第一篇：八年級數學下冊 2.3.運用公式法教案(二) 北師大版

遼寧省遼陽市第九中學八年級數學下冊 2.3.運用公式法教案

（二）北師

大版

總體說明

本節是因式分解的第3小節，占兩個課時，這是第二課時，它主要讓學生經歷通過逆向運用整式乘法的完全平方公式得出因式分解的完全平方公式的過程，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，讓學生進一步了解分解因式與整式的乘法運算之間的互逆關系．

一、學生知識狀況分析

學生的技能基礎：學生對因式分解的概念、方法等有了必要的認識和理解，并在整式乘法的公式中，學生已經學習了完全平方公式，這為今天的深入學習提供了必要的基礎．

學生活動經驗基礎：通過前幾節課的活動和探索，學生對類比思想、數學對象之間的對比、觀察等活動形式有了一定的認識，本節課采用的活動方法是學生非常熟悉的觀察、對比、討論等方法，學生有較好的活動經驗．

二、依據新課標標準和學情制定以下教學目標

學生在學習了用平方差公式進行因式分解的基礎上，本節課又安排了用完全平方公式進行因式分解，旨在讓學生能熟練地應對各種形式的多項式的因式分解，為下一章分式的運算以及今后的方程、函數等知識的學習奠定一個良好的基礎。因此，本課時的教學目標是：

知識與技能：

（1）使學生了解運用公式法分解因式的意義；

（2）會用完全平方公式進行因式分解；

（3）使學生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進行分解因式． 數學能力：

（1）發展學生的觀察能力和逆向思維能力；（2）培養學生對完全平方公式的運用能力． 情感與態度：

通過觀察，推導分解因式與整式乘法的關系，讓學生感受事物間的因果聯系． 教學重點、難點：運用公式法分解因式 教學方法：講、議、練相結合

三、教學過程分析

本節課設計了六個教學環節：做一做——辨一辨——試一試——想一想——反饋練習——學生反思．

第一環節 做一做 活動內容：填空：

（1）（a+b）（a-b）= ；（2）（a+b）= ；（3）（a–b）= ； 根據上面式子填空：

（1）a–b= ；（2）a–2ab+b= ；（3）a+2ab+b= ；

結 論：形如a+2ab+b 與a–2ab+b的式子稱為完全平方式．

活動目的：學生通過觀察，把整式乘法中的完全平方公式進行逆向運用，發展學生的觀察能力與逆向思維能力，第（1）組a–b是起提示作用．

注意事項：學生通過觀察能找到第一組式子與第二組式子之間的對應關系．

第二環節 辨一辨

活動內容：觀察下列哪些式子是完全平方式？如果是，請將它們進行因式分解．

（1）x–4y（2）x+4xy–4y（3）4m–6mn+9n（4）m+6mn+9n 結論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央；

完全平方式可以進行因式分解，a–2ab+b=（a–b）a+2ab+b=（a+b）

活動目的：加深學生對完全平方式特征的理解，并由此得出因式分解的完全平方公式．

注意事項：由于有了七年級的整式乘法的學習基礎，同時對照口訣，大多數學生能順利識別完全平方式，但少部分同學由于對完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，這需要老師更加耐心地引導和啟發． 22

222

22222

222

222222222

22222第三環節 試一試

活動內容：把下列各式因式分解：

（1）x–4x+4（2）9a+6ab+b（3）m–22

221m?（4）?m?n?2?8?m?n??16 39活動目的：(1)培養學生對平方差公式的應用能力；

（2）讓學生理解在完全平方公式中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式． 注意事項：學生對第（3）小題含有分數的完全平方公式應用起來有一定的困難，有的學生由于受解方程的影響，習慣首先去分母，再因式分解，這是很多學生經常犯的一個錯誤．

第四環節 想一想 活動內容：

將下列各式因式分解：

（1）3ax+6axy+3ay（2）–x–4y+4xy

活動目的：使學生清楚地了解提公因式法（包括提取負號）是分解因式首先考慮的方法，再考慮用完全平方公式分解因式．

注意事項：在綜合應用提公因式法和公式法分解因式時,一般按以下兩步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法進行因式分解.第五環節 反饋練習活動內容：

1、判斷正誤：

（1）x+y=（x+y）22222 2

222()（2）x–y=(x–y)()（3）x–2xy–y=(x–y)()（4）–x–2xy–y=–（x+y）()

2、下列多項式中，哪些是完全平方式？請把是完全平方式的多項式分解因式：

（1）x–x+（3）22

2222

22122（2）9ab–3ab+1 412m?3mn?9n2（4）x6?10x5?25

43、把下列各式因式分解：（1）m–12mn+36n（2）16a+24ab+9b

（3）–2xy–x–y（4）4–12（x–y）+9（x–y)

活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對完全平方公式的特征是否清楚，對完全平方公式分解因式的運用是否得當，因式分解的步驟是否真正了解，以便教師能及時地進行查缺補漏．

注意事項：當完全平方公式中的a與b 表示兩個或兩個以上字母時，學生運用起來有一定的困難，此時，教師應結合完全平方公式的特征給學生以有效的學法指導．

第六環節 學生反思

22224224活動內容：從今天的課程中，你學到了哪些知識？ 掌握了哪些方法？你認為分解因式中的平方差公式以及完全平方公式與乘法公式有什么關系？

結論：由分解因式與整式乘法的關系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法．

活動目的：通過學生的回顧與反思，強化學生對整式乘法的完全平方公式與因式分解的完全平方公式的互逆關系的理解，發展學生的觀察能力和逆向思維能力，加深對類比數學思想的理解． 注意事項：學生認識到了以下事實：

（1）有公因式則先提取公因式；

（2）整式乘法的完全平方公式與因式分解的完全平方公式是互逆關系；（3）完全平方公式中的a與b既可以是單項式，又可以是多項式； 課后練習：課本第60頁習題2．5第1、2、3題； 思考題：習題2．5第4題（給學有余力的同學做）

四、教學反思

第二篇：數學北師大版八年級下冊公式法因式分解法

第四章

因式分解

3．公式法

（二）一．教學目標：

1．知識與技能：使學生了解運用公式法分解因式的意義；會用公式法（直接用公式不超過兩次）分解因式（指數是正整數）；使學生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式或完全平方公式進行分解因式．

2．過程與方法：經歷通過整式乘法的完全平方公式逆向得出運用公式法分解因式的方法的過程，發展學生的逆向思維和推理能力。

3．情感與態度：培養學生靈活的運用知識的能力和積極思考的良好行為，體會因式分解在數學學科中的地位和價值。

教學重難點

學習重點：讓學生掌握完全平方公式因式的方法。

學習難點：讓學生學會觀察多項式的特點，恰當地安排步驟，恰當地選用不同方法分解因式。

教學方法：講練結合

咸陽道北中學 翟肖鋒

二．教學過程

第一環節

學習新知

活動內容：提問：1．整式乘法中的完全平方公式是_______________；

活動目的：回顧完全平方公式，直入主題將完全平方公式倒置得新的分解因式方法．

注意事項：在上一課時平方差公式倒置學習的基礎上，學生比較容易理解和接受此課時的學習鋪墊內容．

a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活動目的：總結歸納完全平方公式的基本特征，講授新知形如a2?2ab?b2的多項式稱為完全平方式．

注意事項：舉例說明便于學生理解．同時歸納總結，由分解因式與整式乘法的互逆關系可以看出，如果把乘法公式反過來，那么就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。

第二環節

落實基礎 活動內容：

1．判別下列各式是不是完全平方式．

(1)x2?y2；(2)x2?2xy?y2；(3)x2?2xy?y2；(4)x2?2xy?y2；(5)?x2?2xy?y2．2.請補上一項，使下列多項式成為完全平方式．

?1??2??3??4??5?x2?_____?y2；4a2?9b2?______；x2?_____?4y2；1a2?_____?b2；4x4?2x2y?_____．結論：找完全平方式可以緊扣下列口訣：首平方、尾平方，首尾相乘兩倍在中央；

完全平方式可以進行因式分解，a2–2ab+b2=（a–b）

2a2+2ab+b2=（a+b）2

活動目的：加深學生對完全平方式特征的理解，為后面的分解因式做能力鋪墊． 注意事項：由于有了七年級的整式乘法的學習基礎，同時對照口訣，大多數學生能順利識別完全平方式，但少部分同學由于對完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，這需要老師更加耐心地引導和啟發．

第三環節 范例學習活動內容：

例1．把下列各式因式分解：

(1)x2?14x?492(3)(m?n)?6(m?n)?9(2)4a2?12ab?9b2(4)(m?2n)2?2(2n?m)(m?n)?(m?n)2活動目的：(1)培養學生對平方差公式的應用能力；

（2）讓學生理解在完全平方公式中的a與b不僅可以表示單項式，也可以表示多項式．

注意事項：靈活掌握完全平方式的特征成為運用公式法進行分解因式的關鍵，在運用整體法時，注意去括號后的符號變化和系數變化。活動內容：

例2．把下列各式因式分解：(1)3ax2?6axy?3ay2(2)?x2?4y2?4xy活動目的：對一個三項式，如果發現它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細觀察它是否有公因式，使學生清楚地了解提公因式法（包括提取負號）是分解因式首先考慮的方法，再考慮用完全平方公式分解因式．

注意事項：在綜合應用提公因式法和公式法分解因式時,一般按以下兩步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法進行因式分解.第四環節

隨堂練習活動內容：

1.判別下列各式是不是完全平方式，若是說出相應的a、b 各表示什么？(1)x2?6x?9；

(2)1?4a2；(3)x2?2x?4；(4)4x2?4x?1；(5)1?m?m；4

(6)4y2?12xy?9x2．

2、把下列各式因式分解：

（1）m2–12mn+36n2

（2）16a4+24a2b2+9b4

(3）–2xy–x2–y2

（4）4–12（x–y）+9（x–y)2

活動目的：通過學生的反饋練習，使教師能全面了解學生對完全平方公式的特征是否清楚，對完全平方公式分解因式的運用是否得當，因式分解的步驟是否真正了解，以便教師能及時地進行查缺補漏．

注意事項：當完全平方公式中的a與b 表示兩個或兩個以上字母時，學生運用起來有一定的困難，此時，教師應結合完全平方公式的特征給學生以有效的學法指導． 2第五環節

自主小結

（1）形如________________形式的多項式可以用完全平方公式分解因式。（2）因式分解通常先考慮______________方法。再考慮____________方法。（3）因式分解要_________

課后作業：完成課后習題；103頁 1.2題

三．教學設計反思

本節課我們學習了運用公式法分解因式的第二種方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用該方法的關鍵就是觀察完全平方式的結構特征：兩數的平方和與這兩個數的乘積的2倍，具體應用時要特別關注第二項的符號。

把一個多項式進行因式分解的一般方法是：先看有無公因式可提取，然后再嘗試用公式法分解因式，直到最終結果再也不能分解因式為止。

運算類型的課往往比較枯燥，學生容易產生浮躁的心理，不利于知識的掌握與運算能力的提高。本節課的設計盡量做了平實無華，將新知教學層層深入，適當的鞏固練習，每一個環節讓學生感覺不吃力。同時設計過程中注意題型的變化，引導學生暴露學習中的問題，這樣易于激發學生的興趣，使學生的思維不斷被拓展，從而達到強化所學知識和提高能力的目的。

第三篇：八下數學《運用公式法》教案

年級：八年級 學科：數學 課題：《2.3運用公式法（2-1）》 學習目標：

1、經歷通過整式乘法中的平方差公式逆向推導出用公式法分解因式的過程，理解乘法公式(a?b)(a-b)?a2?b2與公式a2?b2?(a?b)(a?b)的關系，發展學生的逆向思維和推理能力.。

2、會用公式法（直接用公式不超過兩次）進行因式分解(指數是正整數).。學習重點：用平方差公式分解因式 學習難點：正確地分解因式。

一、預習自學

1.運用乘法公式計算：

（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根據上面式子填空：

（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ． 2.（1）觀察上面多項式,它們有什么共同特征？

（2）你能試著嘗試將x2?25,9x2?y2寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。

3.分解因式的平方差公式：

把乘法公式（a+b）（a－b）= ； 反過來就得到：a2－b2=_________________ 4.例1把下列各式分解因式：（1）25–16x2（2）9a2–b2

422（）?（）?（）解：（1）25–16x2 =（）)()

（2）9a2?b2?()2?()2?(45.例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.鞏固提高:把下列各式分解因式

（1）－16x4+81y4（2）49（a?b)2?16(a?b)

2二、合作交流

7.請你將你的收獲與困惑同小組內的同學交流。8.把下列各式因式分解：

(1)a2?81(2)36-x2(3)1?16b2

（m?n)2?n2(4)m2?9n2(5)

9.把下列各式因式分解：

(1)（2x?y)2?(x?2y)2(2)3ax2?3ay4 10.判斷正誤：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()11.在多項式x2?2y2,x2?y2,?x2?y2,?x2?y2中，能用平方差公式分解的有（）個。A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 12.下列分解因式：

①(x?3)2?y2?x2?6x?9?y2②a2?9b2?(a?9b)(a?9b)③4x6?1?(2x3?1)(2x3?1)④m4n2?9?(m2n?3)(m2n?3)⑤?a2?b2?(?a?b)(?a?b)其中正確的有（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

13.在一個邊長為12.75cm的正方形內剪去一個邊長為7.25cm的正方形，則剩下部分的面積應當是（）

A.20cm2 B.200cm2 C.110cm2 D.11cm2

三、展示拓展

14.若(2x)n?81?(4x2?9)(2x?3)(2x?3)，則n的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 15.如圖，在一塊邊長為acm的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為bcm的正方形．求剩余部分的面積，并求當a=3.6，b=0.8時的面積．

16.如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是Rcm和rcm，求它們所圍成的環形的面積。如果R=8.45，r=3.45呢？（π=3.14）

17.兩個連續偶數的平方差能被4整除嗎？為什么？

18.若n是整數，則(2n?1)2?1是否能被8整除？為什么？

四、檢測反饋

19.分解因式 A組：

（1）a2b2?m2(2)169x2?4y2（3）xy(x?y)2?4x3y3

B組：

（1）m4?16n4（2）3x3y?12xy

第四篇：北師大課標版八年級數學下冊教案運用公式法(一)

●課題§2.3.1 運用公式法

（一）●教學目標

（一）教學知識點

1.使學生了解運用公式法分解因式的意義；

2.使學生掌握用平方差公式分解因式.3.使學生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.（二）能力訓練要求

1.通過對平方差公式特點的辨析，培養學生的觀察能力.2.訓練學生對平方差公式的運用能力.（三）情感與價值觀要求

在引導學生逆用乘法公式的過程中，培養學生逆向思維的意識，同時讓學生了解換元的思想方法.●教學重點

讓學生掌握運用平方差公式分解因式.●教學難點

將某些單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養學生多步驟分解因式的能力.●教學方法

引導自學法

●教學過程

Ⅰ.創設問題情境,引入新課

［師］在前兩節課中我們學習了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學習了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式.如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關系找到新的因式分解的方法，本節課我們就來學習另外的一種因式分解的方法——公式法.Ⅱ.新課講解

［師］1.請看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2（1）

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是

a2－b2=（a+b）（a－b）（2）

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？

［生］符合因式分解的定義，因此是因式分解.［師］對，是利用平方差公式進行的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解

［師］請大家觀察式子a2－b2,找出它的特點.［生］是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.［師］如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積.如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）=（3 m +2n）（3 m －2n）

3.例題講解

［例1］把下列各式分解因式：

［例2］把下列各式分解因式:

（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2

=［3（m +n）］2－（m－n）2

=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］

=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）

=（4 m +2n）（2 m +4n）

=4（2 m +n）（m +2n）

（2）2x3－8x=2x（x2－4）

=2x（x+2）（x－2）

說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.補充例題

判斷下列分解因式是否正確.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.［生］解：（1）不正確.本題錯在對分解因式的概念不清，左邊是多項式的形式，右邊應是整式乘積的形式，但（1）中還是多項式的形式，因此，最終結果是未對所給多項式進行因式分解.（2）不正確.錯誤原因是因式分解不到底，因為a2－1還能繼續分解成（a+1）（a－1）.應為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.Ⅲ.課堂練習

（一）隨堂練習

1.判斷正誤

解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;（×）

（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（√）

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（×）

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.（×）

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2

=（ab）2－m 2

=（ab+ m）（ab－m）;

（2）（m－a）2－（n+b）2

=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］

=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;

（3）x2－（a+b－c）2

=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］

=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;

（4）－16x4+81y=（9y2）2－（4x2）2

=（9y2+4x2）（9y2－4x2）

=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）

3.解：S剩余=a2－4b2.當a=3.6,b=0.8時，S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）

答：剩余部分的面積為10.4 cm2.（二）補充練習

把下列各式分解因式

（1）36（x+y）2－49（x－y）2;

（2）（x－1）+b2（1－x）;

（3）（x2+x+1）2－1.解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2

=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2

=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］

=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）

=（13x－y）（13y－x）;

（2）（x－1）+b2（1－x）

=（x－1）－b2（x－1）

=（x－1）（1－b2）

=（x－1）（1+b）（1－b）;

（3）（x2+x+1）2－=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）

=（x2+x+2）（x2+x）

=x（x+1）（x2+x+2）

Ⅳ.課時小結

我們已學習過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結構特點，若符合則繼續進行.第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續分解，則需要進一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止.Ⅴ.課后作業

習題2.4

1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;

（2）36－x2=（6+x）（6－x）;

（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;

（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;

（5）0.25q2－121p2

=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;

（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;

（7）9a2p2－b2q2

=（3ap+bq）（3ap－bq）;

（8）a2－x2y2=（a+xy）（a－xy）;

2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;

（2）49（a－b）2－16（a+b）2

=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2

=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］

=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）

=（11a－3b）（3a－11b）;

（3）（2x+y）2－（x+2y）2

=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］

=（3x+3y）（x－y）

=3（x+y）（x－y）;

（4）（x2+y2）－x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;

（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）

=3a（x+y2）（x－y2）

（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）

=（p2+1）（p+1）（p－1）.3.解：S環形=πR2－πr2=π（R2－r2）

=π（R+r）（R－r）

當R=8.45,r=3.45，π=3.14時，S環形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）

答：兩圓所圍成的環形的面積為186.83 cm2.Ⅵ.活動與探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc

=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc

=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2

=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］

=（b+c）［a2+bc+ab+ac］

=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］

=（b+c）（a+b）（a+c）

●板書設計

§2.3.1 運用公式法

（一）一、1.由整式乘法中的平方差公式推導因式分解中的平方差公式.2.公式講解

3.例題講解

補充例題

二、課堂練習

1.隨堂練習

2.補充練習

三、課時小結

四、課后作業

●備課資料

參考練習

把下列各式分解因式：

（1）49x2－121y2;

（2）－25a2+16b2;

（3）144a2b2－0.81c2;

（4）－36x2+y2;

（5）（a－b）2－1;

（6）9x2－（2y+z）2;

（7）（2m－n）2－（m－2n）2;

（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.解：（1）49x2－121y2

=（7x+11y）（7x－11y）;

（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2

=（4b+5a）（4b－5a）;

（3）144a2b2－0.81c2

=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;

（4）－36x2+y2=（y）2－（6x）2

=（y+6x）（y－6x）;

（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;

（6）9x2－（2y+z）2

=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］

=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;

（7）（2m－n）2－（m－2n）2

=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］

=（3 m－3n）（m +n）

=3（m－n）（m +n）

（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2

=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2

=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］

=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）

=（17a－18b）（11a－24b）

第五篇：七年級數學下冊 1.7平方差公式教案(二) 北師大版

1.7平方差公式

（二）教案

一、教學任務分析

本節課從組織學生運用平方差公式進行判斷正誤入手，通過拼圖游戲引入新課。學生在探索這個問題的過程中，將自然體會到數形結合的思想，同時體會符號運算對證明猜想的作用，并靈活運用平方差公式進行計算。本節課的教學要培養學生的推理能力，使學生通過大膽而又合情合理的推理，有條理地表達自己的思考過程。由此，根據課標要求，我確定本節課的目的如下：

1．知識與技能：

(1)發展學生的符號感和推理能力；(2)了解平方差公式的幾何背景。2．數學思考、解決問題：

(1)在進一步體會平方差公式的意義時，發展推理和有條理的表達能力；(2)通過拼圖游戲，與同伴交流平方差公式的幾何背景。

3．情感與態度：在發展推理能力和有條理的表達能力的同時，通過小組討論學習，培養學生的團結協作精神。

二、教學設計分析

本節課的設計理念是：遵循“教學、學習、研究”同步協調的原則，讓學生在探究合作交流的過程中，展示思維過程，讓學生的思維全過程得到充分暴露，學生在再發現、再發明的過程中，思維火花發生強烈碰撞，數學結論的發現、生成為自然的事情.本節課可以按如下教學方式展開：放手做一做—引導想一想—鼓勵說一說—特例驗一驗—設法證一證（多項式展開、幾何圖形解釋）—規律用一用。

第一環節 復習回顧

活動內容：1．提問平方差公式的內容 2．判斷正誤：

（1）（a+5）(a-5)=a?5(2)(3x+2)(3x-2)=3x?2 222(3)(a-2b)(-a-2b)=a?4b(4)(100+2)(100-2)=100?2=9996(5)(2a+b)(2a-b)=4a?b 提問：

⑴兩個二項式相乘，因式要具備什么特征時，積才會是二項式？(當因式是兩個數的和與這兩個數的差相乘時，積是二項式。)．．．．⑵為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？而它們的積又有什么特征？(這是因為具備這樣特征的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現互為相反數的兩項，合并這兩項的結果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于因式中這兩個數的平方差。)活動目的：通過學習舊知，為學習新知識做鋪墊。這些都是學生常出錯的題目，通過做題引導學生積極地思考并對學生的思維進行調控，幫助學生優化思維過程,進一步理解平方差公式。

第二環節 拼圖游戲，驗證公式

活動內容：如左圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。1．請表示圖中陰影（紫色）部分的面積。

2．小穎將陰影部分拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？ 222222aabb 圖1 a2-b2 圖2(a+b)(a-b)3．比較1，2的結果，你能驗證平方差公式嗎? ∴ a2-b2 =(a+b)(a-b)2 4．(1)敘述平方差公式的數學表達式及文字表達式；(2)試比較公式的兩種表達式在應用上的差異．

活動目的：讓學生完整地經歷“猜想——驗證——證明”的過程。若從代數的角度，運用多項式乘法法則計算出結果，進一步明確平方差公式的運算本質；若從幾何背景的角度，使平方差公式更具有直觀性，避免對公式的死記硬背，使平方差公式的學習更有意義。學生學習數學是與具體實踐活動分不開的，重視動手操作，是發展學生思維，培養學生數學能力最有效途徑之一。新編數學教材的特點之一，是重視直觀教學，增加了學生的實踐活動和動手操作內容。為此，操作活動成了課堂教學過程中的一個重要環節。設計這個環節，不僅能使學生獲得知識更容易，而且有利于提高學生的邏輯思維能力。通過讓學生了解平方差公式的幾何背景，進一步了解平方差公式的意義，并初步了解平方差公式的逆運用。說明：平方差公式的數學表達式在使用上有三個優點．(1)公式具體，易于理解；(2)公式的特征也表現得突出，易于初學的人“套用”；(3)形式簡潔．但數學表達式中的a與b有概括性及抽象性，這樣也就造成對具體問題存在一個判定a、b的問題，否則容易對公式產生各種主觀上的誤解．依照公式的文字表達式可寫出下面兩個正確的式子：

經對比，可以讓學生體會到公式的文字表達式抽象、準確、概括．因而也就“欠”明確(如結果不知是誰與誰的平方差)．故在使用平方差公式時，要全面理解公式的實質，靈活運用公式的兩種表達式，比如用文字公式判斷一個題目能否使用平方差公式，用數學公式確定公式中的a與b，這樣才能使自己的計算即準確又靈活． 第三環節 鞏固深化，拓展思維 活動內容：例1 運用平方差公式計算(1)()()（）(2)（）()()

例2 運用平方差公式計算

（1）(200+1)(200-1)（2）102×98 3（3）203×197（4）2016?19 77活動目的：例1兩個題都需要運用兩次平方差公式，鍛煉學生對平方差公式的靈活運用；例2目的是運用平方差公式進行一些有關數的簡便運算。通過找規律，利用平方差公式簡化數字運算，學生可以體會符號運算對證明猜想的作用，同時使學生較容易的運用平方差公式進行數字運算。

第四環節 感受問題，體驗成功 活動內容： 例3 計算

(1)a2(a?b)(a?b)?a2b2

(2)(2x?5)(2x?5)?2x(2x?3)

例4 填空

(1)a2-4＝(a+2)()(2)25-x2＝(5-x)()(3)m2-n2＝()()思考題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數和與這兩數的差的積？(某兩數平方差的二項式可逆用平方差公式寫成兩數和與這兩數的差的積)練習1 填空

1．x2-25＝()()2．4m2-49＝(2m-7)()3．a4-m4＝(a2+m2)()＝(a2+m2)()()練習2 判斷

（1）(a+b)(-a-b)=a2-b2 ??1a?1??11?(2)計算： ?23b????3b?2a??

1??11?11?1原式??b?a??b?a??b2?a22??32?34 ?3活動目的：加入簡單的混合運算之后，逐步讓學生養成識別公式特征并自覺套用的習慣。題目中加入了逆向使用公式的題目，讓學生雙向應用公式的過程中提高學生公式的應用能力。同時，有意識地通過練習慢慢滲透因式分解的思想。例3兩個題的目的，是整式的混合運算，平方差公式的運用，能使運算簡便；還需要注意的是運算順序以及結果一定要化簡。例4的目的使讓學生體會平方差公式的逆用。

通過有提示的填空題形式，學會如何運用平方差公式解題。鞏固所學知識，在練習中發現問題，及時解決。第五環節 擴展能力

1.(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)22.12345?12346?123443.觀察下列各式：(x?1)(x?1)?x2?1(x?1)(x2?x?1)?x3?1(x?1)(x3?x2?x?1)?x4?1根據前面的規律可得：(x?1)(xn?xn?1???x?1)?________活動內容：

以上題目視學生情況而定。

第六環節 歸納總結，形成知識網絡 活動內容：讓學生談談自己的感受

活動目的：整理本節課的知識點，突出學習重點，明確新、舊知識間的聯系，歸納整理重要的數學思想，讓學生感覺學有所得。第七環節 布置作業

習題1.12

四、教學設計反思