第一篇：2018年中考數學《尺規作圖》同步提分訓練含答案解析
2018年中考數學提分訓練: 尺規作圖
一、選擇題
1.下列畫圖的語句中，正確的為（）
A.畫直線AB=10cm B.畫射線OB=10cm C.延長射線BA到C，使BA=BC D.過直線AB外一點畫一條直線和直線AB相交
2.如圖，用尺規作出了BF∥OA，作圖痕跡中，弧MN是（）
A.以B為圓心，OD長為半徑的弧 B.以C為圓心，CD長為半徑的弧 C.以E為圓心，DC長為半徑的弧 D.以E為圓心，OD長為半徑的弧 3.用直尺和圓規作一個角等于已知角，如圖，能得出 的依據是（）
A.（SAS）B.（SSS）C.（AAS）D.（A SA）
4.如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點P，使得∠BPC與∠A互補，其作法分別如下：
（甲）以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于P點，則P即為所求；
（乙）作過B點且與AB垂直的直線l，作過C點且與AC垂直的直線，交l于P點，則P即為所求對于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（）
A.兩人皆正確 B.兩人皆錯誤 C.甲正確，乙錯誤 D.甲錯誤，乙正確
5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以點C為圓心，CB長為半徑作弧，交AB于點D；再分別以點B和點D為圓心，大于 的長為（）
BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E，作射線CE交AB于點F，則AF
A.5 B.6 C.7 D.8 6.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為（）
A.4 B.5 C.6 D.7 7.畫正三角形ABC（如圖）水平放置的直觀圖△A′B′C′，正確的是（）
A.B.C.D.8.已知∠AOB，用尺規作一個角 等于已知角∠AOB的作圖痕跡如圖所示，則判斷∠AOB= 所用到的三角形全等的判斷方法是（）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 9.如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心畫弧，兩弧交于點P，連結AP并延長交BC于點D，則下列說法中正確的個數是（）
①AD是∠BAC的平分線②∠ADC=60°③△ABD是等腰三角④點D到直線AB的距離等于CD的長度．
A.1 B.2 C.3 D.4 10.如圖，用尺規作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧①，分別交OA、OB于點E、F，那么第二步的作圖痕跡②的作法是（）
A.以點F為圓心，OE長為半徑畫弧 B.以點F為圓心，EF長為半徑畫弧 C.以點E為圓心，OE長為半徑畫弧 D.以點E為圓心，EF長為半徑畫弧
11.如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的平分線AG，若AD=5，DE=6，則AG的長是（）
A.6 B.8 C.10 D.12 12.如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=8，AB=5，則AE的長為（）
A.5 B.6 C.8 D.12
二、填空題
13.我們學過用直尺和三角尺畫平行線的方法，如圖所示，直線a∥b的根據是________．
14.作圖并寫出結論：如圖，點P是∠AOB的邊OA上一點，請過點P畫出OA , OB的垂線，分別交BO 的延長線于M、N ,線段________的長表示點P到直線BO的距離；線段________的長表示點M到直線AO的距離;線段ON的長表示點O到直線________的距離；點P到直線OA的距離為________.15.如圖，已知線段AB，分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑畫弧，相交于點C，D，連接AC，BC，BD，CD．其中AB=4，CD=5，則四邊形ABCD的面積為________．
16.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，AC=12．分別以點A和點B為圓心、大于AB一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點E和點F，作直線EF交AB于點D，連結CD．則CD的長為________．
17.如圖，依據尺規作圖的痕跡，計算∠α=________°．
18.以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心，適當長為半徑作弧，與邊AB，AC各相交于一點，再分別以這兩個交點為圓心，適當長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于點D.若∠ADB=60°，點D到AC的距離為2，則AB的長為________.19.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A，B均在格點上．（Ⅰ）線段AB的長為________．
（Ⅱ）請利用網格，用無刻度的直尺在AB上作出點P，使AP= 證明）．________．，并簡要說明你的作圖方法（不要求
20.如圖，在矩形 兩弧相交于點 長為________． 和 中，按以下步驟作圖：①分別以點 ；②作直線
交
于點
.若
和 為圓心，以大于，的長為半徑作弧，的，則矩形的對角線
三、解答題
21.如圖，利用尺規，在△ABC的邊AC上方作∠CAE=∠ACB，在射線AE上截取AD=BC，連接CD，并證明：CD∥AB（尺規作圖要求保留作圖痕跡，不寫作法）
22.已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°
（1）用直尺和圓規作∠ABC的平分線，交AC于點O；
（2）在（1）的條件下，若BC=3，AC=4，求點O到AB的距離。
23.如圖，在 中，.（1）作 的平分線交 邊于點，再以點 為圓心，的長為半徑作 ；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）判斷（1）中
24.如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°，與 的位置關系，直接寫出結果.（1）請用尺規作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數．
25.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．
（1）請在圖中用尺規作圖的方法作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）．
（2）在（1）的條件下，連接AD，求證：△ABC∽△EDA．
26.如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺規作∠ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的條件下，①證明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值。
答案解析
一、選擇題 1.【答案】D
【解析】 ：A、錯誤．直線沒有長度；
B、錯誤．射線沒有長度； C、錯誤．射線有無限延伸性，不需要延長； D、正確． 故答案為：D．
【分析】根據直線、射線、線段的性質即可一一判斷； 2.【答案】C
【解析】 ：弧MN是以E為圓心，DC長為半徑的弧。
故答案為 ：C。【分析】根據平行線的判定，這里要使BF∥OA，其依據是內錯角相等，兩直線平行，故根據尺規作圖就是作一個角∠FBO=∠AOB,故弧MN，是以E為圓心，DC長為半徑的弧。3.【答案】B
【解析】 ：根據畫法可知OD=OC=OD=OC DC=DC
在△ODC和△ODC中
∴△ODC≌△ODC（SSS）∴∠A′O′B′=∠AOB.故答案為：B 【分析】根據畫法可知△ODC和△ODC的三邊相等，得出兩三角形全等，再根據全等三角形的性質可得出結論。4.【答案】D
【解析】 ：甲：如圖1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲錯誤； 乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正確，故答案為：D．
【分析】甲：根據等邊對等角可得∠APC=∠ACP，再由平角的定義可得∠BPC+∠APC=180°,等量帶環即可判斷；
乙：根據四邊形的內角和為5.【答案】B
【解析】 ：連接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．
∵作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，∴CD是斜邊AB的中線，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6． 故選B．，可知乙的作法正確。
【分析】連接CD，根據在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是線段BD的垂直平分線，故CD是斜邊AB的中線，據此可得出BD的長，進而可得出結論． 6.【答案】D
【解析】 如圖，①以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB于點D，△BCD就是等腰三角形； ②以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點E，△ACE就是等腰三角形； ③以C為圓心，BC長為半徑畫弧，交AC于點F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分線交AB于點H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分線交AC于G，則△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分線交AB于I，則△BCI是等腰三角形． 故答案為：C.【分析】根據等腰三角形的性質分情況畫出圖形，即可得出答案。7.【答案】D
【解析】 第一步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直線為x軸，取對稱軸CO為y軸，畫對應的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′=45°，第二步：在x′軸上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’軸上取O′C′=OC，第三步：連接A′C′，B′C′，所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直觀圖，根據畫正三角形的直觀圖的方法可知此題選D，故答案為：D．
【分析】根據畫正三角形的直觀圖的方法可得出答案。8.【答案】D 【解析】 如圖，連接CD、，∵在△COD和△，∴△COD≌△ ∴∠AOB= 故答案為：D。中，(SSS)，【分析】根據全等三角形的判定方法SSS，畫出三角形.9.【答案】D
【解析】 根據基本作圖，所以①正確，因為∠C=90°，∠B=30°，則∠BAC=60°，而AD平分∠BAC，則∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°，所以②正確；
因為∠DAB=∠B=30°，所以△ABD是等腰三角形，所有③正確；
因為AD平分∠BAC，所以點D到AB與AC的距離相等，而DC⊥AC，則點D到直線AB的距離等于CD的長度，所以④正確.故答案為：D.【分析】（1）由已知角的平分線的作法知，AD是∠BAC的平分線；
（2）根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得∠ADC=∠DAB+∠B，由（1）可得∠DAB=30°，所以∠ADC=∠DAB+∠B=60°；
（3）由（2）知，∠DAB=30°=∠B，根據等腰三角形的判定可得△ABD是等腰三角形；（4）根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等可得，點D到直線AB的距離等于CD的長度。10.【答案】D
【解析】 ：用尺規作圖作∠AOC=∠AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧①，分別交OA、OB于點E、F，第二步的作圖痕跡②的作法是以點E為圓心，EF長為半徑畫弧． 故選D．
【分析】根據作一個角等于一直角的作法即可得出結論． 11.【答案】B
【解析】 ：連接EG，∵由作圖可知AD=AE，AG是∠BAD的平分線，∴∠1=∠2，∴AG⊥DE，OD= DE=3．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AD=DG． ∵AG⊥DE，∴OA= AG．
=
=4，在Rt△AOD中，OA= ∴AG=2AO=8． 故選B．
【分析】連接EG，由作圖可知AD=AE，根據等腰三角形的性質可知AG是DE的垂直平分線，由平行四邊形的性質可得出CD∥AB，故可得出∠2=∠3，據此可知AD=DG，由等腰三角形的性質可知OA= 用勾股定理求出OA的長即可． 12.【答案】B
【解析】 ：連結EF，AE與BF交于點O，AG，利
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AF，∴四邊形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB= ∵AB=5，BF=4，OA= AE．
在Rt△AOB中，AO= ∴AE=2AO=6． 故選B．
=3，【分析】由基本作圖得到AB=AF，AG平分∠BAD，故可得出四邊形ABEF是菱形，由菱形的性質可知AE⊥BF，故可得出OB的長，再由勾股定理即可得出OA的長，進而得出結論．
二、填空題
13.【答案】同位角相等，兩直線平行
【解析】 如圖所示：
根據題意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角； ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）； 故答案為：同位角相等，兩直線平行．
【分析】直尺保證了三角板 所作的是平移，∠
1、∠2的大小相等，又是同位角，“同位角相等，兩直線平行”.14.【答案】PN；PM；PN；0
【解析】 ：如圖
∵PN⊥OB ∴線段PN的長是表示點P到直線BO的距離； ∵PM⊥OA ∴PM的長是表示點M到直線AO的距離;∵ON⊥PN ∴線段ON的長表示點O到直線PN的距離； ∵PM⊥OA ∴點P到直線OA的距離為0 故答案為：PN、PM、PN、0 【分析】先根據題意畫出圖形，再根據點到直線的距離的定義，即可求解。15.【答案】10
【解析】 ：由作圖可知CD是線段AB的中垂線，∵AC=AD=BC=BD，∴四邊形ACBD是菱形，∵AB=4，CD=5，∴S菱形ACBD= ×AB×CD= ×4×5=10，故答案為：10．
【分析】由作圖可知CD是線段AB的中垂線，四邊形ACBD是菱形，利用S菱形ACBD= 16.【答案】
×AB×CD求解即可．
【解析】 ：由作圖可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜邊上的中線，故DC= AB= ． =
×15=
．
故答案為：
【分析】由作圖可知，EF垂直平分AB，即DC是直角三角形ABC斜邊上的中線，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的長，即可求得DC的長。17.【答案】56
【解析】 ：∵四邊形ABCD的矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分線，∴∠EAF= ∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是線段AC的垂直平分線，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°． 故答案為：56．
【分析】先根據矩形的性質得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度數，由角平分線的定義求出∠EAF的度數，再由EF是線段AC的垂直平分線得出∠AEF的度數，根據三角形內角和定理得出∠AFE的度數，進而可得出結論． 18.【答案】2
【解析】 ：根據題中的語句作圖可得下面的圖，過點D作DE⊥AC于E，由尺規作圖的方法可得AD為∠BAC的角平分線，因為∠ADB=60°，所以∠B=90°，由角平分線的性質可得BD=DE=2，tan∠ADB=2 在Rt△ABD中，AB=BD·故答案為2..【分析】由尺規作圖-角平分線的作法可得AD為∠BAC的角平分線，由角平分線的性質可得BD=2，又已知∠ADB即可求出AB的值.19.【答案】2 ；取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求
【解析】(Ⅰ)由勾股定理得AB=(Ⅱ)∵AB ∴
∴AP:BP=2:1.，AP=，；
取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求；
∵AM∥BN, ∴△AMP∽△BNP, ∴
∵AM=2,BN=1, ∴
∴P點符合題意.故答案為：取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求。【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AB的長。
(Ⅱ)先求出BP的長，就可得出AP:BP=2:1，取格點M，N，連接MN交AB于P，則點P即為所求，根據相似三角形的判定定理，可證得△AMP∽△BNP，得出對應邊成比例，可證得AP:BP=2:1。20.【答案】 , , 【解析】【解答】連接AE，根據題意可知MN垂直平分AC ∴AE=CE=3 222在Rt△ADE中，AD=AE-DE
AD2=9-4=5 222∵AC=AD+DC
AC2=5+25=30 ∴AC=
【分析】根據作圖，可知MN垂直平分AC，根據垂直平分線的性質，可求出AE的長，再根據勾股定理可求出AD的長，然后再利用勾股定理求出AC即可。
三、解答題
21.【答案】解：如圖所示，∵∠EAC=∠ACB，∴AD∥CB，∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．
【解析】【分析】用尺規作圖即可完成作圖。理由如下：
根據內錯角相等，兩直線平行可得AD∥CB，已知AD=BC，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形ABCD是平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得AB∥CD． 22.【答案】（1）如圖1，BO為所求作的角平分線
（2）如圖2，過點O作OD⊥AB于點D，∵∠ACB=90°，由（1）知BO平分∠ABC，∴OC=OD，BD=BC。∵AC=4，BC=3 ∴AB=5，BD=3，AD=2 設CO=x，則AO=4-x，OD=x 在Rt△AOD中，即點O到AB的距離為，得，【解析】【分析】(1)以點B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交BA,BC于以點，再分別以這兩個交點為圓心，大于這兩交點間的距離的長度為半徑，畫弧，兩弧在角內交于一點，過B點及這點，作射線BO交AC于點哦，BO就是所求的∠ABC的平分線；（2）過點O作OD⊥AB于點D，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等得出OC=OD，BD=BC=3。根據勾股定理得出AB的長，進而得出AD的長，設CO=x，則AO=4-x，OD=x，在Rt△AOD中，利用勾股定理得出方程，求解得出答案。23.【答案】（1）解：如圖,作出角平分線CO;作出⊙O.（2）解：AC與⊙O相切．
【解析】【分析】（1）根據題意先作出∠ACB的角平分線，再以O為圓心，OB為半徑畫圓即可。（2）根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等及切線的判定定理，即可得出AC與⊙O相切。24.【答案】（1）解：如圖所示，直線EF即為所求；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，DC∥AB，∠A=∠C．
∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∴∠C=∠A=30°，∵EF垂直平分線線段AB，∴AF=FB，∴∠A=∠FBA=30°，∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°
【解析】【分析】（1）分別以A,B兩點為圓心，大于AB長度一半的長度為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側分別相交，過這兩個交點作直線，交AB于點E，交AD于點F，直線EF即為所求；
DC∥AB，（2）根據菱形的性質得出∠ABD=∠DBC= ∠ABC=75°，∠A=∠C．故∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°，∠C=∠A=30°，根據垂直平分線的性質得出AF=FB，根據等邊對等角及角的和差即可得出答案。25.【答案】（1）解：如圖所示：
（2）解：∵∠BAC=90°，∠C=30°
又∵點D在AC的垂直平分線上，∴DA=DC，∴∠CAD=∠C=30°，∵∠DEA=∠BAC=90°，∴△ABC∽△EDA．
【解析】【分析】（1）利用尺規作圖作出AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E 即可。
（2）根據垂直平分線的性質證出DA=DC，可證得∠CAD=∠C，然后根據兩組角對應相等的兩三角形相似，即可證得結論。26.【答案】（1）
（2）①證明：在AD上取一點F使DF=DC，連接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠FDE=∠CDE，在△FED和△CDE中，DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE ∴△FED≌△CDE（SAS），∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90° ∴∠DEF=∠DEC，∵AD=AB+CD，DF=DC，∴AF=AB，在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）∴∠AEB=∠AEF，∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∴AE⊥DE ②解：過點D作DP⊥AB于點P，∠CEF+
∠BEF=
（∠CEF+∠BEF）=90°。
∵由①可知，B，F關于AE對稱，BM=FM，∴BM+MN=FM+MN，當F，M，N三點共線且FN⊥AB時，有最小值，∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，∴四邊形DPBC是矩形，∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，在Rt△APD中，DP= ∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，∴FN∥DP，=，∴△AFN∽△ADP ∴ 即 解得FN=，，∴BM+MN的最小值為
【解析】【分析】（1）根據角平分的做法即可畫出圖.（2）①在AD上取一點F使DF=DC，連接EF；角平分線定義得∠FDE=∠CDE；根據全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性質和補角定義得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性質得∠AEB=∠AEF，再由補角定義可得AE⊥DE.②過點D作DP⊥AB于點P；由①可知，B，F關于AE對稱，根據對稱性質知BM=FM，當F，M，N三點共線且FN⊥AB時，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根據勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三角形性質得，從而求得FN，即BM+MN的最小值.
第二篇：初二數學習題尺規作圖
初二數學習題尺規作圖 班 姓名 號
1.尺規作圖，保留作圖痕跡，注明結果，不寫作法
（1）作∠AOB的對稱軸
(2)作線段AB關于直線L的對應線段A′B′
L A A
OBB
（3）已知△ABC 與△A′B′C′關于某條直線對稱，請作出這條直線
AA′
BB′B
A
CC′
（3）（4）
（4）在直線L上求一點，使它到A、B距離相等
（5）在∠AOB的內部求一點P，使它到角的兩邊距離相等，到C、D兩點距離也相等
A
C
D
OB
（6）已知△ABC，利用“SAS” 作出△A′B′C′，使這兩個三角形全等
A
BC
L
A（7）如圖，求作一點P，使PA=PB, PC=PD.C
DB
(8)如圖A、B、C表示三個村莊，為了解決村民子女就近入學問題，計劃建一所小學，要使小學到三個村莊距離相等，請在圖中確定學校的位置（寫出作法）
A
CB
（9）要在河邊L修建一個水泵站，分別向張莊（A）、李莊（B）送水，水泵站修在河邊什么地方，可使所用的水管最短（寫出作法）
B
A
L
第三篇：八年級數學尺規作圖
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§19.3 尺規作圖(1)
一、教學目標
1.了解尺規作圖.
2.掌握尺規的基本作圖：畫一條線段等于已知線段，畫一個角等于已知角.3.尺規作圖的步驟.
4.尺規作圖的簡單應用，解尺規作圖題，會寫已知、求作和作法.
二、教學重點畫圖，寫出作圖的主要畫法.
三、教學難點寫出作圖的主要畫法，應用尺規作圖.
四、教學方法引導法，演示法.
五、教學過程
(一)引入直尺、量角器、圓規都是都是大家很熟悉的工具，大家都知道用直尺可以畫線，用量角器可以畫角，用圓規可以畫圓.
請大家畫一條長4cm的線段，畫一個48°的角，畫一個半徑為3cm的圓. 如果只用無刻度的直尺和圓規，你還能畫出符合條件的線段、角嗎? 實際上，只用無刻度的直尺和圓規作圖，在數學上叫做尺規作圖.(二)新課
1.畫一條線段等于已知線段.
請同學們探索用直尺和圓規準確地畫一條線段等于已知的線段. 已知線段a，用直尺和圓規準確地畫一條線段等于已知線段a.請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知三邊作三角形.
已知：線段a、b、c.(畫出三條線段a、b、c) 求作：△ABC，使得三邊為線段a、b、c. 作法：(1)畫一條線段AB，使得AB=c.
(2)以點A為圓心，以線段b的長為半徑畫圓弧；再以點B為圓心，以線段a的長為半徑畫圓億庫教育網
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弧；兩弧交于點C.
(3)連結AC，BC. △ABC即為所求. 2.畫一個角等于已知角.請同學們探索用直尺和圓規準確地畫一個角等于已知角.已知角∠MPN，用直尺和圓規準確地畫一個角等于已知角∠MPN. 請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 作法：(1)畫射線OA.
(2)以角∠MPN的頂點P為圓心，以適當長為半徑畫弧，交∠MPN的兩邊于E、F.(3)以點O為圓心，以PE長為半徑畫弧，交OA于點C.(4)以點C為圓心，以EF長為半徑畫弧，交前一條弧于點D.(5)經過點D作射線OB.
∠AOB就是所畫的角.(如圖)注意：幾何作圖要保留作圖痕跡.
探索如何過直線外一點做已知直線的平行線； 請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例2 根據下列條件作三角形.(1)已知兩邊及夾角作三角形；(2)已知兩角及夾邊作三角形；
請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法(順序). 練習：教材第82頁練習第1、2題.
(三)小結請同學們自己對本課內容進行小結.(四)作業習題1、2題.
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§19.3 尺規作圖(2)
一、教學目標
1.進一步熟練尺規作圖.
2.掌握尺規的基本作圖：畫角平分線.
3.進一步學習解尺規作圖題，會寫已知、求作和作法，以及掌握準確的作圖語言.4.運用尺規基本作圖解決有關的作圖問題.
二、教學重點分析尺規基本作圖問題的解決過程，寫好作圖的主要畫法，并完成作圖.
三、教學難點分析實際作圖問題，運用尺規的基本作圖，寫出作圖的主要畫法.
四、教學方法引導法，演示法，分析法，討論法.
五、教學過程
(一)引入我們已熟悉尺規的基本作圖：畫一條線段等于已知線段，畫一個角等于已知角，那么利用尺規還能畫角平分線嗎?
(二)新課
前面我們學習了用尺規畫線段，那么你能利用尺規作圖將一個角兩等分嗎? 利用尺規作圖畫角平分線.
請同學們探索用直尺和圓規準確地畫出一個角的平分線. 已知∠AOB，用直尺和圓規準確地畫出已知∠AOB的平分線. 請各小組同學討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知∠α與∠β，求作一個角，使它等于(∠α+∠β)的一半.
分析：要完成這個作圖，先作出等于(∠α+∠β)的角，再作平分線即可. 已知、求作、作法由學生自行完成.(略)
例2 已知三角形中的一個角，此角的平分線長，以及這個角的一邊長，求作三角形. 分析：首先作出符合條件的圖形草圖，分析圖形的特征，然后確定作圖的順序，寫出已知、求作、作法，作圖中遇到屬于基本作圖的，只敘述基本作圖即可.億庫教育網
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已知：∠α，以及線段b、c(b＜c).
求作：△ABC，使得∠BAC=∠α，AB=c，∠BAC的平分線AD=b. 作法：(1)作∠MAN=∠α.(2)作∠MAN的平分線AE.
(3)在AM上截取AB=c，在AE上截取AD=b.(4)連結BD，并延長交AN于點C. △ABC就是所畫的三角形.(如圖)
例3 已知三角形的一邊及這邊上的中線和高(中線長大于高)，求作三角形.同學們先自主思考探索，然后各小組同學討論、交流、歸納出具體的作圖方 法.再請學生代表上黑板示范，并解釋原由.
例4 已知直線和直線外兩點(過這兩點的直線與已知直線不垂直)，利用尺規作圖在直線上求作一點，使其到直線外已知兩點的距離和最小.
同學們先自主思考，然后各小組交流意見，完成作圖. 練習教材練習第1、2題.(三)小結
1.尺規作圖的五種常用基本作圖. 2.掌握一些規范的幾何作圖語句.
3.學過基本作圖后，在以后的作圖中，遇到屬于基本作圖的地方，只須用一句話概括敘述即可.
4.解決尺規作圖問題，先作出符合條件的圖形草圖，再確定具體的作圖方法.
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(四)作業教材第5題.§19.3 尺規作圖(3)
一、教學目標
1.進一步熟練尺規作圖.
2.掌握尺規的基本作圖：畫線段的垂直平分線，畫直線的垂線. 3.尺規作圖的簡單應用，解尺規作圖題，會寫已知、求作和作法.
二、教學重點 畫圖，寫出作圖的主要畫法.
三、教學難點寫出作圖的主要畫法，應用尺規作圖.
四、教學方法引導法，演示法，分析法，探索法.
五、教學過程
(一)引入我們已熟悉尺規的兩個基本作圖：畫線段，畫角. 那么利用尺規還能解決什么作圖問題呢?(二)新課
1.畫線段的垂直平分線.
請同學們探索用直尺和圓規準確地畫出一條線段的垂直平分線.已知線段a，用直尺和圓規準確地畫出已知線段a的垂直平分線. 解決這一問題，要利用好線段垂直平分線的性質. 請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法. 例1 已知底邊及底邊上的高作等腰三角形.
分析：要完成這個作圖，先作出底邊，再作底邊的垂直平分線，取高，最后完成三角形.已知：底邊a、及底邊上的高h.(畫出兩條線段a、h) 求作：△ABC，使得一底邊為a、底邊上的高為h. 作法：(略). 2.畫直線的垂線.
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請同學們探索用直尺和圓規準確地畫出一條直線的垂線. 請同學們討論、探索、交流、歸納出具體的作圖方法.
實際上，畫出一條直線的垂線，就是轉化為畫線段的垂直平分線. 例2 過直線外一點作直線的垂線.
已知：直線a、及直線a外一點A.(畫出直線a、點A) 求作：直線a的垂線直線b，使得直線b經過點A.
作法：(1)以點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，交直線a于點C、D.(2)以點C為圓心，以AD長為半徑在直線另一側畫弧.
(3)以點D為圓心，以AD長為半徑在直線另一側畫弧，交前一條弧于點B.(4)經過點A、B作直線AB.
直線AB就是所畫的垂線b.(如圖)
3.（優生）探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓. 思考：如何解決這一實際問題?下面我們共同探尋解決這一問題的辦法. 練習教材練習第1、2題.
探究1：過一個已知點A如何作圓?(如圖，讓學生動手去完成)
學生討論并發現：過點A所作圓的圓心在哪兒?半徑多大?可以作幾個這樣的圓?(圓心不定，半徑不定，可以作無數個圓)
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探究1 探究2：過已知兩點A、B如何作圓?(如圖，學生動手去完成)
探究2 學生繼續討論并發現：它們的圓心到A、B兩點的距離怎樣?能用式子表示嗎?圓心在哪里?過點A、B兩點的圓有幾個?(OA=OB，圓心在直線AB的垂直平分線上，有無數個圓)
探究3：過同一平面內三個點的情況會怎樣呢? 分兩種情況研究：
(1)求作一個圓，使它經過不在一直線上三點A、B、C.
已知：不在一直線上三點A、B、C，求作一個圓，使它同時經過點A、B、C.(學生口述作法，教師示范作圖過程)
學生討論并發現：這樣一共可作幾個圓?圓心在哪里?圓心到A、B、C三點的距離怎樣?(可作一個圓，圓心是線段AB、AC、BC的垂直平分線的交點，圓心到A、B、C三點距離相等)
(2)過在一直線上的三點A、B、C可以作幾個圓?(不能作出) 發現結論：不在同一直線上的三點確定一個圓：(三)小結請同學們自己對本課內容進行小結.(四)作業習題3、4題.
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第四篇：湖南省邵陽市2018年中考數學提分訓練命題與證明含解析
2018年中考數學提分訓練: 命題與證明
一、選擇題
1.下列命題是真命題的是（）
A.有一個角是直角的四邊形是矩形
B.有一組鄰邊相等的四邊形是菱形
C.有三個角是直角的四邊形是矩形
D.有三條邊相等的四邊形是菱形
2.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結論的否定應該是（）A.a B.a≤b C.a＝b D.a≥b 3.下列定理有逆定理的是()A.同角的余角相等 B.線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等 C.全等三角形的對應角相等 D.對頂角相等 4.小柔要榨果汁，她有蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數比為9：7：6，小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為6：3：4，已知小柔榨果汁時沒有使用柳丁，關于她榨果汁時另外兩種水果的使用情形，下列敘述何者正確？（） A.只使用蘋果 B.只使用芭樂 C.使用蘋果及芭樂，且使用的蘋果顆數比使用的芭樂顆數多 D.使用蘋果及芭樂，且使用的芭樂顆數比使用的蘋果顆數多 5.下列命題中，假命題有（）①兩點之間線段最短；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上； ③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④垂直于同一直線的兩條直線平行； ⑤若⊙O的弦AB，CD交于點P，則PA?PB=PC?PD． A.4個 B.3個 C.2個 D.1個 6.已知下列命題： ①若 ＞1，則a＞b； ②若a+b=0，則|a|=|b|； ③等邊三角形的三個內角都相等； ④底角相等的兩個等腰三角形全等． 其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 7.下列說法正確的是（） A.要了解某公司生產的100萬只燈泡的使用壽命，可以采用抽樣調查的方法B.4位同學的數學期末成績分別為100、95、105、110，則這四位同學數學期末成績的中位數為100 C.甲乙兩人各自跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數相同，甲乙跳遠成績的方差分別為0.51和0.62 D.某次抽獎活動中，中獎的概率為 表示每抽獎50次就有一次中獎 8.應用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用()①結論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結論． A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 9.某班有20位同學參加圍棋、象棋比賽，甲說：“只參加一項的人數大于14人” ；乙說：“兩項都參加的人數小于5人”.對于甲、乙兩人的說法，有下列四個命題，其中真命題的是（）A.若甲對，則乙對 B..若乙對，則甲對 C.若乙錯，則甲錯 D.若甲錯，則乙對 10.下列命題中，假命題是（） A.凡是直角都相等 B.對頂角相等 C.不相等的角不是對頂角 D.同位角相等 11.一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形．在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個在大矩形的面積，則n的最小值是 （） A.3 B.4 C.5 D.6 12.如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC分別與⊙O相交于點D，E，連接DE，現給出兩個命題： ①若AC=AB，則DE=CE； ②若∠C=45°，記△CDE的面積為S1，四邊形DABE的面積為S2，則S1=S2，那么（） A.①是真命題②是假命題 B.①是假命題②是真命題 C.①是假命題②是假命題 D.①是真命題②是真命題 二、填空題 13.把命題“對頂角相等”改寫成“如果 那么 ”的形式：________． 14.命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是________命題.(填“真”或“假”)15.下列四個命題中：①對頂角相等；②同旁內角互補；③全等三角形的對應角相等；④兩直線平行，同位角相等，其中假命題的有________（填序號） 16.寫出命題“若a=b，則a=b”的逆命題________ 17.寫出命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的一個反例：________ 18.命題“如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等”的逆命題________.19.下面三個命題： ①若 222是方程組 2的解，則a+b=1或a+b=0； ②函數y=﹣2x+4x+1通過配方可化為y=﹣2（x﹣1）+3； ③最小角等于50°的三角形是銳角三角形，其中正確命題的序號為________． 20.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟： ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A＝∠B＝90°.正確順序的序號排列為________ 三、解答題 21.已知命題：“如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE．”判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；如果是假命題，在不添加其他輔助線的情況下，請添加一個適當的條件使它成為真命題，并加以證明． 22.判斷下列命題是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個反例．（1）等角的余角相等； （2）平行線的同旁內角的平分線互相垂直；（3）和為180°的兩個角叫做鄰補角． 23.嘉淇同學要證明命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”是正確的,她先用尺規作出了如圖所示的四邊形ABCD,并寫出了如下不完整的已知和求證.已知:如圖,在四邊形ABCD中,BC=AD，AB=__①___.求證:四邊形ABCD是___②___四邊形.（1）在方框中填空,以補全已知和求證;①________；②________.（2）按嘉淇的想法寫出證明.（3）用文字敘述所證命題的逆命題為________ 24.如圖，已知在△ABC中，∠1=∠2． （1）請你添加一個與直線AC有關的條件，由此可得出BE是△ABC的外角平分線；（2）請你添加一個與∠1有關的條件，由此可得出BE是△ABC的外角平分線； （3）如果“已知在△ABC中，∠1=∠2不變”，請你把（1）中添加的條件與所得結論互換，所得的命題是否是真命題，理由是什么？ 答案解析 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】 A、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故A不符合題意； B、四條邊都相等的四邊形是菱形，故B不符合題意； C、有三個角是直角的四邊形是矩形，故C符合題意； D、四條邊都相等的四邊形是菱形，故D不符合題意． 故答案為：C 【分析】利用舉反例法可對A作出判斷；依據菱形、矩形的判定方法可對B、C、D作出判斷.2.【答案】B 【解析】 “a>b”的否定應為“a＝b或a B、線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，其逆命題是到線段兩端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上，是真命題，故B符合題意； C、全等三角形的對應角相等，其逆命題是如果兩個三角形的對應角相等，則這兩個三角形全等，顯然是假命題，故C不符合題意 ； D、對頂角相等，的逆命題是相等得角是對頂角，也是個假命題，從而得出D不符合題意。 故答案為：B。【分析】定理有逆定理，則定理的逆命題必須是正確的，對于同角的余角相等，其逆命題是，如果兩個角相等，那么它們是同一個角的余角，顯然是假命題，故A不符合題意；線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，其逆命題是到線段兩端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上，是真命題，故B符合題意；全等三角形的對應角相等，其逆命題是如果兩個三角形的對應角相等，則這兩個三角形全等，顯然是假命題，故C不符合題意 ；對頂角相等，的逆命題是相等得角是對頂角，也是個假命題，從而得出D不符合題意。4.【答案】B 【解析】 ：∵蘋果、芭樂、柳丁三種水果，且其顆數比為9：7：6，∴設蘋果為9x顆，芭樂7x顆，鉚釘6x顆（x是正整數），∵小柔榨果汁時沒有使用柳丁，∴設小柔榨完果汁后，蘋果a顆，芭樂b顆，∵小柔榨完果汁后，蘋果、芭樂、柳丁的顆數比變為6：3：4，∴，∴a=9x，b= x，∴蘋果的用量為9x﹣a=9x﹣9x=0，芭樂的用量為7x﹣b=7x﹣ x= x＞0，∴她榨果汁時，只用了芭樂，故答案為：B． 【分析】根據榨果汁前的三種水果的棵數比可將三種水果的棵數用含x的代數是表示，再根據榨果汁后的比值表示出各種水果的用量即可判斷榨果汁時另外兩種水果的使用情形。5.【答案】C 【解析】 ：①兩點之間線段最短，說法正確，不是假命題； ②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，說法正確，不是假命題； ③過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，原來的說法錯誤，是假命題； ④在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行，原來的說法錯誤，是假命題； ⑤如圖，連接AC、BD． ∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△ACP∽△DBP，∴ =，∴PA?PB=PC?PD，故若⊙O的弦AB，CD交于點P，則PA?PB=PC?PD的說法正確，不是假命題． 故選：C． 【分析】根據線段的性質公理判斷①； 根據角平分線的性質判斷②； 根據垂線的性質、平行公理的推論判斷③④； 連接AC、DB，根據同弧所對的圓周角相等，證出△ACP∽△DBP，然后根據相似三角形的性質得出結論．依此判斷⑤． 6.【答案】A 【解析】 ：∵當b＜0時，如果 ＞1，那么a＜b，∴①錯誤； ∵若a+b=0，則|a|=|b|正確，但是若|a|=|b|，則a+b=0錯誤，∴②錯誤； ∵等邊三角形的三個內角都相等，正確，逆命題也正確，∴③正確； ∵底角相等的兩個等腰三角形不一定全等，∴④錯誤； 其中原命題與逆命題均為真命題的個數是1個，故選A． 【分析】根據不等式的性質、等邊三角形的性質和判定、等腰三角形的性質和判定、相反數逐個判斷即可． 7.【答案】A 【解析】 A、∵要了解燈泡的使用壽命破壞性極大，∴只能采用抽樣調查的方法，A符合題意； B、∵4位同學的數學期末成績分別為100、95、105、110，則這四位同學數學期末成績的中位數為102.5，B不符合題意； C、甲乙兩人各自跳遠10次，若他們跳遠成績的平均數相同，甲乙跳遠成績的方差不能確定，C不符合題意； D、某次抽獎活動中，中獎的概率為 故答案為：A． 【分析】A、根據抽樣調查的定義來分析；B、根據中位數的定義來分析；C、根據方差的計算公式來分析；D、根據概率公式來分析； 8.【答案】C 【解析】 根據反證法的步驟，首先假設結論不成立，其次用已學的知識或已知條件得到與假設或已學的知識或已知條件相矛盾的結論，那么原命題成立可知可以作為條件使用的有①②③。【分析】利用反證法的證題思想，即可得到結論。9.【答案】B 【解析】 如果甲正確，則乙就正確；如果乙正確，則甲錯誤． 故答案為：B.【分析】用假設法解該題，即假設甲說法正確，結合甲的說法判斷乙的說法是否正確.10.【答案】D 【解析】 A.直角為90度，故凡是直角都相等；A不符合題意； B.對頂角的定義：有一個共同的頂點并且一邊是另一邊的反向延長線.故對頂角相等；B不符合題意； C.對頂角相等，故不相等的角不是對頂角；C不符合題意； D.只有兩直線平行時，同位角才相等；故同位角相等是假命題；D符合題意； 故答案為：D.【分析】A根據直角定義來分析；B根據對頂角定義來分析；C根據對頂角定義來分析；D根據同位角定義來分析； 11.【答案】A 【解析 ：要算出這個在大矩形的面積，就需要知道大矩形的長和寬.如圖： 表示每抽獎50次可能有一次中獎，D不符合題意． 假設已知小矩形①的周長為4x，小矩形③周長為2y，小矩形④周長為2z； 則可得出①的邊長以及③和④的鄰邊和，分別為x、y、z； 設小矩形②的周長為4a，則②的邊長為a，可得③、④都有一邊長為a 則③和④的另一條邊長分別為：y﹣a，z﹣a，故大矩形的邊長分別為：y﹣a+x+a=y+x，z﹣a+x+a=z+x，故大矩形的面積為：（y+x）（z+x），當x，y，z都為已知數時，即可算出大正方形的面積，故n的最小值是3． 故選：A． 【分析】根據題意結合正方形的性質及正方形及矩形周長與各邊長的關系來進行求解，進而得出符合題意的答案． 12.【答案】D 【解析】 ：∵AC=AB，∴∠C=∠B，∵四邊形ABED內接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∴∠C=∠CDE，∴DE=CE；①正確； 連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，又∠C=45°，∴AC= CE，∵四邊形ABED內接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，∴△CDE∽△CBA，∴ =（）2=，8 ∴S1=S2，②正確，故選：D． 【分析】根據等腰三角形的性質得到∠C=∠B，根據圓內接四邊形的性質得到∠B=∠CDE，根據等腰三角形的判定判斷①； 根據相似三角形的面積比等于相似比的平方判斷②． 二、填空題 13.【答案】如果兩個角是對頂角，那么它們相等 【解析】 ：題設為：對頂角，結論為：相等，故寫成“如果 那么 ”的形式是：如果兩個角是對頂角，那么它們相等，故答案為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等． 【分析】根據命題的構成可知題設為：對頂角，結論為：相等，所以用“如果 ? 那么 ? ”的形式可表示為：如果兩個角是對頂角，那么它們相等。14.【答案】假 【解析】 原命題的逆命題為：面積相等的兩個三角形為全等三角形，則這個命題為假命題.【分析】首先將原命題改寫成如果那么的形式，然后根據原命題與逆用的關系，將原命題的題設和結論交換位置得到其逆命題：面積相等的兩個三角形為全等三角形；再根據已有知識判斷此命題顯然是假命題。15.【答案】② 【解析】 ：①對頂角相等是真命題；②同旁內角互補是假命題；③全等三角形的對應角相等是真命題；④兩直線平行，同位角相等是真命題；故假命題有②，故答案為：②． 【分析】要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可． 16.【答案】若a=b則a=b.【解析】 原命題的逆命題為：若a=b則a=b.故答案為：若a2=b2，則a=b.【分析】一個命題一般包括題設和結論兩部分，用若領起的部分是題設，用則領起的部分是結論，求一個命題的逆命題，只需要將原命題的題設和結論交換位置即可。17.【答案】兩個銳角的度數分別為20°，30° 【解析】 ：若兩個銳角的度數分別為20°，30° 則這兩個角的和為50°，50°的角是銳角 故答案為：兩個銳角的度數分別為20°，30°（答案不唯一）【分析】根據題意寫出兩個銳角的和是直角或銳角即可。18.【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。 22，22，9 【解析】 ：∵原命題是：如果兩個角都是直角,那么這兩個角相等 ∴它的逆命題是;如果兩個角相等，那么這兩個角是直角。【分析】將原命題的題設和結論互換，再寫成如果19.【答案】②③ 【解析】 ：①把 代入，得，如果a=2，那么b=1，a+b=3；，那么的形式即可。 如果a=﹣2，那么b=﹣7，a+b=﹣9． 故命題①是假命題； ②y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故命題②是真命題； ③最小角等于50°的三角形，最大角不大于80°，一定是銳角三角形，故命題③是真命題． 所以正確命題的序號為②③． 故答案為②③． 【分析】①根據方程組的解的定義，把 代入，即可判斷；②利用配方法把函數y=﹣2x2+4x+1化為頂點式，即可判斷；③根據三角形內角和定理以及銳角三角形的定義即可判斷． 20.【答案】③①② 【解析】 由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②【分析】根據反證法的步驟，首先假設結論不成立，其次用已學的知識或已知條件得到與假設或已學的知識或已知條件相矛盾的結論，那么原命題成立。所以正確順序的序號排列③①②。 三、解答題 21.【答案】解：如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，則AB∥DE，是假命題，當添加：∠B=∠E時，AB∥DE，理由：∵∠B=∠E，∴AB∥DE． 【解析】【分析】根據平行線的判定定理即可得出結論。22.【答案】（1）解：等角的余角相等，正確，是真命題（2）解：平行線的同旁內角的平分線互相垂直，正確，是真命題 （3）解：和為180°的兩個角叫做鄰補角，錯誤，是假命題，如兩個不同書本上的兩個和為180°的角 【解析】【分析】（1）根據余角的定義，知如果兩個角相等，那么它們的余角一定相等 ； （2）根據平行線的性質二直線平行，同旁內角互補及角平分線的定義，三角形的內角和即可作出判斷；（3）和為180°的兩個角叫做補角，鄰補角應該還滿足有公共頂點，及一條公共邊，另一條邊互為反向延長線。23.【答案】（1）CD；平行（2）證明:如圖,連接BD.10 在△ABD和△CDB中, ∵AB=CD,AD=CB,BD=DB, ∴△ABD≌△CDB.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴AB∥CD,AD∥CB.∴四邊形ABCD是平行四邊形 （3）平行四邊形的兩組對邊分別相等 【解析】【解答】（1）補全已知和求證在四邊形ABCD中,BC=AD,AB=CD，求證:四邊形ABCD是平行四邊形。故答案為：CD；平行。【分析】（1）由平行四邊形的判定定理容易得出結果。 （2）連接AC，由SSS證明△ABC≌CDA，得出對應角相等∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，證出AB∥DC，BC∥AD，根據平行四邊形的判定定理即可得出結論。 （3）根據命題的逆命題的定義得出平行四邊形的兩組對邊分別相等。24.【答案】（1）解：AC∥BE；（2）解：∠1=∠ABE或∠1=∠DBE（3）解：是真命題，理由如下： ∵BE是△ABC的外角平分線，∴∠ABE=∠DBE，又∵∠ABD是三角形ABC的外角，∴∠ABD=∠1+∠2，即∠ABE+∠DBE=∠1+∠2，又∵∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，∴∠ABE=∠1，∴AC∥BE． 【解析】【分析】①②要使BE是△ABC的外角平分線，結合三角形的外角的性質∠ABD=∠1+∠2，∠ABE=∠DBE，∠1=∠2，即證明∠ABE=∠1=∠DBE=∠2，進一步可得BE∥AC;③根據平行線的性質和三角形的外角的性質即可證明。 本題綜合運用了角平分線定義、平行線的性質和三角形的外角的性質。 【中考數學】證明題：精選真題專項打破沖刺提分60題 （含答案解析） 一、解 答 題（共60小題） 1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F． （1）求證：△AEF≌△DEB； （2）證明四邊形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積． 2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如圖1，連接BD，AF，則BD AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF． 3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點． （1）求證：△BAE≌△BCF； （2）若∠ABC=50°，則當∠EBA= °時，四邊形BFDE是正方形． 4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG． （1）求證：四邊形DEFG為菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB． （1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形； （2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r． 6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB． （1）求證：∠ABC=∠EDC； （2）求證：△ABC≌△EDC． 7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D． （1）求證：PC是⊙O的切線； （2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積； （3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長． 8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE= 時，四邊形BFCE是菱形． 9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F． （1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積． 10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）求證：四邊形BFDE為矩形． 11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根； （2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根． 12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F． （1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長． 13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H． （1）求證：HF=AP； （2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長． 14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E． （1）求證：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的長． 15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD． 求證：AD=CE． 16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等． 17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上． （1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形； （2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長． 18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證： （1）AC?PD=AP?BC； （2）PE=PD． 19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC． 20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO． （1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線； （2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長． 21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E． （1）求證：BD+2DE=BM． （2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG= ． 22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）． 23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE． （1）求證：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE． 24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2． 求證：四邊形ABCD是矩形． 25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF． （1）當AB=2時，求△GEC的面積； （2）求證：AE=EF． 26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形． 27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長． 28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點． （1）求證：PN與⊙O相切； （2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長． 29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長． 30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑； （2）求證：直線BF是⊙O的切線； （3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論． 31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O． （1）求證：△ABD≌△BEC； （2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形． 32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF． 33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD． （1）求證：∠BAD=∠BDC； （2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01） 34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE． （1）求證：∠A=∠AEB； （2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形． 35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為 A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D． ①求證：四邊形AFF′D是菱形． ②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長． 37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖： ①以A為圓心，AB長為半徑畫弧； ②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D； ③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD． （1）求證：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長． 38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求證：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的長． 39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE． （1）求證：AB=AC； （2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH． 40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F． （1）求證：直線FG是⊙O的切線； （2）若AC=10，cosA=，求CG的長． 41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E． （1）求證；∠EDB=∠EBD； （2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由． 42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F． （1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由． （2）求證：BE=CD，BE⊥CD． 43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF． （1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形； （2）①當AE= cm時，四邊形CEDF是矩形； ②當AE= cm時，四邊形CEDF是菱形． （直接寫出答案，不需求闡明理由） 44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC． （1）求證：BD是⊙O的切線； （2）求證：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長． 45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高． 類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用． （1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明； （2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？ 46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′． （1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由． 47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P． （1）求證：∠BCP=∠BAN （2）求證：=． 48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D． （1）求證：BE=CF； （2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長． 49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點． （1）求證：AB與⊙O相切； （2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？ 50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論． 51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C． （1）求證：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半徑． 52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E． （1）求證：DC是⊙O的切線； （2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）． 53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8． （1）求證：AF=EF； （2）求證：BF平分∠ABD． 54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO． （1）求證：△CDP≌△POB； （2）填空： ①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為 ； ②連接OD，當∠PBA的度數為 時，四邊形BPDO是菱形． 55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點． （1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形； （2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM． 56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM． （1）若AB=4，求的長；（結果保留π） （2）求證：四邊形ABMC是菱形． 57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H． （1）求證：CF=CH； （2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論． 58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG． （1）求證：△ABG≌△AFG； （2）求BG的長． 59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD． （1）證明：AB=CD； （2）證明：DP?BD=AD?BC； （2）證明：BD2=AB2+AD?BC． 60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求證：PB是的切線． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑． 2015年全國中考數學證明題60例 參考答案與試題解析 一、解 答 題（共60小題） 1．（2015?遵義）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延伸線于點F． （1）求證：△AEF≌△DEB； （2）證明四邊形ADCF是菱形； （3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積． 考點： 菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據AAS證△AFE≌△DBE； （2）利用①中全等三角形的對應邊相等得到AF=BD．已知條件，利用“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到AD=DC，從而得出結論； （3）由直角三角形ABC與菱形有相反的高，根據等積變形求出這個高，代入菱形面積公式可求出結論． 解答： （1）證明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE（AAS）； （2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB． ∵DB=DC，∴AF=CD． ∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中點，E是AD的中點，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形； （3）解：設菱形DC邊上的高為h，∴RT△ABC斜邊BC邊上的高也為h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面積為：DC?h=×=10． 點評： 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的運用，菱形的面積計算，次要考查先生的推理能力． 2．（2015?珠海）已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如圖1，連接BD，AF，則BD = AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如圖2，M為AB邊上一點，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF． 考點： 全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平移的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據等腰三角形的性質，可得∠ABC與∠ACB的關系，根據平移的性質，可得AC與DF的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案； （2）根據類似三角形的判定與性質，可得GM與HN的關系，BM與FN的關系，根據全等三角形的判定與性質，可得答案． 解答： （1）解：由AB=AC，得∠ABC=ACB． 由△ABC沿BC方向平移得到△DEF，得DF=AC，∠DFE=∠ACB． 在△ABF和△DFB中，△ABF≌△DFB（SAS），BD=AF，故答案為：BD=AF； （2）證明：如圖： MN∥BF，△AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF，=，=，∴MG=HN，MB=NF． 在△BMH和△FNG中，△BMH≌△FNG（SAS），∴BH=FG． 點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質，利用了平移的性質，類似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質． 3．（2015?鎮江）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延伸OA，OC到點E，F，使AE=CF，依次連接B，F，D，E各點． （1）求證：△BAE≌△BCF； （2）若∠ABC=50°，則當∠EBA= 20 °時，四邊形BFDE是正方形． 考點： 菱形的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又由于BA=BC，AE=CF，于是可證△BAE≌△BCF； （2）由已知可得四邊形BFDE對角線互相垂直平分，只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，由△BAE≌△BCF可知∠EBA=∠FBC，又由∠ABC=50°，可得∠EBA+∠FBC=40°，于是∠EBA=×40°=20°． 解答： （1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴AB=BC，∠BAC=∠BCA，∴∠BAE=∠BCF，在△BAE與△BCF中，∴△BAE≌△BCF（SAS）； （2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只需∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形，∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC，又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°，∴∠EBA=×40°=20°． 故答案為：20． 點評： 本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質以及正方形的判定．本題關鍵是根據SAS證明△BAE≌△BCF． 4．（2015?漳州）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將該矩形沿AE折疊，使點D落在邊BC上的點F處，過點F作分、FG∥CD，交AE于點G連接DG． （1）求證：四邊形DEFG為菱形； （2）若CD=8，CF=4，求的值． 考點： 翻折變換（折疊成績）；勾股定理；菱形的判定與性質；矩形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據折疊的性質，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易證FG=FE，故由四邊相等證明四邊形DEFG為菱形； （2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，從而求出的值． 解答： （1）證明：由折疊的性質可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，∵FG∥CD，∴∠2=∠3，∴FG=FE，∴DG=GF=EF=DE，∴四邊形DEFG為菱形； （2）解：設DE=x，根據折疊的性質，EF=DE=x，EC=8﹣x，在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，CE=8﹣x=3，∴=． 點評： 本題次要考查了折疊的性質、菱形的判定以及勾股定理，熟知折疊的性質和菱形的判定方法是解答此題的關鍵． 5．（2015?玉林）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點且∠BOD=60°，過點D作⊙O的切線CD交AB的延伸線于點C，E為的中點，連接DE，EB． （1）求證：四邊形BCDE是平行四邊形； （2）已知圖中暗影部分面積為6π，求⊙O的半徑r． 考點： 切線的性質；平行四邊形的判定；扇形面積的計算．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由∠BOD=60°E為的中點，得到，于是得到DE∥BC，根據CD是⊙O的切線，得到OD⊥CD，于是得到BE∥CD，即可證得四邊形BCDE是平行四邊形； （2）連接OE，由（1）知，得到∠BOE=120°，根據扇形的面積公式列方程即可得到結論． 解答： 解：（1）∵∠BOD=60°，∴∠AOD=120°，∴=，∵E為的中點，∴，∴DE∥AB，OD⊥BE，即DE∥BC，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形； （2）連接OE，由（1）知，∴∠BOE=120°，∵暗影部分面積為6π，∴=6π，∴r=6． 點評： 本題考查了切線的性質，平行四邊形的判定，扇形的面積公式，垂徑定理，證明是解題的關鍵． 6．（2015?永州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延伸AD到E點，使DE=AB． （1）求證：∠ABC=∠EDC； （2）求證：△ABC≌△EDC． 考點： 全等三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據四邊形的內角和等于360°求出∠B+∠ADC=180°，再根據鄰補角的和等于180°可得∠CDE+∠ADE=180°，從而求出∠B=∠CDE； （2）根據“邊角邊”證明即可． 解答： （1）證明：在四邊形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）連接AC，由（1）證得∠ABC=∠CDE，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS）． 點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，根據四邊形的內角和定理以及鄰補角的定義，利用同角的補角相等求出夾角相等是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點． 7．（2015?營口）如圖，點P是⊙O外一點，PA切⊙O于點A，AB是⊙O的直徑，連接OP，過點B作BC∥OP交⊙O于點C，連接AC交OP于點D． （1）求證：PC是⊙O的切線； （2）若PD=，AC=8，求圖中暗影部分的面積； （3）在（2）的條件下，若點E是的中點，連接CE，求CE的長． 考點： 切線的判定；扇形面積的計算．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OC，證明△PAO≌△PCO，得到∠PCO=∠PAO=90°，證明結論； （2）證明△ADP∽△PDA，得到成比例線段求出BC的長，根據S陰=S⊙O﹣S△ABC求出答案； （3）連接AE、BE，作BM⊥CE于M，分別求出CM和EM的長，求和得到答案． 解答： （1）證明：如圖1，連接OC，∵PA切⊙O于點A，∴∠PAO=90°，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∴∠AOP=∠COP，在△PAO和△PCO中，∴△PAO≌△PCO，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴PC是⊙O的切線； （2）解：由（1）得PA，PC都為圓的切線，∴PA=PC，OP平分∠APC，∠ADO=∠PAO=90°，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD，∴∠PAD=∠AOD，∴△ADP∽△ODA，∴，∴AD2=PD?DO，∵AC=8，PD=，∴AD=AC=4，OD=3，AO=5，由題意知OD為△的中位線，∴BC=6，OD=6，AB=10． ∴S陰=S⊙O﹣S△ABC=﹣24； （3）解：如圖2，連接AE、BE，作BM⊥CE于M，∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90°，∵點E是的中點，∴∠ECB=∠CBM=∠ABE=45°，CM=MB=3，BE=AB?cos45°=5，∴EM==4，則CE=CM+EM=7． 點評： 本題考查的是切線的判定和性質、扇形面積的計算和類似三角形的判定和性質，靈活運用切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑和切線的判定是解題的關鍵． 8．（2015?徐州）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形； （2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，則BE= 4 時，四邊形BFCE是菱形． 考點： 平行四邊形的判定；菱形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易證得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四邊形BFCE是平行四邊形； （2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，根據菱形的性質即可得到結果． 解答： （1）證明：∵AB=DC，∴AC=DF，在△AEC和△DFB中，∴△AEC≌△DFB（SAS），∴BF=EC，∠ACE=∠DBF ∴EC∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形； （2）當四邊形BFCE是菱形時，BE=CE，∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，∴BC=10﹣3﹣3=4，∵∠EBD=60°，∴BE=BC=4，∴當BE=4 時，四邊形BFCE是菱形，故答案為：4． 點評： 此題考查了類似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用，留意掌握輔助線的作法． 9．（2015?宿遷）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延伸與AD的延伸線相交于點F． （1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積． 考點： 平行四邊形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可； （2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾． 解答： （1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴∠CBE=∠DFE，在△BEC與△FED中，∴△BEC≌△FED，∴BE=FE，又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE，∴四邊形BDFC是平行四邊形； （2）①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB===2，所以，四邊形BDFC的面積=3×2=6； ②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG===，所以，四邊形BDFC的面積=3×=3； ③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立； 綜上所述，四邊形BDFC的面積是6或3． 點評： 本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，（1）確定出全等三角形是解題的關鍵，（2）難點在于分情況討論． 10．（2015?湘西州）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）求證：四邊形BFDE為矩形． 考點： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對角相等，利用AAS即可的值； （2）由平行四邊形的對邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形即可的值． 解答： 證明：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED=∠CFB=90°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD=BC，∠A=∠C，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（AAS）； （2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠CDE+∠DEB=180°，∵∠DEB=90°，∴∠CDE=90°，∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，則四邊形BFDE為矩形． 點評： 此題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質，以及平行四邊形的性質，純熟掌握矩形的判定方法是解本題的關鍵． 11．（2015?咸寧）已知關于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）證明：不論m為何值時，方程總有實數根； （2）m為何整數時，方程有兩個不相等的正整數根． 考點： 根的判別式；解一元二次方程-公式法．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）求出方程根的判別式，利用配方法進行變形，根據平方的非負性證明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的兩個根，根據題意求出m的值． 解答： （1）證明：△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2，∵不論m為何值時，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程總有實數根； （2）解：解方程得，x=，x1=，x2=1，∵方程有兩個不相等的正整數根，∴m=1或2，m=2不合題意，∴m=1． 點評： 本題考查的是一元二次方程根的判別式和求根公式的運用，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△＞0?方程有兩個不相等的實數根；△=0?方程有兩個相等的實數根；△＜0?方程沒有實數根是解題的關鍵． 12．（2015?咸寧）如圖，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一點O為圓心，OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D，分別交AC、AB于點E、F． （1）若∠B=30°，求證：以A、O、D、E為頂點的四邊形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，連結AD，求⊙O的半徑和AD的長． 考點： 切線的性質；菱形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OD、OE、ED．先證明△AOE是等邊三角形，得到AE=AO=0D，則四邊形AODE是平行四邊形，然后由OA=OD證明四邊形AODE是菱形； （2）連接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半徑，然后證明△ADC∽△AFD，得出AD2=AC?AF，進而求出AD． 解答： （1）證明：如圖1，連接OD、OE、ED． ∵BC與⊙O相切于一點D，∴OD⊥BC，∴∠ODB=90°=∠C，∴OD∥AC，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OE，∴△AOE是等邊三角形，∴AE=AO=0D，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵OA=OD，∴四邊形AODE是菱形． （2）解：設⊙O的半徑為r． ∵OD∥AC，∴△OBD∽△ABC． ∴，即10r=6（10﹣r）． 解得r=，∴⊙O的半徑為． 如圖2，連接OD、DF． ∵OD∥AC，∴∠DAC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DAC=∠DAO，∵AF是⊙O的直徑，∴∠ADF=90°=∠C，∴△ADC∽△AFD，∴，∴AD2=AC?AF，∵AC=6，AF=，∴AD2=×6=45，∴AD==3． 點評： 本題考查了切線的性質、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、菱形的判定和性質以及類似三角形的判定和性質，是一個綜合題，難度中等．純熟掌握相關圖形的性質及判定是解本題的關鍵． 13．（2015?梧州）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H． （1）求證：HF=AP； （2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長． 考點： 正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）先根據EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．根據∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結論； （2）由勾股定理求出BP的長，根據EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據銳角三角函數的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再根據EQ=EF﹣QF即可得出結論． 解答： （1）證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°． ∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM． 在Rt△APB與Rt△HFE中，∴△APB≌△HFE，∴HF=AP； （2）解：由勾股定理得，BP===4． ∵EF是BP的垂直平分線，∴BQ=BP=2，∴QF=BQ?tan∠FBQ=BQ?tan∠ABP=2×=． 由（1）知，△APB≌△HFE，∴EF=BP=4，∴EQ=EF﹣QF=4﹣=． 點評： 本題考查的是正方形的性質，熟知正方形的性質及全等三角形的判定與性質是解答此題的關鍵． 14．（2015?威海）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E． （1）求證：BE=CE； （2）若BD=2，BE=3，求AC的長． 考點： 類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；圓周角定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連結AE，如圖，根據圓周角定理，由AC為⊙O的直徑得到∠AEC=90°，然后利用等腰三角形的性質即可得到BE=CE； （2）連結DE，如圖，證明△BED∽△BAC，然后利用類似比可計算出AB的長，從而得到AC的長． 解答： （1）證明：連結AE，如圖，∵AC為⊙O的直徑，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE； （2）連結DE，如圖，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9． 點評： 本題考查了類似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形類似時，應留意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋覓類似三角形的普通方法是經過作平行線構造類似三角形．也考查了角平分線的性質和圓周角定理． 15．（2015?銅仁市）已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連接DF并延伸交BC的延伸線于點E，EF=FD． 求證：AD=CE． 考點： 全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： 作DG∥BC交AC于G，先證明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再證明△ADG是等邊三角形，得出AD=GD，即可得出結論． 解答： 證明：作DG∥BC交AC于G，如圖所示： 則∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GD=CE，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60°，∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等邊三角形，∴AD=GD，∴AD=CE． 點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質；純熟掌握等邊三角形的判定與性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵． 16．（2015?通遼）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求證：△ABC與△DEC全等． 考點： 全等三角形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： 根據同角的余角相等可得到∠3=∠5，條件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可證得結論． 解答： 解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）． 點評： 本題次要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 17．（2015?鐵嶺）如圖，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，點E、F分別在邊CD、AB上． （1）若DE=BF，求證：四邊形AFCE是平行四邊形； （2）若四邊形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周長． 考點： 矩形的性質；平行四邊形的判定；菱形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）首先根據矩形的性質可得AB平行且等于CD，然后根據DE=BF，可得AF平行且等于CE，即可證明四邊形AFCE是平行四邊形； （2）根據四邊形AFCE是菱形，可得AE=CE，然后設DE=x，表示出AE，CE的長度，根據相等求出x的值，繼而可求得菱形的邊長及周長． 解答： 解；（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形； （2）∵四邊形AFCE是菱形，∴AE=CE，設DE=x，則AE=，CE=8﹣x，則=8﹣x，解得：x=，則菱形的邊長為：8﹣=，周長為：4×=25，故菱形AFCE的周長為25． 點評： 本題考查了矩形的性質和菱形的性質，解答本題的關鍵是則矩形對邊平行且相等的性質以及菱形四條邊相等的性質． 18．（2015?天水）如圖，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，OC平行于弦AD，過點D作DE⊥AB于點E，連結AC，與DE交于點P．求證： （1）AC?PD=AP?BC； （2）PE=PD． 考點： 切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）首先根據AB是⊙O的直徑，BC是切線，可得AB⊥BC，再根據DE⊥AB，判斷出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以=；然后判斷出=，即可判斷出ED=2EP，據此判斷出PE=PD即可． （2）首先根據△AEP∽△ABC，判斷出；然后根據PE=PD，可得，據此判斷出AC?PD=AP?BC即可． 解答： 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴=…①，又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴===…②，由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD． （2）∵AB是⊙O的直徑，BC是切線，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，∵PE=PD，∴，∴AC?PD=AP?BC． 點評： （1）此題次要考查了切線的性質和運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①圓的切線垂直于切點的半徑．②圓心且垂直于切線的直線必切點．③切點且垂直于切線的直線必圓心． （2）此題還考查了類似三角形的判定和性質的運用，要純熟掌握． 19．（2015?泰安）如圖，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四邊形BCDE是平行四邊形，E為AC中點，BD平分∠ABC，點F在AB上，且BF=BC．求證： （1）DF=AE； （2）DF⊥AC． 考點： 全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）延伸DE交AB于點G，連接AD．構建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），則由該全等三角形的對應邊相等證得結論； （2）設AC與FD交于點O．利用（1）中全等三角形的對應角相等，等角的補角相等以及三角形內角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC． 解答： 證明：（1）延伸DE交AB于點G，連接AD． ∵四邊形BCDE是平行四邊形，∴ED∥BC，ED=BC． ∵點E是AC的中點，∠ABC=90°，∴AG=BG，DG⊥AB． ∴AD=BD，∴∠BAD=∠ABD． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°． 又BF=BC，∴BF=DE． ∴在△AED與△DFB中，∴△AED≌△DFB（SAS），∴AE=DF，即DF=AE； （2）設AC與FD交于點O． ∵由（1）知，△AED≌△DFB，∴∠AED=∠DFB，∴∠DEO=∠DFG． ∵∠DFG+∠FDG=90°，∴∠DOE+∠EDO=90°，∴∠EOD=90°，即DF⊥AC． 點評： 本題考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質．全等三角形的判定是全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件． 20．（2015?隨州）如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO． （1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線； （2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長． 考點： 切線的判定與性質；弧長的計算；作圖—基本作圖．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線； （2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可． 解答： 解：（1）作圖如右圖，連接OA，過O作OB⊥PC，∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，∴OA=OB，即d=r，∴PC是⊙O的切線； （2）∵PA、PC是⊙O的切線，∴PA=PB，又∵AB=AP=4，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°，∴∠AOB=120°，∠POA=60°，在Rt△AOP中，tan60°= ∴OA= ∴==． 點評： 本題考查了尺規作圖、切線的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、銳角三角函數以及弧長的計算，求出圓心角和半徑長是處理成績的關鍵． 21．（2015?綏化）如圖1，在正方形ABCD中，延伸BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延伸線于點E． （1）求證：BD+2DE=BM． （2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG= ． 考點： 類似三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，首先證明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到結論； （2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的長． 解答： （1）證明：過點M作MP⊥BC交BD的延伸線于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，∴PM∥CN，∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，∴BM=PM，∵BM=DN，∴DN=MP，在△DEN和△PEM中，∴△DEN≌△PEM，∴DE=EP，∵△BMP是等腰直角三角形 ∴BP=BM ∴BD+2DE=BM． （2）解：∵AF：FD=1：2，∴DF：BC=2：3，∵△BCN∽△FDN，∴ 設正方形邊長為a，又知CM=2，∴BM=DN=a+2，CN=2a+2 ∴，解得：a=2，∴DF=，BM=4，BD=2，又∵△DFG∽△BMG，∴，∴，∴DG=． 故答案為：． 點評： 本題次要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、類似三角形的判定與性質以及勾股定理的綜合運用，運用三角形類似求出正方形的邊長是處理第2小題的關鍵． 22．（2015?蘇州）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以B、C為圓心，BC長為半徑在BC下方畫弧．設兩弧交于點D，與AB、AC的延伸線分別交于點E、F，連接AD、BD、CD （1）求證：AD平分∠BAC； （2）若BC=6，∠BAC=50°，求DE、DF的長度之和（結果保留π）． 考點： 全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；弧長的計算．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據題意得出BD=CD=BC，由SSS證明△ABD≌△ACD，得出∠BAD=∠CAD即可； （2）由等腰三角形的性質得出∠ABC=∠ACB=65°，由等邊三角形的性質得出∠DBC=∠DCB=60°，再由平角的定義求出∠DBE=∠DCF=55°，然后根據弧長公式求出、的長度，即可得出結果． 解答： （1）證明：根據題意得：BD=CD=BC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC； （2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=65°，∵BD=CD=BC，∴△BDC為等邊三角形，∴∠DBC=∠DCB=60°，∴∠DBE=∠DCF=55°，∵BC=6，∴BD=CD=6，∴的長度=的長度==； ∴、的長度之和為+=． 點評： 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、弧長的計算；純熟掌握全等三角形和等邊三角形的判定與性質，并能進行推理計算是處理成績的關鍵． 23．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，點E在邊BC的延伸線上，且OE=OB，連接DE． （1）求證：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE=CD?DE． 考點： 類似三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由平行四邊形的性質得到BO=BD，由等量代換推出OE=BD，根據平行四邊形的判定即可得到結論； （2）根據等角的余角相等，得到∠CEO=∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結論． 解答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=BD，∵OE=OB，∴OE=BD，∴∠BED=90°，∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，∴∠CEO=∠CDE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠CDE，∵∠BED=∠BED，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE=CD?DE． 點評： 本題考查了類似三角形的判定和性質，直角三角形的判定和性質，平行四邊形的性質，熟記定理是解題的關鍵． 24．（2015?廈門）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，n），B（m，n）（m＞2），D（p，q）（q＜n），點B，D在直線y=x+1上．四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點E，且AB∥CD，CD=4，BE=DE，△AEB的面積是2． 求證：四邊形ABCD是矩形． 考點： 矩形的判定；函數圖象上點的坐標特征．版權一切 專題： 證明題． 分析： 首先利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定該四邊形為平行四邊形，然后根據△ABE的面積得到整個四邊形的面積和AD的長，根據平行四邊形的面積計算方法得當DA⊥AB即可判定矩形． 解答： 證明：作EF⊥AB于點F，∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE，∴AE=CE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵A（2，n），B（m，n），易知A，B兩點縱坐標相反，∴AB∥CD∥x軸，∴m﹣2=4，m=6，將B（6，n）代入直線y=x+1得n=4，∴B（6，4），∵CD=4，△AEB的面積是2，∴EF=1，∵D（p，q），∴E（，），F（，4），∴+1=4，∴q=2，p=2，∴DA⊥AB，∴四邊形ABCD是矩形． 點評： 本題考查了矩形的判定，解題的關鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大． 25．（2015?慶陽）如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，直線EF交正方形外角的平分線于點F，交DC于點G，且AE⊥EF． （1）當AB=2時，求△GEC的面積； （2）求證：AE=EF． 考點： 全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）首先根據△ABE∽△ECG得到AB：EC=BE：GC，從而求得GC=即可求得S△GEC； （2）取AB的中點H，連接EH，根據已知及正方形的性質利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF； 解答： 解：（1）∵AB=BC=2，點E為BC的中點，∴BE=EC=1，∵AE⊥EF，∴△ABE∽△ECG，∴AB：EC=BE：GC，即：2：1=1：GC，解得：GC=，∴S△GEC=?EC?CG=×1×=； （2）證明：取AB的中點H，連接EH； ∵ABCD是正方形，AE⊥EF； ∴∠1+∠AEB=90°，∠2+∠AEB=90° ∴∠1=∠2，∵BH=BE，∠BHE=45°，且∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，∴△AHE≌△ECF，∴AE=EF； 點評： 此題考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質，解（2）題的關鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再根據全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF． 26．（2015?青海）如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于點E．求證：四邊形ADCE是菱形． 考點： 菱形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： 首先根據平行四邊形的判定方法，判斷出四邊形ADCE是平行四邊形；然后判斷出AE=CE，即可判斷出四邊形ADCE是菱形，據此解答即可． 解答： 證明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE，又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，又∵四邊形ADCE是平行四邊形，∴四邊形ADCE是菱形． 點評： 此題次要考查了菱形的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等； ③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線． 27．（2015?欽州）如圖，AB為⊙O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A． （1）求證：BC是⊙O的切線； （2）連接OC，如果OC恰好弦BD的中點E，且tanC=，AD=3，求直徑AB的長． 考點： 切線的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由AB為⊙O的直徑，可得∠D=90°，繼而可得∠ABD+∠A=90°，又由∠DBC=∠A，即可得∠DBC+∠ABD=90°，則可證得BC是⊙O的切線； （2）根據點O是AB的中點，點E時BD的中點可知OE是△ABD的中位線，故AD∥OE，則∠A=∠BOC，再由（1）∠D=∠OBC=90°，故∠C=∠ABD，由tanC=可知tan∠ABD==，由此可得出結論． 解答： （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠D=90°，∴∠ABD+∠A=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠DBC+∠ABD=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線； （2）∵點O是AB的中點，點E時BD的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴AD∥OE，∴∠A=∠BOC．、∵由（1）∠D=∠OBC=90°，∴∠C=∠ABD，∵tanC=，∴tan∠ABD===，解得BD=6，∴AB===3． 點評： 本題考查的是切線的判定，熟知半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解答此題的關鍵． 28．（2015?黔東南州）如圖，已知PC平分∠MPN，點O是PC上任意一點，PM與⊙O相切于點E，交PC于A、B兩點． （1）求證：PN與⊙O相切； （2）如果∠MPC=30°，PE=2，求劣弧的長． 考點： 切線的判定與性質；弧長的計算．版權一切 專題： 計算題；證明題． 分析： （1）連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，利用AAS得到三角形PEO與三角形PFO全等，利用全等三角形對應邊相等得到=OE，即可確定出PN與圓O相切； （2）在直角三角形POE中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，∠EOB度數，利用弧長公式即可求出劣弧的長． 解答： （1）證明：連接OE，過O作OF⊥PN，如圖所示，∵PM與圓O相切，∴OE⊥PM，∴∠OEP=∠OFP=90°，∵PC平分∠MPN，∴∠EPO=∠FPO，在△PEO和△PFO中，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴OF=OE，則PN與圓O相切； （2）在Rt△EPO中，∠MPC=30°，PE=2，∴∠EOP=60°，OE=2，∴∠EOB=120°，則的長l==． 點評： 此題考查了切線的判定與性質，弧長公式，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵． 29．（2015?潛江）如圖，AC是⊙O的直徑，OB是⊙O的半徑，PA切⊙O于點A，PB與AC的延伸線交于點M，∠COB=∠APB． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）當OB=3，PA=6時，求MB，MC的長． 考點： 切線的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據切線的性質，可得∠MAP=90°，根據直角三角形的性質，可得∠P+M=90°，根據余角的性質，可得∠M+∠MOB=90°，根據直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根據切線的判定，可得答案； （2）根據類似三角形的判定與性質，可得==，根據解方程組，可得答案． 解答： （1）證明：∵PA切⊙O于點A，∴∠MAP=90°，∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB，∴∠M+∠MOB=90°，∴∠MOB=90°，即OB⊥PB，∵PB直徑的外端點，∴PB是⊙O的切線； （2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，∴△OBM∽△APM，∴==，= ①，= ② 聯立①②得，解得，當OB=3，PA=6時，MB=4，MC=2． 點評： 本題考查了切線的判定與性質，（1）利用了切線的判定與性質，直角三角形的判定與性質，余角的性質；（2）利用了類似三角形的判定與性質，解方程組． 30．（2015?盤錦）如圖1，AB為⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為P，過點B的直線與線段AD的延伸線交于點F，且∠F=∠ABC． （1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半徑； （2）求證：直線BF是⊙O的切線； （3）當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延伸線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么的四邊形？請在圖2中補全圖象并證明你的結論． 考點： 圓的綜合題．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據垂徑定理求得PC，連接OC，根據勾股定理求得即可； （2）求得△PBC∽△BFA，根據類似三角形對應角相等求得∠ABF=∠CPB=90°，即可證得結論； （3）經過證得AE=BF，AE∥BF，從而證得四邊形AEBF是平行四邊形． 解答： （1）解：CD⊥AB，∴PC=PD=CD=，連接OC，設⊙O的半徑為r，則PO=PB﹣r=4﹣r，在RT△POC中，OC2=OP2+PC2，即r2=（4﹣r）2+（）2，解得r=． （2）證明：∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，∴∠ABF=∠CPB，∵CD⊥AB，∴∠ABF=∠CPB=90°，∴直線BF是⊙O的切線； （3）四邊形AEBF是平行四邊形； 理由：解：如圖2所示：∵CD⊥AB，垂足為P，∴當點P與點O重合時，CD=AB，∴OC=OD，∵AE是⊙O的切線，∴BA⊥AE，∵CD⊥AB，∴DC∥AE，∵AO=OB，∴OC是△ABE的中位線，∴AE=2OC，∵∠D=∠ABC，∠F=∠ABC． ∴∠D=∠F，∴CD∥BF，∵AE∥BF，∵OA=OB，∴OD是△ABF的中位線，∴BF=2OD，∴AE=BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形． 點評： 本題考查了切線的判定，勾股定理的運用，三角形類似的判定和性質，三角形的中位線的性質，平行四邊形的判定等，純熟掌握性質定理是解題的關鍵． 31．（2015?內江）如圖，將?ABCD的邊AB延伸至點E，使AB=BE，連接DE，EC，DE交BC于點O． （1）求證：△ABD≌△BEC； （2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形． 考點： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據平行四邊形的判定與性質得到四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可； （2）欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知BC=ED． 解答： 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD． 又∵AB=BE，∴BE=DC，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD=EC． ∴在△ABD與△BEC中，∴△ABD≌△BEC（SSS）； （2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB． ∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD． 又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，∴∠OCD=∠ODC，∴OC=OD，∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，∴平行四邊形BECD為矩形． 點評： 本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，平行線的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點的綜合運用，難度較大． 32．（2015?南通）如圖，在?ABCD中，點E，F分別在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=DF． 考點： 平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證； （2）過D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在直角三角形DEB中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EB=2DH，易得四邊形EBFD為平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等得到EB=DF，等量代換即可得證． 解答： 證明：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，在△AED和△CFB中，∴△AED≌△CFB（ASA）； （2）作DH⊥AB，垂足為H，在Rt△ADH中，∠A=30°，∴AD=2DH，在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，∴四邊形EBFD為平行四邊形，∴FD=EB，∴DA=DF． 點評： 此題考查了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，以及含30度直角三角形的性質，純熟掌握平行四邊形的判定與性質是解本題的關鍵． 33．（2015?南平）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB延伸線上的一點，CD與半圓O相切于點D，連接AD，BD． （1）求證：∠BAD=∠BDC； （2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半徑．（到0.01） 考點： 切線的性質；解直角三角形．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OD，利用切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行證明即可； （2）根據三角函數進行計算即可． 解答： 證明：（1）連接OD，如圖，∵CD與半圓O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC； （2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半徑為． 點評： 此題考查切線的性質，關鍵是根據切線的性質和直徑的性質轉化為角的關系進行分析． 34．（2015?南京）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，BC的延伸線與AD的延伸線交于點E，且DC=DE． （1）求證：∠A=∠AEB； （2）連接OE，交CD于點F，OE⊥CD，求證：△ABE是等邊三角形． 考點： 圓內接四邊形的性質；等邊三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據圓內接四邊形的性質可得∠A+∠BCD=180°，根據鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD=180°，進而得到∠A=∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE=∠AEB，進而可得∠A=∠AEB； （2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB=60°，再根據∠A=∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形． 解答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB； （2）∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等邊三角形． 點評： 此題次要考查了等邊三角形的判定和性質，以及圓內接四邊形的性質，關鍵是掌握圓內接四邊形對角互補． 35．（2015?南充）如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證： （1）△AEF≌△CEB； （2）AF=2CD． 考點： 全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB； （2）由全等三角形的性質得AF=BC，由等腰三角形的性質“三線合一”得BC=2CD，等量代換得出結論． 解答： 證明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B 在△AEF與△CEB中，∴△AEF≌△CEB（AAS）； （2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD． 點評： 本題次要考查了全等三角形性質與判定，等腰三角形的性質，運用等腰三角形的性質是解答此題的關鍵． 36．（2015?南昌）（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為 C A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 （2）如圖2，在（1）中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF=4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的地位，拼成四邊形AFF′D． ①求證：四邊形AFF′D是菱形． ②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長． 考點： 圖形的剪拼；平行四邊形的性質；菱形的判定與性質；矩形的判定；平移的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據矩形的判定，可得答案； （2）①根據菱形的判定，可得答案； ②根據勾股定理，可得答案． 解答： 解：（1）如圖1，紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的地位，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的外形為矩形，故選：C； （2）①證明：∵紙片?ABCD中，AD=5，S?ABCD=15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴AE=3． 如圖2：，∵△AEF，將它平移至△DE′F′，∴AF∥DF′，AF=DF′，∴四邊形AFF′D是平行四邊形． 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF===5，∴AF=AD=5，∴四邊形AFF′D是菱形； ②連接AF′，DF，如圖3： 在Rt△DE′F中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF===，在Rt△AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′===3． 點評： 本題考查了圖形的剪拼，利用了矩形的判定，菱形的判定，勾股定理． 37．（2015?梅州）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖： ①以A為圓心，AB長為半徑畫弧； ②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D； ③連接BD，與AC交于點E，連接AD，CD． （1）求證：△ABC≌△ADC； （2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的長． 考點： 全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）利用SSS定理證得結論； （2）設BE=x，利用角的三角函數易得AE的長，由∠BCA=45°易得CE=BE=x，解得x，得CE的長． 解答： （1）證明：在△ABC與△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS）； （2）解：設BE=x，∵∠BAC=30°，∴∠ABE=60°，∴AE=tan60°?x=x，∵△ABC≌△ADC，∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，∵∠BCA=45°，∴∠BCA=∠DCA=45°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CE=BE=x，∴x+x=4，∴x=2﹣2，∴BE=2﹣2． 點評： 本題次要考查了全等三角形的判定及性質，角的三角函數，利用方程思想，綜合運用全等三角形的性質和判定定理是解答此題的關鍵． 38．（2015?龍巖）如圖，E，F分別是矩形ABCD的邊AD，AB上的點，若EF=EC，且EF⊥EC． （1）求證：AE=DC； （2）已知DC=，求BE的長． 考點： 矩形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據矩形的性質和已知條件可證明△AEF≌△DCE，可證得AE=DC； （2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的長． 解答： （1）證明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠1+∠2=90°，∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AE=DC； （2）解：由（1）得AE=DC，∴AE=DC=，在矩形ABCD中，AB=CD=，在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即（）2+（）2=BE2，∴BE=2． 點評： 本題次要考查矩形的性質和全等三角形的判定和性質，在（1）中證得三角形全等是解題的關鍵，在（2）中留意勾股定理的運用． 39．（2015?柳州）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，邊CD與⊙O相交于點E，連接AE，BE． （1）求證：AB=AC； （2）若過點A作AH⊥BE于H，求證：BH=CE+EH． 考點： 切線的性質；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據弦切角定理和圓周角定理證明∠ABC=∠ACB，得到答案； （2）作AF⊥CD于F，證明△AEH≌△AEF，得到EH=EF，根據△ABH≌△ACF，得到答案． 解答： 證明：（1）∵AD與△ABC的外接圓⊙O恰好相切于點A，∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC； （2）作AF⊥CD于F，∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF，在△ABH和△ACF中，∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH． 點評： 本題考查的是切線的性質和平行四邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，運用性質證明相關的三角形全等是解題的關鍵，留意圓周角定理和圓內接四邊形的性質的運用． 40．（2015?遼陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，DG⊥AC于點G，交AB的延伸線于點F． （1）求證：直線FG是⊙O的切線； （2）若AC=10，cosA=，求CG的長． 考點： 切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）首先判斷出OD∥AC，推得∠ODG=∠DGC，然后根據DG⊥AC，可得∠DGC=90°，∠ODG=90°，推得OD⊥FG，即可判斷出直線FG是⊙O的切線． （2）首先根據類似三角形判定的方法，判斷出△ODF∽△AGF，再根據cosA=，可得cos∠DOF=；然后求出OF、AF的值，即可求出AG、CG的值各是多少． 解答： （1）證明：如圖1，連接OD，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠ODG=∠DGC，∵DG⊥AC，∴∠DGC=90°，∴∠ODG=90°，∴OD⊥FG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線FG是⊙O的切線． （2）解：如圖2，∵AB=AC=10，AB是⊙O的直徑，∴OA=OD=10÷2=5，由（1），可得 OD⊥FG，OD∥AC，∴∠ODF=90°，∠DOF=∠A，在△ODF和△AGF中，∴△ODF∽△AGF，∴，∵cosA=，∴cos∠DOF=，∴=，∴AF=AO+OF=5，∴，解得AG=7，∴CG=AC﹣AG=10﹣7=3，即CG的長是3． 點評： （1）此題次要考查了切線的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確切線的判定定理：半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． （2）此題還考查了三角形類似的判定和性質的運用，要純熟掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形類似；②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形類似；③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形類似． 41．（2015?連云港）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E． （1）求證；∠EDB=∠EBD； （2）判斷AF與DB能否平行，并闡明理由． 考點： 翻折變換（折疊成績）；平行四邊形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由折疊和平行線的性質易證∠EDB=∠EBD； （2）AF∥DB；首先證明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根據三角形內角和與等式性質可證明∠BDE=∠AFE，所以AF∥BD． 解答： 解：（1）由折疊可知：∠CDB=∠EDB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠CDB=∠EBD，∴∠EDB=∠EBD； （2）AF∥DB； ∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，由折疊可知：DC=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，∴DF=AB，∴AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°，同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°，∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA，∴AF∥DB． 點評： 本題次要考查了折疊變換、平行四邊形的性質、等腰三角形的性質的綜合運用，運用三角形內角和定理和等式性質得出內錯角相等是處理成績的關鍵． 42．（2015?萊蕪）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點F． （1）判斷四邊形ACGD的外形，并闡明理由． （2）求證：BE=CD，BE⊥CD． 考點： 全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形；平行四邊形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）利用等腰直角三角形的性質易得BD=2BC，由于G為BD的中點，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形； （2）利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結論． 解答： （1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AB=BC，∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形，∴BD==BC=2BC，∵G為BD的中點，∴BG=BD=BC，∴△CBG為等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，∵∠ADB=45°，AD∥CG，∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四邊形ACGD為平行四邊形； （2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，在△DAC與△BAE中，∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD； ∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴CE=AB=AD，在△BCE與△CAD中，∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD． 點評： 本題次要考查了等腰直角三角形的性質，平行四邊形和全等三角形的判定及性質定理，綜合運用各種定理是解答此題的關鍵． 43．（2015?酒泉）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中點，E是邊AD上的動點，EG的延伸線與BC的延伸線交于點F，連結CE，DF． （1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形； （2）①當AE= 3.5 cm時，四邊形CEDF是矩形； ②當AE= 2 cm時，四邊形CEDF是菱形． （直接寫出答案，不需求闡明理由） 考點： 平行四邊形的判定與性質；菱形的判定；矩形的判定．版權一切 專題： 證明題；動點型． 分析： （1）證△CFG≌△EDG，推出FG=EG，根據平行四邊形的判定推出即可； （2）①求出△MBA≌△EDC，推出∠CED=∠AMB=90°，根據矩形的判定推出即可； ②求出△CDE是等邊三角形，推出CE=DE，根據菱形的判定推出即可． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥ED，∴∠FCG=∠EDG，∵G是CD的中點，∴CG=DG，在△FCG和△EDG中，∴△FCG≌△EDG（ASA） ∴FG=EG，∵CG=DG，∴四邊形CEDF是平行四邊形； （2）①解：當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形，理由是：過A作AM⊥BC于M，∵∠B=60°，AB=3，∴BM=1.5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM，在△MBA和△EDC中，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED=∠AMB=90°，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是矩形，故答案為：3.5； ②當AE=2時，四邊形CEDF是菱形，理由是：∵AD=5，AE=2，∴DE=3，∵CD=3，∠CDE=60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CE=DE，∵四邊形CEDF是平行四邊形，∴四邊形CEDF是菱形，故答案為：2． 點評： 本題考查了平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，矩形的判定，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定的運用，留意：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形． 44．（2015?荊門）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延伸線上一點，且∠ODB=∠AEC． （1）求證：BD是⊙O的切線； （2）求證：CE2=EH?EA； （3）若⊙O的半徑為5，sinA=，求BH的長． 考點： 圓的綜合題．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由圓周角定理和已知條件證出∠ODB=∠ABC，再證出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切線； （2）連接AC，由垂徑定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，證明△CEH∽△AEC，得出對應邊成比例，即可得出結論； （3）連接BE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，由三角函數求出BE，再根據勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的結論求出EH，然后根據勾股定理求出BH即可． 解答： （1）證明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切線； （2）證明：連接AC，如圖1所示： ∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH?EA； （3）解：連接BE，如圖2所示： ∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半徑為5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB?sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH?EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===． 點評： 本題是圓的綜合標題，考查了切線的判定、圓周角定理、圓心角、弧、弦之間的關系定理、勾股定理、三角函數、類似三角形的判定與性質等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需求經過作輔助線證明三角形類似和運用三角函數、勾股定理才能得出結果． 45．（2015?吉林）如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==??R=lR．經過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高． 類比扇形，我們探求扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其運用． （1）設扇環的面積為S扇環，的長為l1，的長為l2，線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代數式表示S扇環，并證明； （2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積，面積是多少？ 考點： 圓的綜合題．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據扇形公式之間的關系，已知條件推出結果即可； （2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的結果，化成頂點式，即可得出答案． 解答： （1）S扇環=（l1﹣l2）h，證明：設大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數為n，則由l=，得R=，r= 所以圖中扇環的面積S=×l1×R﹣×l2×r =l1?﹣l2? =（l12﹣l22） =（l1+l2）（l1﹣l2） =??（R﹣r）（l1﹣l2） =（l1﹣l2）（R﹣r） =（l1+l2）h，故猜想正確． （2）解：根據題意得：l1+l2=40﹣2h，則S扇環=（l1+l2）h =（40﹣2h）h =﹣h2+20h =﹣（h﹣10）2+100 ∵﹣1＜0，∴開口向下，有值，當h=10時，值是100，即線段AD的長h為10m時，花園的面積，面積是100m2． 點評： 本題次要考查了扇形面積公式，弧長公式，二次函數的頂點式的運用，能猜想出正確結論是解此題的關鍵，有一定的難度． 46．（2015?黃石）在△AOB中，C，D分別是OA，OB邊上的點，將△OCD繞點O順時針旋轉到△OC′D′． （1）如圖1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分別為OA，OB的中點，證明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′； （2）如圖2，若△AOB為任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′與BD′交于點E，猜想∠AEB=θ能否成立？請闡明理由． 考點： 類似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）①由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，證出OC′=OD′，由SAS證明△AOC′≌△BOD′，得出對應邊相等即可； ②由全等三角形的性質得出∠OAC′=∠OBD′，又由對頂角相等和三角形內角和定理得出∠BEA=90°，即可得出結論； （2）由旋轉的性質得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行線得出比例式，得出，證明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由對頂角相等和三角形內角和定理即可得出∠AEB=θ． 解答： （1）證明：①∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D為OA、OB的中點，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′； ②延伸AC′交BD′于E，交BO于F，如圖1所示： ∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′； （2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如圖2所示： ∵△OCD旋轉到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ． 點評： 本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、類似三角形的判定與性質；純熟掌握旋轉的性質，并能進行推理論證是處理成績的關鍵． 47．（2015?黃岡）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點M，交BC于點N，連接AN，過點C的切線交AB的延伸線于點P． （1）求證：∠BCP=∠BAN （2）求證：=． 考點： 切線的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由AC為⊙O直徑，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根據PC是⊙O的切線，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到結論． （2）由等腰三角形的性質得到∠ABC=∠ACB，根據圓內接四邊形的性質得到∠PBC=∠AMN，證出△BPC∽△MNA，即可得到結論． 解答： （1）證明：∵AC為⊙O直徑，∴∠ANC=90°，∴∠NAC+∠ACN=90°，∵AB=AC，∴∠BAN=∠CAN，∵PC是⊙O的切線，∴∠ACP=90°，∴∠ACN+∠PCB=90°，∴∠BCP=∠CAN，∴∠BCP=∠BAN； （2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，∴∠PBC=∠AMN，由（1）知∠BCP=∠BAN，∴△BPC∽△MNA，∴． 點評： 本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，類似三角形的判定和性質，圓內接四邊形的性質，解此題的關鍵是純熟掌握定理． 48．（2015?湖北）如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，連接BE、CF相交于點D． （1）求證：BE=CF； （2）當四邊形ACDE為菱形時，求BD的長． 考點： 旋轉的性質；勾股定理；菱形的性質．版權一切 專題： 計算題；證明題． 分析： （1）先由旋轉的性質得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，則∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根據旋轉的定義，△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，然后根據旋轉的性質得到BE=CD； （2）由菱形的性質得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根據等腰三角形的性質得∠AEB=∠ABE，根據平行線得性質得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判斷△ABE為等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 解答： （1）證明：∵△AEF是由△ABC繞點A按順時針方向旋轉得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC繞點A按順時針方向旋轉得到，∴BE=CF； （2）解：∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE為等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1． 點評： 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉的距離相等；對應點與旋轉所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了菱形的性質． 49．（2015?葫蘆島）如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延伸線于點E，與⊙O相交于G、F兩點． （1）求證：AB與⊙O相切； （2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？ 考點： 切線的判定與性質；勾股定理；解直角三角形．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）過點O作OM⊥AB，垂足是M，證明OM等于圓的半徑OD即可； （2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF，則四邊形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函數求得OM和BM的長，則BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，則BF即可求解． 解答： 解：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M． ∵⊙O與AC相切于點D． ∴OD⊥AC，∴∠ADO=∠AMO=90°． ∵△ABC是等邊三角形，∴∠DAO=∠NAO，∴OM=OD． ∴AB與⊙O相切； （2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF． ∵O是BC的中點，∴OB=2． 在直角△OBM中，∠MBO=60du6，∴OM=OB?sin60°=，BM=OB?cos60°=1． ∵BE⊥AB，∴四邊形OMBN是矩形． ∴ON=BM=1，BN=OM=． ∵OF=OM=，由勾股定理得NF=． ∴BF=BN+NF=+． 點評： 本題考查了切線的性質與判定，以及等邊三角形的性質，正確作出輔助線構造矩形是處理本題的關鍵． 50．（2015?呼倫貝爾）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線． （1）求證：△ADE≌△CBF； （2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結論． 考點： 平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF； （2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分別為邊AB、CD的中點，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBF中，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，理由如下： 解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，∴DF∥AE，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形． 點評： 本題次要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點是解題的關鍵． 51．（2015?呼倫貝爾）如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延伸線交直線l于點C． （1）求證：AB=AC； （2）若PC=2，求⊙O的半徑． 考點： 切線的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可； （2）延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，根據AB=AC推出52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出=，代入求出即可． 解答： 證明：（1）如圖1，連接OB． ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC； （2）如圖2，延伸AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5﹣r，則AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2，AC2=PC2﹣PA2=（2）2﹣（5﹣r）2，∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直徑，∴∠PBD=90°=∠PAC，又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=，∴=，解得：PB=． ∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為． 點評： 本題考查了等腰三角形的性質和判定，類似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理，直線與圓的地位關系等知識點的運用，次要培養先生運用性質進行推理和計算的能力．本題綜合性比較強，有一定的難度． 52．（2015?賀州）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E． （1）求證：DC是⊙O的切線； （2）若OE=cm，AC=2cm，求DC的長（結果保留根號）． 考點： 切線的判定；類似三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OC，推出∠DAC=∠OCA=∠，推出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據切線判定推出即可； （2）首先求得線段AO的長，然后證△AOE∽△ACD，得出比例式，代入求出即可． 解答： （1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°，∴OC⊥CD，∵OC為半徑，∴CD是⊙O的切線． （2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=cm，在Rt△AOE中，AO===4cm，由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴，即，∴DC=cm． 點評： 本題考查了類似三角形的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，平行線性質和判定，等腰三角形性質，切線的判定的運用，次要考查先生的推理能力． 53．（2015?賀州）如圖，將矩形ABCD沿對角線BD對折，點C落在E處，BE與AD相交于點F．若DE=4，BD=8． （1）求證：AF=EF； （2）求證：BF平分∠ABD． 考點： 翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；矩形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）先根據翻折變換的性質得出ED=CD，∠E=∠C，故ED=AB，∠E=∠A．由AAS定理得出△ABF≌△EDF，故可得出結論； （2）在Rt△BCD中根據sin∠CBD==可得出∠CBD=30°，∠EBD=∠CBD=30°，由直角三角形的性質可知∠ABF=90°﹣30°×2=30°，所以∠ABF=∠DBF，BF平分∠ABD． 解答： （1）證明：在矩形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C=90°，∵△BED是△BCD翻折而成，∴ED=CD，∠E=∠C，∴ED=AB，∠E=∠A． 在△ABF與△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴AF=EF； （2）在Rt△BCD中，∵DC=DE=4，DB=8，∴sin∠CBD==，∴∠CBD=30°，∴∠EBD=∠CBD=30°，∴∠ABF=90°﹣30°×2=30°，∴∠ABF=∠DBF，∴BF平分∠ABD． 點評： 本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵． 54．（2015?河南）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延伸BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO． （1）求證：△CDP≌△POB； （2）填空： ①若AB=4，則四邊形AOPD的面積為 4 ； ②連接OD，當∠PBA的度數為 60° 時，四邊形BPDO是菱形． 考點： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據中位線的性質得到DP∥AB，DP=AB，由SAS可證△CDP≌△POB； （2）①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，依此即可求解； ②根據有一組對應邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BPDO是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及等邊三角形的判定和性質即可求解． 解答： （1）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，∴DP∥AB，∴DP=AB，∠CPD=∠PBO，∵BO=AB，∴DP=BO，在△CDP與△POB中，∴△CDP≌△POB（SAS）； （2）解：①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有面積，（4÷2）×（4÷2） =2×2 =4； ②如圖： ∵DP∥AB，DP=BO，∴四邊形BPDO是平行四邊形，∵四邊形BPDO是菱形，∴PB=BO，∵PO=BO，∴PB=BO=PO，∴△PBO是等邊三角形，∴∠PBA的度數為60°． 故答案為：4；60°． 點評： 考查了菱形的判定，全等三角形的判定與性質，中位線的性質，解題的關鍵是SAS證明△CDP≌△POB． 55．（2015?桂林）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點． （1）求證：四邊形EBFD為平行四邊形； （2）對角線AC分別與DE、BF交于點M、N，求證：△ABN≌△CDM． 考點： 平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）根據平行四邊形的性質：平行四邊的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD；根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得答案； （2）根據平行四邊的性質：平行四邊形的對邊相等，可得AB∥CD，AB=CD，∠CDM=∠CFN；根據全等三角形的判定，可得答案． 解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD． ∵E、F分別是AB、CD的中點，∴BE=DF，∵BE∥DF，∴四邊形EBFD為平行四邊形； （2）證明：∵四邊形EBFD為平行四邊形，∴DE∥BF，∴∠CDM=∠CFN． ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD． ∴∠BAC=∠DCA，∠ABN=∠CFN，∴∠ABN=∠CDM，在△ABN與△CDM中，∴△ABN≌△CDM （ASA）． 點評： 本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定，根據條件選擇適當的判定方法是解題關鍵． 56．（2015?貴港）如圖，已知AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為E，且點E是OD的中點，⊙O的切線BM與AO的延伸線相交于點M，連接AC，CM． （1）若AB=4，求的長；（結果保留π） （2）求證：四邊形ABMC是菱形． 考點： 切線的性質；菱形的判定；弧長的計算．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）連接OB，由E為OD中點，得到OE等于OA的一半，在直角三角形AOE中，得出∠OAB=30°，進而求出∠AOE與∠AOB的度數，設OA=x，利用勾股定理求出x的值，確定出圓的半徑，利用弧長公式即可求出的長； （2）由問得到∠BAM=∠BMA，利用等角對等邊得到AB=MB，利用SAS得到三角形OCM與三角形OBM全等，利用全等三角形對應邊相等得到CM=BM，等量代換得到CM=AB，再利用全等三角形對應角相等及等量代換得到一對內錯角相等，進而確定出CM與AB平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形得到ABMC為平行四邊形，由鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可得證． 解答： （1）解：∵OA=OB，E為AB的中點，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB，∵OE⊥AB，E為OD中點，∴OE=OD=OA，∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°，設OA=x，則OE=x，AE=x，∵AB=4，∴AB=2AE=x=4，解得：x=4，則的長l==； （2）證明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°，∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM為圓O的切線，∴OB⊥BM，在△COM和△BOM中，∴△COM≌△BOM（SAS），∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB，∴四邊形ABMC為菱形． 點評： 此題考查了切線的性質，菱形的判斷，全等三角形的判定與性質，以及弧長公式，純熟掌握切線的性質是解本題的關鍵． 57．（2015?甘南州）如圖1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB與CE交于F，ED與AB，BC，分別交于M，H． （1）求證：CF=CH； （2）如圖2，△ABC不動，將△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°時，試判斷四邊形ACDM是什么四邊形？并證明你的結論． 考點： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）要證明CF=CH，可先證明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH； （2）根據△EDC繞點C旋轉到∠BCE=45°，推出四邊形ACDM是平行四邊形，由AC=CD判斷出四邊形ACDM是菱形． 解答： （1）證明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°． 在△BCF和△ECH中，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的對應邊相等）； （2）解：四邊形ACDM是菱形． 證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°． ∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四邊形ACDM是平行四邊形（兩組對角相等的四邊形是平行四邊形），∵AC=CD，∴四邊形ACDM是菱形． 點評： 菱形的判別方法是闡明一個四邊形為菱形的理論根據，常用三種方法： ①定義； ②四邊相等； ③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需求根據已知條件來確定． 58．（2015?東莞）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延伸EF交邊BC于點G，連接AG． （1）求證：△ABG≌△AFG； （2）求BG的長． 考點： 翻折變換（折疊成績）；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可； 解答： 解：（1）在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，又∵AG=AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴△ABG≌△AFG（HL）； （2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，設BG=FG=x，則GC=6﹣x，∵E為CD的中點，∴CE=EF=DE=3，∴EG=3+x，∴在Rt△CEG中，32+（6﹣x）2=（3+x）2，解得x=2，∴BG=2． 點評： 此題次要考查了勾股定理的綜合運用以及翻折變換的性質，根據翻折變換的性質得出對應線段相等是解題關鍵． 59．（2015?大慶）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，P為BD上一點，∠APB=∠BAD． （1）證明：AB=CD； （2）證明：DP?BD=AD?BC； （2）證明：BD2=AB2+AD?BC． 考點： 類似三角形的判定與性質；圓周角定理．版權一切 專題： 證明題． 分析： （1）利用平行線的性質圓周角定理得出=，進而得出答案； （2）首先得出△ADP∽△DBC，進而利用類似三角形的性質得出答案； （3）利用類似三角形的判定方法得出△ABP∽△DBA，進而求出AB2=DB?PB，再利用（2）中所求得出答案． 解答： 證明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴=，∴AB=BC； （2）∵∠APB=∠BAD，∠BAD+∠BCD=180°，∠APB+∠APD=180°，∴∠BCD=∠APD，又∵∠ADB=∠CBD，∴△ADP∽△DBC，∴=，∴DP?BD=AD?BC； （3）∵∠APB=∠BAD，∠BAD=∠BPA，∴△ABP∽△DBA，∴=，∴AB2=DB?PB，∴AB2+AD?BC=DB?PB+AD?BC ∵由（2）得：DP?BD=AD?BC，∴AB2+AD?BC=DB?PB+DP?BD=DB（PB+DP）=DB2，即BD2=AB2+AD?BC． 點評： 此題次要考查了類似三角形的判定與性質以及圓周角定理，純熟運用類似三角形的判定與性質是解題關鍵． 60．（2015?赤峰）如圖，AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，與BA的延伸線交于點D，DE⊥PO交PO延伸線于點E，連接PB，∠EDB=∠EPB． （1）求證：PB是的切線． （2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半徑． 考點： 切線的判定與性質．版權一切 專題： 計算題；證明題． 分析： （1）由已知角相等，及對頂角相等得到三角形DOE與三角形POB類似，利用類似三角形對應角相等得到∠OBP為直角，即可得證； （2）在直角三角形PBD中，由PB與DB的長，利用勾股定理求出PD的長，由切線長定理得到PC=PB，由PD﹣PC求出CD的長，在直角三角形OCD中，設OC=r，則有OD=8﹣r，利用勾股定理列出關于r的方程，求出方程的解得到r的值，即為圓的半徑． 解答： （1）證明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB為圓的半徑，∴PB為圓O的切線； （2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根據勾股定理得：PD==10，∵PD與PB都為圓的切線，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，設OC=r，則有DO=8﹣r，根據勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，則圓的半徑為3． 點評： 此題考查了切線的判定與性質，勾股定理，純熟掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．第五篇：「中考數學」證明題：真題專項突破沖刺提分60題（含答案解析）
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