第一篇：2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)三角形、全等三角形、軸對(duì)稱、整式的乘法與因式分解3月考試測試題

2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)三角形、全等三角形、軸對(duì)稱、整式的乘法與因式分解3月考試測試題

數(shù)學(xué) 2018.3

本試卷共5頁，120分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題 共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．下列方程有實(shí)數(shù)解的是（）

A．

B．

C．

D．

2．如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，連接CE.有下列結(jié)論：①DC=DE；②DA平分∠CDE；③AB=AC+CD；④D為BC的中點(diǎn)；⑤AD被CE垂直

平

分

.其

中

正

確的個(gè)

數(shù)

為

（）

A．

2B．

3C．

4D． 5

3．∠AOB的平分線上一點(diǎn)P到OA的距離為4，Q是OB上任一點(diǎn)，則

（）A． PQ≥4

B． PQ＞4

C． PQ≤4

D． PQ＜4

4．△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE=∠EAC，則圖中

等

腰

三

角

形的個(gè)

數(shù)

是

（）

A． 3個(gè)

B． 4個(gè)

C． 5個(gè)

D． 6個(gè)

5．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是三角形

（）A． 三條角平分線的交點(diǎn)

B． 三邊中線的交點(diǎn) C． 三條高的交點(diǎn)

D． 三邊垂直平分線的交點(diǎn)

6．下列圖形中不是軸對(duì)稱圖形的是

（）

試卷第1頁，總5頁 A．

B．

C．

D．

7．計(jì)算﹣（﹣2x3y4）4的結(jié)果是（）

A． 16x12y16

B． ﹣16x12y16

C． 16x7y8

D． ﹣16x7y8 8．計(jì)算x5m3n1÷（xn）2?（﹣xm）2的結(jié)果是（）++A． ﹣x7mn

1B． x7mn1

C． x7m﹣n1

D． x3mn1 ++

++

+

++9．如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE.若∠B＝80°，∠BAE＝26°，則∠EAD的度數(shù)為（）

A． 36°

B． 37°

C． 38°

D． 45°

10．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△ADC的（）

A． CB=CD

A． BCA=DCA

B． B=D=900

二、填空題 共10小題，每小題3分，共30分。

11．如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，△ABC的面積是___________．

12．如圖，等邊△ABC中，AD是中線，AD=AE，則∠EDC=________．

試卷第2頁，總5頁

13．已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角等于80°，則它的頂角度數(shù)為__________.14．若a，b，c，d均為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算：

=ad﹣bc，例：

=2×5﹣3×4．已知=2，則的值為_____．

15．現(xiàn)有兩張鐵片：長方形鐵皮長為x+2y，寬為x﹣2y（其中x﹣2y＞0）；正方形鐵皮的邊長為2（x﹣y），根據(jù)需要把兩張鐵皮裁剪后焊接成一張長方形的鐵片，鐵皮一邊長為6x，則新鐵片的另一邊長為_____（不計(jì)損失）

16．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，則（a﹣2017）（a﹣2018）=_____ 17．計(jì)算（﹣9）3×（﹣）6×（1+）3=_____．

18．一個(gè)三角形的底邊長為（2a+6b），高是（3a﹣5b），則這個(gè)三角形的面積是_____． 19．計(jì)算：2008×2010﹣20092=_____． 20．如圖，在四邊形形的面積為________

中，．，如果，則四邊

三、解答題 共10小題，每小題6分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

21．（1）如圖①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于點(diǎn)E、F．試猜想EF、BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由.（2）如圖，若將圖①中∠ACB的平分線改為外角∠ACD的平分線，其它條件不變，則

試卷第3頁，總5頁 剛才的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由.22．（本題8分）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝CD．取BE中點(diǎn)F，連接DF.（1）求證：BD=DE；

（2）延長ED交邊AB于點(diǎn)G，試說明：DG=DF

23．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，D為BC邊上一點(diǎn)，∠DAB=45°．

（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求證：AB=CD．

24．如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的有理數(shù)為﹣6，點(diǎn)B表示的有理數(shù)為6，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度在數(shù)軸上由A向B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B后立即返回，仍然以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）（1）求t=1時(shí)點(diǎn)P表示的有理數(shù)；（2）求點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)的t值；

（3）在點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸由點(diǎn)A到點(diǎn)B再回到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離；（用含t的代數(shù)式表示）

（4）當(dāng)點(diǎn)P表示的有理數(shù)與原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度時(shí)，直接寫出所有滿足條件的t值．

25．計(jì)算：

（1）﹣42×+|﹣2|3×

（2）3a2b﹣[2ab2﹣2（ab﹣26．計(jì)算：a?a2+a5÷a2﹣3a3．）+ab]+3ab2．

試卷第4頁，總5頁 27．已知長方形的長是（a+3b）米，寬是（a+2b）米．求它的周長和面積． 28．計(jì)算：（﹣2x2y3）2﹣x3y4?3xy2．

29．說明代數(shù)式[（x﹣y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷（﹣2y）+y的值，與y的值無關(guān)． 30．如圖，拉機(jī)沿、為相交成度角的兩條公路，在上距點(diǎn)

米有一所小學(xué)，拖方向以每小時(shí)千米的速度行駛，在小學(xué)周圍米范圍內(nèi)會(huì)受到拖拉機(jī)噪音的影響．試問小學(xué)是否會(huì)受到拖拉機(jī)噪音的影響？若受到影響，影響時(shí)間有多長？

試卷第5頁，總5頁

參考答案

1．C 【解析】 【分析】

選項(xiàng)任何一個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根不可能是負(fù)數(shù)，因而方程一定沒有實(shí)數(shù)解；

選項(xiàng)任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定大于或等于零，再加上正數(shù)肯定要大于零，因而方程一定沒有實(shí)數(shù)解；

選項(xiàng)是解分式方程，去分母得到：選項(xiàng)中，【詳解】、、，因而，對(duì)任何實(shí)數(shù)都不能成立，即方程沒有實(shí)數(shù)解；

一定成立，因而方程沒有實(shí)數(shù)解；，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解；，則方程無實(shí)數(shù)解.，因而對(duì)任意實(shí)數(shù)、下列方程有實(shí)數(shù)解的是、故選：.【點(diǎn)睛】，去分母得到：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解；，則方程無實(shí)數(shù)解.本題重點(diǎn)考查了二次根式，絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，以及一元二次方程的根的判斷，分式方程的解法，是一道較為基礎(chǔ)的題目.2．B 【解析】 【分析】

利用角平分線的性質(zhì)求解即可.【詳解】

AD是角平分線，所以CD=DE，①正確.△ACD≌△AED，所以DA平分∠CDE，②正確.又因?yàn)锳C=BC，所以AB=AC+CD，③正確.CDBD，④錯(cuò)誤.CE被AD垂直平分，⑤錯(cuò)誤.所以，正確的個(gè)數(shù)有三個(gè).答案第1頁，總14頁

【點(diǎn)睛】

掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．A 【解析】 【分析】

點(diǎn)到直線的距離垂線段最短.【詳解】

因?yàn)镻到OA的距離為4，所以P到OA的最短距離為4，又因?yàn)镻是角平分線上的點(diǎn)，所以PQ.【點(diǎn)睛】

掌握點(diǎn)到直線的距離垂線段最短是解題的關(guān)鍵.4．D 【解析】 【分析】

找出相等的角即可.【詳解】

如圖易知，△ABE，△ADE，△ADC，△AEC，△ADE，△ABC是等腰三角形，所以共有六個(gè).【點(diǎn)睛】

畫出圖形是解題的關(guān)鍵.5．D

答案第2頁，總14頁

【解析】 【分析】

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.【詳解】

根據(jù)題意易知，到端點(diǎn)距離相等，容易聯(lián)想到垂直平分線，由垂直平分線的性質(zhì)易知D選項(xiàng)正確.【點(diǎn)睛】

掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.6．C 【解析】 【分析】

軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形.【詳解】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義可知，C選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，所以選C.【點(diǎn)睛】

掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.7．B 【解析】 【分析】

根據(jù)積的乘方法則計(jì)算:等于把積中的每一個(gè)因式乘方，再把所得的冪相乘.【詳解】

﹣（﹣2x3y4）4=-(-1)4*x3*4y4*4=﹣16x12y16 【點(diǎn)睛】

本題考查了積的乘方運(yùn)算法則，掌握對(duì)應(yīng)積乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.8．B 【解析】 【分析】

根據(jù)同底數(shù)的除法原則和同底數(shù)冪乘法原則可計(jì)算出.【詳解】

答案第3頁，總14頁

【點(diǎn)睛】

本題考查了學(xué)生對(duì)同底數(shù)冪乘除運(yùn)算法則，熟練掌握法則是本題結(jié)題的關(guān)鍵.9．B 【解析】 【分析】

利用三角形的內(nèi)角和等于180°,求出∠AEB，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得AE=CE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠EAD=∠C，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠AEB=∠EAD+∠C，最后計(jì)算即可得解． 【詳解】 ∵∴∵將△ABC折疊點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴AE=CE，∴∠EAD=∠C，由三角形的外角性質(zhì)得，∠AEB=∠EAD+∠C，∴∴故選:B.【點(diǎn)睛】

考查折疊的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.10．C 【解析】 【分析】

本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能．

答案第4頁，總14頁

【詳解】

A.添加CB=CD,根據(jù)SSS,能判定△ABC≌△ADC，故A選項(xiàng)不符合題意； B.添加∠BAC=∠DAC,根據(jù)SAS,能判定△ABC≌△ADC，故B選項(xiàng)不符合題意； C.添加∠BCA=∠DCA時(shí),不能判定△ABC≌△ADC，故C選項(xiàng)符合題意； D.添加故選：C.【點(diǎn)睛】

考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的5種判定方法是解題的關(guān)鍵.11．21 【解析】 【分析】

可把三角形ABC分成三個(gè)面積求解.【詳解】 ,根據(jù)HL,能判定△ABC≌△ADC，故D選項(xiàng)不符合題意；

易知O是角平分線的交點(diǎn)，且△OBC與△OAB和△OAC的面積分別為BCOD，ABOD，ACOD，所以，三角形ABC的面積為OD(AB+BC+AC)=21.【點(diǎn)睛】

熟記角平分線的性質(zhì)及面積的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.12．15° 【解析】 【分析】

∠EDC=90°–∠ADE.【詳解】

因?yàn)锳D=AE，所以，∠ADE=75°，所以，∠EDC=90°–∠ADE=15°.【點(diǎn)睛】

知道等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13．80°或20° 【解析】

答案第5頁，總14頁

【分析】

分清內(nèi)角是頂角還是底角即可.【詳解】

當(dāng)頂角是80°時(shí)，符合題意；當(dāng)?shù)捉鞘?0°是，頂角是20°，也成立；所以頂角度數(shù)為80°或20°.【點(diǎn)睛】

學(xué)會(huì)分類討論是解題的關(guān)鍵.14．-6 【解析】 【分析】

根據(jù)新運(yùn)算列出方程，求出x，再根據(jù)新運(yùn)算列出算式，求出后代入即可求出答案． 【詳解】

解：∵，∴解得：x=3，∴，=-4x-3（1-x）=-x-3=-3-3=-6．

故答案為：-6． 【點(diǎn)睛】

本題為一個(gè)小型的材料分析題，需要同學(xué)們有一定的閱讀分析能力，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元一次方程．

15．【解析】 【分析】

根據(jù)兩張鐵皮的面積與焊接后的新長方形的面積相等列式，再利用平方差公式和完全平方公式、多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可． 【詳解】

答案第6頁，總14頁

解：原來兩張鐵皮的面積為：（x+2y）（x﹣2y）+[2（x﹣y）]2，=x2-4y2+4x2-8xy+4y2，=5x2-8xy，新鐵皮的寬=面積÷長=（5x2-8xy）÷6x=

．

故答案為：【點(diǎn)睛】 ．

本題主要考查了平方差公式，完全平方公式，多項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則，根據(jù)鐵皮的面積的等量關(guān)系列式比較關(guān)鍵． 16．﹣2 【解析】 【分析】

先發(fā)現(xiàn)完全平方式（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1，進(jìn)而由給出的式子求出答案.【詳解】（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5

①，（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1

②，②—①=2（a﹣2017）（a﹣2018）=—4，（a﹣2017）（a﹣2018）=—2 【點(diǎn)睛】

本題考查多項(xiàng)式求解，解題的關(guān)鍵應(yīng)用完全平方公式.17．﹣216 【解析】 【分析】

根據(jù)乘方的定義運(yùn)算可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】

【點(diǎn)睛】

答案第7頁，總14頁

本題考查了乘方的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化同指數(shù)冪相乘是解題的關(guān)鍵.18．3a2+4ab﹣15b2 【解析】 【分析】

根據(jù)三角形的面積公式和多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算.【詳解】

S=0.5*（2a+6b）*（3a﹣5b）=3a2+4ab﹣15b2 【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)生對(duì)多項(xiàng)式乘法的掌握情況，三角形面積公式是解本題關(guān)鍵.19．﹣1 【解析】 【分析】

根據(jù)平方差公式可以先將本題化簡計(jì)算.【詳解】

2008×2010﹣20092=(2009-1)*(2009+1)=20092-1-20092=-1 【點(diǎn)睛】

本題考查了學(xué)生對(duì)平方差公式的運(yùn)用，將題目進(jìn)行平方差公式化簡是解本題的關(guān)鍵.20．6 【解析】 【分析】

如圖，作輔助線；證明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM與△ADN的面積相等；求出正方形AMCN的面積即可解決問題． 【詳解】

如圖，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)N；

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴四邊形AMCN為矩形，∠MAN＝90°；

答案第8頁，總14頁

∵∠BAD＝90°，∴∠BAM＝∠DAN； 在△ABM與△ADN中，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN（設(shè)為λ）；△ABM與△ADN的面積相等； ∴四邊形ABCD的面積＝正方形AMCN的面積； 由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝2∴2λ2＝12，λ2＝6，故答案為：6． 【點(diǎn)睛】

該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、正方形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形和正方形． 21．見解析 【解析】 【分析】

利用邊角關(guān)系求解即可.【詳解】

(1)因?yàn)镺B，OC分別為∠ABC，∠ACB的角平分線，所以∠EOB=∠EBO=∠OBC，∠FOC=∠FCO=∠OCB，所以BE=EO，OF=FC，所以EF=BE+CF.(2)不成立.因?yàn)镕O=CF,BE=EO，此時(shí)，BE=EF+CF.【點(diǎn)睛】

利用邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22．見解析 【解析】 【分析】

利用邊角關(guān)系求解即可.【詳解】

；

答案第9頁，總14頁

(1)由題意可知2∠DBC=∠DCB，又因?yàn)镈C=CE，所以，∠DCB=2∠E，所以∠E=∠DBC，所以BD=DE.(2)因?yàn)锽D=DE，∠GBD=∠E，∠GDB=∠EDF，所以△EDF≌△BGD，所以DG=DF.【點(diǎn)睛】

利用邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.23．（1）75°（2）見解析 【解析】 【分析】

利用邊相等求解即可.【詳解】

（1）因?yàn)锳B=AC，∠B=30°，所以，∠BAC=120°，又因?yàn)椤螪AB=45°，所以∠DAC=75°.（2）因?yàn)椤螪AC=75°，∠B=∠C=30°，所以∠ADC=75°，所以DC=AC=AB.【點(diǎn)睛】

利用角相等求邊相等是解題的關(guān)鍵.24．（1）點(diǎn)P 所表示的有理數(shù)是﹣3；（2）4（3）當(dāng)點(diǎn)P表示的有理數(shù)與原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度時(shí)，t值的值為1秒或3秒或5秒或7秒 【解析】 【分析】

(1)根據(jù)P點(diǎn)的速度，有理數(shù)的加法，可得答案；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得AB的長度，根據(jù)路程除以速度，可得時(shí)間；(3)根據(jù)分類討論：0≤t≤4，4≤t≤8，速度乘以時(shí)間等于路程，可得答案；

(4)根據(jù)絕對(duì)值的意義，可得P點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系，可得答案． 【詳解】

（1）﹣6+3×1=﹣3，當(dāng)t=1時(shí)，點(diǎn)P所表示的有理數(shù)是﹣3；（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)P所運(yùn)動(dòng)的路程為|6﹣（﹣6）|=12，由路程除以速度得：t=12÷3=4；

（3）點(diǎn)P沿?cái)?shù)軸由點(diǎn)A到點(diǎn)B再回到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離分為兩種情況：

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B前，即0≤t≤4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是3t；

當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B再回到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，即4≤t≤8時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離是：

答案第10頁，總14頁

12-3（t-4）=24﹣3t；

（4）當(dāng)點(diǎn)P表示的有理數(shù)與原點(diǎn)（設(shè)原點(diǎn)為O）的距離是3個(gè)單位長度時(shí)，P點(diǎn)表示的數(shù)是-3或3，則有以下四種情況：

當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A到點(diǎn)O時(shí)：OP=AO﹣3t，即：6﹣3t=3，t=1； 當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O到點(diǎn)B時(shí)：OP=3t﹣AO，即：3t﹣6=3，t=3； 當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B到點(diǎn)O時(shí)：OP=18﹣3t，即：18﹣3t=3，t=5； 當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O到A時(shí)：OP=3t﹣18，即：3t﹣18=3，t=7，即：當(dāng)點(diǎn)P表示的有理數(shù)與原點(diǎn)的距離是3個(gè)單位長度時(shí)，t值的值為1秒或3秒或5秒或7秒． 【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)軸，利用了速度與時(shí)間的關(guān)系，分類討論是解題的關(guān)鍵． 25．（1）-2（2）ab2+ab 【解析】 【分析】

（1）利用有理數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，要注意運(yùn)算順序．其中：-42=-16；|-2|3=8．（2）將原式去括號(hào)后合并同類項(xiàng)得到最簡結(jié)果即可． 【詳解】

（1）原式=﹣16×+8×（=﹣1﹣1 =﹣2．）

（2）原式=3a2b﹣（2ab2﹣2ab+3a2b+ab）+3ab2 =3a2b﹣（2ab2﹣ab+3a2b）+3ab2 =3a2b﹣2ab2+ab﹣3a2b+3ab2 =ab2+ab． 【點(diǎn)睛】

本題考查的是有理數(shù)的運(yùn)算能力以及整式的加減—化簡．在有理數(shù)的運(yùn)算中，要正確掌握運(yùn)算順序，即乘方運(yùn)算（和以后學(xué)習(xí)的開方運(yùn)算）叫做三級(jí)運(yùn)算；乘法和除法叫做二級(jí)運(yùn)算；加法和減法叫做一級(jí)運(yùn)算；在混合運(yùn)算中要特別注意運(yùn)算順序：先三級(jí)，后二級(jí)，再一級(jí)；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的；同級(jí)運(yùn)算按從左到右的順序．整式的加減，其實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)和

答案第11頁，總14頁

合并同類項(xiàng)，其一般步驟為：如果有括號(hào)，那么先去括號(hào)；如果有同類項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)。注意：整式加減的最后結(jié)果中不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能再合并為止． 26．﹣a3 【解析】 【分析】

根據(jù)四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 a?a2+a5÷a2﹣3a3 =a3+a3﹣3a3 =﹣a3． 【點(diǎn)睛】

本題考查整式的加減和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是細(xì)心.27．a(chǎn)2+5ab+6b2 【解析】 【分析】

根據(jù)長方形的周長=2（長+寬），長方形的面積=長×寬，據(jù)此列式計(jì)算.【詳解】

周長=[（a+3b）+（a+2b）]×2 =（2a+5b）×2 =（4a+10b）； 面積=（a+3b）（a+2b）=a2+2ab+3ab+6b2 =a2+5ab+6b2． 【點(diǎn)睛】

本題考查整式的加減和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意.28．x4y6 【解析】 【分析】

根據(jù)冪的乘方與積的乘方以及單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案． 【詳解】

答案第12頁，總14頁

（﹣2x2y3）2﹣x3y4?3xy2=4x4y6﹣3x4y6=x4y6． 【點(diǎn)睛】

本題考查冪的乘方與積的乘方和單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵細(xì)心去括號(hào).29．見解析 【解析】 【分析】

原式中括號(hào)中第一項(xiàng)利用完全平方公式展幵,第二項(xiàng)利用平方差公式化筒,去括號(hào)合并后利用多項(xiàng)式除以単項(xiàng)式法則計(jì)算,合并得到結(jié)果,即可做出判斷.【詳解】

原式=（x2﹣2xy+y2﹣x2+y2）÷（﹣2y）+y =（﹣2xy+2y2）÷（﹣2y）+y =x﹣y+y =x，所以該式的值與y無關(guān)． 【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明白整式的混合運(yùn)算順序和法則則將原式化簡.30．受影響，受影響的時(shí)間為【解析】 【分析】

要判斷是否會(huì)受影響，只需求得點(diǎn)A到ON的最小距離AD，和100比較，即可判斷；如果受影響，則在AD的兩側(cè)一定存在兩點(diǎn)B，C，使AB=AC=100；根據(jù)勾股定理即可求得受影響的路程，進(jìn)一步求得受影響的時(shí)間． 【詳解】

作AD⊥ON于D．

秒．

根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，得AD=OA=80＜100，所以受影響； 設(shè)在點(diǎn)D的兩側(cè)各有一點(diǎn)B，C．

且AB=AC=100，根據(jù)勾股定理得BD=CD=60，則BC=120． ∵18千米/時(shí)=5米/秒，∴受影響的時(shí)間=120÷5=24（秒）．

答案第13頁，總14頁

【點(diǎn)睛】

本題要根據(jù)點(diǎn)到直線的最短距離，進(jìn)行分析判斷是否受噪音的影響；根據(jù)勾股定理求得受噪音影響的路程，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度進(jìn)行計(jì)算．注意：18千米/時(shí)=5米/秒．

答案第14頁，總14頁

第二篇：2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)三角形、全等三角形、軸對(duì)稱、整式的乘法與因式分解中考模擬考試測試題

2018-2019學(xué)年初中數(shù)學(xué)三角形、全等三角形、軸對(duì)稱、整式的乘法與因式分解中考模擬考試測試題

數(shù)學(xué) 2018.3

本試卷共5頁，120分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題 共10小題，每小題3分，共30分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．下列各式中，計(jì)算正確的是（）A． 2x+3y=5xy

B． x÷x=x

C．（﹣2xy）=﹣8xy

D． xy?xy=xy

2．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）3

393

23A．

B．

C．

D．

3．下列運(yùn)算正確的是（）A． 3a-2a=

1B． 2a﹣2=

C．（a-b）2= a2﹣b2

D． 6ab2÷(-2ab)=-3b

4．下列幾何圖形中，一定是軸對(duì)稱圖形的是（）A． 三角形

B． 四邊形

C．平行四邊形

D． 圓 5．分解因式x+4x的結(jié)果是（）

A． x（x+4）

B． x（x+2）（x﹣2）

C． x（x+2）

D． x（x﹣2）6．下列圖案中，是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形的是（）2

23A．

B．

C．

D．

7．下列運(yùn)算正確的是（）

試卷第1頁，總5頁 A． a6÷a2=a3

B． 3a2b﹣a2b=2

C．（﹣2a3）2=4a6

D． 8．有一條直的寬紙帶折疊成如圖所示，則∠1的度數(shù)為（）

A． 50°

B． 65°

C． 70°

D． 75° 9．下列計(jì)算正確的是（）

A． a2+a3=a

5B． a2?a3=a5

C．（2a）2=4a

D．（a2）3=a5

10．如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，以大于EF長為半徑作圓弧，兩條弧交于點(diǎn)G，作射線AG交CD于點(diǎn)H，若∠C=120°，則∠AHD=（）

A． 120°

B． 30°

C． 150°

D． 60°

二、填空題 共10小題，每小題3分，共30分。

11．下列分式化簡運(yùn)算中，每一步運(yùn)算都在后面列出了依據(jù)，所列依據(jù)錯(cuò)誤的是______．（只填寫序號(hào)）

計(jì)算：+

解：原式=①同分母分式的加減法法則

=②合并同類項(xiàng)法則

=③提公因式法

=4④等式的基本性質(zhì)

12．如圖，已知?ABCD的頂點(diǎn)A是直線l上一定點(diǎn)，過點(diǎn)B作BM⊥l于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥l于點(diǎn)N，AM=1，MN=3，則對(duì)角線AC長的最小值為_____．

試卷第2頁，總5頁

13．已知一個(gè)正多邊形有一個(gè)內(nèi)角是144°，那么這個(gè)正多邊形是正_____邊形． 14．如圖，將直尺與含

角的三角尺擺放在一起，若，則的度數(shù)是___.15．分解因式：

____________.16．如圖，兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)靠在一起，BC=3，EF=2，G為DE上一動(dòng)點(diǎn)，把三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)一周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，B，G兩點(diǎn)的最小距離為_____．

17．八邊形內(nèi)角和度數(shù)為_____．

18．等腰三角形的兩邊長為10，12，則頂角的正弦值是_____．

19．如圖，□ABCD中，點(diǎn)E、F在直線BD上，連接AF、CE，不添加任何輔助線，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件_____，使AF=CE（填一個(gè)即可）

20．分解因式：4x2﹣25=_____．

三、解答題 共10小題，每小題6分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

21．化簡：22．如圖，拋物線且.經(jīng)過點(diǎn)，與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式；

試卷第3頁，總5頁（2）點(diǎn)在軸上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在。求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.23．如圖，在正方形ABCD中，CE=CF，求證：△AEF是等腰三角形．

24．（1）解方程：；

（2）解不等式：2x+1≤（x﹣1）25．計(jì)算：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）；

20（2）（x+2）﹣4（x﹣1）

26．天貓網(wǎng)的新時(shí)代書店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種圖書，已知甲種圖書進(jìn)價(jià)比乙種圖書貴4元，用3000元購進(jìn)甲種圖書的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種圖書的數(shù)量相同．（1）甲、乙兩種圖書的單價(jià)分別為多少元？

（2）若甲種圖書每本售價(jià)30元，乙種圖書每本售價(jià)25元，書店欲同時(shí)購進(jìn)兩種圖書共100本，請(qǐng)寫出所獲利潤y（單位：元）關(guān)于甲種圖書x（單位：本）的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，若書店計(jì)劃用不超過1800元購進(jìn)兩種圖書，且甲種圖書至少購進(jìn)40本，并將所購圖書全部銷售，共有多少種購進(jìn)方案？哪一種方案利潤最大？ 27．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)C

試卷第4頁，總5頁 作CF⊥AE于點(diǎn)F，連接BF．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，易證AF﹣CF=BF（不需證明），點(diǎn)E在CB的延長線上，如圖②：點(diǎn)E在BC的延長線上，如圖③，線段AF，CF，BF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

28．如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且BO=OC=3AO．（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

29．先化簡，再求值：，其中a=．

30．長春市綠園區(qū)環(huán)衛(wèi)處在西安大路清掃上安排了A、B兩輛清掃車．A車比B車每小時(shí)多清掃路面6km，若A車清掃路面42km與B車清掃路面 3 5km所用的時(shí)間相同，求B車每小時(shí)清掃路面的長度．

試卷第5頁，總5頁

參考答案

1．C 【解析】 【分析】

各選項(xiàng)一一計(jì)算即可.【詳解】

2x+3y= 2x+3y≠5xy，故A錯(cuò)誤.x6÷x2=x4，故B錯(cuò)誤，x2y?x3y=x5y2，故D錯(cuò)誤.選C.【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算的法則.2．D 【解析】 【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐一進(jìn)行判斷即可得答案.【詳解】

A選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故A選項(xiàng)不符合題意，B選項(xiàng)是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)不符合題意，C選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意，D選項(xiàng)既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故D選項(xiàng)符合題意，故選D.【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形。熟練掌握中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.3．D 【解析】 【分析】

利用合并同類項(xiàng)的法則、負(fù)指數(shù)冪、整式除法、完全平方公式的知識(shí)求解即可求得答案.【詳解】

3a-2a=a，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，答案第1頁，總21頁

2a﹣2=，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，（a-b）2= a2﹣2ab+b2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，6ab2÷(-2ab)=-3b，計(jì)算正確，故選D.【點(diǎn)睛】

本題考查合并同類項(xiàng)、完全平方公式、負(fù)指數(shù)冪及整式除法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.4．D 【解析】 【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義分析即可.一個(gè)圖形的一部分，以某條直線為對(duì)稱軸，經(jīng)過軸對(duì)稱能與圖形的另一部分重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形.【詳解】

三角形、四邊形、平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，圓是軸對(duì)稱圖形，故選D.【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵.5．A 【解析】 【分析】

提取公因式x即可.【詳解】 x3+4x= x（x2+4）.故選A.【點(diǎn)睛】

本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法.因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止.6．C

答案第2頁，總21頁

【解析】 【分析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱的圖形即可解出該題.【詳解】

A.不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.是軸對(duì)稱圖形不是中心對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)正確；D.不是軸對(duì)稱圖形，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱圖形，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是本題解題的關(guān)鍵.7．C 【解析】 【分析】

A、根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算； B、根據(jù)合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行計(jì)算； C、根據(jù)積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算； D、不是同類二次根式，不能合并.【詳解】 A、B、C、.此選項(xiàng)錯(cuò)誤．

此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 此選項(xiàng)正確；

D、不是同類二次根式，不能合并.此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選:C． 【點(diǎn)睛】

此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算以及積的乘方運(yùn)算和二次根式加減運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵． 8．D 【解析】 【分析】

如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDC=∠EFA=30°，∠1+∠BDC=180°，根據(jù)折疊求出

答案第3頁，總21頁

∠EDB=75°，代入求出即可． 【詳解】 ∵AB∥CD，∴

根據(jù)折疊得出∵∴故選:D.【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵． 9．B 【解析】 【分析】

按照合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算、冪的乘方的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】

a2和a3不是同類項(xiàng)，不能合并，A項(xiàng)錯(cuò)誤；a2?a3＝a2＋3＝a5，B項(xiàng)正確；(2a)2＝4a2，C項(xiàng)錯(cuò)誤；(a2)3＝a2×3＝a6，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了整式運(yùn)算的多個(gè)考點(diǎn)，包括合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方的性質(zhì)，需熟練掌握并區(qū)分清楚，才不容易出錯(cuò).10．C 【解析】 【分析】

答案第4頁，總21頁

利用基本作圖可判斷AH為∠CAB的平分線，即∠BAH=∠CAH，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，計(jì)算出∠CAB的度數(shù)，后得到∠BAH的度數(shù)，即可得出答案． 【詳解】

解：由基本作圖可得AH為∠CAB的平分線，即∠BAH=∠CAH，∵AB∥CD，∴∠C+∠BAC=180°，∠AHC=∠BAH，∴∠BAC=180°-∠C=180°-120°=60°，∴∠BAH=∠BAC=30°，∴∠AHC=30°，∴∠AHD=180°-30°=150°． 故答案為：C． 【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及角平分線的作法，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的做法． 11．④ 【解析】 【分析】

根據(jù)分式的加減法法則計(jì)算即可． 【詳解】

①：同分母分式的加減法法則，正確； ②：合并同類項(xiàng)法則，正確； ③：提公因式法，正確，④：分式的基本性質(zhì)，故錯(cuò)誤； 故答案為：④.【點(diǎn)睛】

考查分式的加減法法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.12．5 【解析】

答案第5頁，總21頁

【分析】

當(dāng)C在l上時(shí)，AC長為最短，即AC與l重合時(shí)，AC長為最短，然后求出此時(shí)AC的長.【詳解】

由分析可知，AC與l重合時(shí)，AC長為最短，再求AC的長，有題意可知，∠DNC＝∠AMB＝90°，而DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，而DC＝AB，故△CDN≌△ABM，故AM＝CN＝1,而AC＝AM＋MN＋NC＝1＋3＋1＝5，故答案為5.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的條件，解本題的關(guān)鍵在于了解到何時(shí)對(duì)角線AC長為最短，當(dāng)AC最短時(shí)，求AC的步驟就只需證明全等三角形.13．十 【解析】 【分析】

需先根據(jù)已知條件設(shè)出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)正多邊形的計(jì)算公式得出答案即可.【詳解】

設(shè)這個(gè)正多邊形的正n邊形，根據(jù)題意得：（n－2）×180°÷n＝144°，解得：n＝10，故答案為10.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角，在解題時(shí)要根據(jù)正多邊形的內(nèi)角公式列出式子是本題的關(guān)鍵.14．50 【解析】 【分析】

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠BEF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2的度數(shù)即可.【詳解】 如圖：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，∴∠BEF=∠1+∠F=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50°，答案第6頁，總21頁

故答案為：50° 【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.15．—2m(m+2)(m-2)【解析】 【分析】

提公因式2m，再運(yùn)用平方差公式對(duì)括號(hào)里的因式分解即可.【詳解】 2m3-8m =2m（m2-4）

=2m（m+2）（m-2）． 故答案為：2m（m+2）（m-2）【點(diǎn)睛】

本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，熟練掌握并靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)囊蚴椒纸獾姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵.16．0． 【解析】 【分析】

由∠D=30°，EF=2，可知DE=4，從而在三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)的過程中DE會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B，從而可求出B，G兩點(diǎn)的最小距離為0.【詳解】

∵∠D=30°，EF=2，∴DE=4，∴在三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)的過程中DE會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B，答案第7頁，總21頁

∴B，G兩點(diǎn)的最小距離為0.故答案為：0.【點(diǎn)睛】

本題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，判斷出三角尺DEF繞直角頂點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)的過程中DE會(huì)經(jīng)過點(diǎn)B是解答本題的關(guān)鍵.17．1080°． 【解析】 【分析】

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可.【詳解】

（8-2）×180°=1080°.故答案為：1080°.【點(diǎn)睛】

本題主要考查多邊形的內(nèi)角和公式，n邊形的內(nèi)角和為：(n-2)×180°,熟練掌握多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關(guān)鍵.18．或．

【解析】 【分析】

分兩種情況：腰長為4，底邊為6；腰長為6，底邊為4.運(yùn)用三角函數(shù)定義求解.【詳解】

腰長為10，底邊為12.設(shè)AD＝x，則CD＝10－x，由勾股定理可知：

102－x2＝122－（10－x）2，解得x＝，∴BD＝＝，答案第8頁，總21頁

∴sinA＝＝；

（2）

腰長為12，底邊為10.同理求得AD＝，∴BD＝＝

∴sinA＝＝.故答案為或【點(diǎn)睛】.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握三角形性質(zhì)和解直角三角形是本題解題的關(guān)鍵.19．DF=BE（答案不唯一）【解析】 【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)并結(jié)合全等三角形的判斷方法即可求出本題答案.【詳解】

DF＝BE，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，AD＝DC，∠ADB＝∠CBE，DF＝BE，∴△ADF≌△CBE(SAS), ∴AF＝CE.故答案為DF＝BE.【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題的答案第9頁，總21頁

關(guān)鍵.20．（2x+5）（2x﹣5）【解析】 【分析】

本題沒有公因式，直接應(yīng)用平方差公式進(jìn)行因式分解． 【詳解】 原式故答案為：【點(diǎn)睛】

本題考查因式分解．分解因式時(shí)多項(xiàng)式有兩項(xiàng)時(shí)要考慮提公因式法和平方差公式．一般來說，如果可以提取公因式的要先提取公因式．

21．-

【解析】 【分析】

原式第一項(xiàng)利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母的減法法則計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】 解：原式===﹣ ?﹣

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.22．(1)拋物線解析式為【解析】 【分析】（1）根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知C（0，-3）根據(jù)，可知B（-1，0）利用待定系數(shù)

；（2）

或

；（3），.答案第10頁，總21頁

法求出拋物線的解析式即可.（2）如圖：連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，根據(jù)已知條件得到AF∥x軸，得到F（-1，-3），可知∠BAC=45°，設(shè)D（0，m），則OD=|m|根據(jù)∠BDO=∠BAC=45°，即可得到結(jié)論；（3）設(shè)M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，如圖：過M作ME⊥對(duì)稱軸y于E，AF⊥x軸于F，于是得到△ABF≌△NME，證得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（-2，11）；②以AB為對(duì)角線，BN=AM，BN∥AM，如圖3，則N在x軸上，M與C重合，于是得到結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，.拋物線解析式為

.，（2）連接AC，作BF⊥AC交AC的延長線于F，∵A（2，-3），C（0，-3），∴AF∥x軸，∴F（-1，-3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，設(shè)D（0，m），則OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，-1）；

答案第11頁，總21頁

（3）設(shè)M（a，a2-2a-3），N（1，n），①以AB為邊，則AB∥MN，AB=MN，過M作ME⊥對(duì)稱軸y于E，AF⊥x軸于F，則△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a-1|=3，∴a=4或a=-2，∴M（4，5）或（-2，5）；

②以AB為對(duì)角線，BN=AM，BN∥AM，如圖，則N在x軸上，M與C重合，∴M（0，-3），綜上所述，存在以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，M（4，5）或（-2，5）或（0，-3）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵． 23．見解析 【解析】

答案第12頁，總21頁

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)以及CE=CF可證明△ABE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可求出AE=AF.【詳解】 證明：

∵正方形ABCD中，∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D，∵CE=CF，∴BE=DF，在△ABE與△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形． 【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì).正方形的邊長相等，四個(gè)角是直角；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

24．(1)x=8;(2)x≤﹣.【解析】 【分析】

（1）兩邊都乘以x(x-2)，化為整式方程求解即可，求出x的值后要檢驗(yàn)；（2）按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1的步驟解答即可.【詳解】

解：（1）去分母得：4x﹣8=3x，解得：x=8，經(jīng)檢驗(yàn)x=8是分式方程的解；

答案第13頁，總21頁

（2）去分母得：6x+3≤x﹣1，去括號(hào)得：3(2x+1)≤x﹣1，移項(xiàng)合并得：5x≤﹣4，解得：x≤﹣． 【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程和一元一次不等式的解法，熟練掌握分式方程和一元一次不等式的解題步驟是解答本題的關(guān)鍵.25．(1)4;(2)x+8.【解析】 【分析】

（1）根據(jù)算術(shù)平方根的意義，絕對(duì)值的意義，零指數(shù)冪的意義計(jì)算即可；

（2）先根據(jù)完全平方公式和單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算乘法，然后合并同類項(xiàng)即可.【詳解】

解：（1）（）+|﹣3|﹣（π+2）=2+3﹣1 =4；

（2）（x+2）﹣4（x﹣1）=x+4x+4﹣4x+4 =x+8． 【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)和整式的混合運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)和整式的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.解（2）時(shí)注意，括號(hào)前是“-”號(hào)時(shí)，把括號(hào)去掉后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)都要改變.26．（1）甲圖書的單價(jià)為20元/本，乙圖書的單價(jià)為16元/本；（2）y=x+900；（3）購買方案有11種．利潤最大的方案是：購買甲種圖書50本，購買乙種圖書50本． 【解析】 【分析】

(1)設(shè)甲圖書的單價(jià)為x元／本，則乙圖書的單價(jià)為（x－4）元／本，根據(jù)用3000元購進(jìn)甲種圖書的數(shù)量＝用2400元購進(jìn)乙種圖書的數(shù)量列出方程求解即可.(2)因?yàn)橘徺I甲種圖書x本，則購買乙種圖書（100－x）本，根據(jù)：總利潤＝甲種圖書的總

答案第14頁，總21頁 222

202

利潤＋乙種圖書的總利潤可列函數(shù)關(guān)系式.(3)根據(jù)用不超過1800元購進(jìn)兩種圖書，且甲種圖書至少購進(jìn)40本列出不等式組，解不等式組求出解集從而確定方案，進(jìn)而求出利潤最大的方案． 【詳解】

（1）設(shè)甲圖書的單價(jià)為x元/本，則乙圖書的單價(jià)為（x﹣4）元/本，根據(jù)題意，得： =，解得：x=20，經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的根，則x﹣4=16，答：甲圖書的單價(jià)為20元/本，乙圖書的單價(jià)為16元/本；（2）根據(jù)題意，有：

y=（30﹣20）x+（25﹣16）（100﹣x）=x+900；

（3）根據(jù)題意，得：解得：40≤x≤50，∵x需取整數(shù)，∴x的值可以是：40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，故購買方案有11種． ∵y=x+900，k=1＞0，∴y隨x的增大而增大，∴x取最大值50時(shí)，y有最大值，故購買方案有11種．利潤最大的方案是：購買甲種圖書50本，購買乙種圖書50本． 【點(diǎn)睛】

本題主要考查分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用。27．證明AF=CF+BF．

BF．理由見解析；②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=

BF．理由見解如圖②中，結(jié)論：CF﹣AF=析.【解析】 【分析】

答案第15頁，總21頁

如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH△BCF，即可解決問題.①如圖②中，結(jié)論：CF－AF＝可解決問題.②如圖③中，結(jié)論：CF＋AF＝【詳解】

證明：如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．

BF，只要證明△BAH△BCF，即可解決問題.BF．作BH⊥BF交?F于H．只要證明△BAH△BCF，即

∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=∴AF=CF+BF，BF．

答案第16頁，總21頁

①如圖②中，結(jié)論：CF﹣AF=BF．

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90° ∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．

BF． ②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=

答案第17頁，總21頁

理由：作BH⊥BF交AF于H． ∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180° ∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合，熟悉掌握是關(guān)鍵.28．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由見解析；符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣【解析】 【分析】

（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，在由BO＝OC＝3AO，確定出點(diǎn)B，A的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式.2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況利用兩邊相等建立方程求解即可.【詳解】

（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3，答案第18頁，總21頁 BF．）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）．

∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，（2）存在，理由：設(shè)P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①當(dāng)PB=PC時(shí)，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②當(dāng)PB=BC時(shí)，∴3=，）或P（1，﹣），∴m=±∴P（1，③當(dāng)PC=BC時(shí)，∴3=，答案第19頁，總21頁

∴m=﹣3±∴P（1，﹣3+，）或P（1，﹣3﹣），）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）∴符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P（1，﹣1）或P（1，或P（1，﹣3﹣【點(diǎn)睛】）．

此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的確定方法，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì).29．【解析】 【分析】

先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再把a(bǔ)的值代入進(jìn)行計(jì)算即可． 【詳解】

原式=+?

==+，當(dāng)a=1+【點(diǎn)睛】 時(shí)，原式===．

本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是先化簡再代入計(jì)算.30．B車每小時(shí)清掃路面的長度為30（km）【解析】 【分析】

首先設(shè)B車每小時(shí)清掃路面的長度為xkm，則A車每小時(shí)清掃路面的長度為(x+6)km，根據(jù)“A車清掃路面42km與B車清掃路面 35km所用的時(shí)間相同”列出方程，從而得出答案． 【詳解】

答案第20頁，總21頁

設(shè)B車每小時(shí)清掃路面的長度為x（km），則A車每小時(shí)清掃路面的長度為x+6（km），依題意，得：，解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)x=30符合題意

所以B車每小時(shí)清掃路面的長度為30（km）

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用，屬于中等難度的題型．根據(jù)題意得出等量關(guān)系是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵．

答案第21頁，總21頁

第三篇：初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角

初中數(shù)學(xué)證明三角形全等找角、邊相等的方法

【摘要】“全等三角形的證明”是初中平面幾何的重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中時(shí)有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來說至關(guān)重要。證明三角形全等找角、邊相等是最關(guān)鍵的步驟。如何找對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，做如下總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】全等三角形相等角相等邊

我們?cè)诔踔姓n本上學(xué)過的三角形全等的證明方法有“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，對(duì)于直角三角形還有“HL”。在做題的過程中我們時(shí)常發(fā)現(xiàn)，全等的條件往往隱藏在復(fù)雜的圖形中，要找的條件就是相等的角、相等的邊，初中階段找相等的角、相等的邊有以下幾種情況。

一、相等的角

1、利用平行直線性質(zhì)

兩直線平行的性質(zhì)定理：1.兩直線平行，同位角相等

2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

例、如圖一所示，直線AD、BE相交于點(diǎn)C，AB∥DE，AB=DE

求證：△ABC≌△DBC

此題知道AB∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

∠A=∠D ,∠B=∠E(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

由ASA可證全等。圖一

2、巧用公共角

要點(diǎn)：在證兩三角形全等時(shí)首先看兩個(gè)三角形是不是有公共交點(diǎn)，如果有公共交點(diǎn)，在看他們是否存在公共角。

例、如圖二所示，D在AB上，E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C.求證：△ABE≌△ADC

此題∠A是公共角，利用ASA可證全等。

3、利用等邊對(duì)等角圖二 要點(diǎn)：注意相等的兩條邊一定要在同一個(gè)三角形內(nèi)才能利

用等邊對(duì)等角

例.、如圖三在△ABC中，AB=AC，AD是三角形的中線

求證：△ABD≌△ACD

此題已知AB=AC，由等邊對(duì)等角可得

∠B=∠C.4、利用對(duì)頂角相等圖三 例、已知：如圖四，四邊形ABCD中, AC、BD交于O點(diǎn),AO=OC , BA⊥AC , DC⊥AC．垂足分別為A , C．

求證：AB=CD圖四 此題利用對(duì)頂角相當(dāng)可得∠AOB=∠DOC.利用AAS

可得△AOB≌△COD,再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到

AB=CD5、利用等量代換關(guān)系找出角相等

（1）∠A+公共角=∠B+公共角

例1.已知：如圖五，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB．

由圖形可知：

∠DAE=∠EAC+∠DAC A ∠BAC=∠DAB+∠DAC

因此可得∠DAE=∠BAC圖五

利用SAS可證△EAD≌△CAB

例

2、已知:如圖六,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求證:BD=CE

由圖形可知：

∠DAB=∠BAC-∠DAC

∠EAC=∠DAE-∠DAC

因此可得∠DAB=∠EAC

利用SAS可證△BAD≌△CAE圖六

(2)同角（等角）的補(bǔ)角相等；同角（等角）的余角相等

已知:如圖,∠1=∠2,BC=EF,AC=DE,E、C在直線BF上．

求證:∠A=∠D

由圖形可知：圖七 B

由等角的補(bǔ)角相等可得∠DEC=∠ACE

利用SAS可得△ABC≌△DEF

(3)同角（等角）的余角相等 D

在直角三角形中常用到同角（等角）的余角相等得到相等的角。例：如圖八△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊上的中線，過C作

B圖八 ECF⊥AE, 垂足為F,過B作BD⊥BC交CF的延長線于

D.求證:AE=CD;

由圖形中可以看出：

∠D+∠BCD=90°;∠CAE+∠BCD=90°

由同角的余角相等得到∠D=∠CAE，利用AAS可得△BCD≌△CAE6、結(jié)合旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱圖形的性質(zhì)。

例1．如圖九，把一張矩形的紙ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD?交于點(diǎn)F．圖九

求證：△ABF≌△EDF；

根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)我們可以得到∠A=∠E=90°,利用AAS可以證明△ABF≌△EDF。

二、相等的邊

1、利用等角對(duì)等邊 ADAC

3CB

（注意：必須在同一個(gè)三角形中才能考慮）

例、如圖十，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD

已知∠3=∠4，根據(jù)等角對(duì)等邊可得OB=OC

利用AAS證明出△ABO≌△DCO。

2、利用公共邊相等圖十 A

（若果要證明的兩個(gè)全等三角形有兩個(gè)相同的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么可么馬上得出它們具有公共邊）

D例、如圖十一，已知AB=AC，DB=DC，求證：∠BAD=∠CAD CB由圖形可知AD是△ABD和△ACD的公共邊，利用SSS可得 AB△ABD

≌△ACD

F3、利用等量代換

圖十一 F

AB+公共邊=DE+公共邊

例，如圖十二：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：∠B=∠C

E圖中：BE=BF+EF;CF=CE+EF.因此可以得到BE=CF

利用SSS可證△ABE≌△DCF因此得到∠B=∠C CD4、利用線段中點(diǎn)或三角形中線定理，或者等邊三角形的性質(zhì)

例、如圖十三：∠B=∠C，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足

圖十二

分別為E、F，M是BC的中點(diǎn)。求證：ME=MF

M是BC的中點(diǎn)，則可以得到BM=CM;利用AAS可得△BME≌△CMF

C例題、如圖十四，△ABE和△ACF是等邊三角形，求證：CE=BF圖十三 F △ABE和△ACF是等邊三角形，則AE=AB，AC=AF

∠EAC=∠BAE+∠BAC;∠BAF=∠CAF+∠BAC.則∠EAC=∠BAF

那么△AEC≌△ABF,則可得CE=BF

C

圖十四

5、利用三角形角平分線定理

（三角形角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）

注意、必須是角平分線上的點(diǎn)

例題、如圖十五，在ΔABC中，AD平分∠BAC，DE垂直AB,DF垂直AC,垂足分別為E、F。求證：AE=AF

AD平分∠BAC, DE垂直AB,DF垂直AC,則根據(jù)角平分線

性質(zhì)可得到DE=DF，那么Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）

則可得到AE=AF

圖十五 例題、已知：如圖十六，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD

于M，?PN⊥CD于N，判斷PM與PN的關(guān)系．

A由題意知△ABD≌△CBD(SAS)可得BD也是∠AD的角平分線，PM⊥AD，PN⊥CD，由角平分線的性質(zhì)

可得PM=PN

全等三角形的證明是初中數(shù)學(xué)幾何證明中最重要的一部分，是證明線段相等和角相等最常用的方法。結(jié)合全等三角形的判定，全等的條件一般隱藏在已知當(dāng)中，以上是證明全等隱藏條件的方法總結(jié)。

第四篇：[初中數(shù)學(xué)]三角形全等的條件教案5 浙教版

課題：11．2 三角形全等的條件(1)

教學(xué)目標(biāo)

①經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程． ②掌握三角形全等的“邊邊邊”條件，了解三角形的穩(wěn)定性． ③通過對(duì)問題的共同探討，培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作精神． 教學(xué)難點(diǎn)

三角形全等條件的探索過程．

一、復(fù)習(xí)過程，引入新知

多媒體顯示，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)全等三角形的定義及其性質(zhì)，從而得出結(jié)論：全等三角形三條邊對(duì)應(yīng)相等，三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等．反之，這六個(gè)元素分別相等，這樣的兩個(gè)三角形一定全等．

二、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

根據(jù)上面的結(jié)論，提出問題：兩個(gè)三角形全等，是否一定需要六個(gè)條件呢?如果只滿足上述六個(gè)條件中的一部分，是否也能保證兩個(gè)三角形全等呢? 組織學(xué)生進(jìn)行討論交流，經(jīng)過學(xué)生逐步分析，各種情況逐漸明朗，進(jìn)行交流予以匯總歸納．

三、建立模型，探索發(fā)現(xiàn)

出示探究1，先任意畫一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'，滿足上述條件中的一個(gè)或兩個(gè)．你畫出的△A'B'C'與△ABC一定全等嗎? 讓學(xué)生按照下面給出的條件作出三角形．(1)三角形的兩個(gè)角分別是30°、50°．(2)三角形的兩條邊分別是4cm，6cm．

(3)三角形的一個(gè)角為30°，—條邊為3cm．

再通過畫一畫，剪一剪，比一比的方式，得出結(jié)論：只給出一個(gè)或兩個(gè)條件時(shí)，都不能保證所畫出的三角形一定全等．

出示探究2，先任意畫出一個(gè)△A'B'C'，使A'B'＝AB，B'C'＝BC，C'A'＝CA，把畫好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐? 讓學(xué)生充分交流后，在教師的引導(dǎo)下作出△A'B'C'，并通過比較得出結(jié)論：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

四、應(yīng)用新知，體驗(yàn)成功

實(shí)物演示：由三根木條釘成的一個(gè)三角形的框架，它的大小和形狀是固定不變的． 鼓勵(lì)學(xué)生舉出生活中的實(shí)例．

給出例l，如下圖△ABC是一個(gè)鋼架，AB＝AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架，求證△ABD≌△ACD．

ABDC

讓學(xué)生獨(dú)立思考后口頭表達(dá)理由，由教師板演推理過程．

例2 如圖是用圓規(guī)和直尺畫已知角的平分線的示意圖，作法如下：

①以A為圓心畫弧，分別交角的兩邊于點(diǎn)B和點(diǎn)C；

②分別以點(diǎn)B、C為圓心，相同長度為半徑畫兩條弧，兩弧交于點(diǎn)D； ③畫射線AD．

AD就是∠BAC的平分線．你能說明該畫法正確的理由嗎? 例3 如圖四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，你能把四邊形ABCD分成兩個(gè)相互全等的三角形嗎?你有幾種方法?你能證明你的方法嗎?試一試．

ABDC

五、鞏固練習(xí)

教科書的思考及練習(xí)．

六、反思小結(jié)

回顧反思本節(jié)課對(duì)知識(shí)的研究探索過程、小結(jié)方法及結(jié)論，提煉數(shù)學(xué)思想，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律．

七、布置作業(yè)

1．必做題：教科書習(xí)題11．2中的第1、2題． 2．選做題：教科書第9題．

第五篇：全等三角形在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用論文

曲靖師范學(xué)院

本科生畢業(yè)論文

論文題目: 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

作者、學(xué)號(hào)：李發(fā)蝌 2011111233 學(xué)院、年級(jí)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011級(jí) 學(xué)科、專業(yè)：數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指 導(dǎo) 教 師：羅紅英

完 成 日 期：2015年5月20日

曲靖師范學(xué)院教務(wù)處 全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要

“全等三角形的證明”是在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要內(nèi)容之一，是研究圖形性質(zhì)的基礎(chǔ)，而且在近幾年的中考中都有出現(xiàn)，新課標(biāo)的要求是“探索并掌握兩個(gè)三角形全等的條件”，因此掌握三角形全等的證明及運(yùn)用方法對(duì)初中生來說至關(guān)重要。其證明方法繁多，技巧性強(qiáng)，有一定的通法，所以研究范圍極廣，難度極大．論文整理和歸納了全等三角形證明的步驟及其注意事項(xiàng)，分別列舉了幾種常用的全等三角形的證明方法，讓每一種方法兼有理論與實(shí)踐性．旨在使學(xué)生對(duì)全等三角形證明及其應(yīng)用問題有一個(gè)較為深入的了解，進(jìn)而在解決相關(guān)全等三角形問題時(shí)能融會(huì)貫通、舉一反三，達(dá)到事半功倍的效果，同時(shí)為從事教育的工作者提供參考．

關(guān)鍵詞：全等三角形；初中數(shù)學(xué)；方法；應(yīng)用

Prove congruent triangles used in in junior high school

mathematics

Abstract：“Entire and so on the triangle proofs” are account for one of important contents in the junior middle school mathematics plane geometry, is studies the graph nature the foundation, moreover tests in recent years all has the appearance, the new class sign request is “explores and grasps two triangles entire and so on the condition”, therefore the grasping triangle entire and so on the proof and said since birth using the method to the junior middle school very important.Its proof method is many, skillful, has certainly certainly passes the law, therefore the research scope is extremely broad, the difficulty is enormous.The paper reorganized and has induced entire and so on the triangle proof steps and the matters needing attention, has enumerated several kinds separately commonly used entire and so on the triangle proof methods, let each method have at the same time the theory and the practicality.Is for the purpose of making the student to entire and so on the triangles to prove and the application question has a more thorough understanding, then is connected entire when the solution and so on the triangle questions can achieve mastery through a comprehensive study of a subject, extrapolate, achieved the twice the result with half the effort effect, simultaneously for the worker who is engaged in the education provides the reference.Key word: Entire and so on triangles;Junior middle school mathematics;Method;Using

目 錄

1引言 ??????????????????????????????????1 2文獻(xiàn)綜述 ????????????????????????????????1 2.1國內(nèi)研究現(xiàn)狀 ?????????????????????????????1 2.2國內(nèi)研究現(xiàn)狀評(píng)價(jià) ???????????????????????????2 2.3提出問題 ???????????????????????????????2 3證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng) ???????????????????2 3.1全等三角形的知識(shí)梳理 ????????????????????????2 3.2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)????????????????????4 4證明全等三角形的構(gòu)造法?????????????????????????4 4.1構(gòu)造全等三角形的常用方法?????????????????????5 4.1.1截長補(bǔ)短法?????????????????????????????5 4.1.2平行線法??????????????????????????????6 4.1.3旋轉(zhuǎn)法?????????????????????????????6 4.1.4倍長中線法?????????????????????????????7 4.1.5翻折法?????????????????????????????8 4.2由角平分線構(gòu)造全等三角形???????????????????????8 4.3添加輔助線構(gòu)造全等三角形???????????????????????9 4.3.1直接證明線段（角）相等????????????????????????9 4.3.2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等?????????????????10 4.3.3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系???????????????13 5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用???????????????????14 6總結(jié)??????????????????????????????????18 6.1主要發(fā)現(xiàn)???????????????????????????????19 6.2啟示?????????????????????????????????19 6.3局限性????????????????????????????????19 6.4努力方向???????????????????????????????19 參考文獻(xiàn) ????????????????????????????????20

1引言

“全等三角形”是初中數(shù)學(xué)階段的“圖形與幾何”中的重要內(nèi)容之一，它不僅是研究平面幾何相關(guān)問題的重要工具,而且還是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí).然而，全等三角形的性質(zhì)是推理線段相等和角相等的重要手段之一.每年各地的中考題中都會(huì)有“全等三角形”的內(nèi)容,考試題目常以直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、特殊四邊形為背景,主要考查線段相等、角相等的證明、線段長度的計(jì)算、面積的計(jì)算等.常考的題型有填空題、選擇題和解答題.這部分試題的難度通常不大,多以中低檔題為主，約占總分值的4%至11%.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)全等三角形的要求是讓學(xué)生掌握基本的推理技能，從圖形變換中建立空間觀念，嘗試用不同角度的方法來解決問題，發(fā)展幾何直覺，通過觀察、實(shí)踐、歸納、類比、推斷、驗(yàn)證獲得數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性.對(duì)于全等三角形的研究，實(shí)際是平面幾何中對(duì)封閉的兩個(gè)圖形之間聯(lián)系研究的第一步，它是兩三角形間最簡單、最常見的關(guān)系.“全等三角形的證明”條件是學(xué)生在認(rèn)識(shí)三角形的基礎(chǔ)上，在了解全等圖形和全等三角形以后進(jìn)行學(xué)習(xí)的.它既是前面所學(xué)知識(shí)的延伸與拓展，又是后繼學(xué)習(xí)探索相似三角形的條件的基礎(chǔ)，并且是用以說明線段相等、兩角相等的重要依據(jù).因此，它具有承上啟下的作用,同時(shí)，人教版教材里敘述了證明全等三角形的四種方法，分別是“邊邊邊”、“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”，還有一種特殊的方法是在直角三角形中“斜邊和一條直角邊”，它們用特定的字母表示為“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”,主要將“邊角邊”這一識(shí)別方法作為五個(gè)基本判定之一，對(duì)全等三角形證明的學(xué)習(xí)有基礎(chǔ)作用.2 文獻(xiàn)綜述

2．1國內(nèi)研究現(xiàn)狀

國內(nèi)許多專家、學(xué)者研究過全等三角形的證明方法.全等三角形的證明一直在初中數(shù)學(xué)平面幾何中占重要位置，然而，近幾年它獲得了廣大人民群眾的關(guān)注.劉建東在文[1]中編著了以構(gòu)造全等三角形來探究不等式的證明，形象的寫出了全等三角形的作用及其應(yīng)用.同年，好未來研發(fā)中心在文[2]研發(fā)了添加了輔助線的添加方法，全等三角形的用處多，并配合人教社教材八年級(jí)數(shù)學(xué)敘述了不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)“邊角邊”這一全等三角形的識(shí)別方法，更主要地是要讓學(xué)生掌握研究問題的方法，初步領(lǐng)悟分類討論的數(shù)

學(xué)思想.同時(shí)，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活的基本事實(shí)，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.楊曉軍在文[3]中精選了有關(guān)全等三角形的中考題進(jìn)行解析，讓同學(xué)們找到中考復(fù)習(xí)方向，引領(lǐng)學(xué)生成功中考.林偉杰在文[4]全析了全等三角形的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用.劉申強(qiáng)在文[5]中編著了全等三角形在生活中的應(yīng)用，從生活中的不同角度研究了全等三角形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的美.黎強(qiáng)在文[6]提出了《全等三角形》的教學(xué)構(gòu)想，指出了如何確定教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重難點(diǎn).喻俊鵬在文[7]中，編著了全等三角形的易錯(cuò)題，并結(jié)合實(shí)例列舉了初中數(shù)學(xué)中全等三角形的若干案例，分析出了學(xué)生在有關(guān)全等三角形的證明解題過程中存在的各種問題.劉玉東、董云霞、查貴賓在文[8]、[9]、[10]中探討了構(gòu)造全等三角形的方法與技巧.張文國在文[11]中總結(jié)了全等三角形的創(chuàng)新題，讓讀者以創(chuàng)新思維思考全等三角形的證明.保明華在文[12]中討論了全等三角形中考探索題，讓學(xué)生感受證明全等三角形的探索性和創(chuàng)新性，并且輔導(dǎo)學(xué)生掌握全等三角形的證明的方法.李懷奎在文[13]中指出如何對(duì)基本圖形的認(rèn)識(shí)來找全等三角形，從基本的圖形認(rèn)識(shí)開始發(fā)現(xiàn)全等三角形.解廣義在文[14]中進(jìn)行了全等三角形的教學(xué)設(shè)計(jì)，生動(dòng)形象的設(shè)計(jì)了全等三角形證明的教學(xué)過程.姜彰全,吳穎二人在文[15]中講解了如何巧證全等三角形，淋漓盡致地寫出了全等三角形的證明技巧.2．2國內(nèi)研究評(píng)價(jià)

從查到的國內(nèi)文獻(xiàn)來看，國內(nèi)研究者對(duì)全等三角形的證明方法介紹了很多，文獻(xiàn)[1-15]分別全等三角形的性質(zhì)、不同證明方法及應(yīng)用作了論述，文獻(xiàn)中闡述一種或幾種全等三角形的證明方法，一些文獻(xiàn)寫理論較多，一些文獻(xiàn)寫例子較多，理論很少，而且許多方法有名稱不一而本質(zhì)一樣的情形，如構(gòu)造法在形式上都是根據(jù)三角形的性質(zhì)來進(jìn)行分解求解的，但不同的圖形有不同的構(gòu)造方法，所以，有必要重新整理和歸納全等三角形證明方法，讓每一種方法兼具理論與實(shí)踐性.2．3提出問題

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性，而且全等三角形的證明歷來是中學(xué)特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn).因此，在前人研究全等三角形的證明方法的基礎(chǔ)上，試圖完整地整理出常用的幾類方法，使之系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上探尋新的證明方法.證明全等三角形的知識(shí)梳理及注意事項(xiàng)

3．1全等三角形知識(shí)梳理

定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形稱為全等三角形（注：相似三角形的特殊情況是全等三角形）.當(dāng)兩個(gè)三角形完全重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.所以，可以得出：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.(1)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；(2)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；(3)有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；(4)有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角；(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角； 三角形全等的判定公理及推論

1、三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡稱“邊邊邊”或“SSS”)，這一條說明了三角形具有穩(wěn)定性.2、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“邊角邊” 或“SAS”).3、有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角邊角” 或“ASA”).4、有兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(“角角邊” 或“AAS”).5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(“斜邊，直角邊” 或“HL”).所以SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理.注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀.【A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)】

全等三角形的性質(zhì)

1、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等.2、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角平分線相等.4、全等三角形的對(duì)應(yīng)中線相等.5、全等三角形面積相等.6、全等三角形周長相等 [1].3．2證明全等三角形的步驟及注意事項(xiàng)

如何學(xué)好全等三角形的證明呢？這就要小步走，勤思考，進(jìn)行由易到難的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)由實(shí)（題目已有現(xiàn)成圖形）到虛（要自己畫圖形或需要添加輔助線）、由模仿證明到獨(dú)立推理的升華.具體可分為三步走： 第一步，學(xué)會(huì)解決只證一次全等的簡單問題，重在模仿.這期間要注意課本例題證明的模仿，使自己的證明語言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)，過程簡練.證明兩個(gè)三角形全等，一定要寫出在哪兩個(gè)三角形，這既為以后在復(fù)雜圖形中有意識(shí)去尋找需要的全等三角形打下基礎(chǔ)，更方便批閱者；同時(shí)要注意頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，以防對(duì)應(yīng)關(guān)系出錯(cuò)；證全等所需的三個(gè)條件，條件不明顯的要先證明，最后用大括號(hào)括起來；每一步要填注理由，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.通過訓(xùn)練一段時(shí)間，對(duì)證明方向明確、內(nèi)容變化少的題目，要能熟練地獨(dú)立思考證明，切實(shí)邁出堅(jiān)實(shí)的第一步.第二步，能在一個(gè)題目中用兩次全等證明過渡性結(jié)論和最終結(jié)論，學(xué)會(huì)分析.在學(xué)習(xí)等腰三角形全等、直角三角形時(shí)逐步加深難度，學(xué)會(huì)一個(gè)題目中證兩次全等，特別要學(xué)會(huì)用分析法有條不紊地尋找證題途徑，分析法目的性強(qiáng)，條理清楚，結(jié)合綜合法，能有效解決較復(fù)雜的題目.同時(shí)，這時(shí)的題目一般都不只一種解法，要求一題多解，比較優(yōu)劣，總結(jié)規(guī)律.第三步，學(xué)會(huì)命題的證明，掌握添加輔助線的常用方法.命題的證明可全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言（包括圖形語言）的運(yùn)用能力，則在已知和未知間架起一座溝通的橋梁就要用到輔助線，這都有一定的難度，切勿前功盡棄，放松努力.同時(shí)要熟悉一些基本圖形的性質(zhì)，如“角平分線＋垂直＝全等三角形”.證明全等不外乎要邊等、角等的條件，因此在平時(shí)學(xué)習(xí)中就要積累存在或可推出邊等（或線段等）、角等的情況.應(yīng)用起來自然會(huì)得心應(yīng)手.4 證明全等三角形的構(gòu)造法

所謂構(gòu)造法，就是指通過分析條件和結(jié)論充分細(xì)致，抓住問題的特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素，聯(lián)想熟知的數(shù)學(xué)模型，然后變換命題，以此架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問題得以解決的數(shù)學(xué)思考方法.構(gòu)造法本質(zhì)上是化歸思想的運(yùn)用，但它常常表現(xiàn)出精巧、簡捷、明快、新穎等特點(diǎn)，使數(shù)學(xué)解題突破常規(guī)，具有很強(qiáng)的創(chuàng)造性.4．1構(gòu)造全等三角形的常用方法

截長補(bǔ)短法、平行線法（或平移法）、旋轉(zhuǎn)法、倍長中線法、翻折法.4．1．1 截長補(bǔ)短法（通常用來證明線段和差相等）

“截長法”即根據(jù)已知條件把結(jié)論中最大的線段分成兩段，使其中一段與較短線段相等，然后證明余下的線段與另一條線段相等的方法．“補(bǔ)短法”為把兩條線段中的一條接長成為一條長線段，然后證明接成的線段與較長的線段相等，或是把一條較短的線段加長，使它等于較長的一段，然后證明加長的那部分與另一較短的線段相等.例1 如圖（1）已知：正方形ABCD中，?BAC的平分線交BC于E，求證：

AB?BE?AC.簡析：圖中沒有直接給出與問題有關(guān)的全等三角形，所以要延長一條直線，構(gòu)造出全等三角形，根據(jù)角相等證明出三角形是等腰三角形，然后利用轉(zhuǎn)換思想BE?BF，就可以證明出結(jié)果.證明:延長AB至F使AF?AC ∵AE是?CAB的平分線 ∴?FAE??CAE 在?FAE和?CAE中 ∵AF?AC ∵?FAE??CAE ∵AE?AE

∴?FAE??CAE(SAS)

∴?EFA??ECA?45? ∴?BFE是等腰直角三角形 ∴BE?BF

∴AF?AB?BF?AB?BE ∴AB?BE?AC

小結(jié)：線段的和差問題常常借助于全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，將不在一條直線的兩 5

條（或幾條）線段轉(zhuǎn)化到同一直線上．證明一條線段等于另兩條線段之和（差）常見的方法是：延長其中一條短線段，在上面上截取另一條短線段，再證明它們與長線段相等，這種方法叫“補(bǔ)短法”．在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下的線段等于另一條短線段，這種方法叫“截長法”．證明兩條線段的和（差）等于另一條線段的常用方法就是這兩種．

4．1．2平行線法（或平移法）

若題目中含有中點(diǎn)可以試過中點(diǎn)作平行線或中位線（平行且等于第三邊的一半），對(duì)直角三角形,有時(shí)可作出斜邊的中線．

例2 如圖，在?ABC中，?BAC?60?，?C?40?,AP平分?BAC交BC于點(diǎn)P，BQ平分?ABC交AC于Q，求證:AB?BP?BQ?AQ

圖（3）

說明:(1)本題可以在AB截取AD?AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長補(bǔ)短法"．

(2)本題利用“平行線法”的解法較多，舉例如下：

① 如圖（2），過O作OD//BC交AC于D，則證明?ADO??ABO解決． ② 如圖（3），過O作DE//BC交AB于D，交AC于E，則證明?ADO??AQO和?ABO??AEO解決．

③ 如圖（4），過P作PD//BQ交AB的延長線于D，則需證明?APD??APC解決． ④ 如圖（5），過P作PD//BQ交AC于點(diǎn)D，則只需證明?ABP??ADP解決． 4．1．3旋轉(zhuǎn)法

對(duì)題目中出現(xiàn)相等的線段有一個(gè)公共端點(diǎn)時(shí)，可嘗試用旋轉(zhuǎn)法來構(gòu)造全等三角形 例3 如圖，設(shè)點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)任一點(diǎn)，試比較線段PA與PB?PC的大小．

圖（6）

簡析：題目雖然短，但涉及到的知識(shí)點(diǎn)很多．由于?ABC是等邊三角形，所以可以將?ABP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60?到?ACP?的位置（用到等量代換），連結(jié)PP?，則?ACP???ABP(SAS)，所以AP??AP，CP??BP，則?APP?是等邊三角形，即PP??PA，在?CPP?中，因?yàn)镻P??PC?P?C，所以PA?PB?PC．

說明：由于圖形旋轉(zhuǎn)的前后，只是變化了位置，而大小和形狀都沒有改變，所以對(duì)于等邊三角形、正方形等特殊的圖形我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法構(gòu)造全等三角形解題． 4．1．4倍長中線法

題目中若條件有中線，可將其延長一倍，以構(gòu)造新的全等三角形，從而使分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)．

例4 如圖，在?ABC中，AD是它的中線，作BE交AD于點(diǎn)F，使AE?EF． 說明線段AC與BF相等的理由．

圖（7）

簡析： 由于AD是?ABC中線，于是可延長中線AD到G，使DG?AD，連結(jié)BG，則 在?ACD和?GBD中，AD?GD，?ADC??GDB，所以?ACD??GBD(SAS)，則AC?GB，?BFG??G，而AE?EF，所以?CAD??AFE，又因?yàn)?AFE??BFG，所以?BFG??G，BF?BG，即AC?BF．

說明 ：要說明線段或角相等，通常的思路是說明它們所在的兩個(gè)三角形全等，而 7

遇到中線時(shí)又通常通過延長中線來構(gòu)造全等三角形． 4．1．5翻折法

若題設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對(duì)稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形．

例5 如圖，已知：在?ABC中，?A?45?，AD?BC，如果BD?4，DC?3，求?ABC的面積．

圖（8）

解：以AB為軸將?ABD翻轉(zhuǎn)180o，得到與它全等的?ABE，以AC為軸將?ADC翻轉(zhuǎn)180o，得到 與它全等的?AFC，EB、FC延長線交于G，易證四邊形AEGF是正方

t?BGC形，設(shè)它的邊長為?，則BG???4，CG???3，在R中，(??4)2?(??3)2?52,解得??8，則AD?6，所以S?ABC?5?8?20． 2說明：當(dāng)從題目已知中不能直接明確的求出問題時(shí)，我們可以從一般圖形通過翻轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥獾膱D形，用簡便的方法求解，變換可以有一步或幾步．

4．2由角平分線構(gòu)造全等三角形

不管是兩個(gè)圖形軸對(duì)稱還是軸對(duì)稱圖形，我們都不難發(fā)現(xiàn)軸上一點(diǎn)（此點(diǎn)作為頂點(diǎn)）與對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成的角被軸平分，方便我們?cè)谧鲱}中如果遇到角平分線我們就會(huì)聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對(duì)稱（全等），從而把線段、角轉(zhuǎn)移達(dá)到解題目的．

例6 如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BC，?DBC?45?，翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕分別交AB、BC于點(diǎn)F、E．若AD?4，BC?10．求BE的長．

圖（9）

圖（10）

解：由題意得

根據(jù)翻折重合，得?BFE??DFE，∴ DE?BE

在?BDE中，DE?EB，且?EBD?45?∴ ?EDB??EBD?45?

∴ ?BED?90?，即BC?DE，在等腰梯形中，AD=4，BC=10，過A作BC?AG，交BC于G，如圖（10），四邊形AGED是矩形∴ GE?AD?

4在Rt?ABG和RtRt?DCE中，DC?AB，DE?AG

∴Rt?ABG?Rt?DCE(HL)，∴ BG?CG∴CE?∴BE?6．

說明：由角平分線構(gòu)造全等三角形，這類題是很簡單的，可以根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，就構(gòu)造出直角三角形，進(jìn)而對(duì)稱軸就是公共邊，就可以用HL證明全等三角形.1?BC?AD??4 24．3添加輔助線構(gòu)造全等三角形

在證明幾何圖形題目的過程中，通常需要先通過證明全等三角形來研究轉(zhuǎn)移線段或角，或者兩條線段或角的相等關(guān)系。但有些時(shí)候，這樣要證明的全等三角形在題設(shè)中，并不是十分明顯。針對(duì)這樣的題型我們需要通過添加輔助線，構(gòu)造出全等三角形，進(jìn)而就可以證明所需的結(jié)論.在這里，我嘗試通過幾個(gè)典型例題讓大家了解添加輔助線構(gòu)造全等三角形的方法.當(dāng)然這些例題體現(xiàn)了添加輔助線的方法是從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般，研究線段的長短關(guān)系是體現(xiàn)了從不相等到相等的遞進(jìn)關(guān)系[2].注意：添加的輔助線都是用虛線表示.4．3．1直接證明線段（角）相等

例7 如圖，已知AB?AD，CB?CD，(1)求證：?B??D；(2)若AE?AF，試猜想CE與CF的大小關(guān)系.如圖（11）

簡析：第（1）小問考慮到在沒有學(xué)習(xí)等腰三角形的時(shí)候，要證明兩個(gè)角相等，經(jīng)常需要證明它們所在的兩個(gè)三角形全等。本題要證明?B??D．在題目的已知條件中明顯缺少全等的三角形，我們就要想到添加輔助線連結(jié)AC后，以AC作為公共邊，根據(jù)題目的已知條件可以看出?ABC??ADC，進(jìn)而就證明?B??D.如果在學(xué)習(xí)等腰三角形的知識(shí)后還可以連結(jié)BD，通過說明等邊對(duì)等角，再用角的等量代換關(guān)系得到?B??D更加簡單.第（2）小問猜想CF?CE，在連結(jié)AC證明?ABC??ADC后，得到?CAE??CAF，再證明?CAE??CAF，進(jìn)而證明EC?FC.如何添加輔助線：方法1添加輔助線，連結(jié)AC，證明?ABC??ADC，進(jìn)而?B??D.BD??CDB方法2添加輔助線連接BD，因?yàn)锳B?AD，所以，?ABD??ADB．即?C，?ABD??CBD??ADB??CDB，即?B??D.又因?yàn)锽E?DF，CB?CD,故?BCE??CDF，進(jìn)而CE?CF.小結(jié)：通過例7我們初步體會(huì)添加輔助線的必要性，例7的兩個(gè)小問的簡析，從添加輔助線證明一次全等三角形得角相等，然后到添加輔助線證明二次全等三角形得線段相等，我們可以感覺到問題層次的遞進(jìn).特別是例7(1)中如果B、C、D共線的時(shí)候可以得到等邊對(duì)等角的結(jié)論，為第（2）問做鋪墊.4．3．2轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段相等

例8 如圖，已知AD是?ABC的中線，且BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且EA?EF.求證：AC?BF.圖（12）

簡析：要證AC?BF，我們可以把線段AC、BF轉(zhuǎn)移到它們所在的三角形中，然后證明這兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有直觀的給出含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形圖形，但我們可以根據(jù)題目條件的去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不是太容易，這時(shí)我們就要重新思考一條出路，想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，這時(shí)能夠把兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，我們只要說明轉(zhuǎn)移在同一個(gè)三角形后的這兩條線段

所對(duì)的角相等就可以了.BF，簡析：思路1 以?ACD為基礎(chǔ)三角形，來轉(zhuǎn)移線段AC、使這兩條線段在?BFH中.法一：延長AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH，再證明?ACD和?HBD全等，可得AC?BH.通過證明?DHB??HFB，就可得到BF?BH.圖（13）

證明：添加輔助線延長AD到H，使HD?AD，連結(jié)BH

∵ D是BC中點(diǎn)

∴ BD?CD

在△?ACD和?BDH中

?DH?AD???B DH

??ADC?BD?CD?

∴ ?ACD??BDH(SAS)

∴ AC?BH，?DHB??HFB

∵ AE?EF

∴ ?EAH??EFA

又∵?BFH??AFE

∴ BH?BF

∴ AC?BF

法二：可以過點(diǎn)B作BH平行AC與AD的延長線相交于點(diǎn)H，證明?ACD和?BDH全等.小結(jié)：對(duì)于含有中線的全等三角形問題，可以通過“倍長中線”法得到兩個(gè)全等三 11

角形.但是過一點(diǎn)作己知直線的平行線，可起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到構(gòu)造全等三角形的作用.思路2 以?BFD為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在兩個(gè)全等三角形中.法三：添加輔助線延長FD至H，使HD?FD，然后連結(jié)HC，證明?HDC和?FDB全等.圖（14）

證明：延長FD至H，使HD?FD，連結(jié)HC

∵D是BC中點(diǎn)

∴ BD?CD

在?HDC和?FDB中

?FD?HD???ADB??HDC ?BD?CD?

∴ ?HDC??CHD(SAS)

∴ ?H??CAH

∵ AE?FE

∴ ?HAC??AFE

又∵?AFE??BFH

∴ ?H??HAC

∴ CH?CA

∴ AC?BF

法四：過點(diǎn)C作CH平行FB與AD的延長線相交于點(diǎn)H，證明△?HDC和△FDB全等.小結(jié)：通過添加輔助線的方法一題多解，我們可以體會(huì)到添加輔助線目的在于構(gòu)造 12

全等三角形.而從不同途徑來可以有不同的添加方法，實(shí)際是實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移體會(huì)構(gòu)造全等三角形在線段轉(zhuǎn)移中的地位.從變換的觀念可以看到，不論是作平行線法還是倍長中線法，實(shí)質(zhì)都是一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的三角形旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等.熟悉法

一、法三“倍長中線”法的輔助線所用到的基本圖形“八字型”和“倍長中線”兩種基本添加輔助線方法，倍長中線，或者倍長過中點(diǎn)的一條線段以后的對(duì)于解決含有過中點(diǎn)線段的證明全等三角形的方法有技巧可尋.圖（15）

4．3．3轉(zhuǎn)移線段到一個(gè)三角形中證明線段不等關(guān)系

例9如圖，已知AD是?ABC的中線，求證：AB?AC?2AD.簡析：用例8的輔助線的添加方法，學(xué)會(huì)識(shí)別基本圖形，并利用它們?nèi)ソ鉀Q不等關(guān)系的問題.AB、AC、2AD不在同一個(gè)三角形中，如果能將中線倍長，轉(zhuǎn)移AC就可在同一個(gè)三角形找出與AB、AC、2AD相關(guān)的線段，再利用三角形兩邊之和大于第三邊可以很簡單的解決。

圖（16）

證明：添加輔助線延長AD至E，使ED?AD，連接BE．

∵ AD是?ABC的中線，在?ACD和?EBD中，?AD?ED?

∵??ADC??EDB

?CD?BD? 13

∴ ?ACD??EBD（SAS）

∴ AC?BE

在?ABE中，AB?BE?AE，∴ AB?AC?2AD.5全等三角形的證明在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

例10（2014年云南省中考題）如圖，在?ABC和?ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AD?BC，?BAD??ABC，求證：AC?BD．

圖（17）

簡析:可以根據(jù)“SAS”證明三角形ABD和三角形BCA全等，這里要用到化歸思想，要證明線段相等可以化歸為證明三角形全等，由全等三角形的性質(zhì)可證明AC?BD． 證明：在?ABD和?BCA中，?AD?BC???BAD??ABC ?AB?BA?∴?ADB??BAC（SAS）∴AC?BD

說明：本題考查了證線段相等化歸為證全等三角形，而全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．

例 11（2014年曲靖市中考題)如圖，?ACD?90?，AC?BC，AD?CE于點(diǎn)D，BE?CE于點(diǎn)E.（1）求證：?ACD??CBE；（2）已知AD?6，DE?2，求EF的長.圖（18）

簡析：第（1）問在?ACD和?CBE中，已知有AC?BC，還有一組直角相等，現(xiàn)在我們可以找一條對(duì)應(yīng)邊用“SAS”證明全等三角形或者是找一個(gè)對(duì)應(yīng)角用“AAS”證明，這時(shí)就要根據(jù)已知條件去找，哪個(gè)方便就用哪個(gè)，由已知條件可以根據(jù)同角的余角相等來證明.證明：如圖，∵AD?CE

∴?2??3?90?

又∵?1??2?90?

∴?1??3

又∵AD?CE，BE?CE

∴?E??ADC?90?

在?ACD和?CBE中

??E??ADC? ??1??3

?AC?BC? ∴?ACD??CBE（AAS）

簡析：第（2）問本題求的長，從直觀上看不能用簡便的方法求，可以把放到兩個(gè)相似的三角形中，可以通過證兩個(gè)相似三角形來求.解：∵?ACD??CBE

∴CE?AD?6

∴CD?CE?ED?6?2?

4∵?E??ADF，?BFE??AFD

∴?BEF~?ADF

∴BEEF? ADDF 設(shè)EF??，則DF?2??

∴4?? 62??4 515 ∴??

即EF?4 5說明：這個(gè)題把全等三角形和相似三角形有機(jī)的結(jié)合在一起考學(xué)生，對(duì)學(xué)生有意識(shí)的進(jìn)行選拔，也對(duì)學(xué)生高要求，它著重強(qiáng)調(diào)全等三角形和相似三角形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，讓學(xué)生能區(qū)分開，這類題型在中考中也算是中難度的題了.例 12（2013年上海市中考題）如圖，在△ABC中，?ACD?90?，?B??A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長線于點(diǎn)F．求證：

ADE?EF.B

DEFC圖（19）

簡析：要證DE?EF，從題目中我們不能直觀的證明它們相等，要先轉(zhuǎn)化證明平行四邊形再證全等三角形，通過兩對(duì)邊分別平行的性質(zhì)證明四邊形BCFD是平行四邊形BCFD，然后把邊DE和EF放在?CED和?CEF中，證明這兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而就可以證明DE?EF.證明：∵DE∥BC，CF∥AB

∴四邊形BCFD是平行四邊形BCFD ∴BD?CF,DF?AC ∴?CED和?CEF是直角三角形

又∵?ABC是直角三角形，且D為AB的中點(diǎn) ∴CD?BD ∴CD?CF

在Rt?CED和Rt?CEF中

?CE?CE ??CF?CD 16

∴Rt?CED?Rt?CEF(HL)∴DE?EF

說明：幾何圖形之間線段與角的關(guān)系是有聯(lián)系的，但是要對(duì)每個(gè)圖形的性質(zhì)掌握，才能搭起橋梁，建立關(guān)系.例13(2012年云南省中考題)如圖，在?ABC中，?C?90?，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM?AB，且DM?AC，過點(diǎn)M作ME//BC交AB于點(diǎn)E.求證?ABC??MED.圖（20）

簡析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊AB?ME，所以我們要另謀出路，根據(jù)ME//BC，?MED??ABC，用“AAS”來證明?ABC??MED.證明：∵DM?AB

∴?MDE??C?90? 又∵M(jìn)E//BC ∴?CBA??DEM 在?ABC和?MED中

??C??MDE???ABC??MED ?MD?AC?∴?ABC??MED(AAS)說明：證明全等三角形的方法有多種，關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件去找邊與邊、角與角之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.例 14（2011福建福州中考題）如圖，AB?BD于點(diǎn)B,ED?BD于點(diǎn)D,AE交BD

于點(diǎn)C,且BC?DC.求證AB?ED.ABCD

E

圖（21）

簡析：題目中給得每個(gè)已知條件都是關(guān)鍵，有直角三角形就想到用“HL”,但是已知條件中沒有明確給出斜邊AC?EC，題目中還有一個(gè)隱含的條件對(duì)頂角?ACB??ECD,所以我們可以選擇用“ASA”來證明?ABC和?EDC全等.證明:∵AD?BD，ED?BD

∴?ABC??D?90 在?ABC和?EDC中

??ABC??D? ?BC?DC??ACB??ECD?∴?ABC??EDB(ASA)∴AB?ED

說明：在做幾何圖形的題目時(shí)，即要抓住它給的每個(gè)已知條件，又要從題目或圖形中挖掘出隱含的條件，這鍛煉我們的發(fā)現(xiàn)思維和綜合應(yīng)用能力.6 結(jié)論

6．1主要發(fā)現(xiàn)

全等三角形的證明問題，就其方法而言，沒有定法可套，有較大的靈活性和技巧性．而且全等三角形證明歷來是中學(xué)、特別是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)．本文系統(tǒng)地歸納整理了幾類全等三角形的證明方法．如若學(xué)生在掌握全等三角形的基礎(chǔ)知識(shí)以后，能夠靈活應(yīng)用文中幾類方法和思想，以其為指導(dǎo)，全等三角形問題將能夠迎刃而解，使得解決全等三角形問題時(shí)思路清晰，運(yùn)算簡便．尤其是應(yīng)用構(gòu)造法，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，在解決一些全等三角形問題時(shí)作用很大．

6．2 啟示

從文中可以看出在處理全等三角形問題時(shí)，若能靈活運(yùn)用這些思想與方法，則會(huì)取得事半功倍的效果．教師在講解具體數(shù)學(xué)內(nèi)容和方法時(shí)，應(yīng)該高度重視全等三角形方法的挖掘和滲透，重視理論和實(shí)踐的結(jié)合，讓學(xué)生切實(shí)領(lǐng)悟其價(jià)值，滋生應(yīng)用的意識(shí)．同時(shí)學(xué)生在解題和學(xué)習(xí)的過程中也應(yīng)認(rèn)真思考，發(fā)現(xiàn)和歸納證明全等三角形的數(shù)學(xué)思想方法．

6．3局限性

本文把理論和實(shí)踐相結(jié)合，歸納了幾類全等三角形證明的方法在解題中的應(yīng)用，其中主要工作屬歸結(jié)概括，在一些方面存在局限性，一是在不同知識(shí)體系間尋求“交匯”跨度大、難度高，不易發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)聯(lián)系；二是由于本文整理歸納了較多全等三角形的證明方法和數(shù)學(xué)思想，多則不精，廣而不深．

6．4努力方向

全等三角形的證明方法種類繁多，不同知識(shí)體系間的跨度大、難度高．在教學(xué)實(shí)踐中，并不是短時(shí)間可以全部學(xué)習(xí)掌握的，需要長期學(xué)習(xí)并積累，而對(duì)于全等三角形的證明方法新的研究與發(fā)展，則要在大量的實(shí)踐中不斷摸索．

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致

謝

路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索，是我的勵(lì)志名言.轉(zhuǎn)言眼間，我的大學(xué)生涯就結(jié)束了，我已經(jīng)在美麗的師院度嘗到各種酸甜苦辣，有喜有悲，但我從不后悔選擇來這里上學(xué).四年里，這是我人生中非常重要的時(shí)光，我有幸能夠接觸到這些不僅傳授我知識(shí)、學(xué)問，而且使我堅(jiān)定人生的方向，獲得了追求的動(dòng)力，留下了大學(xué)生活的美好回憶.在此，我真誠地向我尊敬的老師們和母校表達(dá)我深深的謝意.本篇論文是在我的導(dǎo)師羅紅英老師的多次指導(dǎo)下完成的.從論文的選題到結(jié)構(gòu)安排，都凝聚了她大量的心血.在這篇論文的寫作過程中，羅紅英老師不辭辛勞，多次與我就論文中許多核心問題作深入細(xì)致地探討，給我提出切實(shí)可行的指導(dǎo)性建議，并細(xì)心全面地修改了我的論文.羅老師這種一絲不茍的負(fù)責(zé)精神，使我深受感動(dòng).更重要的是羅老師扎實(shí)的學(xué)術(shù)功底和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度對(duì)我將來的人生道路產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.21