第一篇：常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷

常微分方程定性與穩(wěn)定性方法試卷

2x1?dx1???2x2,22?dt(1?x1)?1.（20分）討論系統(tǒng) ?dx 零解的穩(wěn)定性。2x2x212????2222?dt(1?x)(1?x11)?

d2xdxdx22m?b??()??x??x?0,mb?0 對(duì)2.（20分）證明振動(dòng)方程 2dtdtdt

任何參數(shù)都不存在閉軌線和奇異閉軌線。

?dx?2xy?P(x,y),??dt?3.（20分）設(shè)有系統(tǒng) dy試分析其軌線??1?y?x2?y2?Q(x,y).??dt的全局結(jié)構(gòu)。

?0?1?104.（20分）設(shè)A=??00??2000?dx00??Ax,x(0)?x0的解，?，求初值問(wèn)題 dt0?1??10?

并分析其奇點(diǎn)鄰域內(nèi)軌線的性態(tài)。

?dx3??y??x?x,??dt5.（20分）討論系統(tǒng)?dy 奇點(diǎn)(0,0)鄰域內(nèi)極限環(huán)的??x?y3??dt

分支問(wèn)題。

第二篇：常微分方程實(shí)驗(yàn)報(bào)告一

呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報(bào)告

《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報(bào)告一

專(zhuān)業(yè)

班級(jí)

姓名

學(xué)號(hào)

實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)時(shí)間

實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)：向量場(chǎng)、積分曲線作圖實(shí)驗(yàn)?zāi)康模菏煜?shí)驗(yàn)內(nèi)容：

Matlab軟件；掌握畫(huà)向量場(chǎng)、積分曲線的命令。

（給出實(shí)驗(yàn)程序與運(yùn)行結(jié)果）呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系《常微分方程》實(shí)驗(yàn)報(bào)告

實(shí)驗(yàn)分析：

第三篇：常微分方程答案 第三章

習(xí)題3.1

1.求方程dy?x?y2通過(guò)點(diǎn)(0,0)的第三次近似解。dx

解：f?x,y??x?y2，令?0(x)?y0?0，則

?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??xdx?x00xx12x 2

?2?x??y0??f?x,?1?x??dx??x0xx0??1?2?1215x?xdx?x?x ????220??2????

?3?x??y0??f?x,?2?x??dxx0x

??x

0 ??1215?2?121518111x?x?x??x?x??dx?x?x?20??2201604400??2??

為所求的第三次近似解。

3.求初值問(wèn)題

?dy22??x?y,R:x?1?1,y?1,(1)?dx

?y??1??0?的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì)。解：因?yàn)閒?x,y??x2?y2，a?b?1，M?maxf?x,y??4，所以?x,y??R

153?b?1h?mi?na??，從而解得存在區(qū)間為x?1?，即??x??。444?M?4

又因?yàn)閒?x,y??x2?y2在R上連續(xù)，且由?f?y?2y?2?L可得f?x,y?在R上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問(wèn)題(1)在?53?x??有唯一解44y???x?。

令?0(x)?y0?0，則

?1?x??y0??f?x,?0?x??dx??x2dx?x0?1xx13x?1? ?3

?2?x??y0??x

x02?2?1311xx3x4x7??f?x,?1?x??dx???x???x?1???dx??????142931863?3?????x

M?Lh?1

?誤差為：?2?x????x??

L2?1!24

10.給定積分方程

??x??f?x????K?x,??????d?(*)

a

b

其中f?x?是?a,b?上的已知連續(xù)函數(shù)，K?x,??是a?x?b，a???b上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當(dāng)?足夠小時(shí)(?是常數(shù))，(*)在?a,b?上存在唯一的連續(xù)解。證明：分四個(gè)步驟來(lái)證明。

㈠.構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列

?0?x??f?x?

?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?,n?0,1,2,?

ab

由f?x?是?a,b?上的連續(xù)函數(shù)可得?0?x?在?a,b?上連續(xù)，故再由K?x,??是

a?x?b，a???b上的連續(xù)函數(shù)可得?1?x?在?a,b?上連續(xù)，由數(shù)學(xué)歸納法易證

?n?x?在?a,b?上連續(xù)。

㈡.證明函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。

考慮級(jí)數(shù)

?0?x?????k?x???k?1?x??,k?1

?

x??a,b?(2)

由

?0?x?????k?x???k?1?x????n?x?

k?1

n

知，??n?x??的一致收斂性與級(jí)數(shù)(2)的一致收斂性等價(jià)。

令M?maxf?x?，L???b?a?maxK?x,??。由(2)有

a?x?b

a?x?b,a???b

?1?x???0?x????K?x,??f???d?

a

b

???K?x,??f???d?

a

b

??maxK?x,??maxf???

a?x?b,a???b

a???b

?

b

a

d??ML

所以

?2?x???1?x????K?x,????1?????0????d?

a

b

???K?x,???1?????0???d?

a

b

?ML??K?x,??d??ML2

a

b

假設(shè)對(duì)正整數(shù)n，有不等式

?n?x???n?1?x??MLn,則

b

x??a,b?(3)

?n?1?x???n?x????K?x,????n?????n?1????d?

a

???K?x,???n?????n?1???d?

a

b

x??a,b?

?ML

n?1

??K?x,??d??MLn,a

b

所以(3)對(duì)任意正整數(shù)n都成立。

因?yàn)?MLn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且當(dāng)?足夠小時(shí)，n?1?

L???b?a?maxK?x,???1(4)

a?x?b,a???b

故?ML收斂，從而由Weierstrass判別法，級(jí)數(shù)???k?x???k?1?x??一致收斂，n

n?1

k?1

??

故級(jí)數(shù)(2)一致收斂，所以函數(shù)列??n?x??在?a,b?上一致收斂。

㈢.證明lim?n?x???x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。

n??

因?yàn)橛散搴廷婵傻?n?x?在?a,b?上連續(xù)，??n?x??在?a,b?上一致收斂，故

?x?在?a,b?上連續(xù)，且函數(shù)列?K?x,???n?x??在?a,b?上一致收斂，所以對(duì)

?n?1?x??f?x????K?x,???n???d?

a

b

兩邊取極限可得

lim?n?1?x??f?x???lim?K?x,???n???d?

n??

n??ab

b

?f?x????K?x,??lim?n???d?

a

n??

從而

?x??f?x????K?x,?????d?

a

b

所以?x?是積分方程(*)在?a,b?上的連續(xù)解。

㈣.證明?x?是積分方程(*)在?a,b?上的唯一解。

設(shè)?x?是積分方程(*)在?a,b?上的另一連續(xù)解，則

?x??f?x????K?x,?????d?

a

b

令g?x???x???x?，則

g?x????K?x,???????????d?

a

b

???K?x,?????????d?

a

b

?max?x???x???K?x,??d?

a?x?b

a

b

?Lmaxg?x?

a?x?b

對(duì)?x??a,b?都成立，上式兩邊對(duì)x取最大值可得

maxg?x??Lmaxg?x?

a?x?b

a?x?b

如果maxg?x??0，則由上式有

a?x?b

L?1

這與(4)矛盾，故maxg?x??0，即g?x??0，所以?x???x?，從而?x?是積

a?x?b

分方程(*)在?a,b?上的唯一解。證畢。

第四篇：南昌航空大學(xué)常微分方程A卷

南昌航空大學(xué)20XX—20XX學(xué)年第二學(xué)期期末考試

課程名稱(chēng)：常微分方程

閉卷

A卷120分鐘

題號(hào)

一

二

三

四

五

六

合計(jì)

滿分

實(shí)得分

評(píng)閱人

得分

班級(jí)-------------------

學(xué)號(hào)--------------

姓名-----------------

重修標(biāo)記

b5E2RGbCAP

一、選擇題<每題2分,共10分）

1、下面是哪個(gè)是二階線性微分方程<）.A．

B．

C．

D．

2、函數(shù)是下面哪個(gè)微分方程地解<）.A．

B．

C．

D．以上全不是

3、下面哪個(gè)矩陣不可能是一個(gè)齊次線性微分方程組地解矩陣<）.A．

B．

C．

D．

命題教師<簽字）

試做教師<簽字）

系、室主任<簽字）

4、下面微分方程不能用分離變量法求解地是<）.A．

B．

C．

D．

5、下面哪個(gè)函數(shù)不是微分方程地通解<）.A．

B．

C．

D．

評(píng)閱人

得分

二、填空題<每題2分,共10分）

1、求滿足地解等價(jià)于求積分方程____________

地連續(xù)解.2、方程有只含地積分因子地充要條件是______________.3、已知，是一個(gè)二階非齊次線性常微分方程地三個(gè)特解,則該方程地通解為_(kāi)________.4、設(shè)A是實(shí)矩陣,是地基解矩陣,則該方程地一個(gè)實(shí)基解矩陣為_(kāi)_______.5、與初值問(wèn)題等價(jià)地微分方程組是________.評(píng)閱人

得分

三、計(jì)算題<第1—5小題每題8分,第6小題10分,共50分）

1、用分離變量法求地通解.2、將化為伯努利方程并求通解.3、判斷是否為恰當(dāng)方程,并求通解.4、求解二階方程.5、求解常系數(shù)線性微分方程.6、求線性微分方程組地基解矩陣.評(píng)閱人

得分

四、<12分）設(shè)矩形域，1、給出函數(shù)在R上關(guān)于y滿足利普希茨條件地定義；

2、敘述初值問(wèn)題解地存在唯一性定理.評(píng)閱人

得分

五．<12分）設(shè)是線性微分方程組地基解矩陣,請(qǐng)用常數(shù)變異法求地通解以及滿足初值地特解.評(píng)閱人

得分

六．<8分）

六.<6分）已知是地解,請(qǐng)利用降階

法求出該方程地通解.

第五篇：定性方法與定量方法的優(yōu)劣

定性方法與定量方法的優(yōu)劣分析

一、概念

所謂定性，是指把考察重點(diǎn)放在事物“質(zhì)”的方面，去研究事物的構(gòu)成要素及要素間的相互聯(lián)系，從而揭示事物的質(zhì)的規(guī)律性；定量則泛指從數(shù)量的方面表征事物間的聯(lián)系和相互作用，其特點(diǎn)是較可靠精確。用上述兩個(gè)普適、本質(zhì)的概念對(duì)研究方法進(jìn)行類(lèi)的劃分，即定性方法和定量方法。

定性研究方法是主要憑分析者的直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)，憑分析對(duì)象過(guò)去和現(xiàn)在的延續(xù)狀況及最新的信息資料，對(duì)分析對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)、發(fā)展變化規(guī)律作出判斷的一種方法。

定量研究方法是依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型計(jì)算出分析對(duì)象的各項(xiàng)指標(biāo)及其數(shù)值的一種方法。

二、兩者的區(qū)別

定性研究（qualitative research）和定量研究（quantitative research）的根本性區(qū)別有三點(diǎn)：

首先，兩種方法所依賴(lài)的哲學(xué)體系有所不同。作為定量研究，其對(duì)象是客觀的、獨(dú)立于研究者之外的某種客觀存在物；而作為定性研究，其研究對(duì)象與研究者之間的關(guān)系十分密切，研究對(duì)象被研究者賦予主觀色彩，成為研究過(guò)程的有機(jī)組成部分。定量研究者認(rèn)為，其研究對(duì)象可以像解剖麻雀一樣被分成幾個(gè)部分，通過(guò)這些組成部分的觀察可以獲得整體的認(rèn)識(shí)。而定性研究者則認(rèn)為，研究對(duì)象是不可分的有機(jī)整體，因而他們檢視的是全部和整個(gè)過(guò)程。

第二，兩種研究方法在對(duì)人本身的認(rèn)識(shí)上有所差異。量化研究者認(rèn)為，所有人基本上都是相似的；而定性研究者則強(qiáng)調(diào)人的個(gè)性和人與人之間的差異，進(jìn)而認(rèn)為很難將人類(lèi)簡(jiǎn)單地劃歸為幾個(gè)類(lèi)別。

第三，定性研究者的目的在于發(fā)現(xiàn)人類(lèi)行為的一般規(guī)律，并對(duì)各種環(huán)境中的事物作出帶有普遍性的解釋?zhuān)欢c此相反，定量研究則試圖對(duì)特定的情況或事物作出特別的解釋。換言之，定性研究致力于拓展廣度，而定量研究則試圖發(fā)掘深度。

三、兩者的優(yōu)缺點(diǎn)

應(yīng)該說(shuō)在科學(xué)研究中沒(méi)有一種方法是完美無(wú)缺的，任何一種方法都會(huì)有其自身的優(yōu)缺點(diǎn)。

對(duì)于定性研究方法來(lái)說(shuō)，其操作雖然簡(jiǎn)便易行，但是其主觀性較強(qiáng)，得到的結(jié)果也比較抽象，難以反映事物之間的局部差別，應(yīng)用效果不好。而定量研究方法較定性評(píng)價(jià)結(jié)果更為直觀、簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確，應(yīng)用效果好。但是操作起來(lái)往往有一定的困難，尤其是有些關(guān)聯(lián)因子難以量化，也會(huì)帶有主觀色彩，影響量化的準(zhǔn)確度。

相比而言，定量分析方法更加科學(xué)，但需要較高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，而定性分析方法雖然較為粗糙，但在數(shù)據(jù)資料不夠充分或分析者數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱時(shí)比較適用。

四、小結(jié) 定性方法與定量方法應(yīng)該是相互補(bǔ)充、相輔相成的；定性分析是定量分析的基本前提，沒(méi)有定性的定量是一種盲目的、毫無(wú)價(jià)值的定量；定量分析使定性更加科學(xué)、準(zhǔn)確，它可以促使定性分析得出廣泛而深入的結(jié)論。

定性是定量的依據(jù)，定量是定性的具體化，二者結(jié)合起來(lái)靈活運(yùn)用才能取得最佳效果。在科學(xué)研究中，應(yīng)遵循定性分析---定量分析---定性分析的認(rèn)識(shí)過(guò)程，由最初的定性分析，認(rèn)識(shí)事物的質(zhì)，掌握一事物區(qū)別于他事物的規(guī)律性；然后通過(guò)對(duì)事物量的分析和把握，掌握決定事物質(zhì)的數(shù)量界限，弄清事物之間的關(guān)系，達(dá)到認(rèn)識(shí)的深化；最后，從這些數(shù)量和數(shù)量關(guān)系中歸納揭示出更深層的質(zhì)，并作出理論上的解釋或結(jié)論。