兔多的，補到灰兔比白免少的部分，這樣黑兔、白兔、灰兔共27只也可以看成是3倍白兔這么多，因此可以先求出白兔的只數(shù)． 列式：白兔：27?3?9（只）黑兔：9?2?11（只）灰兔：9?2?7（只）

【例12】大象、老虎、猴子三只動物的年齡中，大象和老虎共90歲，大象和猴子共70歲，老虎和猴子共40歲，請你算一算，三只動物各多少歲？

【解析】大象、老虎、猴子三只動物的年齡和：（90?70?40）?2?100（只）

大象的年齡：100?40?60（歲）老虎的年齡：100?70?30（歲）猴子的年齡：100?90?10（歲）答：大象60歲，老虎30歲，猴子10歲．

【鞏固】小強、中強、大強去稱體重，大強和小強一起稱是50千克，小強和中強一起稱是49千克，三個人一起稱是76千克．三人的體重各是多少千克？

【解析】解答這道題，要用比較的方法，要抓住“三個人一起稱76千克”這個重要條件．又知“大強和小強一起稱50千克”，這樣就可先求出中強的體重，或者根據(jù)“小強和中強一起稱是49千克”可求出小強的體重．

方法一：中強的體重：76?50?26（千克）

小強的體重：49?26?23（千克）大強的體重：50?23?27（千克）

方法二：大強的體重：76?49?27（千克）

小強的體重：50?27?23（千克）中強的體重：49?23?26（千克）

答：小強23千克，大強27千克，中強26千克．

【例13】四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個班共多少人？

【解析】乙+丙+丁=131 甲+乙+丙=134，兩式相加（甲+丁）+2（乙+丙）=265，而甲+丁=（乙+丙）+1 所以 3（乙+丙）=265-1，乙+丙=88，甲+丁=89 這四個班共有88+89=177人。

【鞏固】甲乙共儲蓄32元，乙丙共儲蓄30元，甲丙共儲蓄22元，三人各儲蓄多少元? 【解析】甲乙+乙丙+甲丙=32+22+30=84(元)即2倍的(甲+乙+丙)等于84元

甲+乙+丙=84÷2=42(元)丙:42—32=10(元)甲:42—30=12(元)乙:42—22=20(元)【鞏固】大明、小榮、豆豆三個小朋友去稱體重，大明和小榮一起稱是55千克，大明和豆豆一起稱是49千克，小榮和豆豆一起稱是 56千克．三人的體重各是多少千克？

【解析】這道題是上一題的拓展，看起來無從下手，但是把50千克、49千克、61千克加起來，其實就是三個人體重的2倍，這樣我們就可以先求出三個人的總重量，接下來的思路就跟例10一樣了． 列式：三個人的總重量：（55?49?56）?2?80（千克）豆豆的體重：80?55?25（千克）小榮的體重：80?49?31（千克）大明的體重：80?56?24（千克）

答：大明24千克，小榮31千克，豆豆25千克．

【例14】地震災(zāi)區(qū)希望小學(xué)正籌備建設(shè)圖書館，春蕾小學(xué)發(fā)動全校同學(xué)給山區(qū)的學(xué)生捐書，二（1）班、二（2）班、二（3）班三個班共捐書300本，二（1）班、二（2）班兩個班捐書總數(shù)比二（3）班多60本，如果二（3）班拿出20本給二（2）班，則兩個班捐書數(shù)目相等．求三個班各捐了多少本書？

【解析】方法一：如圖,二（1）班、二（2）班兩個班捐書總數(shù)比二（3）班多60本，又知道三個班一共有300本，這樣可以先求出二（3）班的本數(shù)． 二(3)班有書：（300?60）?2?120(本)，二(3)班比二(2)班多20?2?40(本)書，二(2)班有書：120?40?80(本)，二(1)班有書：300?120?80?100(本)．

方法二：如圖，如果二（3）班拿出20本給二（2）班，則兩個班捐書數(shù)目相等．那么二（3）班比二（2）班多20?2?40（本），把這多的40本和二（1）班的其中40本抵消，那么二（1）班剩下的本數(shù)比二（3）班多60本，這樣就可以先求出二（1）班的本數(shù)． 二(3)班比二(2)班多20?2?40(本)書，二（1）班有書：40?60?100（本）書，二（2）班和二（3）班一共有書：300?100?200（本）二（2）班有書：（200?40）?2?80（本）書，二（3）班有書：80?40?120（本）書．

【例15】哥哥今年14歲，妹妹今年8歲，當兄妹倆歲數(shù)的和是42歲時，倆人各應(yīng)該是多少歲？

【解析】由于“年齡差”不隨年份的推移而變化，所以，兄妹的年齡差始終是14?8?6(歲)．當兄妹的歲數(shù)和是42歲時，由和差公式可以求解． 哥哥為（42?6）?2?24(歲)，妹妹為42?24?18(歲)．

答：那時哥哥24歲，妹妹18歲．

【鞏固】兄弟倆現(xiàn)在年齡和是28歲，3年前哥哥比弟弟大2歲，兄弟倆現(xiàn)在各多少歲？ 【解析】3年前哥哥比弟弟大2歲，現(xiàn)在哥哥仍比弟弟大2歲，他們的年齡差不變．

哥哥：（28?2）?2?15(歲)弟弟：28?15?13(歲)答：哥哥現(xiàn)在15歲，弟弟現(xiàn)在13歲．

【鞏固】今年小玲6歲,她父親34歲,當兩人年齡和是58歲時,兩人年齡各多少歲? 【解析】題中沒有給出小玲和父親的年齡之差,但是已知兩人今年的年齡,那么兩人的年齡差是34-6=28(歲),不論再過多少年,兩人的年齡差是保持不變的,所以當兩人年齡和為58歲時,他們的年齡差仍是28歲,根據(jù)和差問題就可解此題。解: 1.父親的年齡：〔58+(34-6)〕÷2=〔58+28〕÷2=86÷2=43(歲)2.小玲的年齡：58-43=15(歲)答:當兩人年齡和為58歲時,父親的年齡是43歲,小玲的年齡是15歲。

【鞏固】今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？

【解析】題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.爸爸的年齡：[58＋（35-7）]÷2=[58＋28]÷2=86÷2=43（歲）小強的年齡：58-43＝15（歲）

答：當父子兩人的年齡和是58歲時，小強15歲，他爸爸43歲。

【例16】小琴、小靜、小蓮三人年齡和是20歲，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲．三人的年齡各是幾歲？

【解析】以小靜為標準，小琴比小靜大1歲，小蓮比小靜小2歲，把小琴比小靜大的1歲，補給小蓮，那么小琴現(xiàn)在和小靜一樣大，而小蓮比小靜就只小1歲，如果再加上1歲，也和小靜一樣大．那么現(xiàn)在小靜年齡的3倍就應(yīng)該是．接下來就可以分別求出三人的年齡． 20?1?21（歲）⑴ 小靜年齡的3倍是：20?（2?1）?21（歲）⑵ 小靜現(xiàn)在的年齡是：21?3?7（歲）⑶ 小琴現(xiàn)在的年齡是：7?1?8（歲）⑷ 小蓮現(xiàn)在的年齡是：7?2?5（歲）

【鞏固】甲、乙兩個籠子里共有小雞20只,甲籠里新放4只,乙籠里取出1只,這時乙籠還比甲籠多1只,求甲、乙兩籠原來各有雞多少只? 【解析】這樣想:已知甲、乙兩個籠子里小雞的和是20只,根據(jù)甲籠里放入4只,乙籠里取1只,還剩1只可知,甲、乙兩個籠里小雞只數(shù)相差:4+1+1=6(只)解: 1.乙籠比甲籠多多少只？4+1+1=6(只)2.甲籠原來有小雞多少只?(20-6)÷2=14÷2=7(只)3.乙籠里原來有小雞多少只? 20-7=13(只)或(20+6)÷2=13(只)答:甲籠里原有小雞7只;乙籠里原有小雞13只。

【例17】四（1）班投票選舉班長，小明得到的選票比小華多14張，小華得到的選票比小玲多8張。如果這3人共得選票54張，那么他們各得選票多少張？

【解析】小玲得到選票最少，我們以小玲得到選票張數(shù)為標準，畫出線段圖如下：

可以先求出小玲獲票張數(shù)，再求出另外兩個人的獲票張數(shù)。觀察線段圖，把小玲獲票張數(shù)看作1份，把小華獲票張數(shù)去掉8張，把小明獲票張數(shù)去掉（8+14）張，都湊成1份，總張數(shù)減少為：54-8-（8+14）=24（張）。所以小玲獲票張數(shù)：24÷3=8（張）；小華獲票張數(shù)：8+8=16（張）； 小明獲票張數(shù)：16+14=30（張）。

【例18】一位少年短跑選手，順風跑90米用了10秒鐘。在同樣的風速下，逆風跑70米也用了10秒鐘。問在無風的時候他跑80米要用多少秒？

【解析】如果我們以無風時少年跑步速度為標準，在同樣的風速下，順風跑步速度高出標準的米數(shù)，與逆風跑步速度低于標準的米數(shù)是相等的，相當與風速。所以無風速度就是順風速度和逆風速度的平均數(shù)。

解法一：先求出無風時少年速度：（90÷10+70÷10）÷2=8（米）。

再求出無風的時候該少年跑80米需要的時間：80÷8=10（秒）。

解法二：以10秒跑步路程為標準，該少年無風時10秒跑步路程為：

（90+70）÷2=80（米）。

所以，在無風的時候該跑80米要用10秒。

【例19】如右圖，4個一樣大的長方形和1個小正方形拼成了1個大正方形。大正方形的面積是64平方分米，小正方形的面積是4平方分米，問長方形的寬是幾分米？

【解析】對64和4進行拆分：64=8×8；4=2×2。所以，大正方形的邊長為8，即長方形長與寬的和為8；小正方形的邊長為2，即長方形長和寬的差為2。所以，長方形的寬為：（8-2）÷2=3（分米）。

【例20】姐姐做自然練習比妹妹做算術(shù)練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘，妹妹做算術(shù)、英語兩門練習共用了44分鐘，那么妹妹做英語練習用了多少分鐘？ 【解析】“姐姐做自然練習比妹妹做算術(shù)練習多用48分鐘，比妹妹做英語練習多用42分鐘”，由此可以推出妹妹做算術(shù)練習比做英語練習少用時間：48-42=6（分鐘）。所以妹妹做英語練習的時間為：（44+6）÷2=25（分鐘）。

【鞏固】三個小組共有180人，一、二兩個小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。

【解析】先將一、二兩個小組作為一個整體，這樣就可以利用基本和差問題公式得出第一、二兩個小組的人數(shù)和，然后對第一、二兩個組再作一次和差基本問題計算，就可以得出第一小組的人數(shù)。一、二兩個小組人數(shù)之和=（180+20）/2=100人，第一小組的人數(shù)=（100-2）/2=49人。

【鞏固】甲、乙兩筐蘋果，甲筐比乙筐多19千克，從甲筐取出多少千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克？

【解析】從甲筐取出放入乙筐，總數(shù)不變。甲筐原來比乙筐多19千克，后來比乙筐少3千克，也即對19千克進行重分配，甲筐得到的比乙筐少3千克。于是，問題就變成最基本的和差問題：和19千克，差3千克。（19+3）/2=11千克，從甲筐取出11千克放入乙筐，就可以使乙筐中的蘋果比甲筐的多3千克。

【鞏固】一個三層書架共放書108本．上層比中層多放11本，下層比中層少放5本，上、中、下三層各放書多少本? 【解析】 中：（108-11+5）÷3=34（本），上：34+11=45（本），下：34－5=29（本）。評析：（1）此題用畫線段圖的方法會更直觀，易懂。

（2）這道題原題的解法是先求中層的書，這樣比較簡單.為了更好的鍛煉學(xué)生對這道題的理解，建議老師可以讓學(xué)生自己練習先求上層的書的數(shù)量，或者先求下層書的數(shù)量。

第四篇：三年級和差教案

一． 課題

已知兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù)。公式：大數(shù)=（和+差）÷2

小數(shù)=和-大數(shù)

小數(shù)=（和-差）÷2

大數(shù)=和-小數(shù) 二． 教學(xué)要求 熟練掌握和運用和差。三． 教學(xué)過程 ①引入方式

②新概念如何講 ③例題

1。甲乙兩數(shù)和是100，甲比乙多20，求甲乙兩數(shù)各是多少。乙數(shù)是：（100-20）÷2=40

或甲數(shù)是：(100+20)÷2=60

甲數(shù)是：100-40=60

乙數(shù)是: 100-60=40

答：甲數(shù)是60，乙數(shù)是40。

2．甲乙兩數(shù)和是100，如果甲數(shù)拿出20給乙數(shù)，則甲乙兩數(shù)相等，求甲乙兩數(shù)。差：20×2=40 乙數(shù)是：（100-40）÷2=30

或甲數(shù)是(100+40)÷2=70

甲數(shù)是：100-30=70 乙數(shù)是：100-70=30 答：甲數(shù)是70，乙數(shù)是30。

3。小虎語文數(shù)學(xué)兩科的平均分是96，已知數(shù)學(xué)比語文多4分，求這兩門功課各得了多少分。96×2=192（分）語文是：（192-4）÷2=94（分）

或數(shù)學(xué)是：（192+4）÷2=98（分）數(shù)學(xué)是：192-94=98 語文是：192-98=94 答：語文是94，數(shù)學(xué)是98。

4。甲乙兩筐水果共重58千克，如果從甲筐中取出10千克放入乙筐后，甲筐還比乙筐多4千克，求甲乙兩筐原來各有多少千克。差：10×2+4=24（千克）甲筐有：（58+24）÷2=41（千克）乙筐有：58-41=17（千克）

答：甲筐有41千克，乙筐有17千克。

5。小磊三天讀一本90頁的書，第二天比第三天多讀5頁，第一天比第二天多讀5頁，求小磊每天個多多少頁。第一天：（90+5+5+5）÷3=35（頁）第二天：35-5=30（頁）第三天：30-5=25（頁）

答：小磊第一天讀35頁，第二天讀30頁，第三天讀25頁。④隨堂練習

1。一個長方形的周長是50厘米，長比寬長3厘米，求長和寬各是多少厘米。

2。兩個連續(xù)偶數(shù)的和是90，求這兩個數(shù)分比是多少。

3．師徒二人一共生產(chǎn)180個零件，師傅比徒弟多生產(chǎn)30個零件，求他們各生產(chǎn)多少個零件。

4。華華的語文和數(shù)學(xué)平均分是92，數(shù)學(xué)比語文多4分，求語文數(shù)學(xué)各是多少分。

5。甲乙兩數(shù)和是40，甲數(shù)比乙數(shù)多12，求甲乙兩數(shù)各是多少。

6。某校五年級和六年級共有330人，五年級比六年級多24人，五年級六年級個有多少人。

7。兩根繩子共長36米，第一根比第二根長4米，求兩根繩子各長多少米。

8。甲乙兩個書架共有圖書600本，如果從甲書架拿25本到乙書架，兩個書架相等，甲乙兩

書架各有圖書多少本。

9。今年弟弟8歲，姐姐12歲，當兩人年齡和是48歲時，他們各有幾歲。

10。媽媽今年46歲，女兒今年18歲，當兩人年齡和是70歲時，母女各有多少歲。

11。甲乙兩桶油共重80千克，如果把甲桶的油倒8千克乙桶中，那么兩桶油重量相等，求

甲乙兩桶原來各有多少千克油。

12。兩筐桃子共有150個，如果從甲筐拿出15個到乙筐中，兩筐數(shù)量相等，求甲乙兩筐原

來各有多少個桃子。

13。有一個人用220元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋，外衣比帽子貴110元，外衣和帽

子比鞋貴160元，那么一雙鞋多少錢。

14。甲乙兩個修路隊5天修了275米，甲隊每天比乙隊多修5米，求甲乙兩個修路隊每天各

修多少米。

15。甲乙兩桶油共重70千克，如果把甲桶油倒入乙桶中6千克還比乙桶多4千克，求甲乙

兩桶各有油多少千克。

16。甲乙兩個班級共有學(xué)生98人，如果從甲班調(diào)5人到乙班后，甲班還比乙班多8人，兩

個班原來各有多少人。

17。某校一二三年級共有共有學(xué)生800人，其中三年級比二年級多45人，二年級又比一年級多25人，求三年級有多少人。

18。甲倉庫存糧比乙倉庫少300噸，比丙倉庫多100噸，乙丙倉庫共存糧4000噸，三個倉

庫各存糧多少噸。

19。一根長108米的繩子剪成3段，第一段比第二段長8米，第二段比第三段長27米，三

段繩子歌唱多少米。

20．小紅和爸爸媽媽的年齡和是88歲，已知爸爸比媽媽大4歲，媽媽比小紅大24歲，求他

們各自多少歲。

第五篇：和差問題教案

和差問題教案

教學(xué)目標

1.會判斷什么樣的應(yīng)用題屬于和差問題．已知兩個數(shù)的和以及兩個數(shù)的差，要分別求這兩個數(shù)就屬和差問題，并掌握和差問題的特性，為以后繼續(xù)學(xué)習和倍、差倍問題做準備．

2.總結(jié)歸納出解決和差問題的方法，并解決一些實際問題．

基本概念：已知幾個數(shù)的和與差，求這幾個數(shù)的應(yīng)用題，叫和差問題。

基本思路：通常采用假設(shè)的方法，就是假設(shè)那個較小的數(shù)和較大的數(shù)相等或者假設(shè)那個較大的數(shù)和那個較小的數(shù)相等，這樣就會引起總數(shù)（和）的變化（增加或減少），求出新的和，平均分就可得其中的一個數(shù)。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。

關(guān)鍵問題：求出同一條件下的和與差。

基本公式：

①（和-差）÷2=較小數(shù) 較小數(shù)+差=較大數(shù) 和-較小數(shù)=較大數(shù) ②（和+差）÷2=較大數(shù) 較大數(shù)-差=較小數(shù) 和-較大數(shù)=較小數(shù)

知識點撥：

和差問題是已知大小兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差，求大小兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。例1：兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，兩筐水果各多少千克？

1、讀題，找出條件和問題。

2、根據(jù)條件和問題畫出線段圖

3、想一想假設(shè)兩筐的水果一樣重好求嗎？（總重量÷2）

4、假設(shè)把第二筐多的10千克減掉，看成兩個第一筐的重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？

（150?10）?2?70（千克）列式：第一筐：

第二筐：70?10?80（千克）

5、假設(shè)把第一筐少的10千克補上，看成兩個第二筐的重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？

（150?10）?2?80（千克）列式：第二筐：

第一筐：80?10?70（千克）

6、小結(jié)：知道兩個數(shù)的和，以及它們的差，要求這兩個數(shù)，解決和差問題需要我們畫線段圖來分析，方法如下：

方法一：(和+差)÷2=大數(shù) 和-大數(shù)=小數(shù) 方法二：(和-差)÷2=小數(shù) 和-小數(shù)=大數(shù)

鞏固練習：（1）甲、乙兩人同時以相同的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字．問甲、乙兩人每分鐘各打多少個？

問：題目中知道了什么條件？

問：“已知甲每分鐘比乙多打10個字”這個條件告訴我們甲、乙兩人每分鐘打字的什么？

問：根據(jù)“2分鐘共打了240個字”可以求出什么？（甲、乙兩人一分鐘就打了240?2?120（個））師：這實際上就知道了甲、乙兩人每分鐘打字的和，這樣就轉(zhuǎn)換成典型和差問題了．

（240?2?10）?2?65(個)方法一：甲： 乙：65?10?55(個)（240?2?10）?2?55(個)方法二：乙： 甲：55?10?65（個）

在研究完這兩種方法以后，老師要注意引導(dǎo)學(xué)生來總結(jié)和差問題的解決方法．解答和差問題的應(yīng)用題，可以先畫出線段圖，從線段圖上找到大數(shù)和小數(shù)，并找到解決方法．

(兩數(shù)的和－兩數(shù)的差)÷2=較小的數(shù) 較小的數(shù)+兩數(shù)的差=較大的數(shù)

(兩數(shù)的和+兩數(shù)的差)÷2=較大的數(shù) 較大的數(shù)－兩數(shù)的差=較小的數(shù)

（2）果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數(shù)比梨樹多20棵．桃樹和梨樹各有多少棵？

（260?20）?2?140（棵）梨樹：140?20?120（棵）方法一：桃樹：

（260?20）?2?120（棵）桃樹：120?20?140（棵）方法二：梨樹：（3）有一根鋼管長12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2米．每段各長多少米？

（12?2）?2?5(米)第二段：12?5?7(米)第一段：（4）陳紅和李玲平均身高為130厘米，陳紅比李玲高8厘米，陳紅和李玲身高各是多少厘

米？

陳紅和李玲平均身高為130厘米，她們身高的和為：130?2?260(厘米)

（260?8）?2 ?134(厘米)李玲：134?8?126(厘米)方法一：陳紅：

（260?8）?2 ?126(厘米)陳紅：126?8?134（厘米）方法二：李玲：