第一篇：2014高考數(shù)學(xué)全面突破 二項(xiàng)式定理

11.3二項(xiàng)式定理

考情分析

1．能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．

2．會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題．

基礎(chǔ)知識(shí)

1．二項(xiàng)式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a＋b)n的二項(xiàng)展開式．

其中的系數(shù)Crn(r＝0,1，?，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)Tr＋1＝Crb.nana

2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn)

(1)項(xiàng)數(shù)為(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為(3)字母an逐項(xiàng)減1直到零；字母b冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.－11(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從Cn，一直到Cnn3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) －(1).(2)增減性與最大值： 二項(xiàng)式系數(shù)Ckn，當(dāng)n＋1k＜2時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大．由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的；

n當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)C2取得最大值；

n－1n＋1當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

2注意事項(xiàng)

n－rr1.運(yùn)用二項(xiàng)式定理一定要牢記通項(xiàng)Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相na

同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的，一定要注意順序問題，另外二項(xiàng)

展開式的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的(字母)系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負(fù)．

2.二項(xiàng)式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項(xiàng)數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理．因此二項(xiàng)式定理是排列組合知識(shí)的發(fā)展和延續(xù)．

3.(1)通項(xiàng)的應(yīng)用：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可求指定的項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)等．

(2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計(jì)算等．

4.(1)對(duì)稱性；

(2)增減性；

(3)各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和； 以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進(jìn)行歸納總結(jié)．

題型一 二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)

13【例1】已知(3x－)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為256，則展開式中第7x

項(xiàng)的系數(shù)是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各項(xiàng)系數(shù)之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項(xiàng)的26系數(shù)為C68×3×(－1)＝252.?a?【變式1】若?x－?6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為________． x??

?a?6－r6－3r解析 二項(xiàng)式?x6展開式的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，當(dāng)r＝2時(shí)，Tr＋1為常數(shù)項(xiàng)，即常數(shù)項(xiàng)是C26a，根據(jù)已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

題型二 二項(xiàng)式定理中的賦值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋?＋a10(1－x)10，則a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項(xiàng)公式為：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8時(shí)，第9項(xiàng)的系數(shù)．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故選A.【變式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.題型三 二項(xiàng)式的和與積

2【例3】二項(xiàng)式(x＋x)(1－x)4的展開式中x的系數(shù)是________．

答案：

32解析：利用分步計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項(xiàng)有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數(shù)為3.?2【變式3】x?x－x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． ??

?27?2737解析 原問題等價(jià)于求?x－x的展開式中x的系數(shù)，?x－x的通項(xiàng)Tr＋1＝Cr7x????

－r?2r7－2r?－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數(shù)為(－2)2C27x7＝84，即??

x???x－2x7?的展開式中x4的系數(shù)為84.答案 84

重難點(diǎn)突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值為2187.① ②

第二篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)10.5 二項(xiàng)式定理教案

10.5 二項(xiàng)式定理

●知識(shí)梳理

1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ).2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計(jì)算等.●點(diǎn)擊雙基

9291.已知（1－3x）=a0+a1x+a2x+…+a9x，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

999A.B.4

C.D.1 解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知條件中只需賦值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江蘇，7）（2x+x）的展開式中x的系數(shù)是 A.6

42B.12

C.24

D.48 解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系數(shù)為C24·2=24.答案：C 3.（2004年全國(guó)Ⅰ，5）（2x－A.14

1x）的展開式中常數(shù)項(xiàng)是

C.42

B.－14

D.－42

r7?r）=C72·

r解析：設(shè)（2x－1xr）的展開式中的第r+1項(xiàng)是Tr?1=C7（2x）7?r（－

1xr??3(7?x)r2（－1）·x，當(dāng)－r61+3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C67（－1）·2=14.232?13答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x

5）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式

n中x的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答）

解析：∵（x+x32?13）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，nn∴令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2=128.r∴n=7.設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為Tr?1=C7（x）7?r·（x32?13r）=C7·xr63?11r6，令63?11r5=5即r=3時(shí)，x項(xiàng)的系數(shù)為C37=35.6答案：35

5.若（x+1）=x+…+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.nn32*答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x+理項(xiàng).解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，由題意得2×

124x）的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有

nnn(n?1)，28n(n?1)n=1+，得n=8.281·xr216?3r4設(shè)第r+

1r項(xiàng)為有理項(xiàng)，Tr?1=C8·，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.351x，T9=.28256x評(píng)述：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r.13【例2】 求式子（｜x｜+－2）的展開式中的常數(shù)項(xiàng).|x|11113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到|x||x||x||x|13常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號(hào)中全取－2，得（－2）；②一個(gè)括號(hào)取｜x｜，一個(gè)括號(hào)取，|x|有理項(xiàng)為T1=x，T5=41一個(gè)括號(hào)取－2，得C13C2（－2）=－12，∴常數(shù)項(xiàng)為（－2）+（－12）=－20.解法二：（|x|+31136－2）=（|x|－）.|x||x|設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，r則Tr?1=C6·（－1）·（r1r6r）·|x|6?r=（－1）·C6·|x|6?2r，得6－2r=0，r=3.|x|∴T3+1=（－1）·C36=－20.3思考討論

（1）求（1+x+x+x）（1－x）的展開式中x的系數(shù)； 23

444－4）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)； x34503（3）求（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展開式中x的系數(shù).（2）求（x+1?x4746444解：（1）原式=（1－x）=（1－x）（1－x），展開式中x的系數(shù)為（－1）C6－

1?x1=14.1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為

20A.20 B.2C.2D.2－1 220解析：C120+C20+…+C20=2－1.20答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是

A.2B.3r解析：Tr?1=C8·x8－r－1

a8）展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，x

C.1或3

r8－2r8

D.1或2

8r·（－ax）=（－a）C8·xr.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）C8=1120.∴a=±2.4當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（1－2）=1.88當(dāng)a=－2時(shí)，令x=－1，則（－1－2）=3.答案：C 3.（2004年全國(guó)Ⅳ，13）（x－

1x）展開式中x的系數(shù)為_____________.85

r解析：設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為Tr?1=C8x8－r·（－

1xr）=（－1）C8xrr8?3r2.令8－3r522=5得r=2時(shí)，x的系數(shù)為（－1）·C8=28.21xxr答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x+

323）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_____________.93n?r2n解析：Tr?1=Crn（x）3

n－r·（x?）=Crn·x.9r=0，∴2n=3r.2∴n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù).令3n－

6試驗(yàn)可知n=9，r=6時(shí)，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，n求x的值.?2n?1n解：由題意Cnn＋Cn＋Cn=22，10即C2n＋Cn＋Cn=22，∴n=6.∴第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.lgx∴C3）=20000，即x6（x3

3lgx=1000.∴x=10或x=1.10培養(yǎng)能力

652116.若（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.65211解：（1）（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，又a0=1，6所以a1+a2+…+a11=－2－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.①+②得a0+a2+…+a10=

①

②

（－2+0）=－32.2評(píng)述：在解決此類奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－1.mn127.在二項(xiàng)式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).（1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求r解：（1）設(shè)Tr?1=C12（ax）

ma的范圍.br·（bx）=C12anr12－rrm（12－r）+nr12－rbx為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項(xiàng).（2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，43C12ab≥C12ab，84

②

①

∴有 45C12ab≥C12ab.8475

12?11?10?98412?11?1093

ab≥ab，4?3?23?2a99∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.44ba88a9由②得≥，∴≤≤.5b4b5由①得8.在二項(xiàng)式（x+124x）的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).n分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng).解：前三項(xiàng)系數(shù)為C0n，11121220Cn，Cn，由已知C1=C+Cn，即n－9n+8=0，nn244解得n=8或n=1（舍去）.rTr?1=C8（x）（2x）8－r4－rr=C8·

4?14.·xr23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，44∴r=0，r=4，r=8.∴展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x，T5=評(píng)述：展開式中有理項(xiàng)的特點(diǎn)是字母x的指數(shù)4－探究創(chuàng)新

9.有點(diǎn)難度喲！

351x，T9= x－2.82563r3r∈Z即可，而不需要指數(shù)4－∈N.441n*）<3（n≥2，n∈N）.n1121n1n1112n23證明：（1+）=C0+C× +C（）+…+C（）=1+1+C×+C×+…+Cnnnnnnnn23nnnnnnn?(n?1)???2?11111n(n?1)1n(n?1)(n?2)1×n=2+×+×+…+×<2++ n232!3!n!2!3!nnnn求證：2<（1+

11[1?()n?1]1111111n12++…+<2++2+3+…+n?1=2+2=3－（）n?1<3.顯然（1+）=1+1+C2n×14!n!2222n21?21n1113n+C×+…+C×>2.所以2<（1+）<3.nnn23nnnn●思悟小結(jié)

n?r1.在使用通項(xiàng)公式Tr?1=Crb時(shí)，要注意： nar（1）通項(xiàng)公式是表示第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).（2）展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Crn與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同.（3）通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，Tr?1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且r≤n.2.證明組合恒等式常用賦值法.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛

1.要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式.2.要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).3.要注意二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項(xiàng)公式及其應(yīng)用是二項(xiàng)式定理的基本問題，要熟練掌握.拓展題例

10343【例題】 求（a－2b－3c）的展開式中含abc項(xiàng)的系數(shù).10解：（a－2b－3c）=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），從10個(gè)括號(hào)中任取3

個(gè)括號(hào)，從中取a；再?gòu)氖Ｓ?個(gè)括號(hào)中任取4個(gè)括號(hào)，從中取－2b；最后從剩余的3個(gè)括號(hào)

343434中取－3c，得含abc的項(xiàng)為C10aC7·（－2b）C33（－3c）=C10C7C32（－3）abc.所以343

334334含abc項(xiàng)的系數(shù)為－C10C7×16×27.343

第三篇：二項(xiàng)式定理及數(shù)學(xué)歸納法

二項(xiàng)式定理及數(shù)學(xué)歸納法

【真題體驗(yàn)】

1．(2012·蘇北四市調(diào)研)已知an＝(12)n(n∈N*)

(1)若an＝a＋2(a，b∈Z)，求證：a是奇數(shù)；

(2)求證：對(duì)于任意n∈N*都存在正整數(shù)k，使得an＝k－1k.12233nn證明(1)由二項(xiàng)式定理，得an＝C0n＋C2＋Cn2)＋Cn(2)＋?＋Cn(2)，0244224所以a＝Cn＋C2n2)＋Cn(2)＋?＝1＋2Cn＋2Cn＋?，24因?yàn)?C2n＋2Cn＋?為偶數(shù)，所以a是奇數(shù)．

(2)由(1)設(shè)an＝(1＋2)n＝a＋b2(a，b∈Z)，則(1－2)n＝a－b2，所以a2－2b2＝(a＋b2)(a－b2)＝(1＋2)n(1－2)n＝(1－2)n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a2＝2b2＋1，存在k＝a2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝kk－1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a2＝2b2－1，存在k＝2b2，使得an＝a＋b2＝a＋2b＝k－1k，綜上，對(duì)于任意n∈N*，都存在正整數(shù)k，使得an＝k－1＋k.2．(2010·江蘇，23)已知△ABC的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)．

(1)求證：cos A是有理數(shù)；

(2)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)．

b2＋c2－a

2(1)證明 設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，cos A＝ 2bc

∵a，b，c是有理數(shù)，b2＋c2－a2是有理數(shù)，分母2bc為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對(duì)于除法具有封閉性，b2＋c2－a2

∴必為有理數(shù)，∴cos A是有理數(shù)． 2bc

(2)證明 ①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然cos A是有理數(shù)；

當(dāng)n＝2時(shí)，∵cos 2A＝2cos2A－1，因?yàn)閏os A是有理數(shù)，∴cos 2A也是有理數(shù)；

②假設(shè)當(dāng)n≤k(k≥2)時(shí)，結(jié)論成立，即cos kA、cos(k－1)A均是有理數(shù)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，cos(k＋1)A＝cos kAcos A－sin kAsin A

1＝cos kAcos A－[cos(kA－A)－cos(kA＋A)]

211＝cos kAcos A－cos(k－1)Acos(k＋1)A 22

解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A

∵cos A，cos kA，cos(k－1)A均是有理數(shù)，∴2cos kAcos A－cos(k－1)A是有理數(shù)，∴cos(k＋1)A是有理數(shù)． 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．

綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)． 【高考定位】

高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：

(1)二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求；(2)數(shù)學(xué)歸納法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，B級(jí)要求 【應(yīng)對(duì)策略】

(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理只要掌握二項(xiàng)式定理、通項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)的求法，掌握賦值法即可．(2)數(shù)學(xué)歸納法主要是用來解決與自然數(shù)有關(guān)的命題．通常與數(shù)列、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能相結(jié)合來考查邏輯推理能力，要了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能加以簡(jiǎn)單的應(yīng)用

.必備知識(shí)

1．二項(xiàng)式定理

n1n1nrrn

(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb，上式中右邊的多項(xiàng)

－

－

式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，其中Crn(r＝1,2,3，?，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中第r＋1項(xiàng)叫

nrr

做展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝Crb； na

－

(2)(a＋b)n展開式中二項(xiàng)式系數(shù)Crn(r＝1,2,3，?，n)的性質(zhì)：

nr

①與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Crn＝Cn；

－

12nn0213n1②C0.n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝2；Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋?＝

2－

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0∈N*)時(shí)命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．

必備方法

1．二項(xiàng)式定理

(1)求二項(xiàng)式定理中有關(guān)系數(shù)的和通常用“賦值法”．

nrr(2)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Crb是展開式的第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)． na

－

2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法

(1)利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是將式子轉(zhuǎn)化為與歸納假設(shè)的結(jié)構(gòu)相同的形

式，然后利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論．

(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明三角恒等式時(shí)，常運(yùn)用有關(guān)的三角知識(shí)、三角公式，要掌握三角變換方法．

(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，在由n＝k成立，推導(dǎo)n＝k＋1成立時(shí)，過去講的證明不等式的方法在此都可利用．

(4)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時(shí)，可把n＝k＋1時(shí)的被除式變形為一部分能利用歸納假設(shè)的形式，另一部分能被除式整除的形式.(5)解題時(shí)經(jīng)常用到“歸納——猜想——證明”的思維模式．

命題角度一 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

[命題要點(diǎn)](1)二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和展開式系數(shù)；(2)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)；(3)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)的應(yīng)用．

【例1】?(2012·南師附中模擬)若二項(xiàng)式(1＋2x)n展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

[審題視點(diǎn)] 根據(jù)展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，得到關(guān)于n的方程，解得n，再寫出二項(xiàng)展開式系數(shù)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果．

解 ∵在(1＋2x)n的展開式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，566r∴C5n2＝Cn2，∴n＝8，∴二項(xiàng)式系數(shù)是C8，r1rr1由Cr8≥C8且C8≥C8，得r＝4，－

＋

即展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)為C482.二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)與展開式系數(shù)的最大項(xiàng)不同，本題的第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)

rr

式系數(shù)是Cr8，而展開式系數(shù)卻是2C8，解題時(shí)要分清．

n

1【突破訓(xùn)練1】(2012·鹽城模擬)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，p(x)＝a1C0n(1－x)＋a2Cnx(1221n1n

－x)n1＋a3Cnx(1－x)n2＋?＋anCn(1－x)＋an＋1Cnnxnx

－

－

－

－

(1)若數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，求p(－1)的值；

(2)若數(shù)列{an}是公比為2的等差數(shù)列，求證：p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式．(1)解 法一 由題設(shè)知，an＝2n1.－

0n1n12n2n0

p(－1)＝1·C02＋2·C12＋22·C22＋?＋2n·Cn2 n(－1)·n(－1)·n(－1)·n(－1)·

－

－

0n12n2＝C02＋Cn(－2)1·2n1＋C22＋?＋ n(－2)·n(－2)·

－

－

nCn(－2)n·20＝(－2＋2)n＝0.n1法二 若數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列，則an＝2n1，故p(x)＝C0n(1－x)＋Cn(2x)(1

－

2n21n1nnn

－x)n1＋C2＋?＋Cn(1－x)＋Cnn(2x)(1－x)n(2x)n(2x)＝[(1－x)＋2x]＝(1＋x).－

－

－

－

所以p(－1)＝0.(2)證明 若數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，則an＝2n－1.n1n1n1n1n

p(x)＝a1C0＋?＋anCnx(1－x)＋an＋1Cnn(1－x)＋a2Cnx(1－x)nx

－

－

－

n1n122n＝C0＋(1＋4)Cnx(1－x)n2＋?＋(1＋2n)Cnn(1－x)＋(1＋2)Cnx(1－x)nx

－

－

nn12n2n1n122＝[C0＋C2＋?＋Cn＋2Cnx(1－x)nn(1－x)＋C1nx(1－x)nx(1－x)nx]＋2[Cnx(1－x)

－

－

－

－

n＋?＋Cnnx]．

由二項(xiàng)式定理知，0n12n2nn

Cn(1－x)n＋C1＋C2＋?＋Cnnx(1－x)nx(1－x)nx＝[(1－x)＋x]＝1.－

－

n！?n－1?！－1因?yàn)閗Ck＝k＝nnCknn－1，k！?n－k?！?k－1?！?n－k?！

n122n所以C1＋2Cnx(1－x)n2＋?＋nCnnx(1－x)nx

－

－

n12n21n＝nC0＋nC1＋?＋nCnn－1x(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

n1n21n1＝nx[C0＋C1＋?＋Cn] n－1(1－x)n－1x(1－x)n－1x

－

－

－

－

＝nx[(1－x)＋x]n1＝nx，－

所以p(x)＝1＋2nx.即p(x)是關(guān)于x的一次多項(xiàng)式．

命題角度二 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

[命題要點(diǎn)](1)證明代數(shù)恒等式；(2)證明不等式問題；(3)證明三角恒等式；(4)證明整除性問題．

xxx

1＋?1＋??1＋的展開式中，x的系數(shù)為an，x2的【例2】?(2012·南京模擬)記??2?2?2系數(shù)為bn，其中n∈N*.(1)求an；

pq1

1?1＋，對(duì)n∈N*，n≥2恒成立？證明(2)是否存在常數(shù)p，q(p＜q)，使bn＝?3?2?2你的結(jié)論．

[審題視點(diǎn)] 可以先用特殊值代入，求出p，q得到猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性．

1111

解(1)根據(jù)多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，得an＝1－222

2pq171

1＋??1＋，解得p＝－2，q＝－1.(2)計(jì)算得b2b3＝.代入bn＝?8323?2??21111121

1－＝－n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明bn1－2－??3??232341

①當(dāng)n＝2時(shí)，b2＝

81121

②設(shè)n＝k時(shí)成立，即bk＝，323

4則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a112111

bk＋1＝bk＋＝＋＋＋－＋

32342221121

＝＋＋＋.3234由①②可得結(jié)論成立．

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題P(n)，由P(k)成立推證P(k＋1)成立，一定要用到

條件P(k)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法證題．

1111【突破訓(xùn)練2】(2012·泰州中學(xué)調(diào)研)已知多項(xiàng)式f(n)＝5＋n4n3n.52330(1)求f(－1)及f(2)的值；

(2)試探求對(duì)一切整數(shù)n，f(n)是否一定是整數(shù)？并證明你的結(jié)論． 解(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)． ①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，結(jié)論成立．

1111

②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N)時(shí)，結(jié)論成立，即f(k)＝k5＋k4＋3－k是整數(shù)，則當(dāng)n

523301111

＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝(k＋1)5＋k＋1)4(k＋1)3－(k＋1)

52330

51423324

5C05k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5k＋C5＝

4***C0C04k＋C4k＋C4k＋C4k＋C43k＋C3k＋C3k＋C

3＋－

(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.30

根據(jù)假設(shè)f(k)是整數(shù)，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1顯然是整數(shù)． ∴f(k＋1)是整數(shù)，從而當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①、②可知對(duì)一切正整數(shù)n，f(n)是整數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)n＝0時(shí)，f(0)＝0是整數(shù)

(Ⅱ)當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，令n＝－m，則m是正整數(shù)，由(Ⅰ)知f(m)是整數(shù)，111

1所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋－m)4＋(－m)3－－m)

523301111

5＋m4－m3＋＝－f(m)＋m4是整數(shù)．

52330綜上，對(duì)一切整數(shù)n，f(n)一定是整數(shù)．

20．證明步驟要完整，變形要有依據(jù)

一、證明的兩個(gè)步驟缺一不可 【例1】? 求證：2n＞2n＋1(n≥3)． 解 用數(shù)學(xué)歸納法證明：

第一步：(1)n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7，不等式2n＞2n＋1(n≥3)成立．

第二步：(2)假設(shè)n＝k(k≥3，且k∈N*)時(shí)，不等式成立，即2k＞2k＋1，則2k1＝2·2k＞

＋

2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋2k＞2(k＋1)＋1，即2k1＞2(k＋1)＋1.所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立．

＋

老師叮嚀：不驗(yàn)證初始值的正確性就沒有歸納的基礎(chǔ)，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法，證明的兩個(gè)步驟缺一不可.二、正確寫出從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時(shí)應(yīng)添加的項(xiàng)

【例2】? 用數(shù)學(xué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n·1·3·?·(2n－1)，從k到k＋1，左邊需要增乘的代數(shù)式為________．

解析 當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]·?·[(k＋1)＋(k＋1)] ＝(k＋2)(k＋3)?(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)?k＋k＋1??k＋k＋2?＝(k＋1)(k＋2)?(k＋k)

k＋1＝(k＋1)(k＋2)?(k＋k)[2(2k＋1)]，所以從k到k＋1，左邊需要增乘的代數(shù)式為2(2k＋1)． 答案 2(2k＋1)

老師叮嚀：要關(guān)注從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時(shí)兩個(gè)式子之間的實(shí)質(zhì)區(qū)別，不能只看表面現(xiàn)象，正確寫出從n＝k(k≥n0，k∈N*)到n＝k＋1時(shí)應(yīng)添加的項(xiàng)，才能進(jìn)行正確的變形．如本題中就不能只添加k＋1＋k＋1＝2k＋2.

第四篇：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1．教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)技能：理解二項(xiàng)式定理，記憶二項(xiàng)展開式的有關(guān)特征，能對(duì)二項(xiàng)式定理進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用．

過程方法：通過從特殊到一般的探究活動(dòng)，經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維方法，養(yǎng)成合作的意識(shí)，獲得學(xué)習(xí)和成功的體驗(yàn)．

情感、態(tài)度和價(jià)值觀：通過對(duì)二項(xiàng)式定理的研究，掌握展開式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱美、和諧美，了解楊輝、牛頓等數(shù)學(xué)家做出的巨大貢獻(xiàn)．

2.教學(xué)過程

探索研究二項(xiàng)式定理的內(nèi)容

從學(xué)生比較熟悉的完全平方公式入手，去觀察，猜想

02122(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b

三次方的讓學(xué)生按照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行運(yùn)算在合并，不合并之前是幾項(xiàng)，為什么？

（分步乘法計(jì)數(shù)原理）

0312233(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b

每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)和相同,項(xiàng)的個(gè)數(shù)有n?1項(xiàng)

00每個(gè)都不取b的情況有1種，即C4種，所以a4的系數(shù)是C4； 11恰有1個(gè)取b的情況下有C4種，所以a3b的系數(shù)是C4； 22恰有2個(gè)取b的情況下有C4種，所以a2b2的系數(shù)是C4； 33恰有3個(gè)取b的情況下有C4種，所以ab3的系數(shù)是C4； 444個(gè)都取b的情況下有C4種，所以b4的系數(shù)是C4； 0413222344因此(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab3?C4b．

歸納、猜想(a?b)n?

0n1n?12n?22(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab?kn?kk?Cnab?nnCnb(n?N?)

設(shè)問：

（1）將(a?b)n展開，有多少項(xiàng)？

（2）每一項(xiàng)中，字母a，b的指數(shù)有什么特點(diǎn)？（3）字母a，b指數(shù)和始終是多少？（4）如何確定an?kbk的系數(shù)？

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察二項(xiàng)式定理，從以下幾方面強(qiáng)調(diào)：（1）項(xiàng)數(shù)規(guī)律：n?1項(xiàng)；

（2）次數(shù)規(guī)律：字母a，b的指數(shù)和為n，字母a的指數(shù)由n遞減至0，同時(shí)，字母b的指數(shù)由0遞增至n；

（3）二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：下標(biāo)為n，上標(biāo)由0遞增至n；

kn?kk（4）通項(xiàng)：Tk?1?Cnab指的是第k?1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系k數(shù)是Cn

板書以上幾點(diǎn) 3.例題處理

51??例1：（1）在?2x??的展開式中

x??（1）請(qǐng)寫出展開式的通項(xiàng)。（2）求展開式的第4項(xiàng)。

（3）請(qǐng)指出展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)。

3（4）求展開式中含 x 的項(xiàng)。

課件展示解題過程

自主探究：在?1?2x?的展開式中，求第4項(xiàng)，并指出它的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)

7是什么？

獨(dú)立完成，爬黑板

01合作探究：設(shè)n為自然數(shù)，化簡(jiǎn)Cn?2n?Cn?2n?1???????1?Cnk?2n?k???????1??Cnn?

kn

分組討論，交流想法

4.歸納小結(jié)

學(xué)生的學(xué)習(xí)體會(huì)與感悟； 教師強(qiáng)調(diào)：

（1）主要探究方法：從特殊到一般再回到特殊的思想方法

（2）從特殊情況入手，“觀察——?dú)w納——猜想——證明”的思維方法，是人們發(fā)現(xiàn)事物規(guī)律的重要方法之一，要養(yǎng)成“大膽猜想，嚴(yán)謹(jǐn)論證”的良好習(xí)慣．

（3）二項(xiàng)式定理每一項(xiàng)中字母a，b的指數(shù)和為n，a的指數(shù)從n遞減至0同時(shí)b的指數(shù)由0遞增至n，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美、和諧美．二項(xiàng)式系數(shù)還有哪些規(guī)律呢？希望同學(xué)們?cè)谡n下繼續(xù)研究、能夠有新的發(fā)現(xiàn)． 5.作業(yè)（1）鞏固型作業(yè)：

課本36頁習(xí)題1.3 A組 1、3、4（1）（2）5（2）思維拓展型作業(yè)：（查閱相關(guān)資料）查閱有關(guān)楊輝一生的主要成就。

012探究二項(xiàng)式系數(shù)Cn,Cn,Cn,n 有何性質(zhì).,Cn3

第五篇：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)

二項(xiàng)式定理（第一課時(shí)）

一、教學(xué)目標(biāo)： 1．知識(shí)技能：

（1）理解二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)-------分步乘法計(jì)數(shù)原理的使用（2）掌握二項(xiàng)式定理極其簡(jiǎn)單應(yīng)用 2．過程與方法

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納猜想的能力，以及化歸的意識(shí)與方法遷移的能力，體會(huì)從特殊到一般的思維方式

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)、理解和初步應(yīng)用及通項(xiàng)公式 難點(diǎn)：展開式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與該項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別

三、教學(xué)方法：師生互動(dòng)，講練結(jié)合

四、教 具：多媒體、電子白板

五、教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)問題情境：

今天是星期二，8天后是星期幾?82天后是星期幾?8100天后是星期幾呢？ 前面兩個(gè)問題全班所有學(xué)生都能回答出來，最后一個(gè)問題大家都很迷惑，覺得很復(fù)雜，今天我們學(xué)習(xí)的這節(jié)課就是告訴我們?nèi)绾慰焖贉?zhǔn)確知道答案，并且我們不用查日歷就能知道未來任何一天是星期幾。解決這一問題我們應(yīng)用的就是二項(xiàng)式定理。

(二)引出問題：二項(xiàng)式定理研究的是(a?b)n的展開式。

我們知道(a?b)2?a2?2ab?b2，那么：(a?b)3=?(a?b)4=?

(a?b)100=?

更進(jìn)一步：(a?b)n=？(1)對(duì)(a?b)2展開式的分析:(a?b)2?(a?b)(a?b)展開后其項(xiàng)的形式為：a2,ab,b2

00考慮b，每個(gè)都不取b的情況有1種，即c2 ,則a2前的系數(shù)為c2 1恰有1個(gè)取b的情況有c12種，則ab前的系數(shù)為c2 22恰有2個(gè)取b的情況有c2 種，則b2前的系數(shù)為c2 0222所以(a?b)2?a2?2ab?b2?c2a?c12ab?c2b

(2)探究1：推導(dǎo)(a?b)3的展開式

(a?b)3?(a?b)(a?b)(a?b)① 項(xiàng)：

a3

a2b

ab2

b3

013② 系數(shù)：C3

C3

C32

C3 0312233③ 展開式(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

(3)探究2：仿照上述過程，推導(dǎo)(a?b)4的展開式

0432223344(a?b)4?c4a?c14ab?c4ab?c4ab?c4b 0312233與(a?b)3?c3a?c3ab?c3ab2?c3b

0222和(a?b)2?c2a?c12ab?c2b

一起比較猜想：

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1ab?cab?...cab?...cnnnnb(n?N?)

但這種歸納猜想是不完全歸納。

(4)探究3：請(qǐng)分析(a?b)n的展開過程，證明猜想

...ab

...b ②系數(shù)：C

C

...C

...C ①項(xiàng)：

an

an?1b

0n1nn?kknknnn0nn?12n?22kn?kknn③展開式：(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na(三)二項(xiàng)式定理的分析

0nn?12n?22kn?kknn(a?b)n?cna?c1b?cnab?...cnab?...cnb(n?N?)na①項(xiàng)數(shù)：共有n?1項(xiàng)；

②次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都是n；

k③二項(xiàng)式系數(shù)：Cn(k??0,1,2,...n?)

kn?kk④ 二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tk?1?Cnab,(k??0,1,2,...n?)

（四）課堂練習(xí)1.寫出(1?x)n得展開式.2.寫出(a?b)n得展開式.（五）例題 例1.求(2x?1x)6得展開式.（1）強(qiáng)調(diào)：對(duì)于形式較復(fù)雜的二項(xiàng)式，應(yīng)先化簡(jiǎn)再展開.（2）針對(duì)(2x?1x)6得展開式，提出下列問題

思考1：展開式的第二項(xiàng)的系數(shù)是多少？

思考2：展開式的第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是多少？ 思考3：你能否直接求出展開式的第二項(xiàng)？ 思考4：你能否直接求出展開式的常數(shù)項(xiàng)？ 引出例2 例2（1）求(1?2x)7的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)和第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

1??

（2）?x??的展開式中x3的系數(shù)

x??

（六）小結(jié)

（七）作業(yè)（提前板書）1.P374,5題

2.思考：8100天后星期幾？