第一篇：2013年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)突破運(yùn)用向量法解題

2013年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)之運(yùn)用向量法解題

平面向量是新課標(biāo)教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長(zhǎng)；(2)∠CAB的平分線AD的長(zhǎng)；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當(dāng)CDCC1的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來(lái)證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，∴CDCC1=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.I ［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng)；

(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題.屬

★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來(lái)找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?|CB1|?(0?0)?(1?0)?(2?0)BA1?CB1|BC1|?|CB1|2226 5 36?53010??cos?BA1,CB1????.(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

22C1M?(11，0),A1B?(?1,1,?2)2212?1?12?(?2)?0?0,?A1B?C1M，11∴A1B?C1M?(?1)?∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計(jì)

1.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的

II 各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題.3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？

●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形 C.菱形

B.矩形

D.平行四邊形

1542.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，A.30° B.－150°

C.150° ,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.III 8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OM?

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=?1?12?0;yM?7?22?99,?M(0,)2214(OA?OB?OC?OD).?|AM|?(5?0)?(?1?292)2?2212.(2)|AB|?(5?1)?(?1?7)22?10,|AC|?(5?1)?(?1?2)22?5

D點(diǎn)分BC的比為2.∴xD=?1?2?11?2?13,yD?7?2?21?2?113

|AD|?(5?13)?(?1?2113)2?1432.(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而B(niǎo)A=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)6?(?8)?2?(?5)2222?521029?2629145

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無(wú)公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵ 154?12·3·5sinα得sinα=

12,則α=30°或α=150°.IV 又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.∵a與b不共線，∴?解方程組③得：m=?1?m??a??n?m?1?0

即??m?1?nn??m?1?0??1??1???,n?1??1???

②

1③

代入①式得c=(1－m)a+mμb=

1???［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］.6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

a32a,a2,2a).32(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－

2a,0,0）, 且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?32a,a2a,22a),AM?(0,?2a2a2,2a)，?AC1?AM?0?4?942a

2而|AC1|?34a?214a?2a2?3a,|AM|?a4?2a?32a

V 9?cos?AC1,AM??4a23a?32?a32

所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2?x?0??2(1?x)?2(1?x)?0?所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|??(4?2x0)(4?2x0)?24?x0PM?PN|PM|?PN?0?x0?3,?12222(1?x)?y0?22(1?x0)?y0222?cos???14?x02

?3?cos??1,0???,?sin??1?cos??1?14?x02,?tan??sin?cos??3?x02?|y0|

8.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?12(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH

12BD=EH）由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中(2）因?yàn)镋H?AH?AE?12AD?12AB?12(AD?AB)?12BD.所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH 所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG

VI 由(2）知EH?被M平分，所以

OM??141212BD，同理FG?12BD，所以EH?FG，EHFG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且(OE?OG)?12OE?12OG?1111[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222.(OA?OB?OC?OD).VII

第二篇：高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破難點(diǎn)—— 運(yùn)用向量法解題

難點(diǎn)3 運(yùn)用向量法解題

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長(zhǎng)；(2)∠CAB的平分線AD的長(zhǎng)；(3)cosABC的值.●案例探究

［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD.(2)當(dāng)CD的值為多少時(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明.CC1命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單.錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.技巧與方法：利用a⊥b?a·b=0來(lái)證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.(1)證明：設(shè)CD=a, CB=b,CC1=c,依題意，|a|=|b|，CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為θ，于是BD?CD?DB=a－b，CC1?BD=c(a－b)=c·a－c·b=|c|·|a|cosθ－|c|·|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1，由CA1?C1D?(CA?AA1)?(CD?CC1)

=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得 當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥DC1，同理可證當(dāng)|a|=|c|時(shí)，A1C⊥BD，∴CD=1時(shí)，A1C⊥平面C1BD.CC1［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng)；

I(2)求cos的值；

(3)求證：A1B⊥C1M.命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體幾何問(wèn)題.屬 ★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來(lái)找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴|BN|=(1?0)2?(0?1)2?(1?0)2?3.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴BA1=(1,?1,2),CB1=(0，1，2)BA1?CB1=1×0+(－1)×1+2×2=3 |BA1|=(1?0)2?(0?1)2?(2?0)2?6

|CB1|?(0?0)2?(1?0)2?(2?0)2?5 ?cos?BA1,CB1??BA1?CB1|BC1|?|CB1|?36?5?30.10(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M(，2)

112211C1M?(，0),A1B?(?1,1,?2)

2211∴A1B?C1M?(?1)??1??(?2)?0?0,?A1B?C1M，22∴A1B⊥C1M.●錦囊妙計(jì)

1.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí).二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題.II 3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考：(1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形

B.矩形 C.菱形

D.平行四邊形

2.(★★★★)已知△ABC中，AB=a，a·b<0，S△ABC=AC=b，15,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是（）4A.30°

B.－150°

C.150°

D.30°或150°

二、填空題

3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3，1)，則向量a=_________.4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60°角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________.三、解答題

5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)AB=a，AC =b，AP =c, AD=λa,(0<λ<1),AE =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c.6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a.(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫(xiě)出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；(2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.7.(★★★★★)已知兩點(diǎn)M(－1，0)，N(1，0)，且點(diǎn)P使MP?MN,PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？

(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM與PN的夾角，求tanθ.8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD∥平面EFGH；

III(3)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有OM? 參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

解：(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=

1(OA?OB?OC?OD).4?1?17?299?0;yM??,?M(0,)2222221.29?|AM|?(5?0)2?(?1?)2?2(2)|AB|?(5?1)2?(?1?7)2?10,|AC|?(5?1)2?(?1?2)2?5

D點(diǎn)分BC的比為2.∴xD=?1?2?117?2?211?,yD??

1?231?2311114|AD|?(5?)2?(?1?)2?2.333(3)∠ABC是BA與BC的夾角，而B(niǎo)A=(6，8），BC=(2，－5）.?cosABC?BA?BC|BA|?|BC|?6?2?(?8)?(?5)62?(?8)2?22?(?5)2?521029?2629 145殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB=DC，∴AB∥DC，又線段AB與線段DC無(wú)公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又|AB|=5，AC =(5，3），|AC|=34，∴|AB|≠|(zhì)AC},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB不垂直于BC，∴ABCD也不是矩形，故選D.答案：D 2.解析：∵1511?·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.242又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C

二、3.(2,0)4.13 cm

IV

三、5.解：∵BP與BE共線，∴BP=mBE=m(AE－AB)=m(μb－a), ∴AP=AB+BP=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb

①

又CP與CD共線，∴CP=nCD=n(AD－AC)=n(λa－b), ∴AP=AC+CP=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b.②

?1?m??a??n?m?1?0∵a與b不共線，∴?

即??m?1?nn??m?1?0??解方程組③得：m=

③

1??1??1,n?代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－1???1???1???λ)b］.6.解：(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,2a),C1(－

3aa，222a).3a,0,0）, 2(2)取A1B1的中點(diǎn)M，于是有M(0，,2a），連AM，MC1，有MC1=(－且AB=(0，a,0）,AA1=(0,02a)

a2由于MC1·AB=0，MC1·AA1=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.∵AC1=(?3aaa，2a),AM?(0，2a), 222a29?AC1?AM?0??2a2?a

443212a232而|AC1|?a?a?2a?3a,|AM|??2a?a

444292a34? 323a?a2?cos?AC1,AM??所以AC1與AM所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.V 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得，PM =－MP=(－1－x,－y）,PN??NP =(1－x,－y),MN =－NM=(2,0),∴MP·MN=2(1+x), PM·PN=x2+y2－1,NM?NP =2(1－x).于是，MP?MN,PM?PN,NM?NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于

1?22?x2?y?3?x?y?1?[2(1?x)?2(1?x)] 即? 2??x?0??2(1?x)?2(1?x)?0所以，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)PM?PN?x0?y0?1?2,|PM|?|PN|?(1?x)2?y0?(1?x0)2?y0?(4?2x0)(4?2x0)?24?x0?cos??PM?PN|PM|?PN?14?x0222222

1??0?x0?3,??cos??1,0???,23?sin??1?cos2??1?1sin?2,?tan???3?x?|y0| 02cos?4?x08.證明：(1）連結(jié)BG，則EG?EB?BG?EB?(BC?BD)?EB?BF?EH?EF?EH 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中(2）因?yàn)镋H?AH?AE?121BD=EH）21111AD?AB?(AD?AB)?BD.2222所以EH∥BD，又EH?面EFGH，BD?面EFGH

所以BD∥平面EFGH.(3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知EH?被M平分，所以 11BD，同理FG?BD，所以EH?FG，EH22FG,所以EG、FH交于一點(diǎn)M且 VI OM??1(OA?OB?OC?OD).41111111(OE?OG)?OE?OG?[(OA?OB)]?[(OC?OD)]2222222.VII

第三篇：空間向量解題時(shí)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

龍?jiān)雌诳W(wǎng) http://.cn

空間向量解題時(shí)數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用

作者：胡彬

來(lái)源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2013年第08期

用空間向量來(lái)解決空間立體幾何問(wèn)題非常得心應(yīng)手，比如證明平行、垂直以及求角、求距離等.但是，我們不能把眼光僅僅限制于這些問(wèn)題的證明與求解.在運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題時(shí)，也包含著許多數(shù)學(xué)思想運(yùn)用于其中.一、方程思想求值

例1 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn).在直線CC1上是否存在一點(diǎn)N，使得MN⊥AB1？若存在，請(qǐng)你求出它的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第四篇：Kuaarm高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破 難點(diǎn)31 數(shù)學(xué)歸納法解題

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過(guò)剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí)間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來(lái)。

－－泰戈?duì)?/p>

難點(diǎn)31 數(shù)學(xué)歸納法解題

數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.類(lèi)比與猜想是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法所體現(xiàn)的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應(yīng)用的一種主要思想方法.●難點(diǎn)磁場(chǎng)

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(an2+bn+c).12●案例探究

［例1］試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.b證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

qbnnnn1∴a+c=n+bq=b(n+qn)＞2bn

qqnn

an?cna?cn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

a2?c2a?c2?()①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a+c)＞(a+c)，∴

22ak?cka?ck?(), ②設(shè)n=k時(shí)成立，即

22ak?1?ck?11?(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)則當(dāng)n=k+1時(shí)，2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)44a?cka?ca?ck+1＞()·()=()

2221［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.2(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.命題意圖：本題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí).2知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜想、證明.錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－

1應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被忽視.2k?3111}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得SnS12技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{通項(xiàng)公式.11成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)

(*)222(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

3212由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

3315解：∵an,Sn,Sn－

(n?1)?1 2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2?(n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜想成立.2②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立

(2k?3)(2k?1)故Sk2=－21·(Sk－)(2k?3)(2k?1)2∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0 11(舍),Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?12k?12k?12(2k?1)2

?2?ak?1?,即n?k?1命題也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?對(duì)一切n∈N成立.2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=

1,∴S=limSn=0.n??2n?1●錦囊妙記

(1)數(shù)學(xué)歸納法的基本形式

設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n0)成立(奠基)2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立.(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

具體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等式，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為（）A.30

B.26

C.36

D.6 2.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證（）A.n=1

B.n=2

C.n=3

D.n=4

二、填空題

1311511173.(★★★★★)觀察下列式子：1??,1?2?2?,1?2?2?2?…則可歸

223423234納出_________.4.(★★★★)已知a1=an=_________.三、解答題

5.(★★★★)用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.6.(★★★★)若n為大于1的自然數(shù)，求證：

3an1,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為_(kāi)________，由此猜想

an?3211113.?????n?1n?22n247.(★★★★★)已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn;(2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+

1)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試bn比較Sn與1logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.38.(★★★★★)設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達(dá)式，又如果limS2n＜3,求q的取值范圍.n??

參考答案

難點(diǎn)磁場(chǎng)

1?4?(a?b?c)?6?a?3?1????b?11 解：假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立，這時(shí)令n=1,2,3,有?22?(4a?2b?c)2??c?10??70?9a?3b?c??于是，對(duì)n=1,2,3下面等式成立

1·22+2·32+…+n(n+1)2=

n(n?1)(3n2?11n?10)12記Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2

k(k?1)(3k2+11k+10)12k(k?1)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2

2(k?1)(k?2)=(3k2+5k+12k+24)12(k?1)(k?2)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］

12設(shè)n=k時(shí)上式成立，即Sk=也就是說(shuō)，等式對(duì)n=k+1也成立.綜上所述，當(dāng)a=3,b=11,c=10時(shí)，題設(shè)對(duì)一切自然數(shù)n均成立.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)，f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k

－=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k≥2)?f(k+1)能被36整除

∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36.答案：C 2.解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C

二、3.解析：1?1312?1?1?即1??

1?1222(1?1)21?115112?2?1??,即1???

2?122323(1?1)2(2?1)21112n?1*?????(n∈N)222n?123(n?1)歸納為1?答案:1?1112n?1?????(n∈N*)222n?123(n?1)13a12?3?3同理,4.解析:a2??a1?3172?5?3 23a23333333a3???,a4??,a5??,猜想an?a2?383?594?5105?5n?53?

33333 答案:、、、78910n?

5三、5.證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，421+1+31+2=91能被13整除

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立.由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.×

11713 ???2?12?2122411113(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 ?????k?1k?22k241111111則當(dāng)n?k?1時(shí),????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311??????? 242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)246.證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)，?b1?1?b1?1??7.(1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得?,∴bn=3n－2 ?10(10?1)10b1?d?145?d?3?2?(2)證明：由bn=3n－2知

11)+…+loga(1+)43n?211=loga［(1+1)(1+)…(1+)］

43n?2111而logabn+1=loga33n?1,于是，比較Sn與logabn+1的大小?比較(1+1)(1+)…3341(1+)與33n?1的大小.3n?2Sn=loga(1+1)+loga(1+取n=1，有(1+1)=38?34?33?1?1 取n=2，有(1+1)(1+)?38?37?33?2?1 推測(cè)：(1+1)(1+

1411)…(1+)＞33n?1(*)43n?2①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立.11)…(1+)＞33k?1 43k?21111)(1?)?33k?1(1?)則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1?1)(1?)?(1?43k?23(k?1)?23k?1②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+

?3k?233k?1

3k?1?(3k?233k?1)3?(33k?4)33k?1(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)29k?4???0 22(3k?1)(3k?1)3?3k?1(3k?2)?33k?4?33(k?1)?13k?1111從而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立

43k?23k?1由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立.于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞

11logabn+1,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 338.解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－9, 2an1?,即an+2=q·an an?2q∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－

1n

q(n=1,2,3,…)2?2?qk?1 n?2k?1時(shí)(k?N)?綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an=?1k

?q n?2k時(shí)(k?N)??2下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立

－(2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2·qk1則n=2k+1時(shí)，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.可推知n=2k+1也成立.設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－所以a2k+2=－1k

q,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=q·a2k, 21kq+1,這說(shuō)明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.2綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立.?2?qk?1 當(dāng)n?2k?1時(shí)(k?N)?這樣所求通項(xiàng)公式為an=?1k

?q 當(dāng)n?2k時(shí)(k?N)??2S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)=2(1+q+q2+…+qn-1)－(q+q2+…+qn)2

2(1?qn)1q(1?qn)1?qn4?q????()()

1?q2(1?q)1?q21?qn4?q)()由于|q|＜1,∴l(xiāng)imq?0,故limS2n=(n??n??1?q2n依題意知 4?q2＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

2(1?q)5

第五篇：數(shù)學(xué)五步解題法

數(shù)學(xué)五步解題法

數(shù)學(xué)科目是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題，所有的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)效果的落腳點(diǎn)都是做題，要以能解決問(wèn)題的形式體現(xiàn)出來(lái)。所以，用系統(tǒng)的方法教會(huì)學(xué)生解題是教學(xué)成績(jī)提高的重中之重。根據(jù)我們的教學(xué)實(shí)際，結(jié)合學(xué)情，遵循以下的五個(gè)步驟來(lái)解題會(huì)有一定的成效。

第1步，讀題。

① 讀懂題意，進(jìn)入到題目情境，清楚題目的背景。② 把題意用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言陳述出來(lái)。第2步，初步分析題意。

① 題目中給了幾個(gè)條件，把這幾個(gè)條件指明出來(lái)，然后探究明確每個(gè)條件的意思。② 擺列出來(lái)所給的條件，并分析每個(gè)條件的內(nèi)容。第3步，深入分析題意。

① 尋找與這些條件有關(guān)的所有知識(shí)內(nèi)容。② 由這些條件可以推出哪些式子或結(jié)論。

③ 把自己所推出來(lái)的式子或結(jié)論寫(xiě)出來(lái)（必須寫(xiě)出來(lái)，寫(xiě)出來(lái)很重要，因?yàn)橛袝r(shí)候會(huì)因?yàn)閷?xiě)出來(lái)的式子會(huì)帶動(dòng)下一步的思考）。

④ 分析問(wèn)題要時(shí)時(shí)把握一個(gè)方向，即演算，探究的過(guò)程中能敏感的判斷方向的正確性。

第4步，目標(biāo)問(wèn)題分析。

① 分析題目中的目標(biāo)問(wèn)題，以上寫(xiě)出的這幾個(gè)式子跟所要求的問(wèn)題有沒(méi)有聯(lián)系？ ② 要解決問(wèn)題又需要哪些知識(shí)？ 第5步，換角度分析目標(biāo)問(wèn)題。

① 無(wú)論能否解答，考慮這個(gè)問(wèn)題是屬于哪一部分的內(nèi)容，有沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這種題型？ ②探究關(guān)聯(lián)此類(lèi)型的知識(shí)點(diǎn)有哪些？

認(rèn)真的按照這幾步走，明確解題過(guò)程，夯實(shí)解題基礎(chǔ)，掌握解題策略，養(yǎng)成解題習(xí)慣，走向成功之路。