【中考數學】四邊形：精選真題專項打破沖刺提分60題

（含答案解析）

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當FG=1時，求AD的長．

2．（2014?鎮江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點O，點E在AO上，且OE=OC．

（1）求證：∠1=∠2；

（2）連結BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．

3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．

（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

（2）求證：BD=MN．

4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點E、F，連接BE、DF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對角線，過點D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．

（1）求證：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．

6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動點P從點B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運動到點A．設點P運動的工夫為t（s），△PAB面積為S（cm2）．

（1）當t=2時，求S的值；

（2）當點P在邊DA上運動時，求S關于t的函數表達式；

（3）當S=12時，求t的值．

7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

8．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延伸線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點C，點A在旋轉過程中構成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．

9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）求證：AE=CF．

10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點Q，求sin∠BQP的值；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．

12．（2014?臺州）如圖1是某公交汽車擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結論．

13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點F，連結DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當AB：AD=　　　　　　時，四邊形MENF是正方形．

15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點，且AE=BF．求證：CE=DF．

17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點O為坐標原點，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求過點B的雙曲線的解析式；

（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個單位，問平移后的點C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡述理由．

18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是BC的中點，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．

19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請闡明你的理由．

20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延伸線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點四邊形EFGH一定是　　　　　　；

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=　　　　　　S2；

（3）在四邊形ABCD中，沿中點四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個小三角形，將這三個小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個平行四邊形，請畫出一種拼接表示圖，并寫出對應全等的三角形．

22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試闡明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED為菱形；

（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請闡明理由．

24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．

25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點E．若AD=1，AB=2，求CE的長．

26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是的中點．

（1）求證：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．

27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D（不與點B重合）在BC上，點E是AB的中點，過點A作AF∥BC交DE延伸線于點F，連接AD，BF．

（1）求證：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．

28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線BD上的點，∠1=∠2．

（1）求證：BE=DF；

（2）求證：AF∥CE．

29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM?DN的值．

（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結論．

30．（2014?桂林）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交線段AD、BC于點E、F．

（1）根據題意，畫出圖形，并標上正確的字母；

（2）求證：DE=BF．

31．（2014?貴陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，AC．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長．

32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．

（1）求證：DF=AE；

（2）當AB=2時，求BE2的值．

33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F分別為BC，AB中點，連接FC，AE，且AE與FC交于點G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點N．

（1）求證：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，試用含n的式子表示線段AN的長．

34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點，且BE=BA，以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點M，過點B作⊙A的切線BF，切點為F．

（1）請判斷直線BE與⊙A的地位關系，并闡明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．

35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．

36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長．（留意：本題中的計算過程和結果均保留根號）

38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面積．

41．（2013?宜昌）如圖，點E，F分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．

（1）請你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；

（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．

42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題．

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；

（2）寫出按題意構成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的方式）

43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，連接AE，BE．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．

44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．

（1）求證：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長．

45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延伸線于點F．

（1）求證：DE=EF；

（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延伸線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．

47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求證：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的長．

49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．

50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．

（1）求證：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

52．（2013?朝陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點A作AE∥DC交BC于點E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形．

（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F，連接AF，在圖中，用尺規補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點．

53．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求證：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形．

54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．

（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．

55．（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當AB與AC具有什么地位關系時，四邊形AECD是菱形？請闡明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD=5cm，OD=3cm；

過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．

（1）求OC的長；

（2）求證：四邊形OBEC為矩形；

（3）求矩形OBEC的面積．

57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數．

58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．

（1）求證：DE=DF；

（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結論．

59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延伸線于點E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長．

60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數量關系？并證明你的結論．

中考數學提分沖刺真題精析：四邊形

參考答案與試題解析

一、解

答

題（共60小題）

1．（2014?遵義）如圖，?ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB，CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延伸EF交AD的延伸線于G，當FG=1時，求AD的長．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．版權一切

分析：

（1）經過證明△ODF與△OBE全等即可求得．

（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，由于EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG與△DFG都是等腰直角三角形，從而求得DG的長和EF=2，然后平行線分線段成比例定理即可求得．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF與△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，點評：

本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，平行線的性質以及平行線分行段定理．

2．（2014?鎮江）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于點O，點E在AO上，且OE=OC．

（1）求證：∠1=∠2；

（2）連結BE、DE，判斷四邊形BCDE的外形，并闡明理由．

考點：

菱形的判定；線段垂直平分線的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）證明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的對應角相等證得結論；

（2）首先判定四邊形BCDE是平行四邊形，然后利用對角線垂直的平行四邊形是菱形判定菱形即可．

解答：

（1）證明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠1=∠2；

（2）四邊形BCDE是菱形；

證明：∵∠1=∠2，CD=BC，∴AC垂直平分BD，∵OE=OC，∴四邊形DEBC是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形DEBC是菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定及線段的垂直平分線的性質，解題的關鍵是了解菱形的判定方法，難度不大．

3．（2014?云南）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=60°，M、N分別是AD、BC的中點，BC=2CD．

（1）求證：四邊形MNCD是平行四邊形；

（2）求證：BD=MN．

考點：

平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質，可得AD與BC的關系，根據MD與NC的關系，可得證明結論；

（2）根據根據等邊三角形的判定與性質，可得∠DNC的度數，根據三角形外角的性質，可得∠DBC的度數，根據正切函數，可得答案．

解答：

證明：（1）∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∵M、N分別是AD、BC的中點，∴MD=NC，MD∥NC，∴MNCD是平行四邊形；

（2）如圖：連接ND，∵MNCD是平行四邊形，∴MN=DC．

∵N是BC的中點，∴BN=CN，∵BC=2CD，∠C=60°，∴△NCD是等邊三角形．

∴ND=NC，∠DNC=60°．

∵∠DNC是△BND的外角，∴∠D+∠NDB=∠DNC，∵DN=NC=，∴∠DBN=∠BDN=∠DNC=30°，∴∠BDC=90°．

∵tan，∴DB=DC=MN．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，利用了一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，等邊三角形的判定與性質，正切函數．

4．（2014?鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延伸線于點E、F，連接BE、DF．

（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．

考點：

菱形的性質；平行四邊形的判定．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；

（2）設OM=x，根據∠MBO的正切值表示出BM，再根據△AOM和△OBM類似，利用類似三角形對應邊成比例求出AM，然后根據△AEM和△BFM類似，利用類似三角形對應邊成比例求解即可．

解答：

（1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）解：設OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴∠AOM=∠OBM，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：FM=AM：BM=x：2x=1：4．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，類似三角形的判定與性質，銳角三角函數的定義，難點在于（2）兩次求出三角形類似．

5．（2014?雅安）如圖：在?ABCD中，AC為其對角線，過點D作AC的平行線與BC的延伸線交于E．

（1）求證：△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求證：四邊形ACED為菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用AAS判定兩三角形全等即可；

（2）首先證得四邊形ACED為平行四邊形，然后證得AC=AD，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠1，又∵DE∥AC

∴∠2=∠E，在△ABC與△DCE中，∴△ABC≌△DCE；

（2）∵平行四邊形ABCD中，∴AD∥BC，即AD∥CE，由DE∥AC，∴ACED為平行四邊形，∵AC=BC，∴∠B=∠CAB，由AB∥CD，∴∠CAB=∠ACD，又∵∠B=∠ADC，∴∠ADC=∠ACD，∴AC=AD，∴四邊形ACED為菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定等知識，解題的關鍵是純熟掌握菱形的判定定理，難度不大．

6．（2014?宿遷）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=8cm．BC=4cm，CD=5cm．動點P從點B開始沿折線BC﹣CD﹣DA以1cm/s的速度運動到點A．設點P運動的工夫為t（s），△PAB面積為S（cm2）．

（1）當t=2時，求S的值；

（2）當點P在邊DA上運動時，求S關于t的函數表達式；

（3）當S=12時，求t的值．

考點：

直角梯形；動點成績的函數圖象．版權一切

專題：

幾何綜合題；動點型．

分析：

（1）當t=2時，可求出P運動的路程即BP的長，再根據三角形的面積公式計算即可；

（2）當點P在DA上運動時，過D作DH⊥AB，P′M⊥AB，求出P′M的值即為△PAB中AB邊上的高，再利用三角形的面積公式計算即可；

（3）當S=12時，則P在BC或AD上運動，利用（1）和（2）中的面積和高的關系求出此時的t即可，解答：

解：（1）∵動點P以1cm/s的速度運動，∴當t=2時，BP=2cm，∴S的值=AB?BP=×8×2=8cm2；

（2）過D作DH⊥AB，過P′作P′M⊥AB，∴P′M∥DH，∴△AP′M∽△ADH，∴，∵AB=8cm，CD=5cm，∴AH=AB﹣DC=3cm，∵BC=4cm，∴AD==5cm，又∵A′P=14﹣t，∴，∴P′M=，∴S=AB?P′M=，即S關于t的函數表達式S=；

（3）由題意可知當P在CD上運動時，S=AB×BC=×8×4=16cm2，所以當S=12時，P在BC或AD上，當P在BC上時，12=×8?t，解得：t=3；

當P在AD上時，12=，解得：t=．

∴當S=12時，t的值為3或．

點評：

本題考查了直角梯形的性質、類似三角形的判定和性質以及勾股定理的運用和三角形面積公式的運用，標題的綜合性較強，難度中等，對于動點成績特別要留意的是分類討論數學思想的運用．

7．（2014?）如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：

①分別以A，C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；

②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；

③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．

（1）求證：△AED≌△CFD；

（2）求證：四邊形AECF是菱形．

考點：

菱形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；

（2）根據全等得到AE=CF，然后根據EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，FC=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

解答：

解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，∵CF∥AB

∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，在△AED與△CFD中，∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AE=CF，∵EF為線段AC的垂直平分線，∴EC=EA，FC=FA，∴EC=EA=FC=FA，∴四邊形AECF為菱形．

點評：

本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質及基本作圖，解題的關鍵是了解經過作圖能得到直線的垂直平分線．

8．（2014?襄陽）如圖，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中點，將△BEC繞點B逆時針旋轉90°后，點E落在CB的延伸線上點F處，點C落在點A處．再將線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，連接EF，CG．

（1）求證：EF∥CG；

（2）求點C，點A在旋轉過程中構成的，與線段CG所圍成的暗影部分的面積．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；扇形面積的計算．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據正方形的性質可得AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根據旋轉變化只改變圖形的地位不改變圖形的外形可得△ABF和△CBE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形對應邊相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根據內錯角相等，兩直線平行可得EC∥FG，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形EFGC是平行四邊形，然后根據平行四邊形的對邊平行證明；

（2）求出FE、BE的長，再利用勾股定理列式求出AF的長，根據平行四邊形的性質可得△FEC和△CGF全等，從而得到S△FEC=S△CGF，再根據S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，∵△BEC繞點B逆時針旋轉90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE，∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=CE，∴∠AFB+∠FAB=90°，∵線段AF繞點F順時針旋轉90°得線段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，∴EC∥FG，∵AF=CE，AF=FG，∴EC=FG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴EF∥CG；

（2）解：∵AD=2，E是AB的中點，∴BF=BE=AB=×2=1，∴AF===，由平行四邊形的性質，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF，∴S暗影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，=+×2×1+×（1+2）×1﹣，=﹣．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，旋轉變換的性質，勾股定理的運用，扇形的面積計算，綜合題，但難度不大，熟記各性質并精確識圖是解題的關鍵．

9．（2014?湘西州）如圖，在?ABCD中，點E、F分別在邊BC和AD上，且BE=DF．

（1）求證：△ABE≌△CDF；

（2）求證：AE=CF．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質得出AB=CD，∠B=∠D，根據SAS證出△ABE≌△CDF；

（2）根據全等三角形的對應邊相等即可證得．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE=CF．

點評：

本題次要考查對平行四邊形的性質，全等三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能根據性質證出△ABE≌△CDF是證此題的關鍵．

10．（2014?濰坊）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．

（1）求證：AE⊥BF；

（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF（如圖2），延伸FP到BA的延伸線于點Q，求sin∠BQP的值；

（3）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM（如圖3），若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．

考點：

四邊形綜合題．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）運用Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的關系求得∠BGE=90°求證；

（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關系求出QF=QB，解出BP，QP求解；

（3）先求出正方形的邊長，再根據面積比等于類似邊長比的平方，求得S△AGN=，再利用S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN求解．

解答：

（1）證明：如圖1，∵E，F分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點，∴CF=BE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∠BAE=∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠CBF+∠BEA=90°，∴∠BGE=90°，∴AE⊥BF．

（2）解：如圖2，根據題意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°

∵CD∥AB，∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB，∴QF=QB，令PF=k（k＞0），則PB=2k

在Rt△BPQ中，設QB=x，∴x2=（x﹣k）2+4k2，∴x=，∴sin∠BQP===．

（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，∴邊長為2，∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，∴AN=AB=2，∵∠AHM=90°，∴GN∥HM，∴=，∴=，∴S△AGN=，∴S四邊形GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣=，∴四邊形GHMN的面積是．

點評：

本題次要考查了四邊形的綜合題，處理的關鍵是明確三角形翻轉后邊的大小不變，找準對應邊，角的關系求解．

11．（2014?泰州）如圖，BD是△ABC的角平分線，點E，F分別在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求證：BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四邊形ADEF的面積．

考點：

平行四邊形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）由DE∥AB，EF∥AC，可證得四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，又由BD是△ABC的角平分線，易得△BDE是等腰三角形，即可證得結論；

（2）首先過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，易求得DG與DE的長，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：∵DE∥AB，EF∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∠ABD=∠BDE，∴AF=DE，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD=∠DBE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴BE=AF；

（2）解：過點D作DG⊥AB于點G，過點E作EH⊥BD于點H，∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠EBD=30°，∴DG=BD=×6=3，∵BE=DE，∴BH=DH=BD=3，∴BE==2，∴DE=BE=2，∴四邊形ADEF的面積為：DE?DG=6．

點評：

此題考查了平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數等知識．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意掌握數形思想的運用．

12．（2014?臺州）如圖1是某公交汽車擋風玻璃的雨刮器，其工作原理如圖2．雨刷EF⊥AD，垂足為A，AB=CD且AD=BC，這樣能使雨刷EF在運動時，一直垂直于玻璃窗下沿BC，請證明這一結論．

考點：

平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

運用題．

分析：

首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據平行四邊形的性質即可判斷．

解答：

證明：∵AB=CD、AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，又∵EF⊥AD，∴EF⊥BC．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定與性質，正確理解平行四邊形的判定方法是關鍵．

13．（2014?遂寧）已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是CD中點，連結OE．過點C作CF∥BD交線段OE的延伸線于點F，連結DF．求證：

（1）△ODE≌△FCE；

（2）四邊形ODFC是菱形．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ODE=∠FCE，根據線段中點的定義可得CE=DE，然后利用“角邊角”證明△ODE和△FCE全等；

（2）根據全等三角形對應邊相等可得OD=FC，再根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形ODFC是平行四邊形，根據矩形的對角線互相平分且相等可得OC=OD，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．

解答：

證明：（1）∵CF∥BD，∴∠ODE=∠FCE，∵E是CD中點，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四邊形ODFC是平行四邊形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四邊形ODFC是菱形．

點評：

本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，熟記各性質與平行四邊形和菱形的判定方法是解題的關鍵．

14．（2014?隨州）已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：△ABM≌△DCM；

（2）填空：當AB：AD=　1：2　時，四邊形MENF是正方形．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定；正方形的判定．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）根據矩形性質得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根據全等三角形的判定推出即可；

（2）求出四邊形MENF是平行四邊形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根據正方形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠A=∠D=90°，∵M為AD的中點，∴AM=DM，在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，∴AB=AM=DM=DC，∵∠A=∠D=90°，∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，∴∠BMC=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°，∴∠MBC=∠MCB=45°，∴BM=CM，∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，∴四邊形MENF是平行四邊形，∵ME=MF，∠BMC=90°，∴四邊形MENF是正方形，即當AB：AD=1：2時，四邊形MENF是正方形，故答案為：1：2．

點評：

本題考查了矩形的性質和判定，平行四邊形的判定，正方形的判定，全等三角形的性質和判定，三角形的中位線的運用，次要考查先生運用定理進行推理的能力，標題比較好，難度適中．

15．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．

考點：

平行四邊形的判定；線段垂直平分線的性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠BCD=∠BAD，從而得到∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，由于BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．

（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據勾股定理即可求得．

解答：

（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB與△CDB中，∴△ADB≌△CDB（SSS）

∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，設BE=x，則DE=5﹣x，∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2

解得：x=，∴=，∴AC=2AE=．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質以及勾股定理的運用．

16．（2014?欽州）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC上的點，且AE=BF．求證：CE=DF．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據正方形的性質可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“邊角邊”證明△BCE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

解答：

證明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB﹣AE=BC﹣BF，即BE=CF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴CE=DF．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．

17．（2014?攀枝花）如圖，在梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，點O為坐標原點，且A（2，﹣3），C（0，2）．

（1）求過點B的雙曲線的解析式；

（2）若將等腰梯形OABC向右平移5個單位，問平移后的點C能否落在（1）中的雙曲線上？并簡述理由．

考點：

等腰梯形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求反比例函數解析式；坐標與圖形變化-平移．版權一切

專題：

數形；待定系數法．

分析：

（1）過點C作CD⊥AB于D，根據等腰梯形的性質和點A的坐標求出CD、BD，然后求出點B的坐標，設雙曲線的解析式為y=（k≠0），然后利用待定系數法求反比例函數解析式解答；

（2）根據向右平移橫坐標加求出平移后的點C的坐標，再根據反比例函數圖象上點的坐標特征判斷．

解答：

解：（1）如圖，過點C作CD⊥AB于D，∵梯形OABC中，OC∥AB，OA=CB，A（2，﹣3），∴CD=2，BD=3，∵C（0，2），∴點B的坐標為（2，5），設雙曲線的解析式為y=（k≠0），則=5，解得k=10，∴雙曲線的解析式為y=；

（2）平移后的點C落在（1）中的雙曲線上．

理由如下：點C（0，2）向右平移5個單位后的坐標為（5，2），當x=5時，y==2，∴平移后的點C落在（1）中的雙曲線上．

點評：

本題考查了等腰梯形的性質，待定系數法求反比例函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化﹣平移，純熟掌握等腰梯形的性質并求出點B的坐標是解題的關鍵．

18．（2014?寧德）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E是BC的中點，連接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求證：四邊形AECD是矩形．

考點：

矩形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

先判斷四邊形AECD為平行四邊形，然后由∠AEC=90°即可判斷出四邊形AECD是矩形．

解答：

證明：∵AD∥BC，DE∥AB，∴四邊形ABED是平行四邊形．

∴AD=BE．

∵點E是BC的中點，∴EC=BE=AD．

∴四邊形AECD是平行四邊形．

∵AB=AC，點E是BC的中點，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．

∴?AECD是矩形．

點評：

本題考查了梯形和矩形的判定，難度適中，解題關鍵是掌握平行四邊形和矩形的判定定理．

19．（2014?牡丹江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．

（1）求證：CE=AD；

（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么四邊形？闡明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請闡明你的理由．

考點：

正方形的判定；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；

（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．

解答：

（1）證明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴CE=AD；

（2）解：四邊形BECD是菱形，理由是：∵D為AB中點，∴AD=BD，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ACB=90°，D為AB中點，∴CD=BD，∴四邊形BECD是菱形；

（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：

解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D為BA中點，∴CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵四邊形BECD是菱形，∴四邊形BECD是正方形，即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

點評：

本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形的性質的運用，次要考查先生運用定理進行推理的能力．

20．（2014?梅州）如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延伸線上一點，且DF=BE．

（1）求證：CE=CF；

（2）若點G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）由DF=BE，四邊形ABCD為正方形可證△CEB≌△CFD，從而證出CE=CF．

（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可證得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又由于DF=BE，所以可證出GE=BE+GD成立．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，∵，∴△CBE≌△CDF（SAS）．

∴CE=CF．

（2）解：GE=BE+GD成立．

理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵，∴△ECG≌△FCG（SAS）．

∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

點評：

本題次要考查證兩條線段相等往往轉化為證明這兩條線段所在三角形全等的思想，在第二問中也是考查了經過全等找出和GE相等的線段，從而證出關系是不是成立．

21．（2014?龍巖）如圖，我們把依次連接任意四邊形ABCD各邊中點所得四邊形EFGH叫中點四邊形．

（1）若四邊形ABCD是菱形，則它的中點四邊形EFGH一定是　B　；

A．菱形

B．矩形

C．正方形

D．梯形

（2）若四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=　2　S2；

（3）在四邊形ABCD中，沿中點四邊形EFGH的其中三邊剪開，可得三個小三角形，將這三個小三角形與原圖中未剪開的小三角形拼接成一個平行四邊形，請畫出一種拼接表示圖，并寫出對應全等的三角形．

考點：

中點四邊形；作圖—運用與設計作圖．版權一切

專題：

探求型．

分析：

（1）連接AC、BD．先根據三角形中位線的性質得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；

（2）由E為AB中點，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK與△ABM類似，△AEN與△ABM類似，利用面積之比等于類似比的平方，得到△EBK面積與△ABM面積之比為1：4，且△AEN與△EBK面積相等，進而確定出四邊形EKMN面積為△ABM的一半，同理得到四邊形MKFP面積為△MBC面積的一半，四邊形QMPG面積為△DMC面積的一半，四邊形MNHQ面積為△ADM面積的一半，四個四邊形面積之和即為四個三角形面積之和的一半，即為四邊形ABCD面積的一半；

（3）利用中點四邊形的性質得出拼接方法，進而得出全等三角形．

解答：

解：（1）如圖1，連接AC、BD．

∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴?EFGH是矩形；

故選：B．

（2）如圖2，設AC與EH、FG分別交于點N、P，BD與EF、HG分別交于點K、Q，∵E是AB的中點，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四邊形ABCD的面積為S1，中點四邊形EFGH的面積記為S2，則S1與S2的數量關系是S1=2S2；

（3）如圖3，四邊形NEHM是平行四邊形；

△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．

點評：

此題次要考查了中點四邊形以及類似三角形的判定與性質和矩形的判定以及菱形的性質等知識，利用三角形中位線的性質得出是解題關鍵．

22．（2014?涼山州）如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．

（1）試闡明AC=EF；

（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

考點：

平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又由于△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；

（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．

解答：

證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF

∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；

（2）∵△ACD是等邊三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°

又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四邊形ADFE是平行四邊形．

點評：

此題是首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形．

23．（2014?連云港）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求證：四邊形OCED為菱形；

（2）連接AE、BE，AE與BE相等嗎？請闡明理由．

考點：

矩形的性質；全等三角形的判定與性質；菱形的判定．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）首先利用平行四邊形的判定得出四邊形DOCE是平行四邊形，進而利用矩形的性質得出DO=CO，即可得出答案；

（2）利用等腰三角形的性質以及矩形的性質得出AD=BC，∠ADE=∠BCE，進而利用全等三角形的判定得出．

解答：

（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形DOCE是平行四邊形，∵矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∴OC=AC=BD=OD，∴四邊形OCED為菱形；

（2）解：AE=BE．

理由：∵四邊形OCED為菱形，∴ED=CE，∴∠EDC=∠ECD，∴∠ADE=∠BCE，在△ADE和△BCE中，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE=BE．

點評：

此題次要考查了矩形的性質以及菱形的判定和全等三角形的判定與性質等知識，純熟掌握矩形的性質進而得出對應線段關系是解題關鍵．

24．（2014?樂山）如圖，在△ABC中，AB=AC，四邊形ADEF是菱形，求證：BE=CE．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據四邊形ADEF是菱形，得DE=EF，AB∥EF，DE∥AC可證明△DBE≌△FCE，即可得出BE=CE．

解答：

證明：∵四邊形ADEF是菱形，∴DE=EF，AB∥EF，DE∥AC，∴∠C=∠BED，∠B=∠CEF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠BED=∠CEF，在△DBE和△FCE中，∴△DBE≌△FCE，∴BE=CE．

點評：

本題考查了菱形的性質以及全等三角形的判定和性質，是基礎題，比較簡單．

25．（2014?樂山）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，∠B=30°，CE⊥AB，垂足為點E．若AD=1，AB=2，求CE的長．

考點：

矩形的判定與性質；含30度角的直角三角形；銳角三角函數的定義．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

過點A作AH⊥BC于H，利用銳角三角函數關系得出BH的長，進而得出BC的長，再根據含30°角的直角三角形的性質即可得出CE的長．

解答：

解：過點A作AH⊥BC于H，則AD=HC=1，在△ABH中，∠B=30°，AB=2，∴cos30°=，即BH=ABcos30°=2×=3，∴BC=BH+HC=4，∵CE⊥AB，∴CE=BC=2．

點評：

此題次要考查了銳角三角函數關系運用以及直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半等知識，得出BH的長是解題關鍵．

26．（2014?黃石）如圖，A、B是圓O上的兩點，∠AOB=120°，C是的中點．

（1）求證：AB平分∠OAC；

（2）延伸OA至P，使得OA=AP，連接PC，若圓O的半徑R=1，求PC的長．

考點：

菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）求出等邊三角形AOC和等邊△OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；

（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．

解答：

（1）證明：連接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中點，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等邊三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四邊形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；

（2）解：連接OC，∵△OAC是等邊三角形，OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．

點評：

本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，勾股定理，等邊三角形的性質和判定的運用，次要考查先生運用定理進行推理和計算的能力，標題比較典型，難度適中．

27．（2014?葫蘆島）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D（不與點B重合）在BC上，點E是AB的中點，過點A作AF∥BC交DE延伸線于點F，連接AD，BF．

（1）求證：△AEF≌△BED．

（2）若BD=CD，求證：四邊形AFBD是矩形．

考點：

矩形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）AAS或ASA證全等；

（2）根據對角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據等腰三角形三線合一證明∠ADB=90°，進而根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形得證．

解答：

證明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠EDB，∵E為AB的中點，∴EA=EB，在△AEF和△BED中，∴△AEF≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEF≌△BED，∴AF=BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．

點評：

本題考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性質，能夠了解矩形的判定定理是解答本題的關鍵，難度不大．

28．（2014?賀州）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F是對角線BD上的點，∠1=∠2．

（1）求證：BE=DF；

（2）求證：AF∥CE．

考點：

平行四邊形的判定與性質；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用平行四邊形的性質得出∠5=∠3，∠AEB=∠4，進而利用全等三角形的判定得出即可；

（2）利用全等三角形的性質得出AE=CF，進而得出四邊形AECF是平行四邊形，即可得出答案．

解答：

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；

（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．

點評：

此題次要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△ABE≌△CDF是解題關鍵．

29．（2014?菏澤）已知：如圖，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM?DN的值．

（2）若以BM，DN，MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的外形，并證明你的結論．

考點：

正方形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理的逆定理；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據角平分線的定義求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根據正方形的每一個角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和∠BAM+∠AMB=45°，從而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA類似，利用類似三角形對應邊成比例列式求解即可；

（2）過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，根據同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△ADN全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“邊角邊”證明△AFM和△ANM全等，根據全等三角形對應邊相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后利用勾股定理判斷即可．

解答：

解：（1）∵BM、DN分別平分正方形的兩個外角，∴∠CBM=∠CDN=45°，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°，在△ABM中，∠BAM+∠AMB=∠MBP=45°，∴∠NAD=∠AMB，在△ABM和△NDA中，∴△ABM∽△NDA，∴=，∴BM?DN=AB?AD=a2；

（2）以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．

證明如下：如圖，過點A作AF⊥AN并截取AF=AN，連接BF、FM，∵∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，∴∠1=∠3，在△ABF和△ADN中，∴△ABF≌△ADN（SAS），∴BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，∵∠FAN=90°，∠MAN=45°，∴∠1+∠2=∠FAM=∠MAN=45°，在△AFM和△ANM中，∴△AFM≌△ANM（SAS），∴FM=NM，∴∠FBP=180°﹣∠FBA=180°﹣135°=45°，∴∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°，∴△FBM是直角三角形，∵FB=DN，FM=MN，∴以BM，DN，MN為三邊圍成的三角形為直角三角形．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理逆定理，類似三角形的判定與性質，難點在于（2）作輔助線構造出全等三角形和直角三角形．

30．（2014?桂林）在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點O作直線EF分別交線段AD、BC于點E、F．

（1）根據題意，畫出圖形，并標上正確的字母；

（2）求證：DE=BF．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；作圖—復雜作圖．版權一切

專題：

作圖題；證明題．

分析：

（1）根據題意直接畫圖即可；

（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，OB=OD，繼而可利用ASA，判定△DOE≌△BOF，繼而證得DE=BF．

解答：

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，OB=OD，∴∠EDO=∠OBF，在△DOE和△BOF中，∴DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF．

點評：

此題考查了平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度不大，留意掌握數形思想的運用．

31．（2014?貴陽）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別為AB，AC邊上的中點，連接DE，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，連接AF，AC．

（1）求證：四邊形ADCF是菱形；

（2）若BC=8，AC=6，求四邊形ABCF的周長．

考點：

菱形的判定與性質；旋轉的性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據旋轉可得AE=CE，DE=EF，可判定四邊形ADCF是平行四邊形，然后證明DF⊥AC，可得四邊形ADCF是菱形；

（2）首先利用勾股定理可得AB長，再根據中點定義可得AD=5，根據菱形的性質可得AF=FC=AD=5，進而可得答案．

解答：

（1）證明：∵將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵D、E分別為AB，AC邊上的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∵∠ACB=90°，∴∠AED=90°，∴DF⊥AC，∴四邊形ADCF是菱形；

（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，∴AB=10，∵D是AB邊上的中點，∴AD=5，∵四邊形ADCF是菱形，∴AF=FC=AD=5，∴四邊形ABCF的周長為8+10+5+5=28．

點評：

此題次要考查了菱形的判定與性質，關鍵是掌握菱形四邊相等，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．

32．（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．

（1）求證：DF=AE；

（2）當AB=2時，求BE2的值．

考點：

正方形的性質；角平分線的性質；勾股定理．版權一切

分析：

（1）連接CF，根據“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DF=EF，根據正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得AE=EF，然后等量代換即可得證；

（2）根據正方形的對角線等于邊長的倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：如圖，連接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，過點E作EH⊥AB于H，則△AEH是等腰直角三角形，∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．

點評：

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的運用，作輔助線構造出全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．

33．（2014?甘孜州）如圖，在?ABCD中，E，F分別為BC，AB中點，連接FC，AE，且AE與FC交于點G，AE的延伸線與DC的延伸線交于點N．

（1）求證：△ABE≌△NCE；

（2）若AB=3n，FB=GE，試用含n的式子表示線段AN的長．

考點：

平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）根據平行四邊形的性質可得AB∥CN，由此可知∠B=∠ECN，再根據全等三角形的判定方法ASA即可證明△ABE≌△NCE；

（2）由于AB∥CN，所以△AFG∽△CNG，利用類似三角形的性質和已知條件即可得到含n的式子表示線段AN的長．

解答：

（1）證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CN，∴∠B=∠ECN，∵E是BC中點，∴BE=CE，在△ABE和△NCE中，∴△ABE≌△NCE（ASA）．

（2）∵AB∥CN，∴△AFG∽△CNG，∴AF：CN=AG：GN，∵AB=CN，∴AF：AB=AG：GN，∵AB=3n，F為AB中點

∴FB=GE，∴GE=n，∴=，解得AE=3n，∴AG=2n，GE=n，EN=3n，∴AN=AG+GE+EN=2n+n+3n=6n．

點評：

本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質以及類似三角形的平和性質，標題的綜合性較強，難度中等．

34．（2014?撫順）如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊上的點，且BE=BA，以點A為圓心、AD長為半徑作⊙A交AB于點M，過點B作⊙A的切線BF，切點為F．

（1）請判斷直線BE與⊙A的地位關系，并闡明理由；

（2）如果AB=10，BC=5，求圖中暗影部分的面積．

考點：

矩形的性質；切線的判定與性質；扇形面積的計算．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）直線BE與⊙A的地位關系是相切，連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，再證明AH=AD即可；

（2）連接AF，則圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積．

解答：

解：（1）直線BE與⊙A的地位關系是相切，理由如下：連接AE，過A作AH⊥BE，過E作EG⊥AB，則四邊形ADEG是矩形．

∵S△ABE=BE?AH=AB?EG，AB=BE，∴AH=EG，∵四邊形ADEG是矩形，∴AD=EG，∴AH=AD，∴BE是圓的切線；

（2）連接AF，∵BF是⊙A的切線，∴∠BFA=90°

∵BC=5，∴AF=5，∵AB=10，∴∠ABF=30°，∴∠BAF=60°，∴BF=AF=5，∴圖中暗影部分的面積=直角三角形ABF的面積﹣扇形MAF的面積=×5×5﹣=．

點評：

本題考查了矩形的性質、切線的判定和性質、三角形和扇形面積公式的運用以及角的銳角三角函數值，標題的綜合性較強，難度不小，解題的關鍵是正確做出輔助線．

35．（2014?崇左）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC⊥BD，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到四邊形EFGH，求證：四邊形EFGH是矩形．

考點：

中點四邊形；三角形中位線定理．版權一切

專題：

證明題．

分析：

首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．

解答：

證明：∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，∴EF=AC，GH=AC，∴EF=GH，同理EH=FG

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

又∵對角線AC、BD互相垂直，∴EF與FG垂直．

∴四邊形EFGH是矩形．

點評：

本題考查了中點四邊形的知識，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進行證明，是一道綜合題．

36．（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

考點：

菱形的判定；平行四邊形的性質；解直角三角形．版權一切

分析：

（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形和角平分線的性質可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；

（2）作PH⊥AD于H，根據四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數的定義求解即可．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．

點評：

本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質，解題的關鍵是牢記菱形的幾個判定定理，難度不大．

37．（2014?包頭）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠BCD=45°，點E在BC上，且∠AEB=60°．若AB=2，AD=1，求CD和CE的長．（留意：本題中的計算過程和結果均保留根號）

考點：

梯形；勾股定理．版權一切

專題：

計算題．

分析：

過點D作DF⊥BC，根據∠BCD=45°，得DF=CF，再由AB=2，可得DF=CF=2，由勾股定理得CD的長，由于AD=1，所以BC=2+1，根據∠AEB=60°，可得BE，進而得出CE的長．

解答：

解：過點D作DF⊥BC，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴四邊形ABFD為矩形，∵∠BCD=45°，∴DF=CF，∵AB=2，∴DF=CF=2，∴由勾股定理得CD=2；

∵AD=1，∴BF=1，∴BC=2+1，∵∠AEB=60°，∴tan60°=，∴=，∴BE=2，∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1．

點評：

本題考查了梯形的計算以及勾股定理，是基礎知識要純熟掌握．

38．（2014?安順）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．

考點：

矩形的判定；角平分線的性質；等腰三角形的性質；正方形的判定．版權一切

專題：

證明題；開放型．

分析：

（1）根據矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．

（2）根據正方形的判定，我們可以假設當AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的結論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．

解答：

（1）證明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四邊形ADCE為矩形．

（2）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．

∴當∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．

點評：

本題是以開放型試題，次要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的性質等知識點的綜合運用．

39．（2013?株洲）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD交于點O，過點O的直線EF交AD于點E，交BC于點F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若∠EOD=30°，求CE的長．

考點：

菱形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理．版權一切

分析：

（1）根據菱形的對角線互相平分可得AO=CO，對邊平行可得AD∥BC，再利用兩直線平行，內錯角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角邊角”證明△AOE和△COF全等；

（2）根據菱形的對角線平分一組對角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的長，再求出EF的長，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答：

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）解：∵∠BAD=60°，∴∠DAO=∠BAD=×60°=30°，∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°，∴∠AEF=180°﹣∠DAO﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°，∵菱形的邊長為2，∠DAO=30°，∴OD=AD=×2=1，∴AO===，∴AE=CF=×=，∵菱形的邊長為2，∠BAD=60°，∴高EF=2×=，在Rt△CEF中，CE===．

點評：

本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，勾股定理的運用，（2）求出△CEF是直角三角形是解題的關鍵，也是難點．

40．（2013?云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形．

（1）求證：四邊形ADBE是矩形；

（2）求矩形ADBE的面積．

考點：

矩形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質．版權一切

分析：

（1）利用三線合一定理可以證得∠ADB=90°，根據矩形的定義即可證得；

（2）利用勾股定理求得BD的長，然后利用矩形的面積公式即可求解．

解答：

解：（1）∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵四邊形ADBE是平行四邊形．

∴平行四邊形ADBE是矩形；

（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中線，∴BD=DC=6×=3，在直角△ACD中，AD===4，∴S矩形ADBE=BD?AD=3×4=12．

點評：

本題考查了三線合一定理以及矩形的判定，理解三線合一定理是關鍵．

41．（2013?宜昌）如圖，點E，F分別是銳角∠A兩邊上的點，AE=AF，分別以點E，F為圓心，以AE的長為半徑畫弧，兩弧相交于點D，連接DE，DF．

（1）請你判斷所畫四邊形的外形，并闡明理由；

（2）連接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求線段EF的長．

考點：

菱形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AE=AF=ED=DF，根據四條邊都相等的四邊形是菱形，即可證得：四邊形AEDF是菱形；

（2）首先連接EF，由AE=AF，∠A=60°，可證得△EAF是等邊三角形，則可求得線段EF的長．

解答：

解：（1）菱形．

理由：∵根據題意得：AE=AF=ED=DF，∴四邊形AEDF是菱形；

（2）連接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等邊三角形，∴EF=AE=8厘米．

點評：

此題考查了菱形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題比較簡單，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想的運用．

42．（2013?無錫）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意選取兩個作為條件，“四邊形ABCD是平行四邊形”為結論構造命題．

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題嗎？若是，請證明；若不是，請舉出反例；

（2）寫出按題意構成的一切命題中的假命題，并舉出反例加以闡明．（命題請寫成“如果…，那么…．”的方式）

考點：

平行四邊形的判定；命題與定理．版權一切

分析：

（1）根據平行得出全等三角形，即可求出OB=OD，根據平行四邊形的判定推出即可；

（2）根據等腰梯形和平行四邊形的判定判斷即可．

解答：

（1）以①②作為條件構成的命題是真命題，證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠OCD，在△AOB和△COD中，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

（2）根據①③作為條件構成的命題是假命題，即如果有一組對邊平行，另一組對邊相等，那么四邊形是平行四邊形，如等腰梯形符合，但不是平行四邊形；

根據②③作為條件構成的命題是假命題，即如果一個四邊形ABCD的對角線交于O，且OA=OC，AD=BC，那么這個四邊形是平行四邊形，如圖，根據已知不能推出OB=OD或AD∥BC或AB=DC，即四邊形不是平行四邊形．

點評：

本題考查了平行四邊形的判定，類似三角形的性質和判定，等腰梯形的判定等知識點的運用，次要考查先生的推理能力和辨析能力，標題比較好，但是一道比較容易出錯的標題．

43．（2013?鐵嶺）如圖，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，連接AE，BE．

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當△ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并闡明理由．

考點：

矩形的判定；正方形的判定．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出∠ADB=90°，即可得出答案；

（2）利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可．

解答：

（1）證明：∵點O為AB的中點，連接DO并延伸到點E，使OE=OD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AEBD是矩形；

（2）當∠BAC=90°時，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分線，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四邊形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．

點評：

此題次要考查了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，純熟掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵．

44．（2013?深圳）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AC與BD交于點O，延伸BC到E，使得CE=AD，連接DE．

（1）求證：BD=DE．

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的長．

考點：

等腰梯形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；平行四邊形的判定與性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，CE=AD，可得四邊形ACED是平行四邊形，即可證得AC=DE，又由等腰梯形的性質，可得AC=BD，即可證得結論；

（2）首先過點D作DF⊥BC于點F，可證得△BDE是等腰直角三角形，由SABCD=16，可求得BD的長，繼而求得答案．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，CE=AD，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE，∵四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，∴AC=BD，∴BD=DE．

（2）解：過點D作DF⊥BC于點F，∵四邊形ACED是平行四邊形，∴CE=AD=3，AC∥DE，∵AC⊥BD，∴BD⊥DE，∵BD=DE，∴S△BDE=BD?DE=BD2=BE?DF=（BC+CE）?DF=（BC+AD）?DF=S梯形ABCD=16，∴BD=4，∴BE=BD=8，∴DF=BF=EF=BE=4，∴CF=EF﹣CE=1，∴由勾股定理得AB=CD==．

點評：

此題考查了等腰三角形的性質、等腰直角三角形的性質與判定、平行四邊形的判定與性質以及勾股定理．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想的運用．

45．（2013?上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點D為邊AB的中點，DE∥BC交AC于點E，CF∥AB交DE的延伸線于點F．

（1）求證：DE=EF；

（2）連結CD，過點D作DC的垂線交CF的延伸線于點G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

考點：

菱形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；直角三角形斜邊上的中線．版權一切

分析：

（1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=BC，進而得到EF=CB，即可證出DE=EF；

（2）首先畫出圖形，首先根據平行線的性質可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答：

證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DF=BC，∵D為邊AB的中點，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．

點評：

此題次要考查了平行四邊形的判定與性質，以及直角三角形的性質，關鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．

46．（2013?欽州）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求證：梯形ABCD是等腰梯形．

考點：

等腰梯形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

由AB∥DE，∠DEC=∠C，易證得∠B=∠C，又由同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形，即可證得結論．

解答：

證明：∵AB∥DE，∴∠DEC=∠B，∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．

點評：

此題考查了等腰梯形的判定．此題比較簡單，留意掌握同一底上兩個角相等的梯形是等腰梯形定理的運用，留意數形思想的運用．

47．（2013?南京）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．

（1）求證：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．

考點：

正方形的判定；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

解答：

證明：（1）∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°

∴PM=MD，∴四邊形MPND是正方形．

點評：

本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、矩形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定．

48．（2013?南充）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=7，∠B=60°，P為BC邊上一點（不與B，C重合），過點P作∠APE=∠B，PE交CD于E．

（1）求證：△APB∽△PEC；

（2）若CE=3，求BP的長．

考點：

等腰梯形的性質；類似三角形的判定與性質．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可證得∠BAP=∠EPC，根據有兩角對應相等的三角形類似，即可證得：△APB∽△PEC；

（2）首先過點A作AF∥CD交BC于點F，則四邊形ADCF是平行四邊形，△ABF為等邊三角形，又由△APB∽△PEC，根據類似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：

（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C=60°，∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∵∠APE=∠B，∴∠BAP=∠EPC，∴△APB∽△PEC；

（2）解：過點A作AF∥CD交BC于點F，∵AD∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠AFB=∠C=∠B=60°，∴△ABF為等邊三角形，∴CF=AD=3，AB=BF=7﹣3=4，∵△APB∽△PEC，∴，設BP=x，則PC=7﹣x，∵EC=3，AB=4，∴，解得：x1=3，x2=4，經檢驗：x1=3，x2=4是原分式方程的解，∴BP的長為：3或4．

點評：

此題考查了等腰梯形的性質、類似三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質．此題難度適中，留意掌握輔助線的作法，留意數形思想與方程思想的運用．

49．（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．

考點：

菱形的性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

根據菱形的對角線互相平分可得OD=OB，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=OB，然后根據等邊對等角求出∠OHB=∠OBH，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根據等角的余角相等證明即可．

解答：

證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°，∵DH⊥AB，∴OH=BD=OB，∴∠OHB=∠OBH，又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．

點評：

本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及等角的余角相等，熟記各性質并理清圖中角度的關系是解題的關鍵．

50．（2013?防城港）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，點A關于對角線BD的對稱點F剛好落在腰DC上，連接AF交BD于點E，AF的延伸線與BC的延伸線交于點G，M，N分別是BG，DF的中點．

（1）求證：四邊形EMCN是矩形；

（2）若AD=2，S梯形ABCD=，求矩形EMCN的長和寬．

考點：

直角梯形；矩形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題；壓軸題．

分析：

（1）根據軸對稱的性質可得AD=DF，DE⊥AF，然后判斷出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠DAF=∠EDF=45°，根據兩直線平行，內錯角相等求出∠BGE=45°，然后判斷出△BGE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根據矩形的判定證明即可；

（2）判斷出△BCD是等腰直角三角形，然后根據梯形的面積求出CD的長，再根據等腰直角三角形的性質求出DN，即可得解．

解答：

（1）證明：∵點A、F關于BD對稱，∴AD=DF，DE⊥AF，又∵AD⊥DC，∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，∴∠DAF=∠EDF=45°，∵AD∥BC，∴∠G=∠GAD=45°，∴△BGE是等腰直角三角形，∵M，N分別是BG，DF的中點，∴EM⊥BC，EN⊥CD，又∵AD∥BC，AD⊥DC，∴BC⊥CD，∴四邊形EMCN是矩形；

（2）解：由（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=CD，∴S梯形ABCD=（AD+BC）?CD=（2+CD）?CD=，即CD2+2CD﹣15=0，解得CD=3，CD=﹣5（舍去），∵△ADE、△DEF是等腰直角三角形，∴DF=AD=2，∵N是DF的中點，∴EN=DN=DF=×2=1，∴CN=CD﹣DN=3﹣1=2，∴矩形EMCN的長和寬分別為2，1．

點評：

本題考查了直角梯形的性質，軸對稱的性質，矩形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，純熟掌握軸對稱的性質判斷出相關的等腰直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．

51．（2013?鄂爾多斯）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．

（1）求證：AF=DE；

（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

考點：

等腰梯形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．版權一切

專題：

探求型．

分析：

（1）根據等腰梯形的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；

（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．

解答：

（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，∴△AED≌△DFA（SAS），∴AF=DE；

（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°，∴AB=BH=AH，同理：CD=CK=KD，∵S梯形ABCD=，AB=a，∴S梯形ABCD==，而S△ABE=S△DCF=a2，∴=2×a2，∴BC=a．

點評：

本題綜合性的考查了等腰梯形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定、全等三角形的性質以及等于直角三角形的性質和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔標題．

52．（2013?朝陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，過點A作AE∥DC交BC于點E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形．

（2）在（1）的條件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F，連接AF，在圖中，用尺規補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點．

考點：

梯形；等邊三角形的判定與性質；菱形的判定；作圖—復雜作圖．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，AE∥DC，可證得四邊形AECD是平行四邊形，又由AD=CD，即可證得四邊形AECD是菱形．

（2）由∠B=30°，AE⊥AB，AE=AF，易得△AEF是等邊三角形，繼而證得△ABF是等腰三角形，則可證得BF=AF=EF，即可得點F是BE的中點．

解答：

證明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵AD=CD，∴四邊形AECD是菱形．

（2）補齊圖形：

證明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等邊三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即點F是BE的中點．

點評：

此題考查了梯形的性質、平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，留意掌握數形思想的運用．

53．（2013?鞍山）如圖，E，F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．

求證：

（1）△AFD≌△CEB；

（2）四邊形ABCD是平行四邊形．

考點：

平行四邊形的判定；全等三角形的判定．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）利用兩邊和它們的夾角對應相等的兩三角形全等（SAS），這一判定定理容易證明△AFD≌△CEB．

（2）由△AFD≌△CEB，容易證明AD=BC且AD∥BC，可根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

解答：

證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．

又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）．

點評：

此題次要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四邊形的判定，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

54．（2012?鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．

（1）求證：DE=EC；

（2）若AD=BC，試判斷四邊形ABED的外形，并闡明理由．

考點：

梯形；直角三角形的性質；菱形的判定．版權一切

分析：

（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對等邊，即可證得DE=EC；

（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．

解答：

（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，∴∠EDC=∠BDC﹣∠BDE=90°﹣∠BDE，又∵∠C=90°﹣∠DBC，∴∠EDC=∠C，∴DE=EC；

（2）若AD=BC，則四邊形ABED是菱形．

證明：∵∠BDE=∠DBC．

∴BE=DE，∵DE=EC，∴DE=BE=EC=BC，∵AD=BC，∴AD=BE，∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，∵BE=DE，∴?ABED是菱形．

點評：

此題考查了梯形的性質、等腰三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用．

55．（2012?襄陽）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC的中點，BC=2AD，EA=ED=2，AC與ED相交于點F．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；

（2）當AB與AC具有什么地位關系時，四邊形AECD是菱形？請闡明理由，并求出此時菱形AECD的面積．

考點：

等腰梯形的判定；全等三角形的判定與性質；菱形的判定與性質．版權一切

分析：

（1）由AD∥BC，由平行線的性質，可證得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性質，可得∠EAD=∠EDA，則可得∠DEC=∠AEB，繼而證得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；

（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易證得四邊形AECD是菱形；過A作AG⊥BE于點G，易得△ABE是等邊三角形，即可求得答案AG的長，繼而求得菱形AECD的面積．

解答：

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）當AB⊥AC時，四邊形AECD是菱形．

證明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四邊形ABED和四邊形AECD均為平行四邊形．

∴ABED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴平行四邊形AECD是菱形．

過A作AG⊥BE于點G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC?AG=2×=2．

點評：

此題考查了等腰梯形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的性質以及菱形的判定與性質．此題綜合性較強，難度適中，留意數形思想的運用．

56．（2012?湘西州）如圖，O是菱形ABCD對角線AC與BD的交點，CD=5cm，OD=3cm；

過點C作CE∥DB，過點B作BE∥AC，CE與BE相交于點E．

（1）求OC的長；

（2）求證：四邊形OBEC為矩形；

（3）求矩形OBEC的面積．

考點：

矩形的判定與性質；菱形的性質．版權一切

專題：

幾何圖形成績．

分析：

（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；

（2）利用矩形的定義即可證明；

（3）利用矩形的面積公式即可直接求解．

解答：

解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；

（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四邊形OBEC為平行四邊形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四邊形OBEC為矩形；

（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB?OC=4×3=12（cm2）．

點評：

本題考查了菱形的性質以及矩形的判定，理解菱形的對角線的關系是關鍵．

57．（2012?蘇州）如圖，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延伸線段CB到E，使BE=AD，連接AE、AC．

（1）求證：△ABE≌△CDA；

（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度數．

考點：

梯形；全等三角形的判定與性質．版權一切

專題：

證明題．

分析：

（1）先根據題意得出∠ABE=∠CDA，然后題意條件利用SAS可判斷三角形的全等；

（2）根據題意可分別求出∠AEC及∠ACE的度數，在△AEC中利用三角形的內角和定理即可得出答案．

解答：

（1）證明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，∴∠ABE=∠CDA

在△ABE和△CDA中，∴△ABE≌△CDA．

（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，∴∠AEB=∠ACE，∵∠DAC=40°，∴∠AEB=∠ACE=40°，∴∠EAC=180°﹣40°﹣40°=100°．

點評：

此題考查了梯形、全等三角形的判定及性質，解答本題的關鍵是根據梯形及題意條件得出一些線段之間的關系，留意所學知識的融會貫通．

58．（2012?呼倫貝爾）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分別是E、F，且BF=CE．

（1）求證：DE=DF；

（2）當∠A=90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，并證明你的結論．

考點：

正方形的判定；全等三角形的判定與性質；勾股定理．版權一切

專題：

壓軸題．

分析：

（1）利用“HL”證明Rt△BDF≌Rt△CDE，即可得到DE=DF；

（2）由已知可證明它是矩形，由于有一組鄰邊相等即可得到四邊形AFDE是正方形．

解答：

（1）證明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°，在Rt△BDF和Rt△CDE中，∵，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），∴DE=DF；

（2）答：四邊形AFDE是正方形．

證明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，∴四邊形AFDE是矩形，又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DF=DE，∴四邊形AFDE是正方形．

點評：

此題次要考查先生對全等三角形的判定和性質及正方形的判定方法的掌握情況．

59．（2012?鄂爾多斯）已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，交BC于點G，交AB的延伸線于點E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長．

考點：

直角梯形；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．版權一切

專題：

幾何綜合題．

分析：

（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根據AAS易證得△ABC≌△AFE，根據全等三角形的對應邊相等，即可得AB=AF，繼而可得FC=BE；

（2）利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=AC=AE，進而求得一些角是30°，次要利用AD長，直角三角形勾股定理來求解即可求得答案．

解答：

（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點F，∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，∠E=30°．

∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．

點評：

本題考查直角梯形、等腰三角形的性質、全等三角形的性質與判定．此題知識點多，綜合性強．打破此題的關鍵在于問證得△ABC≌△AFE，第二問利用等腰△ADC的性質得AF=AC=AE．從而得出∠E=30°，留意數形思想的運用．

60．（2012?濱州）我們知道“連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”．類似的，我們把連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F分別是AB，CD的中點，那么EF就是梯形ABCD的中位線．經過觀察、測量，猜想EF和AD、BC有怎樣的地位和數量關系？并證明你的結論．

考點：

梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質；三角形中位線定理．版權一切

專題：

探求型．

分析：

連接AF并延伸交BC于點G，則△ADF≌△GCF，可以證得EF是△ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得．

解答：

解：結論為：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下：

連接AF并延伸交BC于點G．

∵AD∥BC，∴∠DAF=∠G，在△ADF和△GCF中，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AF=FG，AD=CG．

又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=BG，即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．

點評：

本題猜想并且證明了梯形的中位線定理，經過輔助線轉化成三角形的中位線的成績．