第一篇：2018考研數學：16種極限求解的方法總結

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2018考研數學：16種極限求解的方法總

結

學好高數，極限基礎必須要打好，極限求解也是必要解決的問題，下面總結了16種可用的方法，大家學習學習，可靈活應用。

1、等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用,前提是必須證明拆分后極限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。

2、洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的，不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用，無疑于找死！)必須是0比0無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。洛必達法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應為無窮大于無窮小成倒數的關系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成

第二篇：2018考研數學：數列極限方法總結歸納

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2018考研數學：數列極限方法總結歸納

極限是考研數學每年必考的內容,在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實上，由于這一部分內容的基礎性，每年間接考查或與其他章節結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。下面凱程考研就分享一下數列極限方法，大家注意學習。

極限無外乎出這三個題型：求數列極限、求函數極限、已知極限求待定參數。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵，極限的運算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進行極限的運算，如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下：

極限的計算常用方法：四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調有界收斂定理、利用連續性求極限等方法。

四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎階段的學習中是重點，考生應該已經非常熟悉，進入強化復習階段這些內容還應繼續練習達到熟練的程度;在強化復習階段考生會遇到一些較為復雜的極限計算，此時運用泰勒公式代替洛必達法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效;夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進行計算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進行計算;單調有界收斂定理可用來證明數列極限存在，并求遞歸數列的極限。

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第三篇：數學中常用極限方法總結

【1】 忽略高階無窮小方法。

很多極限看起來很復雜，而且也不好使用洛必達法則，但是如果忽略掉次要部分，則會很容易計算。

比如

再比如斐波那契數列，忽略掉比x低的無窮小項后為√x / √2x = 1/√2

忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要項后，可以求得lim a(n+1)/a(n)=(1+√5)/2

再比如 lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))當x->∞的時候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高階無窮小 所以lim(x->∞)(sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

= lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x+e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

【2】 取對數與洛必達法則

洛必達法則是求極限的時候用的最多的方法，但是很多題目都會饒下彎子，需要先對代數式進行一些變形，否則計算起來會越來越煩，常見的的代換包括取對數，等價無窮小代換，省略高階無窮小部分，在用完這些方法后，再使用洛必達法則，可以有效的解決這類問題。

比如

這個直接用等價無窮小代換后會因為損失了高階無窮小導致結果不正確，取對數后就會化成容易計算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1+1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式極限為e^(-1/2)

再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0+的時候的極限 這個極限是0^∞的形式

直接取對數得 ln(tanx)/ lnx，現在是∞/∞的形式

用洛必達法則得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的時候的極限為e

【3】 常用等價無窮小

經常用到的等價無窮小有

(1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0處的極限，這個可以使用多次洛必達求得，或提取sinx后用兩個等價無窮小代換，也可以用tanx和sinx的級數代入求得 =(x+x^3/3 + O(x^4)(13 x^7)/210 + O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0處的冪級數展開為x + x^3/3 + x^5/302)/ x^2在 x->0處的極限 用泰勒公式就比較簡單

√(1+x)~ 1+x/2x/2x^2/4(e x)/2 +(11 e x^2)/24 + O(x^3)(1+1/x)^x在x=0處的級數展開為1-x lnx +(1+(lnx)^2)x^2 + O(x^3)

【6】 中值定理

有些極限用常見的方法處理比較困難，但是可以很容易的看出這是某個函數在兩個很近的點處的割線的斜率或兩個點之間的面積，那么這個時候可以考慮使用微分中值定理或積分中值定理。

比如求sin(√(x+1)sin√x)/(√(x+1)-√x)所以lim(sin(√(x+1)arctan a/(x+1))在x->∞處的極限

令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

由于x^2/(a^2+(x+1)^2)< x^2/(a^2+ξ^2)< x^2 /(a^2+x^2)，取極限得1 <= lim x^2/(1+ξ^2)<= 1 所以原式極限是a

再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1+t^2)dt(積分限為[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1+ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k+1)] =n^k / [ n^(k+1)C(k+1,2)n^(k-1)+....] =n^k / [C(k+1,1)n^kln(n!)+ n ln(n))/(n+1-n)=lim [ ln(n+1)ln(n+1)+ n ln(n)] =lim n * ln(n/(n+1))=-1

【8】 利用定積分的數值公式

有些求和的極限用夾擠定理只能得到級數收斂，但不能求出具體的極限值，而一些題剛好是利用定積分的數值公式（主要是矩形公式）分解而來，這個時候可以考慮湊定積分的方式來對級數求和。

比如求

可以寫成1/n ∑1/(1+(k/n)^2)

所以這個剛好是1/(1+x^2)在[0,1]上的定積分 所以極限為Pi/4

再如上面出現過的(1^k+2^k+...+n^k)/ n^(k+1)這個可以寫成1/n ∑(i/n)^k

所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定積分 所以極限是1/(k+1)

【9】 利用級數展開

某些涉及到求和的極限可能剛好是某個函數的級數展開的特殊值 比如交錯級數 1-1/2+1/3-1/4+...這個剛好是ln(1+x)= xx^4/4 +...在x=1處的值 所以極限是ln2 而對于其他一些級數也可能是函數展開的特殊值 比如1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^ + 1/n^2 +...考慮正弦函數的無窮積展開為 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取對數后求導數得

Cot[x] = 1/x1/4 + 1/7-1/11 +...(-1)^(3k+1)/(3k+1)+....也是可以計算出來的，結果留給你們算

第四篇：2018考研數學：二重極限

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2018考研數學：二重極限

以下是中公考研數學研究院的老師為大家整理了2018考研數學:二重極限的題型講解，供大家復習參考。

高等數學的研究對象是函數，而極限則是研究函數的最重要的工具，對于一元函數如此，對于多元函數亦是如此。那么在學習多元微分學之前，首先來認識多重極限的概念，在此以二重極限為例進行說明。東莞中公教育

2.考試要求會計算二重極限，最直接的想法就是一元函數求極限的方法中哪些還可以繼續使用，其中四則運算法則，等價無窮小替換和夾逼定理及其推論(無窮小量乘以有界量等于無窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來驗證函數的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計算。

2.考試不會直接考查二重極限的計算，而是在研究函數的連續性、可導性和可微性的時候需要計算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第五篇：2018考研數學沖刺：求極限的16個方法

考研數學沖刺：求極限的16個方法

2018考研數學沖刺復習進行中，下面整理分享2018考研數學沖刺：求極限的16個方法，幫助大家更好的復習!

首先對極限的總結如下。極限的保號性很重要就是說在一定區間內函數的正負與極限一致。

1、極限分為一般極限，還有個數列極限

(區別在于數列極限是發散的，是一般極限的一種)。

2、解決極限的方法如下

1)等價無窮小的轉化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分后極限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記。(x趨近無窮的時候還原成無窮小)

2)洛必達法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)

首先他的使用有嚴格的使用前提。必須是X趨近而不是N趨近。(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近于正無窮的不可能是負無窮!)必須是函數的導數要存在!(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用無疑是死路一條)必須是0比0，無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。

洛必達法則分為三種情況

1)0比0無窮比無窮時候直接用

2)0乘以無窮，無窮減去無窮(應為無窮大于無窮小成倒數的關系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之后這樣就能變成1中的形式了

3)0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方

對于(指數冪數)方程方法主要是取指數還取對數的方法，這樣就能把冪上的函數移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，ln(x)兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0,當他的冪移下來趨近于無窮的時候ln(x)趨近于0)

3、泰勒公式

(含有e^x的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要特變注意!)e^x展開,sinx展開,cos展開,ln(1+x)展開對題目簡化有很好幫助

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法。

取大頭原則最大項除分子分母!看上去復雜處理很簡單。

5、無窮小與有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正余弦的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數可能只需要知道它的范圍結果就出來了!

6、夾逼定理

(主要對付的是數列極限)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用

(對付數列極限)(q絕對值符號要小于1)

8、各項的拆分相加

(來消掉中間的大多數)(對付的還是數列極限)可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

9、求左右求極限的方式

(對付數列極限)例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化。

10、兩個重要極限的應用。

這兩個很重要!對第一個而言是x趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應的形式(第二個實際上是用于函數是1的無窮的形式)(當底數是1的時候要特別注意可能是用第二個重要極限)

11、還有個方法，非常方便的方法。

就是當趨近于無窮大時候，不同函數趨近于無窮的速度是不一樣的。x的x次方快于x!,快于指數函數,快于冪數函數,快于對數函數(畫圖也能看出速率的快慢)。當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12、換元法

是一種技巧，不會對某一道題目而言就只需要換元，但是換元會夾雜其中

13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當然也是夾雜其中的。

14、還有對付數列極限的一種方法，就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。一般是從0到1的形式。

15、單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性。

16、直接使用求導數的定義來求極限

(一般都是x趨近于0時候，在分子上f(x)加減某個值)加減f(x)的形式，看見了有特別注意)(當題目中告訴你F(0)=0時，f(0)的導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義!)