第一篇：八下數(shù)學《運用公式法》教案

年級：八年級 學科：數(shù)學 課題：《2.3運用公式法（2-1）》 學習目標：

1、經(jīng)歷通過整式乘法中的平方差公式逆向推導出用公式法分解因式的過程，理解乘法公式(a?b)(a-b)?a2?b2與公式a2?b2?(a?b)(a?b)的關系，發(fā)展學生的逆向思維和推理能力.。

2、會用公式法（直接用公式不超過兩次）進行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).。學習重點：用平方差公式分解因式 學習難點：正確地分解因式。

一、預習自學

1.運用乘法公式計算：

（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根據(jù)上面式子填空：

（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ． 2.（1）觀察上面多項式,它們有什么共同特征？

（2）你能試著嘗試將x2?25,9x2?y2寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。

3.分解因式的平方差公式：

把乘法公式（a+b）（a－b）= ； 反過來就得到：a2－b2=_________________ 4.例1把下列各式分解因式：（1）25–16x2（2）9a2–b2

422（）?（）?（）解：（1）25–16x2 =（）)()

（2）9a2?b2?()2?()2?(45.例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.鞏固提高:把下列各式分解因式

（1）－16x4+81y4（2）49（a?b)2?16(a?b)

2二、合作交流

7.請你將你的收獲與困惑同小組內(nèi)的同學交流。8.把下列各式因式分解：

(1)a2?81(2)36-x2(3)1?16b2

（m?n)2?n2(4)m2?9n2(5)

9.把下列各式因式分解：

(1)（2x?y)2?(x?2y)2(2)3ax2?3ay4 10.判斷正誤：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()11.在多項式x2?2y2,x2?y2,?x2?y2,?x2?y2中，能用平方差公式分解的有（）個。A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 12.下列分解因式：

①(x?3)2?y2?x2?6x?9?y2②a2?9b2?(a?9b)(a?9b)③4x6?1?(2x3?1)(2x3?1)④m4n2?9?(m2n?3)(m2n?3)⑤?a2?b2?(?a?b)(?a?b)其中正確的有（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

13.在一個邊長為12.75cm的正方形內(nèi)剪去一個邊長為7.25cm的正方形，則剩下部分的面積應當是（）

A.20cm2 B.200cm2 C.110cm2 D.11cm2

三、展示拓展

14.若(2x)n?81?(4x2?9)(2x?3)(2x?3)，則n的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 15.如圖，在一塊邊長為acm的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為bcm的正方形．求剩余部分的面積，并求當a=3.6，b=0.8時的面積．

16.如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是Rcm和rcm，求它們所圍成的環(huán)形的面積。如果R=8.45，r=3.45呢？（π=3.14）

17.兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被4整除嗎？為什么？

18.若n是整數(shù)，則(2n?1)2?1是否能被8整除？為什么？

四、檢測反饋

19.分解因式 A組：

（1）a2b2?m2(2)169x2?4y2（3）xy(x?y)2?4x3y3

B組：

（1）m4?16n4（2）3x3y?12xy

第二篇：八下 2.3.2運用公式法 教學設計(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.2運用公式法（2）

本節(jié)知識點：

1.會用完全平方公式將多項式分解因式 知識點1 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a?2ab?b的多項式分解因式的方法，即a2?2ab?b2?(a?b)2，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。22練一練：下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a＋4；（4）a2－ab＋b2；

[例題1] 將下列各式分解因式。

（1）x?14x?49

（2）x＋4xy＋4y 2（2）x2＋4x＋4y2；（5）x2－6x－9；

（3）4a2＋2ab＋b2；（6）a2＋a＋0.25．

1422分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式．

[針對性訓練1]

把下列各式分解因式

（1）x2?12xy?36y2

（2）16a?24ab?9b

（3）

422412m?3mn?9n2

（4）x6?10x3?25 4（5）4a2－4ab＋b2；

（6）a2b2＋8abc＋16c2； [例題2] 將下列各式分解因式

(1)3ax2?6axy?3ay2

(2)?x2?4y2?4xy

分析：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，若有公因式應先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式．

如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“＋”號時，可以先提取“－”號，然后再用完全平方公式分解因式．

[針對性訓練2]

把下列各式分解因式

（1）4x?4x?x

（2）?2xy?x2?y2

22（3）x?36x?12x

（4）2x?4xy?2y

3232

（5）

[針對性訓練2] 把下列各式分解因式 121a?ab?b2

（6）?2x3?4x2?2x 221已知a?2b??,ab?2,求?a4b2?4a3b3?4a2b4的值。

第三篇：八下 2.3.1運用公式法 教學設計(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.1運用公式法（1）

本節(jié)知識點：

1.會用平方差公式將多項式分解因式 2..會用完全平方公式將多項式分解因式 知識點1用平方差公式分解因式

形如a?b的多項式分解因式的方法，即a2?b2?(a?b)(a?b)，我們把它叫做分解因式的平方差公式，可以敘述為：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差。筆記：（1）公式中的和既可以是單項式，也可以是多項式。

（2）常見的公式變式有：○1位置變化：x2?y2?(x?y)(x?y)；○2符號變化：3系數(shù)變化：○4指數(shù)變化：○5增項變化： x2?y2??(?x?y)(x?y)○[例題1]

把下列各式分解因式

2（1）25?16x

（2）9a?22212b 4

[針對性訓練1] 把下列各式分解因式

（1）ab?m

（2）?16x4?81y4

[例題2]

把下列各式分解因式

22（1）9(m?n)?(m?n)

（2）2x?8x

3222

[針對性訓練2] 把下列各式分解因式

（1）(m?a)?(n?b)

（2）x?(a?b?c)

當多項式的各項含有公因式時，通常先提出這個公因式，然后再進一步分解因式。2222知識點2 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a?2ab?b的多項式分解因式的方法，即a2?2ab?b2?(a?b)2，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。

[例題3] 將下列各式分解因式。

（1）x?14x?49

(2)(m?n)2?6(m?n)?9 222

[例題4] 將下列各式分解因式

(1)3ax2?6axy?3ay2

[針對性訓練3]

把下列各式分解因式

（1）x2?12xy?36y2

（3）14m2?3mn?9n2

[針對性訓練4]

（1）?2xy?x2?y2

(2)?x2?4y2?4xy

（2）16a4?24a2b2?9b4

（4）x6?10x3?25

（2）4?12(x?y)?9(x?y)2

第四篇：運用公式法分解因式教案

8.4.2

因式分解

2)36a281= m2-92 =(m + 9)(m25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多項式能轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式嗎？如果能，請將其轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a2-1 =(2)4x2-m2n2= 2(3)–9x2 + m 考考你

144949a ? b ?(a ? b)a ? b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)2b2 =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，要注意“整體”“換元”思想的運用。

3.當要分解的多項式是兩個多項式的平方時，分解成的兩個因式要進行去括號化簡，若有同類項，要進行合并，直至分解到不能再分解為止。

（五）小結與評價

你的收獲是什么？

你還有什么疑惑？

六、作業(yè)布置

練習P76 1、2習題8.4

第2題（3）題，第4題（2）（4）題

第5題（1）（2）題

七、板書設計：

運用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 練習1 練習3

例2 練習2 練習4

八、教學反思 本節(jié)課的教學設計借助于學生已有的整式乘法運算的基礎，給學生留有充分探索與交流的時間和空間，讓他們經(jīng)歷從整式乘法到分解因式的轉(zhuǎn)換過程并能用符號合理的表示出分解因式的關系式，同時感受到這種互逆變形的過程和數(shù)學知識的整體性。有意識的培養(yǎng)學生逆向思考問題的習慣，并且保證基本的運算技能的訓練，避免復雜的題型訓練。不足之處在于沒有把握好學生自主探究與講解的時間安排，導致學生訓練的時間有所減少。

第五篇：運用公式法——平方差公式教案

運用公式法——平方差公式教案

教學目標

（一）知識認知要求

1.使學生了解運用公式法分解因式的意義； 2.使學生掌握用平方差公式分解因式.3.使學生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.（二）能力訓練要求

1.通過對平方差公式特點的辨析，培養(yǎng)學生的觀察能力.2.訓練學生對平方差公式的運用能力.（三）情感與價值觀要求

在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法.教學重點

讓學生掌握運用平方差公式分解因式.教學難點

將單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學生多步驟分解因式的能力.教學過程

一、創(chuàng)設問題情境,引入新課

在前兩節(jié)課中我們學習了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學習了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式.如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來學習另外的一種因式分解的方法——公式法.二、新課講解

1.請看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？

符合因式分解的定義，因此是因式分解.對，是利用平方差公式進行的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解

請大家觀察式子a2－b2,找出它的特點.公式的特點

下面按公式分類，一一進行闡述．(1)平方差公式：

a2?b2?(a?b)(a?b)這里a，b可以表示數(shù)、單項式、多項式． 公式的特點是： ①左側(cè)為兩項； ②兩項都是平方項； ③兩項的符號相反．

（是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例題講解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.補充例題3：判斷下列分解因式是否正確.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正確.本題錯在對分解因式的概念不清，左邊是多項式的形式，右邊應是整式乘積的形式，但（1）中還是多項式的形式，因此，最終結果是未對所給多項式進行因式分解.（2）不正確.錯誤原因是因式分解不到底，因為a2－1還能繼續(xù)分解成（a+1）（a－1）.應為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9a?b；

（2）?4n?m；

2212a?9b2；

（4）16a2?25b2c4； 16122（5）?xy?0.09。

4（3）思路分析

（這是平方差公式的特征）

通過變形，二項都是完全平方形式，且符號相反。解：（1）9a2?b2?(3a)2?b2?(3a?b)(3a?b)；

（2）?4n2?m2?m2?(2n)2

（加法交換律）

=(m+2n)(m－2n)；

1?a?（3）a2?9b2????(3b)2

16?4??a??a????3b???3b?； ?4??4?（比較兩種分解方法）

或

2121a?9b2?(a2?144b2)16161?[a2?(12b)2] 161?(a?12b)(a?12b)； 16（與??a??a??3b???3b?相等嗎？）?4??4?224222（4）16a?25bc?(4a)?(5bc)（注意變形）

?(4a?5bc2)(4a?5bc2)；

1?1?（5）?x2y2?0.09?(0.3)2??xy?

4?2?（加法交換律）

21??1????0.3?xy??0.3?xy?。

2??2?? 點評：平方差公式的特征。

①公式左邊的多項式形式上是二項式，且兩項的符號相反； ②第一項都可化成某個數(shù)或某式的平方的形式；

③右邊是這兩個數(shù)或兩個式子的和與它們的差的積，相當于分解為兩個一次二項式的積；

④公式中所說的兩個數(shù)或兩個式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是數(shù)字，是字母，也可以是單項式、多項式。

應用平方差公式分解多項式關鍵是把多項式構建成符合公式特征的形式，然后明確多項 式和公式中的字母如何對應。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(m?n)2?1；

（2）?(a?1)2?9(a?2)2；（3）?(a?b)2?(a?b)2；

（4）4x2?(x?y)2；（5）?1?16x；

思路分析

通過觀察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(m?n)2?1?(m?n)2?1（把m－n看做一個整體）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）?(a?1)?9(a?2)?[3(a?2)]?(a?1)

（加法交換律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必須化簡）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出錯）

（3）?(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x?(x?y)?(2x)?(x?y)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）?1?16x?16x?1 ***22?(4x2)2?1

?(4x2?1)(4x2?1)

（4x2?1符合平方差公式，還能再分解）?(4x2?1)(2x?1)(2x?1)； 例6： 計算：（1）?1???1??1??1??1?； 1?1??1??2??2??2?2?2??3??4??100?1??1??1??1?1?1??1???????? 22??32??42??1002?解：（1）?1???1??1??1??1??1??1????1???1???1???1????1???1?? ?2??2??3??3??100??100?31425310199??????? ***1101???； 2100200?例7

若(248?1)可以被60與70之間的兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)． 點悟：將(248?1)分解成幾個整數(shù)的積的形式，然后分析對照條件即得． 解：248?1?(224?1)(224?1)

?(224?1)(212?1)(212?1)?(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)，∵

2?1?65,2?1?63，∴

這兩個數(shù)分別為65和63．

三、課堂練習

（一）隨堂練習1.判斷正誤

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）補充練習：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.課時小結

我們已學習過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結構特點，若符合則繼續(xù)進行.第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續(xù)分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止.五.課后作業(yè)

習題2.4 六.活動與探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板書設計

運用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推導因式分解中的平方差公式.2.公式講解 3.例題講解

補充例題