【中考數學】三角形：精選真題專項打破沖刺提分60題
（含答案解析）
一、解
答
題（共60小題）
1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．
求證：①ME⊥BC；②DE=DN．
2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．
（1）證明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；
（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．
3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延伸線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，到1米）
4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大小（每塊磚的厚度相等）．
5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點F．
（1）求∠F的度數；
（2）若CD=2，求DF的長．
6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．
證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
請參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．
將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．
求證：a2+b2=c2
證明：連結
∵S五邊形ACBED=
又∵S五邊形ACBED=
∴
∴a2+b2=c2．
7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．
8．（2014?遂寧）如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：
sin2A1+sin2B1= ?。籹in2A2+sin2B2= ??；sin2A3+sin2B3= ?。?/p>
（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ?。?/p>
（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．
9．（2014?邵陽）如圖，已知點A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）從圖中任找兩組全等三角形；
（2）從（1）中任選一組進行證明．
10．（2014?南京）【成績提出】
學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研討．
【初步考慮】
我們不妨將成績用符號言語表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探求．
【深入探求】
種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．
（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．
（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．
11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連結MN，與AC、BC分別交于點D、E，連結AE，則：
（1）∠ADE= °；
（2）AE EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）當AB=3，AC=5時，△ABE的周長= ?。?/p>
12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結EF交CD于點M，連接AM．
（1）求證：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．
13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．
14．（2014?黃石）小明聽說“武黃城際列車”曾經開通，便設計了如下成績：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請你協助小明處理以下成績：
（1）求A、C之間的距離；（參考數據=4.6）
（2）若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車？請闡明理由．（不計候車工夫）
15．（2014?衡陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
求證：△BED≌△CFD．
16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
18．（2014?德州）成績背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．
小王同窗探求此成績的方法是，延伸FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 ；
探求延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論能否仍然成立，并闡明理由；
實踐運用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．
20．（2013?云南）如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）．
（1）你添加的條件是 ．
（2）添加條件后，請闡明△ABC≌△ADE的理由．
21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求△ADB的面積．
22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明．
23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長和四邊形ABCD的面積．
24．（2013?隨州）如圖，點F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．
提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
25．（2013?寧德）如圖，點D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．
26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并闡明理由．
27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：
①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；
②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，若反比例函數的圖象點B，D，求k的值．
（2）解題后，你發現以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出．
28．（2013?貴陽）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數式a2+b2和c2的大小關系，探求△ABC的外形（按角分類）．
（1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為 三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為 三角形．
（2）猜想，當a2+b2 c2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2 c2時，△ABC為鈍角三角形．
（3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的外形，并求出對應的c的取值范圍．
29．（2013?佛山）課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經過推理的方法證明．
（1）敘說三角形全等的判定方法中的推論AAS；
（2）證明推論AAS．
要求：敘說推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明根據．
30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求證：△ABC≌△AED．
31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒成績！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點在同不斷線上）問：
（1）樓高多少米？
（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請闡明理由．（參考數據：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數量關系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有值？并求出S的值．
33．（2013?朝陽）某段河流的兩岸是平行的，數學興味小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：
①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一顆樹A；
②沿河岸直走20步有一樹C，繼續前行20步到達D處；
③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；
④測得DE的長就是河寬AB．
請你證明他們做法的正確性．
34．（2013?包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．
（1）求OB的長；
（2）當AA′=1米時，求BB′的長．
35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點，與點P同時以相反的速度由B向CB延伸線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）當運動過程中線段ED的長能否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請闡明理由．
36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的外形．（只寫結果）
37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求證：AB=BC；
（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．
38．（2012?益陽）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求證：AB=AC．
39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．
（1）猜想AC與BD的地位關系，并證明你的結論；
（2）求線段BD的長．
40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延伸線上的一點，且CE=CD．
求證：∠B=∠E．
41．（2012?紹興）聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．
運用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數．
探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探求PA的長．
42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．
（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB= °；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數；
（2）已知O2是⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB是⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．
43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：
如圖①，連接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．
∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如圖②，P為BC延伸線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH= ?。cP到AB邊的距離PE= ．
44．（2012?黃岡）
如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點E，垂足為點D，連接BE，則∠EBC的度數為 ?。?/p>
45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數．
46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網格中，△ABC的頂點和線段EF的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：tanA=，AC=（結果保留根號）；
（2）請你在圖中找出一點D（僅一個點即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，并加以證明．
47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．
（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并圖①證明你的結論；
（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論能否成立？若成立，請圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；
（3）若AC=3，點D在直線BC上挪動的過程中，能否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請闡明理由．
48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數學課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長．
49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個單位，若點P由A出發，以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運動，次回到點A處中止運動，設AP=S，用t表示運動工夫．
（1）當點P由B到C運動的過程中，用t表示S；
（2）當t取何值時，S等于（求出一切的t值）；
（3）根據（2）中t的取值，直接寫出在哪些時段AP？
50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．
51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．
（1）求∠ECD的度數；
（2）若CE=5，求BC長．
52．（2011?棗莊）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；
（2）線段AC的長為，CD的長為，AD的長為 ?。?/p>
（3）△ACD為 三角形，四邊形ABCD的面積為 ??；
（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是 ?。?/p>
53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF長．
54．（2011?沈陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度數；
（2）求證：DC=AB．
55．（2011?青海）認真閱讀上面關于三角形內外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績．
探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，經過分析發現∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請闡明理由．
探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）
結論： ?。?/p>
56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對話，然后解答成績：
（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．
①求證：△ACE是奇異三角形；
②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．
57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．
58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．
（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP= ??；（直接寫結果）
（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小能否會隨點P的挪動面變化？請闡明理由；
（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小能否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）
59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績進行專題研討，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；
（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
…
現請你繼續對上面成績進行探求，探求過程可直接運用上述結論．（S表示面積）
成績1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經探求知=S△ABC，請證明．
成績2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探求與S四邊形ABCD之間的數量關系．
成績3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．
成績4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．
60．（2011?樂山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數．
中考數學提分沖刺真題精析：三角形
參考答案與試題解析
一、解
答
題（共60小題）
1．（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求證：BE=CF；
（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．
求證：①ME⊥BC；②DE=DN．
考點：
全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰直角三角形．版權一切
專題：
證明題；幾何綜合題．
分析：
（1）根據等腰直角三角形的性質求出∠B=∠ACB=45°，再求出∠ACF=45°，從而得到∠B=∠ACF，根據同角的余角相等求出∠BAE=∠CAF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）①過點E作EH⊥AB于H，求出△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，從而得到△HEM是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求解即可；
②求出∠CAE=∠CEA=67.5°，根據等角對等邊可得AC=CE，再利用“HL”證明Rt△ACM和Rt△ECM全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ACM=∠ECM=22.5°，從而求出∠DAE=∠ECM，根據等腰直角三角形的性質可得AD=CD，再利用“角邊角”證明△ADE和△CDN全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．
解答：
證明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵FC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠ACF=90°﹣45°=45°，∴∠B=∠ACF，∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴BE=CF；
（2）①如圖，過點E作EH⊥AB于H，則△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC；
②由題意得，∠CAE=45°+×45°=67.5°，∴∠CEA=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE，在Rt△ACM和Rt△ECM中，∴Rt△ACM≌Rt△ECM（HL），∴∠ACM=∠ECM=×45°=22.5°，又∵∠DAE=×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM，∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，∴AD=CD=BC，在△ADE和△CDN中，∴△ADE≌△CDN（ASA），∴DE=DN．
點評：
本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，熟記性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和全等三角形是解題的關鍵，難點在于一問根據角的度數得到相等的角．
2．（2014?張家界）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．
（1）證明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長；
（3）請你添加一個條件，使得∠EFD=∠BAD，并予以證明．
考點：
全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的判定與性質．版權一切
專題：
幾何綜合題；開放型．
分析：
（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．
（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC與△ADC是軸對稱圖形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，由于OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積．
（3）首先證明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根據BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，進而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．
解答：
（1）證明：在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和△CDF中，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是軸對稱圖形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8．
（3）當EB⊥CD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BAD．
點評：
此題次要考查了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．
3．（2014?湘潭）如圖，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道．為了加快施工進度，想在小山的另一側同時施工．為了使山的另一側的開挖點C在AB的延伸線上，設想過C點作直線AB的垂線L，過點B作不斷線（在山的旁邊），與L相交于D點，經測量∠ABD=135°，BD=800米，求直線L上距離D點多遠的C處開挖？（≈1.414，到1米）
考點：
勾股定理的運用．版權一切
專題：
幾何圖形成績．
分析：
首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據勾股定理可得CD2+BC2=BD2，然后再代入BD=800米進行計算即可．
解答：
解：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∵∠ABD=135°，∴∠DBC=45°，∴∠D=45°，∴CB=CD，在Rt△DCB中：CD2+BC2=BD2，2CD2=8002，CD=400≈566（米），答：直線L上距離D點566米的C處開挖．
點評：
此題次要考查了勾股定理的運用，在運用勾股定理處理實踐成績時勾股定理與方程的是處理實踐成績常用的方法，關鍵是從題中籠統出勾股定理這一數學模型，畫出精確的表示圖．領會數形的思想的運用．
4．（2014?西寧）課間，小明拿著老師的等腰三角板玩，不小心掉到兩墻之間，如圖．
（1）求證：△ADC≌△CEB；
（2）從三角板的刻度可知AC=25cm，請你幫小明求出砌墻磚塊的厚度a的大?。繅K磚的厚度相等）．
考點：
全等三角形的運用；勾股定理的運用．版權一切
專題：
幾何圖形成績．
分析：
（1）根據題意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根據等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可．
（2）由題意得：AD=4a，BE=3a，根據全等可得DC=BE=3a，根據勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
解答：
（1）證明：由題意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由題意得：
∵一塊墻磚的厚度為a，∴AD=4a，BE=3a，由（1）得：△ADC≌△CEB，∴DC=BE=3a，在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，∴（4a）2+（3a）2=252，∵a＞0，解得a=5，答：砌墻磚塊的厚度a為5cm．
點評：
此題次要考查了全等三角形的運用，以及勾股定理的運用，關鍵是正確找出證明三角形全等的條件．
5．（2014?溫州）如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延伸線于點F．
（1）求∠F的度數；
（2）若CD=2，求DF的長．
考點：
等邊三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切
專題：
幾何圖形成績．
分析：
（1）根據平行線的性質可得∠EDC=∠B=60°，根據三角形內角和定理即可求解；
（2）易證△EDC是等邊三角形，再根據直角三角形的性質即可求解．
解答：
解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形．
∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
點評：
本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．
6．（2014?溫州）勾股定理奧秘而美好，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，上面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：
將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a2+b2=c2．
證明：連結DB，過點D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b﹣a．
∵S四邊形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四邊形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
請參照上述證法，利用圖2完成上面的證明．
將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．
求證：a2+b2=c2
證明：連結 BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED= S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED= S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．
考點：
勾股定理的證明．版權一切
專題：
推理填
空
題．
分析：
首先連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，表示出S五邊形ACBED，進而得出答案．
解答：
證明：連結BD，過點B作DE邊上的高BF，則BF=b﹣a，∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五邊形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．
點評：
此題次要考查了勾股定理得證明，表示出五邊形面積是解題關鍵．
7．（2014?）如圖，四邊形ABCD中，E點在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．請殘缺闡明為何△ABC與△DEC全等的理由．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
根據∠BCE=∠ACD=90°，可得∠3=∠5，又根據∠BAE=∠1+∠2=90°，∠2+∠D=90°，可得∠1=∠D，繼而根據AAS可判定△ABC≌△DEC．
解答：
解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（AAS）．
點評：
本題考查了全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
8．（2014?遂寧）如圖，根據圖中數據完成填空，再按要求答題：
sin2A1+sin2B1= 1??；sin2A2+sin2B2= 1?。籹in2A3+sin2B3= 1?。?/p>
（1）觀察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1?。?/p>
（2）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，利用三角函數的定義和勾股定理，證明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求si．
考點：
勾股定理；互余兩角三角函數的關系；解直角三角形．版權一切
專題：
幾何綜合題；規律型．
分析：
（1）由前面的結論，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用銳角三角函數的定義得出sinA=，si=，則sin2A+sin2B=，再根據勾股定理得到a2+b2=c2，從而證明sin2A+sin2B=1；
（3）利用關系式sin2A+sin2B=1，已知條件sinA=，進行求解．
解答：
解：（1）由圖可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
觀察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，si=，∴sin2A+sin2B=，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，∴sin2A+sin2B=1．
（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，∴si==．
點評：
本題考查了在直角三角形中互余兩角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單．
9．（2014?邵陽）如圖，已知點A、F、E、C在同不斷線上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE．
（1）從圖中任找兩組全等三角形；
（2）從（1）中任選一組進行證明．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
（1）根據標題所給條件可分析出△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
（2）根據AB∥CD可得∠1=∠2，根據AF=CE可得AE=FC，然后再證明△ABE≌△CDF即可．
解答：
解：（1）△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB；
（2）∵AB∥CD，∴∠1=∠2，∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=FC，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）．
點評：
此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
10．（2014?南京）【成績提出】
學習了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研討．
【初步考慮】
我們不妨將成績用符號言語表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對∠B進行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探求．
【深入探求】
種情況：當∠B是直角時，△ABC≌△DEF．
（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據 HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二種情況：當∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．
（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．
第三種情況：當∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若 ∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．
考點：
全等三角形的判定與性質；作圖—運用與設計作圖．版權一切
專題：
壓軸題；探求型．
分析：
（1）根據直角三角形全等的方法“HL”證明；
（2）過點C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，根據等角的補角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角邊”證明△CBG和△FEH全等，根據全等三角形對應邊相等可得CG=FH，再利用“HL”證明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根據全等三角形對應角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角邊”證明△ABC和△DEF全等；
（3）以點C為圓心，以AC長為半徑畫弧，與AB相交于點D，E與B重合，F與C重合，得到△DEF與△ABC不全等；
（4）根據三種情況結論，∠B不小于∠A即可．
解答：
（1）解：HL；
（2）證明：如圖，過點C作CG⊥AB交AB的延伸線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延伸線于H，∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如圖，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，則△ABC≌△DEF．
故答案為：（1）HL；（4）∠B≥∠A．
點評：
本題考查了全等三角形的判定與性質，運用與設計作圖，純熟掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵，閱讀量較大，審題要認真細心．
11．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連結MN，與AC、BC分別交于點D、E，連結AE，則：
（1）∠ADE= 90 °；
（2）AE = EC；（填“=”“＞”或“＜”）
（3）當AB=3，AC=5時，△ABE的周長= 7?。?/p>
考點：
線段垂直平分線的性質；勾股定理的運用．版權一切
專題：
幾何圖形成績．
分析：
（1）由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，故可得出結論；
（2）根據線段垂直平分線的性質即可得出結論；
（3）先根據勾股定理求出BC的長，進而可得出結論．
解答：
解：（1）∵由作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，∴∠ADE=90°．
故答案為：90°；
（2）∵MN是線段AC的垂直平分線，∴AE=EC．
故答案為：=；
（3）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵AE=CE，∴△ABE的周長=AB+BC=3+4=7．
故答案為：7．
點評：
本題考查的是線段垂直平分線的性質以及勾股定理的運用，熟知線段垂直平分線的性質是解答此題的關鍵．
12．（2014?錦州）如圖，在△ABC中，點D在AB上，且CD=CB，點E為BD的中點，點F為AC的中點，連結EF交CD于點M，連接AM．
（1）求證：EF=AC．
（2）若∠BAC=45°，求線段AM、DM、BC之間的數量關系．
考點：
直角三角形斜邊上的中線；等腰三角形的判定與性質；等腰直角三角形．版權一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得CE⊥BD，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=AC；
（2）判斷出△AEC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得EF垂直平分AC，再根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代換即可得解．
解答：
（1）證明：∵CD=CB，點E為BD的中點，∴CE⊥BD，∵點F為AC的中點，∴EF=AC；
（2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵點F為AC的中點，∴EF垂直平分AC，∴AM=CM，∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB，∴BC=AM+DM．
點評：
本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的性質等腰直角三角形的判定與性質，難點在于（2）判斷出EF垂直平分AC．
13．（2014?吉林）如圖，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，連接BD，CE，求證：△ABD≌△AEC．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
根據∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根據全等的條件可得出結論．
解答：
證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．
點評：
本題考查了全等三角形的判定，判斷三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判斷兩個直角三角形全等的方法HL．
14．（2014?黃石）小明聽說“武黃城際列車”曾經開通，便設計了如下成績：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，如今可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B．設AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．請你協助小明處理以下成績：
（1）求A、C之間的距離；（參考數據=4.6）
（2）若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短工夫到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車？請闡明理由．（不計候車工夫）
考點：
勾股定理的運用．版權一切
專題：
幾何圖形成績．
分析：
（1）過點C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點，利用勾股定理求得AC的長即可；
（2）分別求得乘車工夫，然后比較即可得到答案．
解答：
解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延伸線于E點，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；
（2）乘客車需工夫（小時）；
乘列車需工夫（小時）；
∴選擇城際列車．
點評：
本題考查了勾股定理的運用，解題的關鍵是正確的構造直角三角形．
15．（2014?衡陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．
求證：△BED≌△CFD．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
首先根據AB=AC可得∠B=∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．
解答：
證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD（AAS）．
點評：
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
16．（2014?菏澤）（1）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求線段DE的長．
（2）已知x2﹣4x+1=0，求﹣的值．
考點：
等腰三角形的判定與性質；分式的化簡求值；平行線的性質；直角三角形斜邊上的中線．版權一切
分析：
（1）求出∠CAD=∠BAD=∠EDA，推出AE=DE，求出∠ABD=∠EDB，推出BE=DE，求出AE=BE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可．
（2）化簡當前，用全體思想代入即可得到答案．
解答：
解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠CAD=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE，∵AD⊥DB，∴∠ADB=90°，∴∠EAD+∠ABD=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ABD=∠BDE，∴DE=BE，∵AB=5，∴DE=BE=AE==2.5．
（2）原式=
=
∵x2﹣4x+1=0，∴x2﹣4x=﹣1，原式=
點評：
本題考查了平行線的性質，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的運用，關鍵是求出DE=BE=AE．學會用全體思想解答有關成績是我們學習的關鍵．
17．（2014?菏澤）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，連接BC，AC，作OD∥BC與過點A的切線交于點D，連接DC并延伸交AB的延伸線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若=，求cos∠ABC的值．
考點：
勾股定理；切線的判定與性質．版權一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）如圖，連接OC．欲證DE是⊙O的切線，只需證得OC⊥DE；
（2）由=，可設CE=2k（k＞0），則DE=3k，在Rt△DAE中，由勾股定理求得AE==2k．則tan∠E==．所以在Rt△OCE中，tan∠E==．
在Rt△AOD中，由勾股定理得到OD==k，故cos∠ABC=cos∠AOD==．
解答：
（1）證明：如圖，連接OC．
∵AD是過點A的切線，AB是⊙O的直徑，∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°．
∵OD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵OC=OB，∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
在△COD和△AOD中，∴△COD≌△AOD（SAS）
∴∠OCD=∠DAB=90°，即OC⊥DE于點C．
∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線；
（2）解：由=，可設CE=2k（k＞0），則DE=3k，∴AD=DC=k．
∴在Rt△DAE中，AE==2k．
∴tan∠E==．
∵在Rt△OCE中，tan∠E==．
∴=，∴OC=OA=．
∴在Rt△AOD中，OD==k，∴cos∠ABC=cos∠AOD==．
點評：
本題考查了切線的判定與性質．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．
18．（2014?德州）成績背景：
如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探求圖中線段BE，EF，FD之間的數量關系．
小王同窗探求此成績的方法是，延伸FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是 EF=BE+DF ；
探求延伸：
如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論能否仍然成立，并闡明理由；
實踐運用：
如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮的距離相等，接到舉動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．
考點：
全等三角形的判定與性質．版權一切
專題：
壓軸題；探求型．
分析：
成績背景：根據全等三角形對應邊相等解答；
探求延伸：延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，根據同角的補角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AG，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△GAF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，然后求解即可；
實踐運用：連接EF，延伸AE、BF相交于點C，然后求出∠EAF=∠AOB，判斷出符合探求延伸的條件，再根據探求延伸的結論解答即可．
解答：
解：成績背景：EF=BE+DF；
探求延伸：EF=BE+DF仍然成立．
證明如下：如圖，延伸FD到G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
實踐運用：如圖，連接EF，延伸AE、BF相交于點C，∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，∴符合探求延伸中的條件，∴結論EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．
點評：
本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂成績背景的求解思緒，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點．
19．（2013?淄博）如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC．求證：AB=AD．
考點：
等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．版權一切
專題：
證明題．
分析：
根據AD∥BC，可求證∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代換可求證∠ABD=∠ADB，然后即可得出結論．
解答：
證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．
點評：
此題次要考查先生對等腰三角形的判定與性質和平行線性質的理解和掌握，此題很簡單，屬于基礎題．
20．（2013?云南）如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當的條件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）．
（1）你添加的條件是 ∠C=∠E?。?/p>
（2）添加條件后，請闡明△ABC≌△ADE的理由．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
開放型．
分析：
（1）可以根據全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；
（2）根據全等三角形的判定方法證明即可．
解答：
解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A，∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E，若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE，若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC，綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）；
故答案為：∠C=∠E；
（2）選∠C=∠E為條件．
理由如下：在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．
點評：
本題次要考查了全等三角形的判定，開放型標題，根據不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的條件也不相反．
21．（2013?湘西州）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的長；
（2）求△ADB的面積．
考點：
角平分線的性質；勾股定理．版權一切
分析：
（1）根據角平分線性質得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的長，然后計算△ADB的面積．
解答：
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面積為S△ADB=AB?DE=×10×3=15．
點評：
本題考查了角平分線性質和勾股定理的運用，留意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
22．（2013?仙桃）如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
分析：
找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇一組證明即可．
解答：
解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM．
選擇△AEM≌△ACN，理由如下：
∵△ADE≌△ABC，∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB，∴∠EAM=∠CAN，∵在△AEM和△ACN中，∴△AEM≌△ACN（ASA）．
點評：
本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質；判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
23．（2013?天水）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的長和四邊形ABCD的面積．
考點：
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切
分析：
利用等腰直角三角形的性質得出EH=DH=1，進而得出再利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出CD的長，求出AC，AB的長即可得出四邊形ABCD的面積．
解答：
解：過點D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH，∵EH2+DH2=ED2，∴EH2=1，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四邊形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
點評：
此題次要考查了解直角三角形和三角形面積求法，根據已知構造直角三角形進而得出直角邊的長度是解題關鍵．
24．（2013?隨州）如圖，點F、B、E、C在同不斷線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明．
提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
分析：
由BF=CE可得EF=CB，再有條件∠ABC=∠DEF不能證明△ABC≌△DEF；可以加上條件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．
解答：
解：不能；
選擇條件：①AB=DE；
∵BF=CE，∴BF+BE=CE+BE，即EF=CB，在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS）．
點評：
此題次要考查了全等三角形的判定，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
25．（2013?寧德）如圖，點D、A、C在同不斷線上，AB∥CE，AB=CD，∠B=∠D，求證：△ABC≌△CDE．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
首先根據AB∥CE可得∠BAC=∠DCE，再加上條件AB=CD，∠B=∠D可利用ASA定理證明三角形全等．
解答：
證明：∵AB∥CE，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．
點評：
此題次要考查了全等三角形的判定，關鍵是掌握判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
26．（2013?荊州）如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，連結BE．請找出一對全等三角形，并闡明理由．
考點：
全等三角形的判定；等腰直角三角形．版權一切
分析：
分析
根據等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，CA=CB，CD=CE，可證明△ACD≌△BCE．
解答：
解：△ACD≌△BCE．
證明如下∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE．
∵△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴CA=CB，CD=CE，在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE．
點評：
本題考查了全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是掌握三角形全等的判定定理．
27．（2013?杭州）（1）先求解下列兩題：
①如圖①，點B，D在射線AM上，點C，E在射線AN上，且AB=BC=CD=DE，已知∠EDM=84°，求∠A的度數；
②如圖②，在直角坐標系中，點A在y軸正半軸上，AC∥x軸，點B，C的橫坐標都是3，且BC=2，點D在AC上，且橫坐標為1，若反比例函數的圖象點B，D，求k的值．
（2）解題后，你發現以上兩小題有什么共同點？請簡單地寫出．
考點：
等腰三角形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）①根據等邊對等角可得∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，然后用∠A表示出∠EDM，計算即可求解；
②先根據反比例函數圖象上的點的坐標特征表示出點B的坐標，再表示出點C的坐標，然后根據AC∥x軸可得點C、D的縱坐標相反，從而表示出點D的坐標，再代入反比例函數解析式進行計算即可得解．
（2）從數學思想上考慮解答．
解答：
解：（1）①∵AB=BC=CD=DE，∴∠A=∠BCA，∠CBD=∠BDC，∠ECD=∠CED，根據三角形的外角性質，∠A+∠BCA=∠CBD，∠A+∠CDB=∠ECD，∠A+∠CED=∠EDM，又∵∠EDM=84°，∴∠A+3∠A=84°，解得，∠A=21°；
②∵點B在反比例函數y=圖象上，點B，C的橫坐標都是3，∴點B（3，），∵BC=2，∴點C（3，+2），∵AC∥x軸，點D在AC上，且橫坐標為1，∴D（1，+2），∵點D也在反比例函數圖象上，∴+2=k，解得，k=3；
（2）用已知的量經過關系去表達未知的量，運用轉換的思想和方法．（開放題）
點評：
本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，以及反比例函數圖象上點的坐標特征，是基礎題．
28．（2013?貴陽）在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，△ABC是直角三角形；當a2+b2≠c2時，利用代數式a2+b2和c2的大小關系，探求△ABC的外形（按角分類）．
（1）當△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為 銳角 三角形；當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為 鈍角 三角形．
（2）猜想，當a2+b2?。尽2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2 ＜ c2時，△ABC為鈍角三角形．
（3）判斷當a=2，b=4時，△ABC的外形，并求出對應的c的取值范圍．
考點：
勾股定理的逆定理；勾股定理．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）利用勾股定理列式求出兩直角邊為6、8時的斜邊的值，然后作出判斷即可；
（2）根據（1）中的計算作出判斷即可；
（3）根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長邊c點的值，然后得到c的取值范圍，然后分情況討論即可得解．
解答：
解：（1）兩直角邊分別為6、8時，斜邊==10，∴△ABC三邊分別為6、8、9時，△ABC為銳角三角形；
當△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：銳角；鈍角；
（2）當a2+b2＞c2時，△ABC為銳角三角形；
當a2+b2＜c2時，△ABC為鈍角三角形；
故答案為：＞；＜；
（3）∵c為最長邊，2+4=6，∴4≤c＜6，a2+b2=22+42=20，①a2+b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴當4≤c＜2時，這個三角形是銳角三角形；
②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當c=2時，這個三角形是直角三角形；
③a2+b2＜c2，即c2＞20，c＞2，∴當2＜c＜6時，這個三角形是鈍角三角形．
點評：
本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，讀懂標題信息，理解三角形為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時的三條邊的數量關系是解題的關鍵．
29．（2013?佛山）課本指出：公認的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需求經過推理的方法證明．
（1）敘說三角形全等的判定方法中的推論AAS；
（2）證明推論AAS．
要求：敘說推論用文字表達；用圖形中的符號表達已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明根據．
考點：
全等三角形的判定；命題與定理．版權一切
分析：
（1）兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．
（2）根據三角形內角和定理和全等三角形的判斷定理ASA來證明．
解答：
解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等．
（2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．
求證：△ABC≌△DEF．
證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內角和定理），∴∠B=∠E．
∵在△ABC與△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．
點評：
本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
30．（2013?防城港）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求證：△ABC≌△AED．
考點：
全等三角形的判定．版權一切
專題：
證明題．
分析：
首先根據∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上條件AB=AE，∠C=∠D可證明△ABC≌△AED．
解答：
證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．
點評：
此題次要考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的普通方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
留意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
31．（2013?鄂州）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高．小明說：“這樓最少20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒成績！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖，其中矩形CDEF表示樓體，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四點在同不斷線上）問：
（1）樓高多少米？
（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請闡明理由．（參考數據：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
考點：
勾股定理的運用．版權一切
專題：
運用題．
分析：
（1）設樓高為x，則CF=DE=x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD=150，求出x的值即可；
（2）根據（1）求出的樓高x，然后求出20層樓的高度，比較x和20層樓高的大小即可判斷誰的觀點正確．
解答：
解：（1）設樓高為x米，則CF=DE=x米，∵∠A=30°，∠B=45°，∠ACF=∠BDE=90°，∴AC=x米，BD=x米，∴x+x=150﹣10，解得x==70（﹣1）（米），∴樓高70（﹣1）米．
（2）x=70（﹣1）≈70（1.73﹣1）=70×0.73=51.1米＜3×20米，∴我支持小華的觀點，這樓不到20層．
點評：
本題考查了勾股定理的運用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解，難度普通．
32．（2013?郴州）如圖，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P為AC邊上一動點，設PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F．
（1）證明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分別是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代數式表示EM、FN，并探求EM、FN、BH之間的數量關系；
（3）當k=4時，求四邊形PEBF的面積S與x的函數關系式．x為何值時，S有值？并求出S的值．
考點：
等腰三角形的判定與性質；二次函數的最值；解直角三角形．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）根據等邊對等角可得∠A=∠C，然后根據兩直線平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，從而得到∠CPE=∠C，即可得證；
（2）根據等腰三角形三線合一的性質求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的長，再根據結果整理可得EM+FN=BH；
（3）分別求出EM、FN、BH，然后根據S△PCE，S△APF，S△ABC，再根據S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S與x的關系式，然后利用二次函數的最值成績解答．
解答：
（1）證明：∵AB=BC，∴∠A=∠C，∵PE∥AB，∴∠CPE=∠A，∴∠CPE=∠C，∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP，∴CM=CP=，tanC=tanA=k，∴EM=CM?tanC=?k=，同理：FN=AN?tanA=?k=4k﹣，由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，而EM+FN=+4k﹣=4k，∴EM+FN=BH；
（3）解：當k=4時，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，所以，S△PCE=x?2x=x2，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x）2，S△ABC=×8×16=64，S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，=64﹣x2﹣（8﹣x）2，=﹣2x2+16x，配方得，S=﹣2（x﹣4）2+32，所以，當x=4時，S有值32．
點評：
本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，銳角三角函數，二次函數的最值成績，表示出各三角形的高線是解題的關鍵，也是本題的難點．
33．（2013?朝陽）某段河流的兩岸是平行的，數學興味小組在老師帶領下不用涉水過河就測得河的寬度，他們是這樣做的：
①在河流的一條岸邊B點，選對岸正對的一顆樹A；
②沿河岸直走20步有一樹C，繼續前行20步到達D處；
③從D處沿河岸垂直的方向行走，當到達A樹正好被C樹遮擋住的E處中止行走；
④測得DE的長就是河寬AB．
請你證明他們做法的正確性．
考點：
全等三角形的運用．版權一切
分析：
將標題中的實踐成績轉化為數學成績，然后利用全等三角形的判定方法證得兩個三角形全等即可闡明其做法的正確性．
解答：
證明：如圖，由做法知：
在Rt△ABC和Rt△EDC中，∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA）
∴AB=ED
即他們的做法是正確的．
點評：
本題考查了全等三角形的運用，解題的關鍵是將實踐成績轉化為數學成績．
34．（2013?包頭）如圖，一根長6米的木棒（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．
（1）求OB的長；
（2）當AA′=1米時，求BB′的長．
考點：
勾股定理的運用；解直角三角形的運用．版權一切
分析：
（1）由已知數據解直角三角形AOB即可；
（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長即可．
解答：
解：（1）根據題意可知：AB=6，∠ABO=60°，∠AOB=90°，在Rt△AOB中，∵cos∠ABO=，∴OB=ABcos∠ABO=6cos60°=3米，∴OB的長為3米；
（2）根據題意可知A′B′=AB=6米，在Rt△AOB中，∵sin∠ABO=，∴OA=ABsin∠ABO=6sin60°=9米，∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，∴OA′=8米，在Rt△A′OB′中，OB′=2米，∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣3）米．
點評：
本題考查了勾股定理的運用和角的銳角三角函數，是中考常見題型．
35．（2012?遵義）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動點，由A向C運動（與A、C不重合），Q是CB延伸線上一點，與點P同時以相反的速度由B向CB延伸線方向運動（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）當∠BQD=30°時，求AP的長；
（2）當運動過程中線段ED的長能否發生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請闡明理由．
考點：
等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形．版權一切
專題：
壓軸題；動點型．
分析：
（1）由△ABC是邊長為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相反，可知AP=BQ，再根據全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等邊△ABC的邊長為6可得出DE=3，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．
解答：
解：（1）∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠BQD=30°，∴∠QPC=90°，設AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+BC=6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2，∴AP=2；
（2）當點P、Q同時運動且速度相反時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB的延伸線于點F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°，∵點P、Q速度相反，∴AP=BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP=∠BFQ=90°，∴∠APE=∠BQF，在△APE和△BQF中，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE=EF，∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB，又∵等邊△ABC的邊長為6，∴DE=3，∴點P、Q同時運動且速度相反時，線段DE的長度不會改變．
點評：
本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線構造出全等三角形是解答此題的關鍵．
36．（2012?珠海）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分線．
（1）用尺規作圖方法，作∠ADC的平分線DN；（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）設DN與AM交于點F，判斷△ADF的外形．（只寫結果）
考點：
等腰三角形的判定與性質；作圖—基本作圖．版權一切
專題：
作圖題．
分析：
（1）以D為圓心，以任意長為半徑畫弧，交AD于G，交DC于H，分別以G、H為圓心，以大于GH為半徑畫弧，兩弧交于N，作射線DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．
解答：
解：（1）如圖所示：
（2）△ADF的外形是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
點評：
本題考查了作圖﹣基本作圖，等腰三角形的性質和判定的運用，次要培養先生的動手操作能力和推理能力，標題比較典型，難度也適中．
37．（2012?棗莊）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．
（1）求證：AB=BC；
（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD．
考點：
勾股定理；全等三角形的判定與性質．版權一切
專題：
證明題．
分析：
（1）根據勾股定理AB2+BC2=AC2，得出AB2+BC2=2AB2，進而得出AB=BC；
（2）首先證明CDEF是矩形，再根據△BAE≌△CBF，得出AE=BF，進而證明結論．
解答：
證明：（1）連接AC．
∵∠ABC=90°，∴AB2+BC2=AC2．
∵CD⊥AD，∴AD2+CD2=AC2．
∵AD2+CD2=2AB2，∴AB2+BC2=2AB2，∴BC2=AB2，∵AB＞0，BC＞0，∴AB=BC．
（2）過C作CF⊥BE于F．
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，∴四邊形CDEF是矩形．
∴CD=EF．
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴在△BAE與△CBF中
∴，∴△BAE≌△CBF．（AAS）
∴AE=BF．
∴BE=BF+EF=AE+CD．
點評：
此題次要考查了勾股定理的運用以及三角形的全等證明，根據已知得出四邊形CDEF是矩形以及△BAE≌△CBF是處理成績的關鍵．
38．（2012?益陽）如圖，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求證：AB=AC．
考點：
等腰三角形的判定與性質；平行線的性質；等腰三角形的判定．版權一切
專題：
證明題；壓軸題．
分析：
根據角平分線的定義可得∠1=∠2，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠B，兩直線平行，內錯角相等可得∠2=∠C，從而得到∠B=∠C，然后根據等角對等邊即可得證．
解答：
證明：∵AE平分∠DAC，∴∠1=∠2，∵AE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．
點評：
本題考查了等腰三角形的判定，平行線的性質，是基礎題，熟記性質是解題的關鍵．
39．（2012?湘潭）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，將△ABC沿直線BC向右平移，使B點與C點重合，得到△DCE，連接BD，交AC于F．
（1）猜想AC與BD的地位關系，并證明你的結論；
（2）求線段BD的長．
考點：
等邊三角形的性質；勾股定理；平移的性質．版權一切
專題：
探求型．
分析：
（1）由平移的性質可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出結論；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長．
解答：
解：（1）AC⊥BD．
∵△DCE由△ABC平移而成，∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，∴DE=BE，∴BD⊥DE，又∵∠E=∠ACB=60°，∴AC∥DE，∴BD⊥AC，∵△ABC是等邊三角形，∴BF是邊AC的中線，∴BD⊥AC，BD與AC互相垂直平分；
（2）∵由（1）知，AC∥DE，BD⊥AC，∴△BED是直角三角形，∵BE=6，DE=3，∴BD===3．
點評：
本題考查的是等邊三角形的性質及平移的性質，熟知圖形平移后的圖形與原圖形全等的性質是解答此題的關鍵．
40．（2012?梧州）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E是AD延伸線上的一點，且CE=CD．
求證：∠B=∠E．
考點：
等腰三角形的判定與性質；等腰三角形的性質．版權一切
專題：
證明題；壓軸題．
分析：
先根據等腰梯形的性質得出∠B+∠ADC=180°，再根據兩角互補的性質得出∠B=∠CDE，再根據CE=CD即可得出∠CDE=∠E，進而得出結論．
解答：
證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠B=∠CDE，∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∴∠CDE=∠E，∴∠B=∠E．
點評：
本題考查的是等腰三角形的判定與性質及等腰梯形的性質，熟知等腰梯形的兩底角相等是解答此題的關鍵．
41．（2012?紹興）聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．
定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．
舉例：如圖1，若PA=PB，則點P為△ABC的準外心．
運用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度數．
探求：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5，AB=3，準外心P在AC邊上，試探求PA的長．
考點：
線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；勾股定理．版權一切
專題：
新定義．
分析：
運用：連接PA、PB，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況利用等邊三角形的性質求出PD與AB的關系，然后判斷出只要情況③是合適的，再根據等腰直角三角形的性質求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度數；
探求：先根據勾股定理求出AC的長度，根據準外心的定義，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三種情況，根據三角形的性質計算即可得解．
解答：
運用：解：①若PB=PC，連接PB，則∠PCB=∠PBC，∵CD為等邊三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，與已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，連接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探求：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，設PA=x，則x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，則PA=2，③若PA=PB，由圖知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或．
點評：
本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，讀懂題意，弄清楚準外心的定義是解題的關鍵，根據準外心的定義，要留意分三種情況進行討論．
42．（2012?南京）如圖，A、B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點（P不與A、B重合）、我們稱∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角．
（1）已知∠APB是⊙O上關于點A、B的滑動角，①若AB是⊙O的直徑，則∠APB= 90 °；
②若⊙O的半徑是1，AB=，求∠APB的度數；
（2）已知O2是⊙O1外一點，以O2為圓心作一個圓與⊙O1相交于A、B兩點，∠APB是⊙O1上關于點A、B的滑動角，直線PA、PB分別交⊙O2于M、N（點M與點A、點N與點B均不重合），連接AN，試探求∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．
考點：
勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；點與圓的地位關系；圓與圓的地位關系．版權一切
專題：
幾何綜合題；壓軸題．
分析：
（1）①根據直徑所對的圓周角等于90°即可求解；
②根據勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分點P在優弧上；點P在劣弧上兩種情況討論求解；
（2）根據點P在⊙O1上的地位分為四種情況得到∠APB與∠MAN、∠A之間的數量關系．
解答：
解：（1）①若AB是⊙O的直徑，則∠APB=90．
②如圖，連接AB、OA、OB．
在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
當點P在優弧上時，∠APB=∠AOB=45°；
當點P在劣弧上時，∠AP′B=（360°﹣∠AOB）=135°
（2）根據點P在⊙O1上的地位分為以下四種情況．
種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點B在點P與點N之間，如圖①
∵∠MAN=∠APB+∠A，∴∠APB=∠MAN﹣∠A；
第二種情況：點P在⊙O2外，且點A在點P與點M之間，點N在點P與點B之間，如圖②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠A），∴∠APB=∠MAN+∠A﹣180°；
第三種情況：點P在⊙O2外，且點M在點P與點A之間，點B在點P與點N之間，如圖③．
∵∠APB+∠A+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠A，第四種情況：點P在⊙O2內，如圖④，∠APB=∠MAN+∠A．
點評：
綜合考查了圓周角定理，勾股定理的逆定理，點與圓的地位關系，本題難度較大，留意分類思想的運用．
43．（2012?牡丹江）如圖①，△ABC中．AB=AC，P為底邊BC上一點，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分別為E、F、H．易證PE+PF=CH．證明過程如下：
如圖①，連接AP．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．
∵AB=AC，∴PE+PF=CH．
（1）如圖②，P為BC延伸線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面積為49，點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF，當PF=3時，則AB邊上的高CH= 7?。cP到AB邊的距離PE= 4或10?。?/p>
考點：
等腰三角形的性質；三角形的面積．版權一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
（1）連接AP．先根據三角形的面積公式分別表示出S△ABP，S△ACP，S△ABC，再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；
（2）先根據直角三角形的性質得出AC=2CH，再由△ABC的面積為49，求出CH=7，由于CH＞PF，則可分兩種情況進行討論：①P為底邊BC上一點，運用結論PE+PF=CH；②P為BC延伸線上的點時，運用結論PE=PF+CH．
解答：
解：（1）如圖②，PE=PF+CH．證明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH，∵S△ABP=S△ACP+S△ABC，∴AB?PE=AC?PF+AB?CH，又∵AB=AC，∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH中，∠A=30°，∴AC=2CH．
∵S△ABC=AB?CH，AB=AC，∴×2CH?CH=49，∴CH=7．
分兩種情況：
①P為底邊BC上一點，如圖①．
∵PE+PF=CH，∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；
②P為BC延伸線上的點時，如圖②．
∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．
故答案為：7；4或10．
點評：
本題考查了等腰三角形的性質與三角形的面積，難度適中，運用面積證明可使成績簡便，（2）中分情況討論是解題的關鍵．
44．（2012?黃岡）
如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于點E，垂足為點D，連接BE，則∠EBC的度數為 36°?。?/p>
考點：
線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．版權一切
分析：
由DE是AB的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質，即可得AE=BE，則可求得∠ABE的度數，又由AB=AC，根據等邊對等角與三角形內角和定理，即可求得∠ABC的度數，繼而求得答案．
解答：
解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C==72°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°﹣36°=36°．
故答案為：36°．
點評：
此題考查了線段垂直平分線的性質與等腰三角形的性質．此題比較簡單，留意數形思想的運用．
45．（2012?淮安）如圖，△ABC中，∠C=90°，點D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度數．
考點：
含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切
分析：
首先在直角三角形BDC中，利用BD的長和∠BDC=45°求得線段BC的長，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度數即可；
解答：
解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD?sin∠BDC=10×=10
∵∠C=90°AB=20
∴sin∠A===，∴∠A=30°．
點評：
本題考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知識，屬于基礎題，比較簡單．
46．（2012?河池）如圖，在10×10的正方形網格中，△ABC的頂點和線段EF的端點都在邊長為1的小正方形的頂點上．
（1）填空：tanA=，AC= 2（結果保留根號）；
（2）請你在圖中找出一點D（僅一個點即可），連接DE、DF，使以D、E、F為頂點的三角形與△ABC全等，并加以證明．
考點：
勾股定理；全等三角形的判定；銳角三角函數的定義．版權一切
專題：
網格型．
分析：
（1）延伸AB，過C作延伸線的垂線CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的長，利用銳角三角函數定義求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；
（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如圖所示，理由為：在直角三角形FDM中，由FM與MD的長，利用勾股定理求出FD的長，同理求出BC的長，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．
解答：
解：（1）延伸AB，過C作CG⊥AB，交延伸線于點G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根據勾股定理得：AC==2，tanA==；
（2）圖中找出一點D，連接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右圖所示，證明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根據勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根據勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根據勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．
故答案為：（1）；2
點評：
此題考查了勾股定理，銳角三角函數定義，以及全等三角形的判定，純熟掌握勾股定理是解本題的關鍵．
47．（2012?撫順）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°．點D是直線BC上的一個動點，連接AD，并以AD為邊在AD的右側作等邊△ADE．
（1）如圖①，當點E恰好在線段BC上時，請判斷線段DE和BE的數量關系，并圖①證明你的結論；
（2）當點E不在直線BC上時，連接BE，其它條件不變，（1）中結論能否成立？若成立，請圖②給予證明；若不成立，請直接寫出新的結論；
（3）若AC=3，點D在直線BC上挪動的過程中，能否存在以A、C、D、E為頂點的四邊形是梯形？如果存在，直接寫出線段CD的長度；如果不存在，請闡明理由．
考點：
等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；梯形．版權一切
分析：
（1）利用等邊三角形的性質以及等腰三角形的判定解答即可；
（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，證得△ADC≌△AEF，直角三角形中30度的角所對的直角邊是斜邊的一半處理成績；
（3）從A、C、D、E為頂點的梯形的性質入手，逐漸找出處理成績的．
解答：
解：（1）DE=BE．
理由如下：
∵△ADE為等邊三角形，∴AD=DE=AE，∠AED=60°．
∵∠ABC=30°，∠AED=∠ABC+∠EAB，∴∠EAB=60°﹣30°=30°，∴∠ABC=∠EAB，∴EB=AE，∴EB=DE；
（2）如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F，在△ABC中，∠ABC=30°，∴∠CAB=60°，∴∠DAE=∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE=∠BAC﹣∠CAE，則∠CAD=∠EAF．
又∵AD=AE，∠ACD=∠AFE，∴△ADC≌△AEF，∴AC=AF．
在△ABC中，∠ABC=30°，∴AC=AB，∴AF=BF，∴EA=EB，∴DE=EB；
（3）如圖，∵四邊形ACDE是梯形，∠ACD=90°，∴∠CAE=90°．
∵∠CAE=∠CAD+∠EAD，又∵在正三角形ADE中，∠EAD=60°，∴∠CAD=30°．
在直角三角形ACD中，AC=3，∠CAD=30°，由勾股定理可得CD=．
同理可得：若點D與點B重合，AC平行DE，此時CD=3，綜上所述：若AE∥CD，CD=；若點D與點B重合，此時CD=3．
點評：
此題綜合考查等邊三角形的性質，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，梯形的性質等知識點．
48．（2012?鄂州）小明是一位善于考慮的先生，在數學課上，他將一副直角三角板如圖地位擺放，A、B、D在同不斷線上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，試求BD的長．
考點：
勾股定理；平行線的性質；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．版權一切
分析：
過點F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和平行線的性質以及等腰直角三角形的性質即可求出BD的長．
解答：
解：過點F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．
點評：
本題考查了勾股定理的運用、平行線的性質以及等腰直角三角形的性質，解題的關鍵是作垂直構造直角三角形，利用勾股定理求出DM的長．
49．（2012?大慶）已知等邊△ABC的邊長為3個單位，若點P由A出發，以每秒1個單位的速度在三角形的邊上沿A→B→C→A方向運動，次回到點A處中止運動，設AP=S，用t表示運動工夫．
（1）當點P由B到C運動的過程中，用t表示S；
（2）當t取何值時，S等于（求出一切的t值）；
（3）根據（2）中t的取值，直接寫出在哪些時段AP？
考點：
等邊三角形的性質；一元二次方程的運用；勾股定理．版權一切
專題：
代數幾何綜合題；動點型．
分析：
（1）用t表示出PB的長，利用余弦定理即可表示出AP的長；
（2）令S等與，建立關于t的方程，解答即可；
（3）利用（2）中所求，即可得出AP時t的取值．
解答：
解：（1）∵AB=3，BP=t﹣3；
∴AP2=32+（t﹣3）2﹣2×3?（t﹣3）?cos60°
=9+9﹣6t+t2﹣6（t﹣3）×
=18﹣6t+t2+9﹣3t
=t2﹣9t+27，∴S=．
（2）當t在BC上時，∵S=，∴t2﹣9t+27=7，解得t1=4，t2=5；
當p在AB上時，t=；
當p在CA上時，t=9﹣．
當點P在BC上時，由（2）∵S=開口向上，與S=交點橫坐標為t1=4，t2=5；
綜上所述：t=4或t=5或或9﹣；
（3）根據（2）可知：0≤t＜；4＜t＜5；9﹣＜t≤9；
這三個工夫段內S＜．
點評：
本題考查了等邊三角形的性質、余弦定理、一元二次方程與二次函數之間的關系，難度較大，會解一元二次方程是解題的關鍵．
50．（2012?常州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．
考點：
線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．版權一切
專題：
證明題；壓軸題．
分析：
方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結論．
方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進而得到AC垂直平分EF，再根據線段垂直平分線的性質可得AE=AF．
解答：
證明：連接CE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE與△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AFCE是菱形，∴AE=AF．
另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．
點評：
本題考查的是線段垂直平分線的性質及菱形的判定定理，根據題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵．
51．（2011?株洲）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分線交AB于E，D為垂足，連接EC．
（1）求∠ECD的度數；
（2）若CE=5，求BC長．
考點：
線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質．版權一切
專題：
計算題；幾何圖形成績．
分析：
（1）ED是AC的垂直平分線，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；
（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；
解答：
解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；
（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．
答：（1）∠ECD的度數是36°；
（2）BC長是5．
點評：
本題考查了等腰三角形、線段垂直平分線的性質，應熟記其性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
52．（2011?棗莊）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：
（1）畫線段AD∥BC且使AD=BC，連接CD；
（2）線段AC的長為 2，CD的長為，AD的長為 5??；
（3）△ACD為 直角 三角形，四邊形ABCD的面積為 10 ；
（4）若E為BC中點，則tan∠CAE的值是 ?。?/p>
考點：
勾股定理；勾股定理的逆定理；作圖—基本作圖；銳角三角函數的定義．版權一切
專題：
作圖題．
分析：
（1）根據題意，畫出AD∥BC且使AD=BC，連接CD；
（2）在網格中利用直角三角形，先求AC2，CD2，AD2的值，再求出AC的長，CD的長，AD的長；
（3）利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形，再求出四邊形ABCD的面積；
（4）把成績轉化到Rt△ACF中，利用三角函數的定義解題．
解答：
解：（1）如圖；
（2）由圖象可知AC2=22+42=20，CD2=12+22=5，AD2=32+42=25，∴AC=2，CD=，AD=5；
故答案為：2，5；
（3）∵AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形．
四邊形ABCD的面積為2×（2×÷2）=10；
故答案為：直角，10；
（4）由圖象可知CF=2，AF=4，∴tan∠CAE==．
故答案為：．
點評：
本題考查了勾股定理及其逆定理的運用，銳角三角函數的定義，關鍵是運用網格表示線段的長度．
53．（2011?隨州）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點，過D點作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF長．
考點：
勾股定理；全等三角形的判定與性質．版權一切
專題：
幾何綜合題．
分析：
首先連接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，從而得出BE=FC=3，那么AB=7，則BC=7，BF=4，再根據勾股定理求出EF的長．
解答：
解：連接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點，∴BD⊥AC（三線合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE丄DF，∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，∴∠FDC=∠EDB，在△EDB與△FDC中，∵，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴BE=FC=3，∴AB=7，則BC=7，∴BF=4，在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+42，∴EF=5．
答：EF的長為5．
點評：
此題考查的知識點是勾股定理及全等三角形的判定，關鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長．
54．（2011?沈陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點，∠B=30°，∠DAB=45°．
（1）求∠DAC的度數；
（2）求證：DC=AB．
考點：
等腰三角形的性質．版權一切
專題：
計算題．
分析：
（1）由AB=AC，根據等腰三角形的兩底角相等得到∠B=∠C=30°，再根據三角形的內角和定理可計算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，則∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°；
（2）根據三角形外角性質得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由（1）得到∠DAC=75°，再根據等腰三角形的判定可得DC=AC，這樣即可得到結論．
解答：
（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°，∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠DAB=120°﹣45°=75°；
（2）證明：∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB．
點評：
本題考查了等腰三角形的性質和判定定理：等腰三角形的兩底角相等；有兩個角相等的三角形為等腰三角形．也考查了三角形的內角和定理．
55．（2011?青海）認真閱讀上面關于三角形內外角平分線所夾角的探求片段，完成所提出的成績．
探求1：如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，經過分析發現∠BOC=90°+，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）
=
探求2：如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請闡明理由．
探求3：如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）
結論： ∠BOC=90°﹣∠A?。?/p>
考點：
三角形的外角性質；三角形內角和定理．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）根據提供的信息，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠O與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC與∠A的關系；
（2）根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和以及角平分線的定義表示出∠OBC與∠OCB，然后再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解．
解答：
解：（1）探求2結論：∠BOC=∠A，理由如下：
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（2）探求3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），結論∠BOC=90°﹣∠A．
點評：
本題考查了三角形的外角性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵，讀懂標題提供的信息，然后利用提供信息的思緒也很重要．
56．（2011?寧波）閱讀上面的情景對話，然后解答成績：
（1）根據“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點（不與點A、B重合），D是半圓的中點，C、D在直徑AB的兩側，若在⊙O內存在點E，使AE=AD，CB=CE．
①求證：△ACE是奇異三角形；
②當△ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數．
考點：
勾股定理；等邊三角形的性質；圓周角定理．版權一切
專題：
壓軸題；新定義．
分析：
（1）根據“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質，求證即可；
（2）根據勾股定理與奇異三角形的性質，可得a2+b2=c2與a2+c2=2b2，用a表示出b與c，即可求得答案；
（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質即可證得；
②利用（2）中的結論，分別從AC：AE：CE=1：：與AC：AE：CE=：：1去分析，即可求得結果．
解答：
解：（1）設等邊三角形的一邊為a，則a2+a2=2a2，∴符合奇異三角形”的定義．
∴是真命題；
（2）∵∠C=90°，則a2+b2=c2①，∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，∴a2+c2=2b2②，由①②得：b=a，c=a，∴a：b：c=1：：；
（3）∵①AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∵點D是半圓的中點，∴=，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，∴AC2+CB2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2，∴△ACE是奇異三角形；
②由①可得△ACE是奇異三角形，∴AC2+CE2=2AE2，當△ACE是直角三角形時，由（2）得：AC：AE：CE=1：：或AC：AE：CE=：：1，當AC：AE：CE=1：：時，AC：CE=1：，即AC：CB=1：，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°；
當AC：AE：CE=：：1時，AC：CE=：1，即AC：CB=：1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°．
∴∠AOC的度數為60°或120°．
點評：
此題考查了新定義的知識，勾股定理以及圓的性質，三角函數等知識．解題的關鍵是理解題意，抓住數形思想的運用．
57．（2011?牡丹江）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB為邊向△ABC外作△ABD，使△ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長．
考點：
勾股定理的逆定理；全等三角形的判定與性質．版權一切
分析：
根據題意中的△ABD為等腰直角三角形，顯然應分為三種情況：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙構造輔助線，出現全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性質和勾股定理進行求解．
解答：
解：∵AC=4，BC=2，AB=，∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB=90°．
分三種情況：
如圖（1），過點D作DE⊥CB，垂足為點E．
∵DE⊥CB（已知）
∴∠BED=∠ACB=90°（垂直的定義），∴∠CAB+∠CBA=90°（直角三角形兩銳角互余），∵△ABD為等腰直角三角形（已知），∴AB=BD，∠ABD=90°（等腰直角三角形的定義），∴∠CBA+∠DBE=90°（平角的定義），∴∠CAB=∠EBD（同角的余角相等），在△ACB與△BED中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD（已證），∴△ACB≌△BED（AAS），∴BE=AC=4，DE=CB=2（全等三角形對應邊相等），∴CE=6（等量代換）
根據勾股定理得：CD=2；
如圖（2），過點D作DE⊥CA，垂足為點E．
∵BC⊥CA（已知）
∴∠AED=∠ACB=90°（垂直的定義）
∴∠EAD+∠EDA=90°（直角三角形兩銳角互余）
∵△ABD為等腰直角三角形（已知）
∴AB=AD，∠BAD=90°（等腰直角三角形的定義）
∴∠CAB+∠DAE=90°（平角的定義）
∴∠BAC=∠ADE（同角的余角相等）
在△ACB與△DEA中，∵∠ACB=∠DEA（已證）∠CAB=∠EDA（已證）
AB=DA（已證）
∴△ACB≌△DEA（AAS）
∴DE=AC=4，AE=BC=2（全等三角形對應邊相等）
∴CE=6（等量代換）
根據勾股定理得：CD=2；
如圖（3），過點D作DE⊥CB，垂足為點E，過點A作AF⊥DE，垂足為點F．
∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵∠DAB+∠DBA=90°，∴∠EBD+∠DAF=90°，∵∠EBD+∠BDE=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DBE=∠ADF，∵∠BED=∠AFD=90°，DB=AD，∴△AFD≌△DEB，則ED=AF，由∠ACB=∠CED=∠AFE=90°，則四邊形CEFA是矩形，故CE=AF，EF=AC=4，設DF=x，則BE=x，故EC=2+x，AF=DE=EF﹣DF=4﹣x，則2+x=4﹣x，解得：x=1，故EC=DE=3，則CD=3．
點評：
此題綜合考查了全等三角形的判定和性質、勾股定理．
58．（2011?梅州）如圖1，已知線段AB的長為2a，點P是AB上的動點（P不與A，B重合），分別以AP、PB為邊向線段AB的同一側作正△APC和正△PBD．
（1）當△APC與△PBD的面積之和取最小值時，AP= a ；（直接寫結果）
（2）連接AD、BC，相交于點Q，設∠AQC=α，那么α的大小能否會隨點P的挪動面變化？請闡明理由；
（3）如圖2，若點P固定，將△PBD繞點P按順時針方向旋轉（旋轉角小于180°），此時α的大小能否發生變化？（只需直接寫出你的猜想，不必證明）
考點：
等邊三角形的性質；三角形內角和定理；全等三角形的判定與性質．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
（1）設AP的長是x，然后利用x表示出兩個三角形的面積的和，利用二次函數的性質即可求得x的值；
（2）首先證得△APD≌△CPB，然后根據三角形的外角的性質即可求解；
（3）旋轉的過程中，（2）中得兩個三角形的全等關系不變，因此角度不會變化．
解答：
解：（1）設AP的長是x，則BP=2a﹣x，∴S△APC+S△PBD=x?x+（2a﹣x）?（2a﹣x）
=x2﹣ax+a2，當x=﹣=﹣=a時△APC與△PBD的面積之和取最小值，故答案為：a；
（2）α的大小不會隨點P的挪動而變化，理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°；
（3）此時α的大小不會發生改變，一直等于60°．
理由：∵△APC是等邊三角形，∴PA=PC，∠APC=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴PB=PD，∠BPD=60°，∴∠APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠AQC=180°﹣120°=60°．
點評：
本題考查了旋轉的性質，以及全等三角形的判定與性質，正確證明兩個三角形全等是解題的關鍵．
59．（2011?連云港）某課題研討小組就圖形面積成績進行專題研討，他們發現如下結論：
（1）有一條邊對應相等的兩個三角形面積之比等于這條邊上的對應高之比；
（2）有一個角對應相等的兩個三角形面積之比等于夾這個角的兩邊乘積之比；
…
現請你繼續對上面成績進行探求，探求過程可直接運用上述結論．（S表示面積）
成績1：如圖1，現有一塊三角形紙板ABC，P1，P2三等分邊AB，R1，R2三等分邊AC．經探求知=S△ABC，請證明．
成績2：若有另一塊三角形紙板，可將其與成績1中的拼合成四邊形ABCD，如圖2，Q1，Q2三等分邊DC．請探求與S四邊形ABCD之間的數量關系．
成績3：如圖3，P1，P2，P3，P4五等分邊AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分邊DC．若S四邊形ABCD=1，求．
成績4：如圖4，P1，P2，P3四等分邊AB，Q1，Q2，Q3四等分邊DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3將四邊形ABCD分成四個部分，面積分別為S1，S2，S3，S4．請直接寫出含有S1，S2，S3，S4的一個等式．
考點：
三角形的面積．版權一切
專題：
壓軸題．
分析：
成績1，圖1中，連接P1R2，R2B，由三角形中線的性質得S△AP1R1=S△P1R1R2，S△P1R2P2=S△P2R2B，再由R1，R2為AC的三等分點，得S△BCR2=S△ABR2，根據圖形的面積關系，得S△ABC與S四邊形P1P2R2R1的數量關系，證明結論；
成績2，圖2中，連接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中線性質，得S△AQ1P1=S△P1Q1P2，S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，由Q1，P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，得出S△ADQ1+S△BCP2與S四邊形AQ1CP2的關系，再根據圖形的面積關系，得S四邊形ABCD與S四邊形P1Q1Q2P2的等量關系；
成績3，圖3中，依次設四邊形的面積為S1，S2，S3，S4，S5，由成績2的結論可推出2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用換元法求S1+S2+S3+S4+S5與S3的數量關系，已知S四邊形ABCD=1，可求S四邊形P2Q2Q3P3；
成績4，圖4中，由成績2的結論可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，兩式相加得S1，S2，S3，S4的等量關系．
解答：
解：成績1，證明：
如圖1，連接P1R2，R2B，在△AP1R2中，∵P1R1為中線，∴S△AP1R1=S△P1R1R2，同理S△P1R2P2=S△P2R2B，∴S△P1R1R2+S△P1R2P2=S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1，由R1，R2為AC的三等分點可知，S△BCR2=S△ABR2，∴S△ABC=S△BCR2+S△ABR2=S四邊形P1P2R2R1+2S四邊形P1P2R2R1=3S四邊形P1P2R2R1，∴S四邊形P1P2R2R1=S△ABC；
成績2，S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2．
理由：如圖2，連接AQ1，Q1P2，P2C，在△AQ1P2中，∵Q1P1為中線，∴S△AQ1P1=S△P1Q1P2，同理S△P2Q1Q2=S△P2Q2C，∴S△P1Q1P2+S△P2Q1Q2=S四邊形AQ1CP2=S四邊形P1Q1Q2P2，由Q1，P2為CD，AB的三等分點可知，S△ADQ1=S△AQ1C，S△BCP2=S△AP2C，∴S△ADQ1+S△BCP2=（S△AQ1C+S△AP2C）=S四邊形AQ1CP2，∴S四邊形ABCD=S△ADC+S△ABC=S四邊形AQ1CP2+S△ADQ1+S△BCP2=3S四邊形P1Q1Q2P2，即S四邊形ABCD=3S四邊形P1Q1Q2P2；
成績3，解：
如圖3，由成績2的結論可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，∴S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四邊形P2Q2Q3P3=S四邊形ABCD=；
成績4，如圖4，關系式為：S2+S3=S1+S4．
點評：
本題考查了三角形面積成績．關鍵是利用三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形的性質進行推理．
60．（2011?樂山）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度數．
考點：
線段垂直平分線的性質；三角形內角和定理；角平分線的性質．版權一切
專題：
計算題．
分析：
根據DE垂直平分AB，求證∠DAE=∠B，再利用角平分線的性質和三角形內角和定理，即可求得∠B的度數．
解答：
解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分線AD交BC于D，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B），∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B，∴∠DAE=∠CAB=（90°﹣∠B）=∠B，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．
答：若DE垂直平分AB，∠B的度數為30°．
點評：
此題本題考查的知識點為線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，三角形內角和定理等知識點，比較簡單，合適先生的訓練．
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